13数学分析期末复习题01

F(t)=
f x 2 y 2 z2 dxdydz 。
t
(1) 证明 F(t) 在 (0,+ ) 内具有二阶连续导数； (2) 求出 F/(t) 的表达式。
例 42：设函数 f(u) 具有连续的导数，且
f(0)=0
，试求
lim
t0
1 t4
f ( x 2 y 2 z 2 )dv ，其中 ： x 2+y2 +z2 t 2。
例 31：利用余元公式
B(p,1-p)=
sin p
计算积分
0
dx 1 x4
。
例 32：利用余元公式
B(p,1-p)=
sin p
计算积分
0
dx 1 x6
。
p1
( 注意 B 函数的另一形式 ： B(p,q)=
x
dx )
0 (1 x) p q
二、解答与证明题：
1. 用定义证明多元函数的极限
例 33：用极限定义证明 lim(2 x 2 3 y) 5 。 x1 y1
例 29： zds ，其中 L 为圆锥螺线 x=tcost ， y=tsint ， z=t ， t [0,t 0] ；
L
例 30：求球面 x2+y2+z2=a2 为平面 z= a ， z= a 所夹部分的曲面面积 S。
4
2
15. 利用余元公式 B(p,1-p)=
，计算
dx 类积分值
sin p
0 1 xn
C
例 50：求积分值 I= [ x cos(n, x) y cos(n, y)]ds ，其中 L 为包围有界区域 D 的闭曲线， n 为 L 的外法线方向。
L
例题选讲
一、计算题 1. 全微分计算题 z2 例 1：求函数 u= x2
x2 的全微分；
y2
解 ： du=
2x z2 y2 dx
x2 y2 2
+f 22 //
)
。
2
例 6：设 u=f(x 2-y 2 ， exy ) ，求 u ，其中 f 具有二阶连续偏导数。 xy
解 ： u =2xf 1/+y exy f 2/， 2u =2x(-2yf 11//+x exy f 12// )+(1+xy) exy f 2/+y exy (-2yf 21//+x exy f 22//)
2 y z2 x 2 x2 y2 2
dy+
2z x2 y2
dz 。
例 2：已知函数 z=z(x,y) 是由方程 x2+y2+z 2-3x=0 所确定的函数，求
解 ： dz= z dx+ z dy= 3 2x dx- y dy。
x
y
2z
z
2. 求隐函数 ( 组 ) 的偏导数
z(x,y) 的全微分。
例 3：设 x ey z ，求 2 z 。
例 34：用极限定义证明 lim( x 2 3xy y2 ) 4 。 x0 y2
2. 证明多元函数的连续性 例 35：若函数 f(x,y) 在区域 D 内关于每一个变量都有有界偏导数，则
f 在 D 内连续。
例 36：设 f(x,y) 在 D (x, y) a x b, c y d 上连续，函数列 n (x) 在 [a,b] 上一致收敛，且 c n(x) d，
x源自文库
xy
=-4xyf
11 //+2(x
2-y
2)
e xy
f
// 12
+xy
e
2xy
f
22//+(1+xy)
e xy f 2/。
4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线方程
例 7：求曲线： x 2+y2+z2=6， x+y+z=0 在点 (1,-2,1) 处的法平面方程。
面的外侧。 8. 计算第二型曲线积分 ( 格林公式 )
例 16：计算曲线积分
( y)e x my dx
AmB
( y)ex m dy ，其中 (y) 和 /(y) 为连续函数， AmB为连接点 A(x 1,y 1)
和点 B(x 2,y 2) 的任何路径，但与线段 AB围成的区域 AmBA的面积为已知常数 S。
例 5： 设 u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)
2u
2u
，求
， 其中 f 具有二阶连续的偏导数；
xz
y2
解 ： u =a(f 1/ +f 3/ ) ，
2u
=ac(f
//
12
+f
//
13
+f
//
23
+f
//
33
)
。
x
xz
u
=b(f
/
1
+f
/
2
)
，
y
2u =b2 (f y2
//
11
+2f
//
12
13 数学分析 ( 三) 复习范围
一、计算题 ( 每小题 10 分，共 70 分 )
1. 全微分计算题
2. 求隐函数 ( 组 ) 的一阶偏导数
3. 求抽象函数的二阶偏导数
4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程
5. 求函数的极值
6. 计算第一型曲面积分
7. 计算第二型曲面积分
8. 计算第二型曲线积分 ( 格林公式 )
2
z。
z
xy
例 4：设 2x+y+3z=0 ， x+y+z=e -(x+y+z) ，求 dy ， dz 。 dx dx
3. 求抽象函数的二阶偏导数
例 5： 设 u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)
，求 2u ， 2u 其中 f 具有二阶连续的偏导数；
xz
y2
例 6：设 u=f(x 2-y 2 ， exy ) ，求 2u ，其中 f 具有二阶连续偏导数。 xy
x
2
dxdy ，其中
D 由 x=2， y=x ， xy=1 所围成。
Dy
10. 高斯公式与斯托克斯公式
例 20：计算 I= ( y 2 z2 )dx (2z 2 x 2 )dy (3x 2 y 2 )dz ，其中 L 是平面 x+y+z=2 与柱面 |x|+|y|=1 的交线， 从 z
L
轴正向看去， L 为逆时针方向。 例 21：计算 (x 2 y 2 z2 )dydz (1 z2 x 2 )dzdx (1 x 2 y2 )dxdy ，其中
1. 全微分计算题
公式： du= u dx+ u dy+ u dz。
x
y
z
例 1：求函数 u= z2 x2 的全微分； x2 y2
例 2：已知函数 z=z(x,y) 是由方程 x2+y2+z 2-3x=0 所确定的函数，求
2. 求隐函数 ( 组 ) 的偏导数
z(x,y) 的全微分。
例 3：设 x
ey z ，求
5. 求函数的极值或条件极值
例 10：求 f(x,y)=e 2x(x+2y+2y 2) 的极值。
例 11：求抛物线 y=x2 和直线 x-y-2=0 之间的最短距离。 6. 计算第一型曲面积分
例 12：计算 (xy yz zx)dS ，其中 S 为锥面 z
S
x 2 y 2 被曲面 x 2+y2 =2ax 所截得的部分。
z
xy
解 ：令 F=z e y z-x=0 ，则
z x
z ， 2z =
z。
x(z 1)
x y x( z 1) 3
例 4：设 2x+y+3z=0 ， x+y+z=e -(x+y+z) ，求 dy ， dz 。 dx dx
解 ： dy =- 1 ， dz =- 1 。 dx 2 dx 2
3. 求抽象函数的二阶偏导数
x ( x2 Cy
y 2 ) a dx
2
x y2
( x2
y2 ) a dy 与路径无关，并求
u(x, y)
(x,y) x (x2 (1,1) y
y 2 ) a dx
x2 y2
( x2
y2 ) a dy 。
13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示
1
例 26：将三次积分 I= dy
0
y y2
3( x2 y 2 )
向的方向导数具有最大值（不要求判别） 。 12. 曲线积分与路径无关问题 例 24：确定 的值，使曲线积分 I= (x 4 4xy )dx (6x 1y 2 5y 4) dy 与路径无关， 并计算自点 A(1,2) 到点 B(0,0)
l
的 I 值。
例 25：定常数 a，使得任何不经过 y=0 的区域上曲线积分
y y2 dx 0
f(
x2
y2
z2 )dz 分别表示为柱坐标及球坐标的形式。
例 27：设 是由 x 2+y2=2z， z=1， z=2 所围成的介于 z=1 及 z=2 之间的闭区域， f 是 上连续。利用柱面坐标将
三重积分 I= f (x, y, z)dxdydz化为三次积分。
14. 应用：求曲面面积 ( 二重积分 ) 或质量问题 ( 第一型曲线积分 ) 例 28：有一铁丝成半圆形 x=acost ， y=asint ， 0 t ，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。
6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 例 43：设 f(x,y) 是定义在 R2 上的连续函数，求证：对任意实数
c，集合 E={(x,y)|f(x,y)>c}
是开集，
F={(x,y)|f(x,y)
c} 是闭集。
例 44：证明：当且仅当存在各点互异的点列
7. 证明二重极限不存在
例 45：证明： lim
是三个坐标平面和平面
x+2y+z=1 组
成的按片光滑曲面，取外侧。 11. 求多元函数的方向导数 例 22：求函数 z=ln(x+y) 在位于抛物线 y 2=4x 上一点 (1,2) 处沿这抛物线切线上的方向导数。 例 23：在椭球面 2x2+2y2+z2=1 上求一点，使得函数 f(x,y,z)=x 2+y2+z2 在该点沿着点 A(1,1,1) 到点 B(2,0,1) 方
证明： gn (x) f ( x, n ( x)) 在[a,b] 上一致收敛。
3. 研究含参量积分的一致收敛性
例 37：研究：
0
xy
sin ( x2
xy y
2)
dx
在[a,+
] ， a>0 的一致收敛性。
例 38：研究：
cosxdx 在
1x
[ 1 ,1] 内一致收敛性。 2
4. 证明含参量非正常积分的连续性
例 17：求曲线积分 ex (1 cos y)dx e x ( y sin y)dy ，其中 C 为 0<x< ， 0<y<sinx 的正方向的围线。
C
9. 二重积分的计算 例 18：计算： xydxdy，其中 D 由 x 2+y2 1， x-y+1 0， 0 x 1 围成。
D
2
例 19：计算 I=
x y
0 0
xy
xy (x
2 不存在。 y)
{Pn} E， Pn P0， lim Pn=P0 时， P0 是 E 的聚点。
n
例 46：讨论极限
lim
x0
x2 y x4 y 2
的存在性。
y0
8. 多元函数的可微性证明
例 47：设 f(x,y)=
2
xy
2
2
2, x
xy
2
0,
x
2
y0 ，证明 f(x,y)
二、解答与证明题 ( 第小题 10 分，共 30 分 )
1. 用定义证明多元函数的极限
2. 证明多元函数的连续性
3. 研究含参量积分的一致收敛性
4. 证明含参量非正常积分的连续性
5. 三重积分的证明题
6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题
7. 证明二重极限不存在
8. 多元函数的可微性证明
例题
一、计算题
例 39：证明： F(
)=
0
arctan xdx 1 (x )2
在(-
,+ ) 内连续。
例 40：证明： F(x)=
ydy 在 (2,+
0 2 yx
) 内连续。
5. 三重积分的证明题
例 41 ： 设 一 元 函 数 f(t) 在 (0,+
) 内 具 有 一 阶 连 续 导 数 ， 令 t (x, y, z) x2 y2 z2 t 2 ，
4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线 例 7：求曲线： x 2+y2+z2=6， x+y+z=0 在点 (1,-2,1) 处的法平面方程。
例 8：求曲线 x2 y 2 z2 3x 0 在点 (1,1,1) 处的切线方程和法平面方程。 2x 3 y 5z 4 0
例 9：求曲面 x 2+2y2+3z2=21 的平行于平面 x+4y+6z=0 的各切平面。
例 13：计算： xyzdS ， 是平面 x+y+z=1 在第一卦限中的部分。
7. 计算第二型曲面积分 例 14：求 I= (2z 2 xy)dydz (x 2 yz)dxdy ，其中 S 是圆柱面 x2+y 2=1 被平面 y+z=1 和 z=0 所截出部分的外侧。
S
例 15：计算 4xzdydz y 2 dzdx yzdxdy，其中 是平面 x=0， y=0， z=0，x=1， y=1， z=1 所围成的立方体的全表
2
y0
在原点连续，存在偏导数但在原点不可微。
例 48：设 f(x,y)=
x3 x2 y2
0
( x, y) (x, y)
(0,0) 。证明 f(x,y)
( 0, 0)
在 (0,0) 不可微。
9. 曲线积分的证明题 例 49：证明：若 C 为平面上的封闭曲线，则
cos(n, y)ds
C
dx ， n 为 C的外法线向量。
9. 二重积分的计算
10. 高斯公式与斯托克斯公式
11. 求多元函数的方向导数
12. 曲线积分与路径无关问题
13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示
14. 应用 -- 求曲面面积 ( 二重积分 ) 或质量问题 ( 第一型曲线积分 )
15.
利用余元公式
B(p,1-p)=
sin p
，计算
0
dx 1 xn
类积分值