华中师范大学偏微分方程2015-2016第二学期A卷答案

3 ut 6u xx u x u 5 1 x 2 , 0 x 1, 0 x 1, u |t 0 1 sin x, 4 u | 0, u | t t 0. x 1 x 0
t 0,
的解，则 u ( x, t ) 0. 证明：反证法，设混合问题有小于零的解 u ( x, t ), 不妨设存在点 ( x 0 , t 0 ) Q, 使得
4y2 6y u 4 u , 6 x x
u yy
1 2 u 2 u u . 4 x x
代入方程，得
4 2 u 2u - u 0 .
在 y 0 即 0 时，我们有
u

2 2 1 u 4 2 u .
第 1 页(共 3
代入边界条件(3)得
l 0.
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(2n 1) x (2n 1) , X n ( x) cos , n 1, 2, . 于是得特征值： n 2l 2l
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
从而，
u ( x, t ) cos 3 t x 2l 9 t 3 x 2l 15 t 5 x . cos sin cos sin cos 2l 2l 9 2l 2l 15 2l 2l
得分
评阅人
四、证明题： （共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
1. 设 Q {( x, t ) | 0 x 1, 0 t T } ，证明如果 u ( x, t ) C 2,1 (Q ) C (Q )是混合问题
utt 25u xx 0, x , t 0, 3. 写出 关于点 (4, 0) 的影响区域. u ( x , 0) x , u ( x , 0) x , x t
专业：
答：由不等式 4 5t x 4 5t , t 0 所确定的角型区域.
华中师范大学 2015 –2016 学年第二学期
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
解：设解为 u ( x, t ) X ( x)T (t ), 则
T ''(t ) X ( x ) 9 X ( x )T (t ) 0,
于是
X ( x ) T '(t ) （常数） X ( x ) 9T (t )
即
X ( x) X ( x) 0, T (t ) 9T (t ) 0.
n 1, 2, .
由初值条件得
Cn 2 l (2 n 1) x x cos cos dx 0 l 2l 2l 1, n 1, 0, n 1, n2 n3 n 1, 4,5, ,
2l 9 , l 4 (2 n 1) x 3 5 2l Dn cos (cos x cos x )dx , 3(2n 1) 0 2l 2l 2l 15 0,
页)
2.
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
0, 则(1)的通解为：
X ( x) c1 x c 2 .
代入边界条件(3)得： c1 c 2 0. 这时特征值问题（1） ， （3）也只有平凡解. 情形 3.
0, 则（1）的通解为：
X ( x) c1 cos x c 2 sin x. c2 0, c1 cos
问题只有零解.
第 3 页(共 பைடு நூலகம் 页)
2
将 n 代入T 的方程，解得
Tn (t ) Cn cos 3(2n 1) t 3(2n 1) t Dn sin , n 1, 2, . 2l 2l
于是
u ( x, t ) cos
n 1

(2n 1) x 3(2n 1) t 3(2n 1) t D n sin C n cos . 2l 2l 2l
而



e

x y 2
8t
ye y dy 2 2 t x 4t e x 2t ，
从而 Cauchy 问题(1)的解为
v( x, t ) x 4t e x 2t , x ，
故原问题的解为
u ( x, t ) x 4t e t , x .
则原问题转化成如下 Cauchy 问题：
vt 2vxx 0, x v |t 0 xe , x , t 0, x ,
(1)
由泊松公式可知 (1) 的解为
v ( x, t ) 1 2
2 t


e

x y 2
8t
ye ydy ，
期末考试试卷答案（A 卷）
课程名称 偏微分方程 1 课程编号 47410001 任课教师 阮立志、张国 题型 分值 得分 基础题 20 计算题 40 解答题 20 证明题 20 总分 100
学号：
学生姓名：
得分
评阅人
一、基础题： （共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
1. 指出方程 ut x 2u xxxx xu x 0 的阶，并判定它是线性的还是非线性的. 答：四阶线性偏微分方程. 2. 写出方程
得分
评阅人
二、计算题： （共 2 题，每题 20 分，共 40 分）
1. 判断下列方程的类型，并化成标准型：
x 2u xx 4 xyu xy 4 y 2u yy yu y 0.
解：由于 4 x 2 y 2 4 x 2 y 2 0, 易知特征方程为：
dy 2 y . dx x
得分
评阅人
三、解答题： （共 1 题，共 20 分）
用分离变量法求解初边值问题：
0 x l, t 0, utt 9u xx 0, t 0, u x (0, t ) u (l , t ) 0, u ( x, 0) cos x, 0 x l, t 0 2l 3 5 x cos x, 0 x l. ut ( x, 0) cos 2l 2l
求解 Cauchy 问题：
ut 2u xx 4u x u 0, x , t 0, u t 0 x , x .
解：解：令 v x, t u x, t e x t ，则
ut (vt v )e x t ， u x (vx v )e x t , uxx (vxx 2vx v)e x t .
uxx 3u yy 5uxy 4uxz uxw +7u yz 2u yw 6uzw 9u 0
年级：
的特征二次型. 答：特征二次型是： D 12 51 2 41 3 1 4 3 22 7 2 3 2 2 4 6 3 4 .
所以方程处处是抛物型的.
解得特征线为：
( x, y )
y , x2
y c1 . x2
作特征坐标变换： 则
ux u xx
y.
2y u , x3
uy
1 u u , x2 u xy 2 2y 2y u 5 u 3 u , 3 x x x
(1) (2) (3)
由边界条件 u x ( , t ) u (0, t ) 0 推知， X (0) X (l ) 0. 下面解特征值问题(1), (3). 情形 1.
0, 则(1)的通解为：
X ( x) c1e
x
c2 e
x
.
代入边界条件(3)得： c1 c 2 0 ，这时特征值问题（1） ， （3）只有平凡解. 情形 2.
4. 写出 Cauchy 问题
utt 25u xx 0, x , t 0, 的解的表达式. u ( x, 0) x, u t ( x, 0) 2 x, x
院（系） ：
答：以上 Cauchy 问题解的表达式是： u ( x, t ) x 2 t 2 2 xt x.
u ( x0 , t0 ) 0.
由于在 = Q 上 u 0 且 u ( x, t ) C (Q ) ，因此 u ( x, t ) 在 Q 内达到负的最小值，
设其在 ( x1 , t1 ) 处达到，则
ut ( x1 , t1 ) 0, u x ( x1 , t1 ) 0, u xx ( x1 , t1 ) 0.
证明：反证法，假设 u ( x) 不恒等于 0，则 x0 使得 u ( x0 ) 0 或 u ( x0 ) 0 . 我们不妨设
u ( x0 ) 0 而且为非负最大值(对于 u ( x0 ) 0 的情形可以类似证明). 因此在这一点处满足， u 2u ( x0 ) 0, 2 ( x0 ) 0 ，于是 n u ( x0 ) | u |4 ( x0 ) 0 ，而右边 u 3 ( x0 ) 0 ，矛盾，因此以上 xi xi
于是
3 ut 6u xx u x u 5 | (x1 ,t1 ) 0,
但
1 x 2 0,
这就推出了矛盾，
证毕.
u | u |4 u 3 , ( x1 , , xn ) R n 2. 证明 Dirichlet 问题 n 只有零解. u | 0