【步步高】(浙江专用)2017年高考数学 专题六 不等式 第46练 不等式中的易错题练习

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题六 不等式 第46练 不

等式中的易错题练习

一、选择题

1．(2015·金华十校联考)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，

则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( ) A ．{x |－1≤x ≤2－1} B ．{x |x ≤1}

C ．{x |x ≤2－1}

D ．{x |－2－1≤x ≤2－1}

2．若不等式x 2

＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( )

A ．0

B ．－2

C ．－5

2

D ．－3

3．已知a ，b 都是正实数，且满足log 4(2a ＋b )＝log 2ab ，则2a ＋b 的最小值为( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．6

4．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝

b

y

时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3x ＋41－3x (0

3)的最小值为( )

A ．5

B ．15

C ．25

D ．2

5．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧

5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，

2x ≤11.则z

＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．100

6．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

7．函数y ＝x 2＋7x ＋10

x ＋1

(x >－1)的最小值为( )

A ．2

B ．7

C ．9

D ．10

8．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.3－1 B.3＋1 C ．23＋2 D ．23－2

二、填空题

9．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y

＝lg 2，则1x ＋13y

的最小值是________．

10．对于0≤m ≤4的任意m ，不等式x 2

＋mx >4x ＋m －3恒成立，则x 的取值范围是________________．

11．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2

－z ＝0，则当xy z

取得最大值时，2x ＋1y －2z

的最大值为

________．

12．某运输公司接受了向一地区每天至少运送180 t 物资的任务，该公司有8辆载重为6 t 的A 型卡车和4辆载重为10 t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的费用为A 型卡车320元，B 型卡车504元，则公司如何调配车辆，才能使公司所花的费用最低，最低费用为________元．

答案解析

1．C [由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于

⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋1<0，x ＋(x ＋1)[－(x ＋1)＋1]≤1，①

或⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋1≥0，x ＋(x ＋1)[(x ＋1)－1]≤1，②

解不等式组①得x <－1； 解不等式组②得－1≤x ≤2－1.

故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，故选C.]

2．C [因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，且x 2

＋ax ＋1≥0，

所以a ≥－⎝

⎛⎭

⎪⎫x ＋1x ，所以a ≥－⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x max .

又y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤

0，12内是单调递减的，

所以a ≥－⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋1x max ＝－(12＋112)＝－52.] 3．C [由题意log 4(2a ＋b )＝log 4ab ， 可得2a ＋b ＝ab ，a >0，b >0，

所以2a ＋b ＝12·2a ·b ≤12·(2a ＋b )

2

4，

所以2a ＋b ≥8，当且仅当2a ＝b 时取等号， 所以2a ＋b 的最小值为8，故选C.]

4．C [由题意可得f (x )＝3

x ＋41－3x ＝32

3x ＋22

1－3x ≥(3＋2)2

3x ＋(1－3x )＝25，当且仅当33x ＝2

1－3x ，

即x ＝1

5时取等号，故最小值为25.]

5．C [如图，作出可行域，

由z ＝10x ＋10y ⇒y ＝－x ＋

z 10，它表示斜率为－1，纵截距为z

10

的平行直线系，

要使z ＝10x ＋10y 取得最大值， 当直线z ＝10x ＋10y 通过A (

112，9

2

)时z 取得最大值． 因为x ，y ∈N *

，故A 点不是最优整数解． 于是考虑可行域内A 点附近的整点(5,4)，(4,4)， 经检验直线经过点(5,4)时，z max ＝90.]

6．B [不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋ax y

≥a ＋2a ＋1≥

9，所以a ≥2或a ≤－4(舍去)．所以正实数a 的最小值为4.]

7．C [y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4

x ＋1

＝(x ＋1)＋

4

x ＋1

＋5， 当x >－1，即x ＋1>0时，y ≥2(x ＋1)×

4

x ＋1

＋5＝9(当且仅当x ＝1时取“＝”)．故选C.]

8．D [由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－2 3. ∵a 、b 、c >0. ∴(a ＋c )·(a ＋b )≤⎝

⎛⎭

⎪⎫2a ＋b ＋c 22(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，

∴2a ＋b ＋c ≥24－23＝2(3－1)＝23－2.] 9．4

解析 由x >0，y >0，lg 2x

＋lg 8y

＝lg 2， 得lg 2x 8y

＝lg 2，即2

x ＋3y

＝2，

所以x ＋3y ＝1，故1x ＋13y ＝(1x ＋1

3y )(x ＋3y )

＝2＋3y x ＋x

3y

≥2＋2

3y x ·x

3y

＝4， 当且仅当3y x ＝x 3y ，即x ＝12，y ＝1

6时取等号，

所以1x ＋1

3y 的最小值为4.

10．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

解析 不等式可化为m (x －1)＋x 2

－4x ＋3>0在0≤m ≤4时恒成立．令f (m )＝m (x －1)＋x 2

－4x ＋3.