4.1多边形(2)

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4.1多边形(2) 浙教版2014

∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= 1／2 ×720°=360°

练一练
1、已知六边形的各内角相等，问各内角、外角分别是多少度？
2、一个内角和为1620°的多边形有多少条对角线?

练一练

例2 一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，
求∠A＋∠C＋∠E的度数。解：如图所示，连结AD， ∵AB∥DE， CD∥AF（已知） F ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4 （两直线平行，内错角相等）
4
E
1
D
2
C
3
A 即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F ∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F E =（6－2）×180°= 720° F° ∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360 思考：有没有其它的解法？
（n－2）×180°
多边形的外角和
多边形三角形
2
图形
1 3
多边形的外角和
3×180 -1×180 =360 4×180 -2×180 =360 5×180 -3×180 =360 6×180 -4×180 =360
o o o o o o o o
o
o
o
四边形五边形六边形 n边形
1 2 3 4
o
角的度数。
D E
2
1
H
C G
3
A
F
B
Байду номын сангаас

①设计一个六边形ABCDEF，使它的各内角都相等。 ②校园里准备建造一个各边长为4米，各内角相等的六边形花坛，请画出平面图.(比例尺1：200) P D C R A B

浙教版数学八年级下册《4.1多边形》说课稿1

浙教版数学八年级下册《4.1 多边形》说课稿1一. 教材分析《4.1 多边形》是浙教版数学八年级下册的一个重要内容。

本节课的主要内容是让学生了解多边形的定义、性质以及多边形的相关概念。

教材通过丰富的图片和实例，激发学生的学习兴趣，引导学生探索多边形的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，对图形的认知有一定的基础。

但是，对于多边形的深入理解和相关性质的探索还是一个新的挑战。

因此，在教学过程中，我注重引导学生利用已有的知识体系来理解和掌握多边形的性质。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解多边形的定义，掌握多边形的性质，能运用多边形的性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生探索几何图形的性质的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习几何图形的兴趣，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：多边形的定义和性质。

2.教学难点：多边形性质的证明和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、讨论法、观察法等，引导学生主动探索、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高学生的学习兴趣和动手能力。

六. 说教学过程1.导入：通过展示各种多边形的图片，引导学生观察和思考多边形的特征，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍多边形的定义，引导学生理解多边形的性质。

3.实例分析：通过具体的例子，让学生掌握多边形的性质，并能运用性质解决实际问题。

4.小组讨论：让学生分小组探讨多边形的性质，培养学生的合作能力和思考能力。

5.总结提高：对多边形的性质进行总结，引导学生思考如何运用多边形的性质解决更复杂的问题。

6.课堂练习：布置一些相关的练习题，巩固学生对多边形性质的理解。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出多边形的定义和性质。

可以设计如下板书：•定义：n条线段组成，首尾相连，形成封闭平面图形•性质：对角线、内角、外角等八. 说教学评价教学评价主要包括两个方面：一是学生的学习效果，通过课堂练习和课后作业来评价；二是学生的学习过程，通过观察学生的讨论、思考和操作来评价。

4.1多边形教学设计

4.1多边形教学设计教材分析本节课是浙教版八年级下册第四章第1节的内容，主要学习多边形的概念及探索多边形内角和以及外角和定理，并会用定理解决简单的图形问题.它是继《三角形》基础上的学习内容，多边形的学习不仅可以使学生对多边形有初步的认识，还可以为后续《平行四边形》等其他几何内容的学习作好必要的知识和方法准备.因此，本节课在《平行四边形》这章中具有承上启下的地位.学情分析学生已经在八年级上册学过三角形，具备三角形有关的概念以及内角和180°，外角和360°，外角和内角的关系以及边之间的关系等知识储备。

通过平行线、三角形等几何图形的学习有一定的几何直观、几何图形研究的能力，八年级上册第一章开始，几何学习已经进入了论证几何阶段，逻辑推理和概括能力日趋成熟，参与探索能力也已具备。

设计理念美国教育家杜威提出了“在做中学”的理论，希望通过活动使学生主动探索，让学生经历数学探究发现的过程，积累数学活动的经验，这真正体现了为发展数学核心素养而教的育人理念。

《课标（2011年版）》把数学的“基本活动经验”与“基础知识”“基本技能”“基本思想”一起作为显性目标提出是数学教育研究上一个重要进展。

基于这种理念下，对教材4.1多边形两个课时进行重组，第一个课时设计为探究四边形——多边形的内角和的数学活动课，第二课时重点外角和定理，和应用内角和外角和定理解决简单的图形问题。

本节课为第一课时，设计了基于“四基”和“四能”的数学探究活动，以问题驱动学生思考、感悟，经历“猜想——验证”“发现——论证”的过程，然后上升为理性认识，让学生亲身体验“如何思考”，“如何做数学”。

让学生体会数学的研究方法，领悟数学研究的基本思路，促进学生的核心素养的发展。

教学目标1.理解多边形的定义以及相关的概念，在学生定义以及概念形成过程中，有意识渗透类比的数学思想方法。

；2.经历四边形内角和以及多边形内角和定理的探索发现过程，通过动手操作、猜想、验证、推理、归纳，从不同角度、用不同方法证明四边形内角和定理，从中找出规律推理多边形的一般方法，体会数学转化、分类、类比、数形结合等解决问题的思想方法；3.经历用三角形、四边形、五边形拼镶嵌图等实践操作，用得出的多边形内角和解释原理，学会学以致用，获取解决几何问题的方法和经验.4. 在类比、归纳、推理等数学活动中积累一定的数学活动经验，体会从特殊到一般的研究问题的方法，发展推理能力，提升学生核心素养.教学重难点教学重点：本节教学的重点是四边形内角和以及多边形内角和计算公式.教学难点：四边形内角和定理的证明思路多样，不易形成，是本节教学的难点.教学方法教法：设计基于“四基”和“四能”的数学探究活动，以问题驱动学生主动探索思考，让学生经历数学探究的过程，积累数学活动的经验，感悟数学思想方法，促进学生数学核心素养的发展。

多边形的性质与判定

多边形的性质与判定多边形是几何学中常见的图形，其研究的核心在于探究其性质和判别方法。

本文将通过介绍多边形的定义、特点、分类以及相关的判定方法来深入探讨多边形的性质与判定。

同时，为了更好地理解和学习这一内容，我们将采用事例和图示等方式进行阐述。

一、多边形的定义与特点多边形是由多条线段组成的封闭图形，首先，让我们来了解一下多边形的主要特点。

1.1 定义多边形是由一系列线段所构成的封闭平面图形，其中，每条线段均与相邻两条线段相交，且相邻线段之间没有内交。

1.2 特点（1）多边形的边数与顶点数相等。

（2）多边形的内角和公式为180°×（n-2），其中n代表多边形的边数。

（3）多边形的外角和公式为360°/n，其中n代表多边形的边数。

二、多边形的分类多边形按照边的性质、角的性质以及边与角的关系进行分类，主要可以分为以下几类。

2.1 按边的性质分类（1）凸多边形：所有内角均小于180°的多边形。

（2）凹多边形：至少存在一个内角大于180°的多边形。

2.2 按角的性质分类（1）等边多边形：所有边均相等的多边形。

（2）等角多边形：所有内角均相等的多边形。

2.3 按边与角的关系分类（1）正多边形：既是等边多边形，又是等角多边形的多边形。

（2）矩形：具有四个直角的多边形。

（3）平行四边形：具有两对平行边的四边形。

三、多边形的判定方法判定一个图形是否为多边形，以及属于何种类型的多边形，一般可以通过以下方法进行判定。

3.1 观察边的关系通过观察图形的边是否相交、是否封闭等特点，可以初步判定是否为多边形。

3.2 观察角的特点根据图形的角是否相等、是否为直角等特点，可以进一步判定多边形的分类。

3.3 测量边长和角度通过测量多边形的边长和角度，可以得到准确的数据，从而判定多边形的具体性质。

3.4 利用坐标和向量的性质通过多边形的坐标和向量运算，可以计算出边的长度、角的大小等信息，从而判定多边形的性质。

浙教版八年级下册 4.1 多边形课件(20张PPT)

4.1 多边形（一）
知识回顾
A
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所形成的图形叫三角形.
新课讲解
四边形的定义…
A D
B
C
在同一平面里, 由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所形成的图形叫四边形 .
新课讲解
……
三角形四边形五边形六边形依此类推，边数为5的多边形叫五边形, 边数为6的多边形叫六边形, 边数为n的多边形叫n边形. (n为正整数，且n≥3)
B.2π米2
C.3π米2
D.0.5π米2
练一练
4.如图，在四边形ABCD中，∠A=85°,
D
∠D＝110°, ∠1的外角是71°，则∠1＝ 109 °，∠2＝ 56°.
A 85° 110°
71° 1 B
2 C
5.如图，在四边形ABCD中， ∠C=110°，∠BAD,∠ABC的外角都是120°,则∠ADC的外角a 的度数是 50 度.
∴∠1+∠2+∠3+∠4 = 4×180°－ 360° = 360°
A1 D 4
2
C
B
3
四边形的外角和等于360°.
例题讲解
例1 如图，四边形风筝的四个内角∠A,∠B,∠C,∠D 的度数之比为1:1:0.6:1.求它的四个内角的度数．
解 ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360° （四边形的内角和为360°）
顶点个数边的条数
表示法
内角和外角和
3个 3条
可以表示为△ABC、 △BCA、△CAB等
180˚ 360°
4个
4条
可以表示为四边形ABCD、四边形BCDA、四边形 CDAB、四边形DABC等.

专题多边形(知识要点+专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂(浙教版)

专题4.1 多边形【学习目标】1.理解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．掌握多边形的几大特点．2.了解凸多边形与凹多边形的联系与区别．3.掌握多边形内角和与边数的关系，能正确计算多边形的内角和．4.探究多边形对角线的数量与边数的关系．【知识要点】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：特别说明：（1）正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；（2）过n 边形的一个顶点可以引（n -3）条对角线，n 边形对角线的条数为(3)2n n -；（3）过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成（n -2）个三角形．知识点二、多边形内角和n 边形的内角和为（n -2）·180°（n ≥3）．特别说明：（1）内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；（2）正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180n n - °；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．特别说明：（1）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；（2）正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n ︒；（3）多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念1. 如图，在六边形ABCDEF 中，从顶点A 出发，可以画几条对角线？它们将六边形ABCDEF 分成哪几个三角形?举一反三：【变式】2. 过正十二边形的一个顶点有______条对角线，一个正十二边形共有______条对角线类型二、多边形内角和定理3. 证明：n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)．4. 如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．类型三、多边形的外角和5. 如图所示，小华从A 点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走的路程是_____举一反三：【变式1】6. 如图，一辆小汽车从P 市出发，先到B 市，再到C 市，再到A 市，最后返回P 市，这辆小汽车共转了多少度角？一、单选题7. 小明同学用一些完全相同的ABC 纸片，已知六个ABC 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用n 个ABC 纸片按图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（）A. 正十二边形B. 正十边形C. 正九边形D. 正八边形8. 如图，在探究过多边形的一个顶点引出的对角线把多边形分成三角形的个数时，画出的图形如下：根据图形可知，过n 边形的一个顶点引出的对角线，把n 边形分成的三角形的个数是（）A. ()3n -个B. ()2n -个C. ()1n -个D. ()1n +个9. 一个正多边形的每个内角都等于135︒，那么它是（）A. 正六边形B. 正八边形C. 正十边形D. 正十二边形10. 一个正多边形的一个外角为30︒，则这个正多边形的边数为（）A. 9B. 10C. 12D. 1411. 在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（）A. 正六边形，正八边形B. 正方形，正七边形C. 正五边形，正六边形D. 正三角形，正方形12. 如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l ，则12∠-∠的值为（）A. 180°B. 108°C. 90°D. 72°13. 一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是（）A. 3B. 5C. 8D. 1214. 如图，在正五边形ABCDE 中，点F 是CD 的中点，点G 在线段AF 上运动，连接EG ，DG ，当DEG △的周长最小时，则EGD ∠=（）A. 36°B. 60°C. 72°D. 108°15. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A. 10或11B. 11或12或13C. 11或12D. 10或11或1216. 小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果得 1000°，则这个多边形是( )A. 六边形B. 七边形C. 八边形D. 十边形17. 将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（）．A. 15或16B. 15或16或17C. 16或17或18D. 17或18或1918. 一张正方形的纸片，如图进行两次对折，折成一个正方形，从右下角的顶点，沿斜虚线剪去一个角剪下的实际是四个小三角形，再把余下的部分展开，展开后的这个图形的内角和是（）度．A. 1080︒B. 360︒C. 180︒D. 900︒二、填空题19. 边数为2017的多边形的外角和为_____．20. 如图所示，将正六边形与正五边形按此方式摆放，正六边形与正五边形的公共顶点为O ，且正六边形的边AB 与正五边形的边DE 在同一条直线上，则∠COF 的度数为______．21. 如图，在等边△ABC 中，点D 为BC 边上的点，DE ⊥BC 交AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则∠EDF 的度数为______．22. 八边形的内角和是_________，若一个凸多边形的内角和是4320°，那么这个多边形的边数是________．23. 如图，点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______．24. 点P ，P '分别为在正六边形ABCDEF 内，外一点，且PA =4PB P B ='=，2P A '=，P BA ∠'=PBC ∠，则BPC ∠的度数为____________．25. 如图，A 、B 、C 均为一个正十边形的顶点，则∠ACB=_____°．26. 若n 边形内角和为1260°，则这个n 边形的对角线共有__________．三、解答题27. 已知n 边形的对角线共有(3)2n n - 条（n 是不小于3的整数）；（1）五边形的对角线共有条；（2）若n 边形的对角线共有35条，求边数n ；（3）若n 边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n ．28. 按要求回答下列各小题．（1）若一个n 边形的内角和的13比一个四边形的内角和多360°，求n 的值；（2）一个正多边形的所有内角与它的所有外角之和是1620°，求该正多边形的边数及一个外角的度数．29. 探究归纳题：（1）试验分析：如图1，经过一个顶点（如点A ）可以作___________条对角线，它把四边形ABCD 分为___________个三角形；（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；（3）探索归纳：对于n 边形()3n >，过一个顶点的所有对角线把这个n 边形分为___________个三角形．（用含n 的式子表示）（4）特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形．30. 已知n 边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n 边形变为（n+x ）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x ．31. （1）若多边形的内角和为2340°，求此多边形的边数．（2）一个多边形的每个外角都相等，如果它的内角与外角的度数之比为13：2，求这个多边形的边数．32. 在△ABC 中，A α∠=（60α<︒），点E ，F 分别为AC 和AB 上的动点，BE 与CF 相交于G 点，且BE ＋EF ＋CF 的值最小．如图1，若AB ＝AC ，40α=︒，则∠ABE 的大小是______；如图2，∠BGC 的大小是______（用含α的式子表示）．33. 请按照研究问题的步骤依次完成任务．【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D．【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC=20°，∠ADC=26°，求∠P的度数（可直接使用问题（1）中的结论）【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，猜想∠P的度数为；【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为（用x、y表示∠P）；（5）在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、D的关系，直接写出结论．专题4.1 多边形【学习目标】1.理解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．掌握多边形的几大特点．2.了解凸多边形与凹多边形的联系与区别．3.掌握多边形内角和与边数的关系，能正确计算多边形的内角和．4.探究多边形对角线的数量与边数的关系．【知识要点】知识点一、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角．外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：特别说明：（1）正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；的的（2）过n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n-；（3）过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成（n-2）个三角形．知识点二、多边形内角和n边形的内角和为（n-2）·180°（n≥3）．特别说明：（1）内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；（2）正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn- °；知识点三、多边形的外角和多边形的外角和为360°．特别说明：（1）在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；（2）正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n︒；（3）多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．【典型例题】类型一、多边形的概念【1题答案】【答案】三条，分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF【解析】【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2．【详解】解：如图，P从顶点A出发，可以画三条对角线，它们将六边形ABCDEF 分成的三角形分别是：△ABC、△ACD、△ADE、△AEF．【点睛】此题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n−3，分成的三角形数是n−2．举一反三：【变式】【2题答案】【答案】①. 9 ②. 54【解析】【分析】从正十二边形的一个顶点与不相邻的顶点的连线得出一个顶点的对角线，由n边形的对角线条数公式：(3)2n n-，即可得出答案．【详解】正十二边形的一个顶点有9个不相邻的顶点，∴过正十二边形的一个顶点有9条对角线，一个正十二边形的对角线共有：12(123)542⨯-=（条）．故答案为：9，54．【点睛】本题考查正多边形的对角线，掌握对角线的概念及公式是解决本题的关键．类型二、多边形内角和定理【3题答案】【答案】见解析【解析】【分析】在n边形内任取一点O，连接O与各顶点的线段把n边形分成了n个三角形，然后利用n个三角形的面积减去以O为公共顶点的n个角的和，即可求证．【详解】已知：n边形A1A2……A n，求证：()21123112180n n n A A A A A A A A A n -∠+∠++∠=-⋅︒ ，证明：如图，在n 边形内任取一点O ，连接O 与各顶点的线段把n 边形分成了n 个三角形，∵n 个三角形内角和为n ·180°，以O 为公共顶点的n 个角的和360°(即一个周角)，∴n 边形内角和为()18036018021802180n n n ⋅︒-︒=⋅︒-⨯︒=-⋅︒ ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，做适当辅助线，得到n 边形的内角和等于n 个三角形的面积减去以O 为公共顶点的n 个角的和是解题的关键．【4题答案】【答案】15【解析】【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．【详解】设新多边形是n 边形，由多边形内角和公式得：180(2)2520n ︒⨯-=︒，解得：16n =，则原多边形的边数是：16115-=．∴原多边形的边数是15．【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和公式．类型三、多边形的外角和【5题答案】【答案】150米##150m 【解析】【分析】由题意可知小华所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案．【详解】解：∵360°÷24°=15，∴他需要走15次才会回到原来的起点，即一共走了15×10=150（米）．故答案为150米．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理的应用,，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是360°是解答本题的关键．举一反三：【变式1】【6题答案】【答案】360°【解析】【分析】分别记,,B C A ∠∠∠的外角为,,αβγ，用αβγ++即可得出答案．【详解】如图，当小汽车从P 出发行驶到B 市，由B 市向C 市行驶时转的角是α，由C 市向A 市行驶时转的角是β，由A 市向P 市行驶时转的角是γ．∴小汽车从P 市出发，经B 市、C 市、A 市，又回到P 市，共转360αβγ++=︒．【点睛】本题考查外角和定理的应用，掌握多边形的外角和为360︒是解题的关键．一、单选题【7题答案】【答案】C【解析】【分析】根据第一个图外轮廓是正六边形图案可求得ABC 纸片的ACB ∠为40︒，则60CAB ∠=︒，新多边形的一个内角为140︒，因为是正多边形，利用正多边形的内角和公式即可求解．【详解】解：正六边形的每个内角为：()1621801206⨯-⨯︒=︒，80ABC ∠=︒ ，1208040ACB ∴∠=︒-︒=︒，18060CAB ABC ACB ∴∠=︒-∠-∠=︒，由题意可知，新的图案是一个正多边形，∴新多边形的一个内角为140ABC CAB ∠+∠=︒，设新多边形的边数为n ，()2180140n n -⨯︒=︒，解得9n =．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形内角和为180︒，正多边形的内角公式，多边形内角和公式，理解题意求出正多边形的一个内角是解题的关键．【8题答案】【答案】B【解析】【分析】观察图形，找出规律，列出代数式即可．【详解】解：观察图形可得：第1个图，过四边形的一个顶点引出1条对角线，把四边形分成了2个三角形；第2个图，过五边形的一个顶点引出2条对角线，把四边形分成了3个三角形；第3个图，过六边形的一个顶点引出3条对角线，把四边形分成了4个三角形；……第()3n -个图，过n 边形的一个顶点引出()3n -条对角线，把n 边形分成()2n -个三角形；故选：B ．【点睛】本题考查了找规律-图形变化类，仔细观察图形，找到变化规律是解题的关键．【9题答案】【答案】B【解析】【分析】由条件可求得多边形的外角，由外角和为360°可求得其边数．【详解】解：∵一个正多边形的每个内角都等于135°，∴多边形的每个外角都等于45°，∴多边形的边数=36045︒︒=8，故选：B．【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，由条件求得外角的度数是解题的关键，注意多边形的外角和为360°．【10题答案】【答案】C【解析】【分析】根据多边形的外角和为360°，即可求解．【详解】解：∵多边形的外角和为360°，∴该多边形的边数为3603012÷=，故选：C．【点睛】本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．【11题答案】【答案】D【解析】【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．【详解】解：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角是90°，正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°，正七边形的每个内角是180590077︒⨯⎛⎫=︒⎪⎝⎭正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，∴能够组合是正三角形，正方形，故选：D ．【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．【12题答案】【答案】D【解析】【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质可得2ABF ∠=∠，1180CBF ∠+∠=︒，再根据角的和差可得12180ABC ∠-∠=︒∠-，然后根据正五边形的性质求出ABC ∠的度数即可得．【详解】如图，过点B 作1//BF l 2ABF ∴∠=∠12//l l 2//BF l ∴1180CBF ∴∠+∠=︒，即1180CBF∠=︒-∠12180180()180CBF A ABC BF CBF ABF ∴∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠︒-∠+∠= 五边形ABCDE 是正五边形180(52)1085ABC ︒⨯-=∴∠=︒1218010872180ABC ∴∠-∠=∠=︒︒-=︒-︒故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质、正五边形的内角和等知识点，通过作辅助线，利用到平行线的性质是解题关键．【13题答案】【答案】D【解析】【分析】找到一个顶点处三种图形的内角度数加起来是360°的正多边形即可．【详解】解：正方形的一个内角度数为360°÷4=90°，正六边形的一个内角度数为180°−360°÷6=120°，∴一个顶点处取一个角度数为90°+120°=210°，∴需要的多边形的一个内角度数为360°−210°=150°，∴需要的多边形的一个外角度数为180°−150°=30°，∴第三个正多边形的边数为360°÷30°=12．故选D ．【点睛】此题考查了平面镶嵌，多边形内角和与外角和的计算，熟练掌握多边形内角和计算公式及外角和定义是解题的关键．【14题答案】【答案】C【解析】【分析】如图，连接EC ，GC ，设EC 交AF 于点G ′，连接DG ′．证明当点G 与G ′重合时， EG +DG 的值最小，DEG △的周长最小，即求出EGD 可得结论．【详解】解：如图，连接EC ，GC ，设EC 交AF 于点G ′，连接DG ′．∵正五边形ABCDE 中，点F 是DC 的中点，AF ⊥D C ，∴D ，C 关于AF 对称，∴GD =GC ，∵EG +GD =EG +GC ≥EC ，∴当点G 与G ′重合时，EG +DG 的值最小，△DEG 的周长最小，∵ABCDE是正五边形，∴ED=DC，∠EDC=108°，∴∠DEC=∠DCE=36°，∵G′D=G′C，∴∠G′DC=∠DCG′=36°，∴∠D G′C=108°，∴∠EG′D=180°-∠DG′C=180°-108°=72°．故选：C．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称-最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．【15题答案】【答案】D【解析】【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再根据切去的位置求原来的多边形边数．【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11，如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加一条边，为12边形；如图2，从角的一边中间部分，另一边与另一顶点连结点处截取一个角，边数不增也不减，是11边形；；如图3，从另外两个顶点处切去一个角，边数减少1为10边形∴可得原来多边形的边数为10或11或12：故选D．【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键．【16题答案】【答案】C【解析】【分析】根据n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得1000度．则内角和是（n-2）•180°与1000°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）•180°>1000°，多边形的边数n一定是最小的整数值即可，【详解】解：设多边形的边数是n．依题意有（n-2）•180°>1000°，解得：n>759，则多边形的边数n=8；故选C.【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．【17题答案】【答案】D【解析】【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．【详解】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据题意得（n-2）•180°=2880°，解得：n=18，则多边形的边数是17，18，19．故选：D．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．【答案】A【解析】【分析】根据题意可得展开图的这个图形是八边形，进而求出内角和．【详解】解：展开图的这个图形是八边形，故内角和为：()821801080-⨯= ．故选：A ．【点睛】此题主要考查了剪纸问题以及多边形的内角和的知识，正确判断出展开图是八边形是解题关键．二、填空题【19题答案】【答案】360°【解析】【分析】根据多边形的外角和为360°即可得出答案.【详解】多边形的外角和为360°，所以边数为2017的多边形的外角和为360°.故答案为360°.【点睛】本题考查的知识点是多边形内角和与外角和，解题的关键是熟练的掌握多边形内角和与外角和.【20题答案】【答案】84°【解析】【分析】利用正多边形的性质求出∠EOF ，∠BOC ，∠BOE 即可解决问题．【详解】解：由题意得：∠EOF ＝108°，∠BOC ＝120°，∠OEB ＝72°，∠OBE ＝60°，∴∠BOE ＝180°﹣72°﹣60°＝48°，∴∠COF ＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，故答案为：84°．【点睛】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．【答案】60°##60度【解析】【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝60°，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE＝∠AFD＝90°，根据三角形外角的性质求出∠AED 的度数，由四边形内角和定理即可得出结论．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°．∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，∴∠BDE＝∠AFD＝90°．∵∠AED是△BDE的外角，∴∠AED＝∠B+∠BDE＝60°+90°＝150°，∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝360°﹣60°﹣150°﹣90°＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查的是等边三角形，三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．【22题答案】【答案】①. 1080°；②. 26；【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°进行计算即可得解；根据多边形的内角和公式易求解．【详解】（8-2）•180°=6×180°=1080°．根据多边形的内角和公式（n-2）•180°=4320°，解得n=26．故答案为：1080°；26；【点睛】此题考查多边形内角和公式，多边形的内角和，解题关键在于掌握运算公式.【23题答案】【答案】360°【解析】【分析】利用三角形的内角和外角的关系，将∠2、∠3和∠1、∠6转化到四边形AGHE内，再利用四边形的内角定理解答．【详解】∵∠7=∠2+∠3，∠8=∠1+∠6，又∵∠4+∠5+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．故答案为：360︒【点睛】解答此题的关键是通过三角形内角和外角的关系将各角转化到四边形内解决．【24题答案】【答案】120︒【解析】【分析】首先连接'P P ，过点B 作'BH P P ⊥于点H ，由正六边形的性质，可知每个内角为120︒，每条边相等，进而得出结论．【详解】如图，连接'P P ，过点B 作'BH P P ⊥于点H ，∵六边形ABCDEF 为正六边行，∴()18062120ABC ∠=︒⨯-÷=︒，BA BC =，∵'P BA PBC ∠=∠，∴''120P BP P BA ABP PBC ABP ABC =∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵'PB P B =，∴'P BP 为顶角为120︒的等腰三角形，∴()1''180'302BP P BPP P BP ∠=∠=⨯︒-∠=︒，∵'BH P P ⊥，∴'HP HP =，在Rt BHP 中，90,'30BHP BPP ∠=︒∠=︒，则122BH PB ==，PH ===∴'HP HP ==，∴''P P HP HP =+=，在'AP P中，有(2222''252P A P P +=+=，(2252PA ==，222''P A P P PA +=，则'AP P 为直角三角形，且'90AP P ∠=︒，∴'''120AP B AP P BP P ∠=∠+∠=︒，在BPC 与'BP A 中，''PB P B PBC P BA BC BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴'BPC BP A ≅ （SAS ），∴'120BPC BP A ∠=∠=︒，故答案为：120︒．【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，正确掌握做题的方法是解题的关键．【25题答案】【答案】18【解析】【分析】根据正多边形外角和和内角和的性质，得DAE ∠、144BAE E F ∠=∠=∠=︒；根据四边形内角和的性质，计算得EAC ∠；根据五边形内角和的性质，计算得ABC ∠，再根据三角形外角的性质计算，即可得到答案．【详解】如图，延长BA∵正十边形∴3603610DAE ︒∠==︒，正十边形内角()102180=14410-⨯︒=︒，即144BAE E F ∠=∠=∠=︒根据题意，得四边形ACFE 内角和为：360︒，且EAC FCA ∠=∠∴360362E F EAC FCA ︒-∠-∠∠=∠==︒∴72DAC DAE EAC ∠=∠+∠=︒根据题意，得五边形ABCFE 内角和为：()52180540=-⨯︒=︒，且ABC FCB∠=∠∴540542BAE E F ABC FCB ︒-∠-∠-∠∠=∠==︒∴725418ACB DAC ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒故答案为：18．【点睛】本题考查了正多边形、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形外角和、正多边形内角和的性质，从而完成求解．【26题答案】【答案】27条【解析】【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数．【详解】由题意得：（n-2）×180=1260，解得：n=9，从这个多边形的对角线条数：962⨯=27，故答案为27条．【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，关键是掌握多边形的内角和公式180（n-2）．三、解答题【27题答案】【答案】（1）5；（2）10；（3）10.【解析】【详解】试题分析：（1）把n =5代入32n n -（）即可求得五边形的对角线的条数；（2）根据题意得32n n -（）=35求得n 值即可；（3）1132n n ++-（）（）﹣32n n -（）=9，求得n 的值即可．试题解析：解：（1）当n =5时，32n n -（）=522⨯=5．故答案为5．（2）32n n -（）=35，整理得：n 2﹣3n ﹣70=0，解得：n =10或n =﹣7（舍去），所以边数n =10．（3）根据题意得：1132n n ++-（）（）﹣32n n -（）=9，解得：n =10．所以边数n =10．【28题答案】【答案】（1）14（2）该正多边形的边数为9，一个外角的度数是40︒【解析】【分析】（1）n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，结合已知条件，列出关于n 的一元一次方程，即可求解；（2）正n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，外角和为360︒，则()21803601620n -⋅︒+︒=︒，解方程即可．【小问1详解】解：n 边形内角和为()2180n -⋅︒，四边形的内角和为360°，由题意得，()121803603603n -⋅︒-︒=︒，解得14n =，即n 的值为14；【小问2详解】解：正n 边形的内角和为()2180n -⋅︒，所有外角都相等且外角和为360︒，由题意得，()21803601620n -⋅︒+︒=︒，解得9n =，360940︒÷=︒，即该正多边形的边数为9，一个外角的度数是40︒．【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握n 边形内角和为()2180n -⋅︒，外角和为360︒．【29题答案】【答案】（1）1，2；（2）3，4；（3）2n -（4）8【解析】【分析】（1）根据对角线的定义，可得答案；（2）n 边形中过一个顶点的所有对角线有(3)n -条，把这个多边形分成(2)n -个三角形，根据这一点即可解答；（3）n 边形中过一个顶点的所有对角线有(3)n -条，把这个多边形分成(2)n -个三角形，根据这一点即可解答；（4）n 边形中过一个顶点的所有对角线有(3)n -条，把这个多边形分成(2)n -个三角形，根据这一点即可解答．【小问1详解】解：如下图：经过A 点可以做1条对角线，它把四边形ABCD 分为2个三角形，。

4.1 多边形的内角和课件(共30张PPT)+一等奖创新教案

4.1 多边形的内角和课件（共30张PPT）+一等奖创新教案6.4.1 多边形的内角和北师版八年级下册新知导入请同学们回忆一下，三角形的内角和是多少度三角形内角和是180°.还记得我们是怎么验证这一结论的吗？新知导入方法一：通过具体的测量，可知三角形的内角和为180°.拼法一拼法二方法二：剪拼法.新知讲解（1）上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？新知讲解想一想：任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？ABCD如图，连接AC，四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.新知讲解（2）你能按照上面的方法求出五边形的内角和吗？五边形的内角和为180°×3 = 540°你还有别的方法吗？新知讲解在五边形内任取一点，则五边形的内角和为：5×180°-360°=540°.五边形的内角和你还有别的方法吗？新知讲解如图所示，在五边形外任取一点，则五边形的内角和为：4×180°-180°=540°五边形的内角和新知讲解想一想：六边形能分成多少个三角形？n 边形呢？你能确定n 边形的内角和吗？（n 是大于或等于3 的自然数）新知讲解多边形的边数图形从一个顶点引出的对角线条数分割出的三角形的个数多边形的内角和3456…………………………n(n-2)×180°4×180°2×180°3×180°1×180°1122334n－3n－2你能将下表补充完整吗？新知讲解总结归纳多边形的内角和：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n -3)条对角线，它们将n边形分为（n - 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n -2).新知讲解【做一做】1.一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是( )A.4B.5C.6D.72.一个多边形的内角和为1440°，则它是_边形.C十新知讲解多边形内角和的三点注意(1)多边形的内角和是指n个内角的度数之和.(2)多边形的内角和为(n-2)·180°，且内角和为180°的整数倍.(3)由多边形的边数可以求出其内角和，由多边形的内角和也可以求出多边形的边数.【拓展提高】新知讲解【例1】如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C=180°.∠B 与∠D有怎样的关系解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝(4－2)×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°.如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.新知讲解【想一想】正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？正三角形的内角为=60°.正四边形的内角为=90°.正五边形的内角为=108°.正六边形的内角为=120°.正八边形的内角为=135°.正n边形的每个内角的度数为新知讲解【做一做】小彬求出一个正多边形的一个内角为145°. 他的计算正确吗？如果正确，他求的是正几边形的内角？如果不正确，请说明理由.解：不正确．理由：假设是正n边形，由多边形的内角和定理，得(n－2)×180°＝n×145°，解得n＝，不是整数，所以不正确．新知讲解【议一议】剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角这个多边形的内角和是多少度新知讲解剪的位置不同，剩下的多边形的形状也不同，多边形的内角和也不同，需分类讨论.①纸片剩下5个角时，得到的五边形的内角和为(5-2)×180°=540°.②纸片剩下4个角时，得到的四边形的内角和为(4-2)×180°=360°.③纸片剩下3个角时，得到的三角形的内角和为180°.【议一议】剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角这个多边形的内角和是多少度课堂练习D1.已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是( )A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形2.如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )A.①②B.①③C.②④D.③④课堂练习B3.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是( )A.27B.35C.44D.56课堂练习C课堂练习4.已知一个五边形的五个内角的度数的比是13∶11∶9∶7∶5，求这五个内角中的最大角和最小角.解：设这五个内角的度数分别为13x°，11x°，9x°，7x°，5x°.∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°，∴13x+11x+9x+7x+5x=540.解得x=12.∴最大角为13x°=156°，最小角为5x°=60°.拓展提高解：如图，连接BE.∵∠COD＝∠BOE，∴∠OBE＋∠OEB＝∠C＋∠D.∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠FED＋∠F＝∠A＋∠ABC＋∠OBE＋∠OEB＋∠FED＋∠F＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝360°.5.如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．6.【中考·铜仁】如图为长方形ABCD，一条直线将该长方形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a＋b不可能是( )A.360°B.540°C.630°D.720°中考链接C7.【中考·广安】如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE 相交于点F，则∠AFE＝________度．中考链接72课堂总结本节课你学到了什么？1.n边形的内角和等于(n-2)·180°.2.正n边形的每个内角的度数为3.四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.板书设计课题：6.4.1 多边形的内角和教师板演区学生展示区一、多边形的内角和二、正多边形的内角和三、例题讲解作业布置课本P155 练习题https：///help/help_extract.php北师版八年级下册数学6.4.1 多边形的内角和教学设计课题 6.4.1 多边形的内角和单元第六单元学科数学年级八学习目标1.掌握多边形内角和定理,进一步了解转化的数学思想.2.掌握多边形的外角和都等于360°.3.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关问题.4.经历质疑、猜想、归纳等活动,发展学生的合情推理能力,积累数学活动的经验,在探索中学会与人合作,学会交流自己的思想和方法.重点多边形内角和、外角和定理的探索和应用.难点多边形内角和公式的推导;转化的数学思想方法的渗透.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课请同学们回忆一下，三角形的内角和是多少度三角形内角和是180°.还记得我们是怎么验证这一结论的吗？方法一：通过具体的测量，可知三角形的内角和为180°.方法二：剪拼法.拼法一拼法二学生复习回忆三角形的内角和。

4.1.2 多边形的性质浙教版数学八年级下册同步练习(含解析)

第4章平行四边形4.1多边形第2课时多边形的性质基础过关全练知识点1多边形的内角和1.【新素材·警示牌】(2022山东临沂中考)某一水塘边的警示牌的牌面是五边形,则这个五边形的内角和是()A.900°B.720°C.540°D.360°2.(2022浙江湖州长兴、安吉期末)如果一个多边形的内角和为1 800°,则这个多边形的边数是()A.6B.8C.10D.123.已知一个多边形的内角和是四边形的内角和的3倍,则这个多边形是边形.知识点2多边形的外角和4.一个多边形的其中一个外角为36°,若这个多边形的各个内角相等,则这个多边形的边数是()A.8B.9C.10D.115.(2022浙江杭州西湖期末)一个六边形的外角和为.能力提升全练6.【新考法】(2022河北中考,5,)如图,将三角形纸片剪掉一角得四边形,设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α,β,则正确的是()A.α-β=0B.α-β<0C.α-β>0D.无法比较α与β的大小7.(2022浙江宁波北仑期末,13,)若n边形的外角和等于内角和,则边数n=.8.一个多边形的内角和是四边形的内角和的2倍,并且这个多边形的各个内角都相等,这个多边形每个外角的度数是.9.一个多边形的内角和比它的外角和多540°,这个多边形可连多少条对角线?10.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=80°,∠C=75°,∠ADE为四边形ABCD的一个外角,且∠ADE=125°,试求出∠B的度数.素养探究全练11.【运算能力】【新独家原创】定义:各边相等,各内角相等的多边形为正多边形,边数为3的是正三角形,边数为4的是正方形,边数为5的是正五边形,边数为6的是正六边形,……,边数为n的是正n边形.如图,淇淇从点A出发,前进10米后向右转20°,再前进10米后又向右转20°,这样一直下去,直到她第一次回到出发点A为止,她所走的路径构成了一个多边形.(1)淇淇一共走了多少米?说明理由.(2)求这个多边形的内角和.答案全解全析基础过关全练1.C180°×(5-2)=540°.2.D设这个多边形的边数是n,则(n-2)×180°=1 800°,解得n=12.3.8解析因为四边形的内角和为360°,一个多边形的内角和是四边形的内角和的3倍,所以这个多边形的内角和为1 080°,设这个多边形的边数为n,则180(n-2)=1 080,解得n=8.4.C因为多边形的外角和是360°,这个多边形的其中一个外角为36°,所以这个多边形的边数是360÷36=10.5.360°解析根据任何多边形的外角和都是360°,可知六边形的外角和是360°.能力提升全练6.A因为多边形的外角和为360°,所以△ABC与四边形BCDE的外角和的度数都为360°,即α=β,所以α-β=0.7.4解析因为多边形的外角和为360°,n边形的外角和等于内角和,所以180(n-2)=360,解得n=4.8.60°解析设这个多边形的边数为n,则有(n-2)·180°=360°×2,解得n=6.∵这个多边形的每个内角都相等,∴它的每个外角也都相等,∴它的每个外角的度数为360°÷6=60°.9.解析设这个多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)×180°=360°+540°,=14条对角线.解得n=7,则7边形可连7×(7−3)210.解析∵∠ADE=125°,∴∠ADC=55°,∵∠A=80°,∠C=75°,∴∠B=360°-∠A-∠C-∠ADC=360°-80°-75°-55°=150°.素养探究全练11.解析(1)∵所经过的路线正好构成一个外角是20°的正多边形, ∴360÷20=18,18×10=180(米).答:淇淇一共走了180米.(2)根据题意,得(18-2)×180°=2 880°.答:这个多边形的内角和是2 880°.。

4.1 多边形（详细解析考点分析名师点评）

多边形答案与评分标准一、选择题（共20小题）1、下列命题中，假命题的个数有（）（1）无限小数是无理数；（2）式子是二次根式；（3）三点确定一条直线；（4）多边形的边数越多，内角和越大．A、1个B、2个C、3个D、4个考点：二次根式的定义；无理数；直线的性质：两点确定一条直线；多边形；命题与定理。

专题：证明题。

分析：（1）根据无理数的定义判断；（2）根据二次根式的定义判断；（3）根据直线的性质公理判断；（4）根据多边形的内角和定理判断．解答：解：①无限不循环小数叫做无理数．如是无限小数，但它是有理数．故是假命题；②一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．如无意义，它不是二次根式．故是假命题；③由直线的性质公理：经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线可知，当三点不在同一直线上时，经过这三点不能画直线．故是假命题；④由n边形的内角和定理可知，边数每增加1，内角和增加180°，所以多边形的边数越多，内角和越大．故是真命题．综上，可知假命题一共有3个．故选C．点评：本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质、定理等．对于错误的命题，可以举反例．2、如图所示，凸四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于0点．若三角形AOD的面积是2，三角形COD的面积是1，三角形COB的面积是4，则四边形ABCD的面积是（）A、16B、15C、14D、133、如图，利用四边形的不稳定性改变矩形ABCD的形状得到▱A1BCD1，若▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积一半，则∠A1BC=（）A、15°B、30°C、45°D、60°考点：三角形的稳定性；多边形。

分析：由“▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积一半”可得，▱A1BCD1中A1D1与BC之间的高为A1B的一半，即∠A1BC=30°．解答：解：∵▱A1BCD1的面积是矩形ABCD面积一半，∴▱A1BCD1中A1D1与BC之间的高为A1B的一半，即A1E=AB=A1B，∴∠A1BC=30°．故选B．点评：此题实质考查了矩形和平行四边形的面积的求法和直角三角形的性质．4、如图所示，具有稳定性的有（）A、只有（1），（2）B、只有（3），（4）C、只有（2），（3）D、（1），（2），（3）考点：三角形的稳定性；多边形。

浙教版八年级下测试题4.1 第2课时多边形的内角和

第2课时多边形的内角和1．[2013·宁波]一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为(A)A．5B．6C．7 D．82．[2013·烟台]一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为(D) A．5 B．5或6C．5或7 D．5或6或7【解析】设内角和为720°的多边形的边数是n，则(n－2)·180＝720，解得n ＝6，则原多边形的边数为5或6或7.3．[2013·泰安]如图4－1－4，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于(B)图4－1－4A．90°B．180°C．210°D．270°【解析】∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B的邻补角＋∠C的邻补角＝180°.根据多边形的外角和定理，∠1＋∠2＋∠3＋∠B的邻补角＋∠C的邻补角＝360°，∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－180°＝180°.4．[2013·娄底]一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为__6__．5．已知一个多边形的每个外角都相等，且每个外角比与它相邻的内角小100°，求这个多边形的边数．解：设这个多边形的边数为n，则360°n＝（n－2）×180°n－100°，解得n＝9.答：这个多边形的边数为9.6．在一个多边形的内角中，锐角不能多于(B) A．2个B．3个C．4个D．6个【解析】内角是锐角，则外角是钝角，而外角和为360°，故外角是钝角的最多有3个，则内角是锐角的最多有3个．选B.7．凸n边形的对角线的条数记作a n(n≥4)，例如：a4＝2，那么：①a5＝__5__；②a6－a5＝__4__；③a n＋1－a n＝__n－1__(n≥4，用含n的代数式表示)．8．如图4－1－5，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．图4－1－5解：如图，连结AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.第8题答图又∵∠C ＝120°，∴∠BAD ＋∠ADC ＝150°. ∵CD ∥AF ，∴∠CDA ＝∠DAF .又∵∠CDE ＝∠BAF ，∴∠EDA ＝∠BAD . 在四边形ADEF 中，∠DAF ＋∠EDA ＋∠F ＋∠E ＝360°， ∴∠F ＋∠E ＝360°(∠ADC ＋∠BAD )＝210°. 又∵∠E ＝80°，∴∠F ＝130°.9. (1)如图4－1－6(1)，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G 的度数． (2)如图4－1－6(2)，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的度数．(1) (2)图4－1－6解：(1)在四边形BCDM 中，∠C ＋∠B ＋∠D ＋∠2＝360°，在四边形MEFN 中，∠1＋∠3＋∠E ＋∠F ＝360°. ∵∠1＝∠A ＋∠G ，∠2＋∠3＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝360°＋360°－180°＝540°. (2)∵∠7＝∠1＋∠5，∠8＝∠4＋∠6，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝∠2＋∠3＋∠7＋∠8＝360°.。

浙教版八年级数学下册4.1 多边形提高练习题(解析版)

多边形提高练习题一、选择题1．(2019秋﹒莱山区期末）若正多边形的一个外角是45°,则该正多边形从一个顶点出发的对角线的条数为（）A．4B．5C．6D．82．(2020﹒百色模拟）如果一个多边形的内角和比外角和多180°,那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．下列图形中，是正多边形的是( )A．三条边都相等的三角形B．四个角都是直角的四边形C．四边都相等的四边形D．六条边都相等的六边形4．（2018•莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（）A.27B.35C.44D.545．一个多边形的内角和与外角和之和为2520°，这个多边形的边数为 ( )A．12 B．13 C．14 D．156．如图所示，已知长方形ABCD ，一条直线将该长方形ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为M 和N ，则M+N 不可能是 ( )A ．360°B ．540°C ．720°D ．630°7．两本书按如图所示方式叠放在一起，则图中相等的角是 ( )A ．∠1与∠2B ．∠2与∠3C ．∠1与∠3D ．三个内角都相等8.从一个n 边形中除去一个角后，其余)1( n 个内角和是2580°，则原多边形的边数是（）.A.15B.17C.19D.13二、填空题9．从n 边形的一个顶点出发可作________条对角线，从n 边形n 个顶点出发可作________条对角线，除去重复作的对角线，则n 边形的对角线总数为________条．10．在有对角线的多边形中，边数最少的是________边形，它共有________条对角线．11．（2019•扬州）若多边形的每一个内角均为135°，则这个多边形的边数为．12．一个多边形的内角和为5040°，则这个多边形是____边形，共有_____条对角线．13. 将一个宽度相等且足够长的纸条打一个结，如图(1)，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图(2)所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC＝________．三、解答题14． (2019秋﹒浦北县期末）如图，五边形ABCDE中,AE∥CD,∠A＝100°,∠B＝120°．（1）求∠C的度数；（2）直接写出五边形ABCDE的外角和．15．(2019秋﹒永城市期末)(1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC,且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D，若∠ABC＝75°,∠ACB＝45°,求∠D的度数．（2）如图2，在四边形MNCB中，BD平分∠MBC,且与四边形MNCB的外角∠NCE的角平分线交于点D，若∠BMN＝130°,∠CNM＝100°,求∠D的度数．附加题：1.我们知道等腰三角形的两个底角相等，如下面每个图中的△ABC中AB、BC是两腰，所以∠BAC＝∠BC A．利用这条性质，解决下面的问题：已知下面的正多边形中，相邻四个顶点连接的对角线交于点O它们所夹的锐角为a．如图：正五边形α＝；正六边形α＝；正八边α＝；当正多边形的边数是n时，α＝．2.(2019秋﹒长白县期末）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．（1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数；（2）若对图（1）中星形截去一个角，如图(2),请你求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数；（3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程）【答案与解析】一、选择题1. 【答案】B ；2. 【答案】B ；3. 【答案】A ；【解析】正多边形：各边都相等，各角都相等4. 【答案】C ；【解析】解：设这个内角度数为x ，边数为n ，∴（n ﹣2）×180°﹣x=1510，180n=1870+x ，∵n 为正整数，∴n=11，∴=44，故选：C ．5. 【答案】C ；【解析】由180(2)3602520n -+=，解得：14n =6. 【答案】D ；【解析】当多边形的边数增加1时，内角和增加180°，外角和不变7. 【答案】B ；8. 【答案】B. 【解析】设除去的内角为α，则α+=⋅-οο2580180)2(n ，即21802580++=οοαn ，又∵n 为整数，∴ο120=α，1721801202580=++=οοοn .二、填空题9.【答案】n-3 n(n-3)(3)2n n -； 10.【答案】四， 2;11．【答案】8；【解析】解：∵所有内角都是135°，∴每一个外角的度数是180°﹣135°=45°，∵多边形的外角和为360°，∴360°÷45°=8，即这个多边形是八边形．故答案为：8．12.【答案】三十，405；13.【答案】36°.【解析】因为正五边形的每个内角是108°，边长相等，所以∠BAC=（180°-108°）÷2=36°．三、解答题14.【分析】（1）根据平行线的性质可得∠D ＋∠E ＝180°,再根据多边形内角和定理即可求解；（2）根据多边形外角和定理可得．【解答】解：（1）∵AE ∥CD ,∴∠D ＋∠E ＝180°,∵五边形ABCDE 中，∠A ＝100°,∠B ＝120°,∴∠C ＝540°－180°－100°－120°＝140°．（2）五边形ABCDE 的外角和是360°．【点评】本题主要考查了多边形内角和定理和外角和定理，解题的关键是利用平行线的性质得到∠D ＋∠E ＝180°．15.【解析】【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角．多边形的内角和∵∠BMN ＝∠ANM ＋∠A ,∠CNM ＝∠AMN ＋∠A ,∴∠A ＝∠BMN ＋∠CNM －180°＝50°,由（1）知∠D ＝12∠A ＝25°．【点评】此题考查三角形内角和定理以及角平分线性质的综合运用，解此题的关键是求出∠A ＝2∠D ．附加题：1.【解析】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝AE，∠ABC＝∠BAE＝108°，∴∠BEA＝∠ACB＝＝36°，∴∠CAE＝108°﹣36°＝72°，∴α5＝180°﹣∠EAO﹣∠AOE＝72°；同理：α6＝60°，α8＝45°，当正多边形的边数是n时，α＝．2. 【解析】解：（1）∵∠1＝∠2＋∠D＝∠B＋∠E＋∠D,∠1＋∠A＋∠C＝180°,∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°;(2))∵∠1＝∠2＋∠F＝∠B＋∠E＋∠F,∠1＋∠A＋∠C＋∠D＝360°,∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°;（3）根据图中可得出规律∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°,每截去一个角则会增加180度，所以当截去5个角时增加了180×5度，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝180×5＋180＝1080°．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解．。

2021年浙教版数学八年级下册4.1《多边形》精选练习 (含答案)

浙教版数学八年级下册4.1《多边形》精选练习一、选择题1.下列各图中,是凸多边形的是( )A． B． C． D．2.如图，在正五边形ABCDE中，连结BE，则∠ABE的度数为( )A.30°B.36°C.54°D.72°3.如图,小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分(虚线部分),得到了一个新多边形.若新多边形的内角和为540°,则对应的图形是( )A. B. C. D.4.从六边形的一个顶点出发,可以画出m条对角线,它们将六边形分成n个三角形,则m,n的值分别为( )A.4,3B.3,3C.3,4D.4,45.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是( )A.六边形B.五边形C.四边形D. 三角形6.正十边形的每一个外角的度数为( )A.36°B.30°C.144°D.150°7.下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”(图1)和梅花图案(图2)(图中的折扇无重叠)，则梅花图案中的五角星的五个锐角均为( )A.36°B.42°C.45°D.48°8.已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是( )A.8B.9C.10D.129.如果一个多边形的内角和等于2160°，那么这个多边形的边数是( )A.14B.13C.12D.1110.如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1大小是( )A.8°B.15°C.18°D.28°11.下列命题为真命题的是( )A.直角三角形的两个锐角互余B.任意多边形的内角和为360°C.任意三角形的外角中最多有一个钝角D.一个三角形中最多有一个锐角12.如图，4×4的方格中每个小正方形边长都是1，则S四边形ABCD与S四边形ECDF大小关系是( )A.S四边形ABDC=S四边形ECDFB.S四边形ABDC＜S四边形ECDFC.S四边形ABDC=S四边形ECDF+1D.S四边形ABDC=S四边形ECDF+2二、填空题13.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是 .14.如图，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠E，点F在AB的延长线上，则∠CBF的度数是 .15.如果一个多边形的边数是12，那么这个多边形的外角和为________16.一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N分别在射线OA、OC上，则∠MON________度.17.若多边形的内角和是外角和的2倍，则该多边形是_____边形.18.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于_______度.三、解答题19.已知两个多边形的内角和为1440°，且两多边形的边数比为1：3，求这两个多边形的边数.20.观察下面图形,并回答问题.(1)四边形有条对角线;五边形有条对角线;六边形有条对角线.(2)根据规律七边形有条对角线,n边形有条对角线.(3)为丰富学生的课余生活,合肥市第一中学8个班级之间举行篮球赛活动,如果采取单循环比赛(每两个班级之间只进行一场比赛),则篮球赛共需赛多少场?21.如图，点M是△ABC两个内角平分线的交点，点N是△ABC两个外角平分线的交点，如果∠CMB；∠CNB=3∶2.求∠CAB的度数.22.如图，已知四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交CD于E，∠BCD的平分线CF交AB于F，BE、CF相交于O，∠A=124°，∠D=100°.求∠BOF的度数.23.已知从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成三角形的个数恰好等于该多边形所有对角线的条数，求此多边形的内角和.24.平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.(1)如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B=∠BOD，又因为∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD＋∠D.得∠BPD=∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在如图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？(不需证明)；(3)根据(2)的结论求如图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数.参考答案1.答案为：D2.答案为：D3.答案为：C4.答案为：C5.答案为：A.6.答案为：A7.答案为：D8.答案为：A9.答案为：A10.答案为：C11.答案为：A12.答案为：A.13.答案为：10.14.答案为：72°.15.答案为：360°.16.答案为：8017.答案为：六.18.答案为：30.19.解：设两个多边形的边数分别是x和3x，则(x﹣2)•180+(3x﹣2)•180=1440，解之，得x=3，3x=9.则两个多边形的边数分别为3和9.20.解：2，5，9；14；(3)当n=8时,=20(场),答:篮球赛共需赛20场.21.答案为：36°.22.答案为：68°23.解：设多边形为n边形，由题意，得n﹣2=，整理得：n2﹣5n+4=0，即(n﹣1)(n﹣4)=0，解得：n1=4，n2=1(不合题意舍去)，所以内角和为(4﹣2)×180°=360°.24.解：(1)不成立，结论是∠BPD=∠B＋∠D.证明：延长BP交CD于点E，∵AB∥CD，∴∠B=∠BED，又∵∠BPD=∠BED＋∠D，∴∠BPD=∠B＋∠D(2)∠BPD=∠BQD＋∠B＋∠D(3)由(2)的结论得：∠AGB=∠A＋∠B＋∠E且∠AGB=∠CGD，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=180°.。

初中数学教案：多边形的性质与应用

初中数学教案：多边形的性质与应用一、多边形的定义与性质多边形是几个线段相连而成的图形，每条线段称为边，边相交的点称为顶点。

在初中数学教学中，了解多边形的性质以及应用是非常重要的。

1.1 多边形的分类根据边的个数，多边形可分为三类：三角形、四边形和五边以上的多边形。

每类多边形又可以进一步细分。

1.2 多边形的性质（1）内角和公式：任意n边多边形的内角和等于180°×(n-2)。

（2）外角和公式：任意n边多边形的外角和等于360°。

（3）对角线数公式：一个n边凸多边形中，对角线总数D=n (n−3)/2。

（4）对称性：正多边形具有旋转对称和轴对称两种对称性。

二、矩形与平行四边形2.1 矩形矩形是一种特殊类型的四边形，其相邻两条边互相垂直，并且所有内角都是直角。

矩形具有以下性质：（1）对角线相等；（2）周长P = 2(a+b)，其中a和b是矩形的两条邻边；（3）面积S = a × b，其中a和b分别是矩形的两条邻边。

2.2 平行四边形平行四边形是一种没有垂直边的四边形。

它具有以下性质：（1）对角线互相平分；（2）相邻内角互补；（3）周长P = 2(a+b)，其中a和b是平行四边形的两条邻边；（4）面积S = b × h，其中b为底边长，h为高。

三、正多边形与全等多边形3.1 正多边形正多边形是指所有的内角都相等且所有的边长也相等的多边形。

正多边形具有以下性质：（1）内角和公式：一个n边正多边形的内角和等于180°×(n-2)。

（2）外角公式：一个n变正多边形的外角等于360°/n。

（3）中心对称性：正多边形具有中心对称性。

3.2 全等多边形全等多边形具有完全相同的大小和结构。

当两个多变型的对应顶点之间存在一对一对齐时，我们可以判断它们是全等多边形。

全等多边形的性质如下：（1）对应边长相等；（2）对应内角相等。

四、几何原理在实际中的应用4.1 地图与方向地图上常使用矩形标记建筑物和场地，通过了解矩形的特性，我们可以计算建筑物及场地的周长和面积。

浙教版八年级下册 4.1 多边形课件(共15张PPT)

拓展
2015年，三位数学家发现第15种不规则五边形，可以在相互不重叠的情况下实现完美无缝拼接。研究团队表示，这一发现无异于发现一种新型粒子。
∴ ∠B+∠BAC+ ∠BCA+ ∠D+∠DCA+ ∠CAD =180 °+ 180° = 360°
即∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360 °
A
D
B
C
转化思想
性质
A
D
B
C
A
D
A
D
B
C
A
D
A
D
B
C
A
D
A
D
B
C
A
D
B
CB
CB
CB
C
应用
例如图，四边形风筝的四个内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比为1∶1∶0.6∶1。求它的四个内角的度数．
设A x度，
∵A B C D 360
A
（四边形的内角和等于360˚）
B
D
A、B、C、D的度数之比为 1:1: 0.6 :1，
则x x 0.6x x 360 0
解得：x 100
A B D 1000,
C
C 1000 0.6 600
巩固
1.已知四边形ABCD中， ∠A＝80 °, ∠B＝60°, ∠C=70°则∠D=__1_5_0_°.
你能找到哪些几何图形？
浙
八教
下版
多边形
第义
四务章教第育
一教
节科
书
回忆
我们已经学习过哪种多边形的知识？
三角形
C
边

4.1多边形(1)+(2)浙教版

D
请完成下表
多边形的边数
3
4
5
3
6
4
7
5
…
n
分成的三角形个数
1
2
…
n-2
多边形的 180° 180° 180° 180° 180° … (n-2) ×180° ×2 ×3 ×4 ×5 内角和
结论：n边形的内角和等于(n－2) · 180°
例1：求八边形的内角和的度数。
解：（n－2）×180° ＝（8－2）×180° ＝1080°
A 1 2 E B D C
六边形
多边形的定义
三角形
长方形
四边形
六边形
你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗？在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。
了解一下
顶点
可表示为：五边形ABCDE或五边形DCBAE
A 内角 E
B
边
D C 对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
(n-2) · 180=3×360
解得：n=8 答：它是8边形
例3：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36°求这个多边形的边数。解：设一个外角为x°，则内角为（x＋36）° 根据题意得： x+x+36＝180 x＝72 360÷72＝5 答：这个正多边形为正五边形。
三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo,且x>y>0,则该三角形有一个内角为（ C ） A、30O B、45O C、60O D、90O
浙教版初中数学八年级(上)
4.1 多边形及其内角和
小片叔叔精品课件
观察下列图案

浙教版初中数学八年级下册《4.1 多边形》同步练习卷

浙教新版八年级下学期《4.1 多边形》同步练习卷一．填空题（共1小题）1．若一个多边形的对角线条数为9，则这个多边形的边数为．二．解答题（共49小题）2．将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上，并且以S1，S2，…，S8分别表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8组相邻的三个顶点上的数字之和．（1）试给出一个填法，使得S1，S2，…，S8都大于或等于12；（2）请证明任何填法均不可能使得S1，S2，…，S8都大于或等于13．3．在凸四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＞0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数．4．某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z．求的值．5．某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来排列，设这三种正多边形的边数分别为x，y，z，求的值．6．A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法．7．已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求的值．8．实践与探索！①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外个顶点连线可以把n边形分成个三角形（用含n的代数式表示）．④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．9．已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16 cm．试确定另一条对角线的所有可能的长度．10．平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．11．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150°？并说明理由．12．（1）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有个．（用含n的代数式表示）（2）若在如图4所示的n边形中，P是A1A n边上的点，分别连接P A2、P A3、P A4…P A n﹣1，得到n﹣1个互不重叠的三角形．你能否根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式并说明你的理由；（3）反之，若在四边形内部有n个不同的点，按照（1）中的方法可得k个互不重叠的三角形，试探究n与k的关系．13．一个凸n边形，除一个内角外，其余n﹣1个内角的和为2009°，求n边形的边数．14．证明：五边形内角和等于540°．15．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ACB，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）16．一个凸n边形，除了一个内角外，其余（n﹣1）个内角的和是2000°，求n 的值．17．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝？18．师傅让徒弟加工一个周长为80cm的多边形工件，要求每个内角都相等，它与相邻外角的比为3：1，求这个多边形的内角和边长．19．某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．（1）如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有．（填序号）①正方形②正五边形③正六边形④正八边形⑤任意三角形⑥任意四边形（2）如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行的方案？（3）如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，有几种可行的方案？20．现有大小、形状完全相同且足够多的四边形大理石下脚料，能用这些大理石铺设地面吗？请用所学的数学知识说明理由．21．如图是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成．请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖和镖形砖的内角各是多少度？22．一个凸11边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸11边形各个内角的大小，并画出这样的凸11边形的草图．23．怎样以三角形为基础展铺平面图案．24．怎样以正多边形为基本图形展铺平面图案？25．试用三角形和梯形这两种多边形拼展平面图案．26．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案，所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分制方案．所以，此类共有P4种分制方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5＝P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝×P6，共有种不同的分割方案．【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的关系式，不写解答过程）．的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）27．分别画出下列各多边形的对角线，并观察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．28．在凸多边形中，四边形的对角线有两条，五边形的对角线有5条，经过观察、探索、归纳，你认为凸九边形的对角线为多少？简单扼要地写出你的思考过程．29．小张升入高中，开学第一天，老师让班级的同学每两个人相互握手，结成好朋友，其中发现所有的同学一共握手820次．我们可以通过这个数据求出班级里的学生人数，设班级共有学生n人，则每一个学生需握手n﹣1次，这样n个学生就握了n（n﹣1）次手，而每两人之间的握手被重复计算了一次，所以可得，这样就可以解出n了．你看明白了没有？（1）请你运用上述方法，探索8边形对角线的条数．并写出你的思路；（2）请你用题目所给方法得出n边形对角线的条数的公式．30．在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为600°．（1）如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；（2）是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由．31．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE平分∠ADC交AB边于点E，BF平分∠ABC交DC边于点F．求证：DE∥BF．32．已知：四边形ABCD如图所示．（1）填空∠A+∠B+∠C+∠D＝°（2）请用两种方法证明你的结论．33．如图：小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30度，再沿直线前进10米，又向左转30度，﹣﹣﹣﹣﹣照这样走下去，他第一次回到出发点A 点时，一共走了多少米？34．（1）解不等式组：（2）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD交DB的延长线于点F，交DE的延长线于点G．求∠G的度数．35．若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线．已知在四边形ABCD中，AB＝AD＝BC，∠BAD ＝90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．（注：已画四边形ABCD的部分图，请你补充完整，再求解）36．若∠A与∠B的两边分别垂直，请判断这两个角的等量关系．（1）如图1，∠A与∠B的等量关系是；如图2，∠A与∠B的等量关系是；对于上面两种情况，请用文字语言叙述：．（2）请选择图1或图2其中的一种进行证明．37．《天天伴我学数学》一道作业题．如图1：请你想办法求出五角星中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值．由于刚涉及到几何证明，很多学生不知道如何求出其结果．下面是习题讲解时，老师和学生对话的情景：老师向学生抛出问题：①观察图象，各个角的度数能分别求出他们的度数吗，能的话怎么求，不能的话怎么办？学生通过观察回答：很明显每个角都不规则，求不出各个角的度数．有个学生小声的说了句：要是能把这五个角放到一块就好了？老师回答：有想法，就去试试看．很快就有学生发现利用三角形外角性质将∠C和∠E；∠B和∠D分别用外角∠1和∠2表示．于是得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠1+∠2＝180°．根据以上信息，亲爱的同学们，你能求出图2中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值吗？请给予证明．38．（1）填表：（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n 之间有怎样的关系？（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．39．小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．（1）求MA的长度；（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）40．某校研究性学习小组研究平面密铺的问题，其中在探究用两种边长相等的正多边形做平面密铺的情形时用了以下方法：用2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形可以拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形，如图（1）、（2）（3）．请你仿照此方法解决下面问题：（1）研究用边长相等的x个正三角形和y个正方形进行平面密铺的情形，求出x和y的值（2）按图（4）中给出两个边长相等的正方形和正三角形画出一个密铺后图形的示意图．（画正三角形时必须用尺规作图）41．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．42．为了表示几种三角形之间的关系，画了如图结构图：请你采用适当的方式表示正方形、平行四边形、四边形、菱形、矩形之间的关系．43．为了说明各种三角形之间的关系，小明画了如下知识结构图：请用类似的方法，描述下列概念间的关系：正方形、四边形、矩形、菱形、平行四边形．44．图中字母表示为四边形、平行四边形，矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形从属关系，则字母所代表的图形为：A为，B为，C为，D为，E为，F为，G为，H为．45．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形，若多边形是一个五边形，则可以分成三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成三角形，……，则n边形可以分割成个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2018个三角形，那么此多边形的边数为（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各定点连接起来，则可将n边形分割成三角形．46．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：（1）观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①；②；（2）实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（3）类比归纳乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．47．阅读下列内容，并答题：我们知道计算n边形的对角线条数公式为，如果有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程＝20，去分母得n（n﹣3）＝40；∵n 为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满足积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）＝40的整数n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？48．同学们，你们会用画多边形的对角线来解决生活中的数学问题吗？比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，每个队都要和其他各队比赛一场，根据积分排列名次．问学校一共要安排多少场比赛？我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接（如右图）．现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛．同学们，请用类似的方法来解决下面的问题：姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，请推算出娜娜目前已和哪几个人握了手．49．两条直线相交所形成的四个角中，有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角，如图所示，∠AOD与∠BOD就是一对邻补角．（1）多边形的一个外角与其相邻的内角就是一对邻补角，若某多边形的一个外角的度数为x（度），则与该外角相邻的内角度数可用x的代数式表示为；（2）如果设题（1）中的多边形的边数为x，且该外角的度数与其所有不相邻内角的度数之和为460°，则可列二元一次方程为；（3）若某多边形的一个外角的度数与其所有不相邻内角的度数之和为1900°，求这个外角的度数和此多边形的边数．50．如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．（1）将下面的表格补充完整：（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．浙教新版八年级下学期《4.1 多边形》同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．若一个多边形的对角线条数为9，则这个多边形的边数为6．【分析】根据多边形的对角线公式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，则＝9，整理得n2﹣3n﹣18＝0，解得n1＝6，n2＝﹣3（舍去）．所以这个多边形的边数是6．故答案为：6．【点评】本题考查了多边形的对角线，熟记对角线公式是解题的关键．二．解答题（共49小题）2．将数字1，2，3，4，5，6，7，8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上，并且以S1，S2，…，S8分别表示（A，B，C），（B，C，D），…，（H，A，B）8组相邻的三个顶点上的数字之和．（1）试给出一个填法，使得S1，S2，…，S8都大于或等于12；（2）请证明任何填法均不可能使得S1，S2，…，S8都大于或等于13．【分析】（1）首先确定1的位置，1最小，让它的一个相邻的数是最大的数8，再根据三个相邻的数的和应大于或等于12且各个顶点的数都不相等，进行推断；（2）首先根据八组的数的和是104，正确分析出其中至多有四组的数的和大于13，且每一组的数的和都小于或等于14；然后再进一步用设未知数的方法分析．【解答】解：（1）不难验证，如图所示填法满足．s1，s2，…s8都大于或等于12．（2）显然，每个顶点出现在全部8组3个相邻顶点组的3个组中，所以有s1+S2+…+S8＝（1+2+3+…+8）•3＝108．如果每组三数之和都大于或等于13，因13•8＝104，所以至多有108﹣104＝4个组的三数之和大于13．由此我们可得如下结论：1、相邻两组三数之和一定不相等．设前一组为（i，j，k），后一组为（j，k，l）．若有i+j+k＝j+k+l，则l＝i，这不符合填写要求；2、每组三数之和都小于或等于14．因若有一组三数之和大于或等于15，则至多还有另外两个组，其三数之和大于13，余下5个组三数之和等于13，必有相邻的两组相等，这和上述结论（1）不符．因此，相邻两组三数之和必然为13或14．不妨假定1填在B点上，A点所填为i，C点所填为j．1、若S1＝i+1+J＝13，则s2＝1+j+l＝14，S3＝j+l+k＝13，因J＞1，这是不可能的．2、若s l＝i+1+j＝14，则S2＝1+j+（i﹣1）＝13，S3＝j+（i﹣1）+2：14，s4＝（i﹣1）+2+（j﹣1）＝13，这时S5＝14，只能是S＝2+（j﹣1）+i，i重复出现：所以不可能有使得每组三数之和均大于或等于13的填法．【点评】做此题的时候，注意各个顶点的数字不得重复，且每一组的数的和应大于或等于12进行解答．3．在凸四边形ABCD中，∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＞0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数．【分析】可设∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x，根据四边形内角和等于360°，分四种情况进行讨论，从而求解．【解答】解：设∠A﹣∠B＝∠B﹣∠C＝∠C﹣∠D＝x，则∠C＝∠D+x，∠B＝∠D+2x，∠A＝∠D+3x，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝6x+4∠D＝360°，∴∠D+x＝90°．1、∠D＝84°时，x＝4°，∠A＝96°，∠B＝92°，∠C＝88°；2、∠C＝84°时，2x+4∠C＝360°，x＝12°，∠A＝108°，∠B＝96°，∠D＝72°．3、∠B＝84°时，﹣2x+4∠B＝360°，x＝﹣12°，∠A＝72°，∠C＝96°．∠D＝108°，4、∠A＝84°，﹣6x+4∠A＝360°，x＝﹣4，∠D＝96°，∠C＝92°，∠B＝88°．【点评】本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和等于360°，由于四个内角中有一个角为84°，不确定，故应该分类讨论．4．某单位的地板有三种边长相等的正多边形铺设，一个顶点处每种多边形只用一个，设这三种正多边形的边数分别是x，y，z．求的值．【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°．【解答】解：由题意可知：++＝360°，∴1﹣+1﹣+1﹣＝2，∴++＝．【点评】此题主要考查了平面镶嵌，解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和等于一个周角．5．某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来排列，设这三种正多边形的边数分别为x，y，z，求的值．【分析】这三种正多边形一个顶点处三个内角的度数之和正好等于360°．【解答】解：由题意可知：，∴，∴．【点评】解决本题的关键是理解多个多边形镶嵌的条件是：一个顶点处的内角和等于一个周角．6．A、B、C三人做掷石子的游戏，每人投5个石子，结果如图所示，这个游戏是以石子散落的距离小者为优胜，为确定谁是优胜者，试给出五种判别方法．【分析】根据游戏要求，以石子散落的距离小者为优胜，制定游戏规则．【解答】解：答案不唯一，如：（1）含5点且以某些点为顶点的凸多边形面积；（2）含5点且以某些点为顶点的凸多边形周长；（3）含5点的最小圆半径；（4）从任意一点引向其余各点的长度之和最小者；（5）连接任意两点线段长度中的最小值．【点评】本题考查的是游戏规则的制定，属于开放性试题，只要符合石子散落的距离小的方案均可．7．已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求的值．【分析】n边形的对角线有n•（n﹣3）条，根据正n边形共有n条对角线，列方程即可求得多边形的边数为5．再作正五边形ABCDE，连接AD，根据正五边形的特点求出△ABC≌△AED，△ACD为等腰三角形，作∠ACD的平分线，交AD于F；根据△ACD与△CDF各角的度数可求出△FCD∽△CAD，根据其对应边成比例即可解答．【解答】解：设这个多边形的边数是n．根据题意得：n•（n﹣3）＝n，解得：n＝5．则多边形的边数是5．作正五边形ABCDE，连接AD；∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠ABC＝∠BAE＝＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝＝36°，同理可知，∠AED＝108°，AB＝BC＝AE＝DE，∴△ABC≌△AED，AC＝AD；∵∠BAC＝∠DAE＝36°，∠BAE＝108°，∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，∴∠ACD＝∠ADC＝72°；作∠ACD的平分线，交AD于F，根据题意，∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC ＝72°；∴∠ACF＝∠FCD＝36°，AF＝CF＝CD，∴△FCD∽△CAD，∵正n边形共的周长等于p，所有对角线长的和等于q，∴CD＝，AC＝则＝，即＝，∴＝，＝﹣1，即＝1．故的值为1．【点评】本题考查了多边形的对角线与边的关系和正五边形的性质，解答此题的关键是熟知正五边形的特点，及全等、相似三角形的判定定理及性质，作出辅助线，构造出相应的三角形．8．实践与探索！①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成3个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成4个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外n﹣2个顶点连线可以把n边形分成n﹣1个三角形（用含n的代数式表示）．④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角和公式？请说明你的理由．【分析】①②③在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形；④欲证明多边形的内角和定理，可以把多边形的内角转移到三角形中，利用（n﹣1）个三角形，内角和为（n﹣1）×180°，n边形的内角和还要再减去P 所在的一个平角，所以n边形的内角和为（n﹣2）×180°．【解答】解：①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1＝3个三角形；②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1＝4个三角形；③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n边形分成（n﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）•180°，以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n﹣1）•180°﹣180°＝（n﹣2）•180°．故答案为：3；4；n﹣2，n﹣1．【点评】本题考查了多边形的内角和定理的证明，解题关键是将多边形的内角和。

浙教版数学八年级下册4.1《多边形》说课稿2

浙教版数学八年级下册4.1《多边形》说课稿2一. 教材分析《多边形》是浙教版数学八年级下册第四章的第一节内容。

本节课的主要内容是多边形的定义、分类和性质。

教材通过引入实际生活中的多边形实例，让学生感受多边形的特征，进而引导学生探究多边形的性质。

本节课的内容是学生对平面几何图形认识的重要组成部分，也是学生进一步学习立体几何的基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念，对图形的认识有一定的基础。

但是，多边形作为一个新的概念，学生对其定义和性质还不够了解。

此外，学生的空间想象力有待提高，因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际实例来感受多边形的特征，培养学生的空间想象力。

三. 说教学目标1.知识与技能：理解多边形的定义，掌握多边形的分类和性质。

2.过程与方法：通过观察实际生活中的多边形实例，培养学生的空间想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。

四. 说教学重难点1.重点：多边形的定义、分类和性质。

2.难点：多边形性质的证明和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和黑板进行教学。

六. 说教学过程1.导入：通过展示实际生活中的多边形实例，如自行车轮胎、足球等，引导学生观察和思考多边形的特征。

2.新课导入：介绍多边形的定义，引导学生理解多边形的概念。

3.实例分析：分析不同类型的多边形，如三角形、四边形等，引导学生掌握多边形的分类。

4.性质探究：引导学生通过实际实例和几何画板软件，探究多边形的性质，如对角线的长度、内角和等。

5.小组讨论：让学生分组讨论，分享自己发现的多边形性质，培养学生的团队合作精神。

6.总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出相关的拓展问题，激发学生的学习兴趣。

七. 说板书设计板书设计如下：多边形的定义与性质1.多边形的定义•由三条以上的线段依次首尾相接围成的封闭平面图形。

青岛版四年级上册数学教学课件-多边形的认识

青岛版(五年制)
四年级数学上册
第四单元认识多边形
4.1 多边形的认识
学习目标
1.认识三角形，知道三角形的稳定性。 2.理解三角形高和底的含义，会在三角形内做高。
探索新知
自行车架是三角形的。书架的支架是三角形的。
为什么做成三角形的？
根从据图这中些，信你息知，道你了能哪提些出数什学么信问息题？？
典题精讲
你能画出下面三角形底边上的高吗？
直角三角形
顶点
高
底
探索新知
你能画出下面三角形底边上的高吗？顶点
高底
学以致用
1、你能画出下面三角形底边上的高吗？顶点
学以致用
2.填空。 (1)三角形有（ 3）条边，（ 3）个顶点，（ 3）个角。
(2)由三条线段（围成）的图形叫作三角形。
(3)由三角形的一个顶点到它对边作一条垂线，（顶点）和（垂足）之间的线段叫作三角形的高，这条对边叫作（底）。
易错提醒
画出下面三角形的高
底
错误原因：高必须从顶点出发向对应的底画垂线，该错例没从顶点出发。
易错提醒
画高要从顶点出发。
学以致用
×
×
×
×
×
√
学以致用
2.判断：
1、由三条线段组成的图形叫三角形。（×）
2、三角形只有一条底，一条高。（ ×）
3、三角形的底与它所对应的高互相垂直。（ √ ）
学以致用
探索新知
为什么做成三角形的？
书架、自行车架，篮球架及塔吊上的支架等，为什么设计成三角形的？三角形有什么特点呢？
小组活动要求 1.打开学具袋，用里面的材料拼出我们学过的平面图形。 2.动手拉一拉，看看有什么发现。

浙教版数学八年级下册4.1《多边形》教案1

浙教版数学八年级下册4.1《多边形》教案1一. 教材分析《多边形》是浙教版数学八年级下册第四章第一节的内容。

本节主要让学生了解多边形的概念，性质以及多边形的计算。

通过本节的学习，学生能理解多边形的定义，会计算多边形的边数和角数，为后续学习多边形的面积和周长打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了图形的性质，对图形的认知有一定的基础。

但多边形的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考，逐步理解多边形的概念和性质。

三. 教学目标1.了解多边形的定义，掌握多边形的性质。

2.能计算多边形的边数和角数。

3.培养学生的观察能力、操作能力和思考能力。

四. 教学重难点1.重点：多边形的定义和性质。

2.难点：多边形的边数和角数的计算。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究多边形的性质。

2.运用直观演示法，让学生通过观察、操作，加深对多边形概念的理解。

3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备多媒体课件，展示多边形的图片和动画。

2.准备实物模型，让学生直观感受多边形的形状。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示各种多边形的图片，引导学生观察多边形的特征。

提问：你们认为多边形有什么特点？学生回答后，教师总结多边形的定义。

2.呈现（10分钟）展示多边形的性质，如多边形有边和角，边数和角数的关系等。

引导学生通过观察、操作，验证这些性质。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一个多边形，计算其边数和角数。

教师巡回指导，解答学生的问题。

4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。

题目包括计算多边形的边数和角数，以及判断一个图形是否为多边形。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：如何判断一个图形是几边形？让学生通过观察、操作，总结出判断方法。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固多边形的定义、性质和计算方法。

八年级数学下册第4章平行四边形 4.1 多边形作业设计 (新版)浙教版-(新版)浙教版初中八年级

4.1 多边形（第1课时）A组基础训练1. 四边形ABCD中，∠A=80°，∠B=130°，∠C=60°，则∠D=（）A. 80°B. 120°C. 90°D. 110°2. 四边形中有一组邻角是直角，则另一组邻角（）A．都是钝角 B．都是直角 C．都是锐角 D．互补3. 四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B-∠D=20°，则∠B的度数为（）A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°4. 四边形ABCD中，AD∥BC，那么它的四个内角之比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是（）A. 1∶2∶4∶5B. 2∶1∶5∶4C. 4∶2∶1∶5D. 5∶2∶4∶15．（某某中考）如图，将一X四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A．①② B．①③ C. ②④ D．③④6. 四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，与∠A相邻的外角为72°，则∠C= .7. 在四边形ABCD中，∠A=90°，∠B∶∠C∶∠D=2∶2∶5，则∠D= .8. 一个四边形中，最少有个锐角，最多有个锐角．9. 一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为 .10. 如图，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B+∠C=220°，则∠E的度数为 .11. 在四边形ABCD中，∠D=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小.12. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC. 求证：BE∥DF.13. 如图，四边形ABCD中，∠A=∠B，∠C=∠ADC，DE∥BC，且∠ADC-∠A=60°，求证：△ADE是正三角形.B组自主提高14. 如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD=BD，则∠BCD等于（）A．100° B．120° C．135° D．150°15. 一个四边形的一对内角互补，且相邻三个内角的度数之比为2∶3∶7．则这个四边形的四个内角分别为．16. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A∶∠C=1∶2，AB=2，CD=1. 求：（1）∠A，∠C的度数；（2）AD，BC的长度；（3）四边形ABCD的面积.17. 四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°.（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数.参考答案1—5. CDCCB6. 72°7. 150°8. 0 39. 4π 10. 70°11. 解：设∠A=x ，则∠B=x+20°，∠C=2x. 根据四边形的内角和定理得x+（x+20°）+2x+60°=360°. 解得x=70°. ∴∠A=70°，∠B=90°，∠C=140°.12. 解：∵BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，∴∠1=∠2，∠3=∠4.又∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C ，∴∠C+∠2+∠4=180°.又∵△CDF 中，∠C+∠4+∠5=180°，∴∠2=∠5，∴BE ∥DF.13. 解：∵DE ∥BC ，∴∠AED=∠B. ∵∠A=∠B ，∴∠A=∠AED ，∴AD=DE. 又∵∠A=∠B ，∠C=∠ADC ，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，∴∠A+∠ADC=180°. 又∵∠ADC-∠A=60°，∴∠A=60°，∴△ADE 是正三角形.14. D 15. 40°，60°，140°，120°或36°，54°，126°，144°16. 解：（1）∵∠B=∠D=90°，∠A+∠C+∠B+∠D=360°，∴∠A+∠C=180°. 又∠A ∶∠C=1∶2， ∴∠A=60°，∠C=120°. （2）延长BC ，AD 交于点E ，∵∠A=60°，∴∠E=30°，∴AE=2AB=4，EC=2CD=2.∴BE=22AB AE -=23，DE=22CD EC -=3. ∴AD=AE-DE=4-3，BC=BE-EC=23-2.（3）S 四边形ABCD =S △ABE -S △ECD =21×2×23-21×1×3=23-23=233.17.解：（1）在四边形ABCD 中，∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，又∠A=140°，∠D=80°，∠B=∠C ，∴140°+∠C+∠C+80°=360°，即∠C=70°.（2）∵BE ∥AD ，∠A=140°，∠D=80°，∴∠BEC=∠D ，∠A+∠ABE=180°，∴∠BEC=80°，∠ABE=40°. ∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBC=∠ABE=40°，∴∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60°.（3）在四边形ABCD 中，有∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，∠A=140°，∠D=80°，∴∠ABC+∠BCD=140°，从而有21∠ABC+21∠BCD=70°. ∵∠ABC 和∠BCD 的角平分线交于点E ，∴∠EBC=21∠ABC ，∠ECB=21∠BCD. 故∠BEC=180°-（∠EBC +∠ECB ）=180°-（21∠ABC+21∠BCD ）=180°-70°=110°.4.1 多边形（第2课时）A 组基础训练1. 若一个多边形的内角和等于外角和，则这个多边形是（）A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．七边形2. 从n 边形的一个顶点出发作对角线，把这个n 边形分成的三角形个数是（）A. nB. n-1C. n-2D. n-33. 当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和（）A. 都不变B. 内角和增加180°，外角和不变C. 内角和增加180°，外角和减少180°D. 都增加180°4．（某某中考）如图，在正五边形ABCDE 中，连结BE ，则∠ABE 的度数为（）A ．30° B. 36° C. 54° D. 72°5. 一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形的内角和是1980°，则原多边形的边数是（）A. 12B. 13C. 12或13D. 12，13或146. 已知一个多边形的每一个外角都等于45°，则这个多边形的边数是．7. 一个内角和为1800°的多边形可连条对角线.8. （某某中考）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是 .9．小华从A点出发向前直走50m，向左转18°，继续向前走50m，再向左转18°，他以同样的走法回到A点时，共走了m.10. 在一个多边形的内角中，最多有锐角个.11. 如图，∠DEA=90°，∠MDE=100°，∠GBC=65°，∠DCH=50°，求∠EAB的度数.12. 两个多边形的边数之比为1∶2，内角和度数之比为1∶3，求这两个多边形的边数.13. 看图（如图）回答问题：（1）内角和为2014°，小明为什么说不可能？（2）小华求的是几边形的内角和；（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出吗？是多少度呢？B组自主提高14．一个多边形除一个内角之外，其余各角之和为2570°，则这个内角是．15．如图，在六边形ABCDEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC∥EF.（1）求证：AF∥CD；（2）求∠A＋∠B＋∠C的度数.16. 探索归纳：（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°（2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝；（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是；（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由.参考答案1—5. ACBBD6. 87. 548. 79. 1000 10. 311. 解：∵∠DEA=90°，∴∠AEN=90°. 又∵∠AEN+∠EAF+∠GBC+∠DCH+∠MDE=90°+∠EAF+65°+50°+100°=360°. ∴∠EAF=55°. 又∵∠EAF+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-∠EAF=125°.12. 解：四边形、八边形.13.解：（1）因为2014°不是180°的整数倍；（2）设小华求的是n边形的内角和，则有（n-2）·180°＜2014°，因为小华多加的外角必小于180°，所以解得n=13；（3）设多加的外角为x°，则有（13-2）×180+x=2014，解得x=34，故多加的外角的度数是34°.14. 130°15. （1）证明：连结CF，AC，∵BC∥EF，∴∠EFC=∠FCB，∵∠BAF=∠D，∠B=∠E，∴∠AFC=∠DCF （四边形的内角和都是360°），∴AF∥CD.（2）∵AF∥CD，∴∠FAC+∠ACD=180°，∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠FAC+∠ACD+∠B+∠BAC+∠ACB=360°，即∠FAB+∠B+∠BCD=360°.16.（1）C （2）220°（3）∠1+∠2=180°+∠A（5）方法一：∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）. 又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A. 方法二：∵∠1+∠PFE=∠AEF+∠A，∠2+∠PEF=∠AFE+∠A，∴∠1+∠PFE+∠2+∠PEF=∠AEF+∠AFE+2∠A. ∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，∴∠1+∠2=2∠A.。