区间值马氏过程及区间值鞅
马氏过程-1028
• Xn = fn (Xn−1 , ξn ), 其中 fn 是给定函数, {ξn : n ≥ 0} 为独立随机
变量序列
• X0 与 {ξn : n ≥ 1} 相互独立，或 X0 为某个确定值
特别地，如果 {ξn : n ≥ 1} 独立同分布， fn (x, t) 与 n 无关，那么这是 时齐马氏链, 而且一步转移概率为 pij = P {f (i, ξ1 ) = j } 思考：简单随机游动是否构成 Markov Chain? 如果带反射壁和吸收态 呢？
2014 年《随机过程》 马氏过程
时齐 Markov Chain 的概率分布
时齐 Markov Chain {Xn : n ≥ 0} 的概率分布:
• π 0 : 初始分布 • P : 一步转移矩阵
[P (Xn = i)]i = π 0 P n π 0 的维度是什么? 上式右侧 π 0 和 P n 的次序可以交换吗?
. . ..
马氏链 (Markov Chain)
. 胡鹏
2014 年秋季学期
华中科技大学管理学院
. .
2014 年《随机过程》
马氏过程
Markov Chain(马氏链)
本讲介绍马氏过程/马氏链的相关知识
1 . .
基本概念，初始分布与转移概率，C-K 方程 状态分类及性质，平稳分布和极限分布 马氏过程的应用
P {Xn+1 = j |Xn = i, Xn−1 = in−1 , · · · , X0 = i0 } = P {Xn+1 = j |Xn = i} 上述等式称为马氏性或无后效性
2014 年《随机过程》
马氏过程
鞅理论
鞅定义
• 1、存在一概率空间{Ω,F ,P}，要求σ-代数F 是P-完备的，即对于任何A∈ F 且P(A) = 0， 对一切N ⊂ A都有N ∈ F 成立。 • 2、给定一个滤波（filter）。 • 3、如果对于任何n ≥ 0， Sn 的值被包含在 Fn 中，就称Sn 是Fn 可测的，或者使用梅 耶(Meyer)的术语，称Sn为Fn 适应的( Fn – adapted)。
• 一个随机变量的时间序列没有表现出任何 的趋势性(trend)，就可以称之为鞅； • 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅 (submartingale)；反之如果该过程总是在减 少，则称之为上鞅(supermartingale)。 • 实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随 机运动形式，或者说是具有某种可以用条 件数学期望来进行特征描述的随机过程。
e rt ct
是否就是它在t时刻的“公平”市场价值， 就取决于在滤波Ft和测度P下是不是一个鞅。
ct e
r (T t )
E Max(ST K ,0) | Ft
P t
• 如果假设投资者是风险厌恶的，则对于任何 一种风险资产，一般要求： P r (T t ) Et e ST | Ft St
• t 是时间， Ft代表积累到t时刻的信息。停 时可以理解为某一随机事件第一次发生的 时刻。不妨假想我们对某些特定现象的发 生感兴趣：例如某个“黑色星期五”的出 现，我们对这些特定现象第一次出现的时 刻T (ω)给予特别的注视。很明显事件{ω,T (ω) ≤ t}的发生，当且仅当这一现象出现在t 时刻上或者t 时刻之前。应当是积累到那个 时刻的信息集的一部分。
第六章 鞅理论及其应用
第一节鞅的简单介绍
• 鞅这个术语早在20 世纪30 年代首先由 Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国 概率学家列维(Levy，1934)。但是真正把 鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布 (Doob)，他于1953 年的名著《随机过程》 一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他 对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般 过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和 随机过程的基础，而且在决策和控制模型 等方面有着重要应用，并得到快速发展。
第六章 鞅方法定价(金融衍生品定价理论讲义)
第六章 鞅方法定价在上一章的二项树模型下，我们证明了，当完备市场中不成在套利机会时，市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以 用来给期权和期货定价。
在这一章，我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。
接着，我们讨论一般结果。
我们将证明，这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。
在许多背景下，我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价，而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会，则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。
在这个定价的过程中，我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。
这样就自然产生一个问题：如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会？ 价格过程不存在套利机会的充分必要条件是，通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后，这些价格过程是鞅过程。
无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。
作为一个应用，我们将用这种方法来对期权进行定价，得到期权定价的一种新的方法。
1．二项树模型中的等价鞅测度在二项树模型中模型图1一期二项式生成过程这里∆-t S =股票在时间∆-t 的价格 q =股票价格上涨的概率 r f =一期的无风险利率u =股票价格上涨的乘子)11(>+>fr ud =股票价格下跌的乘子()011<<<+d r f在每一期末，股票价格或者以概率q 涨为∆-t uS ，或者以概率1-q 跌为∆-t dS 。
每期的无风险利率为r f 。
对r f 的限制为u r d f >+>1，这是无套利条件。
直观地可以看出，无论是1+>>r u d f （这时，无风险利率总比股票的风险回报率高）还是u d r f >>+1（这时，无风险利率总比股票的风险回报率低），都存在套利机会。
等价鞅测度的含义： 等价的含义：当实际的概率为正时，p 也为正。
条件期望直观解释：在某种条件下的期望值。
鞅论
随机游动的另一个实例：公平赌博模型 •
• • •
假设甲乙两人进行赌博， 每一局的赌注是一元，在每一局两人各以1/2的概率 获胜。 用Xi=1表示在第i局甲赢，用Xi = -1 表示第i局乙赢， 并且假定每局赌博的结果不受其他局结果的影响。 在经过n局赌博后甲赢的钱数 Sn=X1+X2+……+Xn
就是一个随机游动。
n+1|
以概率p
Sn+1=
思想： E（S
以概率1-p
1 d p ud
n）=Sn
e-rE（Sn+1| n）=Sn
事件域： 事件本质是Ω的某些子集, 把“是事件”的这些子集归在一起, 则得到一个类, 记作ℱ,称作事件域, 即 ℱ={A：A Ω, A是事件} 显然: Ω∈ℱ,Φ∈ℱ A∈ℱ,B∈ℱ, 则A∪B∈ℱ、AB∈ℱ、A－B∈ℱ 即事件域ℱ关于运算“∪” 、“∩”和“－”是 封闭的.
• 事件域ℱ应该满足下述要求： ⑴ Ω∈； ⑵ 若A∈ℱ, 则
A F
⑶ 若Ai∈ℱ, i=1,2, …,n, 则
U
n
i 1
Ai F
• σ代数:
在集合论中,满足上述三个条件的集合类,称作σ代数.所 以事件域应该是一个σ代数. • 一个特殊的σ代数: 对于样本空间Ω,如果ℱ是Ω的一切子集的全体, 那么显然ℱ是一个σ代数.
下鞅
二、一些例子
例1 . 设 {Xn, n≥1}是一族零均值的独立随机变量序列， 且E(|Xn|)<∞; n 令 S 0 0; S n X k ; n= σ{X1, …, Xn};
k 1
验证{Sn, n≥0}为关于 {n, n≥0}的鞅。
证：
(1) Sn 关于n可测；
(完整版)马氏链模型及matlab程序
一、用法，用来干什么，什么时候用 二、步骤，前因后果，算法的步骤，公式 三、程序 四、举例五、前面国赛用到此算法的备注一下马氏链模型用来干什么马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链（Markov chain ）的理论和方法来研究分析时间序列的变化规律，并由此预测其未来变化趋势的一种预测技术。
什么时候用应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析， 主要目的是根据某些变量现在的情 况及其变动趋向，来预测它在未来某特定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依 据。
马尔可夫链的基本原理我们知道，要描述某种特定时期的随机现象如某种药品在未来某时期的销售情况，比如说第n 季度是畅销还是滞销，用一个随机变量X n 便可以了，但要描述未来所有时期的情况，则需要一系列的随机变量 X 1，X 2，…，X n ，…．称{ X t ，t ∈T ，T 是参数集}为随机过程，{ X t }的取值集合称为状态空间．若随机过程{ X n }的参数为非负整数， X n 为离散随机变量，且{ X n }具有无后效性（或称马尔可夫性），则称这一随机过程为马尔可夫链（简称马氏链）．所谓无后效性，直观地说，就是如果把{ X n }的参数n 看作时间的话，那么它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与过去取什么值无关．对具有N 个状态的马氏链，描述它的概率性质，最重要的是它在n 时刻处于状态i 下一时刻转移到状态j 的一步转移概率：N j i n p i X j X P j i n n ,,2,1,)()|(1若假定上式与n 无关，即 )()1()0(n p p p j i j i j i ，则可记为j i p （此时，称过程是平稳的），并记N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211（1） 称为转移概率矩阵．转移概率矩阵具有下述性质：（1）N j i p j i ,,2,1,,0 ．即每个元素非负．（2）N i p Nj j i ,,2,1,11．即矩阵每行的元素和等于1．如果我们考虑状态多次转移的情况，则有过程在n 时刻处于状态i ，n +k 时刻转移到状态j 的k 步转移概率：N j i n p i X j X P k j i n k n ,,2,1,)()|()(同样由平稳性，上式概率与n 无关，可写成)(k j i p ．记)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（2）称为k 步转移概率矩阵．其中)(k j i p 具有性质：N j i p k ji ,,2,1,,0)( ； N i p Nj k j i ,,2,1,11)( ．一般地有，若P 为一步转移矩阵，则k 步转移矩阵)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11)(k N N k N k N k N k k k N k k k p p p p p p p p p P（3） （2）状态转移概率的估算在马尔可夫预测方法中，系统状态的转移概率的估算非常重要．估算的方法通常有两种：一是主观概率法，它是根据人们长期积累的经验以及对预测事件的了解，对事件发生的可能性大小的一种主观估计，这种方法一般是在缺乏历史统计资料或资料不全的情况下使用．二是统计估算法，现通过实例介绍如下．例3 记录了某抗病毒药的6年24个季度的销售情况，得到表1．试求其销售状态的转移概率矩阵．表1 某抗病毒药24个季度的销售情况季度销售状态季度销售状态季度销售状态季度销售状态1 1 (畅销) 7 1(畅销) 13 1(畅销) 19 2(滞销)2 1(畅销) 8 1(畅销) 14 1(畅销) 20 1(畅销)3 2(滞销) 9 1(畅销) 15 2(滞销) 21 2(滞销)4 1(畅销) 10 2(滞销) 16 2(滞销) 22 1(畅销)5 2(滞销) 11 1(畅销) 17 1(畅销) 23 1(畅销) 62(滞销)122(滞销)181(畅销)241(畅销)分析表中的数据，其中有15个季度畅销，9个季度滞销，连续出现畅销和由畅销转入滞销以及由滞销转入畅销的次数均为7，连续滞销的次数为2．由此，可得到下面的市场状态转移情况表（表2）．表2 市场状态转移情况表现计算转移概率．以频率代替概率，可得连续畅销的概率：1170.5151p连续出现畅销的次数出现畅销的次数分母中的数为15减1是因为第24季度是畅销，无后续记录，需减1．同样得由畅销转入滞销的概率：1270.5151p畅销转入滞销的次数出现畅销的次数滞销转入畅销的概率：2170.789p滞销转入畅销的次数出现滞销的次数连续滞销的概率：2220.229p连续滞销的次数出现滞销的次数综上，得销售状态转移概率矩阵为：22.078.05.05.022211211p pp p P 从上面的计算过程知，所求转移概率矩阵P 的元素其实可以直接通过表2中的数字计算而得到，即将表中数分别除以该数所在行的数字和便可：77711p 77712p 27721p 77222p Matlab 程序：format rat clca=[ 1 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2,1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1]; for i=1:2 for j=1:2f(i,j)=length(findstr([i j],a)); end end fni=(sum(f'))' for i=1:2p(i,:)=f(i,:)/ni(i); end p由此，推广到一般情况，我们得到估计转移概率的方法：假定系统有m 种状态S 1，S 2，…，S m ，根据系统的状态转移的历史记录，得到表3的统计表格，以j i pˆ表示系统从状态i 转移到状态j 的转移概率估计值，则由表3的数据计算估计值的公式如下：表3 系统状态转移情况表（3）带利润的马氏链在马氏链模型中，随着时间的推移，系统的状态可能发生转移，这种转移常常会引起某种经济指标的变化．如抗病毒药的销售状态有畅销和滞销两种，在时间变化过程中，有时呈连续畅销或连续滞销，有时由畅销转为滞销或由滞销转为畅销，每次转移不是盈利就是亏本．假定连续畅销时盈r 11元，连续滞销时亏本r 22元，由畅销转为滞销盈利r 12元，由滞销转为畅销盈利r 21元，这种随着系统的状态转移，赋予一定利润的马氏链，称为有利润的马氏链．对于一般的具有转移矩阵N N N N N N p p p p p p p p p P212222111211的马氏链，当系统由i 转移到j 时，赋予利润r ij （i ，j =1，2，…，N ），则称N N N N N N r r r r r r r r r R212222111211 （5） 为系统的利润矩阵，r ij ＞0称为盈利，r ij ＜0称为亏本，r ij = 0称为不亏不盈．随着时间的变化，系统的状态不断地转移，从而可得到一系列利润，由于状态的转移是随机的，因而一系列的利润是随机变量，其概率关系由马氏链的转移概率决定．例如从抗病毒药的销售状态的转移矩阵，得到一步利润随机变量)1(1x 、)1(2x 的概率分布分别为：其中 p 11+ p 12 = 1 ，p 21+ p 22 = 1．如果药品处于畅销阶段，即销售状态为i =1，我们想知道，经过n 个季度以后，期望获得的利润是多少？为此，引入一些计算公式．首先，定义)(n i v 为抗病毒药现在处于)2,1( i i ，经过n 步转移之后的总期望利润，则一步转移的期望利润为：212211)1()1()(j j i j i i i i i i i p r p r p r x E v其中)()1(i x E 是随机变量)1(i x 的数学期望．二步转移的期望利润为：21)1(2)1(221)1(11)2()2(][][][)(j j i j j i i i i i i i p v r p v r p v r x E v其中随机变量)2(ix （称为二步利润随机变量）的分布为：2,1,)()1()2( j p v r x P j i j j i i例如，若6.04.05.05.0P ，7339R则抗病毒药销售的一步利润随机变量：抗病毒药畅销和滞销时的一步转移的期望利润分别为：65.035.09)(12121111)1(1)1(1 p r p r x E v 36.074.03)(22222121)1(2)1(2 p r p r x E v二步利润随机变量为：抗病毒药畅销和滞销时的二步转移的期望利润分别为：12)1(21211)1(111)2(1)2(1][][)(p v r p v r x E v5.75.0)33(5.0)69(22)1(22221)1(121)2(2)2(2][][)(p v r p v r x E v4.26.0)37(4.0)63(一般地定义k 步转移利润随机变量),2,1()(N i x k i的分布为：N j p v r x P ji k j j i k i ,2,1)()1()(则系统处于状态i 经过k 步转移后所得的期望利润)(k iv 的递推计算式为：j i k j Nj j i k i k i p v r x E v )()()1(1)()(Nj j i k j i Nj j i k j Nj j i j i p v v p v p r 1)1()1(1)1(1（6）当k =1时，规定边界条件0)0( iv ．称一步转移的期望利润为即时的期望利润，并记N i q v i i ,2,1,)1( ．可能的应用题型题型一、市场占有率预测例题1在购买该药的总共1000家对象（购买力相当的医院、药店等）中，买A 、B 、C 三药厂的各有400家、300家、300家，预测A 、B 、C 三个厂家生产的某种抗病毒药在未来的市场占有情况。
中国精算师考试指引——考试用书及考试形式
中国精算师资格考试指南第I部分中国精算师资格考试一准精算师部分A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。
通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。
考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。
考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式（第一章）2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算（第二章）3. 随机变量的数字特征（§3.1、§3.2、§3.4）4. 条件期望和条件方差（§3.3）5. 大数定律及其应用（第四章）B、数理统计（分数比例约为25%）1. 统计量及其分布（第五章）2. 参数估计（第六章）3. 假设检验（第七章）4. 方差分析（§8.1）C、应用统计（分数比例约为10%）1. 一维线性回归分析（§8.2）2. 时间序列分析（平稳时间序列及ARIMA模型）（第九章）D、随机过程（分数比例约为20%）1. 随机过程一般定义和基本数字特征（第十章）2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动）（第十一章）E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分（§11.5、第十二章）2. 伊藤公式（§12.2）考试指定教材：中国精算师资格考试用书：《数学》肖宇谷主编，李勇权主审，中国财政经济出版社2010版，所有章节。
A2金融数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目要求考生具有较好的数学知识背景。
通过学习本科目，考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
鞅和鞅表示
（3） { X n ，n = 0,1,2,L}是鞅的充要条件是 p = q
首页
证
设 其中
X n = X 0 + ξ1 + ξ 2 + L + ξ n
X 0 表示初始位置
{ ξ n }与 X 0 独 立 { ξ n ， n = 0 ,1, 2 , L }相 互 独 立 ， 且 具 有 同 分 布 ：
P (ξ n = 1) = p
P (ξ n = − 1) = q
n ≥1
由 X n 的定义知，ξn+1 与{ X 0 ， X1 ，…， X n }独立
所以
E ( X n +1 | X n , X n −1 , L , X 0 )
= E(ξn+1 | X n , X n−1,L, X0 ) + E( Xn | Xn , Xn−1,L, X0 ) = E (ξ n +1 ) + X n = p − q + X n
则称 {St ,t ∈[0, ∞]} 适应于 {I t , t ∈ [ 0, ∞ ]} 给出信息集 I
t
t ≥ 0 时包含于信息集 I t 中，
，就会知道价值 S t
即表示
从而 使用不同的信息集I t 就会产生顺序 S t 的不同 的预期。可用条件期望表示成： 可用条件期望表示成：
故
E(Xn+1 | Xn , Xn−1,L, X0 ) − Xn = p − q
>0 <0 =0
下鞅 上鞅 鞅
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三、停时 定义5 定义
设 {Yn } （ n = 0,1,2, L ）是一随机序列，
τ 是取值 0，1，…， ∞ 的一个随机变量，
马尔可夫过程与鞅
马尔可夫过程与鞅
马尔可夫过程是一种随机过程，其特点是未来状态的概率分布只与当
前状态有关，而与过去状态无关。
这种特性被称为马尔可夫性质。
鞅是一种随机变量序列，其期望值在时间上没有漂移。
换句话说，在
任何时刻，鞅的期望值等于其当前的值。
马尔可夫过程和鞅在概率论和统计学中都有重要的应用。
首先，马尔可夫过程可以用来模拟许多现实生活中的随机现象，如股
票价格、气象预测、人口增长等。
通过建立一个状态空间和转移矩阵
来描述系统的演变规律，并利用概率论方法进行分析和预测。
其次，鞅可以用来描述金融市场中的随机变化。
例如，在股票市场上，通过构建一个鞅模型来估计未来股价的走势，并进行投资决策。
此外，在保险领域中也有广泛应用。
此外，马尔可夫过程和鞅还可以结合使用。
例如，在金融风险管理领
域中，可以利用马尔可夫过程建立一个风险模型，并将其与鞅理论相
结合，以评估风险水平和制定风险控制策略。
总的来说，马尔可夫过程和鞅在概率论和统计学中都有着广泛的应用。
它们不仅可以用来描述和模拟现实生活中的随机现象，而且还可以为
金融市场、保险领域等提供重要的理论支持。
马尔可夫过程与鞅
马尔可夫过程与鞅引言马尔可夫过程与鞅是随机过程和概率论中的两个重要概念。
马尔可夫过程是描述状态变化具有马尔可夫性质的数学模型，而鞅是一种特殊类型的随机过程，具有无记忆性和无偏性的性质。
本文将深入探讨马尔可夫过程与鞅的定义、性质以及应用。
马尔可夫过程的定义1.马尔可夫性质–在离散时间中，马尔可夫性质表示给定当前状态，未来的状态只与当前状态有关，与之前的状态无关。
–在连续时间中，马尔可夫性质表示在任意给定的时间点，未来的状态只与当前状态有关，与之前的状态无关。
2.马尔可夫链–马尔可夫链是一种随机过程，满足马尔可夫性质。
–马尔可夫链的状态空间可以是有限或无限的。
3.马尔可夫过程–马尔可夫过程是马尔可夫链的一个扩展，它可以是连续的或离散的。
–马尔可夫过程可以用转移概率矩阵或转移概率密度函数来描述状态之间的转移。
马尔可夫过程的性质1.马尔可夫链的平稳分布–在马尔可夫链中，存在平稳分布，也称为稳态分布或统计平均分布。
–平稳分布表示在长时间的演化后，状态分布将趋于一个固定的概率分布。
2.马尔可夫链的有限性与周期性–有限性表示在有限步内，马尔可夫链一定会从任何给定的状态转移到其他状态。
–周期性表示在一定步数后，马尔可夫链又回到原状态。
3.马尔可夫决策过程–马尔可夫决策过程是马尔可夫过程的一种扩展，用于描述具有决策的马尔可夫过程。
–马尔可夫决策过程可以应用于许多实际问题，如强化学习和控制论中的决策制定。
鞅的定义与性质1.鞅的定义–鞅是一种数学对象，表示随机变量序列的平均值保持不变的随机过程。
–鞅一般具有无记忆性和无偏性的性质。
2.鞅差–鞅差表示鞅序列之间的差异，刻画了随机过程中的非预测性。
–鞅差在金融学和统计学中有重要应用，用于分析随机序列的波动性和预测性。
3.鞅的停止定理–鞅的停止定理描述了鞅在停止时的性质，即停止后的鞅仍然是鞅。
–鞅的停止定理在金融学、随机控制和信息论中有广泛的应用。
4.鞅收益增长–鞅收益增长是指在无风险利率下，由鞅生成的资产组合的收益率保持稳定增长。
生存分析中乘积限估计的鞅方法
１ ）在 ｔ Ｏ时刻开始接受观察的个体数为 ／ ／ ＝ ＇＇ ｔｔ （
１ 引 言
自 １５ ９ ３年 Ｄ ｏ 次 系 统 地 提 出鞅 论 以来 ， ｏｂ首 在 近 得到 了迅速 发展 ． 为 一 种 有 效 的 理论 工具 已广 作
＞ ） ０ ；
２ 在任 意 时刻 ｔ ｔ ） （ ≥０）， 能 死 亡 的 人 数 为 可
为 Ｆ（） ｔ的正值 随机变 量 ；
并证明了在非完整数据情况 下参数估计 的一些性
质， 利用 鞅 的理论得 到 了一些 有 意义 的结论 ， 结合 并
实 际例 子 ， 对生 存模 型 的生存 函数进 行 了估 计、
验证．
５ ）在时间［ ，］ 所有发 生的死亡事件与退 ０ ｔ 内，
出事件 相互 独立 ；
△ ｔ ， Ⅳ（ ）＝ ， ， ， ； Ⅳ（ ） △ ｔ ０ １ ２ …
３ ）每间隔单位 时间有一个个体加入原被观察 群体， 则在 时间［ ， 内共有 ［］ ［・ 为取整函数 ） ０ｔ ］ ｔ（ ］
个 对象加 入 ；
泛应用到各个领域 ， 如马氏过程、 点过程 、 估计理论、 随 机过程 等 ． 而 ， 鞅 的 理论 应 用 于生 存 分 析 ， 然 将 并 用于各种实际生存模型的参数估计 的研究较少 ， 本
了良好 结果 ．
关键词 ： ；生存分 析 ； 数估 计 鞅 参 中 图分 类号 ： ２ １ ６ ０ １ ． 文献标 识码 ： Ａ
文章 编号 ： ０ ７ ２ ８ （ ０ ７ ０ — １０ ０ １０ — ６ ３ ２０ ） ３ ０ ３ — ３
Ｍａ ｔ ｇ ｌ ｔ ｏ ｆＰｒ ｄ ｃ ｉ ｔＥ ｔ ｔ ｎ ｏ ｒ ｉａ ａｙ ｉ ｒｎ ａｅ Ｍｅ ｈ ｄ ｏ ｏ ｕ ｔＬｍｉ ｓ ｉ ｉ ｎ Ｓｕ ｖｖ ｌ ｉ ｍａ ｏ Ａｎ ｌｓｓ
均马氏过程_马氏过程_鞅及平稳过程的关系
文章编号: 1671- 8836( 2005) 01- 0007- 04
均马氏过程、马氏过程、鞅及平稳过程的关系
王玉宝, 胡迪鹤
( 武汉大学 数学与统计学院, 湖北 武汉 430072)
摘 要: 引进了均马氏过程的概念, 证明了 马氏过 程或者 鞅都是 均马氏 过程, 但均马 氏过程 可以不 是马氏过
( iii) 显然, X 不是平稳过程. 例 4 设{ Nn , n \0} 为独立同分布的随机变量
序列, 其公共分布为: P ( Nn=
1) =
1 3
,
P ( Nn =
-
1) =
2 3
.
取 Xn=
Nn + Nn- 1 ,
Fn = R( X 1 ,
,, X n )
( n=
1, 2,
,) , 则 X ¦ { X n, Fn, n \1} 是平稳过程, 但不是马
引进了均马氏过程的概念证明了马氏过程或者鞅都是均马氏过程但均马氏过程可以不是马氏过程中图分类号
第 51 卷 第 1 期 2005 年 2 月
武汉大学 学报( 理学版) J. W uhan U niv. ( N at. Sci. Ed. )
V ol. 51 N o. 1 Feb. 2005, 007~ 010
氏过程也不是鞅.
9
故
P( X 4 = 1 | X 3 = 0) =
P ( X 3 = 0, X 4 = P ( X 3 = 0)
1) =
1 11
( 5)
由( 4) 、( 5) 两式知 P ( X 4 = 1| X 3 = 0, X 2 = - 1) X P( X 4 = 1| X 3 = 0) , 故 X 不是马氏过程.
鞅论总结范文
鞅论总结引言鞅论是概率论和随机过程的重要分支之一，它研究的是随机过程中随时间变化的加权平均值的极限行为。
在现代数学中，鞅论被广泛应用于金融工程、风险管理、统计学等领域。
本文将对鞅论的基本概念、主要结果和应用进行总结和介绍。
什么是鞅？在鞅论中，我们首先需要了解什么是鞅。
鞅是指具有“无记忆性”的随机过程，即在给定过去的信息下，未来的预期值等于当前的值。
换句话说，鞅是一种没有趋势的随机过程。
具体来说，对于一个离散时间鞅（discrete-time martingale），其定义为一个随机过程{X_t}，其中t表示时间，满足以下条件：1.对于所有的t，X_t是可测的（measurable）；2.对于所有的t，X_t的期望存在且有限（E[|X_t|] < ∞）；3.对于任意的s ≤ t，条件期望（conditional expectation）满足 E[X_t |F_s] = X_s，其中F_s表示t时刻之前的信息集合。
类似地，对于连续时间鞅（continuous-time martingale），定义也类似，只是时间变量是连续的。
鞅的性质鞅的定义给出了它的基本性质。
此外，鞅还具有其他一些重要的性质，如鞅的停时是一个鞅、鞅的和仍然是一个鞅等等。
下面介绍其中几个常见的性质：•鞅的停时是一个鞅：如果{X_t}是一个鞅，{τ}是一个停时（stopping time），那么{X_{τ∧t}}也是一个鞅，其中τ∧t表示τ和t的较小值。
•鞅的和仍然是一个鞅：如果{X_t}和{Y_t}都是鞅，那么它们的和{X_t + Y_t}也是一个鞅。
•鞅的递归式：对于一个鞅{X_t}，如果存在一个可测函数f，使得X_t+1 = f(X_t, X_{t-1}, …)，那么{X_t}是一个鞅。
这些性质为我们研究鞅的行为和性质提供了有力的工具和方法。
鞅论的应用鞅论在金融工程和风险管理中有着广泛的应用。
例如，在期权定价中，使用鞅论方法可以导出期望增值过程，从而计算期权的价值。
鞅和测度
ƒ1 ƒ2 遵循的过程的离散形式为:
ƒ1 1 ƒ1t 1 ƒ1z ƒ2 2 ƒ2 t 2 ƒ2 z
将 2 ƒ2 个第一种衍生证券和- 1ƒ1 个第二种衍 生证券组合起来，消去 z ，构造一个瞬间无 风险证券组合
若 为该证券组合的价值
( 2 ƒ2 ) ƒ1 ( 1ƒ1 ) ƒ2 = 2 ƒ2 ƒ1 1ƒ1ƒ2
df rfdt f ,i fdzi
i 1 n
dg rgdt g ,i gdzi
i 1
n
定义其他内部一致的世界： 设定：
n n df r i f ,i fdt f ,i f dzi i 1 i 1 n n dg r i g ,i gdt g ,i g dzi i 1 i 1
• 如果风险的市场价格被设定为 g 的波动 率，则所有衍生证券 f ，比率 f / g 遵循 鞅。
证明 假设 f 和 g 的波动率分别为 F和 g ；在风险的市场价格为 g 的世 界中 根据方程 df (r ) f dt f dz 有 df (r gf ) f dt ff dz dg ( r 2 g ) gdt ggdz
• 假设1： f 和 g 是依附于单个不确定 来源的可交易衍生证券的价格； • 假设2：该衍生证券在考虑的时间段内 不支付任何收益。 定义
f g
是f 对于g 的相对价格
衍生证券 g 的价格被称为计价标准。
等价鞅测度结论说明 • 当不存在套利机会的时候，对于某些 风险的市场价格的选取值， 遵循鞅 。进一步，对于一个给定的计价标准 证券 g ，同样选取这些风险的市场价 格值，对于所有衍生证券 f ， 遵循 鞅。这个风险的市场价格的选取值是 g 的波动率。
鞅的基本概念、停时定理和表示定理
{ X n } 下鞅
性质7
{ X n }、{Yn } 上鞅
EX 0EX kEX n 0kn
{Xn Yn}上鞅
{ X n }、{Yn } 下鞅
{Xn Yn}下鞅
性质8
{ X n } 上鞅
{Yn } 下鞅
{ X n } 下鞅
{Yn } 上鞅
{Xn Yn} 上鞅 {Xn Yn} 下鞅
性质9 { X n } 鞅
鞅的基本概念、停 时定理和表示定理
第一节 基本概念 第二节 鞅停时定理 第三节 连续时间鞅 第四节 鞅表示定理
第一节 基本概念
一、离散鞅的定义及性质
定义1 若随机序列 {Xn}n,0,1,2,对任意 n0 有
（1） E| Xn | （2） E (X n 1|X 0, ,X n)X n
则称 {Xn}为 离散鞅序列 简称为鞅
( x ) ( 1 )( y ) (x ( 1 ) y )
2、条件（Jensen）不等式
设 ( x ) 是 区间 I 上的凸函数 ，随机变量X满足
(1) E X
(2) E ( X )
则 E [(X) n][E (X n)]
由此可得，当 X n 是鞅（下鞅）时，
X
{Yn}独立同分布，且
P (Y n 1 ) P (Y n 1 ) 12
bnbn(Y 1,Y2,L,Yn1)------第n次赌注
X0是初始赌资，则赌博n者第n次赌博后的赌资为
Xn X0 biYi i1
则 E[Xn1Y1,K,Yn]Xn 即{Xn} 关于 {Yn}是鞅。
定理1 {Xn} 关于 {Yn}是鞅的充要条件为对任意
2 n
是下鞅。
第二节 鞅的停时定理
第10章 随机过程II：鞅
随机过程 II：鞅
7 基础微积分 7 线性代数 8 概率论 9 随机微积分 11 偏微分方程 10 鞅 11 数值方法
本章的学习目标 了解信息结构和信息一致性的数学表述方式和经济含义； 明确鞅的定义（离散和连续） ，以及连续时间情形下的一些技术性要求； 熟悉二项过程和布朗运动等常见鞅和它们的轨道特征； 了解鞅的几个重要子类：一致可积鞅和平方可积鞅； 了解停时概念和最优停止定理； 了解由停止一个鞅产生的局部鞅以及其他鞅型随机过程； 了解多布-迈耶分解定理，以及二次变差和协变差过程的概念； 了解各种被积函数和积分算子情况下，定义随机积分的方法； 掌握随机伊藤积分的定义和主要性质； 掌握拉登-尼科迪姆导数的各种形式和性质； 掌握凯麦隆-马丁-哥萨诺夫定理，并熟练应用该定理进行测度变换； 掌握鞅表示定理，并理解该定理在分析交易策略的可行性和构造完备市场模 型中的作用。 鞅这个术语早在 20 世纪 30 年代首先由 Ville（1939）引进，但是其基本概念来自于 法国概率学家列维（Levy，1934） 。真正把鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布（Doob） ， 他在 1953 年的名著《随机过程》一书中介绍了（包括上鞅分概率学家们对一般随机过程理论研究的兴趣，并逐渐使得 鞅成为现代概率和随机过程理论的基础。 鞅在微观金融分析中的应用是随着哈里森（Harrison J.M）同克里普斯（Kreps D.M.）
+
间的波动情况④。令 ( F n ) n∈Z 代表在不同时点上投资者获得的有关股票价格的历史信息，随
+
着时间的推移， 越来越多的数据被追加到这个信息集合中， 它会越来越丰富。 当 m < n < o 时，
①
② ③
④
还启发我们去考虑这样一些问题：最优停止时刻是什么，有限财富的赌徒必定输光等，现代随机概率理论中的重要概念和定 理。在实际中，现代赌场中明确禁止这种赌博方式，但是金融中却常常存在这样的情况，例如利森的豪赌。此外加倍策略将 干扰资产定价基本定理。 期望收益等于参加费用的赌博也可以认为是统计上公平的。 我们会经常看到这一类技术性的要求，它是保证数学上严密性的需要，在经济分析则往往找不到合适的对应物。幸运的是， 经济分析中大多数问题具有良好的性质。 我们用 Z+表示正整数。
鞅在经济学中的含义
鞅在经济学中的含义1 鞅的概念鞅（Martingale）是概率论和统计学中常用的一个概念，也是经济学中非常重要的一个概念。
在经济学中，鞅主要用于研究随机过程，有着广泛的应用。
2 鞅的定义鞅是一类随机过程，其特点是在未来的任何时刻，其期望值等于当前时刻的值。
数学上，鞅的定义可以表示为：设概率空间（Ω，F，P）上的随机过程 {Xn} 是以 Fn 为生成 sigma 代数的可测空间上的可测随机变量序列，若对一切 n，期望E (|Xn|) < ∞，并且对一切 n，有 E (Xn | Fn-1) = Xn-1 (几乎处处)，则称 {Xn} 是鞅。
3 鞅的作用鞅是随机过程中的一种特殊形式，具有很强的限制条件。
在经济学中，鞅主要用于研究随机过程的性质。
鞅的相关理论可以用来解释资产价格变动、金融市场波动等现象。
例如，股票价格是一个随机过程，使用鞅理论可以描述其期望随着时间的变化情况。
又如，在金融衍生品的定价和风险管理中，鞅理论也有着广泛的应用。
这些都表明鞅理论是金融学和经济学中非常重要的工具。
4 鞅的示例在随机游走模型中，价格变动是一个随机过程，具有鞅的特征。
一个典型的随机游走模型是布朗运动模型，该模型是一个基于随机漫步的连续时间随机过程。
在布朗运动模型中，股票价格的变动是一个随机过程。
该过程具有鞅的特征，即其期望值等于当前的价格。
在模拟股票价格变动时，可以使用鞅理论来定义模型，解释不同价格变动情况下的期望值和波动性。
5 鞅理论的应用鞅理论在金融学和经济学中有着广泛的应用，可用于风险管理、资产定价、金融衍生品定价等领域。
例如，鞅理论可用于研究随机收益率序列的统计性质和长期平稳特性，帮助分析资产价格的变化趋势。
在金融衍生品定价中，鞅的定义和基本性质可用于衍生品的风险度量和定价。
6 鞅理论的局限虽然鞅理论在金融学和经济学中应用广泛，但其也存在一些局限。
例如，如果计算期望值时忽略了极端情况，得到的结果可能会出现不准确的情况。
数学建模：马氏链及其应用
a1=‘1110010011111110011110111111001111111110001101101’; a2=‘111011011010111101110111101111110011011111100111’; a=[a1,a2]; f00=length(findstr(‘00’,a)) f01=length(findstr(‘01’,a)) format rat fid=fopen(‘data1.txt’,’r’); a=[ ]; while (~feof(fid))
的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态北吸收之前的平均转
移次数。
定理7 设 B FR (bij ) ，其中F 为吸收链的基矩阵，R 为(4)式中的 子阵，则 bij 表示从非吸收状态 i 出发，被吸收状态 j 吸收的概率。
3 马尔可夫链的应用
• 应用马尔可夫链的计算方法进行马尔可夫分析，主要目的是 根据某些变量现在的情况及其变动趋势，预测它在未来某特 定区间可能产生的变动，作为提供某种决策的依据。
可以到达某个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。
具有个吸收状态，个非吸收状态的吸收链，它的转移矩阵的标准形式为
P
Ir R
o
S
（4）
其中I r 为 r阶单位阵，O为 r s零阵， R为 s 矩r 阵， S为 s 矩s 阵。从(4)得
Pn
Ir Q
o
S
n
（5）
（5）式中的子阵 S n表示以任何非吸收状态作为初始状态，经过 n步转移后， 处于S 个非吸收状态的概率。
随机过程-第六章 鞅与停时
E (Yn ) 0 E , Y (n ) ； X 0 0, X n Yi ，则 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅。
i 1
n
-1-
例 6.2 （ 独 立 同 分 布 变 量 之 积 ） 设 Y0 1 ， {Yn , n 1} 服 从 独 立 同 分 布 ， 且
3、若 { X n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是（上）鞅， g 是关于 Y0 , Y1 ,, Yn 的（非负）函数， 则
6.1 离散鞅的定义
定义 6.1 鞅：随机过程 { X n , n 0} 是鞅，如果 n 0 有
（1） E ( X n ) ； （2） E ( X n1 X 0 , X1 ,, X n ) X n , a.s. 鞅是公平赌博的一种推广。 假设我们把 X n 解释为第 n 次赌博后的赌资， 则根据定义 6.1, 第 n 1 次赌博后的平均赌资恰好等于 X n ，无论之前发生怎样的情况，即每次赌博胜负机会 均等。 对（2）式两边取期望得
f ( y) f ( z )dF ( z y)
则称 { X n n f (Yn ), n 0} 是一个鞅。 例 6.4 和例 6.5 将马尔可夫链与鞅这两个重要的随机过程有机地联系起来，在今后的实 际研究中应用广泛。 例 6.6 波利亚（Polya）坛子抽样模型：考虑一个装有红、黄两色球的坛子。假设最初 坛子中装有红黄两色各一个球，每次都按如下规则有放回地随机抽取：如果拿出的是红球， 则放回的同时再加一个同色的球；如果拿出的是黄色的球也采取同样的做法。以 Yn 第 n 次 抽取后坛子中的红球数，则 Y0 1 ， Yn 是一个非时齐的马尔可夫链，转移概率为
a0 (Y1 ) a0 , E[ f (Z0 ) Y1 ] E[ f (Z0 )] ，令
鞅与等价鞅测度
8.2 鞅与等价鞅测度布朗运动具有鞅性资产价格序列4☐在金融中，我们经常讨论的是价格序列St 。
☐假定当前时刻是t 0，那么从现在来看，资产在未来时刻 t> t 0 的价格都是不确定的，将来可以大于当前值，可以小于当前值，也可以等于当前值。
☐资产价格随时间变化的关系S t 可以被描述为一个随机过程。
理想条件下，股票价格序列是一个鞅过程资产价格序列5☐由于在t 0时刻，投资者只能观察到该时刻及其之前的S t 值，而对于t> t 0 的价格只能根据相关的信息进行预测。
若以F t 表示在t时刻获得的能够用来推断资产未来价格的信息，那么投资者在t时刻对未来的推断，就是此时的条件期望E t (S t+ |F t )。
☐如果价格序列是一个鞅过程，那就是在目前时刻的所有信息下，对价格未来的预期值应该等于其当前的观察值。
鞅与等价鞅测度7☐按照鞅的定义，序列 S t e -rt 是一个鞅，也就意味着在目前时刻的所有信息下，对S t e -rt 未来的条件期望值等于其当前的观察值，即：S t e -rt = E *t (S t+τ e -r （t+τ）)其中，E *是在P *世界里的期望。
☐等价化简得到S t = e -r τE*t (S t+τ)即现在的价格等于未来价格期望按P *的无风险贴现。
P *为P的等价鞅测度， P *与P在鞅意义下等价。
两个问题☐这样的等价鞅测度 P*是否一定存在？✓资产定价的基本定理：对于有限离散时间金融市场，市场无套利等价于存在等价鞅测度。
☐ P*世界是哪个世界？✓我们取P*为风险中性世界。
即所有投资者都是风险中性的。
也就是我们上节课讲过的主体的效用函数为线性函数：确定性财富带来的效用等于参与期望收益相同的一场赌博带来的期望效用。
8谢 谢 聆 听！。
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［ 关键词］ 二维马氏过程 ； 区间值鞅 ； 停时定理 ［ 中图分类号】 Ｏ ２ １ １ ． ６ ２ ［ 文献标识码］ Ａ ［ 文章编号 ］ １ ６ ７ １ —５ ３ ３ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ５— ０ ０ ２ ２ — ０ ３
１ 引 言
Ｎ ＝ｏ ｒ （ ； ｓ ≤ｔ ， ｓ∈ Ｔ ）＝
Ｎ‘＝ （ Ｆ ； ｓ≥ ｔ ， ｓ∈ ）＝ ≥ ∽ ｒ （ ） ，
定义 １ ． １ 设｛ Ｆ ， ｔ∈Ｔ ｝ 为 （ ）一值 随机 变量 ， 若对 任意有 限个 ｔ １＜ｔ ２＜… ＜ｔ ＜ｔ ， ｔ ∈Ｔ ， ＝１ ， ２ ， …， ｒ ｔ ， 及 Ｕ∈ （ Ｊ 。 ） ， 都有 ：
率和 随机 过程 的基 础 。近年来 ， 集 值上 、 下鞅理 论 的研究得 到迅速发 展 ， 并 在数理 经济 、 最 优控制 等
领域具 有 广 泛 的 应 用 。本 文 主 要 是 在 概 率 空 间
则称 ｛ Ｆ ， ｔ∈Ｔ｝ 为集值 马尔 科 夫过程 ， 简称集 值 马 氏过 程 。 条件 （ １ ． １ ） 称 为马 氏性 。 定理１ ． １ 设｛ Ｆ ， ｔ＞０ ｝ 为 集值随机 变量 ， 则 ｛ Ｆ ， ｔ ≥０ ｝ 为集 值马 氏过程 的充 要条件是 对任意
［ 作者简介 ］ 袁征 ， 男， 河南安阳人 ， 主要从事概率与数理统计方 面的研究。
第 ５期
袁征 ： 区间值马 氏过程及区间值鞅
２ ３
Байду номын сангаас可 积随机 集列 。
从而 （ （ ， ｙ ） ）＝ （ Ｃ ３ ）ｃ （ ［ ， Ｙ ］ ） ． 因此 （ （ ， ｙ ） ）＝Ｏ － （ ［ ， Ｙ ］ ） ． 证毕． 设｛ ， ￡ ≥ ０｝ ， ｛ ， ｔ＞０｝ 为两个 随机 过程 ，
且 ≤ ｙ ￡ ， Ｖｔ≥０， 则令 ：
定义 １ ． ４ 设｛ ， Ａ ： ｎ≥ １ ｝ 是 适应 可积 随 机集 列 ， 称 ｛ Ｆ ， Ａ ： ｎ≥ １ ｝是 集 值 鞅 （ 上鞅 、 下
鞅） ， 若有 ： Ｅ ［ Ｆ ＋ １ Ｉ Ａ］＝（ ｃ， ］） Ｆ ， 凡≥ １ ．
２ 区 间值 马 氏过 程 与 二 维 马 氏 过 程
本文主要是在概率空间qap上研究区间值鞅首先讨论了几个相关仃代数的等价性得到了区间值马氏过程与二维马氏过程的等价性进而研究了区间值适应可积列鞅的一些性质并证明了区间值鞅的停时定理
区 间值 马 氏过程 及 区 间值鞅
袁 征
（ 安 阳工学院 土木与建筑工程学院 ， 河南 安 阳 ４ ５ ５ ０ ０ ０ ）
［ 摘要］ 本文首先在概率空间（ Ｑ， Ａ， Ｐ ） 上研究 了几个相关 Ｏ ｒ代 数 ， 通过 二维随机变量 的 盯代数与随机 区间的 叮代
数等价性 ， 得到 了区间值马氏过程与二维马 氏过程 的等价性 。进而研究 了区间值鞅 的一些性 质并证明 了区间值鞅 的停 时定理。通过对区间值鞅 的研究 ， 使复杂问题简单 化 ， 它在金 融领域有很重要 的实 际意义。
（ Ｑ， Ａ， Ｐ ） 上研 究 区间值鞅 ， 首先讨 论 了几个 相 关 代数 的等价性 ， 得 到 了区 间值 马 氏过程 与 二 维 马 氏过 程的等 价性 ， 进 而研 究 了区 间值 适应 可 积
列鞅 的一些性 质并 证 明 了 区间值 鞅 的停 时定 理 。
ｓ ≥ｔ ≥０ ， ∈Ｌ ｌ ［ ２， １ （ ） ， Ｐ ， Ｒ ］ ， 都有 ：
既是 上鞅 ， 又是下鞅 。
通过对 区间值鞅 的研 究 ， 在实 际 应 用 中使 复杂 问
题简单 化 ， 具有 重要 的实际意 义 。 对Ｇ ｃ Ｘ， 令， 。 （ Ｇ）＝ ｛ Ａ ∈Ｐ ｒ （ ） ： Ａ ｎ Ｇ≠
｝ ， 记 ． ，为 由 范 数 生 成 的 拓 扑 ，令 Ｊ ．＝ ｛ ， ＋ （ Ｇ ） ： Ｇ∈Ｊ ｝ ， 以‘ ， 。为子基 的 Ｐ ， （ ）的拓扑为 下拓 扑 ， 记为 。 由 生 成 的 Ｂ ｏ ｒ ｅ ｌ 代数 ， 记 为
年的名著《 随机过程》 一书中介绍了（ 包括上鞅分 解 问题在 内的 ） 他 对 于鞅 论 的 系统 研究 成果 。它
引起 了一般 过程 理论 的研 究 ， 从 此鞅 成 为现 代 概
Ｐ （ Ｆ ∈ＵＩ
（ Ｆ ） ） ＝Ｐ （ Ｆ ∈ Ｉ （ Ｆ 。 ） ） ・
（ １ ． １ ）
Ｅ［ Ｆ ］＝Ｅ［ ｌ Ｆ Ｉ （ Ｆ ） ］ ． 定义 １ ． ２ 若有随机 过程 ： ￡∈ Ｔ ｝ 对｛ Ｆ ： ｔ∈ Ｔ ｝ 适应 ， 称（ ￡， Ｆ ）是上 鞅 （ 下鞅 ） ， 如果 Ｅ Ｉ ｌ ＜＋∞ 而且 Ｖ ｓ≤ ｔ ， Ｅ［ ￡Ｉ Ｆ ］≤ ， （ Ｉ Ｆ ］≥ ） ， 显然 （ ￡， Ｆ ） 是鞅 ， 当且仅 当它 定义 １ ． ３ 设｛ Ｆ ： ≥ １ ｝ 是一 随机 集列 ， 若
（ － ， 。 ） 。 设 ｃ Ｒ＋ 为一 指标集 ， 对 任意 的 ｔ∈ Ｔ ，
令：
［ 收稿 日期 ］ ２ ０ １ ３— ０ ５— ２ ５
有Ｆ Ｅ ［ 力， Ａ ， ， Ｘ ］ ， ｎ≥ １ ， 则称 ｛ Ｆ ， Ａ ： ｒ ｔ ≥
１ ｝是 适 应 随 机 集 列 或 集 值 适 应 列 ，又 若 有 ｜ ｓ （ Ａ ）≠ ０， ｎ≥ １ ， 则称 ｛ Ｆ ， Ａ ： ｎ≥ １ ｝ 是适应
Ｏ ｖ （ ） ，
鞅这 个 术 语 早 在 ２ ０世 纪 ３ Ｏ 年 代 首 先 由 Ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ （ １ ９ ３ ９ ） 引进 ， 但 是基 本 概念 来 自于法 国概率 学 家列维 （ Ｌ ｅ ｖ ｙ ， １ ９ ３ ４ ） 。但 是真 正 把鞅 理 论发 扬
光 大 的则 是 美 国数 学 家 多 布 （ Ｄ ｏ ｏ ｂ ） ， 他于 １ ９ ５ ３