高三数学排列与组合的综合问题(新编2019)

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排列组合专题课(1)课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

四．组合与组合数 (1)组合：
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合． (2)组合数：从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素组的合数，记作 Cmn .
五．排列数、组合数的公式及性质
排列组合专题课（1）
一、两个计数原理分类加法计数原理
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2 类办法中有m2种不同的方法…… 在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有:N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 分步乘法计数原理：
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2 步有m2种不同的方法……做第n步有 mn 种不同的方法 , 那么完成这件事共有 N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.
对于不相邻问题，常用 “插空法”
变式：某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为（）解析：先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位选2个进行排列，
故排出的摊位规划总个数为 A44A25 =480
n，m∈N*且 m≤n
典例探究
合理分类与分步
例1:某学校需从3名男生和2名女生中选出4人,分派到甲、乙、丙三地参加义工活动,其中甲地需要选派2人且至少有 1名女生,乙地和丙地各需要选派1人,则不同的选派方法的种数是 ( ) (A)18 (B)24 (C)36 (D)42
解析:由题设可分两类:

高三数学练习题：排列与组合

高三数学练习题：排列与组合一、排列题目1：某公司有10名员工，其中3名员工将被选为董事会成员。

问有多少种不同的选举结果？题目2：有7本不同的数学书和5本不同的英语书，现从中选取3本书，问有多少种选取方式？题目3：某班有20名学生，其中5名学生将被安排在舞台上演出。

问有多少种不同的安排方式？题目4：由字母A、B、C、D、E组成的5位字母密码，如果不允许重复字母，问有多少种不同的密码？二、组合题目5：从10个人中选取4个人组成一个团队，问有多少种不同的组合方式？题目6：有8个不同的球员参加篮球比赛，现从中选取5名球员组成一支队伍，问有多少种不同的选取方式？题目7：某班有30名学生，其中要从中选取6名学生组成一个小组。

问有多少种不同的组合方式？题目8：某购物网站推出12种不同的优惠券，现用户每次购物可以选择其中3种优惠券使用，问有多少种不同的选择方式？请在白纸上作答后再对照答案进行检查，加强对排列和组合概念的理解和应用。

题目1：答案为 C(10, 3) = 120 种不同选举结果。

此处使用组合公式 C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!) 计算。

题目2：答案为 C(7, 3) × C(5, 0) = 35 种不同选取方式。

此处使用组合公式 C(n, k)= n! / (k! × (n-k)!) 计算。

题目3：答案为 A(20, 5) = 15,504 种不同安排方式。

此处使用排列公式 A(n, k) = n! / (n-k)! 计算。

题目4：答案为 P(5, 5) = 5! = 120 种不同密码。

此处使用排列公式 A(n, n) = n! 计算。

题目5：答案为 C(10, 4) = 210 种不同组合方式。

此处使用组合公式 C(n, k) = n! / (k! × (n-k)!) 计算。

题目6：答案为 C(8, 5) = 56 种不同选取方式。

2019-2020版高中数学第一章计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 第2课时组合的

第2课时组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题．知识点组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m 次不放回地取出．(2)组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求．(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合．类型一有限制条件的组合问题例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)C513－C511＝825(种)(2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生；只有1名女生；没有女生，所以共有C25C38＋C15C48＋C58＝966(种)选法．(3)分两类：第一类女队长当选，有C412＝495(种)选法，第二类女队长没当选，有C14C37＋C24C27＋C34C17＋C44＝295(种)选法，所以共有495＋295＝790(种)选法．反思与感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．跟踪训练1 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天不同午餐的搭配方法共有( )A．210种 B．420种 C．56种 D．22种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27＋C14C27＝210(种)．类型二与几何有关的组合应用题例2 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解(1)方法一可作出三角形C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．方法二可作三角形C310－C34＝116(个)，其中以C1为顶点的三角形有C25＋C15·C14＋C24＝36(个)．(2)可作出四边形C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．反思与感悟(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法．(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决．跟踪训练2 空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A．205 B．110 C．204 D．200考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 A解析方法一可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则得到所有的取法总数为C 05C 45＋C 15C 35＋C 25C 25＋C 35C 15＝205.方法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C 410－C 45＝205. 类型三分组、分配问题命题角度1 不同元素分组、分配问题例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)；(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解 (1)每组2本，均分为3组的方法数为C 26C 24C 22A 33＝15×6×16＝15.(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为C 36C 23C 11＝20×3＝60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为C 46C 12C 11A 22＝15×22＝15.反思与感悟一般地，n 个不同的元素分成p 组，各组内元素数目分别为m 1，m 2，…，m p ，其中k 组元素数目相等，那么分组方法数是C m 1n C m 2n －m 1C m 3n －m 1－m 2…C m p m pA kk. 跟踪训练3 6本不同的书，分给甲、乙、丙3人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)甲2本，乙2本，丙2本； (2)甲1本，乙2本，丙3本； (3)甲4本，乙、丙每人1本； (4)每人2本；(5)一人1本，一人2本，一人3本； (6)一人4本，其余两人每人1本．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得： (1)共有C 26C 24C 22＝90(种)不同的分配方法；(2)共有C16C25C33＝60(种)不同的分配方法；(3)共有C46C12C11＝30(种)不同的分配方法．(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题．分配给3人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题．实际上可看作两个步骤：先分为3组，再把这3组分给甲、乙、丙3人的全排列数A33即可．因此，(4)共有C26C24C22÷A33×A33＝90(种)不同的分配方法；(5)共有C16C25C33×A33＝360(种)不同的分配方法；(6)共有C46C12C11÷A22×A33＝90(种)不同的分配方法．命题角度2 相同元素分配问题例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子．考点排列组合综合问题题点分组分配问题解(1)先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C35＝10(种)．(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25·C14＝40(种)．(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行．先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒．①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法．②将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法．故共有C15·(C23＋C13)＝30(种)．反思与感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1n－1种方法．可描述为n－1个空中插入m－1块板．跟踪训练4 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种B．10种C．18种D．20种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析．又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从4位朋友中进行选取．第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册．即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法．第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法．因此，满足题意的赠送方法共有C14＋C24＝4＋6＝10(种)．1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A．26种 B．84种 C．35种 D．21种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析从7名队员中选出3人有C37＝7×6×53×2×1＝35(种)选法．2．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36 C．18 D．20考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．3．直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )A．25个 B．36个 C．100个 D．225个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 D解析从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225.4．从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案140解析安排方案分为两步完成：从7名志愿者中选3人安排在周六参加社区公益活动，有C37种方法；再从剩下的4名志愿者中选3人安排在周日参加社区公益活动，有C34种方法．故不同的安排方案共有C37C34＝7×6×53×2×1×4＝140(种)．5．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案32解析不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.1．无限制条件的组合应用题．其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答．2．有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法．解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的．一、选择题1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取3个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A．30种 B．33种 C．37种 D．40种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 D解析从1,2,3，…，9这9个数中取出3个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的3个数都是奇数，取法有C35＝10(种)；(2)取出的3个数中有2个偶数、1个奇数，取法有C24C15＝30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有10＋30＝40(种)．2．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A．24种 B．14种 C．28种 D．48种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 B解析方法一分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C12·C34种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有C22·C24种选派方案．故共有C12·C34＋C22·C24＝14(种)不同的选派方案．方法二6人中选派4人的组合数为C46，其中都选男生的组合数为C44，所以至少有1名女生的选派方案有C46－C44＝14(种)．3．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案 A解析可以分为两类：a 上取两点，b 上取一点，则可构成三角形个数为C 25C 14；a 上取一点，b 上取两点，则可构成三角形个数为C 15C 24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C 25C 14＋C 15C 24，故选A.4．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A ．C 25C 26种 B ．C 25A 26种 C ．C 25A 22C 26A 22种D ．A 25A 26种考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案 B解析先从5名男选手中任意选取2名，有C 25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C 26A 22，即A 26种．所以共有C 25A 26种．5．将标号为A ，B ，C ，D ，E ，F 的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为A ，B 的卡片放入同1个信封，则不同的放法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．36种 D ．54种考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B解析由题意知，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18(种)．6．某地招募了20名志愿者，他们编号分别为1号，2号，…，19号，20号，如果要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A ．16B ．21C ．24D ．90 考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 B 解析分2类：第1类，5号与14号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有C 24＝6(种)选取方法．第2类，5号与14号为编号较小的一组，则编号较大的一组有C 26＝15(种)选取方法．由分类加法计数原理得，共有C 24＋C 26＝6＋15＝21(种)选取方法．7．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( ) A ．C 1214C 412C 48 B ．C 1214A 412A 48 C.C 1214C 412C 48A 33D ．C 1214C 412C 48A 38考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 A解析首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412·C 48·C 44A 33种，然后这两步相乘，得C 1214·C 412·C 48A 33.将三组分配下去共C 1214·C 412·C 48种．故选A. 8．假如北京大学给中山市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( ) A ．30 B ．21 C ．10 D ．15 考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案 D解析用“隔板法”．在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有C 26＝15(种)分配方法．二、填空题9．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试．小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有________种．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 10解析 ①在生物、政治、历史三门中选择1门，则在物理、化学、地理中选2门，有C 13C 23＝9(种)选法；②在生物、政治、历史三门中选择0门，则物理、化学、地理全选，有C 33＝1(种)选法．共有选法9＋1＝10(种)．10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有______种．考点涂色问题题点涂色问题答案12解析先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12(种)不同的涂法．11．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种．(用数字作答)考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用答案60解析一、二、三等奖，三个人获得，有A34＝24(种)．一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有C23A24＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况．三、解答题12．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，求不同取法的种数．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色，则有C14×C14×C14＝64(种)，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144(种)，若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192(种)，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72(种)，所以共有64＋144＋192＋72＝472(种)不同的取法．13．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类．第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法．根据分类加法计数原理，一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42(种)不同的选法．四、探究与拓展14．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．考点排列组合综合问题题点分组分配问题答案120解析先在编号为2,3的盒内分别放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内分别至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120(种)方法．15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点排列组合综合问题题点排列与组合的综合应用解(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24(种)测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680(种)．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16C34A44＝576(种)．。

广西重点高中届高三数学排列与组合练习题【含答案】

《排列与组合》1. 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A. 12种B. 24种C. 30种D. 36种解析：第一步选出2人选修课程甲有C24＝6种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有2×2种选法，根据分步乘法计数原理，有6×4＝24种选法．答案：B2.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A. 12种B．18种C. 24种D．36种解析：当第一行为a b时，有a bb cc a和a bc ab c两种情况，∴当第一行为a，b时，共有4种情况．同理当第一行为a，c时，共有4种情况；当第一行为b，c时，共有4种情况；∴不同的排列方法共有12种．答案：A3.用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：分类讨论：若2出现一次，则四位数有C14个；若2出现二次，则四位数有C24个；若2出现3次，则四位数有C34个，所以共有C14＋C24＋C34＝14个．答案：144.将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．答案：3605.将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析：如图六个位置123456.若C放在第一个位置，则满足条件的排法共有A55种情况；若C放在第2个位置，则从3,4,5,6共4个位置中选2个位置排A，B，再在余下的3个位置排D，E，F，共A24·A33种排法；若C放在第3个位置，则可在1,2两个位置排A，B，其余位置排D，E，F，则共有A22·A33种排法或在4,5,6共3个位置中选2个位置排A，B，再在其余3个位置排D，E，F，共有A23·A33种排法；若C在第4个位置，则有A22A33＋A23A33种排法；若C在第5个位置，则有A24A33种排法；若C在第6个位置，则有A55种排法．综上，共有2(A55＋A24A33＋A23A33＋A22A33)＝480(种)排法．答案：480。

复杂的排列组合问题-高三数学备考练习

问题38复杂的排列组合问题一、考情分析高考对这部分的要求还是比较高的.考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用.值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合.画一画,数一数,算一算,是基本的计数方法,不可废弃.二、经验分享1.排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.2.组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．3.排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．(4)多元问题分类法．将符合条件的排列分为几类，而每一类的排列数较易求出，然后根据分类加法计数原理求出排列总数．三、知识拓展1.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置．首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类．2.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．3.解排列、组合问题的基本原则：特殊优先，先分组再分解，先取后排；较复杂问题可采用间接法，转化为求它的对立事件．4.解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类.3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略解排列（或）组合问题,应按元素的性质进行分类,分类标准明确,不重不漏；按事情的发生的连续过程分步,做到分步层次清楚. 四、题型分析(一)“相邻”与“不相邻”问题【例1】甲、乙、丙、丁四名同学排成一排,分别计算满足下列条件的排法种数：（1）甲不在排头、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；（3）甲一定在乙的右端(可以不相邻)．【解析】（1）①直接排,要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况．若甲排在排尾共有A 11A 33＝6种排法．若甲既不在排头也不在排尾共有A 12A 12A 22＝8种排法,由分类计数原理知满足条件的排法共有A 11A 33＋A 12A 12A 22＝14(种)．②也可间接计算：A 44－2A 33＋A 22＝14(种)．（2）可考虑直接排法：甲有3种排法；若甲排在第二位,则乙有3种排法；甲、乙排好后,丙、丁只有一种排法,由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3×3×1＝9(种)．（3）可先排丙、丁有A 24种排法,则甲、乙只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排列共有A 24·1＝12(种),或看作定序问题A 44A 22＝12(种)．【点评】对于相邻问题,可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列,同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列,这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素,可先排其他元素,然后将这些要求不相邻的元素插入空当,这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．【小试牛刀】【广东省汕头市2019届高三上学期期末】把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为______用数字作答．【答案】36【解析】先将卡分为符合条件的3份，由题意，3人分5张卡，且每人至少一张，至多三张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这4个数用2个板子隔开，在4个空位插2个板子，共有种情况，再对应到3个人，有种情况，则共有种情况．故答案为：36(二)涂色问题【例2】如图,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有________.【分析】由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件宜采用分步处理,又相邻区域不同色,因此应按区域1和区域3是否同色分类求解．【解析】按区域1与3是否同色分类；(1)区域1与3同色；先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A33种方法．∴区域1与3涂同色,共有4A33＝24种方法．(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A24种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有一种方法,第四步涂区域5有3种方法．∴这时共有A24×2×1×3＝72种方法,故由分类加法计数原理,不同的涂色种数为24＋72＝96.【点评】（1）解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序．（2）切实选择好分类标准,分清哪些可以同色,哪些不同色．【小试牛刀】【安徽省淮南市2019届高三第一次模拟】如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A． B． C． D．【答案】B【解析】提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为,分4步进行分析：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有5种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有4种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有2种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为 ,故选B．(三)分配问题【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少种不同的分配方式？（1）分成每组都是2本的三组；（2）分给甲、乙、丙三人,每人2本．【分析】（1）组合知识及分步计数原理求解；（2）均匀分组问题.【解析】（1）先分三步,则应是C 26C 24C 22种选法,但是这里面出现了重复,不妨记6本书为分别A 、B 、C 、D 、E 、F ,若第一步取了(AB 、CD 、EF ),则C 26C 24C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD ),(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF 、AB )、(EF 、CD 、AB )、(EF 、AB 、CD )共有A 33种情况,而且这A 33种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同,因此,只算作一种情况,故分配方式有C 26C 24C 22A 33＝15(种)．（2）在问题（1）的基础上再分配,故分配方式有C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)．【点评】不同元素的分配问题,往往是先分组再分配．在分组时,通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组,注意各种分组类型中,不同分组方法的求法．【小试牛刀】把,,,A B C D 四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具,且,A B 两件玩具不能分给同一个人,则不同的分法有（）A ．36种B ．30种C ．24种D ．18种【答案】B【解析】分两步进行分析:先计算把D C B A ,,,四件玩具分给三个小朋友,每位小朋友至少分到一件玩具的分法数目:首先将4件玩具分成3组,其中1组有2件,剩余2组各1件,有624=C 种分组方法,再将这3组对应三个小朋友,有633=A 种方法,则有3666=⨯种情况；计算B A ,两件玩具分给同一个人的分法数目,若B A ,两件玩具分给同一个人,则剩余的2件玩具分给其他2人,有62213=⨯A C 种情况.综上可得,B A ,两件玩具不能分给同一个人的不同分法有30636=-种,故选B. (四)排数问题【例4】在某种信息传输过程中,用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息,不提排列表示不同信息. 若所有数字只有0,1,则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（） A. 9 B.10 C.11 D. 12【分析】信息0110是四个数字,此类“至多”、“至少”类型的问题,可以直接利用分类讨论求解,也可以转化为反面的问题,利用间接法求解.【解析一】（直接法）若0相同,只有1个；若1相同,共有144C =个；若2相同,共有246C =个,故共有14611++=个.【解析二】（间接法）若3个数字相同,共有246C =个,若4个数字相同共4个,二不同排列个数为4216=个,所以共有16(14)11-+=个.【点评】该题中要求的是“至多”有两个位置上数字相同,易出现的问题是分类混淆,漏掉各位数字信息均不同的情况,解决此类问题的关键是准确确定分类标准,分类计数时要做到不重不漏.【小试牛刀】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（） A ．144个 B ．120个 C ．96个 D ．72个【答案】B【解析】据题意,万位上只能排4、5．若万位上排4,则有342A ⨯个；若万位上排5,则有343A ⨯个．所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个．选B ．(五)摸球问题【例5】【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排,然后从左至右依次给它们赋以编号l,2,…,8.则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有种. 【分析】注意到4个相同的红球没有区别,4个相同的黑球也没有区别,先求出任意排放的排法7048=C ,编号相等的结果必有四组,其中每组一黑球一白球的编号和为9,则有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就有8种,因为红球的编号之和小于黑球编号之和的排法和大于的排法一样,则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【解析】依题意,任意排放的排法7048=C ,红球编号与黑球编号相等的情况有)8,1(,)7,2(,)6,3(,)5,4(四种,红黑互换编号就是8种,所以红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有3122670=--种. 【点评】要搞清组合与排列的区别与联系：组合与顺序无关,排列与顺序有关；排列可以分成先选取(组合)后排列两个步骤进行．【小试牛刀】四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法共有种（用数字作答）．【答案】42【解析】根据题意,分2步进行分析,①、先在编号为1,2,3的三个盒子中,取出2个盒子,有233C =种取法,②、将4个小球放进取出的2个盒子中,每个小球有2种放法,则4个小球一共有2×2×2×2=24种, 其中有1个空盒,即4个小球都放进其中1个盒子的情况有2种；则将4个小球放进取出的2个盒子中,且不能有空盒,其放法数目为（24﹣2）=14种, 故四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,则恰有一个空盒的放法为3×14=42种；故答案为：42．(六)“至多”、“至少”问题【例6】某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参加赈灾医疗队,其中（1）甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法？【分析】“无序问题”用组合,注意分类处理．【解析】（1）分两类：甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有C 12C 418＋C 318＝6 936(种)；（2）方法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外,所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14 656(种)．方法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数,得C 520－(C 512＋C 58)＝14656(种)．【点评】对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某个(些)元素问题；也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为“先取再后取”产生顺序造成计算错误．选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至少、至多”型问题,注意间接法的运用．【小试牛刀】西部某县委将7位大学生志愿者(4男3女) 分成两组, 分配到两所小学支教, 若要求女生不能单独成组, 且每组最多5人, 则不同的分配方案共有（）A ．36种B ．68种C ．104种D ．110种【答案】C【解析】分组的方案有3、4和2、5两类,第一类有3272(1)68C A -⋅=种;第二类有222732()36C C A -⋅=种,所以共有N=68+36=104种不同的方案. (七)信息迁移题【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33,…,99.3位回文数有90个：101,111,121,…,191,202,…,999.(*)则：（1）4位回文数有________个；（2）2n ＋1(n ∈N *)位回文数有________个．(**) 【分析】由(*)式,理解“特殊”背景——回文数的含义,借助计数原理计算．结合(**),可从2位回文数,3位回文数,4位回文数探索求解方法,从特殊到一般发现规律．【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格,首尾相同,且不为0,共9种填法；中间两位一样,有10种填法．共计9×10＝90(种)填法,即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义,此问题也可以转化成填方格．由计数原理,共有9×10n 种填空．【点评】（1）一题两问,以“回文数”为新背景,考查计数原理,体现了化归思想,将确定回文数的问题转化为“填方格”问题,进而利用分步乘法计数原理解决,将新信息转化为所学的数学知识来解决．（2）从特殊情形入手,通过分析、归纳,发现问题中隐含的一些本质特征和规律,然后再推广到一般情形,必要时可以多列举一些特殊情形,使规律方法更加明确．【小试牛刀】回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如2,11,242,6776,83238等,设n 位回文数个数为n a （n 为正整数）,如11是2位回文数,则下列说法正确的是（）A.4100a =B.()21210n n a a n N ++=∈C.()22110n n a a n N -+=∈D.以上说法都不正确【答案】B.【解析】A ：491090a =⋅=,故A 错误；根据对称性可知,21210n n a a +=,故B 正确,C,错误,故选 B.四、迁移运用1．【江西省临川第一中学等九校2019届高三3月联考】已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。

高中数学排列组合解题技巧研究

解㊀由于已知三棱锥外接球问题主要性质特征满足长方体的某部分特征ꎬ如图２所示ꎬ构建长方体.设ＡＭ＝ａꎬＭＤ＝ｂꎬＭＣ＝ｃ.由长方体面的对角线可知ａ２＋ｃ２＝１６ꎬｂ２＋ｃ２＝１３ａ２＋ｂ２＝９ꎬìîíïïïꎬ解得ａ＝６ꎬｂ＝３ꎬｃ＝１０.ìîíïïïï所以ｃｏｓøＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝５２１３ꎬ从而ｓｉｎøＡ＝３３２１３.所以ＳәＡＢＣ＝１２ˑ１３ˑ４ˑｓｉｎøＡ＝３３.设球心Ｏ到平面ＡＢＣ的距离为ｈ.㊀㊀由等体积法得ｈ＝Ｖ锥１３ＳәＡＢＣ＝１３ˑ１２ˑ３ˑ６ˑ１０１３ˑ３３＝１５３.故选Ｂ.总之ꎬ通过上面的例子ꎬ进行勾股化处理.这样有利于培养学生的思维品质ꎬ从而不断提高学生的思维能力ꎬ进而有利于培养学生思维的创造性.㊀㊀参考文献:[１]潘巧明.数学文化传统与教育现代化案例剖析勾股定理教学[Ｊ].数学通报ꎬ２００３(０８):３－４.[责任编辑:杨惠民]高中数学排列组合解题技巧研究厉瀛虹(黑龙江省伊春市第一中学㊀１５３０００)摘㊀要:排列组合是高中数学课程中的一个重点内容ꎬ同时也是和生活实际有着紧密联系的知识内容.但是很多的排列组合问题都很抽象ꎬ所以学生在解决的时候也会面临着一定的困难.加强对这些问题的解法研究是很必要的.关键词:高中数学ꎻ排列组合ꎻ教学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)２２－００２３－０２收稿日期:２０１９－０５－０５作者简介:厉瀛虹(１９７８.９－)ꎬ女ꎬ山东省日照人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀排列组合是高中生学习数学知识的重要部分ꎬ这类的知识也会经常在高考题目中以填空题进行考查.虽然学生学习总体难度不高ꎬ但是也考查学生的逻辑思维能力和审题能力ꎬ所以学生也是很容易出现问题的.为了能够让学生的数学成绩得到提升ꎬ老师不仅要更加重视学生这一部分的学习ꎬ也要引导学生进行实际问题解决方法的总结ꎬ这样可以提高学生的解题水平.只有学生掌握了高中数学排列组合解题的方法ꎬ他们才可以更好地去应对相关的问题.㊀㊀一㊁解决排列组合类问题的步骤高中数学老师想要更加有效率地解决排列组合类的教学问题ꎬ培养学生的分析和解决能力ꎬ就需要教给学生更加正确的分析和解决问题的方法ꎬ这样他们才可以进行自主的学习ꎬ提高学习效率.首先ꎬ学生应该学会去根据问题本身的性质进行相关的判断ꎬ看看题目是属于排列的问题还是组合的问题ꎬ或者是一些混合式的问题ꎬ明确相关的类型.其次学生要明确自己解题的模式ꎬ学生应该先明白一些实际的问题都是建立在加法或者是一些乘法的原理上面的ꎬ这样才可以根据问题给出更加明确的回答ꎬ获得高效的解决方式.最后ꎬ学生就可以对题目中给出的一些附加条件进行相关的分析ꎬ清晰地知道这些附加条件的元素位置ꎬ避免自己在问题解决中得出的答案出现重复或者是一些遗漏ꎬ这样就可以在很大程度上３２保证自己解题过程的正确性ꎬ从而提高学习的效率.㊀㊀二㊁分析排列组合类问题的具体方法１.直接法简单的来说直接法就是让学生在解决相关的问题的时候ꎬ把重点放在对题目中每个元素分析上面ꎬ这样可以确定相关元素的限制性ꎬ更好地寻找其他的元素ꎬ结合更多元素进行问题的综合考虑.或者学生要把问题中的这些位置因素作为更为主要的考虑条件ꎬ以后再确定相关的限定位置ꎬ再就是要根据其他的条件进行相关的考虑.例如在排列某个班级的物理㊁生物㊁英语㊁化学科目的课程表的时候ꎬ就需要根据具体的要求ꎬ如物理课不能够被安排在第二节课或者是第三节课上ꎬ那么能够有多少种这样的课程排列方式.根据这些已经知道的条件之后ꎬ学生就可以清楚地知道题目中的一些限制条件ꎬ也就是不能够把物理课安排在课程表中的第二节课和第三节课.所以学生在进行相关问题解决的时候ꎬ一定要先对物理课的位置进行妥善的安排ꎬ并进行综合的考虑.根据题目就可以知道物理课程只能被放在第一节课或者是第四节课ꎬ这样才符合限定的条件.所以安排物理课程的方式可以有Ｃ１２种.然后学生就可以考虑安排其他的课程ꎬ其他课程因为没有限定的条件ꎬ所以可以进行随机的排列ꎬ那么具体下来也就是有Ａ３３种方式.之后ꎬ学生就可以利用相关的乘法原理ꎬ得出最后的结果也就是总体的排列方式是Ｃ１２Ａ３３＝１２种方式.２.间接法使用间接法主要用来解决一些排列组合问题ꎬ简单来说就是指学生在解决一些实际问题的时候ꎬ先去忽略题目中给出的一些附加条件ꎬ然后再进行整体的排列组合和相关的数量计算ꎬ这样就可以得出一个结果.学生再去用这个附加条件来计算出一些不符合题目要求的结果ꎬ去除这些不合适的结果ꎬ这样就可以通过前后的减法得出最后一个明确的答案.例如学校在举行运动会的时候ꎬ就需要从五名男同学和四名女同学中选出三名同学一起来进行跳绳的比赛ꎬ要求是选出来的这三名同学里面必须要有男生㊁女生ꎬ那么请问一共有多少种选法?学生在进行这个问题解决的时候ꎬ如果使用直接的方法ꎬ那么就会存在着很大的难度ꎬ所以学生就可以使用间接的方式来进行解决ꎬ这样就可以提高教学的有效性.那么学生就可以忽略题目中的一些给出的限定条件ꎬ也就是要求必须要有男生和女生的条件.学生可以把这个题目的问题转换成从九名学生里面选出三名学生的问题ꎬ就可以知道自己的选择方式为Ｃ３９种方式.以后学生再使用一些限定的条件来作为基础ꎬ进行明确的选择ꎬ这样学生就可以知道哪种情况是错误的ꎬ从而再次进行计算ꎬ最后找出其他的不合适的方案ꎬ找出最后的答案.也就是说ꎬ只有女生的选择方式有Ｃ３４种ꎬ而只有男生的选择方式有Ｃ３５种.根据相关的减法原理就可以知道符合题目的要求的答案为Ｃ３９－Ｃ３４－Ｃ３５＝７３种方式.３.捆绑法使用捆绑法可以很好地解决复杂的排列组合问题ꎬ提高学习的效率.学生在使用这种解决方法的时候ꎬ一定要认识这种方法所针对的一些问题情况和对象ꎬ也就是在题目里面有多个元素相邻的排列情况下面.在使用这种解决方法的时候ꎬ学生也应该更加明确这种方式的运用方法ꎬ严格遵守相关的步骤ꎬ这样才可以获得正确的答案.首先学生需要把相邻的元素进行相关捆绑ꎬ然后再把它们看成一个单独的整体ꎬ并让它们和其他的元素一起形成一个排列的关系ꎬ然后再把这些捆绑在一起的元素进行内部的排列ꎬ这样才可以得到最后的答案ꎬ促进学生的发展.例如班级制作彩带的这个活动里面ꎬ一个学生就选择了八个颜色不一样的线作为自己编制彩带的材料.在这样的颜色排列过程中ꎬ学生先要把红色的彩带㊁黄色的彩带和蓝颜色的彩带放在一起ꎬ其他的颜色就随机地进行摆放ꎬ请问有多少种颜色的排列方式?那么这个同学就可以使用这种方法来进行问题的解决ꎬ学生可以用捆绑的方法ꎬ首先把已经确定的三种颜色看成一个部分ꎬ然后再与其他的五种颜色进行相关的排列ꎬ这样就可以知道一共排列的方式为Ａ６６种.根据这种题意就可以知道ꎬ组合色的排列方式为Ａ３３种ꎬ利用乘法的原理就可以知道总排列的方式为Ａ６６Ａ３３种.总而言之ꎬ学生应该熟练地掌握相关的基础知识ꎬ增强对相关习题的练习.在这个过程中ꎬ学生应该使用更加有效的解题方法ꎬ进行相关问题的分析ꎬ判断它是属于排列组合问题中的哪一种ꎬ然后再选择直接㊁间接法㊁捆绑法等多种解题方法进行问题解决ꎬ提高自己的解题速度和解题质量.㊀㊀参考文献:[１]曾晓聪.高中数学排列组合解题技巧探究[Ｊ].中等教育ꎬ２０１８(０１):１２７.[２]谢桂兰.高中数学排列组合解题技巧[Ｊ].语数外学习(数学教育)ꎬ２０１３(０２):５５.[３]徐辉梅.高中数学排列组合解题技巧研究[Ｊ].中等教育ꎬ２０１４(２２):７.[责任编辑:杨惠民]４２。

高三数学整理解排列组合应用问题的十种思考方法

“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑：对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。

例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。

（2）由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个。

（3） 5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有种。

二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。

例2．（1）有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有种。

（2）有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有种。

三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。

例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有种陈列方法。

（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有种。

四、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。

例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。

（2）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。

（3）集合A 有8个元素，集合B 有7个元素，B A 有4个元素，集合C 有3个元素且满足下列条件：Φ≠Φ≠⊂B C A C B A C ,,的集合C 有几个。

（4）从6名短跑运动员中选4人参加4⨯100米的接力赛，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有多少种参赛方案？五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。

例5（1）用1、2、3、⋯9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。

（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。

2019高考数学考点突破——计数原理：排列与组合学案

排列与组合【考点梳理】1．排列与组合的概念(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3．排列数、组合数的公式及性质考点一、排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻.[解析] (1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种).(3)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).【类题通法】1．对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.【对点训练】1．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( ) A．12 B．24 C．64 D．81[答案] B[解析] 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A34＝24.2．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48 C．60 D．72[答案] D[解析] 由题意，可知个位可以从1，3，5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72.3．从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有( )A．180种 B．220种 C．240种 D．260种2[答案] C[解析] 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有A14·A35＝240种.4．在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答).[答案] 24[解析] 将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A22A22A23＝24种不同的展出方案.考点二、组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？[解析] (1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561种，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984种.∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100种.∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3件假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种.∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3件的总数为C335，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090种.∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.【类题通法】组合问题常有以下两类题型变化：31. “含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.2．“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.【对点训练】1．现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是( )A．90 B．115 C．210 D．385[答案] B[解析] 分三类，取2个黑球有C24C26＝90种，取3个黑球有C34C16＝24种，取4个黑球有C44＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( ) A．18 B．24 C．30 D．36[答案] C[解析] 从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C37－C34－C33＝30.考点三、排列、组合的综合应用【例3】(1)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A．12种 B．18种 C．24种 D．36种(2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A．80种 B．90种 C．120种 D．150种(3)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.[答案] (1) D (2) D (3) 90[解析] (1)由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13C24A22＝36(种).45(2)有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C 35A 33＝60种；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C 15C24A22A 33＝90种，∴共有150种，故选D.(3)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法.【类题通法】1．解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置).对于排列组合的综合题目，一般是将符合要求的元素取出或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.2．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的差异.其次对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”. 【对点训练】1．从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有________种(用数字作答).[答案] 240[解析] 特殊位置优先考虑，既然甲、乙都不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一人参加，有C 14种方案；然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下3科，有A 35种方案.故共有C 14A 35＝4×60＝240(种)方案.2．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种 [答案] A[解析] 将4名学生均分为2个小组共有C 24C 22A 22＝3(种)分法；将2个小组的同学分给2名教师共有A 22＝2(种)分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22＝2(种)分法.故不同的安排方案共有3×2×2＝12(种).3．某局安排3名副局长带5名职工去3地调研，每地至少去1名副局长和1名职工，则不同的安排方法总数为( )6A ．1 800B ．900C ．300D ．1 440 [答案] B[解析] 分三步：第一步，将5名职工分成3组，每组至少1人，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22种不同的分组方法；第二步，将这3组职工分到3地有A 33种不同的方法；第三步，将3名副局长分到3地有A 33种不同的方法．根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有⎝ ⎛⎭⎪⎫C 35C 12C 11A 22＋C 15C 24C 22A 22·A 33A 33＝900(种)，故选B.。

排列组合综合应用课件

An n
(n为均
分的组数)避免重复计数。
练习2、
1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4
个队,
有多少分法？ C C C 5
44
13 8
4
A2 2
2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转
入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每
班安排2名，则不同的安排方案种数为______
C C A 2 2 42 A22
（1）分三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本（2）分给甲、乙、丙3个人，甲1本，乙2本，丙3本（3）分给甲、乙、丙3个人，一人1本，一人2本，
一人3本。（4）分三堆，有两堆各1本，另一堆4本（5）平均分成三组（6）平均分给甲、乙、丙3个人
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一
种情况,所以分组后要一定要除以
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 A64不同的方法由分步计数原理,节目的不同顺序共有A55 A64 种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把相不相邻独元素独插入中独间和相两端
练习题
某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（30 ）
7. 合理分类与分步策略例4.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能
将n个共相有同_的__元__素_C_分9_6_成__m种份分（法n，。m为正整数）,
每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
个为元素C排mn1成1 一班一排的二班n-1三班个空四班隙中五班，所六班有分七班法数
练习题
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一

第9章第1节计数原理与排列组合-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)

►规律方法解决组合应用题的方法
(1)“ 含有 ” 或 “ 不含有 ” 某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
[例 2－1] 3 名男生，4 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．
(3)全体站成一排，男、女各站在一起； 288 (4)全体站成一排，男生不能站在一起． 1440
[自主解答](3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有 A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有 A44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，
_m__×__n__种不同的方法．
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相
互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法
计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个
步骤都完成了才算完成这件事． 4．排列与组合的概念
名称
定义
从 n 个不同元素中按照_一__定__的_顺__序__排成一
m！（n－m）！
性质 (3)0！＝1_；Ann＝_n_! (4)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝_C_nm_＋__C_mn_－_1 __
教材拓展
1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．

高三数学复习排列与组合(含答案)

排列与组合1．排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”。

取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。

2．排列、组合问题的求解方法与技巧①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题要先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题倍缩法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反，等价转化。

一、走进教材1．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A．18 B．24二、走近高考3．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A．12种B．18种C．24种D．36种4．从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数。

(用数字作答)三、走出误区微提醒：①分类不清导致出错；②相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方法。

5．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有________种。

6．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种。

考点一简单的排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。

(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻。

【变式训练】(1)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．A1818种B．A2020种C．A23A318A1010种D．A22A1818种(2)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A．10种B．16种C．20种D．24种考点二组合问题【例2】(1)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种。

1.2.3排列组合的综合问题

(5)平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有C16·AC5122·C44＝15(种)．
(6)本题即为 6 本书放在 6 个位置上，共有 A66＝720(种)．
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跟踪练习
2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有1个空盒，有几种放法？
(3)恰有2个盒子不放球，有几种放法？
解析：(1)44＝256(种)． (2)先从 4 个小球中取 2 个放在一起，有 C24种不同的取法，再把取出的两个小球与另外 2 个小球看作三堆，并分别放入 4 个盒子中的 3 个盒子里，有 A34种不同的放法．根据分步乘法计数原理，不同的放法共有 C24A34＝144(种)．
14 400(个)．
(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一
起的有 C34·C54·A33·A44·A22＝5 760(个)．
(4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把 4 个奇数排好，
再把
3
个偶数分别插入
5
个空当，共有C3 4Fra bibliotek·C4 5
·A
4 4
·A
3 5
＝
28 800(个)．
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①取三个元素：有C12·C12· C12=8（种）②取四个元素：先从±1，±2，±3三组中选取一组C13，再从剩下的两组中选两个元素C12·C12，故共有C13·C12·C12=12（种）;③取五个元素： C56=6（种）;④取六个元素：1种.
由分类计数原理，共有8+12+6+1=27（种）.

高三数学排列组合综合应用试题

高三数学排列组合综合应用试题1.在高三(1)班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为()A．24B．36C．48D．60【答案】D【解析】先排3个女生，三个女生之间有4个空，从四个空中选两个排男生，共有＝72(种)，若女生甲排在第一个，则三个女生之间有3个空，从3个空中选两个排男生，有＝12(种)，∴满足条件的出场顺序有72－12＝60(种)排法，选D．2. 20个不加区别的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．【答案】120【解析】先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有＝120(种)方法．3.把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有种.【答案】36【解析】先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.【考点】排列组合，容易题.4.选派5名学生参加四项环保志愿活动，要求每项活动至少有一人参加，则不同的选派方法共有_____种 .【答案】240【解析】先将5人分成4组每组至少一人，即一组2人另三组个1人，共有种不同分法，然后再将这四组分到四项活动中去共种分法，根据分步计数原理可得此项活动的不同的选派方法共有种。

【考点】排列组合。

5.某写字楼将排成一排的6个车位出租给4个公司，其中有两个公司各有两辆汽车，如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻，那么不同的分配方法共有________种．（用数字作答）【答案】24【解析】此问题相当于将4个公司全排列，因为，则此问题的不同分配方法共有24种。

高中数学选择性必修三精讲精炼 6 排列与组合综合运用(精练)(含答案)

6.2.3 排列与组合的综合运用(精练)【题组一排队型】1．(2021·湖南长沙 )一次表彰大会上，计划安排这5名优秀学生代表上台发言，这5名优秀学生分别来自高一、高二和高三三个年级，其中高一、高二年级各2名，高三年级1名．发言时若要求来自同一年级的学生不相邻，则不同的排法共有( )种． A ．36 B ．48 C ．72 D ．120【答案】B【解析】先排高一年级学生，有22A 种排法，①若高一年级学生中间有高三学生，有24A 种排法；②若高一学生中间无高三学生，有111223C C C ⋅⋅种排法，所以共有()221112422348A A C C C ⋅+=种排法．故选：B ．2．(2021·全国)2021年1月18日，国家航天局探月与航天工程中心组织完成了我国首辆火星车全球征名活动的初次评审.初次环节遴选出弘毅、麒麟、哪吒、赤兔、祝融、求索、风火轮、追梦、天行、火星共10个名称，作为我国首辆火星车的命名范围.某同学为了研究这些初选名称的内含，计划从中随机选取4个名称依次进行分析，若选中赤兔，则赤兔不是第一个被分析的情况有( ) A ．2016种 B ．1512种 C ．1426种 D ．1362种【答案】B【解析】由题可知，选取的4个名称中含有赤兔，则从中选取4个名称共有39C 种不同的组合. 选出的4个名称的不同分析顺序有44A 种，其中赤兔是第一个被分析的顺序有33A 种，故赤兔不是第一个被分析的情况共有()343943 1 512C A A ⋅-=(种)，故选：B3．(2021·北京通州 )中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有( ) A ．408种 B ．240种 C ．192种 D ．120种【答案】A【解析】将六艺全排列，有66A 种，当“射”排在第一次有55A 种， “数”和“乐”两次相邻的情况有2525A A 种，“射”排在第一次且“数”和“乐”两次相邻的情况有2424A A 种，所以“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻的排法有652524652524A A A A A A 408--+=种，故选：A .4．(2021·湖南永州 )永州是一座有着两千多年悠久历史的湘南古邑，民俗文化资源丰富.在一次民俗文化表演中，某部门安排了《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《祁阳小调》、《道州调子戏》、《女书表演》六个节目，其中《祁阳小调》与《道州调子戏》不相邻，则不同的安排种数为( ) A ．480 B ．240 C ．384 D ．1440【答案】A【解析】第一步，将《东安武术》、《零陵渔鼓》、《瑶族伞舞》、《女书表演》四个节目排列，有4424A =种排法；第二步，将《祁阳小调》、《道州调子戏》插入前面的4个节目的间隙或者两端，有2520A =种插法；所以共有2420480⨯=种不同的安排方法.故选：A5．(2021·河北省唐县第一中学 )7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有( ) A ．400种 B ．720种 C ．960种 D ．1200种【答案】C【解析】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有6621440A ⨯=种，而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有5522480A ⨯⨯=种，故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有1440480960-=种.故选：C.6．(2021·江西临川 )2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种． A ．120 B ．156 C ．188 D ．240【答案】A【解析】完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有44A ，越剧、粤剧有前后22A ，共有：2424A A 种；京剧排二三之一有12C ，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有1232C A ，余下三个有33A ，共有：12231332A C C A 种；由分类计数原理知，所有演出顺序有：411242323223A A C C A A 120＝+(种)故选：A7．(2021·江苏海安 )甲、乙、丙、丁、戊5名党员参加“党史知识竞赛”，决出第一名到第五名的名次(无并列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．据此推测5人的名次排列情况共有( )种 A ．5 B ．8 C ．14 D ．21【答案】C【解析】乙排在第五的情况有：33A ，乙不在第五的方法有112222C C A ，共有3112322214A C C A +=，故选：C ．8．(2021·湖北)“你是什么垃圾？”这句流行语火爆全网，垃圾分类也成为时下热议的话题.某居民小区有如下六种垃圾桶：一天，张三提着六袋属于不同垃圾桶的垃圾进行投放，发现每个垃圾箱再各投一袋垃圾就满了，作为一名法外狂徒，张三要随机投放垃圾，则法外狂徒张三只投对一袋垃圾或两袋垃圾的概率为( ) A ．12 B ．59C ．67120D ．133240【答案】D【解析】根据题意，六袋垃圾随机投入六个垃圾桶共有66720A =种方法，当只投对一袋时，其他五袋与对应垃圾桶全错位排列，则5个元素全错位544=D (常用数据知识)，当投对两袋时，其他4个元素全错位49D =，所以概率为126666449399133=720240⨯+⨯==C C P A .故选：D. 9(2021·重庆市杨家坪中学)某海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E ､F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种【答案】D【解析】当E ，F 排在前三位时，有()22322324A A A =种安排方案；当E ，F 排在后三位时，有()()1222332272C A A A =种安排方案：当E ，F 排中间两位时，有()1122232224C A A A =种安排方案.综上，不同的安排方案共有247224120++=(种)，故选：D.10．(2021·全国·专题练习)“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP ，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．16【答案】B【解析】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有222422C A A 24=种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有22222A A 8=种，所以所求概率81243P ==故选：B 11．(2021·全国·高三专题练习)某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表(上午四节、下午四节，每门课每天至少一节)，已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻(上午第四节和下午第一节不算相邻)，则该生该天课表有( ). A ．444种 B ．1776种 C ．1440种 D ．1560种【答案】B【解析】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，所以只需在生、史、地、政中四选一，有14C 4=(种).对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有114244192C C A =(种)；第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有133C =(种)，语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有14C 4=(种)，其他三科可以全排列，有()12332334252C A A +=(种).综上，共有()41922521776⨯+=(种).故选：B12．(2021·重庆市江津中学校高二月考)2021年4月29日是江津中学艺术节总汇演之日，当晚要进行隆重的文艺演出，已知初中，高一，高二分别选送了7，5，3个节目，现回答以下问题：(用排列组合数表示，不需要合并化简)(1)若初中的节目彼此都不相邻，共计有多少种出场顺序；(2)由于一些特殊原因，高一的12345,,,,A A A A A ，5个节目，1A 必须在其余4个节目前面演出；高二的123,,B B B ，3个节目，1B 必须在其余2个节目前面演出；初中没限制，共有多少种出场顺序；(3)为了活跃气氛，高二年级决定将2000根荧光棒发给1600名台下的高二学生，每个学生至少一根，共计有多少种分配方案；(4)演出结束后，学校安排高二年级的24个班去打扫A ，B ，C 三个区域的卫生，24个班被平均分成3组，每组8个班，每个区域安排一组，若11，12班必须打扫同一个区域，13，14班必须打扫同一个区域，则共有多少种安排方式．【答案】(1)8789A A ；(2)15421542535s A A A A A ⨯⨯⨯；(3)15991999C ；(4)4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯. 【解析】(1)先对高一、高二的节目进行全排列，有88A 种不同的排法，再将初中的7个节目插入8个节目构成的9个空隙中的7个，有79A 种方法，由分步计数原理可得，共有8789A A 种不同的出场顺序.(2)高一的5个节目全排列，有55A 不同的排法，其中1A 必须在其余4个节目前面有44A 种，高二的3个节目全排列有33A 不同的排法，其中1B 必须在其余2个节目前面有22A 种，初中、高一和高二的15个节目全排列有1515A 种不同的排法，所以1A 在其余4个节目前面演出；1B 在其余2个节目前面演出，共有15421542535sA A A A A ⨯⨯⨯种. (3)由2000根荧光棒为2000个相同的元素，分给1600名台下的高二学生，可利用隔板法，在2000根荧光棒构成的1999个空隙中插入1599个板，把2000根荧光棒分为1600份，共有15991999C 种不同的分法.(4)由题意，可分为两类：①若11,12和13,14在同一组中，共有488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式； ②若11,12和13,14不在同一组中，共有6683201283C C C A ⨯488320168322C C C A A ⨯种不同的安排方式，由分类计数原理，可得共有4883668320168320128322C C C A C C C A A ⨯+⨯不同的安排方式. 13．(2021·福建·厦门海沧实验中学高二期中)现有6名学生，按下列要求回答问题(列出算式，并计算出结果)：(Ⅰ)6人站成一排，甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数； (Ⅱ)6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；(Ⅲ)把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数； (Ⅳ)6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．【答案】(Ⅰ)360；(Ⅱ)192；(Ⅲ)1560；(Ⅳ)35【解析】(Ⅰ)6个人全排列共有种不同排法，由于甲站在乙的前面与乙站在甲的前面各占一半，故甲站在乙的前面(甲、乙可以不相邻)的不同站法种数为6613602A =； (Ⅱ)甲乙捆绑到一起与剩下3人共4人共有种不同排法，由于丙与乙不相邻，丙只需从甲乙这个整体与剩余3人产生的4个空中任选一个进行排放，根据分步计数原理，共421424192A A C ⋅⋅=种不同排法；(Ⅲ)6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人有两类，第一类是3个班级各1人，1个班级有3人，这种情况共有，第二类是2个班级2人，2个班级1人，这种情况共有,根据分类计数原理知每个班级至少1人的不同分配方法种数为221131114464216321442232231560C C C C C C C C A A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=⋅； (Ⅳ)记A ：甲乙相邻共有种不同排法，记B:甲、乙相邻且丙、丁不相邻共有种不同排法，根据条件概率的计算公式232432252535A A A A A ⋅⋅=⋅ 【题组二数字型】1．(2021·重庆市凤鸣山中学高二月考)现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？(3)可以组成多少个无重复数字的四位偶数？(4)选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？【答案】(1)648个；(2)156个；(3)2296个；(4)1140个.【解析】()1由题意，无重复的三位数共有1299972648A A=⨯=个；()2当百位为1时，共有299872A=⨯=个数；当百位为2时，共有299872A=⨯=个数；当百位为3时，共有118412A A+=个数，所以315是第727212156++=个数；()3无重复的四位偶数，所以个位必须为0，2，4，6，8，千位上不能为0，当个位上为0时，共有39504A=个数；当个位上是2，4，6，8中的一个时，共有1218841792A A A=个数，所以无重复的四位偶数共有50417922296+=个数；()4当选出的偶数为0时，共有1335180A A=个数，当选出的偶数不为0时，共有134454960C C A=个数，所以这样的四位数共有9601801140+=个数；2．(2021·江苏·仪征中学高二期中)由1，2，3，4，5组成的五位数中，分别求解下列问题.(应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示)(1)没有重复数字且为奇数的五位数的个数；(2)没有重复数字且2和4不相邻的五位数的个数；(3)恰有两个数字重复的五位数的个数.【答案】(1)72个；(2)72个；(3)1200个.【解析】(1)由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.14 3472C A⋅=个.(2)先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即323472A A=个(3)从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即132354531200C C C A=个【题组三分组分配型】1．(2021·北京·中国人民大学附属中学朝阳学校)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有25C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有2 54!240C⨯=种不同的分配方案，故选：C.2．(2021·江苏常州)CES是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020年1月7日—10日在美国拉斯维加斯举办.在这次CES消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7名员工中选出3名员工负责接待工作(这．3名员．．工的工作视为相同的工作．．．．．．．．．．．)，再选出2名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1人负责接待工作，则不同的安排方案共有__________种.【答案】360【解析】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有35C种，一类是甲乙安排1人有1225C C种，再从余下的4人中选2人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共24A种，故不同的安排方案共有()12322554360C C C A +⋅=种.故答案为：360.3．(2021·河北石家庄·高二期末)某学校安排甲、乙，丙、丁、戊五位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲不参加数学竞赛，则不同的安排方法有( ) A ．86种 B ．100种 C ．112种 D ．134种【答案】B【解析】若只有1人参加数学竞赛，有221124244222()(44325)6C C C C A A +=⨯+⨯=种安排方法，若恰有2人参加数学竞赛，有21243263236C C A =⨯⨯=种安排方法，若有3人参加数学竞赛，有3242428C A =⨯=种安排方法，所以共有56368100++=种安排方法．故选：B4(2021·全国·高二单元测试)有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？ (1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本； (3)分成每组都是2本的三组； (4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【答案】(1)60(种)．(2)360(种)．(3)15(种)．(4)90(种).【解析】(1)根据分步计算原理可知，1236535461602C C C ⨯⋅⋅=⨯⨯=，所以分成1本、2本、3本三组共有60种方法；(2)由(1)可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有336060321360A ⋅=⨯⨯⨯=种方法；(3)先分三步，则应是222642C C C ⋅⋅种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A 、B 、C 、D 、E 、F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则222642C C C ⋅⋅种分法中还有(AB ，EF ，CD )、(CD 、AB 、EF )、(CD 、EF ，AB )、(EF ，CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共33A 种情况，而且这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有22264233C C C A ⋅⋅＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法2223642333C C C A A ⋅⋅⋅＝90(种)．【题组四涂色型】1．(2021·江西·横峰中学高二期中(理))如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( )A ．36种B ．24种C ．12种D ．9种\【答案】C【解析】第一步：涂三棱锥P -ABC 的三个侧面，因为要求相邻的面均不同色，所以共有3216⨯⨯=种不同的涂法，第二步：涂三棱柱ABC -111A B C 的三个侧面，先涂侧面11AA B B 有122C =种涂法，再涂11BB C C 和11CC A A 只有1种涂法，所以涂三棱柱的三个侧面共有212⨯=种涂法，所以对几何体的表面不同的涂色方案共有6212⨯=种涂法，故选：C2．(2021·陕西·韩城市西庄中学高二期中(理))在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有( )A ．720种B ．2160种C ．4100种D ．4400种【答案】C【解析】考虑A 、C 、E 三个区域用同一种颜色，共有方法数为354320⨯=种；考虑A 、C 、E 三个区域用2种颜色，共有方法数为()5434332160⨯⨯⨯⨯⨯=种；考虑A 、C 、E 三个区域用3种颜色，共有方法数为33531620A ⨯=种．所以共有方法数为320216016204100++=种．故选：C ．3．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【答案】C【解析】由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，(1)当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法， ①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法； ②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法. (2)当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法； ②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法. 故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法. (3)当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法； ②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，(i )若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；(ii )若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法. 故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法. 综上，共有240192168600++=种涂色方法. 故选：C.4(2021·全国·高二课时练习)现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有( )A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种【答案】D【解析】根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；所以不同的涂色方法：6543434320⨯⨯⨯⨯⨯=种. 故选：D.5．(2020·全国·高二课时练习(理))如图，图案共分9个区域，有6中不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有A ．360种B ．720种C ．780种D ．840种【答案】B【解析】由图可知，区域2,3,5,7不能同色，所以2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且各区域的颜色均不相同，所以涂色方法有种，故应选.6．(2021·全国·高二课时练习)如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【答案】576 264【解析】(1)由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；(2)若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =；若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种．故答案为：①576；②264.7．(2021·江苏·)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为__________.【答案】48【解析】根据题意，设需要涂色的四个部分依次分A、B、C、D，对于区域A，有4种颜色可选，有4种涂色方法，对于区域B，与区域A相邻，有3种颜色可选，有3种涂色方法，对于区域C，与区域A,B相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，对于区域D，与区域B,C相邻，有2种颜色可选，有2种涂色方法，则不同的涂色方法有432248⨯⨯⨯=种.故答案为：48．8．(2021·吉林·乾安县第七中学(理))如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种.(以数字作答)【答案】72【解析】当使用四种颜色时，先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，则第2、4和第3、5区域需一组涂上同一种颜色，另外一组涂上不同颜色，所以共有1112423248C C C A=种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有34C种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有343224C⨯⨯=种.综上共有：482472+=种.故答案为：729．(2021·重庆市实验中学高)如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.【答案】420【解析】将区域标注数字序号如下图：当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时共有涂色方法：211533180A C C =种当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：311522240A C C =种则不同的涂色方案总数为：180240420+=种本题正确结果：42010．(2021·江西·宁冈中学 )用五种不同颜色给三棱台ABC DEF -的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种. 【答案】1920.【解析】分两步来进行，先涂,,A B C ，再涂,,D E F .第一类：若5种颜色都用上，先涂,,A B C ，方法有35A 种，再涂,,D E F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有32532720A A ⋅⋅=种；第二类：若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有45C 种；先涂,,A B C ，方法有34A 种，再涂,,D E F 中的一个点，方法有3种，最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有4354331080C A ⋅⋅⋅=种；第三类：若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有35C 种；先涂,,A B C ，方法有33A 种，再涂,,D E F ，方法有2种，故此时方法共有33532120C A ⋅⨯=种；综上可得，不同涂色方案共有72010801201920++=种，故答案是1920.11．(2021·江西·进贤县第一中学高二月考(理))用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A 、B 、C 、D 、E 涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法____．【答案】960【解析】因为区域D和各个区域都相邻，所以首先给区域D染色有5种方法,区域C、E各有4种方法, 区⨯⨯⨯⨯=.域A、B一个4种,一个3种,根据分步乘法计数原理可知, 共有涂色方法54443960故答案为：960．12．(2021·新疆·阜康市第一中学高二期中(理))现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分)，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.(用数字作答).【答案】96【解析】根据题意，假设正五角星的区域依此为A、B、C、D、E、F，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A区域涂色有3种方法，B、C、D、E、F这5个区域都与A相邻，每个区域都有2种涂色方法，⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方案.所以共有32222296故答案为：9613．(2020·江苏常熟·高二期中)用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.(用数字回答)【答案】240【解析】从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.14(2021·全国·高二课时练习)现用4种不同的颜色对如图所示的正方形的6个区域进行涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方案有______种.【答案】192【解析】第一步，对区域1进行涂色，有4种颜色可供选择，即有4种不同的涂色方法；第二步，对区域2进行涂色，区域2与区域1相邻，有3种颜色可供选择，即有3种不同的涂色方法；第三步，对区域3进行涂色，区域3与区域1、区域2相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第四步，对于区域4进行涂色，区域4与区域2、区域3相邻，有2种颜色可供选择，即有2种不同的涂色方法；第五步，对区域5进行涂色，若其颜色与区域4相同，则区域6有2种涂色方法，若其颜色与区域4不同，。

排列、组合综合应用(学生版)

排列组合综合应用一、例题讲解题型一先选后排问题例1有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种.题型二配对问题例2 设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），⑴则恰有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？⑵则恰有一个小球和盒子编号相同的放法有多少种？练习1：从5双不同的袜子中任取4只，则恰有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？题型三相同元素问题例3现准备将7台型号相同的电脑分配给5所小学，每个学校至少1台，则不同的分配方案共有（）A．13种B．15种C．20种D．30种练习2：有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有________种分配方案.练习3：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程正整数解的组数为________．练习4：已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，则不定方程自然数解的组数为________．例4 马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有() A．60种B．20种C．10种D．8种练习5：某班微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名同学同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个5元(红包中金额相同视为相同的红包)，则甲、乙两人都抢到红包的情况有（）A．36种B．24种C．18种D．9种题型四古典概型与排列组合例5（2021全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8二、课后巩固1．金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（）A ．20B ．24C ．25D ．262.（2020新高考I 卷）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种3.（2021全国甲卷理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45 4.（2019全国乙卷）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A ．516B ．1132C ．2132D ．1116 5.（2022新高考II 卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．受疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（） A ．240种B ．120种C ．188种D ．156种7．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（）A ．311C 种B ．38A 种C ．39C 种 D ．38C 种8．为进一步规范电动自行车管理，某社区持续开展了两轮电动车安全检查和宣传教育，为了解工作效果，该社区将四名工作人员随机分派到A ，B ，C 三个小区进行抽查，每人被分派到哪个小区互不影响，则三个小区中恰有一个小区未分配到任何工作人员的概率为（）A．49B．2027C．1627D．14279．将编号为1，2，3，4，5的小球放入编号为1，2，3，4，5的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有2个小球与所在盒子编号相同的概率为（）A．18B．16C．112D．12410.（多选）如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4、A5是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，现在甲需要从道路网M出发，随机选择一条沿街的最短路径走到N处为止，下列说法正确的是（）A．如果甲需要经过A5，那么从M到N的线路有4条；B．如果甲需要经过A2，那么从M到N的线路有16条；C．如果甲需要经过A3，那么从M到N的线路有36条；D．甲从M到N的线路一共有70条；11．（2020新高考II卷）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.12.（2023新高考Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．13．某班两位老师和6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐4人.若要求两位老师分别坐在两辆车上，共有种分配方法.14. （教材28页）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有________种不同情况．15．某微信群中五人同时抢4个红包，每人最多抢一个且红包全部被抢完，已知4个红包中有两个2元，一个3元，一个5元（红包中金额相同视为相同的红包），则有种不同的情况.16．（浙江卷）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．17.有10本相同的画册要分给6个小朋友，每个小朋友至少一本，则不同的分法种数有__________种．18．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数有种.。

人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册《排列与组合课时2》教学设计

人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册《排列与组合课时2》一等奖创新教学设计《排列与组合》教学设计课时2排列的综合应用必备知识学科能力学科素养高考考向排列与排列数公式学习理解能力观察记忆概括理解应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决创造迁移能力综合问题解决猜想探究数学抽象逻辑推理【考查内容】排列问题、组合问题及排列与组合的综合应用【考查题型】选择题、填空题、解答题排列的综合应用数学建模数学运算组合与组合数公式数学抽象逻辑推理组合的综合应用数学建模数学运算一、本节内容分析排列与组合是组合学最基本的概念,其核心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数.排列的本质就是从给定个数的元素中取出指定个数的元素排成一列,需要将它们排序;组合的本质则是从给定个数的元素中取出指定个数的元素作为一组,而不考虑将它们排序.本节是在计数原理的基础上,将实际问题中抽取的对象抽象为元素,引入排列与组合的概念,然后用字母表示排列数和组合数,并给出计算排列数和组合数的公式.在此过程中,体现将实际问题转化为排列与组合问题的数学抽象,将分类、分步的计数表示为排列数和组合数的数学模型,以及通过排列数与组合数公式便捷地求出计数结果的数学运算.排列与组合是两类特殊的计数问题,是两个计数原理的典型应用.排列组合与前后知识有着紧密的联系.排列组合可用于解决古典概型问题;在下一节中,二项式系数就是组合数;在后续学习中还可看到它们与概率紧密不可分.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.排列与排列数公式2.排列的综合应用3.组合与组合数公式4.组合的综合应用数学抽象数学建模逻辑推理数学运算核心素养二、学情整体分析从学生的现有知识水平看,学生对两个计数原理已很好的掌握,但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考.从能力的角度看,学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力,对数学中归纳、化归、由特殊到一般的思想方法比较敏感,但抽象概括的能力较弱.教学中要借助学生已有的能力,提供实际问题情境,引导学生进行分析,向学生提供合适的探究材料,引发学生主动探究的兴趣,借助小组讨论、合作交流,全班展示等活动培养学生的自主学习、合作学习及数学表达能力.学情补充:______ _________________ _________三、教学活动准备【任务专题设计】1.排列与排列数公式2.排列的综合应用3.组合与组合数公式4.组合的综合应用【教学目标设计】1.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到排列的定义,并能利用定义判断排列问题.2.能将所求排列数的结果归纳为一般形式,从而得出排列数公式,并能利用公式求具体问题的排列数.3.能将实际问题中抽取的具体对象抽象为元素,从而将具体问题归纳为一般问题,得到组合的定义,并能利用定义判断组合问题,知道组合问题与排列问题的区别与联系.4.能由组合数与排列数的关系得到所求组合数,再将具体结果归纳为一般形式,从而得到组合数公式,并能利用公式求具体问题的组合数.【教学策略设计】1.将数学文化和数学知识、实际生活有机地融合,让抽象的数学概念形成的过程丰富多元,避免单调枯燥.2.以问题为载体,以学生为主体,创设有效问题情境,努力营造开放、民主、和谐的学习氛围,充分调动学生的兴趣与积极性.3.让学生在经历“自主、探究、合作”的过程中,体验从生活中发现数学的奇妙.4.通过观察、分析、对比、归纳、猜想、证明、展示、交流等一系列思维活动,在教师的适当引导、组织下主动地建构数学知识的过程.5.注重渗透“特殊与一般”“分类讨论”“转化与化归”等重要数学思想及类比的学习方法,让学生掌握知识的同时提升数学素养与思维品质,真正做到“授之以鱼不如授之以渔”.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有_________【教学重点难点】重点 1.排列和排列数公式.2.组合和组合数公式.难点 1.推导组合数公式.2.排列与组合的应用.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、______2.其他材料:______ _四、教学活动设计教学导入师:请大家复习一下上一节课的知识点.生:1.排列的概念:从个不同元素中,任取个元素(这里的被取元素各不相同),并按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.2.排列数的概念:从个不同元素中,任取个元素的所有不同排列的个数叫做从个元素中取出个元素的排列数,用符号表示.3.排列数公式:(1)连乘形式:,并且常用来求值,特别是当均为已知时;(2)阶乘形式:,常用来证明或化简.师:生活中有很多的排列问题,大到大型活动的出场顺序,小到我们生活中的点滴小事,都无时无刻不体现排列的应用,你能举出生活中的实例吗生:节目出场顺序的问题,数字排列问题等.师:今天我们就来具体研究一下排列的简单应用.首先看数字排列问题,阅读下面例题,回答问题.【先学后教】由学生熟悉的知识出发,激发学生探索学习的兴趣,又从中培养学生良好的学习习惯.【情境学习】通过生活中的实例,激发了学生学习的兴趣,培养了学生的自主学习能力.教学精讲【典型例题】数字排列问题例1 用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字(1)六位奇数;(2)个位数字不是5的六位数;(3)不大于4310的四位偶数.【简单问题解决能力】教师引出思考,引导学生自主探究,培养学生发现问题和解决问题的能力.师:明确奇数和偶数的特点,注意“0”这个特殊元素,利用直接法或间接法求解.生解:(1)第一步,排个位数,有种排法;第二步,排十万位,有种排法;第三步,排其他位,有种方法.故共有个六位奇数.【引导学生思考,自主学习,回答问题,教师予以肯定】生解:(2)解法一(直接法):十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同,因此需分两类.第一类,当个位排0时,有个;第二类,当个位不排0时,有个.故符合题意的六位数共有(个).生解:解法二(排除法):0在十万位和5在个位的排列都不对应符合题意的六位数,这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况.故符合题意的六位数共有个.生解:(3)分三种情况,具体如下:(1)当千位上排1,3时,有个.(2)当千位上排2时,有个.(3)当千位上排4时,形如的偶数各有个,形如的偶数有个,形如的偶数只有4302和4310.故符合题意的四位偶数共有(个).师:排列问题的本质是“元素”占“位置”问题,有限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上,或某个位置不排某些元素;解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位置,若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时,应分类讨论.提醒:解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分类和分步,尤其注意特殊元素“0”的处理.【少教精教】在一个具体问题的基础上,教师更进一步提出疑问,启发学生思考,并联系排列的定义,让学生自主解决问题.师:下面一起探究排队、排节目问题,看下面例题.【典型例题】排队、拍照问题例2 (1)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A.36种B.42种C.48种D.54种(2)7名师生站成一排照相留念,其中教师1人,男生4人,女生2人,在下列情况下,各有多少种不同站法①老师必须站在中间或两端;②两名女生必须相邻而站;③4名男生互不相邻;④若4名男生身高都不等,按从高到低的顺序站.【教师引导学生思考,通过小组探究,学生独立完成,教师指定学生讲解给全体学生】【情境学习】教师以学生为中心,组织学生分组学习,学生根据教师给出的问题,在特定的情境中,以小组为单位,通过合作交流、讨论得到答案.师:(1)丙的位置固定,应该以甲的位置为分类标准.生解:因为丙必须排在最后一位,所以只需考虑其余五个节目在前五位上的排法.当甲排在第一位时,有(种)编排方案;当甲排在第二位时,有(种)编排方案,所以共有(种).师:(2)①优先考虑特殊元素——老师;②捆绑法排列;③插空法排列.生解:①先考虑老师有种站法,再考虑其余6人全排,故不同站法总数为:(种);②2名女生站在一起有站法种,视为一种元素与其余5人全排,有种排法,所以有不同站法为:(种);③先站教师和女生,有站法种,再在教师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生,每空一人,则插入方法种,所以共有不同站法(种);④7人全排列中,4名男生不考虑身高顺序的站法有种,而由高到低有从左到右和从右到左的不同,所以共有不同站法(种).师:(1)合理归类,要将题目大致归类,常见的类型有特殊元素、特殊位置、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一类采用相应的方法解题.(2)恰当结合,排列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过程中要恰当结合两个计数原理.(3)正难则反,这是一个基本的数学思想,巧妙地应用排除法可起到事倍功半的效果.【综合问题解决能力】通过教师引导学生发现问题,小组讨论解决问题,培养了学生发现问题,提出问题和解决问题的能力.通过探索知识,激发了学生的学习兴趣,提升学生的综合问题解决能力.师:下面再看排列的综合问题,我们将从三个角度探究.师:角度1——探究元素的“在”与“不在”问题.【典型例题】元素的“在”与“不在”问题例3 3名男生,4名女生站成一排照相,若甲不站中间也不站两端,则有多少种不同的站法师:甲是特殊元素应怎样去考虑【学生积极思考,组内积极交流讨论,计算演算,教师巡视学生完成情况】生解:第一步,安排甲,在除中间,两端以外的4个位置上任选一个位置安排,有种排法.第二步,安排其余6名学生,有种排法.由分步乘法计数原理知,共有(种)不同排法.师:“在”与“不在”排列问题解题原则及方法:(1)原则:解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时,可以从元素入手也可以从位置入手,原则是谁特殊谁优先.(2)方法:从元素入手时,先给特殊元素安排位置,再把其他元素安排在其他位置上;从位置入手时,先安排特殊位置,再安排其他位置.注意:解题时,或从元素考虑,或从位置考虑,都要贯彻到底,不能一会考虑元素,一会考虑位置,造成分类、分步混乱,导致解题错误.【推测解释能力】教师提问进行提示,学生积极思考完成简单的“在”与“不在”问题,在解决问题的过程中锻炼了推测解释能力.师:角度2——探究固定顺序排列问题.【典型例题】固定顺序排列问题例4 7人站成一排.(1)甲、乙、丙三人排列顺序一定时,有多少种不同排法(2)甲在乙的左边,有多少种不同的排法【教师引导学生思考,通过小组探究学生独立完成,教师指定学生讲解给全体学生】生解:(1)解法一:7人的所有排列方法有种,其中甲、乙、丙的排序有种,又甲、乙、丙只有一种排序,所以甲、乙、丙排序一定的排法共有(种).解法二(插空法):7人站定7个位置,只要把其余4人排好,剩下的3个空位,甲、乙、丙就按他们的顺序去站,只有一种站法,故共有(种).生解:(2)甲在乙的左边的7人排列数与甲在乙的右边的7人排列数相等,而7人排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有(种).【自主学习】解题过程中通过采用不同的解题方法,让学生体验学习的乐趣,引导学生自主探索,培养学生自主探究学习的能力.师:固定顺序的排列问题的求解方法:这类问题的解法通常是采用分类法.个不同元素的全排列有种排法,个元素的全排列有种排法.因此种排法中,关于个元素的不同分法有类,而且每一分类的排法数是一样的,当这个元素顺序确定时,共有种排法.【整体学习】通过总结强调重点和难点,帮助学生把知识系统化、条理化.师:角度3——探究分类讨论思想在排列问题中的应用.【典型例题】排列问题中的分类讨论思想例5 用1,3,6,7,8,9组成无重复数字的四位数,并由小到大排列,则第114个数是多少【教师引导学生思考,通过小组探究,学生独立完成,教师指定学生讲解给全体学生】师:怎样分类生解:分以下几类:型的四位数有(个);型的四位数有(个);型的四位数有(个).因此可得到千位数字是1与千位数字是3,百位数字小于9的四位数共有(个),所以第114个数必是型,按由小到大的顺序分别是故由小到大排列第114个数是.师:我们这节课学习了哪些方法【课堂小结】排列的综合应用1.解排列应用题的一般思路:(1)直接法,即从条件出发,直接考虑符合条件的排列数;(2)间接法,即先不考虑限制条件,求出所有的排列数,再从中去掉不符合条件的排列数.2.解排列应用问题的一般步骤:分析题意→画出“位置图”→分析每个位置的填法→列出表达式→计算.3.对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松);对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑).【设计意图】课时小结,教师引导学生总结当堂课重点内容,整体学习,培养学生对学习内容的整体认识.教学评价学完本节课,我们应该理解排列与组合的概念,能判断一个具体的计数问题是否是排列问题或者组合问题.掌握排列数公式与组合数公式,并能解决简单的计数问题.本节的数学思想方法主要包括分类讨论思想、转化与化归思想、特殊与一般思想.应用所学知识,完成下面各题.1.从1~9的九个数字中取3个偶数,4个奇数,问:(1)能组成多少个没有重复数字的七位数(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个思路:组数问题是一类典型的排列组合问题,往往涉及排列特殊数,如奇数,被5整除的数等.需要注意以下几个问题:(1)最高位数字不为0;(2)若所选数字中含有0,则可先排0,即“元素分析法”;(3)若排列的是特殊数字,如偶数,则先排个位数字,即“位置分析法”;(4)此类问题往往需要分类,可依据特殊元素,特殊位置分类.解析:(1)分步完成:第一步:在4个偶数中取3个,可有种情况;第二步:在5个奇数中取4个,可有种情况;第三步:3个偶数,4个奇数进行排列,可有种情况.故符合题意的七位数共有(个).(2)上述七位数中,将3个偶数排在一起有种情况;故采用捆绑法求得3个偶数在一起的共有(个).2.有4张分别标有数字的红色卡片和4张分别标有数字的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10,则不同的排法共有多少种思路:解答排列、组合综合问题的思路及注意点:(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.(2)解排列、组合综合问题时要注意以下几点:①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法,无序的问题是组合问题,有序的问题是排列问题.②对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,然后再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.解析:取出4张卡片数字之和为10的共有1,2,3,4;1,1,4,4;2,2,3,3三类,按照先选再排的方法求解.分三类:第一类,当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时,不同的排法有种;第二类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种;第三类,当取出的4张卡片分别标有数字时,不同的排法有种.故满足题意的所有不同的排法种数为(种).【设计意图】教师引导学生整理知识,使学生体会排列与组合知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,学生用相应的学科能力解决问题,从而达到数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养目标要求.【简单问题解决能力】通过教学评价,考查学生本节课对排列组合综合问题解决的掌握情况,在解题过程中提升了学生的简单问题解决能力.教学反思本节课内容较多,分为4课时,依次重点学习的内容是:排列与排列数公式、排列的综合应用、组合与组合数公式、组合的综合应用.在本节课的总体教学设计中,教师的身份不仅是讲授知识,而是更侧重于引导启发学生,采用多种方式:如和前边学过的排列的相关知识进行类比,从特殊到一般抽象出组合的概念;运用多媒体课件,利用生活中的具体实例帮助学生理解排列与组合的含义、排列数公式与组合数公式的推导;利用生活中的实例,突出排列与组合问题在统计中的重要位置,落实了数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的核心素养,通过例题和习题的思考和练习,着重培养学生的概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力、猜想探究能力以及综合问题解决能力.【以学论教】根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.通过生活中的实例,激发了学生学习的兴趣,学习组合时类比排列,培养了学生的自主学习能力.1 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高中数学排列组合问题的几种基本方法

解：所有这样的直线共有 A73 210 条，其中不过原点的直线有 A61 A62 180 条，
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
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巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒，则不同的投法的种数是（ B ）
4.消序法(留空法)
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？
解法1：将5个人依次站成一排，有 A55 种站法，
然后再消去甲乙之间的顺序数 A22
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
A55 A22
543
A53
解法2：先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，
有 A53 种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A53 1 A53
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4.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
共有120 30＝3600种排法
几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔.
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3.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.
例3 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以