对麦克斯韦方程组的探讨

a
图1 电路节点 若闭曲面内含有电容，则式（10）为 ∂D ( jc + ) ⋅ dS = 0 。 v ∫ ∂t s
[2]
（11）
ez b
∂D 式中 jc 、 分别为传导电流和位移电流密度。 ∂t
式（10）或（11）即为基尔霍夫电流定律的表达式。 同理，由式（2）亦可导出基尔霍夫电压定律。 电荷守恒定律原是大量实验的概括，现在把它看作是 由麦克斯韦方程组导出的一个结论，目的是使研究人员看 到，电路的基本理论是建立在麦克斯韦方程组、物质电磁 性质方程和电路集中化假设的基础上的。从上述推导表明 电路基尔霍夫定律是“场”的特殊情形，可以从场方程导 出，因而在路论和场论两套体系下，场的理论更为普遍。 由于麦克斯韦方程是以严格数学方程描述了电磁场所遵循 的统一规律,所以以“场”为基础的“路”的概念才能更充 分发挥作用。
[5] 量从场中流入导线，以焦耳热的形式损耗掉 。
用量的具体形式根据洛仑兹力的公式比较，得 ∂A ， E = −∇ϕ − ∂t B = ∇× A 。 两个方程，为
∇× E = − ∂B ， ∂t
（27） （28）
对 E取旋度，对 B取散度，即可得出麦克斯韦方程组的
（29） （30）
∇⋅B = 0。 个方程，为 ∇⋅D = ρ ，
Discussion on Maxwell Equations
XIAO Zhi-jun
（Department of Vocational Education, Guizhou University, Guiyang Guizhou 550004, China）
【Abstract】Maxwell equations are basic equations of classic electromagnetism theory, which completely and systematically summarizes the fundamental law of electronmagnetic field, and by which each macroscopic problem of electronmagnetic field and be principally solved. This article, based on the law of conseration of charge, energy transfer, Bio-Savart law, variation principle and other fundamental laws, discusses the equivalence between Maxwell equations and the general laws of electromagnetic field, thus enhancing the understanding of general laws of electromagnetic phenomena reflected by Maxwell equations and being of certain reference value for the teaching of Maxwell equations. 【Key words】Maxwell equations；electromagnetic field；general laws
v ∫
s
∂ j ⋅ dS = − ∫∫∫ ρ dτ 。 ∂t τ
下面在满足似稳条件(即所观测电路的尺寸远小于电路 激发的电磁波波长) 的前提下进一步导出基尔霍夫定律。 如图1所示，对电路任一节点A，当电荷不随时间变化时有 ∂ρ = 0 ，对节点A取表面积分，则由式（9）可知， ∂t
v ∫ j ⋅ dS = 0 。
物理学中最普遍的根本原理，根据某些普遍性的考虑得出 电磁系统作用量的形式，然后，通过变分得出电磁场所遵 从的基本规律。
∇× B = µ j ，
将式（20）代入式（21）并由矢量恒等式得
∇ × B = ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ × A) − ∇ A = µ j ，
引入辅助条件 ∇ ⋅ A = 0 ，则式（22）化为
l 的一段导体上，消耗的功率为：
P = ∫ ( En × H ) ⋅ dS = ∫ ( Et × H ) ⋅ dS ，
S1 S2
（18）
（18）式中S1和S2分别为导线间环状截面积和内导体环状面
积，显然，上式中第一项积分为零，因而 j P = ∫ ( E × H ) ⋅ dS = ∫ ( × H ) ⋅ d S
[6]
2
（23）
ρ
ε
的形式相同，
（24）
方程组求出任意时刻电磁场的状态，所以，麦克斯韦方程 组反映了电磁场的普遍规律。 参考文献
1 谢处方，饶克谨.电磁场与电磁波[M].第3版，北京：高等教育出版 社，1997：143-144.
（24）式中 r 是场点到源点的距离，对（24）式两端求旋
µ 1 µ r ∇( ) × jdV′ = j × 3dV ′ ， ∫ ∫ 4π v r 4π v r
另外，若导体不是理想导体(γ≠∞)，导体则要消耗一部 分功率，根据电场的边值关系，此时在紧贴内导体的介质 内，存在沿导线方向和垂直于导线的两个场强分量Et和En， 因而其坡印廷矢量亦有沿导线方向和垂直于导线的两个分 [4] 量St和Sn ，其中， St = En × H ， S n = Et × H ，则在长度为
图2 同轴线截面 应用安培环路定律，据介质的对称性, 如图2，取以轴 为圆心、任意半径为 ρ 的圆为积分回路，则 I Hρ = eϕ 。 2πρ 此时坡印廷矢量为 UI S = Eρ × H ρ = e 。 b ρ 2 π ln a
（15）
（16）
将S 对两导线间的环状截面积分即得电磁场传输的功 率为
2 与电荷守恒的关系
对麦克斯韦方程组第四方程式两边取散度，得 ∂D ， ∇ ⋅∇× H = ∇ ⋅ j + ∇ ⋅ ∂t 由于 ∇ ⋅ ∇ × H = 0 ，将第一方程代入得 ∂ρ ， ∇⋅ j = − ∂t （8）
式中， j 是传导电流密度， ρ 是自由电荷体密度。 在介质内，上述方程组尚不完备，还需补充三个描述 介质性质的方程式。对于各向同性介质来说，有
∂D 。 ∇× H = j + ∂t
对 φ变分和对A变分，可以得出麦克斯韦方程的另外两 （31） （32）
4 与毕奥-萨伐尔定律的关系
由矢量分析的定理可知，磁感应强度B可表示为矢势A 的旋度：
这种建立麦克斯韦方程组的方法，是把变分原理看成
（20） （21）
2
B = ∇× A ，
在恒定电流的磁场中，式（4）可表示为
2008 年第 09 期，第 41 卷 总第 201 期
通
信
技
术
Vol.41，No.09,2008 No.201,Totally
Communications Technology
对麦克斯韦方程组的探讨
肖志俊
（贵州大学 职业技术学院，贵州 贵阳 550004）
【摘 要】麦克斯韦方程组是经典电磁学理论的基本方程，它全面系统地总结了电磁场的基本规律，利用它们原则上可 以解决各种宏观电磁场问题。文中从电荷守恒定律、能量传输、毕奥-萨伐尔定律、变分原理等基本规律出发，探讨了麦克 斯韦方程组与电磁场普遍规律之间的一致性，不仅加深了对麦克斯韦方程组反映电磁现象普遍规律的认识，而且对麦克斯韦 方程组的教学也具有一定的参考价值。 【关键词】麦克斯韦方程组，电磁场，普遍规律 【中图分类号】TM15 【文献标识码】A 【文章编号】1002-0802(2008)09-0081-03
（22）
6 结语
麦克斯韦方程组是电磁场的运动方程，它反映了在一 般情况下电荷电流激发电磁场和电磁场相互激发的普遍规 律。在无源的区域，电场和磁场相互激发，场独立于电荷 电流之外而存在。只要知道了某个电磁场在起始时刻的情 况和以后任一时刻的电荷、电流分布，就可以由麦克斯韦
∇ A = −µ j ，
显然，式（23）与电势的泊松方程 ∇ 2φ = − 故式（23）特解为 µ j′ dV ′ ， A= 4π ∫ r v 度，可得到磁感应强度 µ j′ ∇ × ∫ dV ′ B = ∇× A = 4π r v =
笔者是从电磁场理论而不是从电路理论推出了预料之 中的结果。以上过程中的积分只在内外导体的截面上进 行，并不包括导体内部。这说明能量并不是在导体内部传 输，而是在内外导体间的介质空间中传输。可见，能进入
（12）
[3] 导体的能量并不是用来传输能量，而是导体消耗的能量 。
（12）式右边第一项是体积 τ 内每秒电场和磁场能量的增加 量；第二项是 τ 内变为焦耳热的功率。根据能量守恒原理， 等式左边的面积分应是穿过闭合面S进入体积内的功率。 在电磁场(波) 中, 能量在场中传播的实质比较容易理 解，而在直流或低频交流电的情况下，由于一般只解电路 方程而不直接求解电磁场量，因而在直流或低频交流电中 谈及电能的传输时，人们往往容易忽视能量在场中传播的 实质。研究人员知道，载流子的运动是受到电场力作用的 82
1 麦克斯韦方程组
人们知道，静止的电荷产生电场，运动电荷或电流除 产生电场外，还产生磁场。截止目前为止，人们尚未发现 自然界中有磁荷及磁流存在，所以电荷和电流是产生电磁 场唯一的源。麦克斯韦方程组全面地描述了时变电磁场的 特性，其微分形式如下
[1]
D = εε0 E , B = µ µ0 H , j =σE ，
（19）
σ
I =− ⋅ ⋅ ⋅ 2 πρ ⋅ l σ π ρ 2 2σ πρ 2
⋅
13
⋅ I2
= − RI 2 。
根据电阻定理, R为这段导线的电阻，这也正是电路理论中 经常用到的电阻所消耗功率的表达式。 由以上计算可知，从场的观点出发，计算出导线周围 电磁场传输的能量与电路理论中所应用的公式一样。但 是，电路理论中只是应用, 而不能从本质上说明电能到底 是由谁来传递的。这样就可以得出结论，电路中能量是由 导线周围的电磁场来传递的，在传递的过程中，一部分能