关于速度选择器的讨论

m dVx
dt
= -qBVy 1()
m dVy
dt
= -F+qBVx 2()
m d2Vx
dt2
= -qB
dVy
dt
3()
m d2Vy
dt2
= qB
dVx
dt
4()
Vx=qV0B-F
qB
cos
qB
m
t +
F
qB
Vy=qV0B-F
qB
sin
qB
m
t
有关速度选择器的讨论
速度选择器是一项重要的仪器，它可用于剔除速度不同的粒子,提高检测精度。

设一速度选择器，水平放置的极板间电场强度E，磁感应强度B（垂直纸面向里），粒子（假设带正电，不计重力）质量m，电荷量q，静电力F=qE，从极板中央平行于极板的直线向右以初速度V0射入极板。

我们知道，速度选择器会选择速度v0=E/B的粒子，因为只有它能做匀速直线运动，从另一小孔射出。

笔者的问题是，有没有可能有的粒子不做匀速直线运动，却依然能够从小孔射出？如果静电力与洛伦兹力不平衡，粒子将做曲线运动，轨迹类似于摆线，如果速度选择器长度合适，在竖直方向上做往复运动的粒子是不是可能回到与入射点同一高度的位置上？
以下是笔者的定量分析：
以粒子射入点为原点，向右、向上分别为x、y轴正方向。

设某一时刻粒子水平、竖直方向分速度Vx、Vy，在水平竖直方向分别分析，由牛顿第二定律得：
将上两式对时间求导得：
（1）代入（4），（2）代入（3），分别得到关于Vx、Vy的二阶常微分方程，代入初始条件，解得：
x=m qB qV0B-F qB sin qB m t +F qB t y=m qB qV0B-F qB (1-cos qB m
t)
由此得到：
可以看出，当qV0B=F ，粒子做匀速直线运动； 当F=0，粒子做半径r=mV0/(qB)的匀速圆周运动。

当qV0B ＞F ，通过几何画板得到运动轨迹如下
h=mqV0B-F
q2B2
如果速度再大一些，轨迹会这样：
当qV0B小于F，轨迹形状类似，只是位置在x轴下方。

可以看出，粒子的运动是有周期性的，从t=0开始，每次经过T=2πm/(qB),粒子回到x 轴，且前进x=(2πmF)/(q^2*B^2)个单位，竖直方向位移最大值为
所以，如果速度选择器中线到极板距离大于h，而长度又恰好为x的整数倍，那么所有打不到极板上的粒子都可以从另一端射出。

如果真是这样，速度选择器岂不是失去了选择作用？或者是实际中会控制极板的长度以防止上述现象发生？
以上是笔者的分析，笔者是一名学生，才疏学浅，如有不妥之处，希望读者及时指正。