2020届湖南省郴州市高三第二次教学质量监测数学(理)试题(解析版)

郴州市2020届高三第二次教学质量监测试卷
理科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合(){}
{
20,A x x x B y y =-<==，则A B =I （ ）
A. [)1,2
B. ()0,2
C. [)0,2
D. [)0,+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：(){}
{}20|02A x x x x x =-<=<<，
{{}
|0B y y y y ===≥；
{}()|020,2A B x x ∴=<<=I ． 故选：B ．
【点睛】考查描述法、区间表示集合的概念，以及交集及其运算，属于基础题． 2.在复平面内，复数2i
i
z -=（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】C 【解析】 【分析】
化简复数为a bi +(a 、)b R ∈的形式，可以确定z 对应的点位于的象限． 【详解】解：复数222(2)(2)12i i i
z i i i i i
--=
==--=-- 故复数z 对应的坐标为()1,2--位于第三象限 故选：C ．
【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．
3.函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）
A. ()ln sin f x x =
B. ()()ln cos f x x =
C. ()sin tan f x x =-
D. ()tan cos f x x =- 【答案】B 【解析】 【分析】
根据特殊值及函数的单调性判断即可；
【详解】解：当0x =时，sin00=，ln sin0无意义，故排除A ； 又cos01=，则(0)tan cos0tan10f =-=-≠，故排除D ；
对于C ，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，tan 0x >，所以()sin tan f x x =-不单调，故排除C ；
故选：B
【点睛】本题考查根据函数图象选择函数解析式，这类问题利用特殊值与排除法是最佳选择，属于基础题. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ）
A.
B. C.
12
D. 12
-
【答案】B 【解析】 【分析】
由等差数列的性质和已知可得623
a π=
，即可得到9343a a π
+=，代入由诱导公式计算可得．
【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623
a π=， 9633
24a a a π+=
=∴， (
)394sin
sin s si in 333n a a ππππ∴⎛
⎫=+=-= =⎪⎝
+⎭ 故选：B ．
【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．
5.达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，
，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角,A C 处作圆弧的切线，两条切线交于B 点，测得如下数据：6,6,10.392AB cm BC cm AC cm ===
（其中
0.8662
≈）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（ ）
A
3
π B.
4
π
C.
2
π D.
23
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由已知6AB BC ==，设2ABC θ∠=．可得 5.196
sin 0.8667
θ=
=．于是可得θ，进而得出结论． 【详解】解：依题意6AB BC ==，设2ABC θ∠=．
则 5.196sin 0.8667θ=
=≈
． 3
π
θ∴=，223
πθ=
． 设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为α． 则2αθπ+=，
.
3
π
α∴=
．
故选：A ．
【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()
AB AC AD ⋅+=u u u r u u u r u u u r
（ ）
A.
52
B. 4
C. 2
D. 1+【答案】B 【解析】 【分析】
连接CD 、OD ，即可得到60CAB DOB ︒∠=∠=，1AC =，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】解：连接CD 、OD ，
C Q ，
D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，60CAB DOB ︒∠=∠=
所以四边形AODC 为棱形，
1cos 1212
AC AB AC AB BAC ∴=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r g g
∴()
11222AB AC AD AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g
2
122AC AB AB =+u u u r u u u r u u u r g ．
21
21242
=⨯+⨯=
故选：B
【点睛】本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.
7.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A. 408 B. 120 C. 156 D. 240
【答案】A 【解析】 【分析】
利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；
【详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有6
6720A =（种），
当“乐”排在第一节有5
5120A =（种），
当“射”和“御”两门课程相邻时有25
25240A A =（种），
当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有24
2448A A =（种），
则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有72012024048408--+=（种）， 故选：A ．
【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．
8.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令
1
2
12
1ln 2,,log 24a b c -
⎛⎫
=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）
A. ()()()f a f b f c <<
B. ()()()f a f c f b <<
C. ()()()f b f a f c <<
D. ()()()f c f a f b <<
【答案】C 【解析】 【分析】
可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设
1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上
单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又1
2
124b -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
12
log 21c ==-
设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]
20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；
()f x Q 在[]1,2上是减函数；
12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；
12()()f x f x ∴<；
()f x ∴在[]0,1上是增函数；
所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=
∴()()()f b f a f c <<
故选：C
【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题. 9.下列结论中正确的个数是（ ）
①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 通项公式为()n a f n =，则该数列是等差数列； ②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则//l α； ③在ABC ∆中，“cos cos A B >”是“B A >”的必要不充分条件； ④若0,0,24a b a b >>+=，则ab 的最大值为2. A. 1 B. 2
C. 3
D. 0
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等差数列的定义，线面关系，余弦函数以及基本不等式一一判断即可；
【详解】解：①已知函数()f x 是一次函数，若数列{}n a 的通项公式为()n a f n =， 可得1(n n a a k k +-=为一次项系数），则该数列是等差数列，故①正确；
②若直线l 上有两个不同的点到平面α的距离相等，则l 与α可以相交或平行，故②错误； ③在ABC ∆中，(),0,B A π∈，而余弦函数在区间()0,π上单调递减，故 “cos cos A B >”可得“B A >”，由“B A >”可得“cos cos A B >”，故“cos cos A B >”是“B A >”的充要条件，故③错误；
④若0,0,24a b a b >>+=
，则42a b =+≥，所以2ab ≤，当且仅当22a b ==时取等号，故④正确；
综上可得正确的有①④共2个； 故选：B
【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 10.
已知函数2
()sin cos
4
4
4
f x x x x π
π
π
=，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）
A. 2018
B. 1009
C. 1010
D. 2020
【答案】C 【解析】 【分析】
首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可． 【详解】解：
2()sin
cos
4
4
4
f x x x x π
π
π
=．
1(1cos )222
x x ππ=- 1sin()262
x ππ=-++，
1
()sin()262
f x x ππ∴=-++，
()
f x ∴周期为
24
2
T π
π
=
=，
()1f =
，()21f =， ()3f =，()40f =， ()()()()12342f f f f +++=． ()()()122020f f f ∴+++L ()()()()5051234f f f f =⨯+++⎡⎤⎣⎦
5052=⨯
1010=．
故选：C
【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．
11.设双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲
线C 的右支上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A. 3⎛⎫
+∞ ⎪
⎪⎝⎭
B. 1,
3⎛ ⎝
⎦ C. )
+∞
D. (
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围；
【详解】解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++
112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=
()12242PF a b a c ∴=+>+
所以2b c > 则22244c a c ->
所以2234c a >
所以22
24
3
c e a =>
所以e >
，即e ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭
故选：A
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.
12.已知函数()x
e f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221
f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞
B. (,)e -∞
C. ,
2e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D. ,2
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【答案】D 【解析】 【分析】 由
()()122
1
f x f x x x <
变形可得()()1122x f
x x f x <,可知函数()()g x xf x =在(0,)x ∈+∞为增函数, 由
()20x g x e ax '=-≥恒成立,求解参数即可求得取值范围.
【详解】(0,),x ∈+∞Q
()()1122x f x x f x ∴<,即函数2()()x g x xf x e ax ==-在(0,)x ∈+∞时是单调增函数.
则()20x g x e ax '=-≥恒成立.
2x
e a x
∴≤
令()x e m x x =,则2(1)()x
x e m x x
-'= (0,1)x ∈时,()0,()m x m x '<单调递减,(1,)x ∈+∞时()0,()m x m x '>单调递增.
min 2()(1),2
e
a m x m e a ∴≤==∴≤
故选:D.
【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.6
2x ⎛+ ⎝
的展开式中，3
x 项的系数是__________．
【答案】240 【解析】 【分析】
利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于3，计算展开式中含有3x 项的系数即可.
【详解】由题意得：616(2)r r
r r T C x -+=，只需3
632
r -=，可得2r =， 代回原式可得3
3240T x =， 故答案：240.
【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用，相对不难. 14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1
1233n n a a a n -++⋯+=，则4S =______
【答案】
4027
【解析】 【分析】
对题目所给等式进行赋值，由此求得n a 的表达式，判断出数列{}n a 是等比数列，由此求得4S 的值.
【详解】解：1
1233n n a a a n -+++=L ，可得1n =时，11a =，
.
2n ≥时，2
12133
1n n a a a n --++⋯+=-，又11233n n a a a n -++⋯+=，
两式相减可得131n n a -=，即1
13n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，上式对1n =也成立，可得数列{}n a 是首项为1，公比为
13
的等比数列，可得441140127133
S -
==-． 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.
15.直线440kx y k --=与抛物线2
y x =交于,A B 两点，若AB 4=，则弦AB 的中点到直线1
02
x +
=的距离等于________. 【答案】
94
【解析】 【分析】
由已知可知直线440kx y k --=过抛物线2y x =的焦点，求出弦AB 的中点到抛物线准线的距离，进一步得到弦AB 的中点到直线1
02
x +=的距离． 【详解】解：如图，
直线440kx y k --=过定点1
(4，0)，
而抛物线2y x =的焦点F 为1
(4
，0)，
∴弦AB 的中点到准线14x =-的距离为1||22
AB =，
则弦AB 的中点到直线1
02x +
=的距离等于19244
+=． 故答案为：
9
4
．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，属
于中档题．
16.平行四边形ABCD 中，60,4,2BAD AB AD ∠=︒==，E 为边CD 上一点（不C D 、与重合），将平行四边形ABCD 沿BE 折起，使五点,,,,A B C D E 均在一个球面上，当四棱锥C ABED -体积最大时，球的表面积为________. 【答案】
523
π
【解析】 【分析】
依题意可得A 、B 、E 、D 四点共圆，即可得到120BED ︒∠=，从而得到三角形BCE 为正三角形，利用余弦定理可得AE ，且AE BE ⊥，要使四棱锥C ABED -体积最大，当且仅当面BCE ⊥面ABED 时体积取得最大值，利用正弦定理求出BCE ∆的外接圆的半径，再又可证AE ⊥面BCE ，则外接球的半径
R =
【详解】解：依题意可得A 、B 、E 、D 四点共圆， 所以180BED BAD ︒∠+∠= 因为60BAD ∠=︒，
所以120BED ︒∠=，60BEC ︒∠=，
所以三角形BCE 为正三角形，则2BE BC ==，60CBE ︒∠=，60ABE ︒∠= 利用余弦定理得2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠
即22242242cos60AE ︒=+-⨯⨯，解得AE =222AE BE AB += 所以AE BE ⊥，
当面BCE ⊥面ABED 时，C ABED V -取得最大， 所以BCE ∆的外接圆的半径2
2sin 60r ︒=
=
又面BCE ⊥面ABED ，AE BE ⊥，且面BCE I 面ABED BE =， AE ⊂面ABED 所以AE ⊥面BCE ，
所以外接球的半径R ===
所以2
13524433
S R πππ==⨯= 故答案为：
52
3
π
【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分
17.已知ABC ∆的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-.
（Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若1,c ABC =∆的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由. 【答案】（Ⅰ）3
C π
=；（Ⅱ）有最大值，最大值为3.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得； （Ⅱ）由正弦定理可得,
a A
b B ==，则2sin 6a b A π⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭，再根据正弦函数的性质计算
可得；
【详解】（Ⅰ）由()2
2sin sin sin sin sin A B C A B -=-得
222sin sin sin sin sin A B C A B +-=
再由正弦定理得222a b c ab +-=
因此2221
cos 222
a b c ab C ab ab +-===，
又因为()0,C π∈，所以3
C π
=
.
（Ⅱ）当1c =时，ABC ∆的周长有最大值，且最大值为3， 理由如下：
由正弦定理得1sin sin sin sin 3
a b c A B C ====
π
所以,a A b B =
=，
所以22sin 36a b A B A A A ππ⎛⎫⎛
⎫+=
+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
因为203A π<<，所以5666A πππ
<+<， 所以当6
2
A π
π
+
=
即3
A π
=
时，+a b 取到最大值2，
所以ABC ∆的周长有最大值，最大值为3.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角函数
性质的应用，属于中档题.
18.已知()0,2P -，点,A B 分别为椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一点
,Q ABP ∆为等腰直角三角形，且:3:2PQ QB =.
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设过点P 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，总使得MON ∠为锐角，求直线l 斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）2
14x y +=；
（Ⅱ）2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意可知：由32
PQ QB =u u u r u u u r
，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设直线2y kx =-，代入椭圆方程，由韦达定理，由>0∆，由MON ∠为锐角，则0OM ON >u u u u r u u u r
g ，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围． 【详解】解：（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形 2a ∴=，
()20B ∴,，
设()
,Q Q Q x y 由:3:2PQ QB =
的
得32PQ QB =u u u r u u u r
则6545Q Q x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
代入椭圆方程得21b =
∴椭圆E 的方程为2
14
x y +=
（Ⅱ）根据题意，直线l 的斜率存在，可设方程为2y kx =- 设()()1122,,M x y N x y
由22
214
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
22
1416120k x kx +-+= 由直线l 与椭圆E 有两个不同的交点则>0∆ 即()(
)2
2
16412140k k --⨯⨯+>
得2
34
k >
又12212216141214k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨⎪=
⎪+⎩
∠Q MON 为锐角则cos 0MON ∠> 121200OM ON x x y y ∴⋅> ∴+>u u u u r u u u r
()()()()2121212121212221240x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++>Q
即(
)2
2
2
12
1612401414k
k
k
k
k
+-+>++ 24k ∴< ②
2k <<
或2k -<< 故直线l
斜率可取值范围是2,222⎛⎛⎫
--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标
运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．
19.如图，在四棱锥A BCDE -中，平面BCDE ⊥平面ABC ，,1,2,60BE EC BC AB ABC ⊥==∠=︒.
（Ⅰ）求证：BE ⊥平面ACE ；
（Ⅱ）若锐二面角E AB C --
，求直线CE 与平面ABC 所成的角. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）45︒. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由余弦定理解得AC ，即可得到AC BC ⊥，由面面垂直的性质可得AC ⊥平面BCDE ，即可得到
AC BE ⊥，从而得证；
（Ⅱ）在平面BCDE 中，过点E 作EO BC ⊥于点O ，则OE ⊥平面ABC ，如图所示建立空间直角坐标
系，设()
(),0,0,A a E b -，其中01,0a b <<>，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到,a b 的关系，从而得解；
【详解】解：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中，2222cos AC BC AB BC ABC =+-⋅∠
，解得AC =， 则222AC BC AB +=，从而AC BC ⊥
因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC = 所以AC ⊥平面BCDE ， 又因为BE ⊂平面BCDE ， 所以AC BE ⊥，
因为BE EC ⊥，AC CE C =I ，AC ⊂平面ACE ，CE ⊂平面ACE ，所以BE ⊥平面ACE ； （Ⅱ） 解：在平面BCDE 中，过点E 作EO BC ⊥于点O ，则OE ⊥平面ABC ，如图所示建立空间直角
坐标系，设()
(),0,0,A a E b -，其中01,0a b <<>，则
(
)()
()1,0,0,,1,0,B a BA BE a b -=-=-u u u r u u u r
设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =u r
，则 00BA m BE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v
u u u v v
，即()0
10
x a x bz ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 令1y =
，则1m a ⎫
=⎪⎪-⎭
u r
又平面ABC 的一个法向量()0,0,OE b =u u u r
，则
cos 7m OE m OE m OE
⋅⋅===
⋅u r u u u r
u r u u u r u r u u u r
从而1b a =-，故45EBO ECB ∠=︒=∠
则直线CE 与平面ABC 所成的角为ECB ∠，大小为45︒.
【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.
20.11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为
12，乙每次投球命中的概率为2
3
，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；
（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率. ①求123,,p p p ；
②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中123,,p p p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②1161
77i i i p p p +-=+，11156n n
p ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1-，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B
相互独立，计算概率后可得分布列；
（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2--），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，
由00p =，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}n n p p --是等比数列，由等比数列通项公式得1n n p p --，然后用累加法可求得n p ．
【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =
，2
()3
P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-，
(1)()P X P AB =-=1
21()()(1)233
P A P B ==-⨯
=， (0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232
=
⨯+-⨯-=， 121
(1)()()()(1)236
P X P AB P A P B ====⨯-=，
∴X 的分布列为：
（2）由（1）116
p =
， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117
()2662636
=⨯+⨯+=，
同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--： 记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则
2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==
由此得甲的得分Y 的分布列为：
∴3111111131143()()3362636636636216
p =
⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，
∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)7
17b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，
代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：1161
77
i i i p p p +-=+， ∴111
()6
i i i i p p p p +--=
-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为1
6q =
，首项为1016
p p -=， ∴11
()6
n
n n p p --=．
∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-L 1
11111
()()(1)66656
n n n -=+++
=-L ． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率． 21.设函数()()ln ,x
f x x x ae p x kx =-=，其中,a R e ∈是自然对数的底数.
（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，求a 的取值范围；
（Ⅱ）若()ln 1'(),(1)x x f x e ϕ=+-ϕ=，函数()x ϕ与函数()p x 的图象交于()()1122,,,A x y B x y ，且AB 线段的中点为()00,P x y ，证明：00()(1)x p y ϕ<<. 【答案】（Ⅰ）1
0a e
<<；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）依题意()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，由
ln 1e 0x x a +-=参变分类可得ln 1
e x x a +=
，令ln 1()x
x g x e
+=，利用导数研究()g x 的单调性、极值，从而得到参数的取值范围；
（Ⅱ）由题解得1a =，()x
x e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立，只需证：
12
2112
2
212
x x x x x x e e e e e k x x +-+<=<-，
即：1221122
212x x x x x e e e e e e
x x +-+<<-，只需证：212121
221112
x x x x x x e e x x e ----+<<-，设210t x x =->，即证：2
112t
t t e e e t -+<<，再分别证明21t t e e t -<，11
2
t t
e e t -+<
即可； 【详解】解：（Ⅰ）由题意可知，0,'()ln 1x
x f x x ae >=+-，
()f x 在()0,∞+上存在两个极值点，等价于'()0f x =在()0,∞+有两个不等实根，
由ln 1e 0x x a +-=可得，ln 1
e x x a +=
，令ln 1()x
x g x e +=，
则()1
ln 1'()x
x x g x e -+=，令1()ln 1h x x x
=--， 可得2
11
'()h x x x
=-
-，当0x >时，'()0h x <， 所以()h x 在()0,∞+上单调递减，且(1)0h = 当()0,1x ∈时，()0,'()0,()h x g x g x >>单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0,'()0,()h x g x g x <<单调递减；
所以1x =是()g x 的极大值也是最大值，max 11
()(1)g x g a e e
∴==∴<
又当0,()x g x →→-∞，当,()x g x →+∞大于0趋向与0，
要使'()0f x =在()0,∞+有两个根，则10a e
<<， 所以a 的取值范围为10a e
<<
； （Ⅱ）由题解得1a =，()x
x e ϕ=，要证()()001x p y ϕ<<成立， 只需证：122112
2
212
x x x x x x e e e e e
k x x +-+<=<-
即：1221122
212
x x x x x e e e e e e
x x +-+<<-， 只需证：2121212
21112
x x x x x x e e x x e
----+<<- 设210t x x =->，即证：2
11
2
t
t t e e e t -+<<
要证2
1
t t e e t
-<，只需证：22t t e e t -->
令()112
2
F t e e
t -
=--，则()2
2
1'102t t
F t e e -⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭
()F t ∴在()0,∞+上为增函数
()()00F t F ∴>=，即2
1
t
t e e t -<成立；
要证112t t e e t -+<，只需证明：112
t t e t e -<+
令()112t
t e t
G t e -=
-+，则()()
()()
()()
2
2
22
2
41121'0212121t t t t
t t
t
e e e e G t e e e -+--=-==
<+++
()G t ∴在()0,∞+上为减函数，()()00G t G ∴<=，即11
2
t t e e t -+<
成立 2
11
,02
t
t t e e e t t -+∴<<>成立，所以()()001x p y ϕ<<成立.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式，属于难题;
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中，已知曲线C
的参数方程为11x y ϕϕ
⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩（ϕ
为参数），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线1l 的极坐标方程为6
6θααπ
π⎛⎫=-
≤≤ ⎪⎝⎭，射线2l 的极坐标方程为
2
π
θα=+
.
（Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程，并指出是何种曲线；
（Ⅱ）若射线1l 与曲线C 交于O A 、两点，射线2l 与曲线C 交于O B 、两点，求ABO ∆面积的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2cos 2sin r q q =+，曲线C 是以()1,1
为半径的圆；（Ⅱ）[]1,2. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由曲线C 的参数方程能求出曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的极坐标方程． （Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+，22cos 2sin 22OB ρααππ⎛
⎫⎛⎫==+
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则1212S ρρ∆OAB =，利用诱导公式及二倍角公式化简，再由余弦函数的性质求出面积的取值范围；
【详解】解：
（Ⅰ）由11x y ϕϕ
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）化为普通方程为()()22
112x y -+-=
()()
22
cos 1sin 12ρθρθ-+-=，整理得2cos 2sin r q q =+
曲线C 是以()1,1
为半径的圆. （Ⅱ）令12cos 2sin OA ραα==+
22cos 2sin 2sin 2cos 22
OB ρααααππ⎛⎫
⎛⎫
==+++=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
()22121
2cos sin 2cos 22
S ρρααα∆OAB =
=-= 66
αππ-
≤≤Q ，233αππ∴-≤≤，1
cos 212α∴≤≤，12cos22α∴≤≤，
ABO ∆面积的取值范围为[]1,2
【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 23.设函数()2sin |3||1|f x x a a =+-+-. （1）若62f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
，求实数a 的取值范围； （2）证明：x R ∀∈，1
()|3|1f x a a
≥--
+恒成立.
【答案】（1）()(),04,-∞+∞U （2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）将不等式62f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
化为|3||1|4a a -+->，利用零点分段法，求得不等式的解集. （2）将要证明的不等式转化为证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立，由2sin x 的最小值为2-，得到只要证12|1|1a a -≥---+，即证1
|1|12a a
-++≥，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.
【详解】（1）∵62f π⎛⎫
>
⎪⎝⎭
，∴2|3||1|6a a +-+->，即|3||1|4a a -+-> 当3a ≥时，不等式化为314
3a a a -+->⎧⎨≥⎩
，∴4a >
当13a <<时，不等式化为(3)(1)4
13
a a a -+->⎧⎨<<⎩，此时a 无解
当1a ≤时，不等式化为(3)(1)4
1a a a -+->⎧⎨
≤⎩
，∴0a <
综上，原不等式的解集为()(),04,-∞+∞U （2）要证x R ∀∈，1
()|3|1f x a a
≥--
+恒成立 即证x R ∀∈，1
2sin |1|1x a a
≥---
+恒成立 ∵2sin x 的最小值为－2，∴只需证12|1|1a a -≥---
+，即证1
|1|12a a
-++≥
又11|1|111a a a a -+
+≥-++11||2a a a a =+=+≥= ∴1
|1|12a a
-+
+≥成立，∴原题得证 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；
考查化归与转化，分类与整合思想.。