高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末小结知识整合与阶段检测教学案苏教版选修2_2
苏教版数学高二-高中数学选修1-2教案 第三章 数系的扩充和复数的引入3
宁县五中导学案一、 章节知识网络二、 归纳专题专题一 复数的概念及分类复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i ，满足i 2＝－1，且i 同实数间可以进行加、减、法的运算，结合复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，a ，b 的条件可把复数分为： 复数(z ＝a ＋b i ， a ，b ∈R) ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.其中纯虚数中“b ≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意． 例 1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ． 2 B ． －2C ． －12 D. .12【思路点拨】 先将已知复数化为“a ＋b i”的形式，再由纯虚数定义求a .【规范解答】 法一 1＋a i2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i＝2－a ＋2a ＋1i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2， 故选A.法二 1＋a i 2－i ＝i a －i2－i为纯虚数，所以a ＝2， 故选A.【答案】A专题二 复数的四则运算复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i 2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i ，ω或适当变形创造条件，从而转化为关于i ，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：(1)设ω＝－12±32i ，则ω2＝ω，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N ＋)等．(2)(12±32i)3＝－1.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b ib －a i＝a ＋b i i b －a ii＝a ＋b i ia ＋b i＝i ，利用此结论可使一的计算过程简化．例2 已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＋z ＝( )A ．1－iB ．－2iC ．1＋iD ．－2【思路点拨】 先计算z 1＝z 2－2zz －1，再计算z 1＋z .【规范解答】法一 z 2－2zz －1＝1－i2－21－i 1－i －1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i－i ·i＝－2i ，∴z 2－2zz －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A. 法二 z 2－2zz －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i＝－i －i－i ·i＝－2i. ∴z 2－2z z －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A.专题三 共轭复数与模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模公式解题外，也常用下列结论简化解题过程： (1)|z |＝1⇔z ＝1z；(2)z ∈R ⇔z ＝z ；(3)z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z . 例3设z 1，z 2∈C ，且|z 1|＝1，|z 2|≠1，求|z 1＋z 21＋z 1·z 2|的值．【思路点拨】 利复数模的性质：z ·z ＝|z |2进行化简． 【规范解答】 ∵|z 1|＝1，∴|z 1|2＝z 1·z 1＝1. 从而|z 1＋z 21＋z 1z 2|＝|z 1＋z 2z 1z 1＋z 2|＝|1z 1|＝1|z 1|＝1.专题四 复数的几何意义1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数2．任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内一点Z (a ，b )对应，而任一 点(a ，b )又可以与以起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特|z |，|z －a |的几何意义——距离．3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位1.(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．例4 已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．【思路点拨】 (1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．【规范解答】(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝22＋－22＝2 2.(2)法一|z|＝1，∴设z＝cos θ＋isin θ，|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|＝cos θ－22＋sin θ＋22＝9＋42sinθ－π.4当sin(θ－π)＝1时，4|z－z1|取得最大值9＋42，作业布置课本63页第2,3题。
高中数学苏教版选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》word导学案(含解析)
第3章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、数学建构问题1怎样解决-1也能开平方的问题?解引入虚数单位i,规定:① i2=-1;②实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i是-1的一个平方根.问题2根据虚数单位的规定,得到形如a+b i(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解①复数的定义:形如a+b i(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.②复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+b i(a,b∈R),把复数表示成a+b i的形式,叫做复数的代数形式.问题3复数与实数有什么关系?解对于复数a+b i(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+b i(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+b i 叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=b i叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.(图1)学生分组活动活动1复数集C和实数集R之间有什么关系?活动2如何对复数a+b i(a,b∈R)进行分类?活动3复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?问题4a=0是z=a+b i为纯虚数的充分条件吗?解是必要不充分条件.问题5两个复数相等的充要条件是什么?解两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+b i=c+d i⇔a=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-错误！未找到引用源。
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入章末小结与测评学案苏教版选修12
第3章 数系的扩充与复数的引入1．虚数单位i(1)i 2＝－1(即－1的平方根是±i)．(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立． (3)i 的幂具有周期性：i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n ∈N *)，则有i n ＋in ＋1＋in ＋2＋in ＋3＝0(n ∈N *)．2．复数的分类复数（z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ）⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0，b ≠0）非纯虚数（a ≠0，b ≠0） 3．共轭复数的性质设复数z的共轭复数为z，则(1)z·z＝|z|2＝|z|2；(2)z为实数⇔z＝z，z为纯虚数⇔z＝－z.4．复数的几何意义5．复数相等的条件(1)代数形式：复数相等的充要条件为a＋b i＝c＋d i(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.特别地，a＋b i＝0(a，b∈R)⇔a＝b＝0.注意：两复数不是实数时，不能比较大小．(2)几何形式：z1，z2∈C，z1＝z2⇔对应点Z1，Z2重合⇔OZ1―→与OZ2―→重合．6．复数的运算(1)加法和减法运算：(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．(考试时间：120分钟试卷总分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________．解析：∵z1＝2＋i在复平面内对应点(2，1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点为(－2，1)，则z2＝－2＋i，∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.答案：－52．(山东高考改编)若a－i与2＋b i互为共轭复数，则(a＋b i)2＝________．解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.答案：3＋4i3．若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为________． 解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i 5＝35＋45i ，∴z 的虚部是45.答案：454．已知m1＋i ＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于________．解析：m1＋i＝1－n i ，所以m ＝(1＋n )＋(1－n )i ，因为m ，n ∈R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝0，1＋n ＝m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝2，即m ＋n i ＝2＋i.答案：2＋i5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则满足条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为________． 解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，设z ＝x ＋y i ，∴z i ＋z ＝x i －y ＋x ＋y i ＝x －y ＋(x ＋y )i ＝4＋2i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1. ∴z ＝3－i. 答案：3－i6．在复平面内，复数2－i 1＋i 对应的点位于第________象限．解析：2－i 1＋i ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－3i 12－i 2＝12－32i ，对应的点位于第四象限． 答案：四7.5（4＋i ）2i （2＋i ）＝________． 解析：5（4＋i ）2i （2＋i ）＝5（15＋8i ）－1＋2i ＝5（15＋8i ）（－1－2i ）（－1）2＋22＝1－38i. 答案：1－38i8．设a 是实数，且a 1＋i ＋1＋i2是实数，则a 等于________．解析：∵a 1＋i ＋1＋i 2＝a （1－i ）2＋1＋i 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋12＋（1－a ）2i 是实数，∴1－a2＝0，即a ＝1. 答案：19．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 的对应点P 组成图形为________． 解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4. 设－1＋i 对应的点为C (－1，1)，则|PC |＝4，因此动点P 的轨迹是以C (－1，1)为圆心，4为半径的圆．答案：以(－1，1)为圆心，以4为半径的圆10．已知集合M ＝{1，2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝________． 解析：由M ∩N ＝{4}，知4∈M ， 故z i ＝4，∴z ＝4i ＝－4i.答案：－4i11．若复数z 满足|z |－z ＝101－2i ，则z ＝________．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∴|z |－z ＝a 2＋b 2－(a －b i)＝a 2＋b 2－a ＋b i ， 101－2i ＝10（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝10（1＋2i ）12＋22＝2＋4i ， ∴⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.∴z ＝3＋4i. 答案：3＋4i12．若OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位，则AB ＝________.(用复数代数形式表示)解析：由于OA ＝3i ＋4，OB ＝－1－i ，i 是虚数单位， 所以AB ＝OB －OA ＝(－1－i)－(3i ＋4)＝－5－4i. 答案：－5－4i13．复数z 满足|z ＋1|＋|z －1|＝2，则|z ＋i ＋1|的最小值是________．解析：由|z ＋1|＋|z －1|＝2，根据复数减法的几何意义可知，复数z 对应的点到两点(－1，0)和(1，0)的距离和为2，说明该点在线段y ＝0(x ∈[－1，1])上，而|z ＋i ＋1|为该点到点(－1，－1)的距离，其最小值为1.答案：114．已知关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x －(3m －1)＝0有实根，则纯虚数m 的值是________． 解析：方程有实根，不妨设其一根为x 0，设m ＝a i 代入方程得x 20＋(1＋2i)x 0－(3a i －1)i ＝0，化简得，(2x 0＋1)i ＋x 20＋x 0＋3a ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋1＝0，x 20＋x 0＋3a ＝0，解得a ＝112，∴m ＝112i.答案：112i二、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(本小题满分14分)计算：(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i ；(2)4＋5i （5－4i ）（1－i ）.解：(1)（2＋i ）（1－i ）21－2i ＝（2＋i ）（－2i ）1－2i ＝2（1－2i ）1－2i ＝2.(2)4＋5i （5－4i ）（1－i ）＝（5－4i ）i（5－4i ）（1－i ） ＝i 1－i ＝i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝i －12＝－12＋12i.16．(本小题满分14分)求实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零．解：由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ， ∴k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，∴k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.综上，当k ＝6或k ＝－1时，z ∈R . 当k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．当k ＝4时，z 是纯虚数，当k ＝－1时，z ＝0.17．(本小题满分14分)已知复数z 满足|z |＝1＋3i －z ，求（1＋i ）2（3＋4i ）22z 的值．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1＋3i －z ， 得a 2＋b 2－1－3i ＋a ＋b i ＝0，则⎩⎨⎧a 2＋b 2＋a －1＝0，b －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，所以z ＝－4＋3i.则（1＋i ）2（3＋4i ）22z ＝2i （3＋4i ）22（－4＋3i ）＝2（－4＋3i ）（3＋4i ）2（－4＋3i ）＝3＋4i.18．(本小题满分16分)已知ω＝－12＋32i.(1)求ω2及ω2＋ω＋1的值；(2)若等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝ω，求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)ω2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝14－32i －34＝－12－32i.ω2＋ω＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋1＝0.(2)由于ω2＋ω＋1＝0， ∴ωk ＋2＋ωk ＋1＋ωk ＝ωk (ω2＋ω＋1)＝0，k ∈Z .∴S n ＝1＋ω＋ω2＋…＋ωn －1＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k ，1， n ＝3k ＋1，1＋ω， n ＝3k ＋2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧0， n ＝3k （k ∈Z ），1， n ＝3k ＋1（k ∈Z ），12＋32i ， n ＝3k ＋2（k ∈Z ）.19．(本小题满分16分)已知z ＝a －i1－i(a ∈R 且a ＞0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω的模．解：把z ＝a －i1－i (a ＞0)代入ω中，得ω＝a －i 1－i ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －i 1－i ＋i ＝a ＋12＋a （a ＋1）2i. 由a （a ＋1）2－a ＋12＝32，得a 2＝4. 又a ＞0，所以a ＝2. 所以|ω|＝|32＋3i|＝325.20．(本小题满分16分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部为2. (1)求复数z ；(2)设z ，z 2，z －z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知条件得：a 2＋b 2＝2，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ， 所以2ab ＝2.所以a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，即z ＝1＋i 或z ＝－1－i. (2)当z ＝1＋i 时，z 2＝(1＋i)2＝2i ，z －z 2＝1－i ， 所以点A (1，1)，B (0，2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1；当z ＝－1－i 时，z 2＝(－1－i)2＝2i ，z －z 2＝－1－3i. 所以点A (－1，－1)，B (0，2)，C (－1，－3)， 所以S △ABC ＝12|AC |×1＝12×2×1＝1.即△ABC 的面积为1.。
-2024年版高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义教案苏教版选修1-2
-在电气工程、量子物理学等领域中的应用。
-解决平面几何问题，如点到直线的距离、线段的中点等。
5.复平面
-复平面的概念：复数在复平面上的表示，类似于实数在实数轴上的表示。
-复平面上的区域：实轴、虚轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
-复数的模长和相位（角度）：复数在复平面上的点与原点的距离和该点与实轴正半轴的夹角。
-提供拓展资源：推荐一些关于复数应用的学术文章和在线课程，供学有余力的学生进一步探索。
-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生个性化的反馈和指导。
学生活动：
-完成作业：认真完成作业，加强对复数几何意义的记忆和理解。
-拓展学习：利用教师提供的资源，对复数的更深入的应用进行探索。
-反思总结：回顾学习过程，总结自己在复数学习中的收获和不足，提出改进措施。
核心素养目标
本节内容致力于深化学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模及数学运算等核心素养。通过探究复数的几何意义，提升学生将抽象数学概念具体化的能力，培养其在复杂问题中抽象出关键数学要素的数学抽象素养。在逻辑推理方面，引导学生通过复数运算规律推导出复数模长的性质，加强学生运用数学语言进行逻辑论证的能力。同时，通过复平面的构建和复数在几何中的应用，强化学生数学建模及空间想象能力。此外，课程将贯穿数学运算的训练，使学生能够熟练进行复数相关运算，提高数学运算的准确性和效率。
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科目
授课时间节次
--年—月—日（星期——）第—节
指导教师
授课班级、授课课时
授课题目
（包括教材及章节名称）
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高中数学教案 选修1-2教案 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1数系的扩充与复数的概念
3.1.1 数系的扩充与复数的概念教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。
教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。
出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。
②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。
④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。
苏教版高中数学选修2-2第3章 数系的扩充与复数的引入.docx
第3章数系的扩充与复数的引入§3.1 数系的扩充课时目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念(1)虚数单位把平方等于－1的数用符号i表示，规定__________，i叫作虚数单位．(2)复数①定义：形如a＋b i (a，b∈R)的数叫做复数，a叫做复数的________，b叫做复数的________．②代数形式：复数通常用____表示，即z＝a＋b i，a，b∈R.(3)复数集①定义：____________所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母____表示．2．复数的分类(1)设z＝a＋b i (a，b∈R)，则当且仅当________时，z为实数．当________时，z为虚数，当____________时，z为纯虚数．(2)复数集内的包含关系3．复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔____________；a＋b i＝0⇔____________.一、填空题1．下列说法①如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等；②a i 是纯虚数；③如果复数x ＋y i 是实数，则x ＝0，y ＝0；④复数a ＋b i 不是实数．其中正确的是________．(填序号)2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________．3．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i (m ∈R )满足z <0，则m ＝________.4．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝________.5．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是________．6．设C ＝{复数}，A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，全集U ＝C ，那么下面结论正确的是________．(填序号)①A ∪B ＝C ； ②∁U A ＝B ；③A ∩(∁U B )＝∅； ④B ∪(∁U B )＝C .7．已知复数z 1＝(3m ＋1)＋(2n －1)i ，z 2＝(n ＋7)－(m －1)i ，若z 1＝z 2，实数m 、n 的值分别为________、________.8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数；②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根；⑤若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；⑥两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为________．二、解答题9．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z .10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．能力提升11．已知集合P ＝{5，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，Q ＝{4i,5}，若P ∩Q ＝P ∪Q ，求实数m 的值．12．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．1．对于复数z ＝x ＋y i 只有当x ，y ∈R 时，才能得出实部为x ，虚部为y (不是y i)，进而讨论复数z 的性质．2．复数相等的充要条件是复数问题实数化的依据．答 案知识梳理1．(1)i 2＝－1 (2)①实部 虚部 ②z (3)①全体复数 ②C2．(1)b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠03．a ＝c ，b ＝d a ＝b ＝0作业设计1．①2．－1解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1＝0x －1≠0，∴x ＝－1. 3．－1解析 z <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ m <0m 2－1＝0⇔m ＝－1. 4．5解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝b a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5. 5．2－2i解析 5i ＋2i 2＝－2＋5i ，∴2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2.∴所求为2－2i.6．④7．2 0 解析 两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．故有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋1＝n ＋72n －1＝－(m －1)，解得m ＝2，n ＝0.8．2解析 因为实数是复数，故①错；②正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因为－1的平方根为±i ，故④错；当a ＝－1时，(a ＋1)i 是实数0，故⑤错；⑥正确．故答案为2.9．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i ，整理得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i故有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝－42x ＋y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2， 所以复数z ＝1＋2i.10．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0， 解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0， 解得m ＝－32或m ＝1. 所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数． 11．解 由题知P ＝Q ，所以(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m 2＋m －2＝4， 解得m ＝2. 12．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义， ∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1. ∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6， ∴不存在实数a 使z 为纯虚数．。
高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入学案 理 苏教版选修2-2
第3章 数系的扩充与复数的引入一、学习目标：1. 理解复数的基本概念；2. 理解复数相等的充要条件；3. 了解复数的代数表示法及其几何意义；4. 会进行复数代数形式的四则运算；5. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
二、重点、难点重点：掌握复数的概念；复数的加法与减法的运算及几何意义；复数的四则运算。
难点：对复数概念和复数的几何意义的灵活运用及复数运算的准确运用。
三、考点分析：1. 复数的有关概念和复数的几何意义是高考命题的热点之一，常以选择题的形式出现，属容易题；2. 复数的代数运算是高考的另一热点，以选择题、填空题的形式出现，属容易题。
一、复数的有关概念1. 复数的概念形如a ＋bi （a ，b ∈R ）的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部。
若b ＝0，则a ＋bi 为实数，若b ≠0，则a ＋bi 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋bi 为纯虚数。
2. 复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c 且b ＝d （a ，b ，c ，d ∈R ）。
3. 共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d （a ，b ，c ，d ∈R ）。
4. 复平面借用直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。
x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
实轴上的点表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数。
5. 复数的模 向量OZ uuu r 的模r 叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作|z|或|a ＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|22a b +二、复数的几何意义1. 复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b ∈R ）； 2. 复数z ＝a ＋bi ←−−−→一一对应平面向量OZ uuu r （a ，b ∈R ）。
三、复数的运算1. 复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ），则①加法：z 1＋ z 2＝（a ＋bi ）＋（c ＋di ）＝（a ＋c ）＋（b ＋d ）i ；②减法：z 1－ z 2＝（a ＋bi ）－（c ＋di ）＝（a －c ）＋（b －d ）i ；③乘法：z 1· z 2＝（a ＋bi ）·（c ＋di ）＝（ac －bd ）＋（ad ＋bc ）i ； ④除法：1222()()()()(0)()()z a bi a bi c di ac bd bc ad i c di z c di c di c di c d ++-++-===+≠++-+ 2. 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何1z 、2z 、3z ∈C ，有1z ＋2z ＝2z ＋1z ，（1z ＋2z ）＋3z ＝1z ＋（2z ＋3z ）。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充教学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修
3.1 数系的扩充[对应学生用书P52]一、合情推理和演绎推理1．归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．从推理所得结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得．合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．二、直接证明和间接证明1．直接证明包括综合法和分析法：(1)综合法是“由因导果〞．它是从条件出发，顺着推证，用综合法证明命题的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已经证明过的命题，B为要证的命题)．它的常见书面表达是“∵，∴〞或“⇒〞．(2)分析法是“执果索因〞，一步步寻求上一步成立的充分条件．它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近(条件，包括学过的定义、定理、公理、公式、法那么等)．用分析法证明命题的逻辑关系是：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A.它的常见书面表达是“要证……只需……〞或“⇐〞．2．间接证明主要是反证法：反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法，反证法是间接证明的一种方法．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．三、数学归纳法数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确〞的过程中，必须用“归纳假设〞，否那么就是错误的．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测二 见8开试卷 一、填空题(本大题共14个小题，每题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大． 答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大3．以下说法正确的选项是________．(写出全部正确命题的序号)①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论〞形式 ④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，那么结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，那么结论一定也不正确．故②错误．答案：①③④4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，BD 互相垂直且平分．〞以上推理的大前提是________．答案：菱形对角线互相垂直且平分5．在平面上，假设两个正三角形的边长比为1∶2，那么它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，假设两个正四面体的棱长比为1∶2，那么它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18.答案：1∶86．(某某高考)观察分析下表中的数据：解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.答案：F ＋V －E ＝27．由“正三角形的内切圆切于三边的中点〞，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心 8．x ，y ∈R ＋，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1. 解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1， 只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2， 即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2.只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：19．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k－1；③那么当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，那么当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤中错误的选项是________． 解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误． 答案：③10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，假设OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，那么14是m 2，n 2的等差中项；现有一椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，假设OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，那么m 2，n 2的等差中项为________．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ＝m OA ＋n OB 可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m －n a ，y ＝m ＋n b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.答案：1411．(某某高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，那么 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.答案：1412．x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋axn ≥n ＋1，那么a的值为________．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋nnxn ≥n ＋1，故a ＝n n.答案：n n13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展〞而来(n ＝1,2,3，…)，那么第n 个图形中共有________个顶点．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点， 那么a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，a n －2＝n ＋n ·n ，a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.答案：n 2＋5n ＋614．(某某高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋12＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以以下出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.答案：1 000二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题总分值14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab≥8.证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1. ∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立，又1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥4.⎝ ⎛⎭⎪⎫当a ＝12，b ＝12时等号成立∴1a ＋1b ＋1ab≥8.16．(本小题总分值14分)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15n (n ∈N *)，假设T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，b n ＝6T n －5na n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，①所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －1＋a n ·5n，②由①＋②得：6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －1＋a n ·5n＝1＋15×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫152×52＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15n －1×5n －1＋a n ·5n＝n ＋a n ·5n， 所以6T n －5n a n ＝n ，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n . 17．(本小题总分值14分)观察①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°， 由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋1＋cos 60°＋2α2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α＝34. 18．(本小题总分值16分)实数a 、b 、c 满足0<a ，b ，c <2，求证：(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不可能同时大于1.证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 那么三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1① 而(2－a )a ≤⎝⎛⎭⎪⎫2－a ＋a 22＝1，同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1， 即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1， 显然与①矛盾， 所以原结论成立．19．(本小题总分值16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)． (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32. S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74. S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， 那么a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k＝2k ＋1－12k ＋1－1， 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立， 即a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．20．(本小题总分值16分)函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n＋1)，(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．(2)试比较11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n 与1的大小，并说明理由．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1， ∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立， 即a k ≥2k－1；那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k－1＋2)＝22k －1≥2k ＋1－1.即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立．(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n，∴11＋a n ≤12n .∴11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.。
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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末小结知识整合与阶段检测教学案苏教版选修2_2
1．虚数单位i
(1)i2＝－1(即－1的平方根是±i)．
(2)实数可以与i进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立．
(3)i的幂具有周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n ＋3＝－i(n∈N*)，则有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．2．复数的分类
复数
(z＝a＋bi，a，b∈R).
3．共轭复数的性质
设复数z的共轭复数为，则
(1)z·＝|z|2＝||2；
(2)z为实数⇔z＝，z为纯虚数⇔z＝－.
4．复数的几何意义
5．复数相等的条件
(1)代数形式：复数相等的充要条件为a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.特别地，a＋bi＝0(a，b∈R)⇔a＝b＝0.
注意：两复数不是实数时，不能比较大小．
(2)几何形式：z1，z2∈C，z1＝z2⇔对应点Z1，Z2重合⇔与重
6．复数的运算
(1)加法和减法运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．
(2)乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a ＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化．
(时间：120分钟，总分：160分)
一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案
填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设复数z1，z2在复平面内的对应点关
于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝________.解析：∵z1＝2＋i在复平面内对应点(2,1)，又z1与z2在复平
面内的对应点关于虚轴对称，
则z2的对应点为(－2,1)，则z2＝－2＋i，
∴z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
答案：－5 2．(山东高考改编)若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2
＝________.解析：根据已知得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋
4i.
答案：3＋4i 3．若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为________．。