刚体力学
第三章刚体力学基础
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体力学
例、在光滑的水平桌面上有一小孔0，一细绳穿过小孔， 其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉绳， 开始时小球绕孔运动，速率为 v1 ，半径为 r1 ，当半径变 为 r2 时 r2 f拉 求小球的速率 v2 解：小球受力：
f拉
L2 = L1
因f 拉为有心力
r r L2 = L1
r1 mv 1 = r2 mv 2 r1 v 2 = v1 显然 v 2 v1 r2
' 2
m
.
R
m1 Mf
' T1
m2
m
如图
T2'
T2
对m2： m 2 g - T2 = m 2 a
- m1 g = m1a
' 1
T1
m1 g
T 对m： R - T R - M f = J
m2 g
1 2 ' ' a = R , J = mR , T1 = T1 , T2 = T2 2
联立求得： = a
r M
M = rF sin = Fd
o
r r
r M
r F
r F应理解为在垂直于转轴的平面内。 r o 若不在,则将 F 分解为平行 于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩.
r 20 F 的方向与转轴平行.
r F
r r
合外力矩 M = r1 F1 sin 1 - r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
r Fi = m
r dv c
dt
注意各量的 物理意义
质心运动定理说明：不管物体的质量如何分布、外力作用 在什么地方，质心的运动就象物体的全部质量都集中于此， 而且所有的外力都作用于其上的一个质点的运动一样。 （例:炮弹在飞行轨道上爆炸 ……见教材p98--例3)
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
大物刚体力学公式总结
大物刚体力学公式总结一、基本概念刚体力学是研究刚体运动和静力学平衡条件的一个分支学科。
所谓刚体是指形状不变的物体，其内部各点间的距离在运动或受力作用下保持不变。
刚体的运动可以分为平动和转动两种类型。
二、刚体运动的描述刚体的平动运动可以用质点的运动来描述，质点的位置可以用位矢来表示。
刚体的转动运动可以用刚体固定在某一轴上的角度来描述。
刚体的运动状态可以用位移、速度和加速度来表示，其中位移是位置的变化量，速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率。
三、刚体力学的基本公式1.平动运动的基本公式：•位移公式：位移等于初速度乘以时间加上加速度乘以时间的平方的一半。
即 S = V0t + (1/2)at2；•速度公式：速度等于初速度加上加速度乘以时间。
即 V = V0 + at；•加速度公式：加速度等于速度差除以时间。
即 a = (V - V0) / t。
2.转动运动的基本公式：•角位移公式：角位移等于角速度乘以时间。
即θ = ωt；•角速度公式：角速度等于角位移除以时间。
即ω = θ / t；•角加速度公式：角加速度等于角速度差除以时间。
即α = (ω - ω0) / t。
3.平衡条件公式：•平衡条件一：物体受力的合力等于零。
即ΣF = 0；•平衡条件二：物体受力的合力矩等于零。
即ΣM = 0。
四、刚体的平衡问题刚体在平衡时，其受力和受力矩必须满足平衡条件。
通过平衡条件可以解决刚体的平衡问题，例如平衡杆的支点位置计算、悬挂物体的平衡问题等。
刚体的平衡问题还涉及到力的作用点的选取、力的方向的确定等。
通过恰当选择作用点和确定力的方向，可以简化刚体的平衡问题的求解。
五、刚体力学问题的求解步骤1.定义问题：明确刚体的运动类型和求解目标。
2.给定条件：根据实际情况给出题目的已知条件。
3.分析问题：根据题目所给条件，分析问题的物理本质和特点。
4.建立模型：根据问题的要求，建立适当的物理模型。
5.进行计算：根据已知条件和所建模型，进行计算求解。
第5章 刚体力学
F Fz F
z k Fz来自 F M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
大学物理讲义
M M1 M 2 M 3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
大学物理讲义
四
角量与线量的关系
d dt
d d 2 dt dt
2
a
an r
et v a
t
at r an r
2
大学物理讲义
5.2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
>0
z
z
<0
d dt
定轴转动(fixed-axis rotation)的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标变量 .
大学物理讲义
三
匀变速转动公式
大学物理讲义
质点运动
转动(rotation)：刚体中所有的点都绕同一直线 做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
大学物理讲义
二 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r 角位移
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
第7章-刚体力学
d
3g
cos
d
0
0 2l
＝
3g sin
l
运用质心运动定理，对质心C：
nˆ F1
F
F2
l
O C
ˆt
mg
x
nˆ : F1 mg sin man ˆt : F2 mg cos mat
F
an
r2
l 2 2
3g sin 2l
l 3g cos
at
r
2
4
F12 F22
arctan F1 F2
(7.5.2)
即刚体相对于质心的轴的转动同样服从定轴转 动定律. 式(7.5.1)和(7.5.2)称刚体平面运动的基本动 力学方程.
§7.5.2 作用于刚体上的力
1.作用于刚体上力的两种效果 ·滑移矢量
(1) 施于刚体的力的特点 施于刚体的某个点的力,决不可以随便移到另一点去.
A
F
作用力通过质心，对质心轴上的 力矩为零，使刚体产生平动.
FT
11 10
mg
比较上面结果，可见提升弧形闸门
所用的拉力较小.
W
图(b)
[例题3]如图表示一种用实验方法测量转动惯量的装置。
待测刚体装在转动架上，线的一端绕在转动架的轮轴上，
线与线轴垂直，轮轴的轴体半径为r，线的另一端通过定
滑轮悬挂质量为m的重物，已知转动架惯量为I0 ，并测得 m自静止开始下落 h 高度的时间为 t ,求待测物体的转动
L
r1
r1
L2
L1
r2
O r2
m2
k
2mr 2
v1 v2 r
2如.转图轴, 为非对称k 轴对O点同样有
刚体的力学性质
刚体的力学性质力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
刚体力学是力学的一个方面，主要研究刚体在受力作用下的力学性质。
在本文中，我们将探讨刚体的力学性质，包括刚体的定义、运动、平衡、转动、惯性等。
1. 刚体的定义刚体是指其形状和尺寸在外力作用下不会发生变化的物体。
在研究刚体的力学性质时，我们将其简化为理想的物体，即质点的集合，不考虑物体的内部结构。
2. 刚体的运动刚体的运动可以分为平动和转动两种。
平动是指整个刚体沿直线运动，转动是指刚体围绕某个轴进行旋转。
a. 平动：刚体的平动可以分为匀速直线运动和变速直线运动。
刚体的平动是由外力作用引起的，根据牛顿第二定律可以推导出刚体的运动方程。
b. 转动：刚体的转动可以分为绕固定轴的转动和绕自身质心的转动。
刚体的转动是由外力或自重力矩作用引起的，根据牛顿第二定律和角动量定理可以推导出刚体的转动方程。
3. 刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受力作用下不发生平动和转动的状态。
根据力矩平衡条件和合力平衡条件可以推导出刚体平衡的条件。
a. 力矩平衡条件：对于刚体平衡，外力矩和内力矩必须相等。
通过求和刚体上各点的力矩，可以得到刚体平衡的条件。
b. 合力平衡条件：对于刚体平衡，合力必须为零。
通过求和刚体上各点的力，可以得到刚体平衡的条件。
4. 刚体的转动惯量转动惯量是刚体转动惯性的量度，表示刚体转动时其对转动的惯性大小。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布以及转动轴的位置有关。
a. 质点的转动惯量：质点的转动惯量等于质点质量乘以距离轴的平方。
b. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过对质点的转动惯量进行求和得到。
不同形状的刚体，其转动惯量的表达式不同。
5. 刚体的转动惯量定理转动惯量定理表明，在转动惯量不变的情况下，刚体的转动惯量与角加速度成正比。
即转动惯量大的刚体转动相同角度所需要的力矩较大。
6. 刚体的稳定性刚体的稳定性是指刚体保持平衡时的能力。
刚体平衡时，若微小扰动引起的恢复力矩大于微小扰动引起的力矩，刚体即具有稳定性。
第4章刚体力学
mxc Fx myc Fy
I Z M Z
（4.22） （4.23）
·动能定理
dT
d
(1 2
m
2 c
)
d(
1 2
I c
2
)
其中 I c 为对质心的转动惯量。
（4.24）
[例1] 均匀圆柱体沿固定斜面滚下。求圆柱体的加速度和约束反力
解：（1）用拉格朗日方程求加速度
取如图4.14所示的坐标系。约束
条件为： 为1，以
,
xc / R
代入：
3 2
mR2
•
xc
/
R
xc
2 3
g sin
(4) 用质心运动定理和对质心的角动量定理求约束力
mxc mg sin F
0 mg cos FN Ic RF
xc R
由以上四式，可得法向约束反力 FN 和切向约束反力 F ：
FN mg cos
F
1 mg s in
（3）平面平行运动
刚体运动时，刚体中任一点如果始终平行于一固定平面而运动。这时刚 体作平面平行运动。如图4.2所示，这时只需研究刚体中任一和固定平面平 行的截面的运动就够了（Why？）
平面平行运动可视为以某点（基点）为代表的平动和绕基点的转动的合 成。如图4.4所示。因此其自由度为3（为什么？）
图4.1
A作为基点，A点的位矢为 rA ，则
r r Ar
P点的速度为
dr
drA
dr
dt dt dt
A r
（4.8）
上式表明：刚体上任意点的速度等于刚体随基
点的平动速度和绕基点的转动速度的合成—速 度基点法或合成法。
P点的加速度：
刚体力学
25
4.定轴转动的动能定理和机械能守恒定律 一. 力矩的功
ｄ A ＝ F ｄ r ＝ FC ｏ ｓ ｄ ｓ ＝ FS ｉ ｎ ｒ ｄ ＝ M Zｄ
刚体力学
主要内容： 1.刚体定轴转动的描述 2.力矩、刚体定轴转动定律、转动惯量
3.刚体定轴转动的动能定理和机械能守恒定律
*4.刚体定轴转动的角动量定理、角动量守恒定律
1
1. 刚体的平动、转动和定轴转动 一.刚体
1.定义：在任何条件下大小和形状都不发 生变化的物体称为刚体。 2.说明：刚体与质点、理想气体、点电荷等一样是
m
J
2
2
m 2 R d mR 2
2
15
例2.3 试计算质量均匀分布的薄圆盘的垂直于盘面
的中心轴的转动惯量。设圆盘质量为ｍ，半径为R。
解：
J ＝∫ ｒ ｄ ｍ
２
ｄ ｍ ＝ •2ｒ ｄ ｒ
J＝ ∫
R 0
2 ｒｄ ｒ
３ 4
R 1 2 ＝ ＝ ｍR 2 2
16
例2.4
在质量为 M ，半径为 R 的匀质
例3.3 在倾角为θ 的斜面顶端固定一滑轮，用一根绳子 缠绕数圈后引出与M连接，M与斜面摩擦系数为μ （如图）， 设滑轮质量为ｍ，半径为R，轴处无摩擦。试分析M作加速 运动的条件。 Ｎ‘
解: 由牛顿第二定律
Ｏ ｍｇ ｆ
Ｔ
Ｎ
M ｇ s in θ － T － μ N ＝ M a
大学物理-第三章 刚体力学
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
上一页 下一页
2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
上一页 下一页
右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
上一页 下一页
刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
上一页 下一页
M,
J
第3章 刚体力学基础
刚体力学的基础知识包括刚体绕定轴转 动的动力学方程和动能定理，刚体绕定轴 转动的角动量定理及角动量守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
§3-1 刚体 刚体定轴转动的描述
dt
当输---出----功----率-----一----定----时----,-力----矩-----与----角----速----度-----成----反----比----。------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W
2 1
Md
2 1
Jd
2 1
J d d
dt
W
2 1
Jd
第3章 刚体力学基础
§3.1 刚体 刚体定轴转动的描述 §3.2 刚体定轴转动的转动定律 §3.3 刚体定轴转动的动能定理 §3.4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量 守恒定律
-------------------------------------------------------------------------------
➢刚体上各质元的角量(即角位移、角速度、角加速度) 相同，而各质元的线量(即线位移、线速度、线加速度) 大小与质元到转轴的距离成正比 。
-------------------------------------------------------------------------------
§3-2 刚体定轴转动的转动定律
对滑轮 ， 由转动定律
T2R T1R J ④
由于绳不可伸长
aA aB R
⑤
J 1 mR2
大学物理第五章刚体力学1
机械能守恒定律是物理学中的基本定律之一，对于刚体而言同样适用。如果一个刚体在 运动过程中不受外力矩作用，则其动能和势能之和保持不变。这意味着，如果刚体的动
能增加，则其势能必定减少，反之亦然。
05
刚体的振动和波动
简谐振动
简谐振动定义
物体在平衡位置附近做周期性往复运动的现象。
简谐振动方程
x=A*sin(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，φ为初相角。
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转动惯量的计算
对于细长均匀杆，转动惯量I=mr^2/2；对于质量均匀分布的圆盘， I=mr^2/4。
03
刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律
角动量守恒定律
一个不受外力矩作用或者所受 外力矩的矢量和为零的刚体， 其角动量保持不变。
角动量
刚体绕某一定点的转动惯量与 刚体相对该点的角速度的乘积 。
角动量守恒的条件
刚体定义与特性
80%
刚体定义
刚体是一个理想化的物理模型， 在实际中并不存在。
100%
刚体特性
刚体具有不变形、不可压缩、无 摩擦等特性。
80%
刚体运动
刚体的运动可以用质点和刚体的 运动学来描述，其动力学则由牛 顿第二定律和转动定律来描述。
02
刚体的转动定律
刚体的角速度和角动量
角速度
描述刚体绕固定点转动的速度，用矢 量表示，单位为弧度/秒。
总结词
刚体的动能在数值上等于刚体 转动惯量与刚体角速度平方乘 积的一半。
详细描述
除了平动运动外，刚体还可以 进行转动运动。在转动运动中 ，刚体的动能等于刚体的转动 惯量与刚体角速度平方乘积的 一半。
刚体的势能
刚体力学
1 Mv2 1 kx2
2
2
解得弹簧压缩量：
Mv2
x
0.125(m)
k
质点动力学与刚体动力学的比较
质点动力学
描写运动的基本量： 位置矢量：r 位移：r 速度：v 加速度：a
描述惯性的量：
质量： m
刚体力学（定轴转动）
描写转动的基本量：
角位置： 角位移： 角速度： 角加速度： 描述转动惯性的量：
转动惯量：I 刚体由分离质点组成时：
三、刚体定轴转动的描述
o
v
o r
刚体作定轴转动时的基本特征：
1.刚体上各质点都在垂直于固定转轴的平面内作圆周运动。 2.由于刚体上各点间的相对位置不变，所以各质点作圆周
运动的半径在相同时间内转过的角度相同。
刚体角速度用矢量表示
刚体中所有质点具有相 同的 角位移、角速度、角加 速度
方向与转动方向的关系：右手螺旋法则。
o ri mi
即：Mdt＝d（I） 微分形式
I ( miri2 ) miriri mirivi ri mivi
t1 t2时间内，
刚体对固定轴的角动量L1 I1 L2 I2
t2 Mdt
t1
2 1
d（I）
I2
I1
积分形式
二、刚体角动量守恒定律
r M
d（Ir）＝
r dL
Z
mi 刚体有一质量中心，刚 体的重力势能
为其质量集中于质心点 的重力势能
C
EP mgZC
O
Zi
ZC
Y
X
关于一般质点组的功能 原理、机械能守恒定律
等，都可以方便地用于 刚体的定轴转动
o
一、刚体定轴转动的角动量定理
刚体力学
dω M = Jβ = J dt
ω2
ω1
1 1 2 = J ω2 − J ω12 = Ek 2 − Ek 1 J ω dω 2 2
在定轴转动中，合外力矩作功等于刚体转动动能的增量
三、刚体的重力势能
E p = ∑ mi gzi
Z
mi
C O
i i
∑m z = mg
dω M = Jβ = J dt
ω M ∫0 J dt = ∫0 dω
t
o
F
得
ω = ∫ 50tdt = 25rad/s
0
1
例：已知杆质量 m，长l，绕一端点转动， 1 2 J = ml ，初水平静止，求位于任意 3
N
)θ
n
角θ时，ω、β为多少？
受力：轴支持力 N、重力mg
解 1 用 动 理 M = Jβ 法： 转 定 求
dM = dF⋅ r = µdm ⋅ r g
dr r O R
m 2m dr r dm= 2 ⋅ 2πr ⋅dr = 2 πR R
2
2m gr dr µ dM = R2 2 r2 m µ gr dr 2 M = ∫dM = ∫ = µ gR m 2 0 R 3
dω −M = J dt
2 1 2 dω − µm = m gR R 3 2 dt
重力矩 轴力矩
t
θ
mg
mgl M= cos θ (向内） 2
M =0
d ω d ω dθ ω d ω = = β= dθ dt dθ dt
ω dω = β dθ
积分得
mgl cos θ M 3g 2 β= = = cos θ (与θ 有关） 1 2 J 2l ml 3
理论力学第3章刚体力学
§3.2 角速度矢量
1 有限转动与无限小转动
▪在普通物理学中处理定轴转动时，曾直接把 角速度 作为一个矢量，这样处理在逻辑上 其实是不够严谨的。 ▪但在定轴转动中角速度方向始终不变，所以 它是不是矢量关系不大。
▪ 但在刚体绕固定点转动时，转动轴方向随 时改变，因而角速度的方向也随时改变， 所以必须首先证明角速度是一个矢量。 ▪ 并不是有量值有方向的量就一定是矢量。 它还必须遵守平行四边形加法所应遵守的 对易律，即：
§3.1 刚体运动的分析
1 什么是刚体？
▪刚体是一种理想化的特殊的质点组，质点组 中任意两点之间的距离保持不变。 ▪在处理实际问题时，当物体的大小和形状的 变化可以忽略不计时，可以把它当作刚体看 待。
2 确定刚体的空间位置需要几个独立变量？
▪在空间确定一个质点的位置需要三个独立变 量。那么由 n个质点组成的质点组需要 3n 个
亦即矢量
r
经 n 微小转动后的线位移为
r
现在来看两个微小转动n 和n 的合成是不是遵
守对易律？
▪ 转动前，P 的位矢：r ▪ 转动 n后： r n r ▪ 再转动 n 后：r n r n (r n r )
有限转动角位移不是矢量，因它不遵守 对易律
考查无限小转动时角位移是否是矢量？
▪ 如图可见，若r 为无限小量 则 r 必与包含 r 及n 的平面
垂直，且 r PM
▪ 但 PM r sin
▪ 因此 r r sin r n sin ▪ 即 r n r
▪ 定轴转动。 如果刚体运动时，其中有两个点始终不动， 因为两点可以决定一条直线，整个刚体就绕 着这条直线转动，叫定轴转动。只要知道刚 体绕这条轴线转了多少角度，就能确定刚体 的位置。因此刚体作定轴转动时只有一个独 立变量。
理论力学03刚体力学
的作用效果将改变！
力系的简化1
对于共点力：利用平行四边形法则进行矢量合成；
对于不共点但作用线相交的力，可以都滑移到交点处，
理 再利用共点力合成。
论 力
学 F2
F2
F12
F12
F12
F合
刚 体
F3
F3
力 学
F1
F1
F3
F3
A
FA
B FB
？
力偶（couple）
力偶：作用在同一物体上，大小相等、方向相反、又不
理
论 力
判断对错
学 一个转动的定长矢量对于时间的变化率，等于该矢量转
动的角速度矢乘该矢量本身。
刚 体 力 学
vdrrr
欧勒公式 泊松公式
dt
diˆ iˆ dˆj ˆj dkˆ kˆ
dt
dt
dt
角加速度
角加速度（Angular acceleraton）：
d
理 单位： rad / s2
M AB F
两力间的垂直距离：力偶臂
力偶矩
力偶矩：是力与力偶臂的乘积。力偶矩是力偶唯一的力
学效果。
理 论
M BA FA AB FB
力
垂直于力偶面，遵从右手螺旋法则。
学
为自由矢量，可以作用在力偶面内的任意一点。
刚 体 力 学
F
M
F
F
A FA
M
F
多个共面力偶 可以进行力偶 矩合成，不受 作用点限制！ （与力有别）
dt
论
力
方向： 转动瞬轴的改变方向
学
线加速度：
a
dv
又：
v
r
刚 体 力 学
理论力学第三章刚体力学
电子科技大学物理电子学院 付传技
Em以看作是一种特殊 的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不 变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它 的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。
我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程 后，着重研究平面平行运动和定点运动。
1. 描写刚体位置的独立变量
质点3个变量
质点组3n个变量
确定刚体在空间的位置，需要几个变量？
B A
C 6个变量可以确定刚体位置
2. 刚体运动的分类 1）平动
平动的独立变量为三个
2）定轴转动
定轴转动的独立变量只有一个
世界最大的摩天轮——“伦敦眼”
3）平面平行运动
平面平行运动的独立变量有三个
4）定点转动
此时，有
3
e＝ a e （＝1, 2,3） ＝1
可以省去求和符号，默认对重复指标自动求和，
e＝a e 这种约定称为爱因斯坦约定。
用任意点的位矢点乘上式两端，得
x a x （＝1，2，3）
上式即是从空间系到本体系的坐标变换，可以
将它表示成矩阵形式：
x1 a11 a12 a13 x1
rˆ Aˆ rˆ Aˆ Aˆrˆ 因为rˆ是任意的，所以 Aˆ Aˆ＝1ˆ 1ˆ为单位阵，对调空间系和本体系的地位，可知上式 中Aˆ与Aˆ 的位置也可以交换，所以Aˆ是可逆的，逆阵与 逆变换相对应。
转动不改变位矢的长度，所以
rˆT rˆ ( Aˆ rˆ)T Aˆ rˆ rˆT ( AˆT Aˆ)rˆ rˆT rˆ
由rˆ的任意性可得 AˆT Aˆ＝1ˆ
这表明Aˆ的逆矩阵就是其转置。
这个结论还可以写成 Aˆ AˆT＝AˆT Aˆ＝1ˆ
或a a
刚体力学
mi (xi2
+
z
2 i
)
−ωz
mi yi zi
=i 1 =i 1
=i 1
n
n
n
∑ ∑ ∑ J z = −ω x mi zi xi − ω y mi zi yi + ω z mi (xi2 + yi2 )
=i 1 =i 1 =i 1
定义：
∑
I
xx
=
n
mi
(
y
2 i
+
z
2 i
)
i =1
∑
ω = dθ
dt
线速度与角速度的关系
∆r = ∆n×r
ω = dn dt
lin ∆r = dn × r = ω× r ∆t→0 ∆t dt
∴ v = dr = ω× r dt
注意：角速度 ω 为整个刚体所共有，v是刚体 内某一点的线速度与 r 有关。
§ 3.3 刚体运动方程和平衡方程
一、力系的简化 1）力的可传性原理：
两个长方形砖块，分别沿 y 轴、z 轴转90 度，转动次序不同所得结果迴然不同，故知对易 律在这时不成立。
有限转动角速度不遵守平行四边形加法的对 易律．所以，有限转动角速度不是矢量 。
2）无限小转动
角位移
如图所示，设刚体绕通过定点O
的某轴线转动了一微小角度 ∆θ ，我
们用 ∆n 来代表∆θ 的量值和方向，
n
n
∑ ∑ M = M i = ri × Fi
i =1
i =1
O点称为简化中心，力的矢量和F叫做主矢，
力偶矩的矢量和M 叫做对简化中心的主矩。
n
F = ∑ Fi i =1
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(二)刚体力学1．质量分布均匀的两个滑轮A 和B ，用细绳相缠绕，其中A 轮质量为M 1，半径为R 1，悬挂在天花板上，B 轮质量为M 2，半径为R 2，B 轮从静止状态沿铅直方向下落，试求B 轮质心的速度与下落距离的关系。
（忽略轮轴间摩擦及细绳质量）2．如图所示，一人质量为m 1，站在一起重机笼内，笼的质量为m 2，半径为R 的滑轮质量为M ，滑轮与绳之间无滑动，滑轮与轴承之间的摩擦不计，绳的质量也不计，人用力拉绳，使人与笼一起以加速度a 上升，两绳皆可视为铅直。
（1） 画出m 1、m 2 及滑轮受力图。
（2） 列出求解T 1、T 2所需的方程。
3．如图所示，定滑轮视为质量均匀分布的圆盘，质量为m ，半径为R ，物体A 的质量为2m ，物体B 的质量为m ，物体C 的质量为2m ，系统用轻绳连接 ，绳和滑轮间没有滑动，轴处无摩擦，求绳中张力T 1 、T 2 、 T 3的大小。
4．匀质圆盘A 质量为m ，半径为R o ，匀质圆盘B ，质量为4m ，半径为2R o ，B 盘静止于光滑水平面上，A 盘以ωo 绕盘中心在水平面内转动，后将A 盘轻轻的放到B 盘上，A 、B 间的摩擦系数为μo ， 求：（1） A 、B 盘最终以多大的角速度转动？（2） 从A 放到B 上开始经多长时间A 、B 以共同的角速度转动？5．一定滑轮，质量为m 1，半径为r ，挂于天花板上，如图所示，滑轮上跨过一不能伸长的均匀柔软的细链，链长为L ，质量为2 2题图4题图m 2，链的两端各悬一碗，碗中盛粘土半满， 碗和土的总质量为m 3，原来链长两边相等时，静止不动，现在质量m 4很小的小球，在右碗的正上方高h 处，由静止落入碗中，于是滑轮和链开始运动，假设滑轮与链间无滑动，轮轴是光滑的，试求当右碗下降s 距离时，其速度是多少？6．一根均匀细钢棒重w ，它的两端用两个垂直的支撑使它保持水在，t=0时。
把其中一根支撑拿走，求另一根支撑物此刻所受的力。
7．一质量m ，半径为R 的圆盘。
可绕过中心的竖直轴无摩擦地转动。
一轻绳绕在圆盘上并跨过一个质量也为m 。
半径为r 的定滑轮B ，( 视为圆盘 )系在质量为M 的物体C 上。
当物体C 沿竖直方向下落时，绳与圆盘，滑轮间无滑动。
求（1） 物体C 下落的加速度.（2） 圆盘与滑轮间，滑轮间与物体C 之间绳的张力8．有一架长为2a ， 质量为M 的匀质梯，以外力保持其靠在光滑的垂直壁和水平面上，梯与光滑水平面的初始交角为 。
问（1）当外力突然去后，求梯的运动，（2）在什么角度梯子与垂直壁脱离。
9．如图所示，一质量为M 的人，站在铁道上的车上，小车以速度v 沿无倾斜的半径为R 的圆轨道上运动。
人相对小车静止并保持相同的站立姿势，人的质心距小车平面的高度L ，两脚间距为d ，求人的每只脚对小车的压力。
6题图 A T 1 B T 2 M C 7题图 2a θ 8题图10．一个刚性球体从与水平面成θ角的斜面上无滑动的滚下，求质心的平动加速度。
11．一个质量为m 半径为R 的实心均匀圆柱体放在与水平成θ角的斜面上圆柱体与斜面间摩擦系数μ，对θ小于某个监界角θC时，圆柱将无滑地往下滚动。
问(1) 角度 θC 有多大？(2) 对于θ<θC 情形，加速度a 为多少？12．使半径R=10cm 重量 p=10kg 的均匀实心圆柱体以角速度ωo=10转/秒、绕中心轴转动，然后将此匀速转动的圆柱体轻轻放在摩擦系数=μ0·1的水平面上。
问径过多长时间后圆柱体变为纯滚动？13．用杆猛击一个原来静止着的弹子球，球杆水平地打在中心线上R 76 处，设球被击中后质心C 以速度v o 向前运动，仅在击球瞬时可忽略摩擦力的影响，由于球被击后旋转对地存在滑动，因此产生摩擦求：球由有滑动到纯滚动开始后的速率。
14．如图所示，左边的球以速率v 水平地向着静止的相同的球作无滑滚动，每个球都是质量为M的均匀球，假设在碰撞时所有的摩擦力足够小，产生的效应均可忽略，并且瞬时碰撞是完全弹性的，计算（1） 在碰后相当长的时间后每个球重新作无滑滚动时的速度。
（2） 由于摩擦力使初始能量转化为热能的百分数。
10题图 11题图 12题图 15题图15．两均匀圆柱分别绕它们本身轴转动二轴平行，一圆柱的半径为R1质量为M1, 另一圆柱半径为R2，质量为M2,开始它们沿同一转向分别以Ω1和Ω2的角速度转动，然后平移二轴使它们在共同切点接触。
当最后达到稳定状态时，求每个圆柱的角速度。
16．一质量为m 半径为R 高为h=R 的圆柱体。
可绕轴线OOˊ转动，在圆柱侧面上开有一与水平成α=45o角的螺旋槽,放一质量也为m 的小球于槽中,开始时小球由静止从柱顶端A 受重力作用下滑下，圆柱体同时发生转动，设各摩擦均不计，试求当小球滑落到圆柱体底部B 时，小球相对圆柱体的速度和圆柱体的角速度。
17．如图所示、圆柱体的轴固定不动，最初圆柱体是静止的，一质量为m的木块以速率v o无摩擦地向右滑动，它经过圆柱体而到达虚线所示的位置，当它和圆柱体接触时，它就在圆柱体上滑动。
但因摩擦足够大，以至于在它刚和圆柱体停止接触时，它在圆柱体上的滑动就同时停止。
设圆柱体半径为R 转动惯量为J, 求木块最后速率.。
18．如图所示：半径为r 的均质小球自半径为R 的大球顶部由静止开始受微小扰动而无滑地滚下，大球固定不动。
试求小球开始脱离大球时的角度。
19．置于光滑水平面的均匀细长杆，与绕过杆心的竖直向上固定轴连结并可自由转动，杆长为L 质量为m, 质量也为m 的质点以v o速度在水平面上垂直于杆运动，碰撞到距杆的一端为L41的位置并粘在其上。
求:17题图16题图18题图19题图（1）碰后杆绕固定轴的转动的角速度；（2）杆转动后，轴所受力的大小。
20．如图所示。
质量为m 半径为r 的实心球、由与固定环形轨道连接的直边一点从静止开始无滑动地滑下，环形轨道半径为R ，R>r ，求：（1） 至少应在轨道最低点A 以上什么位置(高度h) 将球放下，才能使小球滚到轨道最顶点C ?（2） 假定该小球从轨道最低点以上6R(h=6R)处从静止开始滚下，问在B 处作用在小球上的力的水平分量为多少？B 点与环形轨道中的O 点在同一水平线上。
21．一质量为M 半径为R 均匀圆柱体，放在粗糙的水平面上，上面绕着细绳，现用水平力F 0拉动细绳 ，使圆柱体在水平面上作无滑滚动。
求：（1） 圆柱体的加速度；（2） 水平面对它的摩擦力。
22．一半径为R 的圆柱体。
静止于小车内，圆柱与底板间有足够的摩擦力，使得圆柱体在其上仅能做纯滚动，现使小车从静止开始以加速度a 做匀加速运动，求柱体质心相对小于小车的加速度（只讨论柱体与车壁碰撞前的情况）。
23．如图所示、一质量为 m 长为L 的细长杆可绕过杆一端的光滑固定轴O 在光滑水平面内自由转动,开始时，杆在水平面内处于静止状态，另一质量为 m 的小球以初速度v o 垂直打杆的另一端点A 发生非完全弹性碰撞，恢复系数为e 。
求（1）碰后杆绕固定轴转动的角速度。
20题图 a 22题图 O v 023题图（2）小球的速度大小、方向。
24．如图置于水平光滑平面上的匀质细长杆，其质量为m 长为L,此杆可绕过A 端的竖直固定转轴无摩擦地转动，杆处于静止状态，有一质量也为m 的质点以 速度v o 垂直地碰撞杆的B 端,设碰撞是完全弹性的.求:（1） 碰后杆绕轴转动的角速度。
（2） 碰后杆的转轴所受杆的作用力的大小和方向 。
25．在光滑水平面上有一长为L ，质量为m 的匀质细长杆、可绕中心 O 垂直于水平面的轴自由转动，一质量为m 的质点在光滑水平面内垂直地碰撞杆的左端，速度为v o ，，质点与杆的碰撞的恢复系数e=0·5 。
求碰后杆绕轴转动的角速度及质点运动速度？26．质量为M 、半径为r 的均质圆柱体放在粗糙水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的。
求圆柱体质心的加速度，物体的加速度及绳中张力。
27．如图所示，均匀细长麦杆长为L ，可绕通过中心O 的固定水平轴在铅直面内自由转动，开始时麦杆静止于水平位置，一质量与麦杆相同的甲虫以速度 v o 垂直落到麦杆的41 长度处，落下后立即向端点爬去。
试问（1） 为使麦杆以均匀的角速度转动甲虫沿麦杆的爬行速度应是多少？（2） 甲虫轨迹的参变方程是什么？（3） 为使甲虫在麦杆转到铅直位置前能爬到端点，甲虫下落的速度v o 的最高值是多少？26题图 O v 0 m 25题图28．在一倾角为45o 的固定斜面的下端有一质量为m 半径为R 的圆柱体，给圆柱体质心以速度v o ，使其沿斜面向上运动，圆柱体与斜面间最大静摩擦系数为μ =21 ，分别就下两种情况求出圆体沿斜面上升的最大距离 S 。
（1） 圆柱体运动一开始便作纯滚动 即质心速度v o ,柱体绕质心转动角速度为ωo ，ωo =RV O 。
（2） 质心速度为v o ，绕质心转动的角速度为零。
29．如图所示，一固定的抛物状斜面，以斜面最低点为分界线。
斜面右侧是粗糙的，现有一质量为m 半径为r 的实心小球，在小球质心距斜面最低高为H 处，在左侧光滑斜面上由静止释放。
问小球第一次在右侧粗糙斜面上能够上升的最大高度h 为多少？设小球一经接触粗糙斜面便做纯滚动，且r<<H ，r<<h 。
30．如图所示，一倔强系数为k 的弹簧，一端固定，另一端与质量为m 2 边长为2R 的正立方体相连，m 2 静止于光滑水面上。
质量为m 1 半径为R 的匀质球体自高为h 的粗糙斜面上无滑滚下,在A 处与m 2 相碰后合在一起运动，求弹簧所受的最大压力。
31．在光滑水平面上有一弹簧，其一端固定于光滑的轴承O 上，另一端拴一质量为m=2kg 的质点，弹簧的质量很小及原长很短，因此都可忽略，质点m 沿半径为r o 的圆周做匀速率圆周运动，弹簧作用与质点m 上的弹性力为3r o 牛顿，此时系统的总能量为12 焦耳。
（1） 求质点m 的运动速率及圆轨道半径。
29题图28题图 30题图（2） 设一沿半径向外的瞬时冲量作用于质点上，使质点得到一沿半径向外的速度 v r =1m/s ，求新轨道的极大极小值。
32．如图，质量分别为m 1 和m 2 的二滑块，分别穿于二平行水平光滑导杆上，二导杆间距离为d ，再以一弹性系数为k 原长为d 的弹簧连接二滑块，如图所示，设开始时m 1 位于x 1 =0处，m 2 位于x 2 =L 处，且其速度均匀为零，试求释放后两滑块的最大速度分别是多少？33．一质量为m 的小球放在光滑的水平桌面上，用一穿过桌面中心光滑小孔的绳与小球相连。