指数函数图像与性质

2 1.8 1.6 1.4 1.2
1 0.8 0.6 0.4 0.2
-0.5 -0.2 -0.4
fx = 0.9x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
例2： 比较下列各题中两值的大小： 同底指数幂比大
小，构造指数函数，
1 1.72.5与1.73; 2 0.80.1与0.80.2 利用函数单调性
答：两个图象都经过定点＿(0＿,1＿)＿．
观察右边图象，回答下列问题：
问题四： 指数函数
y (1)x
图像是否具有
y (1)x 2
对称性？ 2
答：
不关于Y轴对称不关于 原点中心对称
Y y=2x O
当底数a (a 0且a 1)
取任意值时，指数函 数图象如何分类研究？
y
y
y 1 x
当a0时，ax有些会没有意义;
如:(2)

1 2
,

0
1 2
当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究价值.
探究：怎么判断一个函数是不是指数函数？
指数函数的解析式y= a x 中，a x 的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如
y a x k (a 0且a 1, k z)
a y axx
y ax, y bx, y cx, y d x
c yy cxx
d yy d xx
1
x 0
谢谢 再见
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如
y ax
因为它可以化为
(a 0,且a 1)
y


1

x
( 1 0,且 1 1)
a a
a
y 1 x 2
y
y 1 x 3
y 3x
y 2x
1
0
1
x
y
y 1 x 2
Y (0.5)x
3.记住两个基本图形:
y
Y 2x
1
y=1
o
x
思考：指数函数 y ax , y bx , y cx , y d x
的图象如下图所示，则底数a,ab,,bc,,cd,d与正整数 1
共五个数，从小到大的顺序是0： b a 1 d .c
y
yy bbxx
于是有 f 3
思考：确定一个指数函数
需要什么条件？
所以：
f
0
π0
1,f
1
1
π3

3
π ,f
3
π 1

1.
π
例2： 比较下列各题中两值的大小：
1 1.72.5与1.73; 2 0.80.1与0.80.2
3

1 4
0.8
与

当x=2.5和3时的函数值；
5
因为1.7>1，所以函数y= 1.7 x
4.5 4
在R上是增函数， ； 而2.5<3，所以，
3.5
3
fx
=
1.7x 2.5
2
1.5
1.72.5< 1.73
1
0.5
-2
-1
-0.5
1
2
3
4
5
6
（6） 1.70，.3 0.93.1
解 ：根据指数函数的性质， 由图像得，
当a 1，m n
比较指数大小的方法
①构造函数法：要点是利用函数的单调性，数 的特征是同底不同指(包括可以化为同底的)， 若底数是参变量要注意分类讨论。
②搭桥比较法：用特殊数如0或1等做桥。数的 特征是不同底不同指或同指不同底。
小结与收获：
1. 本节课学习了那些知识? 指数函数的定义
指数函数的图象及性质 2.如何记忆函数的性质? 数形结合的方法记忆
引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半， 第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第 二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的 次数与剩下的尺子长度之间的关系.
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺
剩余 2
4
8
1尺 16
(1)x尺
2
引题3：国际象棋中有六十个格子，假如在 第一个格子中放3粒麦子，第二个格子中放 9粒麦子，第三个格子中放27粒麦子，以 此规律，那么在第x个格子中应放多少粒麦 子？
指数函数及其性质
引题1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数与x的关系式是什么？
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y 2x
……
细胞 总数
2个 4个
21
22
8个 16个
23
24
2x
想一 想
一尺之锤，日取其半，万世不竭！ -------庄子
记忆口诀：
左右无限上冲天，
永与横轴不沾边.
大 于1 增、小 于1 减，
图象恒过(0,1)点.
例1 已知指数函数f(x)的图象经过点(3，π)，
求f(0)、f(1)、f(-3)的值.
分析：指数函数x的图象经过点 3, ，
有 f x 3 ，
1
即 a3 ，解得 a 3
想一 想
a>1
0<a<1
1.定义域为R，值域为(0,+).
图 2.图象过定点（0，1）
3.自左向右图 象 象逐渐上升
3.自左向右图 象逐渐下降
2.当x=0时，y=1 性 3.在R上是增 3.在R上是减
函数
函数
4.图象分布在左 4.图象分布在左
特 下和右上两个 上和右下两个区
区域内
域内
征 不关于Y轴对称不关于原点中心对称
质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.
4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.
非奇非偶函数
y 1 x 2
y
y 1 x 3
1
y 3x
y 2x
底数互为倒 数的两个指 数函数图象：
关于y轴对称
0
1
xபைடு நூலகம்
普通高中课程标准实验教科书·人教A版数学必修一（2.1.2）
1 2
1.8
;
4

8 7
3
7
与

7 8
5
12
5 0.3 0.3 与0.20.3
6 1.70.3与0.93.1
比较下列两个值的大小：
（1） 1.72.5 ， 1.73
解 ：利用函数单调性, 1.72.5 与 1.73
的底数是1.7，它们可以看成函数 y= 1.7x
1.70.3 1 且 0.93.1 1
从而有
1.70.3 > 0.93.1
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
2 1.8
fx = 1.7x 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
3.2 3
2.8 2.6 2.4 2.2
同底比较大小
3

1 4
0.8
与

1 2
1.8
;
4

8 7
3
7
与

7 8
5
12
不同底但可化同底
5 0.3 0.3 与0.20.3
不同底但同指数
不同底数幂比大小 ，利用指数函数图像 与底的关系比较
6 1.70.3与0.93.1
y 3x
y 2x y (1)x y 3x
2
思考: 以上三个函数有何共同特征?
(1)均为幂的形式 ; (2)底数是一个正的常数 ; (3)自变量x在指数位置.
（4）幂的系数为1.
y ax
一般地，函数y = ax(a0，且a 1)叫 做指数函数，其中x是自变量 .定义域
为R
思考：为何规定a＞0且a≠1？
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
指数函数的图象和性质
a>1
y y=ax
图
(a>1) y=1
象
0
x
0<a<1
y=ax
y
(0<a<1) (0,1)
y=1
0
x
a>1
0<a<1
1.图象全在x轴上方，与x轴无限接近.
y 2x
1
0
1
x
观察右边图象，回答下列问题：y (1)x
2
问题一： 图象分布在哪几个象限？
Y y=2x
答两个图象都在第＿Ⅰ＿、＿Ⅱ＿象限。
问题二：
O
Y=1
X
图象的上升、下降与底数a有什么联系？
答：当底数＿a >＿1 时图象上升；当底数＿0 ＿< a＿<＿1 时图象下降．
问题三： 图象中有一个最特殊的点？
底不同，指数也不同
利用函数图像 或中间量进行比 较
练习：已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :