第 1.2 节线性规划问题的几何意义

合集下载

第1.2节线性规划问题的图解法

分析目标函数 12 x1 10 x2 z ，在 x1 x 2 坐标平面上，它可
6 表示为以 z 为参数、为斜率的一族平行线（在图中用虚 5
线表示）：
6 z x2 x1 5 10
位于同一直线上的点，具有相同的目标函数值，因而称它为 “等值线” 。当 z 值由小变大时，直线 x2 6 5 x1 z 10 沿着其法线方向向右上方移动。即，离原点越远的直线
1/3x1+1/3x2=40
x1
13
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 图1 花瓶问题的图解法
x2 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
2x1+x2=160
30
2 规划问题求解的几种可能结果
4）无解或者无可行解

可行域为空集，说明该问题无解。
max z 12 x1 8 x2 2 x1 x2 160 1 x1 1 x2 40 3 3 3 x 2 x 260 2 1 x1 13 x1 , x2 0
9
x2 160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

第一章_线性规划

x1, x2 , , xn 0
(1.1)
(1.2) (1.3)
在该数学模型中，方程(1.1)称为目标函数；(1.2)称为约束条件；(1.3)称为变量的非负约束条件。
二、线性规划问题的标准型
由前面所举的例子可知，线性规划问题可能有各种不
同的形式。目标函数有实现最大化也有实现最小化的；约束条件可以是“”形式、“”形式的不等式，也可以是等式。决策变量有时有非负限制，有时没有。这种多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我们规定线性规划问题的标准型为：
4. 基本可行解 : 满足非负条件(1.8)的基本解称为基本可行解。由此可见，基本可行解的非0分量的数目不大于m，并且都是非负的。
5. 可行基: 对应于基本可行解的基称为可行基。由此可见，满足约束方程组(1.7)的基本解的数目至多是 Cnm 个。一般地讲，基本可行解的数目要小于基本解的数目，至多相等。
我们称 A 为约束方程组的系数矩阵( m×n阶)，一般情况下 m < n , m , n 为正整数，分别表示约束条件的个数和决策变量的个数，C 为价值向量，X 为决策向量，通常aij , bi , cj ( i = 1, 2, ···, m ，j = 1, 2, ···, n ) 为已知常数。
实际上，具体问题的线性规划数学模型是各式各样的，需要把它们化成标准型，并借助于标准型的求解方法进行求解。

线性规划问题的图解法

bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2

i 1
k
i
1,
1
n=2，k=3
( 2)
使X 1 X 2 X 则X为X
(1)
... k X
(k )
,..., X
(k )
的凸组合.
X
标准型
min Z CX AX b X 0
可行解:满足AX=b, X>=0的解X称为线性规划问题的可行解。所有可行解的集合称为可行域。最优解：使Z=CX达到最大值的可行解称为最优解。
17.2 = 2X1 + X2
20 = 2X1 + X2
此点是唯一最优解，且最优目标函数值 max Z=17.2
D
max Z
可行域
（7.6，2）
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
Lo： 0 = 2X1 + X2
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)

运筹学线性规划

am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm
x1, x2 , , xn 0
(1.1)
(1.2) (1.3)
在该数学模型中，方程(1.1)称为目标函数；(1.2)称为约束条件；(1.3)称为变量的非负约束条件。
清华大学出版社
二、线性规划问题的标准型
由前面所举的例子可知，线性规划问题可能有各种
2x1+2x2=14 3x2=15 解得：x1=2 x2=5 这就是本线性规划问题的最优解。此时相应的目标函数的最大值为：
Z=2×2+3×5=19
清华大学出版社
例1－7 maxZ=2x1+ 4x2 s.t. 2x1+x2 8 -2 x1+ x2 2 x1，x2 0
解：由于可行域无界，作目标函数等值线，如图1－4中虚线所示，并用箭头标出其函数值增加的方向，由此可以看出，该问题无有限最优解。若目标函数由 max Z = 2x1 + 4x2 改为 min Z =2 x1 +4 x2 , 则可行解所在的范围虽然无界，但有最优解 x1 = 4，x2 = 0 ，即 (4,0) 点。
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产产品I、II的件数。该问题可用如下数学模型表示为：
目标函数： Max Z = 2x1 +3x2
约束条件：3x2 15 4x1 12 2x1 2x2 14 x1 , x2 0

线性规划问题的几何意义

重要结论
根据以上讨论，可以得到以下结论：线性规划问题的可行域是凸集（定理3.1）；凸集的每个顶点对应一个基可行解（定理3.2），基可行解个数是有限的，当然凸集的顶点也是有限的；若线性规划有最优解，必在可行域某顶点上达到（定理3.3），亦即在有限个基可行解中间存在最优解。因此，我们可以在有限个基可行解中去找最优解。这就是下节将介绍的单纯形法的理论依据，该方法就是一种在基可行解中搜索最优解的算法。
因此，对于j=k+1,k+2,…,n，应有 k 1 2 0 ，由于P1,P2,…,Pk线性无关，并且 pj xj xj 故 xj1 xj2 ,j=1,2,…,k.这就得到了x（1）=x（2）之矛盾。

2 1 xj xj 0

显然θ>0。取x（1）=(x1+θα 1,x2+θα 2,…,xk+θα k,0,…,0)T x（2）=(x1-θα 1,x2-θα 2,…,xk-θα k,0,…,0)T
易于验证x（1）∈D，x（2） ∈D，x（1）≠x（2）且
1 2 1 1 X X X ，此与X是D的顶点矛盾，因而X是基可行解。 2 2 充分性：←设X是问题的基可行解，不妨设x1＞0,x2＞ 0,…,xk＞0, xk+1=…=xn=0（k≤m），于是P1,P2,…,Pk必线性无关。若X不是D的顶点，则存在x（1）∈D，x（2） ∈D， x（1）≠x（2）及α ∈（０，１），有

运筹学线性规划与目标函数

, Pn

;
am1 amn
零向量：0

0 ；资源向量：b

b1

0
bm
决策变量向量：X x1 ,x2 ,,xn T 23
1.3 线性规划问题的标准型式
如何将一般线性规划转化为标准形式的线性规划
(1) 若要求目标函数实现最小化，即min z =CX，则只需将目标函数最小化变换求目标函数最大化，即令z′= −z，于是得到max z′= −CX。
3
第1节线性规划问题及其数学模型
线性规划是运筹学的一个重要分支。线性规划在理论上比较成熟，在实用中的应用日益广泛与深入。特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。从解决技术问题的最优化设计到工业、农业、商业、交通运输业、军事、经济计划和管理决策等领域都可以发挥作用。它已是现代科学管理的重要手段之一。解线性规划问题的方法有多种，以下仅介绍单纯形法。
称B为线性规划问题的基。
a11 a12 a1m
B

a21
am1
a22
am2

a2m
amm

P1,
P2
,
Pm

Pj( j 1,2,m)为基向量，

知识讲解简单的线性规划问题_基础

简单的线性规划问题

【学习目标】

1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念；

2. 掌握线性规划问题的图解法.

3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力.

【要点梳理】

要点一、线性规划的有关概念：线性约束条件：

如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、

y 的一次不等式，故又称线性约束条件．

线性目标函数：

关于x 、y 的一次式(,)z f x y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．

线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，

①满足线性约束条件的解(,)x y 叫可行解； ②由所有可行解组成的集合叫做可行域；

③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.

要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题. 要点二、线性规划的应用

1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.

2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.

管理运筹学教学内容

管理运筹学Ⅰ

一．教学目的

运筹学是一门应用数学理论和方法研究社会经济问题的课程，是管理专业一门重要的方法论课程。通过本课程的学习，使学生获得线性规划、动态规划、网络规划、系统决策等方面的基本技能和方法，为解决实际问题和进行更高层次的学习奠定必要的方法论基础。

二．教学内容

第一章线性规划基础

第一节运筹学发展简史及其现代社会中的应用

第二节线性规划问题的一般模型

第三节线性规划问题的标准型

第四节线性规划问题的图解法

第二章单纯形法

第一节线性规划问题的几何意义

第二节单纯形法

第三节对单纯形法的进一步讨论

第四节对线性问题解的讨论

第五节改进单纯形法及计算机程序设计

第三章线性规划模型的建立

第一节线性规划问题建模技巧

第二节用线性规划方法求解的实际问题的类型第四章对偶问题及应用

第一节对偶问题

第二节对偶问题的建立

第三节对偶问题的基本性质

第四节对偶性质的应用

第五节对偶单纯形法

第六节对偶单纯形法的应用

第五章线性规划问题的灵敏度分析

第一节边际值及其应用

第二节对C

值的灵敏度分析

第三节对a

第四节对 b 值的的灵敏度分析

第五节灵敏度分析的应用示例

第六章运输问题

第一节运输问题的线性规划模型

第二节初始基本可行解的求法

第三节求检验数的方法

第四节方案的调整

第五节表上作业法应用举例

第六节指派问题

第七章整数规划

第一节基本概念

第二节整数规划问题的图解法

第三节整数规划建模

第四节割平面算法

第五节分枝定界算法

第六节 0—1 规划算法

第八章动态规划

第一节引例

第二节动态规划的基本概念和基本原理

第三节背包问题

第四节生产计划问题

第五节购销量计划问题

线性规划图解法几何意义

凸组合:设 X (1) , X (2) ,..., X (k) 是n维欧氏空间中的k个点
X 1 X (1) 2 X (2) ... k X (k ) 1 i 0, i 1
则称X是 X (1) , X (2) ,..., X (k) 的凸组合
凸集的概念：
凸集
顶点
最优基：基最优解对应的可行基B称为最优基.
一. 线性规划问题解的概念（4）
8.退化解：若基本可行解X的所有基变量的值均大于0，则称X是非退化的，否则称X为退化的。
若(LP)的所有基本可行解都是非退化的, 则称线性规划问题是非退化的.
二. 例题
考虑线性规划问题：
(LP)
max Z 2x1 3x2
1 2 1 0 0
A 4 0 0 1 0
0 4 0 0 1
很显然A中的后3列是线性无关的，它们构成一个基
B (P3, P4 , P5 ) E
基B对应的变量x3,x4,x5是基变量，则
二. 单纯形法引例（2）
即：
x3 8 x1 2x2

x4

16
6.当变量xi≤0时
则令 xi xi 0, 再代入线性规划模型中
例3 将例1的数学模型化为标准形
该线性规划问题加入三个松驰变量x3,x4,x5≥0后：
max z 2x1 3x2 max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5

线性规划问题的基本理论

称S为剩余变量。
不等式情况下：当≤，引入松弛变量s 当≥，引入剩余变量s 松弛变量：需要补充的资源剩余变量：没有使用的资源如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变量。
3、右端项有负值的问题： • 在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该等式约束两端同时乘以-1，得到： -ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
4、决策变量不定：当Xi<0，令Xi`=-Xi，则Xi``>o 当某一个变量xj没有非负约束时，可以令 x j = x j’ - x j”
其中
xj’≥0，xj”≥0
即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量，当然xj的符号取决于xj’和xj”的大小。
例：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 2 x1 -3x2 + 4 x3 s.t. 3 x1 + 4x2 - 5 x3 ≤6 2 x1 + x3 ≥8 x1 + x2 + x3 = -9 x1 , x2 , x3 ≥ 0
（2）顶点设K是凸集，X∈K；若X不能用不同的两点 X(1)∈K和X(2)∈K的线性组合表示为 X=αX(1)+(1−α)X(2)，(0＜α＜1)，则称X为K 的一个顶点(或极点)。

线性规划图解法

• 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶点表示。
• 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域内的每一个点代表一个可行解。
精选课件
图解法
Page 8
无可行解的线性规划问题
例 2 . 11 用图解法求解
max z = x1 + x2
s.t.
x1 + 2x2 4
x1 - 2x2 5
2 x 1 x 2 40 x 1 1 .5 x 2 30
x 1 x 2 50 x1 0, x2 0
无可行解(即无最优解)
20
30
40
50
x1
图解法
Page 21
学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增加的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)
z = 50x1+30x2= 600
4x1+3x2 120
10 20 精选课件 30
x1
图解法
Page 7
图解法的观察（一）
• 有效与无效(紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 (紧)约束。

运筹学第1章

运筹学
§1 线性规划问题及其数学模型
-4China University of Mining and Technology
运筹学
1.1 问题的提出
1.1 问题的提出
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何合理地
利用有限的资源，以得到最大的效益。
我们先通过几个实际问题来认识什么是线性规划.
China University of Mining and Technology
-20-
运筹学
1.1 问题的提出
• 运输问题的一般描述：将 m 个产地 A1 , A2 ,, Am 生产的一种产品运到 n 个销地 B1 , B2 ,, Bn ，ai 表示产地 Ai 的产量限 b 制， j 表示销地 B j 的销量需求，cij 表示单位产品从 Ai 运到 B j (i 1, 2,, m ; j 1, 2,, n) 的运费. 情况如表1.5所示. 问题是：制定一个使总的运费或总货运量最小的调运方案.
-17China University of Mining and Technology
运筹学
min f c1 x1 c2 x2 ... cn xn
1.1 问题的提出
s.t. a11 x1 a12 x2 ... a1n xn bV ， 1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2V ， ........................................... am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bmV ， x1 x2 ... xn V ， x j 0 ( j 1, 2, , n), 且为整数.

线性规划问题及其数学模型

x7 2
3 x1
x2
2(x4
x)
5
x1 , x 2 , x 4 , x5 , x6 , x7 0
1.4 线性规划问题的解的概念
• 1.可行解 • 2.基 • 3.基可行解 • 4.可行基
1. 可行解
n
maxz cj xj
j1
n
ai jx j
bi ,i 1,2,m
j1
xj 0, j 1,2,,n
图1-1
续例2
• 第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万立方米第二化工厂每天排放这种工业污水1.4 万立方米从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前有20%可自然净化根据环保要求河流中工业污水的含量应不大于0.2%这两个工厂都需各自处理一部分工业污水第一化工厂处理工业污水的成本是1000元/万立方米
因存在 x1,x2 0 必须在直角坐标的第1象限内作图求解
图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
图1-3 目标值在42点达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2
x2
2 3
x1
z 3
表示一簇平行线
(1 4 ) (15) (16)
满足约束条件1-51-6式的解X=x1x2…xnT称为线性规划问题的可行解其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解

1-1 线性规划问题及其数学模型

(万立方米) 排放污水
第一化工厂 2
第二化工厂 1.4
河流流量
处理成本
500
1000元
700
800元
22
第一章线性规划与单纯形法
第3步表示约束条件
1. 一化与二化之间，污水含量要不大于0.2%
2 x1 0.2% 500
(万立方米) 第一化工厂第二化工厂
排放污水
河流流量处理成本
2
500 1000元
1.4
700 800元
第一章线性规划与单纯形法
23
第3步表示约束条件
2. 流经二化后，河中污水含量仍要不大于0.2%
0.8 2 x1 1.4 x2 0.2% 700
(万立方米) 排放污水河流流量处理成本第一化工厂 2 500 1000元第二化工厂 1.4 700 800元
Tip
• 确定决策变量 • 写出目标函数 • 找出约束条件
第一章线性规划与单纯形法 45
价值系数
max(min) z c1 x1 c2 x2 c j x j cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn (, )b2 技术系数 s.t. ai1 x1 ai 2 x2 aij x j ain xn (, )bi am1 x1 am 2 x2 amn xn (, )bm 限额系数 x1 , x2 , , xn 0 变量非负约束

1.2 线性规划的图解法

(b)无穷多最优解
x2
6—
MaxZ 2 x1 4 x 2 16 4 x1 4 x 2 12 s.t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
X*=X1+（1- ）X2 X1=(4,2), X2=(2,3)
5— 4— 3— 2— 1— 0 | 1 | 2 | 3 | 4
20
图解法小结
图解步骤：画坐标系，画可域，确定优化方向，确定极值点。图解法作图求最优解。优点：简单、直观；不足：求解问题的变量数不能多于2。
21
解可能有四种情况，与可行域有密ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关系。 3 2 1 图解法 4 5
几何意义：直观的告诉人们线性规划问题最优解的分布规律。
34
三、填空题
1. 在用图解法求解线性规划问题时，目标函数 s=c1x1+c2x2，则直线c1x1+c2x2=10是s的一条（等值线）。 2. 线性规划如果存在最优解，其最优解必可在可行解区边缘折线的（顶点）上达到。 3. 求解线性规划问题的图解法其优点是（简单）（直观），其局限性是（变量个数不能超过两个）。 4. 在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则（）这段边界上（的一切点都是最优解）。

第二讲线性规划图解法几何意义

'
=7 x1 + x2 + ( x4 x5 ) + x6 x x + (x x ) x7 = 2 1 2 4 5 =5 3 x1 + x2 + 2( x4 x5 ) x1 , x2 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
2.线性规划图解法对于只有两个变量的线性规划问题,可用几何作图法对于只有两个变量的线性规划问题 , 求解,称之为图解法求解,称之为图解法一种最简单、最直观的方法，一种最简单、最直观的方法，而且能反映一般线性规划问题解的一些共同性质注：图解法只适用于两个变量的线性规划问题。图解法只适用于两个变量的线性规划问题。图解法的步骤可概括为：图解法的步骤可概括为：（1）在平面上建立直角坐标系图示约束条件，找出可行域，（2）图示约束条件，找出可行域，图示目标函数和寻找最优解。（3）图示目标函数和寻找最优解。预备知识二元线性方程ax+by ax+by＋ 1、二元线性方程ax+by＋c＝0将平面分为两个半平面 2、二元线性不等式ax+by＋c＞（＜）0表示某半平面二元线性不等式ax+by＋＞（＜）0 ax+by
单纯形法
单纯形法引例
Max Z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 考虑线性规划问题：考虑线性规划问题： =8 x1 + 2x2 + x3 4x (LP) + x4 =16 1 S.T. 4x2 + x5 =12 x1, x2 , x3, x4 , x5 ≥ 0