2016-2017学年湖南省衡阳市第八中学高二上学期第一次月考数学试题(文科实验班)

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湖南衡阳第八中学高二下学期第一次月考试题数学(文)Word版含答案

年上期衡阳市八中高二第一次月考
数学（文科）试题
命题人：刘慧英审题人：刘一坚
考试时间：120分钟考试总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．设集合，集合，则
A． B． C． D．
2.已知复数，则复数z在复平面对应的点位于（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知向量，，若，则 =
14.函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，
f(x)＝则f(f(15))的值为．教育精品
15.已知满足约束条件：，则的最大值是
16.函数图象上不同两点处切线的斜率分别是规定（为线段的长度）叫做曲线在点与之间的“平方弯曲度”，给出以下命题：教育精品
．
18.（1）
（2）
19.（1）广场舞者的平均年龄为所以广场舞者的平均年龄大约为54岁；
（2）记事件为“从年龄在内的广场舞者中任取2名，选中的两人中恰有一人年龄在内。由直方图可知，年龄在内的有2人，分别记为，在内的有4人，分别记为，现从这6人中任选两人，所有可能基本事件有：教育精品
，，共15个，
17.（本题10分）已知数列是公差为1的等差数列，其前8项的和．
求数列的通项公式；求数列的前项和．
18.（本题12分）已知命题
（1）若命题为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题“ 或 ”为真命题，命题“ 且 ”为假命题，求实数m的取值范围.
19.（本题12分）广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：，，，，，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.教育精品

湖南衡阳八中高二上学期第一次月考数学试卷文科含解析

2015-2016学年湖南省衡阳八中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列语句是命题的是（）A．指数函数是增函数吗？ B．空集是任何集合的子集C．x∈{1，2，3，4，5}D．正弦函数是美丽的函数！2．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x ∈R，2x2﹣1＞03．函数y=x+（x＞0）的值域为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）4．已知p：∃x∈R，lgx＞1，q：2是偶数，则命题“p∨q，p∧q，¬p”的真假性分别为（）A．真，假，假B．真，真，假C．真，假，真D．假，假，真5．“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N 的周长为8，则椭圆方程为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=8．设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．9．已知F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.将答案填写在题中横线上）11．x=y x2=y2（填”⇒”或“”）12．若p是q的充分条件，则命题“若p，则q”为（填“真”或“假”）13．若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为．14．设F1，F2为椭圆=1的焦点，P为椭圆上的一点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为．15．求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x﹣5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为．三、解答题（本大题共6个小题，共55分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．写出命题“若α=，则tanα=1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．17．分别以双曲线﹣=1的实轴、虚轴为椭圆的长轴、短轴，求该椭圆的方程．18．已知命题p：m2﹣m﹣6≥0，命题q：=1表示焦点在x轴上的椭圆，若“p且q”与“非q”同时为假命题，求m的取值范围．19．已知O为坐标原点，当点P在椭圆上运动时，求线段OP的中点M的轨迹方程．20．我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．21．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．2015-2016学年湖南省衡阳八中高二（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列语句是命题的是（）A．指数函数是增函数吗？ B．空集是任何集合的子集C．x∈{1，2，3，4，5}D．正弦函数是美丽的函数！【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】能够判断真假的句子，叫做命题，疑问句，感叹句，祈使句均不为命题．【解答】解：指数函数是增函数吗？是疑问句，不是命题；空集是任何集合的子集，是命题，且是真命题；x∈{1，2，3，4，5}不能判断真假，故不是命题；正弦函数是美丽的函数！是感叹句，不是命题，故选：B2．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x ∈R，2x2﹣1＞0【考点】命题的否定．【分析】根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定；【解答】解：命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则其否命题为：∃x∈R，2x2﹣1≤0，故选C；3．函数y=x+（x＞0）的值域为（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（0，+∞）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式可求函数的最小值，由此可得函数值域．【解答】解：∵x＞0，∴x+=2，当且仅当x=即x=1时取等号，∴函数y=x+（x＞0）的值域为[2，+∞），故选：C．4．已知p：∃x∈R，lgx＞1，q：2是偶数，则命题“p∨q，p∧q，¬p”的真假性分别为（）A．真，假，假B．真，真，假C．真，假，真D．假，假，真【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p和命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：命题p：∃x∈R，lgx＞1，为真命题；命题q：2是偶数，为真命题；命题p∨q为真命题；p∧q为真命题；¬p为假命题，故选：B5．“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义进行判断：若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p是q的充分必要条件．【解答】解：（1）mn＜0⇔m＞0，n＜0或m＜0，n＞0．若m＞0，n＜0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线；若m＜0，n＞0，则方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线；所以由mn＜0不能推出方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，即不充分．（2）若方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0，n＞0，所以mn＜0，即必要．综上，“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．故选B．6．F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，过F1的直线l交椭圆于M、N，若△MF2N 的周长为8，则椭圆方程为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【分析】由题意可知△MF2N的周长为4a，从而可求a的值，进一步可求b的值，故方程可求．【解答】解：由题意，4a=8，∴a=2，∵F1（﹣1，0）、F2（1，0）是椭圆的两焦点，∴b2=3，∴椭圆方程为，故选A．7．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【考点】双曲线的简单性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．8．设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b＞0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵=+=++≥+2=，（当且仅当=，即a=，b=时取到等号）∴≤﹣（当且仅当=，即a=，b=时取到上确界）故选：D．9．已知F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB（O为原点），则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先把x=c代入椭圆方程求得y，进而求得|PF|，根据OP∥AB，PF∥OB推断出△PFO∽△ABO，进而根据相似三角形的性质求得=求得b和c的关系，进而求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：把x=c代入椭圆方程求得y=±∴|PF|=∵OP∥AB，PF∥OB∴△PFO∽△ABO∴=，即=，求得b=c∴a== c∴e==故选A10．椭圆ax2+by2=1与直线y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．【解答】解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2=1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣=，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k===．故选A．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.将答案填写在题中横线上）11．x=y⇒x2=y2（填”⇒”或“”）【考点】充分条件．【分析】根据等式两边同时平方还是等式可得结论．【解答】解：∵x=y∴两边平方得x2=y2，即“x=y”⇒“x2=y2”，当x2=y2时，x=±y，故“x2=y2”不能推出“x=y”，故答案为：⇒12．若p是q的充分条件，则命题“若p，则q”为真（填“真”或“假”）【考点】充分条件．【分析】由p是q的充分条件，知“若p，则q”．【解答】解：∵p是q的充分条件，∴“若p，则q”，故“若p，则q”为真命题．故答案为：真．13．若椭圆+=1过点（﹣2，），则其焦距为4．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c．【解答】解：由题意知，把点（﹣2，）代入椭圆的方程可求得b2=4，故椭圆的方程为，∴a=4，b=2，c==2，则其焦距为4．故答案为4，14．设F1，F2为椭圆=1的焦点，P为椭圆上的一点，且∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为3．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆定义求出|PF1|+|PF2|和|F1F2|的值，通过余弦定理求出|PF1||PF2|的值，再代入三角形的面积公式即可．【解答】解：由椭圆=1方程可知，a=5，b=3，∴c=4∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8在△PF1F2中，cos∠F1PF2====cos60°=，∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12，又∵在△F1PF2中，△PF1F2的面积S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2∴S=×12sin60°=3；故答案为：3．15．求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x﹣5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为﹣=1（x＞0）．【考点】圆的标准方程；圆的一般方程；双曲线的定义．【分析】由题意求出P到定点A、B的距离差是一个定值，在利用双曲线的定义求出轨迹方程．【解答】解：设所求圆P的半径为R，∵与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x﹣5）2+y2=1都外切∴|PA|=R+7，|PB|=R+1；∴|PA|﹣|PB|=6，∴由双曲线的定义知，圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的右支，∴a=3，c=5；∴b=4；圆心P的轨迹方程为﹣=1（x＞0）故答案为：﹣=1（x＞0）三、解答题（本大题共6个小题，共55分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．写出命题“若α=，则tanα=1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．【考点】四种命题．【分析】分析出原命题的条件和结论，写成若p则q的形式．在转化成逆命题：若q则p；否命题：若非p则非q；逆否命题：若非q则非p．真假判断利用角与三角函数值的关系，即给定角对应唯一正切值，但是给定正切值对应无数角．【解答】逆命题：若tanα=1，则α=，假；否命题：若α≠，则tanα≠1，假；逆否命题：若tanα≠1，则α≠，真．17．分别以双曲线﹣=1的实轴、虚轴为椭圆的长轴、短轴，求该椭圆的方程．【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】先确定双曲线的实轴长、虚轴长，进而可得椭圆的长轴长、短轴长，焦点在x轴上，从而可求椭圆的标准方程．【解答】解：∵双曲线∴双曲线的焦点在x轴上，且a=5，b=4∵双曲线的实轴、虚轴为椭圆的长轴、短轴∴椭圆的长轴长、短轴长分别为10，8，焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为：18．已知命题p：m2﹣m﹣6≥0，命题q：=1表示焦点在x轴上的椭圆，若“p且q”与“非q”同时为假命题，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据“p且q”与“非q”同时为假命题，可得p为假命题，q为真命题，即m2﹣m﹣6＜0且m＞2，解得m的取值范围．【解答】解：非q为假命题，则q为真命题；p且q为假命题，则p为假命题，即m2﹣m﹣6＜0且m＞2，解得2＜m＜319．已知O为坐标原点，当点P在椭圆上运动时，求线段OP的中点M的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【分析】设出线段OP的中点M的坐标，求出P的坐标，代入已知椭圆方程整理即可．【解答】解：设M（x，y），则P（2x，2y），因为点P在椭圆上运动，P代入已知椭圆方程中得：即：．线段OP的中点M的轨迹方程：．20．我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层．已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度x（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和．（I）求C（x）和f（x）的表达式；（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用f（x）最小，并求出最小值．【考点】函数模型的选择与应用；函数最值的应用．【分析】（I）根据关系式：，无隔热层，则每年能源消耗费用为8万元，可求C（x），利用f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，可求函数关系式；（II）利用基本不等式，即可求得函数的最小值．（I）当x=0时，C=8，因为，所以k=40，故C…【解答】解：∵f（x）为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和∴．…（II），…当且仅当时取得最小值．…即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元．…21．如图，点P（0，﹣1）是椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A、B两点，l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|，又l2⊥l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标，即可得出|PD|，即可得到三角形ABD的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值．【解答】解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，∴|PD|=．==，∴三角形ABD的面积S△令4+k2=t＞4，则k2=t﹣4，f（t）===，=，当且仅，即，当时取等号，∴S△故所求直线l1的方程为．2016年11月21日。

2017届湖南省衡阳八中高三(上)第一次月考数学试卷(实验班)解析版

2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（实验班）一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．[文理科]1．（5分）（2013•衡水校级模拟）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}2．（5分）（2015秋•荆门期末）下列命题中正确的个数为（）①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定；⑤设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．43．（5分）（2014•惠州模拟）函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）4．（5分）（2014秋•包河区校级期末）已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞1 B．1≤a≤2 C．a＞2 D．无解5．（5分）（2009秋•银川校级期末）若100a=5，10b=2，则2a+b=（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）（2015秋•景洪市校级期末）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（1），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（1）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（1）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）7．（5分）（2011•江西校级模拟）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）9．（5分）（2015秋•株洲校级期末）已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）（2014•云南模拟）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*，若∃x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f （x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”，函数f（x）的“生成点”共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．（5分）（2015•广西校级学业考试）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=012．（5分）（2015秋•朝阳区期末）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20二.填空题（每题5分，共20分）[文理科]13．（5分）（2015秋•房山区期末）若函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数f（2x﹣3）的定义域是______．14．（5分）（2015秋•福建期末）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0的实数m的取值范围是______．15．（5分）（2016•衡阳三模）若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是______．16．（5分）（2015•蚌埠三模）已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是______．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．三.解答题（共6题，共70分）17．（10分）（2014秋•朝阳区期末）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．18．（2015秋•安徽校级期末）已知命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）（2015•肇庆二模）已知函数f（x）=﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ=时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．20．（12分）（2015秋•房山区期末）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．21．（2015秋•阜阳校级期末）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x3与h（x）=2x﹣a是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．22．（12分）（2015秋•宜春校级期末）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．23．（2015秋•朝阳区期末）定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．24．（12分）（2015•赣州模拟）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣（a+1）x+a（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣1，求实数a的取值范围．25．（2015•铜川三模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜；（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．26．（12分）（2014秋•蚌埠校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．2016-2017学年湖南省衡阳八中高三（上）第一次月考数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的．[文理科]1．（5分）（2013•衡水校级模拟）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}【分析】找出A和B解集中的公共部分，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，∴A∩B={x|0≤x≤2}．故选A【点评】此题考查了交集及其运算，比较简单，是一道基本题型．2．（5分）（2015秋•荆门期末）下列命题中正确的个数为（）①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题；②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的否命题；③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题；④“每个正方形都是平行四边形”的否定；⑤设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分不必要条件．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据四种命题之间的关系分别求出对应的命题，然后进行判断即可．【解答】解：①若“一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除”的逆命题为：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0，错误，当末位数字是5也满足条件．，故①错误，②若“一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等”的逆命题为：若“一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等”，正确此时三角形为等腰三角形，根据逆否命题的等价性知原命题的否命题正确，故②正确；③“奇函数的图象关于原点对称”正确，则根据逆否命题的等价性知命题的逆否命题正确；故③正确，④“每个正方形都是平行四边形”，正确，则“每个正方形都是平行四边形”的否定错误；故④错误，⑤设f（x）=x|x|=，则函数f（x）为增函数，则当a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充分必要条件．故⑤错误，故正确的个数是2，故选：B【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及命题真假的判断，考查学生的运算和推理能力．3．（5分）（2014•惠州模拟）函数f（x）=log2（3x﹣1）的定义域为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则3x﹣1＞0，即3x＞1，∴x＞0．即函数的定义域为（0，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．4．（5分）（2014秋•包河区校级期末）已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（）A．a＞1 B．1≤a≤2 C．a＞2 D．无解【分析】由于命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，可得命题p与q必然一真一假，【解答】解：命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，当a=0时，函数f（x）的定义域不为R；当a≠0时，由题意可得：，解得a＞2．命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立，当a＞0时，可得x（a2x+2a﹣2）＞0，当a≥1时，上述不等式对一切正实数x均成立；当0＜a＜1时上述不等式不满足对一切正实数x均成立，舍去；同理当a≤0时，上述不等式不满足对一切正实数x均成立．可得：实数a的范围是a≥1．∵命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，∴命题p与q必然一真一假，∴或，解得1≤a≤2．则实数a的取值范围为1≤a≤2．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的判定、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）（2009秋•银川校级期末）若100a=5，10b=2，则2a+b=（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题设条件知，lg2=b，故2a+b=．【解答】解：∵100a=5，10b=2，∴，lg2=b，∴2a+b=．故选B．【点评】本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．6．（5分）（2015秋•景洪市校级期末）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，则f（﹣2），f（1），f（﹣3）的大小关系是（）A．f（1）＞f（﹣3）＞f（﹣2）B．f（1）＞f（﹣2）＞f（﹣3）C．f（1）＜f（﹣3）＜f（﹣2）D．f（1）＜f（﹣2）＜f（﹣3）【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到同一单调区间[0，+∞）上，然后比较大小．【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣3）=f（3），f（﹣2）=f（2）．又因为函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，故f（3）＞f（2）＞f（1）．即f（﹣3）＞f（﹣2）＞f（1）．故选D【点评】本题考查了函数的单调性在比较函数值大小中的应用，要注意结合其它性质考查时，一般先将不同区间上的函数值转化到同一单调区间上再比较大小．7．（5分）（2011•江西校级模拟）函数y=的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，由此特征对四个选项进行判断，即可得出正确选项．【解答】解：∵函数∴函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x轴上下震荡，幅度越来越大，A选项符合题意；B选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A选项符合题意故选A【点评】本题考查余弦函数的图象，解题的关键是根据余弦函数的周期性得出其零点周期性出现，再就是根据分母随着自变量的变化推测出函数图象震荡幅度的变化，由这些规律对照四个选项选出正确答案．8．（5分）（2014•泰安二模）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞3，则f（x）＞3x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣（3x+4），由f（﹣1）=1得F（﹣1）的值，求F（x）的导函数，根据f′（x）＞3，得F（x）在R上为增函数，根据函数的单调性得F（x）大于0的解集，从而得所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（3x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣3+4）=1﹣1=0，又对任意x∈R，f′（x）＞3，∴F′（x）=f′（x）﹣3＞0，∴F（x）在R上是增函数，∴F（x）＞0的解集是（﹣1，+∞），即f（x）＞3x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了运用函数思想求解不等式的问题，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，是易错题．9．（5分）（2015秋•株洲校级期末）已知函数f（x）=，则f（f（5））的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用分段函数直接代入求值即可．【解答】解：∵f（5）=log24=2，∴f（f（5））=f（2）=22=4．故选：D．【点评】本题主要考查分段函数的求值问题，注意分段函数中变量的取值范围．10．（5分）（2014•云南模拟）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*，若∃x0，n∈N*，使f（x0）+f（x0+1）+…+f （x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”，函数f（x）的“生成点”共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由此能求出函数f（x）的“生成点”的个数．【解答】解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由x0，n∈N*，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故函数f（x）的“生成点”共有2个．故答案为：2．【点评】本题考查函数f（x）的“生成点”个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．11．（5分）（2015•广西校级学业考试）若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若f（a）f（b）＞0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0B．若f（a）f（b）＜0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）=0C．若f（a）f（b）＞0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0D．若f（a）f（b）＜0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）=0【分析】先由零点的存在性定理可判断D不正确；结合反例“f（x）=x（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＜0，但其存在三个解{﹣1，0，1}”可判定B不正确；结合反例“f（x）=（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＞0，但其存在两个解{﹣1，1}”可判定A不正确，进而可得到答案．【解答】解：由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“f（x）=x（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＜0，但其存在三个解{﹣1，0，1}”推翻；同时选项A可通过反例“f（x）=（x﹣1）（x+1）在区间[﹣2，2]上满足f（﹣2）f（2）＞0，但其存在两个解{﹣1，1}”；故选C．【点评】本题主要考查零点存在定理的理解和认识．考查对知识理解的细腻程度和认识深度．12．（5分）（2015秋•朝阳区期末）设函数f（x）的定义域D，如果存在正实数m，使得对任意x∈D，都有f（x+m）＞f（x），则称f（x）为D上的“m型增函数”．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R）．若f（x）为R上的“20型增函数”，则实数a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜5 C．a＜10 D．a＜20【分析】由已知得f（x）=，f（x+20）＞f（x），由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x﹣a|﹣a（a∈R），∴f（x）=，∵f（x）为R上的“20型增函数”，∴f（x+20）＞f（x），当x≥0时，|20+x﹣a|﹣a＞|x﹣a|﹣a，解得a＜10．当x=﹣10时，由f（﹣10+20）＞f（﹣10），即f（10）＞f（﹣10），得：|10﹣a|﹣a＞﹣|10﹣a|+a，∴|10﹣a|＞a，∴10﹣a＞a或10﹣a＜﹣a，解得a＜5，∴实数a的取值范围是a＜5．故选：B．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意新定义的正确理解．二.填空题（每题5分，共20分）[文理科]13．（5分）（2015秋•房山区期末）若函数f（x）的定义域是[0，4]，则函数f（2x﹣3）的定义域是．【分析】由已知函数的定义域，可得0≤2x﹣3≤4，解此不等式得答案．【解答】解：∵函数f（x）的定义域是[0，4]，则由0≤2x﹣3≤4，得，∴函数f（2x﹣3）的定义域是．故答案为：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．14．（5分）（2015秋•福建期末）已知奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，则满足不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0的实数m的取值范围是[﹣，] ．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：∵函数奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，且在定义域上单调递减，∴不等式f（1﹣m）+f（1﹣2m）＜0等价为f（1﹣m）＜﹣f（1﹣2m）=f（2m﹣1），即，即，得﹣≤m≤，故答案为：[﹣，]【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性将不等式进行转化是解决本题的关键．注意定义域的限制．15．（5分）（2016•衡阳三模）若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【分析】由题意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：若函数f（x）=x2+ln（x+a）与g（x）=x2+e x﹣（x＜0）图象上存在关于y轴对称的点，则等价为g（x）=f（﹣x），在x＜0时，方程有解，即x2+e x﹣=x2+ln（﹣x+a），即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为：e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．【点评】本题考查函数与方程的应用，根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．16．（5分）（2015•蚌埠三模）已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是①②⑤．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．【分析】利用新定义直接判断①②的正误；通过求解方程的解，判断③④不满足新定义；⑤通过分类讨论判断满足新定义．【解答】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是不动点，故③④错误；对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．三.解答题（共6题，共70分）17．（10分）（2014秋•朝阳区期末）已知集合A={x2﹣3x﹣10≤0}，B={x|m﹣1＜x＜2m+1}（Ⅰ）当m=3时，求A∩B．（Ⅱ）若B⊆A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）当m=3时，化简A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；从而求交集．（Ⅱ）讨论当B≠∅时，；当B=∅时，m﹣1≥2m+1，从而解得．【解答】解：（Ⅰ）当m=3时，A={x2﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]，B=（2，7）；则A∩B=（2，5]．（Ⅱ）∵B⊆A，当B≠∅时，；解得，﹣1≤m≤2；当B=∅时，由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．18．（2015秋•安徽校级期末）已知命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出（x2﹣x）max，求出m的范围．（2）通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“x∈A是x∈B的充分不必要条件”即A⊆B，求出a的范围．【解答】解：（1）命题：“∀x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题，得x2﹣x﹣m＜0在﹣1≤x≤1恒成立，∴m＞（x2﹣x）max得m＞2即B=（2，+∞）（2）不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0①当3a＞2+a，即a＞1时解集A=（2+a，3a），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊆B，∴2+a≥2此时a∈（1，+∞）．②当3a=2+a即a=1时解集A=φ，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立．③当3a＜2+a，即a＜1时解集A=（3a，2+a），若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A⊂B成立，∴3a≥2此时．综上①②③：．【点评】解决不等式恒成立求参数的范围问题，常采用分离参数求最值；解含参数的二次不等式时，长从二次项系数、判别式、两个根的大小进行讨论．19．（12分）（2015•肇庆二模）已知函数f（x）=﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ=时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．【分析】（1）化简（﹣1≤x≤2），再利用换元法得g（t）=t2﹣2λt+3（）；从而代入λ=求函数的值域；（2）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（），讨论λ以确定函数的最小值及最小值点，从而求λ．【解答】解：（1）（﹣1≤x≤2）设，得g（t）=t2﹣2λt+3（）．当时，（）．所以，．所以，，故函数f（x）的值域为[，]．（2）由（1）g（t）=t2﹣2λt+3=（t﹣λ）2+3﹣λ2（）①当时，，令，得，不符合舍去；②当时，，令﹣λ2+3=1，得，或，不符合舍去；③当λ＞2时，g（t）min=g（2）=﹣4λ+7，令﹣4λ+7=1，得，不符合舍去．综上所述，实数λ的值为．【点评】本题考查了函数的值域的求法及函数的最值的应用，属于基础题．20．（12分）（2015秋•房山区期末）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），（a＞0，且a≠1）．（1）设a=2，函数f（x）的定义域为[3，63]，求函数f（x）的最值．（2）求使f（x）﹣g（x）＞0的x的取值范围．【分析】（1）当a=2时，根据函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，求得函数的最值．（2）f（x）﹣g（x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），分①当a＞1和②当0＜a＜1两种情况，分别利用函数的单调性解对数不等式求得x的范围．【解答】解：（1）当a=2时，函数f（x）=log2（x+1）为[3，63]上的增函数，故f（x）max=f（63）=log2（63+1）=6，f（x）min=f（3）=log2（3+1）=2．（2）f（x）﹣g（x）＞0，即log a（1+x）＞log a（1﹣x），①当a＞1时，由1+x＞1﹣x＞0，得0＜x＜1，故此时x的范围是（0，1）．②当0＜a＜1时，由0＜1+x＜1﹣x，得﹣1＜x＜0，故此时x的范围是（﹣1，0）．【点评】本题主要考查指数函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（2015秋•阜阳校级期末）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为不等函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x3与h（x）=2x﹣a是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是不等函数，求实数a组成的集合．【分析】（1）根据不等函数的定义和条件进行判断即可；（2）根据h（x）是不等函数，验证两个条件即可．【解答】解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x3≥0，满足①；当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=（x1+x2）3=++3•x2+3x1•≥+=g（x1）+g（x2），满足②，所以函数g（x）是不等函数．（2）h（x）=2x﹣a（x∈[0，1]）为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣a≥0，所以a≤1．由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），得﹣a≥﹣a+﹣a，即a≥+﹣=1﹣（﹣1）（﹣1）．因为x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，所以0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1与x2不同时等于1，所以0≤（﹣1）（﹣1）＜1，所以0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1．当x1=x2=0时，[1﹣（﹣1）（﹣1）]max=1，所以a≥1．综合上述，a∈{1}．【点评】本题主要考查函数的应用，根据不等函数的定义，进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理能力．22．（12分）（2015秋•宜春校级期末）已知函数f（x）=x|2a﹣x|+2x，a∈R．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）﹣tf（2a）=0有3个不相等的实数根，求实数t的取值范围．【分析】（1）写出f（x）的分段函数，求出对称轴方程，由二次函数的单调性，可得a﹣1≤2a，2a≤a+1，解不等式即可得到所求范围；（2）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．讨论①当﹣1≤a≤1时，②当a＞1时，③当a＜﹣1时，判断f（x）的单调性，结合函数和方程的转化思想，即可得到所求范围．【解答】解：（1）∵为增函数，由于x≥2a时，f（x）的对称轴为x=a﹣1；x＜2a时，f（x）的对称轴为x=a+1，∴解得﹣1≤a≤1；（2）方程f（x）﹣tf（2a）=0的解即为方程f（x）=tf（2a）的解．①当﹣1≤a≤1时，f（x）在R上是增函数，关于x的方程f（x）=tf（2a）不可能有3个不相等的实数根．②当a＞1时，2a＞a+1＞a﹣1，∴f（x）在（﹣∞，a+1）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增，所以当f（2a）＜tf（2a）＜f（a+1）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，即4a＜t•4a＜（a+1）2．∵a＞1，∴．设，因为存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，∴1＜t＜h（a）max．又h（a）在（1，2]递增，所以，∴．③当a＜﹣1时，2a＜a﹣1＜a+1，所以f（x）在（﹣∞，2a）上单调递增，在（2a，a﹣1）上单调递减，在（a﹣1，+∞）上单调递增，所以当f（a﹣1）＜tf（2a）＜f（2a）时，关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，即﹣（a﹣1）2＜t•4a＜4a．∵a＜﹣1，∴．设，因为存在a∈[﹣2，2]，使得关于x的方程f（x）=tf（2a）有3个不相等的实数根，所以1＜t＜g（a）max．又可证在[﹣2，﹣1）上单调递减，所以，所以．综上，．【点评】本题考查分段函数的单调性的判断和运用，注意运用二次函数的对称轴和区间的关系，考查存在性问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，以及函数方程的转化思想的运用，考查运算化简能力，属于中档题．23．（2015秋•朝阳区期末）定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），都有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N*）成立，则称f（x）为k阶伸缩函数．（Ⅰ）若函数f（x）为二阶伸缩函数，且当x∈（1，2]时，，求的值；（Ⅱ）若函数f（x）为三阶伸缩函数，且当x∈（1，3]时，，求证：函数在（1，+∞）上无零点；（Ⅲ）若函数f（x）为k阶伸缩函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围．【分析】（Ⅰ）当x∈（1，2]时，，从而f（）=，由此能求出函数f（x）为二阶伸缩函数，由此能求出的值．（Ⅱ）当x∈（1，3]时，，由此推导出函数在（1，+∞）上无零点．（Ⅲ）当x∈（k n，k n+1]时，，由此得到，当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n），由此能求出f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．【解答】解：（Ⅰ）由题设，当x∈（1，2]时，，∴．∵函数f（x）为二阶伸缩函数，∴对任意x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）．∴．（4分）（Ⅱ）当x∈（3m，3m+1]（m∈N*）时，．由f（x）为三阶伸缩函数，有f（3x）=3f（x）．∵x∈（1，3]时，．∴．令，解得x=0或x=3m，它们均不在（3m，3m+1]内．（7分）∴函数在（1，+∞）上无零点．（8分）（Ⅲ）由题设，若函数f（x）为k阶伸缩函数，有f（kx）=kf（x），且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）．∴当x∈（k n，k n+1]时，．∵，所以．∴当x∈（k n，k n+1]时，f（x）∈[0，k n）．当x∈（0，1]时，即0＜x≤1，则∃k（k≥2，k∈N*）使，∴1＜kx≤k，即kx∈（1，k]，∴f（kx）∈[0，1）．又，∴，即．∵k≥2，∴f（x）在（0，k n+1]（n∈N*）上的取值范围是[0，k n）．（12分）【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值无零点的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．24．（12分）（2015•赣州模拟）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣（a+1）x+a（a为常数）．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣1，求实数a的取值范围．【分析】（1）可确定函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2x+﹣3=，从而确定函数的单调区间；（2）求导f′（x）=，从而分类讨论以确定函数的单调性，从而求最值即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）=x2+lnx﹣3x+1，f′（x）=2x+﹣3=，当x＞1时，f′（x）＞0，当0＜x＜时，f′（x）＞0；当＜x＜1时，f′（x）＜0；故f（x）的单调减区间是（，1），单调增区间是（1，+∞）和（0，）；（2）f′（x）=，当a≥1时，f′（x）＞0，即f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）≥f（1）=﹣1，当0＜a＜1时，f（x）在（1，）上单调递减，所以，当x∈（1，）时，f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，当a≤0时，f′（x）＜0，即f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）=﹣1，不合题意，综上所述，实数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．25．（2015•铜川三模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的最大值；（2）证明：当0＜b＜a时，求证：f（a+b）﹣f（2a）＜；（3）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．【分析】（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，h′（x）=，利用导数研究函数的单调性，可求得当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；（2）当0＜b＜a时，﹣1＜＜0，由（1）知：当﹣1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x，从而可证得结论；（3）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜+2即k＜+2对任意x＞1恒成立，令g（x）=+2，则g′（x）=，分析得到函数g（x）=+2在（1，x0），上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增（x0∈（3，4））．从而可求k的最大值．【解答】解：（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，所以h′（x）=﹣1=．当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．因此，h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．因此，当x=0时h（x）取得最大值h（0）=2；（2）证明：当0＜b＜a时，﹣1＜＜0，由（1）知：当﹣1＜x＜0时，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x．因此，有f（a+b）﹣f（2a）=ln=ln（1+）＜．（3）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4化为k＜+2所以k＜+2对任意x＞1恒成立．令g（x）=+2，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h′（x）=1﹣=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函数g（x）=+2在（1，x0），上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．所以[g（x）]min=g（x0）=+2=+2=x0+2∈（5，6）．所以k＜[g（x）]min=x0+2∈（5，6）．故整数k的最大值是5．【点评】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查函数的单调性与最值，考查综合分析与转化、运算的能力，考查构造函数研究函数性质的能力，属于难题．26．（12分）（2014秋•蚌埠校级期中）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）的图象与x轴有2个交点；（2）在（1）的条件下，是否存在m∈R，使得f（m）=﹣a成立时，f（m+3）为正数，若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由；（3）若对x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2），方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等实根，证明必有一个根属于（x1，x2）．【分析】（1）由f（1）=0，得a+b+c=0，根据a＞b＞c，可知a＞0，且c＜0，再利用根的判别式可证；（2）由条件知方程的一根为1，另一根满足﹣2＜x2＜0．由于f（m）=﹣a＜0，可知m∈（﹣2，1），从而m+3＞1，根据函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增，可知（m+3）＞0成立．（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，进而证明g（x1）g（x2）＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，故方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．【解答】解：（1）因为f（1）=0，所以a+b+c=0，又因为a＞b＞c，所以a＞0，且c＜0，因此ac＜0，所以△=b2﹣4ac＞0，因此f（x）的图象与x轴有2个交点．（2）由（1）可知方程f（x）=0有两个不等的实数根，不妨设为x1和x2，因为f（1）=0，所以f（x）=0的一根为x1=1，因为x1+x2=﹣，x1x2=，所以x2=﹣﹣1=，因为a＞b＞c，a＞0，且c＜0，所以﹣2＜x2＜0．因为要求f（m）=﹣a＜0，所以m∈（x1，x2），因此m∈（﹣2，1），则m+3＞1，因为函数y=f（x）在[1，+∞）上单调递增；所以f（m+3）＞f（1）=0成立．（3）构造函数g（x）=f（x）﹣[f（x1）+f（x2）]，则g（x1）=f（x1）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x1）﹣f（x2）]，g（x2）=f（x2）﹣[f（x1）+f（x2）]=[f（x2）﹣f（x1）]，于是g（x1）g（x2）=[f（x1）﹣f（x2）][f（x2）﹣f（x1）]=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2，因为f（x1）≠f（x2），所以g（x1）g（x2）=﹣[f（x1）﹣f（x2）]2＜0，所以方程g（x）=0在（x1，x2）内有一根，即方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]必有一根属于（x1，x2）．【点评】本题以二次函数为载体，考查方程根的探求，考查函数值的确定及函数的零点问题，有一定的综合性．。

湖南省衡阳市八中2016届高三上学期第一次月考数学(文) Word版含答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3},B {1,3}A ==，则A B = CA 、{2}B 、{1,2}C 、{1,3}D 、{1,2,3}（2）设向量＝(2,4)与向量＝(x,6)共线，则实数x ＝BA 、2B 、3C 、4D 、6（3）若a 为实数,且()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒=,则a =DA 、4-B 、3-C 、3D 、4（4）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是CA 、抽签法B 、系统抽样法C 、分层抽样法D 、随机数法（5）已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点（-1，0），则抛物线焦点坐标为B A 、(1,0)- B 、(1,0) C 、(0,1)- D 、(0,1)（6）“x 1=”是“2x 210x -+=”的AA 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件（7）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =AA 、5B 、7C 、9D 、11（8）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是BA 、y ＝sin(2x ＋2π)B 、y ＝cos(2x ＋2π) C 、y ＝sin2x ＋cos2x D 、y ＝sinx ＋cosx（9）执行如图所示的程序框图,输出的S 值为CA 、1B 、3C 、7D 、15（10）设10()2,0x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=C A 、1- B 、14 C 、12 D 、32（11）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为DA 、3πB 、4πC 、24π+D 、34π+（12）设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+,则使得 ()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是AA 、1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C 、11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D 、11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二.填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）已知x 、y 为正实数，且x y ⋅=2，则x+y 的最小值是。

湖南省衡阳市2016届高考数学一模试卷(文科) Word版含解析

2016年湖南省衡阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知集合A={0，1，2}，B={x|y=lnx}，则A ∩B=（） A ．{0，2}B ．{0，1}C ．{1，2}D ．{0，1，2}2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a+i=2﹣bi ，则（a+bi ）2=（） A ．3﹣4iB ．3+4iC ．4﹣3iD ．4+3i3．已知命题p ：∃α∈R ，cos （π﹣α）=cos α；命题q ：∀x ∈R ，x 2+1＞0．则下面结论正确的是（）A ．p ∧q 是真命题B ．p ∧q 是假命题C ．￢p 是真命题D ．p 是假命题4．如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为、，中位数分别为m 甲，m 乙，则（）A ．＜，m 甲＜m 乙B ．＜，m 甲＞m 乙C ．＞，m 甲＞m 乙 D ．＞，m 甲＜m 乙5．“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x ﹣3y ﹣2=0垂直”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．已知实数a 、b 满足a 2+b 2=1，设函数f （x ）=x 2﹣4x+5，则使f （a ）≥f （b ）的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．已知O 为坐标原点，点M 坐标为（﹣2，1），在平面区域上取一点N ，则使|MN|为最小值时点N 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（2，0）8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．6 C．3+D．9．在△ABC中，∠C=90°，且，点M满足：，则=（）A．6 B．4 C．3 D．210．已知角ϕ的终边经过点P（﹣4，3），函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）A．B．5C．D．412．函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．14 B．12 C．10 D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知下面四个命题①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.4x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观侧值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中所有真命题的序号是．14．执行如图的程序框图，则输出S的值为．15．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为km．16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图．（I）求频率分布直方图中a的值．（Ⅱ）为减轻学生负担，学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿．请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可申请在校内住宿．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立的实数k的取值范围．19．在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，其左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2．设点M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线斜率之积﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：x12+x22为定值，并求该定值．21．已知函数．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数k的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）若函数h（x）=f（2x+a）﹣2f（x）的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4，求a 的取值范围．2016年湖南省衡阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={0，1，2}，B={x|y=lnx}，则A∩B=（）A．{0，2} B．{0，1} C．{1，2} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|y=lnx}={x|x＞0}，则A∩B={1，2}，故选C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i=2﹣bi，则（a+bi）2=（）A．3﹣4i B．3+4i C．4﹣3i D．4+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值，再利用两个复数代数形式的乘法法则求得（a+bi）2的值．【解答】解：∵a+i=2﹣bi，∴a=2、b=﹣1，则（a+bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件，两个复数代数形式的乘法法则，属于基础题．3．已知命题p：∃α∈R，cos（π﹣α）=cosα；命题q：∀x∈R，x2+1＞0．则下面结论正确的是（）A．p∧q是真命题B．p∧q是假命题C．￢p是真命题D．p是假命题【考点】复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】p ：取α=，则cos （π﹣α）=cos α，即可判断出真假；命题q ：利用实数的性质可得q 的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：对于p ：取α=，则cos （π﹣α）=cos α，因此正确；对于命题q ：∀x ∈R ，x 2+1＞0，正确．由上可得：p ∧q 是真命题．故选：A ．【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法，属于基础题．4．如图是某篮球联赛中，甲、乙两名运动员9个场次得分的茎叶图，设甲、乙两人得分平均数分别为、，中位数分别为m 甲，m 乙，则（）A ．＜，m 甲＜m 乙B ．＜，m 甲＞m 乙C ．＞，m 甲＞m 乙 D ．＞，m 甲＜m 乙【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】通过茎叶图，分别求出甲乙的平均数和中位数，然后比较选择．【解答】解：由茎叶图可知==；==；所以；m 甲=28，m 乙=36，所以m 甲＜m 乙；故选A ．【点评】本题考查了茎叶图的认识以及求平均数以及中位数的方法；属于基础题．5．“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】都存在斜率的两直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1，所以根据这个结论，便容易判断出a=1能得到“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”，而这两直线垂直得不到a=1，所以根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：（1）a=1时，直线x+y+1=0的斜率为﹣1，3x﹣3y﹣2=0的斜率为1；∴这两直线垂直；（2）若直线ax+y+1=0与（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直，则：；∴解得a=1，或﹣3；∴“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直“不一定得到“a=1“；∴综上得“a=1“是“直线ax+y+1=0与直线（a+2）x﹣3y﹣2=0垂直”的充分不必要条件．故选B．【点评】考查存在斜率的两直线垂直的充要条件，以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的概念．6．已知实数a、b满足a2+b2=1，设函数f（x）=x2﹣4x+5，则使f（a）≥f（b）的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．【分析】函数f（x）=x2﹣4x+5，使f（a）≥f（b），则（a﹣b）（a+b﹣4）≥0，作出图象，即可得出结论【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+5，使f（a）≥f（b），则（a﹣b）（a+b﹣4）≥0，如图所示，使f（a）≥f（b）得概率为=，故选：B．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．7．已知O为坐标原点，点M坐标为（﹣2，1），在平面区域上取一点N，则使|MN|为最小值时点N的坐标是（）A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（2，0）【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△AB0及其内部，再将区域内点N的进行移动并加以观察，可得当N坐标为（0，1）时，|MN|取得最小值，由此即可得到本题的答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△AB0及其内部，其中A（2，0），B（0，2），0（0，0）点N是区域内的动点，运动点N可得当N坐标为（0，1）时，MN⊥y轴，此时|MN|取得最小值2故选：B【点评】本题给出点M（﹣2，1），N为二元一次不等式组表示平面区域内一点，求|MN|为最小值时，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．6 C．3+D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为正方体切去一个三棱锥后剩余的部分．【解答】解：由三视图可知几何体为正方体ABCD﹣A'B'C'D'切去一个三棱锥B'﹣A'BC'得到的，正方体的棱长为1，切去的三棱锥的底面A'BC'是边长为的等边三角形．所以几何体的表面积S=12×3++=，故选D．【点评】本题考查了不规则几何体的三视图和面积计算，以正方体为载体作出几何体的直观图是解题关键．9．在△ABC中，∠C=90°，且，点M满足：，则=（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得=+，再由=（+）•，利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，运算求得结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+（﹣）=+，∴=（+）•=+=0+×9=3，故选C．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，属于中档题．10．已知角ϕ的终边经过点P（﹣4，3），函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f（）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得cosϕ和sinϕ的值，再根据周期性求得ω的值，再利用诱导公式求得f（）的值．【解答】解：由于角ϕ的终边经过点P（﹣4，3），可得cosϕ=，sinϕ=．再根据函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得周期为=2×，求得ω=2，∴f（x）=sin（2x+ϕ），∴f（）=sin（+ϕ）=cosϕ=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式的应用，属于基础题．11．已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）A．B．5C．D．4【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的a，b，c，求得焦点，判断三角形PF1Q为等腰三角形，PQ⊥x轴，令x=2，求得|PQ|，再由勾股定理，求得|PF1|，即可求得周长．【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的a=，b=1，c==2，则F1（﹣2，0），F2（2，0），由于点P的横坐标为2，则PQ⊥x轴，令x=2则有y2=﹣1=，即y=．即|PF2|=，|PF1|===．则三角形PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=++=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算能力，属于基础题．12．函数f（x）的定义域为[﹣1，1]，图象如图1所示：函数g（x）的定义域为[﹣2，2]，图象如图2所示，方程f（g（x））=0有m个实数根，方程g（f（x））=0有n个实数根，则m+n=（）A．14 B．12 C．10 D．8【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】结合函数图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；若g（f（x））=0，则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；从而再结合图象求解即可．【解答】解：由图象可知，若f（g（x））=0，则g（x）=﹣1或g（x）=0或g（x）=1；由图2知，g（x）=﹣1时，x=﹣1或x=1；g（x）=0时，x的值有3个；g（x）=1时，x=2或x=﹣2；故m=7；若g（f（x））=0，则f（x）=﹣1.5或f（x）=1.5或f（x）=0；由图1知，f（x）=1.5与f（x）=﹣1.5各有2个；f（x）=0时，x=﹣1，x=1或x=0；故n=7；故m+n=14；故选：A．【点评】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知下面四个命题①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在回归直线方程=0.4x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观侧值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中所有真命题的序号是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】①抽样是间隔相同，故①应是系统抽样；②根据相关系数的公式可判断；③由回归方程的定义可判断；④k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小．【解答】解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；在回归直线方程=0.4x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位，故③为真命题；对分类变量X与Y的随机变量K2的观侧值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，故④为假命题；故答案为：②③．【点评】考查了系统抽样的概念和相关系数，回归方程定义的考查，属于基础题型，应理解．14．执行如图的程序框图，则输出S的值为36．【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．【解答】解：执行程序框图，可得S=0，n=1，i=1S=1不满足条件i＞5，i=2，n=3，S=4不满足条件i＞5，i=3，n=5，S=9不满足条件i＞5，i=4，n=7，S=16不满足条件i＞5，i=5，n=9，S=25不满足条件i＞5，i=6，n=11，S=36满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．故答案为：36．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．15．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B、D两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且∠B与∠D互补，则AC的长为7km．【考点】解三角形的实际应用．【专题】方程思想；数形结合法；解三角形．【分析】分别在△ABC和△ACD中使用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC．【解答】7 解：在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB×BCcosB=89﹣80cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2=CD2+AD2﹣2AD×CDcosD=34﹣30cosD，∴89﹣80cosB=34﹣30cosD，∵A+C=180°，∴cosB=﹣cosD，∴cosD=﹣，∴AC2=34﹣30×（﹣）=49．∴AC=7．故答案为7．【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为2﹣2．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知可得ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，即△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，进而利用基本不等式可得的最大值．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c，∴f′（x）=2ax+b，∵对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，∴ax2+bx+c≥2ax+b恒成立，即ax2+（b﹣2a）x+（c﹣b）≥0恒成立，故△=（b﹣2a）2﹣4a（c﹣b）=b2+4a2﹣4ac≤0，且a＞0，即b2≤4ac﹣4a2，∴4ac﹣4a2≥0，∴c≥a＞0，∴，故≤===≤=2﹣2，故答案为：2﹣2【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大．三、解答题（共5小题，满分60分）17．据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过120分钟．该校随机抽取部分新入校的新生其在上学路上所需时间（单位：分钟）进行调查，并将所得数据绘制成频率分布直方图．（I）求频率分布直方图中a的值．（Ⅱ）为减轻学生负担，学校规定在上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在校内住宿．请根据抽样数据估计该校600名新生中有多少学生可申请在校内住宿．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用频率直方图概率的和为1，求解a 即可．（Ⅱ）就是新生上学所需时间不少于1小时的频率，然后求解校600名新生中可申请在校内住宿的人数．【解答】解：（Ⅰ）由频率直方图可得（0.0030+0.0021+0.0014+0.0060+a+0.025）×20=1 a=0.0125；…（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：（0.0030+0.0021+0.0014）×20=0.13，…所以，该校600名新生中可申请在校内住宿的人数估计为 600×0.13=78．…【点评】本题考查频率分布直方图的应用，基本知识的考查．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n ﹣2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，求（n ﹣8）b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）首先利用递推关系式求出数列是等比数列，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式求出数列的和，进一步利用恒成立问题求出参数的取值范围．【解答】解：（1）由S n =2a n ﹣2，当n=1时，求得：a 1=2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2a n ﹣1，所以：（常数），所以：数列{a n }是以a 1=2为首项，2为公比的等比数列．所以：．…（2）已知：b n =log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，=1+2+3+…+n=，由于（n﹣8）b n≥nk对任意n∈N*恒成立，所以对任意的n∈N+恒成立．设，则当n=3或4时，c n取最小值为﹣10．所以：k≤﹣10．…【点评】本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等比数列，等比数列通项公式的求法，数列的求和，及恒成立问题的应用．19．在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，由已知得DE⊥BH，BH⊥平面ADEF，由此能求出三棱锥B﹣DEF的体积．【解答】解：（Ⅰ）因为AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，…3分又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，所以BC∥EF．…6分（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，因为DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以DE⊥BH，又AD、DE⊂平面ADEF，AD∩DE=D，所以BH⊥平面ADEF，所以BH是三棱锥B﹣DEF的高．…10分在直角三角形ABH中，∠BAD=60，AB=2，所以，因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，又由（Ⅰ）知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，所以三棱锥B﹣DEF的体积：．…13分．【点评】本题考查两直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，其左右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=2．设点M（x1，y1），N（x2，y2）是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线斜率之积﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：x12+x22为定值，并求该定值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得c=，由离心率可得a的值，由椭圆的性质可得b的值，带入数据可得答案；（Ⅱ）根据题意，可得×=﹣，进而变形可得（x1x2）2=16（y1y2）2，又由题意可得+y12=1，+y22=1，变形可得（1﹣）（1﹣）=（y1y2）2，联合两个式子可得（4﹣x12）（4﹣x22）=（x1x2）2，展开可得x12+x22=4，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，|F1F2|=2c=2，则c=，e==，则a=2，b2=a2﹣c2=1，故椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）根据题意，点M（x1，y1），N（x2，y2）与坐标原点的连线斜率之积﹣，即×=﹣，﹣4y1y2=x1x2，即（x1x2）2=16（y1y2）2，又由+y12=1，+y22=1，则1﹣=y12，1﹣=y22，即可得（1﹣）（1﹣）=（y1y2）2，变形可得（4﹣x12）（4﹣x22）=（x1x2）2，展开可得x12+x22=4，即x12+x22为定值4．【点评】本题考查椭圆的标准方程与性质，解（2）时注意运用构造法，变形得到x12+x22的形式．21．已知函数．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上有两个零点，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】转化思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，对a讨论，0＜a＜1，a=1，a＞1，判断单调性，即可得到所求递减区间；（Ⅱ）g（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在上有零点，即关于x的方程在上有两个不相等的实数根．令函数．求出导数，判断单调性，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数为f′（x）=﹣ax+1+a﹣=﹣（a＞0），①当a∈（0，1）时，．由f'（x）＜0，得或x＜1．当x∈（0，1），时，f（x）单调递减．∴f（x）的单调递减区间为（0，1），；②当a=1时，恒有f'（x）≤0，∴f（x）单调递减．∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；③当a∈（1，+∞）时，．由f'（x）＜0，得x＞1或．∴当，x∈（1，+∞）时，f（x）单调递减．∴f（x）的单调递减区间为，（1，+∞）．综上，当a∈（0，1）时，f（x）的单调递减区间为（0，1），；当a=1时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a∈（1，+∞）时，f（x）的单调递减区间为，（1，+∞）．（Ⅱ）g（x）=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2在上有零点，即关于x的方程在上有两个不相等的实数根．令函数．则．令函数．则在上有p'（x）≥0．故p（x）在上单调递增．∵p（1）=0，∴当时，有p（x）＜0即h'（x）＜0．∴h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，有p（x）＞0即h'（x）＞0，∴h（x）单调递增．∵，h（1）=1，，∴k的取值范围为．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查分类讨论的思想方法，以及构造函数的方法，同时考查函数的零点的问题的解法，注意运用转化思想，属于中档题．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【考点】与圆有关的比例线段；直线和圆的方程的应用．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED 长可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）【考点】参数方程化成普通方程；极坐标刻画点的位置；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】压轴题；直线与圆．【分析】（Ⅰ）对于曲线C1利用三角函数的平方关系式sin2t+cos2t=1即可得到圆C1的普通方程；再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到C1的极坐标方程；（Ⅱ）先求出曲线C2的极坐标方程；再将两圆的方程联立求出其交点坐标，最后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程式（t为参数），得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25即为圆C1的普通方程，即x2+y2﹣8x﹣10y+16=0．将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式，得．ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即为C1的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ化为直角坐标方程为：x2+y2﹣2y=0，由，解得或．∴C1与C2交点的极坐标分别为（，），（2，）．【点评】本题主要考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化．熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）若函数h（x）=f（2x+a）﹣2f（x）的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4，求a 的取值范围．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；分析法；不等式的解法及应用．【分析】（1）写成分段函数的形式，对x讨论，结合一次不等式的解法，即可得到所求解集；（2）记h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），运用分段形式，求得h（x），由三角形的面积公式可得a2﹣2a﹣8＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）+|x﹣4|=，当x≤3时，由f（x）≥4﹣|x﹣4|得，7﹣2x≥4，解得x≤；当3＜x＜4时，f（x）≥4﹣|x﹣4|无解；当x≥4时，f（x）≥4﹣|x﹣4|得，2x﹣7≥4，解得x≥．∴f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集为{x|x≤或x≥}．（2）记h（x）=f（2x+a）﹣2f（x），则h（x）=，所以S=•2a•＞a+4，即为a2﹣2a﹣8＞0，（a＞1），解得a＞4．即有a的取值范围为（4，+∞）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

湖南省衡阳二中2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试卷(文科) 含解析

2016-2017学年湖南省衡阳二中高二（上)第一次月考数学试卷（文科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填写在答题卷相应位置上。

1．设命题p：对∀x∈R+，e x＞lnx,则￢p为（）A．∃x0∈R+，e＜lnx0B．∀x∈R+，e^x＜lnxC．∃x0∈R+,e≤lnx0D．∀x∈R+,e^x≤lnx2．在△ABC中，a=2，b=3，C=135°，则△ABC的面积等于(）A．B．3 C．D．33．已知数列{a n}满足a1=2，a n﹣a n=﹣1(n∈N+），则此数列的通项a n等于（)+1A．n2+1 B．n+1 C．1﹣n D．3﹣n4．“tana=1"是“a=”的（）A．充分而不必要条件B．必要不而充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（）A．B．C．a2＜b2D．ab＜a+b﹣16．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（)A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6］D．8．不等式ax2+5x+c＞0的解集为｛x|＜x＜}，则a，c的值为（）A．a=6，c=1 B．a=﹣6，c=﹣1 C．a=1,c=6 D．a=﹣1，c=﹣69．已知等差数列｛a n｝中，前n项和为S n，若a3+a9=6,则S11=（）A．12 B．33 C．66 D．9910．在△ABC中，是角A、B、C成等差数列的（) A．充分非必要条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件11．已知不等式（x+y）（+)≥9对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为(）A．2 B．4 C．6 D．812．在锐角△ABC中,设x=sinA•sinB，y=cosA•cosB．则x，y的大小关系为（）A．x≤y B．x＞y C．x＜y D．x≥y二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13．设S n是等差数列｛a n}（n∈N+）的前n项和，且a1=1，a4=7，则S5=．14．△ABC中,a=，b=，∠B=45°，则∠A=．15．条件p：1﹣x＜0，条件q：x＞a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是．16．已知数列｛a n}中,a1=3，a2=6,a n+2=a n+1﹣a n，则a2015=．三、解答题17．（10分)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A;（Ⅱ）若a=,b=2，求△ABC的面积．18．（12分）已知关于x，y的二元一次不等式组．(1）求函数u=3x﹣y的最大值和最小值；（2）求函数z=x+2y+2的最大值和最小值．19．（12分）设｛a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．(Ⅰ）求｛a n｝的通项公式;（Ⅱ)设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列,求数列{a n+b n｝的前n项和S n．20．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．已知=（cos，sin)，=（cos，﹣sin），且．(1）求角C；(2）若c=，△ABC的面积S=,求a+b的值．21．（12分）某企业要建造一个容积为18m3,深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？=f（a n）（n∈22．（12分）已知函数，f（x）=,数列{a n｝满足a1=1，a n+1N*）（I）求证数列｛}是等差数列,并求数列{a n}的通项公式；（II）记S n=a1a2+a2a3+..a n a n+1，求S n．。

湖南省衡阳市第八中学高二数学下学期第一次月考试题文

衡阳八中2016年上期高二年级第一次月考综合检测文科数学（试题卷）注意事项：1.本卷共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

一．选择题（共12小题，每题5分，满分60分）1．过点（1，﹣2）的抛物线的标准方程是（）A．y2=4x或x2=y B．y2=4xC．y2=4x或x2=﹣y D．x2=﹣y2．n个连续自然数按规律排成下表，根据规律，2011到2013，箭头的方向依次为（）A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓3．设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A ．B ．C ．D ．4．已知集合A={1，2}，B={1，m，3}，如果A∩B=A，那么实数m等于（）A．﹣1 B．0 C．2 D．45．若直线x+y=a+1被圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的弦长为2，则a=（）A．1或5 B．﹣1或5 C．1或﹣5 D．﹣1或﹣56．在如下程序框图中，已知f0（x）=sinx，则输出的结果是（）A．sinx B．cosx C．﹣sinx D．﹣cosx7．已知角ϕ的终边经过点P（﹣4，3），函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f （）的值为（）A ．B ．C ．﹣D ．﹣8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度9．等差数列{a n}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A ．B ． C．2 D ．﹣10．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A ．B ． C．ab＞b2 D．a2＞ab11．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为（0，1），（，0），（0，﹣2），O为坐标原点，动点P满足||=1，则|++|的最小值是（）A ．﹣1B ．﹣1C ．+1D ．+112．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B ，则=（）A ．+iB ．+iC ．﹣﹣iD ．﹣﹣i二．填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13．在△ABC中，已知a=8，∠B=60°，∠C=75°，则b等于．14．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量33均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量的件数约为．15．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ= ．16．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是．三．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知i是虚数单位，复数z满足（z﹣2）i=﹣3﹣i．（1）求z；（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数x的取值范围．18．（12分）如图AB是抛物线C：x2=4y过焦点F的弦（点A在第二象限），过点A的直线交抛物线于点E，交y轴于点D（D在F上方），且|AF|=|DF|，过点B作抛物线C的切线l（1）求证：AE∥l；（2）当以AE为直径的圆过点B时，求AB的直线方程．19．（12分）如图．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=CD，M是的CD的中点．N是AC与BM的交点，将△BCM沿BM向上翻折成△BPM，使平面BPM⊥平面ABMD（I）求证：AB⊥PN．（Ⅱ）若E为PA的中点．求证：EN∥平面PDM．20．（12分）已知椭圆的左顶点为A1，右焦点为F2，过点F2作垂直于x轴的直线交该椭圆于M、N两点，直线A1M 的斜率为．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若△A1MN的外接圆在M 处的切线与椭圆相交所得弦长为，求椭圆方程．21．（12分）已知点（x，y ）是区域，（n∈N*）内的点，目标函数z=x+y，z的最大值记作z n．若数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且点（S n，a n）在直线z n=x+y上．（Ⅰ）证明：数列{a n﹣2}为等比数列；（Ⅱ）求数列{S n}的前n项和T n．22．（12分）己知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=2log a（2x+t）（t∈R），a ＞0，且a≠1．（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，求t的值；（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（3）若函数F（x）=a f（x）+tx2﹣2t+1在区间（﹣1，2]上有零点，求t的取值范围．10 11 B A 14.46 15. 1.5 16.=1+3i =[对应的点在第一象限，解得﹣．），，∴y′=x x （+，∴x ﹣，∴E（﹣，+4﹣=3k+，﹣）3k+）∴k=±y=±AB=ABMD 是平行四边形，是等边三角形．，平面PBM∩平面ABMD=BM ，PN ⊂平面PBM ，， N 是AC 的中点，（Ⅰ）由题意1分），所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）（或a=2c ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（或）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣，外接圆圆心设为P （x 0，0）由|PA 1|=|PM|，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解得：所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以△A 1MN 外接圆在M 处切线斜率为，设该切线与椭圆另一交点为C 则切线MC 方程为，即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）与椭圆方程3x 2+4y 2=12c 2联立得7x 2﹣18cx+11c 2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由弦长公式得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）解得c=1 所以椭圆方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21.解：（Ⅰ）∵目标函数对应直线l ：z=x+y ，区域，（n ∈N *）表示以x 轴、y 轴和直线x+2y=2n 为三边的三角形，∴当x=2n ，y=0时，z 的最大值z n =2n ∵（S n ，a n ）在直线z n =x+y 上 ∴z n =S n +a n ，可得S n =2n ﹣a n ，当n≥2时，可得a n =S n ﹣S n ﹣1=（2n ﹣a n ）﹣[2（n ﹣1）﹣a n ﹣1] 化简整理，得2a n =a n ﹣1+2因此，a n ﹣2=（a n ﹣1+2）﹣2=（a n ﹣1﹣2）当n=1时，a n ﹣2=a 1﹣2=﹣1∴数列{a n ﹣2}是以﹣1为首项，公比q=的等比数列；（Ⅱ）由（I ）得a n ﹣2=﹣（）n ﹣1，∴a n =2﹣（）n ﹣1，可得S n =2n ﹣a n =2n ﹣2+（）n ﹣1，∴根据等差数列和等比数列的求和公式，得即数列{S n}的前n项和T n=，（n∈N*）．22.（1）∵1是关于x的方程f（x）﹣g（x）=0的一个解，∴log a2﹣2log a（2+t）=0，∴2=（2+t）2，∴t=﹣2；（2）当0＜a＜1且t=﹣1时，不等式f（x）≤g（x）可化为log a（x+1）≤2log a（2x﹣1），故，解得，＜x≤；（3）F（x）=a f（x）+tx2﹣2t+1=x+1+tx2﹣2t+1=tx2+x﹣2t+2，令tx2+x﹣2t+2=0，即t（x2﹣2）=﹣（x+2），∵x∈（﹣1，2]，∴x+2∈（1，4]，∴t≠0，x2﹣2≠0；∴=﹣=﹣[（x+2）+]+4，∵2≤（x+2）+≤，∴﹣≤﹣[（x+2）+]+4≤4﹣2，∴﹣≤≤4﹣2，∴t≤﹣2或t≥．。

湖南省衡阳八中2016届高考数学一模试卷(文科)

2016年湖南省衡阳八中高考数学一模试卷（文科）一.选择题1 .已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．3．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=14．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）5．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.37．已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．4008．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．89．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）A．30°B．135°C．45°或135°D．45°10．f（x）=则f[f（）]=（）A．﹣2 B．﹣3 C．9 D．11．（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．12．对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，i n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q 时有i p＜i q，则称“i p与i q”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，则（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”是（）A．7 B．6 C．5 D．4二.填空题13．已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．14．（文科）已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足，2，若||=，则正实数λ=．15．如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为．16．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a 的取值范围是．三.解答题（共8题，共70分）【一】必做题（第17-21题为必做题，考生必须作答．其中第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分．共60分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．19．已知F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设=（Ⅰ）若λ∈[2，4]，求直线L的斜率k的取值范围；（Ⅱ）求证：直线MQ过定点．20．已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x（1）当a=0时，求证：f（x）＞0恒成立；（2）记y=f′（x）为函数y=f（x）的导函数，y=f″（x）为函数y=f′（x）的导函数，对于连续函数y=f（x），我们定义：若f″（x0）=0且在x0两侧f″（x）异号，则点（x0，f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，是否存在正实数a，使得函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为，若存在求出a的值；若不存在，说明理由．21．春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））．（1）试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率；（2）若该群中成员甲、乙两人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率．四.选做题（考生需从22、23、24题中任选一题作答，选多题的考生按第22题计分，共10分）[4-1•几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O 的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．[4-4•坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．[4-5•不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．2016年湖南省衡阳八中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题1 .已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】集合的表示法．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出集合B中的元素，从而求出其子集的个数．【解答】解：由题意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，则B的子集个数为：23=8个，故选：D．【点评】本题考察了集合的子集个数问题，若集合有n个元素，其子集有2n个．2．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B． C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；规律型；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义转化求解sinα的值．【解答】解：角α的终边上一点的坐标为（sin，cos）即（，），则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=，故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．3．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴b=2，∴双曲线的方程是﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．4．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞） D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【考点】直线的斜率．【专题】作图题；对应思想；数形结合法；直线与圆．【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM （不包括端点B）时，即可得出．【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M （x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．5．执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，s的值，当k=8时不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=0满足条件k＜8，k=2，s=满足条件k＜8，k=4，s=+满足条件k＜8，k=6，s=++满足条件k＜8，k=8，s=+++=不满足条件k＜8，退出循环，输出s的值为．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．6．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】概率与统计．【分析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【解答】解：根据对立事件的概率和为1，得；∵事件A={抽到一等品}，且P（A）=0.65，∴事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1﹣P（A）=1﹣0.65=0.35．故选：C．【点评】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，是基础题目．7．已知等差数列{a n}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（）A．100 B．210 C．380 D．400【考点】等差数列的通项公式．【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果．【解答】解：d=，a1=3，∴S10=10×3+\frac{10×9×4}{2}=210，故选B【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．8．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．8【考点】一元二次不等式的解法．【专题】数形结合；分类讨论；不等式的解法及应用．【分析】画出函数f（x）=的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【解答】解：函数f（x）=，如图所示，①当b=0时，[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0化为[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑．②当b≠0时，对于[f（x）]2+af（x）﹣b2＜0，△=a2+4b2＞0，解得：＜f（x）＜，只考虑a＞0，则＜0＜，由于f（x）=0时，不等式的解集中含有多与一个整数解（例如，0，2），舍去．综上可得：a的最大值为8．故选：D．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、二次函数的图象，考查了分类讨论方法、数形结合方法与计算能力，属于中档题．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=2，1+=．则∠C=（）A．30°B．135°C．45°或135°D．45°【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可．【解答】解：由1+=．得1+=．即cosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA，即sin（A+B）=2sinCcosA，即sinC=2sinCcosA，∴cosA=，即A=，∵a=2，c=2，∴a＞c，即A＞C，由正弦定理得，即，∴sinC=，即C=45°，故选：D【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简是解决本题的关键．10．f（x）=则f[f（）]=（）A．﹣2 B．﹣3 C．9 D．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的意义求出，即可得出．【解答】解：∵f（x）=，∴==﹣2．∴f[f（）]=f（﹣2）==9．故选：C．【点评】本题考查了分段函数的性质，属于基础题．11．（文）设x、y均是实数，i是虚数单位，复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，则复数z=x+yi在复平面上的点集用阴影表示为图中的（）A．B．C．D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，可得，利用线性规划的知识可得可行域即可．【解答】解：∵复数（x﹣2y）+（5﹣2x﹣y）i的实部大于0，虚部不小于0，∴，由线性规划的知识可得：可行域为直线x=2y的右下方和直线的左下方，因此为A．故选：A．【点评】本题考查了复数的几何意义和线性规划的可行域，属于中档题．12．对于各数互不相等的正数数组（i1，i2，…，i n）（n是不小于2的正整数），如果在p＜q 时有i p＜i q，则称“i p与i q”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”．例如，数组（2，4，3，1）中有顺序“2，4”、“2，3”，其“顺序数”等于2．若各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，则（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”是（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】归纳推理．【专题】压轴题；探究型．【分析】根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，假设a1＜a2，a1＜a3，a1＜a4，a1＜a5其他都满足题意，因此可以根据此条件判断出（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”．【解答】解：根据题意，各数互不相等的正数数组（a1，a2，a3，a4，a5）的“顺序数”是4，假设a1＜a2，a1＜a3，a1＜a4，a1＜a5，且后一项都比前一项小，因此可以判断出a2＞a3，a3＞a4，a4＞a5，则（a5，a4，a3，a2，a1）的“顺序数”是6，故选B．【点评】此题主要考查归纳推理、不等式的性质，及相关延伸问题的解法．二.填空题13．已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3．【考点】导数的乘法与除法法则．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．【解答】解：因为f（x）=a x lnx，所以f′（x）=f（x）=lna•a x lnx+a x，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．【点评】本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．14．（文科）已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足，2，若||=，则正实数λ=．【考点】向量的三角形法则．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的运算可得点P是线段AC的中点，点Q是线段AB的中点，再利用三角形的中位线定理即可得出．【解答】解：∵满足，∴点P是线段AC的中点．∵2，∴=，∴点Q是线段AB的中点，∵||=，∴．【点评】本题考查了向量的三角形法则、三角形的中位线定理，属于基础题．15．如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；数形结合；向量法；空间角；空间向量及应用．【分析】可画出图形，连接AC，BD，设交于O点，连接PO，从而可以根据条件得到OB，OC，OP三直线两两垂直，可分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可求出空间一些点的坐标，从而可得到向量的坐标，从而可以求得这两向量夹角的余弦值，从而便可得到异面直线BE与PD所成角的余弦值．【解答】解：如图，连接AC，BD，并交于O点，连接PO，根据题意知，PO⊥底面ABCD；又底面ABCD为正方形；∴AC⊥BD；∴OB，OC，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：根据条件可确定以下几点坐标：A（0，，0），，，；∴，；∴，；∴=；∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为．故答案为：．【点评】考查通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角问题的方法，能求空间点的坐标，根据点的坐标可以得出向量的坐标，向量数量积的坐标运算，以及向量夹角余弦的计算公式，清楚异面直线所成角和异面直线的方向向量夹角的关系．16．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是[，4]．【考点】简单线性规划．【专题】压轴题；不等式的解法及应用．【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求出y=a（x+1）对应的a的端点值即可．【解答】解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．三.解答题（共8题，共70分）【一】必做题（第17-21题为必做题，考生必须作答．其中第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分．共60分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），∵S=absinC=ab≤，∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，则当a=b=时，△ABC的面积最大为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面PDC，E为棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；空间位置关系与距离．【分析】（1）连接BD，交AC于F，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用面面垂直的判定定理，只要证得CD⊥平面PAD，由线面垂直和矩形的定义即可得证．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于F，由E为棱PD的中点，F为BD的中点，则EF∥PB，又EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，则PB∥平面EAC；（2）由PA⊥平面PCD，则PA⊥CD，底面ABCD为矩形，则CD⊥AD，又PA∩AD=A，则有CD⊥平面PAD，由CD⊂平面ABCD，则有平面PAD⊥平面ABCD．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系，主要考查线面平行的判定定理和面面垂直的判定定理，注意定理的条件的全面性是解题的关键．19．已知F1、F2分别是椭圆+=1的左、右焦点，曲线C是坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q，点P关于x轴的对称点为M，设=（Ⅰ）若λ∈[2，4]，求直线L的斜率k的取值范围；（Ⅱ）求证：直线MQ过定点．【考点】三点共线；圆锥曲线的综合．【专题】计算题．【分析】（I）求出曲线C的方程，把PQ的方程x=my﹣1 （m＞0）代入曲线C的方程化简可得y2﹣4my+4=0，利用根与系数的关系及=，可得=λ++2=4m2，据λ∈[2，4]，求得直线L的斜率的范围．（II）根据﹣=0，可得M、Q、F2三点共线，故直线MQ过定点F2 （1，0 ）．【解答】解：（I）令P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意，可设抛物线方程为y2=2px由椭圆的方程可得F1（﹣1，0），F2 （1，0 ）故p=2，曲线C的方程为y2=4x，由题意，可设PQ的方程x=my﹣1 （m＞0）．把PQ的方程代入曲线C的方程化简可得y2﹣4my+4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=4．又=，∴x1+1=λ（x2+1），y1=λy2，又=λ++2=4m2．λ∈[2，4]，∴2+≤λ+≤4+，≤m2≤，∴≤≤∴直线L的斜率k的取值范围为[，]．（II）由于P，M关于X轴对称，故M（x1，﹣y1），∵﹣=+==0，∴M、Q、F2三点共线，故直线MQ过定点F2 （1，0 ）．【点评】本题考查椭圆、抛物线的标准方程、简单性质，三点共线的条件，根据题意，得到2+≤λ+≤4+，是解题的关键．20．已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x（1）当a=0时，求证：f（x）＞0恒成立；（2）记y=f′（x）为函数y=f（x）的导函数，y=f″（x）为函数y=f′（x）的导函数，对于连续函数y=f（x），我们定义：若f″（x0）=0且在x0两侧f″（x）异号，则点（x0，f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，是否存在正实数a，使得函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为，若存在求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用导数和函数的最值的关系，即可证明，（2）根据定义求出二次导数，再根据导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出a的值．【解答】解：（1）∵a=0，f（x）=e x﹣2x，∴f′（x）=e x﹣2，令f′（x）=0，解得x=ln2，当f′（x）＞0，解得x＞ln2，函数单调递增，当f′（x）＜0，解得0＜x＜ln2，函数单调递减，当x=ln2时，函数有最小值，f（x）＞f（ln2）=e ln2﹣2ln2=lne2﹣ln4=ln＞0，∴f（x）＞0恒成立；（2）∵f（x）=e x﹣ax2﹣2x，∴f′（x）=e x﹣ax﹣2，∴f″（x）=e x﹣a，令f″（x0）=e x0﹣a，解得x0=lna，a＞0，∵拐点处切线的倾斜角a为，∴k=tan=﹣，∴lna=﹣，解得a=＞0，∴存在正实数a═，使得函数f（x）=e x﹣ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为．【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数的几何意义，属于中档题21．春节期间，某微信群主发60个随机红包（即每个人抢到的红包中的钱数是随机的，且每人只能抢一个），红包被一抢而空，后据统计，60个红包中钱数（单位：元）分配如下频率分布直方图所示（其分组区间为[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））．（1）试估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率；（2）若该群中成员甲、乙两人都抢到4.5元红包，现系统将从抢到4元及以上红包的人中随机抽取2人给群中每个人拜年，求甲、乙两人至少有一人被选中的概率．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出不小于3的频率是多少即可；（2）利用列举法计算基本事件数以及对应的概率是多少．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；该群中抢到红包的钱数不小于3元的频率是1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35，∴估计该群中某成员抢到钱数不小于3元的概率是0.35；（2）该群中抢到钱数不小于4元的频率为0.10，对应的人数是60×0.10=6，记为1、2、3、4、甲、乙；现从这6人中随机抽取2人，基本事件数是12，13，14，1甲，1乙，23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15种；其中甲乙两人至少有一人被选中的基本事件为1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9种；∴对应的概率为P==．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．四.选做题（考生需从22、23、24题中任选一题作答，选多题的考生按第22题计分，共10分）[4-1•几何证明选讲]22．如图，A，B，C为⊙O上的三个点，AD是∠BAC的平分线，交⊙O于点D，过B作⊙O 的切线交Ad的延长线于点E．（Ⅰ）证明：BD平分∠EBC；（Ⅱ）证明：AE•DC=AB•BE．【考点】相似三角形的判定；与圆有关的比例线段．【专题】计算题；直线与圆．【分析】（1）由BE是⊙O的切线，可得∠EBD=∠BAD，又∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD，从而可求∠EBD=∠CBD，即可得解．（2）先证明△BDE∽△ABE，可得，又可求∠BCD=∠DBC，BD=CD，从而可得，即可得解．【解答】解：（1）因为BE是⊙O的切线，所以∠EBD=∠BAD…又因为∠CBD=∠CAD，∠BAD=∠CAD…所以∠EBD=∠CBD，即BD平分∠EBC．…（2）由（1）可知∠EBD=∠BAD，且∠BED=∠BED，有△BDE∽△ABE，所以，…又因为∠BCD=∠BAE=∠DBE=∠DBC，所以∠BCD=∠DBC，BD=CD…所以，…所以AE•DC=AB•BE…【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，与圆有关的比例线段的应用，解题时要认真审题，注意圆的切线的性质的灵活运用，属于中档题．[4-4•坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；伸缩变换；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2（x﹣1）代入下式消去参数t即可；（2）根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出最小值．【解答】解：（1）直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2）∵代入C得∴设椭圆的参数方程为参数）则则的最小值为﹣4．【点评】本题主要考查了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于基础题．[4-5•不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式f（x）＞0的解集；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a2 ，求得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，求得﹣＜a＜．【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题．。

湖南省衡阳市第八中学高二数学上学期期末考试试题文(

湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题文（扫描版）参考答案 12二、填空题13. 【答案】2 14.【答案】13 15.【答案】n n n 12141312112222-<+++++16.【答案】ln 22(1ln 2)0x y +-+=三、解答题17．解:由02<+p x ,得A=}2{px x -<,…………………………………………3分由022>--x x ,解得2>x 或1-<x ,令B=}12{-<>x x x 或, …………7分由题意知A B ⊆时,即12-≤-p,即2≥p ,………………………………………9分 ∴实数p 的取值范围是[2,)+∞ .………………………10分18. 【解析】(1)当m ＝－1时 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.故212,||z i z =-=；……………6分 (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. ……………12分19. 【答案】（1）3,5==y x ；（2）402=S ；解：（1）∵甲组学生的平均分是85，∴857787985)80(809692=+++++++x ．∴5=x ．∵乙组学生成绩的中位数是83， ∴3=y ．（2）甲组7位学生成绩的方差为：40])5()7()6(00117[7122222222=-+-+-++++=s20. 【答案】（1）没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关；（2）2人；(3)710. 试题分析：（1）将数据直接代入公式计算并与所给表格中数据对照即可；（2）由分层抽样的比例可计算其人数；(3)列出所有基本事件，可计算其概率. 试题解析：（1）由列联表可得222()100(26203024)0.649350.708()()()()56445050n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯.(3分)所以没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关. (4分) （2）依题意可知，所抽取的5位女性中,“微信控”有3人，“非微信控”有2人.（6分）(3)记5人中的“微信控”为a,b ,c,“非微信控”为D,E,则基本事件为(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(b,c),(b ,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共10种，其中至少有1人为“非微信控”的基本事件有：(a,D),(a,E) ，(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E)，共7种. 所以这2人中至少有1人为“非微信控”的概率为710.（12分） 21. 【答案】（1）由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a -===，即2243a b = 2分又b ==224,3a b ==， ∴椭圆的方程为22143y x += 4分(2)设1122(,),(,)A x y B x y ，由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++ 6分 22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+7分34OA OB k k ⋅=-,121234y y x x =-, 121234y y x x =-,222223(4)34(3)34434m k m k k --=-⋅++ 22234m k =+,AB ===d =10分12S AB d ∆==== 12分22. 解：（1）由题意知/11(1)()(1)(0)a x f x a x x x-+=-+=> ① 当1a ≤-时，/()0f x >恒成立，所以()(0+)f x ∞在，上单调递增； ② 当1a >-时，由/()0f x >得1(0)1x a ∈+，，由/()0f x <得1(,+)1x a ∈∞+，所以f(x)在1(0)1a +，单调递增，在1(,+)1a ∞+单调递减. 又函数f(x)在其定义域上不是单调函数，故实数a 的取值范围是(1,+)-∞（2）当a<1时，要证ln ()(),1(0+)xf xg x a x<+-∞只需证lnx-x<-在，上恒成立。

湖南省衡阳市第八中学高二数学上学期期中试题文(扫描版)

湖南省衡阳市第八中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题文（扫描版）cankaodaan参考答案一、选择题、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B D C C A A A B C13. 4π14.)22,0( 15. 1 16. )41,21(n n P n三、解答题17. 解析：由题意知抛物线的焦点为双曲线x 24－y 22＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .18.【答案】a=4, 极大值为f （-2）=28/319.解：对于命题p ，由条件可得m ≥2对于命题q ，由)34(44)(2-+='m mx x x f －≥0对R x ∈恒成立得)34(16)42--m m （－≤0 ⇒ 1≤m ≤3由p q ∧为假，p q ∨为真得q p 与一真一假，若p 真q 假时，则可得⎩⎨⎧〉〈〉312m m m 或⇒m >3若p 假q 真时，则可得⎩⎨⎧≤≤≤312m m ⇒1≤m ≤2综上可得，m 的取值范围是1≤m ≤2或m >320.解：（1）b ax x x f 363)(2++='，由该函数在2=x 处有极值，故0)2(='f ，即031212=++b a ………………① 又其图象在1=x 处的切线与直线0526=++y x 平行故3)1(-='f ，即3363-=++b a ………………② 由①，②，解得0,1=-=b a ∴c x x x f +-=233)(，（Ⅰ）∵x x x f 63)(2-='由0)(='x f 得01=x ，22=x列表如下故)(x f 的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）单调递增区间是（0，2）（Ⅱ）由（1）可知列表如下∴)(x f 在[1，3]的最小值是-4+c ∴-4+c >1－42c ⇒c <－45或c >121. 解析：（1）设双曲线12222=-by a x ，由已知得3=a ，2=c ，再由2222=+b a ，得12=b ，故双曲线C 的方程为1322=-y x 5分（2）将2+=kx y 代入1322=-y x 得0926)31(22=---kx x k . 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k且2k ≠31且12<k ① 则23126k k x x B A -=+，2319k x x BA --= 由2>⋅得2>+B A B A y y x x ，而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k 12分于是137322-+k k ＞2，即0139322>-+-k k ，解此不等式得3312<<k ② 由①②得1312<<k ，故k 的取值范围为)1,33()33,1(Y -- 16分。

湖南省衡阳市第八中学2017-2018学年高二数学上学期12月月考试题文

2017年衡阳市八中高二12月份月考试题数学(文科)考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共22个小题，考试时间120分钟，试卷满分100分.一. 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填写涂在答题卷上. 1. 准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A. 22y x =- B. 24y x =- C. x y 22= D. 24y x =2. “x ＞5”是“x 2－4x －5＞0”是（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．⌝q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真4. 某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( ) A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 5. 下列结论正确的是（）A. 若y =2y '=B. 若cos y x =，则sin y x '=C. 若2xy e =，则2xy e '= D. 若ln x y x =，则21ln xy x -'=6. 若双曲线22221x y a b-= ）A. 2y x =±B. y =C. 12y x =± D. y x =7. 曲线21y x x=+在()1,2处的切线方程为（） A. 2y x = B. 1y x =+ C. 42y x =- D. 31y x =-8. 若椭圆2214x y +=与双曲线2221x y a-=有相同的焦点12F F ，，点P 是椭圆与双曲线的一个交点，则12PF F ∆的面积是（）A ．4B ．2C ．1D ．129. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =，则双曲线C 的实轴长为（）AB ．C ．4D ．810. 若函数()ln f x kx x =-在()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．(,2]-∞- B ．(,1]-∞- C ．[2,)+∞ D ．[1,)+∞ 11. 已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(,2)-∞-C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞-12. 设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填写在答题卷相应的横线上. 13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 .14. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 .15.做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积为27π，且用料最省，则水桶的底面半径为 .16. 设函数()y f x =在区间(,)a b 的导函数为()f x '，()f x '在区间(,)a b 的导函数为()f x ''，若在区间(,)a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，已知43213()122f x x mx x =--，若函数()f x 在区间(1,2)-上为“凸函数”，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共52分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分8分)为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.（1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？（2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（3）若次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？18．(本小题满分8分)已知函数32()1f x x ax bx =+++在1x =和23x =-处都取得极值. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在区间[1,2]-上的最大值与最小值.19. (本小题满分8分)已知双曲线E ：221164x y -=的两个焦点为12,F F . （1）若点M 在双曲线E 上，且120MF MF =，求点M 到x 轴的距离；（2）设椭圆C 与双曲线E 有相同焦点，且过点，求椭圆C 的方程.20. (本小题满分9分)设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程．21. (本小题满分9分)已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为. （1）求椭圆的方程；（2）直线l 过点()0,2P 且与椭圆相交于A 、B 两点, 当AOB ∆面积取得最大值时, 求直线l 的方程.22. (本小题满分10分)已知函数2()=ln (21)f x x ax a x +++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填写在答题卷相应的横线上. 13. 在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 85.14. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为12. 15.做一个无盖的圆柱水桶，若要使水桶的体积为27π，且用料最省，则水桶的底面半径为 3 .16. 设函数()y f x =在区间(,)a b 的导函数为()f x '，()f x '在区间(,)a b 的导函数为()f x ''，若在区间(,)a b 上()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在区间(,)a b 上为“凸函数”，已知43213()122f x x mx x =--，若函数()f x 在区间(1,2)-上为“凸函数”，则实数a 的取值范围是 11,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共52分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分8分) 为了了解学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.（1）学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？（2）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（3）若次数在110以上(含110次)为良好，试估计该学校全体学生的良好率是多少？解 (1)∵前三组的频率和为2＋4＋1750＝2350<12，前四组的频率之和为2＋4＋17＋1550＝3850>12，∴中位数落在第四小组内．(2)频率为：42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08，又∵频率＝第二小组频数样本容量，∴样本容量＝频数频率＝120.08＝150.(3)由图可估计所求良好率约为：17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%.18．(本小题满分8分)已知函数32()1f x x ax bx =+++在1x =和23x =-处都取得极值. （1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在区间[1,2]-上的最大值与最小值. 解:（1）1,22a b =-=-（2）max min 1()3,()2f x f x ==- 19. (本小题满分8分)已知双曲线E ：221164x y -=的两个焦点为12,F F . （1）若点M 在双曲线E 上，且120MF MF =，求点M 到x 轴的距离；（2）设椭圆C 与双曲线E 有相同焦点，且过点，求椭圆C 的方程.解:（1 （2）221255x y +=20. (本小题满分9分)设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程．解：（1）【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ① 4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y y x x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y bkx y 整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1 （2）：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM = 即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y 化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7 21. (本小题满分9分)已知椭圆的中心在坐标原点O ,焦点在x 轴上, 椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形, 四个顶点围成的图形面积为. （1）求椭圆的方程；（2）直线l 过点()0,2P 且与椭圆相交于A 、B 两点, 当AOB ∆面积取得最大值时, 求直线l 的方程.解：：（1）依题意有b c =,且2ab =222b c a +=，222b c a +=,解得2222,1a b c ===,所以椭圆方程为2212x y +=；（2）直线l 的方程为()()11222,,,,y kx A x y B x y =+，联立直线的方程和椭圆的方程，得()2212860k x kx +++=，利用弦长公式计算AB =，利用点到直线距离公式计算d =，所以221162232ABCk k S AB d ∆-===，利用换元法可求得当2k =±时，面积取得最大值为2，所求直线方程为240y -+=. 22. (本小题满分10分)已知函数2()=ln (21)f x x ax a x +++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ﹤0时，证明3()24f x a≤--．解：（1）f （x ）的定义域为（0，+），.若a ≥0，则当x ∈（0，+）时，，故f （x ）在（0，+）单调递增.若a ＜0，则当x ∈时，；当x ∈时，.故f （x ）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即设g （x ）=ln x -x +1，则当x ∈（0,1）时，；当x ∈（1，+）时，.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x＞0时，g （x ）≤0,.从而当a ＜0时，，即.2017年衡阳市八中高二12月份月考加试试题参考答案数学（文科）命题人：彭源审题人：吕建设考生注意：本试卷共2个解答题, 每题10分,共20分. 23. (本小题满分10分)（1）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝____________. 解：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n2，正方形数 N (n ，4)＝n 2＝2n 2－0·n2，五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ＝3n 2－n2，六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2，k 边形数 N (n ，k )＝（k －2）n 2－（k －4）n2，所以N (10，24)＝22×102－20×102＝2 200－2002＝1 000.（2）若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________.解：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则P 1，P 2的切线方程分别是x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2yb2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上，故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1，这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 24. (本小题满分10分)微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23是青年人.(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；(2)附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)人).经常使用微信的有180－60＝120(人)，其中青年人有120×23＝80(人)，使用微信的人中青年人有180×75%＝135(人)，所以2×2列联表：(2)K 2＝180×（80×5－55×40）2120×60×135×45≈13.333，由于13.333>10.828，所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”.。

湖南省衡阳市高二数学上学期第一次月考试题(实验班)文

2016年下期高二年级第一次月考试卷数学（试题卷）注意事项：1.本卷为衡阳八中高二年级文科实验班第一次月考试卷，分两卷。

其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题（每题5分，共60分）本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.下列命题中为真命题的是（）A．若x≠0，则x+≥2B．命题：若x2=1，则x=1或x=﹣1的逆否命题为：若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1C．“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件D．若命题P：∃x∈R，x2﹣x+1＜0，则￢P：∀x∈R，x2﹣x+1＞02.“∃x＞0，使a+x＜b”是“a＜b”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3.如图所示程序框图，输出结果是（）A．5 B．6 C．7 D．84.齐王与田忌赛马，每人各有三匹马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，共进行三场比赛，每次各派一匹马进行比赛，马不能重复使用，三场比赛全部比完后胜利场次多者为胜，则田忌获胜的概率为（）A ．B ．C ．D ．5.已知命题p：∃x0∈R，使log2x0+x0=2017成立，命题q：∀a∈（﹣∞，0 ），f（x）=|x|﹣ax（x∈R）为偶函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．¬p∧q C．p∧¬q D．¬p∧¬q6.已知在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点．在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的面积之比不小于1的概率是（）A ．B ．C ．D ．7.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对酒驾的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员216人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，24，43．则这四社区驾驶员的总人数N为（）A．2160 B．1860 C．1800 D．14408.广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：广告费x2 3 4 5 6销售额y29 41 50 59 71由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.29.若过椭圆+=1的上顶点与右焦点的直线l，则该椭圆的左焦点到直线l的距离为（）A．1 B ． C ． D．210.椭圆C ： +=1（a＞b＞0）的左焦点为F，若F关于直线x+y=0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）A ．﹣1B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣211.设F1、F2是椭圆E ： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12.椭圆x2+=1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l过定点（0，1）交椭圆于两点C，D．设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，则直线l斜率k的值为（）A．k=2 B．k=3 C．.k=或3 D．k=2或第II卷非选择题（共90分）二.填空题（每题5分，共20分）13.已知命题“∀x∈R，sinx﹣2a≥0”是真命题，则a的取值范围是．14.设，若函数g（x）=f（x）﹣ax﹣1有4不同的零点，则a的取值范围为．15.正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球半径，过AC作外接球截面，当截面圆最小时，其半径为．16.已知△ABC的顶点A（﹣3，0）和顶点B（3，0），顶点C在椭圆+=1上，则= ．三.解答题（共6题，共70分）17.（本题满分10分）命题p：“∀x∈（0，+∞），有9x+≥7a+1，其中常数a＜0”，若命题q：“∃x0∈R，x02+2ax0+2﹣a=0”若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求实数a的取值范围．18.（本题满分12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲，乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求图中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（Ⅱ）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．19.（本题满分12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．20.（本题满分12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上（1）求角C的大小；（2）若△ABC 为锐角三角形且满足=+，求实数m的最小值．21.（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=，a n =（n≥2）．（1）求证：{﹣1}为等比数列，并求出{a n}的通项公式；（2）若b n =，求{b n}的前n项和S n．22.（本题满分12分）设椭圆C ： =1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M ，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．衡阳八中2017年下期高二年级文科实验班第一次月考数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 答案 BCBDCCC C C B C B 13.14.15. 16.317.∵a ＜0，若p 为真命题，则（9x+）min ≥7a+1，又∵9x+≥2=|6a|=﹣6a ，∴﹣6a ≥7a+1， ∴a ≤﹣，（3分）若q 为真命题，则方程x 2+2ax+2﹣a=0有实根， ∴△=4a 2﹣4（2﹣a ）≥0，即a ≥1或a ≤﹣2，（5分）若“p 且q”为假命题，“p 或q”为真命题，则命题p 和命题q 一真一假∴当p 真q 假时，则，∴﹣2＜a ≤﹣，（7分）当p 假q 真时，则，∴a ≥1，（9分）综上，符合条件的a 的取值范围为（﹣2，﹣]∪[1，+∞）．（10分）18.（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，（2分） ∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，（4分）故甲乙两校的合格率相同．（6分）（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C ，D 的6名学生记为C 1，C 2，C 3，C 4，D 1，D 2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C 1，C 2}，{C 1，C 3}，{C 1，C 4}，{C 1，D 1}，{C 1，D 2}，{C 2，C 3}，{C 2，C 4}，{C 2，D 1}，{C 2，D 2}，{C 3，C 4}，{C 3，D 1}，{C 3，D 2}，{C 4，D 1}，{C 4，D 2}，{D 1，D 2}，共15个，（9分）其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，（11分）∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D 的概率p=．（12分） 19.（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD 为等腰三角形，再由，∴BD ⊥AC ．（2分）再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA ⊥BD ．（4分）而PA ∩AC=A ，故BD ⊥平面PAC ．（6分）（Ⅱ）∵侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC ，∴三棱锥F ﹣BCD 的高是三棱锥P ﹣BCD 的高的． △BCD 的面积S △BCD =BC•CD•sin∠BCD==．（9分）∴三棱锥P ﹣BDF 的体积 V=V P ﹣BCD ﹣V F ﹣BCD =﹣=×==．（12分）20.（1）由题得a （sinA ﹣sinB ）+bsinB=csinC ，由正弦定理得a （a ﹣b ）+b 2=c 2，即a 2+b 2﹣c 2=ab ．∴余弦定理得cosC==，∵C ∈（0，π），∴C=．（4分）（2）∵，∴=+===，（7分）即mcosC=，有m===，（9分）∵0＜A ＜，﹣＜2A ﹣＜，∴﹣＜sin （2A ﹣）≤1，∴sin （2A ﹣）+≤，∴m min ==2．（12分）21.（1）∵数列{a n }满足a 1=，a n =（n ≥2），∴=，n ≥2∴，n ≥2，（3分）又，∴{﹣1}为首项为1，公比为2的等比数列，（5分）∴，，∴．（6分）（2）∵b n ===（2n ﹣1）（2n ﹣1+1）=（2n﹣1）•2n ﹣1+2n ﹣1，（8分）∴{b n }的前n 项和：S n =1+3•2+5•22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1+2（1+2+3+…+n ）﹣n =1+3•2+5•22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1+2×﹣n=1+3•2+5•22+…+（2n ﹣1）•2n ﹣1+n 2，① 2S n =2+3•22+5•23+…+（2n ﹣1）•2n +2n 2，②②﹣①，得S n =﹣1﹣（22+23+…+2n ）+（2n ﹣1）•2n +n 2=﹣1﹣+（2n ﹣1）•2n+n 2=（2n ﹣3）•2n +3+n 2． ∴{b n }的前n 项和S n =（2n ﹣3）•2n +3+n 2．（12分）22.（Ⅰ）∵椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的焦点F 1，F 2，过右焦点F 2的直线l 与C 相交于P 、Q 两点， △PQF 1的周长为短轴长的2倍，△PQF 1的周长为4a…（2分）∴依题意知，即…（3分）∴C的离心率…（4分）（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x ﹣c，代入椭圆方程得…设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…（6分）设M（x0，y0），则①…（7分）由得…（8分）代入①得…（9分）因为，，所以②…（10分）而…（11分）从而②式不成立．故不存在点M，使成立…（12分）。