熵权法
熵权法
熵权法的概述 熵权法的基本原理 熵权法的计算步骤 熵权法的适用范围及优缺点
一、熵权法的概述
熵的概念源于热力学,表示不能用来做功的热能为 热能的变化量除以温度所得的商。
在信息论中，信息是系统有序程度的一个度量， 熵是系统无序程度的一个度量。二者绝对值相等，方 向相反。
熵是对不确定信息的度量，如果一个指标的信息 熵越小，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所 起的作用理应越大，权重就应该越高。
若系统可能处于多种不同的状态。而每种状态 出现的概率为 fi （i=1,2,……,m）时，则该系 统的熵就定义为：
m
H j fi ln fi i 1
现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始评
价矩阵 R rij mn 。对于某个指标j的信息熵：
m
Hj
fij ln fij， fij rij / m rij
j
j wj
n
j wj
j 1
当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指 标的熵达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未 能向决策者供有用的信息,即在该指标下,所有的备 选项目对决策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。 熵权并非实际意义上的重要性系数，而是各指标在 竞争意义上的相对激烈程度系数。
1、确定评价对象,建立评价指标体系,构造指标水
平矩阵 R 。
r11
R
r21 rm1
r12 r22 rm 2
r1n
r2n
rmn
mn
2、对评价矩阵R 进行标准化处理得矩阵 R rij mn
j为正指标： j为负指标：
i 1
i 1
从信息熵的公式可以看出：
熵权法
一、熵权法介绍熵最先由申农引入信息论，目前已经在工程技术、社会经济等领域得到了非常广泛的应用。
熵权法的基本思路是根据指标变异性的大小来确定客观权重。
一般来说，若某个指标的信息熵越小，表明指标值得变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所能起到的作用也越大，其权重也就越大。
相反，某个指标的信息熵越大，表明指标值得变异程度越小，提供的信息量也越少，在综合评价中所起到的作用也越小，其权重也就越小。
二、熵权法赋权步骤1.数据标准化将各个指标的数据进行标准化处理。
假设给定了k个指标，其中。
假设对各指标数据标准化后的值为，那么。
2.求各指标的信息熵根据信息论中信息熵的定义，一组数据的信息熵。
其中，如果，则定义。
3.确定各指标权重根据信息熵的计算公式，计算出各个指标的信息熵为。
通过信息熵计算各指标的权重：。
三、熵权法赋权实例1.背景介绍某医院为了提高自身的护理水平，对拥有的11个科室进行了考核，考核标准包括9项整体护理，并对护理水平较好的科室进行奖励。
下表是对各个科室指标考核后的评分结果。
但是由于各项护理的难易程度不同，因此需要对9项护理进行赋权，以便能够更加合理的对各个科室的护理水平进行评价。
2.熵权法进行赋权1）数据标准化根据原始评分表，对数据进行标准化后可以得到下列数据标准化表表2 11个科室9项整体护理评价指标得分表标准化表根据信息熵的计算公式，可以计算出9项护理指标各自的信息熵如下：表3 9项指标信息熵表根据指标权重的计算公式，可以得到各个指标的权重如下表所示：表4 9项指标权重表3.对各个科室进行评分根据计算出的指标权重，以及对11个科室9项护理水平的评分。
设Z l为第l 个科室的最终得分，则，各个科室最终得分如下表所示表5 11个科室最终得分表。
熵权法
r
i 1
ij
（1）
(2)计算第j个指标的熵值 e j ：
e j k pij ln pij
i 1 m
其中
k 1 ln m
（2）
(3)计算第j个指标的熵权 w j ：
w j (1 e j )
(1 e )
j 1 j
n
（3）
(4)确定指标的综合权数 j：
si 3. 计算对象到理 评价对象到理想点的距离 S+为 想解和负理想解 评价对象到负理想点的距离 S- si 的距离 为
v
j 1 n j 1
n
ij
vj 2, i 1,2,...,m （
5） vij vj 2, i 1,2,...,m（6）
2
在具体应用时：
可根据各指标值的变异程度，利用熵来计算各指标的 熵权，利用各指标的熵权对所有的指标进行加权，从而得
出较为客观的评价结果
利用熵权法计算权重
•
我们将综合指标的重要性和指标提供的信息量这 两方面来确定各指标的最终权重。 现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始数据 矩阵 R rij ：
指标上比其他项目更优。本例就是在表 1 的基础上对各项
目进行分析、评价和排序的。
表 1工程质量评价指标数据表 评价 指标 强度 78 87 82 防火 86 90 84 抗震 89 86 85 通风 84 89 82 采光 86 82 80 隔音 82 91 86 隔热 86 80 84 社会 环境 82 89 79 生态 环境 84 88 80 基础 设施 88 85 81
2. 确定理想 解 V+和负理 想解 V-
熵权法算法介绍
熵权法算法介绍熵权法是一种多指标综合评价方法，最早由我国学者贾樟柯于1988年提出。
它采用信息熵理论中的熵值概念，将各指标的权重进行分配。
熵权法算法的主要特点是能够在具有不确定性和不完备信息的情况下，更加科学、客观、合理地评估各指标的重要性。
一、熵值概念熵值是指能量散失的程度，即不确定性、混乱程度。
信息熵越大，说明系统的混乱程度越大。
在熵值计算中，熵值越大，对应的指标权重越小。
因此，每个指标的熵值越大，说明该指标在评价体系中的作用越小；反之，熵值越小，说明该指标在评价体系中的作用越大。
二、熵权法算法步骤1. 收集指标数据。
将需要评估的关键指标进行收集，并将其转化为数值形式，方便计算。
2. 计算指标权重。
通过信息熵公式计算每个指标的熵值，并将其与其他指标的熵值比较。
每个指标的权重按照其熵值的大小进行分配。
3. 计算评价结果。
根据指标权重和指标数据，计算出综合评价结果，从而得出最终的评估结论。
三、熵权法算法优缺点优点：1. 熵权法算法能够考虑各指标之间的相互关系，并综合考虑多个指标的作用；2. 熵权法算法可以很好地适应评价对象的特点和不同需求，能够提高评价结果的总体客观性和可信度；3. 熵权法算法适用于具有不确定性和不完备信息的情况下，能够较好地避免主观因素的影响。
缺点：1. 熵权法算法需要进行繁琐的计算过程，相对来说比较复杂；2. 熵权法算法依赖于指标数据的选取和处理，如果数据选取存在偏差，会影响最终评价的结果。
四、熵权法算法应用熵权法算法已经广泛应用于企业综合评价、环境评价、质量控制等领域。
在企业的投资决策、质量管理、市场分析等方面，都有很好的应用效果。
总之，熵权法算法是一种非常有用的多指标综合评价方法，能够在不确定性和不完备信息的情况下，更加科学、客观、合理地评估各指标的重要性。
随着评价体系的深入研究和不断完善，相信熵权法算法在实践中的应用会越来越广泛。
熵权法-指标权重确定
熵权法的原理
熵权法的基本原理是利用信息熵的性 质，对指标进行客观的权重赋值。
信息熵是信息论中的概念，表示系统 的不确定性和无序程度。在熵权法中 ，信息熵用于度量指标的离散程度和 重要性程度。
熵权法的应用领域
熵权法广泛应用于多属性决策分析、综合评价、预测等领域 。
在城市管理、环境监测、经济评价、农业规划等领域，熵权 法被广泛应用于确定各指标的权重，为决策提供科学依据。
案例二：企业绩效评价
总结词
熵权法在企业绩效评价中，能够综合考 虑各项财务和非财务指标，客观地确定 各指标的权重，为企业绩效评价提供全 面、准确的评估结果。
VS
详细描述
熵权法通过计算各指标的信息熵，判断各 指标的离散程度，从而确定各指标的权重 。在企业绩效评价中，可以利用熵权法对 企业的盈利能力、营运能力、偿债能力等 各个方面的指标进行评价，确定各指标的 重要程度和贡献度，为企业绩效评价提供 全面、准确的评估结果。
总结词
熵权法在城市可持续发展评价中，能够根据各项指标的实际数据客观地确定各指标的权重，为城市可 持续发展提供科学依据。
详细描述
熵权法通过计算各指标的信息熵，判断各指标的离散程度，从而确定各指标的权重。在城市可持续发 展评价中，可以利用熵权法对城市的经济、社会、环境等各个领域进行评价，确定各领域的重要程度 和发展潜力，为城市可持续发展提供科学依据。
Delphi法
通过匿名方式征询专家意见，经 过多轮反馈和调整，最终形成较 为一致的指标权重。
客观权重法
主成分分析法
通过降维技术，将多个指标转化为少 数几个主成分，以各主成分的方差贡 献率确定指标权重。
因子分析法
通过提取公共因子，以各公共因子对 总体的贡献率确定指标权重。
熵权法
r
i 1
ij
（1）
(2)计算第j个指标的熵值 e j ：
e j k pij ln pij
i 1 m
其中
k 1 ln m
（2）
(3)计算第j个指标的熵权 w j ：
w j (1 e j )
(1 e )
j 1 j
n
（3）
8
(4)确定指标的综合权数 j：
指标上比其他项目更优。本例就是在表 1 的基础上对各项
目进行分析、评价和排序的。
表 1工程质量评价指标数据表 评价 指标 强度 78 87 82 防火 86 90 84 抗震 89 86 85 通风 84 89 82 采光 86 82 80 隔音 82 91 86 隔热 86 80 84 社会 环境 82 89 79 生态 环境 84 88 80 基础 设施 88 85 81
2
在具体应用时：
可根据各指标值的变异程度，利用熵来计算各指标的 熵权，利用各指标的熵权对所有的指标进行加权，从而得
出较为客观的评价结果
6
利用熵权法计算权重
•
我们将综合指标的重要性和指标提供的信息量这 两方面来确定各指标的最终权重。 现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始数据 矩阵 R rij ：
2. 确定理想 解 V+和负理 想解 V-
V
min v
房地产
项目建设工程的质量评
价涉及很多内容。我们的例子是根据工
程建设质量控制的关键点，参考有关研
究资料，从安全性、适用性和协调性三
个方面建立了房地产项目建设工程质量
评价标体系。如下图
11
工程质量评价指标体系
指标权重确定方法之熵权法(计算方法
指标权重确定方法之熵权法(计算方法熵权法（Entropy Weighting Method）是一种常用的指标权重确定方法，它通过计算指标数据的熵值来确定指标的权重。
熵值体现了指标数据的离散程度，离散程度越大，熵值越大，即指标的重要性越高。
熵值的计算方法如下：设有n个指标，每个指标有m个样本，设第i个指标的第j个样本为Xij，熵值计算公式为：Ei = - (Xij * ln(Xij)）其中，i表示指标的序号，j表示样本的序号，ln表示自然对数。
计算完每个指标的熵值后，进一步对熵值进行归一化处理，得到权重。
具体的计算步骤如下：1.归一化处理：将指标数据进行归一化处理，将其范围限定在(0,1)之间。
2.计算指标熵值：按照上述公式，计算每个指标的熵值。
3.计算指标权重：将每个指标的熵值除以所有指标熵值的和，得到每个指标的权重。
4.权重归一化：对指标权重进行归一化处理，使得所有指标权重的和等于1下面通过一个例子来说明熵权法的计算过程。
假设有3个指标，每个指标有4个样本，指标数据如下：指标1：1,2,3,4指标2：5,6,7,8指标3：10,20,30,40首先进行归一化处理，计算每个指标的最小值和最大值，然后将指标数据进行归一化，得到如下结果：指标1：0.0,0.25,0.5,1.0指标2：0.0,0.2,0.4,1.0指标3：0.0,0.0714,0.2143,1.0接下来计算指标熵值，根据前面的熵值计算公式，计算每个指标的熵值，并取负值，得到如下结果：然后将熵值进行归一化处理，将每个指标的熵值除以所有指标熵值的和，得到如下结果：最后对指标权重进行归一化处理，使得所有指标权重的和等于1，得到最终的权重结果：通过以上计算可以得到每个指标的权重，可以根据权重进行综合评价。
熵权法能够充分考虑指标的离散程度，提高了指标权重的准确性，因此被广泛应用于各种指标权重确定的问题中。
熵权法
e pi ln pi
• 显然，当 p i =1/m（i=1,2,……,m）时，即各种状态出现的概率相同时， 熵取最大值，为：
i 1
m
• 现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始评价矩阵 R rij mn 对于某 个指标 r j 有信息熵：
e j pij ln pij ，其中 pij rij / rij
郑州大学
熵权法
目录
熵权法概述 熵权法基本原理
熵权法计算权重过程 熵权法适用范围 熵权法的优缺点
Page 2
1.熵权法概述
• 熵原本是一热力学概念，它最先由申农 C. E.Shannon 引入信息论 ，称之为信息熵。现已在工 程技术，社会经济等领域得到十分广泛的应用。 •申农定义的信息熵是一个独立于热力学熵的概念， 但具有热力学熵的基本性质(单值性、可加性和极 值性)，并且具有更为广泛和普遍的意义，所以称 为广义熵。它是熵概念和熵理论在非热力学领域泛 化应用的一个基本概念。
(1 e
j 1
n
j
)
Page 8
3.利用熵权法计算权重
• (4)确定指标的综合权数 j ： 假设评估者根据自己的目的和要求将指标重要性的权重
确定为 j ,j=1,2,…,n，结合指标的熵权 w j 就可以得到指
标j的综合权数：
j i wi
w
i 1 i
m
i
Page 9
3.利用熵权法计算权重
•当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指标的 熵达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未能向 决策者供有用的信息,即在该指标下,所有的备选项 目对决策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。因 此,熵权本身并不是表示指标的重要性系数,而是表 示在该指标下对评价对象的区分度。
【精品】熵权法
【精品】熵权法熵权法是一种基于熵（信息熵或香农熵）的多指标决策方法，该方法可以评估每个指标的重要性，并确定最佳决策方案。
熵在信息论中用来表示数据中的不确定性程度，也可以用来度量指标之间的差异程度，进而确定最优解。
熵权法适用于评估复杂系统的各种指标，并可以帮助决策者在决策过程中更全面、客观地了解系统的状况。
熵权法的基本思想是，在给定的指标集合中选择具有最大差异性的指标作为最佳指标，从而确定系统的最佳状态或最优解。
在熵权法中，通过求解熵值和权重实现了对指标的排序和评价。
具体内容如下：1. 熵值的计算熵值反映了指标之间的差异程度，其值越大，指标之间的差异程度越大，反之则差异程度越小。
在熵权法中，我们需要计算每个指标的熵值，以此来确定每个指标的重要性。
假设有n个样本，m个指标，则第i个指标的熵值可以表示为：$ E_i=-\sum_{j=1}^{n}{p_{ij}\log_2p_{ij}} $其中，$ p_{ij} $表示第i个指标在第j个样本中的比重。
权重是指标在整个指标集合中的重要程度，其越大表示该指标对整个指标集合的影响越大。
在熵权法中，我们需要计算每个指标的权重，以此来评估每个指标的重要性。
其中，$ E_i $为第i个指标的熵值，$ \sum_{j=1}^{m}E_j $为指标集合的熵值之和。
根据以上公式，我们可以计算出每个指标的熵值和权重，并进行指标排序和评价。
3. 实例分析为了更好地理解熵权法的应用，我们可以以某电子产品公司的产品选型为例进行分析。
假设该公司正在开发一款新的产品，并需要在多个指标（如价格、功能、品质、颜色等）之间进行权衡和取舍。
为了确定最佳的决策方案，该公司采用熵权法进行了分析与评价。
下图是该公司对几个主要指标的熵值计算结果：指标 | 价格 | 功能 | 品质 | 颜色-----|-----|-----|-----|-----熵值 | 0.235 | 0.183 | 0.142 | 0.124由上表可知，价格这一指标的熵值最大，说明该指标在整个指标集合中的差异程度最大，因此价格是最重要的一个指标。
数学建模-熵权法
• (4)确定指标的综合权数 j ： 假设评估者根据自己的目的和要求将指标重要性的权重
确定为 j ,j=1,2,…,n，结合指标的熵权 w j 就可以得到指
标j的综合权数：
j i wi
w
i 1 i
m
i
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3.利用熵权法计算权重
•当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指标的 熵达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未能向 决策者供有用的信息,即在该指标下,所有的备选项 目对决策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。因 此,熵权本身并不是表示指标的重要性系数,而是表 示在该指标下对评价对象的区分度。
•故在具体应用时，可根据各指标值的变异程度，利 用熵来计算各指标的熵权，利用各指标的熵权对所 有的指标进行加权，从而得出较为客观的评价结果
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3.利用熵权法计算权重
•我们将综合指标的重要性和指标提供的信息量这两 方面来确定各指标的最终权重。
• 现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始 数据矩阵 R rij mn ：
Page 10
4.熵权法的适用范围
•可用于任何评价问题中的确定 指标权重； •可用于剔除指标体系中对评价 结果贡献不大的指标。
Page 11
5.熵权法的优缺点
优点
客观性 适应性
相对那些主观赋 值法，精度较高 客观性更强，能 够更好的解释所 得到的结果。
可以用于任何需 要确定权重的过 程，也可以结合 一些方法共同使 用。
pij rij
• (2)计算第j个指标的熵值 e j ：
r
i 1
m
ij
• (3)计算第j个指标的熵权 w j ：
e j k pij ln pij 其中，k 1 ln m
熵权法
§若系统可能处于多种不同的状态。而每种状态出现的概率为 p（i
i=1,2,……,m）时，则该系统的熵就定义为： m
e pi ln pi
§显然，当 pi =1/m（i=1,2,……i1,m）时，即各种状态出现的概率相同时
，熵取最大值，为：
emax ln m
§ 现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始评价矩阵 R rij mn 对于某
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3.利用熵权法计算权重
§当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指标 的熵达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未能 向决策者供有用的信息,即在该指标下,所有的备选 项目对决策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。 因此,熵权本身并不是表示指标的重要性系数,而是 表示在该指标下对评价对象的区分度。
用。
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5.熵权法的优缺点
▪缺点：目前为止，熵权法只在确定权重的过
程中使用，所以使用范围有限，解决的问题 有限
Page ▪ 13
谢谢！
14
Page ▪ 10
4.熵权法的适用范围
§可用于任何评价问题中的确 定指标权重；
§可用于剔除指标体系中对评 价结果贡献不大的指标。
Page ▪ 11
5.熵权法的优缺点
客观性
优点
适应性
相对那些主观赋 值法，精度较高 客观性更强，能 够更好的解释所 得到的结果。
可以用于任何需 要确定权重的过 程，也可以结合 一些方法共同使
§我们将综合指标的重要性和指标提供的信息量这 两方面来确定各指标的最终权重。
§现有m个待评项目，n个评价指标，形成原
始数据矩阵R rij mn ：
r11 r12
Байду номын сангаас
熵权法
熵权法熵原本是一热力学概念，它最先由C.E.Shannon 引入信息论，称之为信息熵。
熵权法是一种客观赋权法。
在具体使用过程中，熵权法根据各指标的变异程度，利用信息熵计算出各指标的熵权，再通过熵权对各指标的权重进行修正，从而得出较为客观的指标权重。
根据信息论的基本原理，信息是系统有序程度的一个度量；而熵是系统无序程度的一个度量。
若系统可能处于多种不同的状态，每种状态出现的概率为,1,2,,i p i m =，则该系统的熵就定义为：11ln ln mi i i e p p m ==-∑。
可以证明，当1,1,2,,i p i m m==，即各种状态出现的概率相等时，熵取最大值。
设有m 个待评价对象，n 个评价指标，归一化后的数据矩阵为()ij m n R r ⨯=，则定义第j个指标的信息熵为11ln ln mj ij ij i e p p m ==-∑，其中，1,1,2,,ij ij miji r p j nr ===∑()11121111212122221222121212n n n n n m m mn m m mn r r r p p p r r r pp p ee e r r r p p r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⇒⇒ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭从信息熵的公式可见：一个指标取值的变异程度越大，则这个指标的熵值就越小；反之，一个指标取值的变异程度越小，则这个指标的熵值就越大。
所以我们定义第j 个指标的熵权为11,1,2,,(1)jj njj e w j n e =-==-∑从熵权的定义可见，熵权并不是指标重要性的度量，而是指标区分度的度量。
假设评价者依据另外的评价标准（如指标的重要性）对指标的赋权为,1,2,,j u j n =，则可以通过指标的熵权对指标权重进行修正，具体公式可以是1,1,2,,j jj j jj u w v j n u w===∑。
ahp熵权法
ahp熵权法
AHP（熵权法）是一种决策分析方法，它结合了主观赋权法和客观赋权法的优点，以弥补单一赋权法的不足。
AHP（熵权法）通过层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）计算出各个指标的权重，再结合熵权法计算出各个指标的客观权重，最终得出综合权重。
这种方法既考虑了决策者的主观意愿，又考虑了指标数据的客观规律，使得权重更加客观、准确。
在AHP（熵权法）中，层次分析法通过两两比较矩阵的方式，计算出各个指标的相对重要程度，从而得到主观权重。
而熵权法则根据指标数据的离散程度，计算出各个指标的客观权重。
将层次分析法和熵权法结合起来，就可以得到综合权重。
AHP（熵权法）的应用范围广泛，可以用于多准则决策分析、资源分配、风险评估等多个领域。
它具有简单易行、直观明了、精度高等优点，但也存在一定的主观性和局限性。
因此，在使用AHP（熵权法）时，需要结合实际情况和专业知识进行判断和调整。
熵权法 熵值法
熵权法熵值法
熵权法和熵值法都是现代多指标决策分析方法，旨在解决决策问题中选择可行方案的问题。
下面将分别对熵权法和熵值法进行简要介绍。
一、熵权法
熵权法是一种将信息熵的概念应用于决策分析中的方法，可以帮助决策者在众多指标中挑选出最优的方案。
该方法主要分为以下步骤：
1. 确定决策目标和指标体系；
2. 对指标数据进行归一化处理，转化为0~1之间的数值；
3. 计算每个指标的权重，其计算式为：$$w_i = \frac{1 -
H(X_i)}{\sum_{j=1}^{n}(1-H(X_j))}$$
其中，$X_i$表示第$i$个指标的取值，$H(X_i)$表示$X_i$的信息熵，$n$为指标个数。
4. 对各个指标加权求和，并得出最优方案。
熵权法的优点在于可以处理不同维度的指标，且可以自动剔除冗余指标，避免了人工干预的主观性和不确定性。
同时，该方法还支持可视化展示，方便决策者了解各个指标的重要程度和方案优劣。
二、熵值法
熵值法亦是一种基于信息熵的决策分析方法，常用于评估不同方案的实现效果。
与熵权法类似，熵值法主要分为以下步骤：
与熵权法不同之处在于熵值法考虑了每个方案之间的差异性，更加全面地反映了各个指标的影响。
同时，此方法还可以用于判断不同方案的稳定性、敏感性等，通常被用于项目评估、风险评估等领域。
总体而言，熵权法和熵值法是多指标决策分析的两种有效方法，各具优劣势。
在具体应用中，需要根据实际决策问题选择合适的方法进行分析。
熵权法（客观赋权法）超详细解析
熵权法（客观赋权法）超详细解析熵权法 熵权法是⼀种客观赋权⽅法。
（客观 = 数据本⾝就可以告诉我们权重） 依据的原理：指标的变异程度越⼩，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。
⽂章⽬录熵权法⼀、⽅法介绍⼆、熵权法的计算步骤三、模型扩展（★）四、模型总结⼀、⽅法介绍 熵权法就是根据⼀项指标的变化程度来分配权重的，举个例⼦：⼩张和⼩王是两个⾼中⽣，⼩张学习好回回期末考满分，⼩王学习不好考试常常不及格。
在⼀次考试中，⼩张还是考了满分，⽽⼩王也考了满分。
那就很不⼀样了，⼩王这⾥包含的信息就⾮常⼤，所对应的权重也就⾼⼀些。
上⾯的⼩例⼦告诉我们：越有可能发⽣的事情，信息量越少。
越不可能发⽣的事情，信息量就越多。
其中我们认为概率就是衡量事情发⽣的可能性⼤⼩的指标。
那么把信息量⽤字母 I \bf I I 表⽰，概率⽤ p \bf p p 表⽰，那么我们可以将它们建⽴⼀个函数关系： 那么，假设 x 表⽰事件 X 可能发⽣的某种情况，p(x)表⽰这种情况发⽣的概率情况如上图所⽰，该图像可以⽤对数函数进⾏拟合，那么最终我们可以定义： I ( x ) = − ln ( p ( x ) ) I(x) = -\ln(p(x)) I(x)=−ln(p(x))，因为 0 ≤ p ( x ) ≤ 1 0 ≤ p(x) ≤ 1 0≤p(x)≤1，所以 I ( x ) ≥ 0 I(x) ≥ 0 I(x)≥0。
接下来引⼊正题：信息熵的定义 假设 x 表⽰事件 X 可能发⽣的某种情况，p(x) 表⽰这种情况发⽣的概率我们可以定义: I ( x ) = − ln ( p ( x ) ) I(x)=-\ln(p(x)) I(x)=−ln(p(x)) ，因为 0 ≤ p ( x ) ≤ 1 0≤p(x)≤1 0≤p(x)≤1 ，所以 I ( x )≥ 0 I(x)≥0 I(x)≥0 。
如果事件 X 可能发⽣的情况分别为: x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1 ,x2,⋯,xn，那么我们可以定义事件 X X X 的信息熵为：H ( X ) = ∑ i = 1 n [ p ( x i ) I ( x i ) ] = − ∑ i = 1 n [ p ( x i ) ln ( p ( x i ) ) ] H(X)=\sum_{i=1}^{n}[p(x_i)I(x_i)]=-\sum_{i=1}^{n}[p(x_i)\ln(p(x_i))] H(X)=i=1∑n[p(xi)I(xi)]=−i=1∑n[p(xi)ln(p(xi))]那么从上⾯的公式可以看出，信息上的本质就是对信息量的期望值。
熵权法 python
熵权法 python
1.什么是熵权法
熵权法（Entropy Weighting）是一种用于综合权衡各种指标化评价指标，将它们综合起来作为决策依据的一种技术。
这种方法基于信息熵理论，适用于模糊等级评价中的权衡权重的获取和多方观点的综合研究。
熵
权法可以根据各项评价指标及权重之间的关联程度综合出最佳权值方案，以便用作选择策略时权衡考虑各项指标。
2.熵权法的优缺点
（1）优点：
A.熵权法通过综合权衡各种评价指标，可以更加准确反应实物问题中
存在的复杂关系和关联程度，从而提高决策准确性和可靠性。
B.熵权法可以对各项评价指标进行无量纲化处理，使同一标准下的评
价结果更加清晰、有效。
C.熵权法可以考虑多个评价指标的关联性，从而获取更准确的权重值。
（2）缺点：
A.熵权法的缺陷在于它的权值的计算复杂，且容易受到技术因素的影响，比如缺乏较高的计算精度等，使得权值的计算不够准确。
B.熵权法假定各指标之间存在一定的相关关系，这会对它的结果产生正向或负向影响，当实际情况发生变化时，很难及时调整熵权法的结果。
3.熵权法的应用
1）决策分析：熵权法常用于多标准决策分析，它可以对决策建议进行统一判断，提高决策的准确性和可靠性。
2）综合研究：熵权法可以按照一定问题的评价标准和个别指标的相应权重来综合考虑多方观点，从而获得更好的研究结果。
3）多属性评价：熵权法可以用于对多属性实体进行评价，通过多个指标权重的计算，可以快速地进行调整和重新评估，并且能够更加准确和准确的评估其中的测量指标。
熵权法——精选推荐
熵权法
⼀、熵权法介绍
熵权法是⼀种客观赋权⽅法，其基本思路是根据指标变异性的⼤⼩来确定客观权重。
依据的原理：指标的变异程度越⼩，所反映的信息量也越少，其对应的权值也应该越低。
⼆、熵权法步骤
（1）对数据进⾏预处理
假设有n个要评价的对象，m个评价指标（已经正向化）构成的正向化矩阵如下：
对数据进⾏标准化，标准化后的矩阵记为Z，Z中的每⼀个元素：
判断Z矩阵中是否存在负数，如果存在的话，需要对X使⽤另外⼀种标准化⽅法
对矩阵X进⾏⼀次标准化，标准化公式如下：
（2）计算第j项指标下第i个样本所占的⽐重，并将其看作相对熵计算中⽤到的概率
在上⼀步的基础上计算概率矩阵P，P中的每⼀个元素如下：
（3）计算每个指标的信息熵，并计算信息效⽤值，并归⼀化得到每个指标的熵权
对第j个指标⽽⾔，其信息熵的计算公式为：
e j越⼤，则第j个指标的信息熵越⼤，其对应的信息量越⼩
定义信息效⽤值d j，公式如下：
将信息效⽤值归⼀化，得到每个指标的熵权：。
eqwgt 熵权法
熵权法（Entropy Weight Method）1. 介绍熵权法是一种多指标权重确定方法，通过计算指标的熵值来评估其信息量，进而确定每个指标的权重。
该方法在决策分析、风险评估、综合评价等领域得到了广泛应用。
2. 基本原理熵权法基于信息熵的概念，信息熵是信息论中用来度量信息量的一个概念。
在决策问题中，我们可以将指标看作是不同属性下的样本集合，每个样本都具有一定的信息量。
通过计算每个指标的熵值，可以获得每个指标所包含的信息量大小。
根据熵值原理，当一个指标的取值越分散、越均匀时，其信息量越大；反之，则信息量越小。
因此，我们可以通过计算每个指标的熵值来确定其权重。
3. 算法步骤熵权法主要包括以下几个步骤：步骤1：数据标准化首先需要对原始数据进行标准化处理。
常用的方法有线性变换、对数变换和正态化等。
步骤2：计算每个指标的相对熵值相对熵是指标的熵值与最大熵值之间的差异。
计算公式如下：E i=−1ln(n)∑x ij∑x ijmi=1nj=1ln(x ij∑x ijmi=1)其中，E i表示第i个指标的相对熵值，x ij表示第i个指标第j个样本的取值，n为样本数量，m为指标数量。
步骤3：计算每个指标的权重通过相对熵值，可以计算出每个指标的权重。
计算公式如下：w i=1−E i m−∑E j其中，w i表示第i个指标的权重，m为指标数量。
步骤4：归一化权重为了保证各个指标的权重之和为1，需要对权重进行归一化处理。
归一化后的权重即为最终确定的各个指标的权重。
4. 示例应用假设我们需要评估一家公司在市场占有率、产品质量和客户满意度等三个方面的综合表现，并确定各个方面的权重。
我们收集了该公司过去五年来每年的市场占有率、产品质量评分和客户满意度调查结果。
首先，我们对原始数据进行标准化处理。
假设市场占有率的取值范围为0-100，产品质量评分的取值范围为1-10，客户满意度的取值范围为1-5。
我们可以将这些指标的取值都缩放到0-1之间。
熵权法公式
熵权法公式
熵权法，物理学名词，是物质微观热运动时，混乱程度的标志。
物理意义
热力学中表征物质状态的参量之一，通常用符号S表示。
在经典热力学中，可用增量定义为dS=（dQ/T），式中T为物质的热力学温度；dQ为熵增过程中加入物质的热量；下标“可逆”表示加热过程所引起的变化过程是可逆的。
若过程是不可逆的，则dS>（dQ/T）不可逆。
单位质量物质的熵称为比熵，记为s。
熵最初是根据热力学第二定律引出的一个反映自发过程不可逆性的物质状态参量。
热力学第二定律是根据大量观察结果总结出来的规律，有下述表述方式：①热量总是从高温物体传到低温物体，不可能作相反的传递而不引起其他的变化；②功可以全部转化为热，但任何热机不能全部地、连续不断地把所接受的热量转变为功（即无法制造第二类永动机）；③在孤立系统中，实际发生的过程，总使整个系统的熵值增大，此即熵增原理。
摩擦使一部分机械能不可逆地转变为热，使熵增加。
热量dQ由高温（T1）物体传至低温（T2）物体，高温物体的熵减少dS1=dQ/T1，低温物体的熵增加dS2=dQ/T2，把两个物体合起来当成一个系统来看，熵的变化是dS=dS2－dS1>0，即熵是增加的。
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基于熵权法评价指标权值的确定
熵权法原理是把评价中各个待评价单元的信息进行量化与综合后的方法；采用熵权法对各因子赋权，可以简化评价过程。
因此，本文采用熵值法对指标的权值进行确定。
首先，由以上四个评价指标，可以得到一个449⨯的原始数据矩阵为：
m
n nm n n n n x x x x x x x x x X ⨯⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2122221
11211 其中，n 为日期，其取值为49天，m 为评价指标，其取值为4，n x x 111~表示排队长，n x x 221~表示逗留时间，n x x 331~表示周转次数，n x x 441~表示病床使用率。
由此，X 矩阵可知。
其次，对指标进行同趋势性变换，建立同正向矩阵；因为以上四个指标在评价时有高优指标和低优指标，其中，高优指标为周转次数和病床使用率，低优指标为排队长和逗留时间；评价时不同指标之间应该具有同趋势性，所以将低优指标化为高优指标即采用倒数法，转化后的矩阵为：
m
n nm n n n n y y y y y y y y y Y ⨯⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
2
1
22221
11211 将该矩阵进行归一化处理，即取Y 矩阵中列向量ij y 与该矩阵中所有元素之和的比值作为归一化结果，其计算公式如下：
),,2,1(,1
m j Y
y z n
i ij
ij
ij ==
∑=
其中，ij z 为归一化后矩阵中的元素；归一化后的矩阵见附录1。
在确定评价指标的熵权值时，本文规定其运算公式如下：
m j z z k x H n
i ij ij j ,,2,1,
ln )(1 =-=∑=
其中，k 为调节系数，n k ln 1=,因此2569.0=k ；ij z 为第i 个评价单元第j 个指标标准化值。
通过计算可得0569.0)(1=x H ；0155.0)(2=x H ；
1549.38)(3-=x H ；8242.4)(4-=x H 。
将评价指标的熵值转化为权重值：
m j x H m x H d m
j j j j ,,2,1,)
()(11 =--=
∑=
其中，10≤≤j d ，∑==m
j j d 1
1；至此，得到权重值，计算得出其权值如表5
所示。
表5.指标的权值
评价指标 排队长 逗留时间 周转次数 病床使用率 权重值 0.0201 0.0210 0.8347 0.1242
最后，确定各评价指标的熵权综合评价值。
将各指标的权值分别与其所对应的指标相乘后求和，其评价模型为：
),,2,1(,
4
1n i z d U j ij j ==∑=
其中，U 表示各评价指标的熵权综合评价函数。
该评价体系可以对病床的安排等作出评价，其评价结果如表6所示。