圆1 圆的形象、半径

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第8讲圆的概念和性质(word版)

8圆的概念和性质知识目标模块一圆的有关概念易错总结判断下列说法的正误，并说明理由．（1）直径是弦，弦是直径．（2）过圆心的线段是直径．（3）直径只有一条．（4）过圆内一点只能作一条直径．（5）半圆是弧，弧是半圆．（6）圆中的弧分为优弧和劣弧．（7）长度相等的弧是等弧．例1（1）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在圆上，︒=∠110BOC ，AD ∥OC ，则A O D ∠的度数为．B（2）如图，在ABC ∆中，AB 为⊙O 的直径，︒=∠60B ，︒=∠70C ，则BOD ∠的度数为．（3）如图，正方形ABCD 与BEFG 彼此相邻且内接于半圆O ，若正方形BEFG 的面积为16，则半圆O 的半径为 .【练习】（1）如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，若DE AB 2=，︒=∠18E ，则AOC ∠的度数为．AE（2）如图，点A 、D 、G 、M 在半圆上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设a BC =，b EF =，c NH =，则c b a 、、的大小关系为．HFCGO【拓展】（1）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．（2）如图，ABC ∆和ABD ∆中，︒=∠=∠90ADB ACB ．求证：A 、B 、D 、C 四点在同一个圆上，并指出该圆的圆心．模块二圆的有关性质垂径定理“知二求三”：BO 、BC 、BA 、CO 、CA 五条线段，知道其中任意两条的长，可以求出其余三条线段的长.A【例2】（1）如图，P 是⊙O 的弦上的点，6=PA ，2=PB ，⊙O 的半径为5，则=OP ．（2）如图，在Rt △ABO 中，∠O=90°，AO=2，BO=1，以O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点P ，则PB= .A【练习】如图，在⊙O 中，AB 为直线，P 为AB 上一点，过点P 作弦MN ，∠NPB=45°，若AP=2，BP=6，则MN= .A【例3】（1）如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，求证：BD AC ．（2）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 上一点，且PB 平分∠CPD ，求证：PC=PD.【练习】如图，圆O 的弦AB 、CD 交于点P ，AB=CD ，求证：OP 平分∠BPO.P【例4】（1）如图，已知AB 是半圆O 的直径，C 为半圆周上一点，M 是⌒AC 的中点，AB MN ⊥于N ，试判断MN 与AC 的数量关系并证明．NAO（2）如图，P 是⊙O 外一点，过点P 作两条割线PAB 和PCD ，点M 、N 分别是⌒AB 、⌒CD 的中点，MN 分别交AB 、CD 于E 、F 两点，求证：PEF ∆为等腰三角形．MP题型二圆周角定理二、圆周角定理四、圆周角导角思路： 1.利用同弧或等弧转化角2.利用直径构造直角三角形转化角3.利用圆的内接四边形转化角4.利用特殊数量关系构造特殊角转化角. 【例5】（1）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°，则∠OAC 的度数为．（2）如图，已知C 、D 是以AB 为直径的⊙O 上的两个点，⌒BC =⌒BD ，∠CAB ＝24°，则∠ABD 的度数为．（3）如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠CDA ＝25°，则∠AOB 的度数为．（4）如图，⊙O 的直径CB 的延长线与弦ED 的延长线交于点A ，且⌒CE =⌒BE ，∠A ＝20°，则∠C ＝．【例6】（1）如图，AB 是半圆O 的直径，D 为弧AC 的中点，∠B ＝40°，则∠C 的度数为．（2）如图，△ABC 内接于⊙O ，CH AB 于H ，连OC ，若∠HCB ＝15°，则∠ACO ＝．（3）如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，直径AB 交CD 于点E ，已知∠C ＝57°，∠D ＝45°，则∠CEB ＝．A（4）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交AC于E，若∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠AEB ＝．【例7】（1）如图，在⊙O中，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为．（2）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为．（3）如图，⊙O的半径为1，弦AB ACB＝．（4）如图，⊙O的半径为1，弦ABAC，则∠BOC＝．第8讲圆的概念和性质A基础巩固1．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝87°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数为2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝90°，则∠BCD的度数为3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE的值为．4．如图，CD为⊙O的直径，CDCE，则==AB⊥于E，8=DE，2ABC Array D5.如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为径，弦CD⊥AB，垂足是E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE，则⊙O1的半径为6．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB，∠BOC＝70°，则∠A的大小为7．如图，点O是优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D的大小为8．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB＝CD，已知CE＝1，ED＝3，则⊙O的半径为CB 综合训练9．如图，AB 、CD 分别是⊙O 上的两条弦，圆心O 到它们的距离分别是OM 、ON ．如果AB=CD ，求证：OM =ON ．A B10.如图，AB 是圆O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于E 、F ，且AE=BF ，求证：OE=OF11.已知：如图，在△ANBC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ，连接EB 交OD 于点F.（1）求证：OD ⊥BE ；（2）若DE=5，AB=5，求AE 的长.BAC数学故事蝴蝶定理蝴蝶定理这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，由于其几何图形形象奇特，貌似蝴蝶，便以此命名。

圆有关的计算公式记忆技巧

圆有关的计算公式记忆技巧圆是数学中非常重要的一个几何形状，它在日常生活和各个领域都有着广泛的应用。

在学习圆的相关知识时，我们经常需要记忆一些与圆有关的计算公式，比如圆的周长、面积、弧长、扇形面积等等。

这些公式的记忆对于解决圆相关的数学问题非常重要。

为了帮助大家更好地记忆这些公式，本文将介绍一些记忆技巧，希望能够对大家有所帮助。

1. 圆的周长公式。

圆的周长公式是一个最基本的公式，它表示了圆的周长与其半径之间的关系。

圆的周长公式可以记为，C=2πr。

其中，C表示圆的周长，π是一个无理数，约等于3.14，r表示圆的半径。

为了记忆这个公式，我们可以将其拆分成两部分进行记忆。

首先，我们可以将2πr这个部分记为“两派人”，这样有一个生动的形象，可以帮助我们更容易地记住这个公式。

2. 圆的面积公式。

圆的面积公式是另一个非常重要的公式，它表示了圆的面积与其半径之间的关系。

圆的面积公式可以记为，S=πr^2。

其中，S表示圆的面积，π和r的含义同上。

为了记忆这个公式，我们可以将其拆分成两部分进行记忆。

首先，我们可以将πr^2这个部分记为“皮肉二”，这样有一个生动的形象，可以帮助我们更容易地记住这个公式。

3. 圆的弧长公式。

圆的弧长是指圆上的一段弧的长度，它与圆的半径和圆心角的大小有关。

圆的弧长公式可以记为，L=rθ。

其中，L表示圆的弧长，r表示圆的半径，θ表示圆心角的大小（弧度制）。

为了记忆这个公式，我们可以将其拆分成两部分进行记忆。

首先，我们可以将rθ这个部分记为“人头”，这样有一个生动的形象，可以帮助我们更容易地记住这个公式。

4. 圆的扇形面积公式。

圆的扇形是指圆心角小于360°的部分，它的面积与圆的半径和圆心角的大小有关。

圆的扇形面积公式可以记为，S=1/2r^2θ。

其中，S表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示圆心角的大小（弧度制）。

为了记忆这个公式，我们可以将其拆分成两部分进行记忆。

首先，我们可以将1/2r^2θ这个部分记为“一半人”，这样有一个生动的形象，可以帮助我们更容易地记住这个公式。

24.1.1《圆的基本概念》ppt课件

AB”．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
B
O·
A
C
劣弧与优弧
小于半圆的弧叫做劣弧. （如图中的A⌒C）大于半圆的弧叫做优弧. (用三个字母表示,如图中的A⌒CB)
B
O·
A
C
1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由
首先确定圆心, 然后用5米长的绳子一端固定为圆心端,另一端系在一端尖木棒,木棒以5米长尖端划动一周,所形成的图形就是所画的圆.
议一议
小明和小强为了探究 ⊙O 中有没有最长的弦，经过了大量的测量，最后得出一致结论，直径是圆中最长的弦，你认为他们的结论对吗？试说说你的理由.
A
O
B
C
D
A
O
B
C
D
请将自己所画的圆与同伴所画的圆进行比较，它们是否能够完全重合？并思考什么情况下两个圆能够完全重合？半径相等的两个圆叫做等圆。
我国古人很早对圆就有这样的认识了，战国时的《墨经》就有 “圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径．
从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．
归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．
一端栓在柱子
上,另一端栓
着一只羊,请
6
画出羊的活动
区域.
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.
硬
币
人民币
美元
英镑
如图，观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？

2.1 圆(1)

如何判断点与圆的位置关系？只需要比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系.
知识运用
如图，已知点A，请作出到点A的距离等于2cm的点的集合．（1）这个圆的外部是满足什么条件的点的集合？（2）请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2cm的点的集合．
A
（P.39）“尝试与交流”
A
如图，已知线段PQ＝2cm. Q P （1）画出下列图形：到点P的距离等于1cm的点的集合； B 到点Q的距离等于1.5cm的点的集合．（2）在所画图中，到点P的距离等于1cm，且到点Q的距离等于 1.5cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．（3）在所画图中，到点P的距离小于或等于1cm，且到点Q的距离大于或等于1.5cm的点的集合是怎样的图形？把它表示出来．
知识运用
例1 已知⊙O的半径为4cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为 4cm、3cm呢？解：设⊙O的半径为rcm，点P到圆心O的距离为dcm．由题意得，r＝4cm．当d＝4.5cm时， ∵ d＞r，∴点P在⊙O外．当d＝4cm时， ∵ d＝r，∴点P在⊙O上．当d＝3cm时， ∵ d＜r，∴点P在⊙O内．
O
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，那么___________________________.
数学·思考
甲、乙两人分别站在图中⊙O上的A、B两点处，他俩正准备参加游戏，后来丙、丁也赶来参加，并分别站在了图中所示的P、Q两点处．如果你是甲同学，你会有怎样的看法？ B( 乙 ) Q(丁) 圆内各点到圆心的距离都小于半径．圆外各点到圆心的距离都大于半径． O
2.1
圆
数学·思考
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．圆是一条封闭的曲线. 要确定一个圆,必须确定圆的圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”．

圆1

三）用圆规画圆的方法 1、先把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；

2、再把带有针尖的一只脚固定在一点上； 3、然后把装有铅笔的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

（四）圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长。一般用字母C表示。 2、圆周率：圆的周长和它的直径的比值叫做圆周率。一般用字母π表示。 3、圆的周长计算公式：C=πd，或 C=2πr。 4、半圆的周长=πr+d或=πr+2r

2、扇环的面积 = （πR2-πr2）

（七）扇形 1、弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。 2、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 3、圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。 4、扇形的大小与这个扇形的圆心角和半径的大小有关。 5、扇形的面积=πr2 （n取决于扇形的

（八）圆的半径、直径、周长、面积的变
化

1、一个圆的半径扩大或缩小多少倍，它的直径、周长也扩大或缩小多少倍，而它的面积扩大或缩小平方倍。

2、两个圆的半径之比=直径之比=周长之比，面积之比=半径之比的平方倍。
（九）求图形阴影部分的面积的方法加法、减法、切割法、平移法。

（五）圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。 2、圆的面积计算公式：S=πr2 3、圆的面积公式的推导：把一个圆切成若干偶数等分，拼成一个长方形。拼成的长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 4、半圆的面积=πr2÷2

（六）圆环的面积

1、圆环的面积公式：S环=πR2-πr2 或S环=π（R2-r2）

（一）圆的各部分名称

《圆的认识》公开课课件

《圆的认识》公开课课件一、教学内容本节课选自小学数学六年级教材，涉及《圆的认识》章节。

详细内容包括圆的基本概念、圆的半径和直径、圆周率的认识、圆的周长和面积计算以及圆在实际生活中的应用。

二、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握圆的基本概念，理解圆的半径、直径和圆周率，并能运用这些知识解决实际问题。

2. 过程与方法：培养学生动手操作、观察、思考和合作交流的能力，提高解决问题的策略。

3. 情感态度价值观：激发学生对圆的兴趣，增强对数学美的感悟，培养创新意识和实践能力。

三、教学难点与重点教学难点：圆的周长和面积的计算方法。

教学重点：圆的基本概念、半径和直径的关系、圆周率的理解。

四、教具与学具准备教具：圆规、直尺、圆模型、多媒体课件。

学具：练习本、铅笔、圆规、直尺。

五、教学过程1. 实践情景引入展示生活中的圆形物体，如车轮、圆桌等，引导学生发现圆的特点。

2. 基本概念学习（1）教师讲解圆的基本概念，学生跟随教师一起认识圆的各个部分。

（2）学生动手操作，用圆规画圆，体会圆的特点。

3. 例题讲解（1）圆的半径和直径的关系：教师演示如何测量圆的半径和直径，引导学生发现半径和直径的关系。

（2）圆周率的理解：教师介绍圆周率的概念，学生通过计算圆的周长与直径的比值，感受圆周率的含义。

4. 随堂练习（1）让学生计算给定圆的半径和直径。

（2）计算圆的周长和面积。

5. 合作交流学生分组讨论，分享解题思路和技巧。

六、板书设计1. 圆的基本概念、半径和直径、圆周率。

2. 圆的周长和面积的计算公式。

七、作业设计1. 作业题目圆1：半径=4cm圆2：直径=10cm（2）思考：为什么圆的周长和面积与半径和直径有关？2. 答案（1）圆1：半径=4cm，直径=8cm，周长=25.12cm，面积=50.24cm²圆2：半径=5cm，周长=31.4cm，面积=78.5cm²（2）因为圆的周长和面积是由半径和直径决定的，圆周率是一个恒定的比值。

28.1 圆的概念及性质

巩固所学知识.
师：通过本节课的学习，相信同学们都会解释.
学生动手尝试
小组进行交流
总结演示小组的画法.
教师巡视指导，与学生进行交流.
学生演示教师给予评价表扬.
学生观察画圆的过程，用文字语言叙述出来.
在一个平面内，线段绕它的固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段叫做半径.
以点O为圆心的圆，记作⊙O,读作“圆OБайду номын сангаас.
27.1圆的基本概念和性质
教
学
目
标
知识技能
理解圆的概念及圆心、半径、弦、直径、弧、半圆的概念，能够画出图形并会用符号语言表示.
数学思考
经历圆的形成过程，发展学生的抽象思维和形象思维.
解决问题
由画圆的过程，探究圆的概念及与圆有关的概念，体验圆在实际生活中应用的数学道理.
情感态度
通过学生对圆的了解，充分感受几何图形的美.
使学生明白圆与实际物体的圆盘的区别.
学生能够运用所学数学知识解决实际问题，体验知识应用的成就感，更加激发学生的学习兴趣.
学生边看书边动手画图，并用符号表示，有助于学生对弦、直径、弧、半圆概念的理解和落实.
学生了解课外知识，加深对所学知识的理解运用.
拓展学生知识面，增加学生兴趣。为学生提供自我提高的机会，使不同层次学生都有不同收获.
1.课本习题.
2.试证明直径是圆中最大的弦.
3.求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上.
活动六：课堂小结
本节课你的收获是什么？
布置作业
习题.
教师引导学生观察总结：圆上各点到定点的距离都等于定长
到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.

园的介绍

O
r
·
与圆有关的概念
弦连接圆上任意两点的线段（连接圆上任意两点的线段（如图 AC）叫做弦，叫做弦经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．叫做直径经过圆心的弦（
B O
在圆中有长度不等的弦，在圆中有长度不等的弦，直径是圆中最长的弦。直径是圆中最长的弦。最长的弦
C
·
A
弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称圆弧弧．以A、B为端点的弧记作 ⌒ ，读作 AB “弧AB ”．．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条每一条弧都叫做半圆半圆．弧，每一条弧都叫做半圆．
C
同心圆：圆心相同，半径不相等。同心圆：圆心相同，半径：判断下列说法的正误： )
)
(1)弦是直径； (1)弦是直径；( 弦是直径 (2)半圆是弧； (2)半圆是弧；半圆是弧
(
(3)过圆心的线段是直径； (3)过圆心的线段是直径； ( 过圆心的线段是直径 (4)过圆心的直线是直径； (4)过圆心的直线是直径；( 过圆心的直线是直径
B O
·
C
A
劣弧与优弧
小于半圆的弧（如图中的小于半圆的弧（
⌒ ）叫做劣弧；叫做劣弧；劣弧 AC
大于半圆的弧（用三个字母表示，大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中叫做优弧优弧. 的 ABC ）叫做优弧.
⌒
B O
·
C
A
同圆：同圆：圆心相同，半径相等。
A
圆心不同，半径相等。等圆：圆心不同，半径相等。 B
圆是生活中常见的图形，圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象. 们以圆的形象.
二、圆的概念
如图，在一个平面内，如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个旋转一周，端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆． A 叫做圆心固定的端点O叫做圆心叫做半径线段OA叫做半径为圆心的圆，以点O为圆心的圆，记作 “⊙O ”，读作“圆，读作“ O ”．．

公开课之《圆的认识》教案

公开课之《圆的认识》教案一、教学内容本节课选自小学数学五年级下册教材《圆的认识》。

教学内容主要包括：圆的定义、圆的基本性质、圆的直径与半径、圆的周长与面积等。

详细内容涉及教材第二章第二节：圆的定义及基本性质，以及第二节圆的周长与面积计算。

二、教学目标1. 让学生掌握圆的基本概念，理解圆的定义及其相关性质。

2. 培养学生运用圆的相关知识解决实际问题的能力，提高学生的数学思维能力。

3. 培养学生的动手操作能力和合作精神，激发学生学习数学的兴趣。

三、教学难点与重点教学难点：圆的周长与面积的计算方法，圆的性质的理解。

教学重点：圆的定义，圆的直径与半径的关系，圆的周长与面积的计算。

四、教具与学具准备教具：圆规、直尺、量角器、多媒体课件。

学具：圆规、直尺、量角器、练习本、铅笔。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过展示生活中的圆形物体，如车轮、硬币、圆桌等，引导学生观察、思考，激发学生对圆的兴趣。

2. 教学圆的定义与性质（15分钟）（1）教师讲解圆的定义，引导学生理解圆的概念。

（2）学生通过观察、操作，发现圆的基本性质，如半径相等、直径垂直于半径等。

3. 教学圆的周长与面积计算（15分钟）（1）教师讲解圆的周长与面积的计算方法。

（2）学生通过例题讲解、随堂练习，掌握圆的周长与面积的计算。

4. 例题讲解（10分钟）讲解教材课后习题，巩固圆的相关知识。

5. 随堂练习（10分钟）学生独立完成教师布置的练习题，巩固所学知识。

6. 小组讨论与合作（15分钟）学生分组讨论，共同探讨圆在实际生活中的应用，培养学生的合作精神。

六、板书设计1. 圆的定义与性质2. 圆的周长与面积计算3. 例题讲解4. 随堂练习七、作业设计1. 作业题目：（1）计算下列各圆的周长与面积。

圆1：半径为5cm圆2：直径为10cm（2）画出圆的对称轴，并说明对称轴的数量。

2. 答案：（1）圆1的周长：31.4cm，面积：78.5cm²圆2的周长：31.4cm，面积：78.5cm²（2）圆的对称轴有无数条。

圆的有关概念总结

圆的有关概念1、圆的定义①描述性定义：如图在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一端点A随之旋转所形成的图形叫圆，记作⊙O，读作“圆O”．固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．注意：描述性定义直观形象地描述了圆的形成过程，由此可见，确定圆的条件是圆心和半径．②点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为半径．注意：点集定义准确深刻地揭示了圆的本质属性，它包括两个方面的含义：一是圆上任意一点到圆心(定点)的距离都等于定长(半径)；二是所有和圆心的距离等于定长(半径)的点都在圆上．(2)弦与直径①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．②直径：经过圆心弦，称为直径．注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．(3)弧、优弧、劣弧、半圆①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．②半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．2、圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．3、垂径定理及推论定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．4、圆心角圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．6、圆周角(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．与圆有关的位置关系1、点和圆的位置关系如果圆的半径为r，已知点到圆心的距离为d，则可用数量关系表示位置关系．(1)d＞r点在圆外；(2)d=r点在圆上；(3)d＜r点在圆内．2、确定圆的条件不在同一直线上的三个点确定一个圆．3、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．三角形的外心：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．注意：①要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上，“外”是指三角形外，“内”是指圆内．②三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形，从不同角度的两种说法．(2)三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等．②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是惟一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．4直线和圆的位置关系的定义及有关概念(1)直线与圆的位置关系有关概念①相交与割线：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．②切线与切点：直线和圆有惟一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，惟一的公共点叫做切点．③相离，当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．(2)用数量关系判断直线与圆的位置关系如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交d＜r(如图(1)所示)；(2)直线l和⊙O相切d=r(如图(2)所示)；(3)直线l和⊙O相离d＞r(如图(3)所示)．6、切线(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．(3)切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．(4)切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．7、三角形的内切圆与三角形的内心①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．这个三角形叫做圆的外切三角形．②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，三角形的内心到三边的距离相等．8、圆和圆的位置关系(1)图示定义法(交点数)①相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，如上图(1)、(5)、(6)所示，其中(1)又叫做外离，(5)(6)叫做内含；②相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图(2)、(3)所示，其中(2)叫外切，(3)叫内切；③相交：如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图(4)所示．注意：圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0，1，2三大类即：(Ⅰ)没有公共点： (Ⅱ)有惟一公共点： (Ⅲ)有两个公共点：相交(2)用数量关系判断两圆的位置关系当两圆的半径一定时，两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)的大小有关，设两圆半径分别为R 和r(R ＞r)，圆心距为d ，则：(1)两圆外离d ＞R ＋r ； (2)两圆外切d=R ＋r ；(3)两圆相交R －r ＜d ＜R ＋r ；(4)两圆内切d=R －r ； (5)两圆内含d ＜R －r ．1. 圆周长：r 2C π= 圆面积：2r S π=2. 圆的周长C 与半径R 之间存在关系R 2C π=，即360°的圆心角所对的弧长，因此，1°的圆心角所对的弧长就是360R2π。

第五单元《圆的认识》(大单元备课)

3.培养学生的数据分析能力，通过计算圆的周长和面积，使学生掌握数学建模和解决问题的方法。
4.培养学生的创新意识和实践能力，将圆的知识应用于实际讨论和分享，提高学生在团队中的沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解圆的基本概念：圆的定义、半径、直径、圆周率等，这是学习后续圆的性质和计算的基础。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的基本概念、周长和面积的计算以及圆在实际生活中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的认识。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节课后，我对自己教学过程中的优点和需要改进的地方进行了反思。首先，我注意到在导入新课环节，通过提问日常生活中的圆形物体，成功引起了学生的兴趣，他们积极参与，课堂氛围活跃。这一点在今后的教学中，我还会继续运用，让学生的好奇心成为他们学习的动力。
2.教学难点
-圆周角定理的理解与应用：圆周角定理较为抽象，学生需要通过实例和图形来理解并掌握其应用。
-圆与直线的交点问题：判断直线与圆的位置关系，找出交点，特别是当直线为切线时，学生容易混淆。
-圆与圆位置关系的判断：如何根据两圆的半径和圆心距离判断两圆的相交、内含或外离关系。
-实际问题中的圆的应用：将圆的知识应用于现实生活中的问题，如设计圆形花园、计算圆形跑道的长度等。
5.圆与圆的关系：两圆的位置关系、两圆的公切线、两圆的相交弦等。
6.圆在实际问题中的应用：如圆的轨迹、圆形图案的设计等。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念和几何直观，通过探究圆的性质，提高学生对图形的认识和理解能力。
2.培养学生的逻辑思维和推理能力，运用圆的相关性质解决实际问题，加强学生的几何论证能力。

圆的半径和圆心坐标公式

圆的半径和圆心坐标公式1. 圆的基本概念好吧，今天咱们聊聊圆的事儿。

说到圆，大家脑海中是不是立刻浮现出那完美的形状？就像是个完美的饼，或者是被切了一块的披萨。

圆，听起来简单，但其实它的背后有很多奥秘呢。

想象一下，你在公园里溜达，看到一颗大树，树下的影子就是个圆。

再比如，篮球场上的罚球圈，也是个圆圈。

圆的半径和圆心坐标这两个小伙伴，就是理解圆的关键所在。

半径就是从圆心到圆上任何一点的距离，而圆心呢，就是圆的“家”，也就是圆的中心。

简单吧？2. 圆心坐标2.1 圆心的神秘坐标说到圆心坐标，大家有没有觉得很神秘？其实，它就是一个点，咱们通常用两个数字来表示，比如 (x, y)。

这个坐标就像是你在城市地图上的位置，告诉你这个圆圈在平面上的“家”。

不管你是东南西北，还是南山北海，只要你有这个坐标，就能找到圆心在哪里。

嘿，想象一下，如果圆心是个小家伙，他的坐标就像他的身份证，缺了可不行！2.2 圆心的“气场”更有趣的是，圆心不仅仅是个数字，它还自带一种“气场”。

想象一下，如果圆心是一位主宰，他的半径就是他的权力范围。

从圆心到圆周的每一寸地方，都是他的领地。

换句话说，半径越长，圆的“影响力”就越大。

像咱们常说的“气场强大”，就是这个意思。

哈哈，这样形象吧？3. 圆的半径3.1 半径的定义与意义那么，半径究竟是什么呢？其实，半径就像是你和朋友之间的关系，距离越近，感情就越深。

圆的半径就是从圆心到圆周的距离，简单来说，就是一根无形的“绳子”，把圆心和圆的边缘连在了一起。

一般我们用字母 r 来表示它，这个小家伙在数学中可是大明星。

它的存在让我们能够计算圆的面积和周长，简直是圆圈的“万能钥匙”！3.2 半径的实际应用说到这里，你可能会问，半径和我们的生活有什么关系呢？哦，那可多了去了！无论是设计一个花坛，还是测量一个游泳池的直径，半径都是必不可少的。

想象一下，你在公园里，想要画个完美的圆圈，只需要找到圆心，然后用个绳子量出半径，就能画出一个像“太阳”一样的圆。

利用圆设计图案知识点

利用圆设计图案知识点圆是大自然中常见的形状，也是数学中重要的几何图形之一。

利用圆设计图案可以产生各种美观而有趣的效果，无论是在艺术创作、建筑设计还是产品设计中，都能发挥独特的作用。

本文将介绍一些利用圆设计图案的知识点，帮助读者更好地运用圆形元素进行创作。

一、圆的构成和性质圆由无数相等距离的点组成，这些点到圆心的距离都相等。

圆的主要性质包括直径、半径、圆心、弧等。

1. 直径：圆上任意两点之间经过圆心的线段称为直径，直径的两端点称为圆的端点。

直径的长度是圆最长的线段。

2. 半径：从圆心到圆上任意一点的线段称为半径，半径的长度相等。

3. 圆心：圆的中心点称为圆心，通常用字母O表示。

4. 弧：圆上两点之间的弧是指连接这两点的线段所夹的圆心角部分。

弧可以分为弦弧和切线弧，弧的长度也可以用弧度来表示。

二、圆形元素的应用利用圆的构成和性质，我们可以设计出各种各样的图案和艺术作品。

1. 圆形的排列：通过将多个圆形元素进行排列，可以形成美观的图案，如著名的环形壁画。

这种图案常用于装饰墙面或平面设计中。

2. 圆形的变形和组合：通过变换圆形的尺寸、位置和颜色，可以创造出各种变化多样的图案效果。

例如，在平面设计中，可以通过多个大小不同的圆形元素组合起来，形成丰富的视觉效果。

3. 圆的切割和拼接：将圆进行切割和重新拼接，可以得到形状各异的图案和构图元素。

这种方法常用于拼贴艺术和设计中，能够创造出有趣的视觉效果。

4. 圆的运动效果：利用圆的旋转和运动性质，可以设计出动态的图案和动画效果。

例如，在电影片头设计中，常常使用旋转的圆形元素来展示震撼的画面效果。

三、圆形的象征意义圆形具有完整、和谐、无限的象征意义，因此在设计中经常被用于传递特定的情感和理念。

1. 完整和谐：圆形代表完整和和谐，寓意事物的完美和统一。

在室内设计中，使用圆形元素可以营造出舒适和谐的氛围。

2. 无限延伸：圆形的边界没有起始和终点，代表无限的延伸和无限的可能性。

9《圆1》

星火教育一对一辅导教案学生姓名性别年级初三学科数学授课教师杜娟上课时间2014年11月8 日第（9 ）次课共（18）次课课时：25-27课时教学课题圆教学目标1、了解圆的相关概念及圆和弧的表示方法；2、掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论；3、掌握圆周角与圆心角的概念与性质，并会进行计算应用。

教学重点与难点掌握垂直于弦的直径的性质定理及其推论教学过程一、作业检查作业完成情况：优□良□中□差□二、内容回顾三、知识整理知识点1：圆的概念1.圆的定义：定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

定义2 ：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”2. 弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。

（如图中的CD）直径等于半径的2倍。

（3）弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

（4）半圆、优弧、劣弧圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

小于半圆的弧叫做劣弧（如），大于半圆的弧叫做优弧（如）（5）同心圆圆心相同、半径不相等的两个圆叫做同心圆。

（6）等圆：能够重合的两个圆或者半径相等的两个圆叫做等圆（7）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

知识点2：垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论4：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距。

圆1

A圆一、圆1、基本概念圆的定义1：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，•点A 所形成的图形叫做圆．固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径．以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”．⑴图上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； ⑵到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．圆的定义2：所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ；直径：经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB ；弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，以A 、C 为端点的弧记作AC ，读作“弧AC ”．半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧与劣弧：圆的任意一条弦（非直径）的两个端点把圆分成两条弧，如图线段AC ．大于半圆的弧，如ABC ，叫做优弧（优弧常用三个字母表示），小于半圆的弧，如AC ，叫做劣弧．等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

（半径相等的两个圆是等圆）等弧：在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧．2、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的具体几何描述：如果：直径CD 、弦AB ，且CD ⊥AB ，垂足为M ．则有：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.证明垂径定理：已知：直径CD 、弦AB ，且CD ⊥AB ，垂足为M 求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中OA OBOM OM =⎧⎨=⎩∴Rt △OAM ≌Rt △OBM （HL ） ∴AM=BM ∵⊙O 关于直径CD 对称 ∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合． ∴AC BC =，AD BD =垂径定理推论：平分弦（非直径．．．）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两段弧．（试进行理念证明）巩固练习1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（）．A ．CE=DEB ．BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC > AD(1) (2) (3)2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．83．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，•则下列结论中不正确的是（）A ．AB ⊥CD B ．OA = OBC ．AD BD D ．PO=PD3、弧、弦、圆心角圆心角：如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．作相等的圆心角∠AOB •=∠A ′OB ′（将∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置） ∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合， ∴AB=A ′B ′ AB =''A B定理：⑴在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．⑵在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等． ⑶在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．总之，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量对应相等，它们所对应的其余各组量也相等。

圆1 圆的形象、半径

第8讲 圆的概念和性质(word版)

圆有关的计算公式记忆技巧

24.1.1《圆的基本概念》ppt课件

2.1 圆(1)

圆1

《圆的认识》公开课课件

28.1 圆的概念及性质

园的介绍

公开课之《圆的认识》教案

圆的有关概念总结

第五单元《圆的认识》(大单元备课)

圆的半径和圆心坐标公式

利用圆设计图案知识点

9《圆1》

圆1

第8讲圆的概念和性质(word版)