2020-2021全国各地备战中考模拟试卷数学分类：相似综合题汇编附详细答案

（2）解：∵ 四边形 ABED 内接于⊙O，∴ ∠ CED=∠ CAB，
∵ ∠ C=∠ C，∴ △ CED∽ △ CAB，∴
，
∵ AB=BC=10，CE=2，D 是 AC 的中点，
∴ CD= ；
（3）解：延长 EF 交⊙O 于 M，
在 Rt△ ABD 中，AD= ，AB=10，
∴ BD=3 ， ∵ EM⊥AB，AB 是⊙O 的直径，
2020-2021 全国各地备战中考模拟试卷数学分类：相似综合题汇编附详细答案
一、相似
1．如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AD，BC 的中点，连接 DF，过点 E 作 EH⊥DF，垂足为 H，EH 的延长线交 DC 于点 G．
（1）猜想 DG 与 CF 的数量关系，并证明你的结论； （2）过点 H 作 MN∥ CD，分别交 AD，BC 于点 M，N，若正方形 ABCD 的边长为 10，点 P 是 MN 上一点，求△ PDC 周长的最小值． 【答案】（1）解：结论：CF=2DG． 理由：∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD=BC=CD=AB，∠ ADC=∠ C=90°， ∵ DE=AE， ∴ AD=CD=2DE， ∵ EG⊥DF， ∴ ∠ DHG=90°， ∴ ∠ CDF+∠ DGE=90°，∠ DGE+∠ DEG=90°， ∴ ∠ CDF=∠ DEG， ∴ △ DEG∽ △ CDF，
∴ 存在点
，使△ ACP 的面积最大．
（3）解：存在点 Q，坐标为：
，
．
分△ BQE∽ △ AOC，△ EBQ∽ △ AOC，△ QEB∽ △ AOC 三种情况讨论可得出
【解析】【分析】（1）由题意知抛物线过点 A（－3，0），B（1，0），所以用待定系数
法即可求解；
（2）因为三角形 ACP 是任意三角形，所以可做辅助线，连接 PO，作 PM⊥x 轴于 M，
6．如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC 的平分线交 AC 于点 E，过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F，⊙O 是△ BEF 的外接圆．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）过点 E 作 EH⊥AB，垂足为 H，求证：CD=HF； （3）已知：CD=1，EH=3，求 AF 的长． 【答案】（1）证明：如图，连接 OE． ∵ BE 平分∠ ABC， ∴ ∠ CBE=∠ OBE， ∵ OB=OE， ∴ ∠ OBE=∠ OEB， ∴ ∠ OEB=∠ CBE， ∴ OE∥ BC， ∴ ∠ AEO=∠ C=90°， ∴ AC 是⊙O 的切线；
角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。
3．如图，在⊙O 中，直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，点 M 在 OD 上，AM 的延长线交⊙O 于 点 G，交过 D 的直线于 F，且∠ BDF=∠ CDB，BD 与 CG 交于点 N．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）连结 MN，猜想 MN 与 AB 的位置有关系，并给出证明． 【答案】（1）证明：∵ 直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，
2．已知：如图，在△ ABC 中，AB=BC=10，以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC，BC 于点 D，E， 连接 DE 和 DB，过点 E 作 EF⊥AB，垂足为 F，交 BD 于点 P．
（1）求证：AD=DE；
（2）若 CE=2，求线段 CD 的长； （3）在（2）的条件下，求△ DPE 的面积． 【答案】（1）解：∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ ADB=90°，即 BD⊥AC ∵ AB=BC， ∴ △ ABD≌ CBD ∴ ∠ ABD=∠ CBD 在⊙O 中，AD 与 DE 分别是∠ ABD 与∠ CBD 所对的弦 ∴ AD=DE；
性质得出∠ NCB=∠ NBC=22.5°，故∠ ENC=∠ NBC+∠ NCB=45°，△ ENC 的等腰直角三角形，根
据 等 腰 直 角 三 角 形 边 之 间 的 关 系 得 出 NC= EC ， 根 据 AD=2EC ， 2NC=
AD ，
AD= NC，又 BN=NC，故 AD= BN．
5．在平面直角坐标系中，二次函数 （1，0）两点，与 y 轴交于点 C．
，=,
即 是
的切线
（2）解：猜想：MN∥ AB． 证明：连结 CB．
∵ 直径 AB 经过弦 CD 的中点 E，
∴ =,=, ∴ ∵ ∴
∴ ∵ ∴
∵
∵ ∴ ∴ ∴ MN∥ AB．
【解析】【分析】（1）要证 DF 是⊙O 的切线，由切线的判定知，只须证∠ ODF= 即
可。由垂径定理可得 AB⊥CD，则∠ BOD+∠ ODE= ，而∠ ODF=∠ CDF+∠ ODE，由已知易 得∠ BOD=∠ CDF，则结论可得证； （ 2 ） 猜 想 ： MN∥ AB ． 理 由 ： 连 结 CB ， 由 已 知 易 证 △ CBN∽ △ AOM ， 可 得 比 例 式
的图象与 轴交于 A（－3，0），B
（1）求这个二次函数的解析式； （2）点 P 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点 P，使△ ACP 的面积最大？若存 在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）点 Q 是直线 AC 上方的抛物线上一动点，过点 Q 作 QE 垂直于 轴，垂足为 E．是否 存在点 Q，使以点 B、Q、E 为顶点的三角形与△ AOC 相似？若存在，直接写出点 Q 的坐 标；若不存在，说明理由；
∴ △ ABM∽ △ ECM ， ∴
，∴
， ∵ ∠ AME=∠ BMC ， ∴ △ AME∽ △ BMC ，
∴ ∠ AEM=∠ ACB=45° ， ∴ ∠ AEC=135° ， 易 知 ∠ PEQ=135° ， ∴ ∠ PEQ=∠ AEC ，
∴ ∠ AEQ=∠ EQC，∵ ∠ P=∠ EQC=90°，∴ △ EPA≌ △ EQC，∴ EP=EQ，∵ EP⊥BP，EQ⊥BC
∴
，
∴ ∠ BEP=∠ EDB，
∴ △ BPE∽ △ BED，百度文库
∴
，
∴ BP=
，
∴ DP=BD-BP=
，
∴ S△ DPE：S△ BPE=DP：BP=13：32，
∵ S△ BCD= ×
×3
∴ S△ BDE=12，
=15，S△ BDE：S△ BCD=BE：BC=4：5，
∴ S△ DPE= ． 【解析】【分析】（1）根据已知条件 AB 是⊙O 的直径得出∠ ADB=90°，再根据等腰三角 形的三线合一的性质即可得出结论。 （ 2 ） 根 据 圆 内 接 四 边 形 的 性 质 证 得 ∠ CED=∠ CAB ， 再 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 证 出 △ CED∽ △ CAB，得出对应边成比例，建立关于 CD 的方程，即可求出 CD 的长。 （3）延长 EF 交⊙O 于 M，在 Rt△ ABD 中，利用勾股定理求出 BD 的长，再证明 △ BPE∽ △ BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出 BP 的长，然后根据等高的三
∴ = =， ∴ CF=2DG （2）解：作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，
此时△ PDC 的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ∴ EH=2DH=2 ，
，DH=
∴ BE 平 分 ∠ ABC ， ∴ ∠ NBC=∠ ABN=22.5° ， ∵ AH 垂 直 平 分 BC ， ∴ NB=NC ，
∴ ∠ NCB=∠ NBC=22.5°，∴ ∠ ENC=∠ NBC+∠ NCB=45°，∴ △ ENC 的等腰直角三角形，∴ NC=
EC，∴ AD=2EC，∴ 2NC= AD，∴ AD= NC，∵ BN=NC，∴ AD= BN．
， ∴ AM=
=1 ， ∴ CM=CA ﹣ AM=2 ， ∴ S△ BCM=
（2）解：如图 2 中，连接 EC、CN，作 EQ⊥BC 于 Q，EP⊥BA 于 P．
•CM•BA=
∵ AE=ED ， ∠ ACD=90° ， ∴ AE=CE=ED ， ∴ ∠ EAC=∠ ECA ， ∵ △ ABM≌ △ CAD ， ∴ ∠ ABM=∠ CAD ， ∴ ∠ ABM=∠ MCE ， ∵ ∠ AMB=∠ EMC ， ∴ ∠ CEM=∠ BAM=90° ，
（2）作点 C 关于 NM 的对称点 K，连接 DK 交 MN 于点 P，连接 PC，此时△ PDC 的周长最
短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，由题意得 CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，
EG= ，根据面积法求出 DH 的长，然后可以判断出△ DEH 相似于△ GDH，根据相似三角 形对应边的比等于相似比得出 EH=2DH= ，再根据面积法求出 HM 的长，根据勾股定理 及矩形的性质及对称的性质得出 DM=CN=NK= 1，在 Rt△ DCK 中，利用勾股定理算出 DK 的 长，从而得出答案。
（1）若 AB=3，AD= ，求△ BMC 的面积； （2）点 E 为 AD 的中点时，求证：AD= BN ． 【答案】（1）解：如图 1 中，
在 △ ABM 和 △ CAD 中 ， ∵ AB=AC ， ∠ BAM=∠ ACD=90°， AM=CD ， ∴ △ ABM≌ △ CAD ，
∴ BM=AD= ×23=3．
【解析】【分析】（1）首先利用 SAS 判断出△ ABM≌ △ CAD，根据全等三角形对应边相等
得出 BM=AD= ，根据勾股定理可以算出 AM，根据线段的和差得出 CM 的长，利用
S△ BCM= •CM•BA 即可得出答案； （2）连接 EC、CN，作 EQ⊥BC 于 Q，EP⊥BA 于 P．根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半得出 AE=CE=ED，根据等边对等角得出∠ EAC=∠ ECA，根据全等三角形对应角相等 得出∠ ABM=∠ CAD，从而得出∠ ABM=∠ MCE，根据对顶角相等及三角形的内角和得出 ∠ CEM=∠ BAM=90°，从而判断出△ ABM∽ △ ECM，由相似三角形对应边成比例得出 BM∶ CM= AM∶ EM,从而得出 BM∶ AM= CM∶ EM，根据两边对应成比例及夹角相等得出
【答案】（1）解：由抛物线
过点 A（－3，0），B（1，0），
则
解得 ∴ 二次函数的关系解析式 （2）解：连接 PO，作 PM⊥x 轴于 M，PN⊥y 轴于 N．
设点 P 坐标为（m，n），则
．
PM =
，
，AO=3．
当
时，
∴ OC=2．
＝2．
＝
＝
＝
．
∵ ＝－1＜0，∴ 当
时，函数
有最大值．
此时
＝．
△ AME∽ △ BMC，故∠ AEM=∠ ACB=45°，∠ AEC=135°，易知∠ PEQ=135°，故∠ PEQ=∠ AEC，
∠ AEQ=∠ EQC，又∠ P=∠ EQC=90°，故△ EPA≌ △ EQC，故 EP=EQ，根据角平分线的判定得出 BE 平分∠ ABC，故∠ NBC=∠ ABN=22.5°，根据中垂线定理得出 NB=NC，根据等腰三角形的
=，
∴ HM=
=2，
∴ DM=CN=NK=
=1，
在 Rt△ DCK 中，DK=
=
=2 ，
∴ △ PCD 的周长的最小值为 10+2 ．
【 解 析 】 【 分 析 】 （ 1 ） 结 论 ： CF=2DG ． 理 由 如 下 ： 根 据 正 方 形 的 性 质 得 出 AD=BC=CD=AB，∠ ADC=∠ C=90°，根据中点的定义得出 AD=CD=2DE，根据同角的余角相等 得出∠ CDF=∠ DEG，从而判断出△ DEG∽ △ CDF，根据相似三角形对应边的比等于相似比即 可得出结论；
，于是由已知条件可转化为
， ∠ ODB 是 公 共 角 ， 所 以 可 得
△ MDN∽ △ ODB，则∠ DMN=∠ DOB，根据平行线的判定可得 MN∥ AB。
4．如图，在△ ABC 中，AB=AC，∠ BAC=90°，AH⊥BC 于点 H，过点 C 作 CD⊥AC，连接 AD，点 M 为 AC 上一点，且 AM=CD，连接 BM 交 AH 于点 N，交 AD 于点 E．
PN⊥y 轴于 N．则三角形 ACP 的面积=三角形 APM 的面积+矩形 PMON 的面积-三角形 AOC
的面积-三角形 PCN 的面积。于是可设点 P 的 横坐标为 m，则纵坐标可用含 m 的代数式表
示出来，即 M（m,− − m + 2）, 则三角形 ACP 的面积可用含 m 的代数式表示，整理可得是一个二次函数，利用二次函数的 性质即可求解； （ 3 ） 根 据 对 应 顶 点 的 不 同 分 三 种 情 况 （ △ BQE∽ △ AOC ， △ EBQ∽ △ AOC ， △ QEB∽ △ AOC）讨论即可求解。