高考数学专题3第3讲.docx

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第3讲大题专攻——三角函数与解三角形 2023高考数学二轮复习课件

22
∴ba＝ssiinn BA＝
3 3
＝2 3
6.
3
目录
解三角形中的证明问题
【例3】 (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
解证明：法一：由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)可得，sin Csin Acos
目录
2．(2021·新高考全国Ⅱ卷)(正、余弦定理，三角形面积公式)在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；解：由2sin C＝3sin A及正弦定理可得2c＝3a. 结合b＝a＋1，c＝a＋2，解得a＝4，b＝5，c＝6. 在△ABC 中，由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝16＋2450－36＝18，所以 sin
C＝ 1－cos2C＝387，所以 S△ABC＝12absin C＝12×4×5×387＝154 7.
目录
(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；
若不存在，说明理由．
解：设存在正整数a满足条件，由已知c＞b＞a，所以C为钝角．
所以cos
C＝
Байду номын сангаас
a2＋b2－c2 2ab
＜0⇒a2＋b2＜c2⇒a2＋(a＋1)2＜(a＋2)2⇒(a＋1)(a
目录
三角形中基本量的求解
【例2】 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1

2015高考数学一轮课件：第3篇第3讲三角函数的图象与性质

因为
f(x)＝sin
x－cos xsin sin x
(1)(教材习题改编)由 sin(30°＋120°)＝sin 30°知，120°是正
弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．
(×)
(2)函数 y＝tan2x＋3π的最小正周期为2π. 2．判断奇偶性与对称性
(√)
(3)函数 y＝sin2x＋32π是奇函数．
(×)
(4)函数 y＝sin x 的对称轴方程为 x＝2kπ＋π2(k∈Z)．( × )
第3讲三角函数的图像与性质
[最新考纲] 1．能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图像，了解三角函
数的周期性． 2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在
－2π，π2上的性质.
诊断基础知识
突破高频考第点一页，编辑于星培期五养：解十三题点能四十力五分。
知识梳理正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中k∈Z).
诊断基础知识
突破高频考第点四页，编辑于星培期五养：解十三题点能四十力五分。
3．求三角函数的单调区间
(5)函数 f(x)＝sin(－2x)与 f(x)＝sin 2x 的单调增区间都是
kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)． (6)函数 y＝tan x 在整个定义域上是增函数．
( ×) (× )
4．求三角函数的最值
二是对于 y＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数，如(6)．三是函数 y＝sin x 与 y＝cos x 的最大值为 1，最小值为－1，不存在一个值使 sin x＝32，如(7)．
诊断基础知识
突破高频考第点七页，编辑于星培期五养：解十三题点能四十力五分。

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题3_第3讲_平面向量(含答案)

A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
（2）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是()
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－1,0)
（2）a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
4．平面向量的三个性质
（1）若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
（2）若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
（3）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.
热点一平面向量的概念及线性运算
例1（1）(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()
思维启迪(1)根据平面向量基本定理解题．(2)构造三点共线图形，得到平面向量的三点共线结论，将此结论与＝m＋n对应．
思维升华对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆．如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则．同时，要抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现．
（1）(2014·江苏) 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
（2）已知点G是△ABC的重心，若∠A＝120°，·＝－2，则||的最小值是________．
热点三平面向量与三角函数的综合
例3已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中0<α<x<π.

【金版教程】届高考数学总复习第3章第3讲三角函数的图象与性质课件理新人教A版

求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基
本思路是把ωx＋φ看作一个整体，由－
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
π 2
＋
2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由
π 2
＋2kπ≤ωx＋φ≤
3π 2
＋2kπ(k
∈Z)求得函数的减区间．若在y＝Asin(ωx＋φ)中，ω<0，则应
先利用诱导公式将解析式转化，使x的系数变为正数，再进行
(1)y＝cos(x＋π3)(x∈[0，π])的值域________． (2)y＝tan(4π－x)的单调递减区间__________.
1.f(x＋T)＝f(x) 最小最小正周期
想一想：提示：f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x＋4)
＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数．
____
________
________
____
y＝tanx
无最值
____ ________ 无对称轴
____
判断以下命题的正误． ①y＝sinx在第一象限是增函数．( ) ②y＝cosx在[0，π]上是减函数．( ) ③y＝tanx在定义域上为增函数．( ) ④y＝|sinx|的周期为2π.( ) ⑤y＝ksinx＋1，x∈R则y的最大值为k＋1.( )
Z)
π＋2kπ(k∈Z)
奇
偶
奇
(kπ，0)，k∈Z
(kπ＋
π 2
，
0)，k∈Z
(
kπ 2
，0)，k∈Z
x＝kπ＋
π 2
，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
2π 2π π
判一判：①× ②√ ③× ④× ⑤×

高三数学第三章第3课时精品课件

求 cos β 的值．
0，π ，∴－π<α－β<π，解：∵α，β∈ 2 2 2
1 π 1 又∵tan(α－β)＝－ <0，∴－ <α－ β<0.∴ 2 ＝1＋ 3 2 cos α－β 10 3 10 10 tan (α－β)＝ .cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－ . 9 10 10 4 3 又∵sin α＝，∴cos α＝ .∴cos β＝cos[α－(α－β)] 5 5 ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 3 3 10 4 10 10 ＝ × ＋ × －＝ . 5 10 5 10 10
第3课时
两角和与差的正弦、
余弦和正切公式
2014高考导航
备考指南 1.本节是高考考查的重点内容，主 1.会用向量的数量积推导要为利用同角三角函数关系式、出两角差的余弦公式．诱导公式、两角和与差的正弦、 2.能利用两角差的余弦公余弦、正切公式进行简单的三角式导出两角差的正弦、化简、求值等．正切公式． 2.从题型上看，选择题、填空题、 3.能利用两角差的余弦公解答题都可能出现．其中选择题、式导出两角和的正弦、填空题主要考查化简、求值等问余弦、正切公式，导出题．在函数y＝Asin(ωx＋α)的图像二倍角的正弦、余弦、与性质、解三角形、平面向量的正切公式，了解它们的综合问题中，也常用到本节知识，内在联系. 题目多属于中低档题. 考纲展示
答案： 3
目录
考点探究•讲练互动
考点突破
考点1 三角函数式的化简、求值例1 化简与求值： cos 10° (1)(tan 10° 3)· －； sin 50°
(2)3 15sin x＋3 5cos x； 2 3 (3)在△ABC 中，∠C＝120° ，tan A＋tan B＝，求 3 tan Atan B 的值．

2023年高考数学课后精练第3讲利用导数研究函数的性质(解析版)

第3讲利用导数研究函数的性质【题型精练】一、单选题1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->，且()20f -=，则不等式()0f x x >的解集是（） A ．()()2,00,2- B ．()(),22,-∞-+∞ C ．()()2,02,-+∞D ．()(),20,2-∞-【答案】C 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，'2()()0xf x f x x ->， ∴()f x x 为增函数，()f x 为偶函数，()f x x 为奇函数， ∴()f x x在(),0-∞上为增函数， ∵()()220f f -==，若0x >，()202f =，所以2x >；若0x <，()202f -=-，()f x x 在(),0-∞上为增函数，可得20x -<<，综上得，不等式()0f x x>的解集是()()2,02,-+∞.故选：C.2．（2021·河南·高三月考（文））函数()2e 21xf x x x x =---的极大值为（）A ．1-B ．1e- C ．ln 2 D ．()2ln 21--【答案】B 【详解】由()2e 21xf x x x x =---可得()()()()1e 221e 2x x f x x x x '=+--=+-，由()0f x '>可得：ln 2x >或1x <-，由()0f x '<可得1ln 2x -<<，所以()f x 在(),1-∞-单调递增，在()1,ln 2-单调递减，在()ln 2,+∞单调递增，所以1x =-时，()f x 取得极大值为()111121e ef -=--+-=-，故选：B.3．（2021·全国·高三月考（文））函数321()3f x x ax =-在(2,1)--上单调递减则实数a 的取值范围为（）A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,)+∞D ．[1,)-+∞【答案】B 【详解】2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，∵()f x 在(2,1)--上单调递减，∴()0f x '≤在(2,1)--上恒成立，由二次函数()(2)f x x x a '=-的图象可知22a ≤-，即1a ≤-．故选：B4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数()ln f x kx x =-在[1,)+∞单调递增的一个必要不充分条件是（） A ．2k > B ．1k C ．1k > D ．0k >【答案】D 【详解】由题得1()f x k x'=-，函数()ln f x kx x =-在区间(1,)+∞单调递增，()0f x ∴'在区间(1,)+∞上恒成立． 1kx ∴，而1y x=在区间(1,)+∞上单调递减，1k ∴．选项中只有0k >是1k 的必要不充分条件. 选项AC 是1k 的充分不必要条件，选项B 是充要条件. 故选：D5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数2()ln 22x f x m x x =+-，()0,x ∈+∞有两个极值点，则实数m 的取值范围是（） A ．(],0-∞ B ．(],1-∞C ．[)1,-+∞D ．()0,1【答案】D 【详解】22()2m x x mf x x x x-+'=+-=,因为()f x 有两个极值点，故()f x '有两个变号零点，故2x 2x m 0-+=在()0,∞+上有两个不同的解，故0440m m >⎧⎨∆=->⎩，所以01m <<，故选：D.6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数()x x f x e e -=+（其中e 是自然对数的底数），若 1.5(2)a f =，0.8(4)b f =，21log 5c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】B 【详解】函数()x x f x e e -=+是偶函数，()x x f x e e -=-'，当0,()0;0,()0x f x x f x ''<<>>，即函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，(0,)+∞上单调递增，因为2222log 5log 25log 325=<=， 2.5 1.55222<==⨯，所以 1.522log 5522<<⨯，则 1.51.60.82log 5224<<=，1.50.82221(log )(log 5)(log 5)(2)(4)5f f f f f =-=<<，即c a b <<．故选：B ．7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数()f x 的定义域为R ，且()21f =，对任意x ∈R ，()()0f x xf x '+<，则不等式()()112x f x ++>的解集是（） A ．(),1-∞ B ．(),2-∞ C ．()1,+∞ D ．()2,+∞【答案】A 【详解】设()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x =+'<' 所以()g x 在R 上单调递减，又()()2222g f == 由()()112x f x ++>，即()()12g x g +>，所以12x +< 所以1x < 故选：A8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数2ln ,0(),1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（） A ．e 1k -<≤B ．11k e-<<C ．e 0k -<<D ．10ek -<<【答案】D 【详解】要使函数()f x k =有三个解，则()y f x =与y k =有三个交点，当0x >时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，可得()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，∴0x >时，()ln f x x x =有最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且10x e <<时，ln 0x x <；当0x +→时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →+∞；当0x ≤时，2()1f x x =-+单调递增；∴()f x 图象如下，要使函数()g x 有三个零点，则10e k -<<，故选：D ．二、多选题9．（2021·湖北·高三月考）已知函数()xf x xe ax =+．则下列说法正确的是（）A ．当0a =时，()min 1f x e=-B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图象相切C ．若函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，则1a e ≤-【答案】ABD 【详解】解：对于A ：当0a =时，()xf x xe =，则()()'+1+x x x f x xe e e x ==，令'0f x，得1x =-，所以当1x <-时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，当>1x -时，()'>0f x ，函数()f x 单调递增，所以()()1111f x f e e-≥-=-=-，所以()min 1f x e =-，故A 正确；对于B ：当1a =时，()+x f x xe x =，则()'++1xx f x xe e =，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000+++1x xx y x e x e x e x x -=-，因为切线过原点，所以()()()00000000+++01x x x x e x x e x e -=-，解得00x =，此时()'000+0+12f e e =⨯=，所以直线2y x =与函数()f x 的图像相切，故B 正确；对于C ：由函数()xf x xe ax =+得()()1+x f x x e a '=+，因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以()()1+0xf x x e a '=+≥在区间[)0,+∞上恒成立，即()1x a x e ≥--在区间[)0,+∞上恒成立，令()()1x g x x e =--，则()()'+2x g x x e =-，又令[)0,x ∈+∞，所以，()'0g x <，函数()g x 单调递减，所以()()000+21g x g e e ≤=-=，所以1a ≥，故C 不正确；对于D ：在区间[]0,1上()2f x x ≤恒成立，等价于2x xe ax x +≤在区间[]0,1上恒成立，当0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，x a x e ≤-恒成立，令()xh x x e =-，则()'1x h x e =-，令()'0h x =，得0x =，因为01x <≤，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()1111h x h e e ≥=-=-，所以1a e -≤，故D 正确；故选：ABD.10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数()()[)ln ,0,1e44,1,x x f x x x⎧-∈⎪⎪=⎨-⎪+∈+∞⎪⎩(其中e 是自然对数的底数)，函数()()g x f x kx =-有三个零点()123123,,x x x x x x <<，则（） A ．实数k 的取值范围为()0,1 B ．实数k 的取值范围为()0,e C ．123x x x 的取值范围为4,e ⎛+∞⎫⎪⎝⎭D ．123x x x 的取值范围为()e,+∞ 【答案】AC 【详解】由图可知，0,k >则方程44kx x-=+，即2440kx x -+=有两个正实数解，所以16160,k =->解得)1(0k ∈，；由图可知，12301,x x x <<<<所以234x x k⋅=，且11ln x k ex =-因为11ln 1x k ex =-<，则111x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以21112311441,1ln x ex x x x x k x e ⎛⎫⎛⎫⋅⋅==-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设1)0(1lnx t =∈-，，则()24te e g t t⋅=-，所以()()22421'0t g tt e e t ⋅-=->，即()g t 单调递增，又4()1g e -=，且0t ⇒时，()g t →+∞，所以()4,g t e ∈+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：AC11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R 上函数()f x 的导函数为f x ，满足()()2'2f x f x <-，()211f e =-，则下列正确的是（） A ．()00f >B ．()421f e >-C ．()()()2021202021f ef e ->-D ．()()22202120201f e f e ->-【答案】BCD 【详解】由题意，构造函数2()1()x f x g x e +=，则2()2(()1)()xf x f xg x e '-+'=，由()()2'2f x f x <-可知()0g x '>，所以2()1()x f x g x e +=在R 上单调递增，且2(1)1(1)1f g e +==，故(0)(1)1g g <=，即(0)11f +<，(0)0f <，A 错误；由(2)(1)1g g >=可得()421f e >-，故B 正确；当1x >时，()(1)1g x g >=，所以2()11xf x e +>，()0f x >，所以()()()22f x f x f x '<<-，()()02f x f x '-->，令()()2,1x f x h x x e +=>，则()()()20xf x f x h x e ''--=>，所以()h x 单调递增，()()20212020h h >，即()()202120202202122020f f e e >++，所以()()2220212020f ef e >++，()()()2021202021f ef e ->-，故C 正确；由(2021)(2020)g g >可得()()22202120201f e f e ->-，故D 正确；故选：BCD12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x '是其导函数，恒有()()sin cos f x f x x x '>，则（）A ．34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2cos116f f π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭D ．()cos 13f f π⎛⎫>21⋅ ⎪⎝⎭【答案】AD 【详解】因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0x >，cos 0x >，又()()sin cos f x f x x x'>，所以()()cos sin f x x f x x '>．构造函数()()cos g x f x x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()cos sin 0g x f x x f x x -''=>，所以()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，因为34ππ>，所以34g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 3344f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即34f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；因为46ππ>，所以46g g ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos 4466f f ππππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即46f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；因为16π<，所以()16g g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos166f f ππ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()1cos16f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故C 错误；因为13π>，所以()13g g π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()cos 1cos133f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()21cos13f f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：AD. 三、填空题13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数3()5,(2,2)f x x x x =+∈-，若()2()20f t f t +->.则t 的取值范围为___________. 【答案】(1,0)(0,2)- 【详解】3()5f x x x =+，()3()5f x x x f x -==---，函数为奇函数.2()350f x x '=+>，函数单调递增，()2()20f t f t +->，即()2(2)f t f t ->，故22222222t t t t -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得(1,0)(0,2)t ∈-⋃. 故答案为：(1,0)(0,2)-.14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数()3()x f x e ax a R =+-∈，若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立，则a 的取值范围是________. 【答案】(,3]-∞ 【详解】对于任意的1x ，2[1x ∈，)+∞，且12x x <，都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立， ∴不等式等价为1212()()f x a f x ax x ++<恒成立，令()()f x ah x x+=，则不等式等价为当12x x <时，12()()h x h x <恒成立，即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数； 3()x e ax a h x x+-+=，则23()0x x xe e ah x x -+-'=在[1，)+∞上恒成立； 30x x xe e a ∴-+-；即3x x a xe e --恒成立，令()x x g x xe e =-，()0x g x xe ∴'=>；()g x ∴在[1，)+∞上为增函数； ()g x g ∴（1）0=； 30a ∴-；3a ∴．a ∴的取值范围是(,3]-∞．故答案：(,3]-∞．15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()20f =，()()()0xf x f x x '<>，则不等式()0xf x <的解集为______．【答案】(2,0)(2,)-+∞ 【详解】令()()f x g x x=，则()2()()xf x f x g x x '-'=，当0x >时．由()()xf x f x '<，得()0g x '<，所以函数()()f xg x x=在(0,)+∞上是减函数，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()()f x f x -=， ∴()()()f x g x g x x--==--， ∴()g x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数， ∴()g x 在(,0)-∞上递减，又(2)0f =，∴(2)(2)02f g ==，则()g x 的大致图象如图所示：∴02x <<时，()0>g x ，2x >时，()0<g x ，根据函数的奇偶性知，20x -<<时，()0<g x ，2x <-时，()0>g x ，当0x ≠时，()0xf x <等价于()0<g x ，当0x =时，()0xf x <不成立， ∴不等式()0xf x <的解集为(2,0)(2,)-+∞，所以不等式()0xf x <的解集是(2,0)(2,)-+∞．故答案为：(2,0)(2,)-+∞.16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数9()(),[1,9]g x x a a R x x=+-∈∈，则()g x 的值域是___________.设函数()|()|f x g x =，若对于任意实数a ，总存在0[1,9]x ∈，使得()0f x t ≥成立，则实数t 的取值范围是___________【答案】[]6,10a a -- (],2-∞ 【详解】（1）()()()223391x x g x x x +-'=-=，当[]1,3x ∈，()0g x '<，()g x 单调递减；当[]3,9x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()()min 36g x g a ∴==-，又()()110,910g a g a =-=-，()max 10g x a ∴=-，故()g x 的值域是[]6,10a a --；（2）()|()|f x g x =，当610a a -≥-，即8a ≥时，()max 66f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤，当610a a -<-，即8a <时，()max 1010f x a a t =-=-≥恒成立，则2t ≤，综上，实数t 的取值范围是(],2-∞. 故答案为：[]6,10a a --；(],2-∞。

第3讲大题专攻——圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 2023高考数学二轮复习课件

当t∈(2，3)时，u′＞0，u＝4t3－t4单调递增，
当t∈(3，4)时，u′＜0，u＝4t3－t4单调递减，
所以当
t＝3
时，u
取得最大值，则
S
也取得最大值，最大值为3 4
3.
目录
圆锥曲线中的范围问题
【例2】已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P在抛物线E上，点P 的横坐标为2，且|PF|＝2. (1)求抛物线E的标准方程；解法一：依题意得 F0，2p，设 P(2，y0)，则 y0＝2－p2，因为点 P 是抛物线 E 上一点，所以 4＝2p2－2p，即 p2－4p＋4＝0，解得 p＝2.所以抛物线 E 的标准方程为 x2＝4y. 法二：依题意，设 P(2，y0)，代入抛物线 E 的方程 x2＝2py 可得 y0＝2p，由抛物线的定义可得|PF|＝y0＋p2，即 2＝2p＋p2，解得 p＝2.所以抛物线 E 的标准方程为 x2＝4y.
4 1＋k2· k2＋b.
因为x2＝4y，即y＝x42，所以y′＝x2，则抛物线在点A处的切线斜率为
x1 2
，在
点A处的切线方程为y－x421＝x21(x－x1)，即y＝x21x－x421，
目录
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x22x－x422，
联立得yy＝＝xx2212xx－－xx442212，，则xy＝＝xx114x＋22＝x2－＝b2，k，即P(2k，－b)．
＋ 2，圆心O(0，0)到MN的距离d＝ m22＋1＝1⇒m2＝1.
联立xx＝ 2＋m3yy＋2＝32，⇒(m2＋3)y2＋2 2my－1＝0⇒4y2＋2 2my－1＝0，
|MN|＝
1＋m2·
8m2＋16＝ 4

高考数学专题三第3讲平面向量复习课件理

∴P→A＋3P→B＝52D→A＋(3－4x) D→C，
|P→A＋3P→B|2＝245D→A2＋2×52×(3－4x) D→A·D→C＋(3－4x)2·D→C2
＝25＋(3－4x)2D→C2≥25， ∴|P→A＋3P→B|的最小值为 5.
考点整合
1．向量的概念 (1)零向量模的大小为 0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±|aa|. (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)． (4)如果直线 l 的斜率为 k，则 a＝(1，k)是直线 l 的一个方向向量．
§3 平面向量真题热身
1．(2011·湖北)若向量 a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则 2a＋b 与 a－
b 的夹角等于
(C )
A．－π4 C．π4
B．π6 D．34π
解析 2a＋b＝2(1,2)＋(1，－1)＝(3,3)，
a－b＝(1,2)－(1，－1)＝(0,3)，
(2a＋b)·(a－b)＝9，
解
(1)m·n＝
3sin
x 4cos
4x＋cos
2x 4
＝
3 2 sin
2x＋12·cos
2x＋12＝sin(2x＋6π)＋12.
又∵m·n＝1，∴sin(2x＋6π)＝12.
cos(x＋π3)＝1－2sin2(2x＋6π)＝12，
cos(23π－x)＝－cos(x＋π3)＝－12.
(2)∵(2a－c)cos B＝bcos C，
3．两非零向量平行、垂直的充要条件若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔a＝λb，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. a⊥b⇔a·b＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. 可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．

二轮复习通用版专题3第3讲立体几何与空间向量课件(72张)

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专题三立体几何
高考二轮总复习 • 数学
设平面 ABD 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
则nn··AA→→BD＝＝－－xx＋＋z＝3y0＝，0，取 y＝ 3，
则 n＝(3， 3，3)，
又因为
C(－1，0，0)，F0，
43，34，
所以C→F＝1，
43，34，
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专题三立体几何
4 ．(2022·全国乙卷 ) 如图，四面体ABCD 中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E 为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD； (2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在 BD 上，当 △AFC 的面积最小时，求 CF 与平面 ABD所成的角的正弦值．
专题三立体几何
高考二轮总复习 • 数学
所以BC，BA，BB1两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由(1)得 AE＝ 2，所以 AA1＝AB＝2，A1B ＝2 2，
所以 BC＝2，则 A(0，2，0)，A1(0，2，2)，B(0，0，0)， C(2，0，0)，所以 A1C 的中点 D(1，1，1)，
(1)证明：FN⊥AD； (2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值．
专题三立体几何
高考二轮总复习 • 数学
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【解析】 (1)过点E、D分别做直线DC、AB的垂线EG、DH并分别交于点G、H.
∵四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝ 5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面几何知识易知，
则
VA
－
A1BC
＝
1 3
S△A1BC·h

高考数学第3章三角函数、解三角形第3讲三角函数的图象与性质创高三全册数学

12/12/2021
第四页，共七十六页。
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域值域
xx∈R，且 x≠
R
R
kπ＋π2，k∈Z
01 _[－___1_,1__] 02 _[－___1_,1_]_ 03 _R_
12/12/2021
第五页，共七十六页。
续表
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
最值
当 x＝π2＋2kπ
当 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax
x∈
(k∈Z)时，ymax＝1；
＝1；
－π2＋kπ， π2＋kπ
当 x＝32π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
当 x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
，k∈Z，无最大值，也无最小值
12/12/2021
第二十四页，共七十六页。
解析
2．已知π3为函数 f(x)＝sin(2x＋φ)0<φ<π2的零点，则函数 f(x)的单调递增区间是( )
A.2kπ－152π，2kπ＋1π2(k∈Z) B.2kπ＋1π2，2kπ＋71π2(k∈Z) C.kπ－51π2，kπ＋1π2(k∈Z) D.kπ＋1π2，kπ＋71π2(k∈Z)
第二十页，共七十六页。
1．函数 y＝ tanx＋－cosx的定义域为｛__x_2_k_π_＋__π_≤__x_＜__2_kπ_＋__3_2π_，__k_∈__Z_．
解析
tanx≥0，由
－cosx≥0，
得
tanx≥0，
cosx≤0.
所以 2kπ＋π≤x<2kπ＋32π，k∈

高考数学二轮精讲三角与向量第3讲三角恒等变换(含解析)

第3讲三角恒等变换知识与方法本专题主要知识为两角和与差的正弦、余弦和正切公式.同学们要会推导正弦、余弦、正切的倍角公式和辅助角公式,运用这些公式进行简单的恒等变换.要掌握以两角差的余弦公式为基础,推导两角和与差(或二倍角)的正弦、余弦、正切公式的方法,了解它们的内在联系.进行公式探究,能利用对比、联系、化归的观点来分析、处理问题.能依据三角函数式的特点,逐渐明确三角恒等变换不仅包括式子的结构形式变换,还包括式子中角的变换,以及不同三角函数之间的变换.体验由简单到复杂、从特殊到一般的变换思想,代换和方程的思想,进而提高分析问题、解决问题的能力. 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.二倍角公式sin22sin cos ααα=;缩角升幂2221sin2(sin cos ),1cos22cos ,1cos22sin ααααααα±=±+=-=.扩角降幂22sin21cos21cos2sin cos ,sin ,cos 222ααααααα-+===.3.辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+（其中cos ϕϕ==,辅助角ϕ所在象限由点(),a b 的象限决定,tan b a ϕ⎫=⎪⎭. 注意应用特殊角的三角函数值实现数值与三角函数间的转化,要加强各三角函数公式的正用、逆用及变形应用;尤其是二倍角的正弦公式在构成完全平方式中的应用和二倍角的余弦公式在升幂、降幂变形中的应用.在进行三角恒等变换时,要掌握三角函数式的化简及证明的基本方法与常用技巧.典型例题【例1】若()()13cos ,cos 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【分析】本题为已知两个角,αβtan tan αβ,一般先“化切为弦”,发现sin sin tan tan cos cos αβαβαβ=,因此需探求角,αβ的同名三角函数值,分子恰为两角和与差的余弦公式的变形与应用.【解析】13cos cos sin sin ,cos cos sin sin 55αβαβαβαβ-=+=. 两式分别相加、相减得21cos cos ,sin sin 55αβαβ==,故sin sin 1tan tan cos cos 2αβαβαβ==. 【点睛】tan tan αβ转化为sin sin cos cos αβαβ,运用已知两角和与差的余弦公式展开,然后相加、相减可得;若为tan tan αβ,则化为sin cos cos sin αβαβ,利用两角和与差的正弦公式展开,然后相加、相减可得.【例2】若cos cos cos 0,sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则()cos αβ-=______. 【分析】本题涉及两角差的余弦公式的变形与应用,解决问题的关键在于将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γ,进而求出结论.【解析】因为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,所以22(cos cos )(sin sin )1αβαβ+++=,即()22cos cos sin sin 1αβαβ++=,整理得()22cos 1αβ+-=,所以()1cos 2αβ-=-. 【点睛】将已知条件变形为()()cos cos cos ,sin sin sin γαβγαβ=-+=-+,分别对等号两边平方,然后相加消去角γsin sin ,cos cos ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()cos αβ-;或已知sin cos ,cos sin ,m n p m n q αβαβ+=⎧⎨+=⎩求()sin αβ+.【例3】已知()sin 22sin αββ+=,且2tan1tan 22αα=-,则()tan αβ+=______.【分析】本题求角αβ+的正切值,涉及的角有2,,2ααββ+,函数名有正弦与正切.从待求目标出发,先利用二倍角正切公式求出α的正切,再将式子()sin 22sin αββ+=,化为关于α+β与α的三角函数值,得到()tan αβ+与tan α的关系求解.【解析】因为2tan1tan 22αα=-,所以22tan2tan 21tan2ααα==-.又()()sin 2sin αβααβα⎡⎤⎡⎤++=+-⎣⎦⎣⎦，所以()()()()sin cos cos sin 2sin cos 2cos sin αβααβααβααβα+++=+-+,即()()sin cos 3cos sin αβααβα+=+.等号两边同除以()cos cos ααβ+,得()tan 3tan 6αβα+==.【点睛】要善于将三角恒等变换公式展开和变形.在计算过程中注意角的配凑,把末知角用已知角表示,如将2αβ+表示为(),αβαβ++表示为()αβα+-;角α是2α的二倍. 【例4】计算4cos50tan40-=（）B.21 【分析】本题为三角函数式4cos50tan40-的化简与求值,涉及的角有40,50,函数名和系数均不同,先将正切化为正弦和余弦的商,再通分.利用二倍角公式时,注意到2sin80sin40cos40-中的角有80,40,先将80化为12040-,再将()sin 12040-展开,合并求解.【解析】原式sin404sin40cos40sin402sin80sin404sin40cos40cos40cos40--=-==()2sin 12040sin403cos40sin40sin403cos40cos40--+-===,答案选 C.【点睛】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式化简所给的式子,注意角的变换和拆角等. 【例5】计算()sin40tan103-.【分析】本题计算()sin40tan103-的值,涉及的角有40,10,三角函数名有正切与正弦,一般先将正切化为正弦和余弦的商,再通分并运用辅助角公式进行恒等变换.求解时要充分运用特殊角和特殊值的隐含关系,注意公式的逆用.【解析】解法1：原式()sin40sin103cos10sin10sin403cos10cos10-⎛⎫=-=⎪⎝⎭解法2：原式()sin40tan10tan60=-【点睛】解法1,构建余弦的两角和的关系.解法2则是正切的差角公式的变形应用.【例6】()1sin cos sincos )θθθθθπ⎛⎫++- ⎪<<的结果是___________.【分析】,方法是缩角升幂,去根号,加绝对值符号,开方时注意θ的范围是0θπ<<.注意到分子中含有sincos22θθ-,因此分子1sin cos θθ++的处理也化为半角的三角函数.一方面,()1sin cos 1sin cos θθθθ++=++=222sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin 2222222222θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2cos sin cos 222θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;另一方面,()21sin cos 1cos sin 2cos 2θθθθθ++=++=+2sincos2cos sin cos 22222θθθθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,也就是合理分组、升幂、因式分解、提取公因式.涉及二倍角公式的应用,突出转化思想与运算能力. 【解析】0,cos0222θπθ<<>,原式212sin cos 2cos 1sin cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫++-- ⎪⎪=222cos sin cos sin cos 2cos sin cos 222cos 2cos 2θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭===-.【点睛】依题意,可求得cos 02θ>,利用二倍角的正弦与余弦公式将所求关系式化简并约分即可.【例7】已知,sin 2cos 2ααα∈+=R ,则tan2α=（） A.43B.34C.34- D.43- 【分析】本题为已知同角α的正弦、余弦三角函数值的和,求角α的二倍角的正切值.通常做法是先利用同角三角函数的平方关系,解方程组,解出α的正弦、余弦三角函数值,再求出α的正切值,最后求二倍角的正切.若对原式平方,等号两边同除以“1”,化为关于tan α的二次齐次式,则更为方便.【解析】解法1：由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得222cos cos 1αα⎫+=⎪⎪⎝⎭.所以210cos 30αα-+=,解得cos α=.当cos α=,sin 2cos αα==,此时tan 3α=;当cos α=时,sin α=此时1tan 3α=-. 所以tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--.故选C.解法2：将sin 2cos αα+=平方,得225sin 4sin cos 4cos 2αααα++=. 所以2222sin 4sin cos 4cos 5sin cos 2αααααα++=+,所以22tan 4tan 45tan 12ααα++=+, 所以23tan 8tan 30αα--=,解得tan 3α=或13-,所以22tan 3tan21tan 4ααα==--. 故选C.【点睛】由题意,结合22sin cos 1αα+=可得sin ,cos αα,进而可得tan α,将其代入二倍角的正切公式求解.【例8】若50,sin 4413x x ππ⎛⎫<<-= ⎪⎝⎭,求cos2cos 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【分析】此题解法较多,若从条件与结论中角的关系入手,可发现2242x x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭.若从诱导公式角度入手,可以把2x 看成是4x π+的“二倍角”.而44x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,从而将单角转化为两角差来处理.若从条件与结论的函数关系入手,可借助cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】解法1：因为04x π<<,所以120,cos 44413x x πππ⎛⎫<-<-== ⎪⎝⎭, 所以120cos2sin 22sin cos 244169x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 注意到442x x πππ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以5cos sin 4413x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 原式cos22413cos 4x x π==⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解法2：因为04x π<<,所以044x ππ<-<.所以12sin sin cos 424413x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 所以原式sin 22sin cos 242442sin 413cos cos 44x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+= ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法3：由5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭展开得()5cos sin 213x x -=,所以cos sin 13x x -=.所以)22cos2cos sin cos 4x x x x π==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为22(cos sin )(cos sin )2x x x x -++=,所以cos sin 13x x +=. 故原式2413=. 【点睛】(1)解有条件的三角函数求值题,关键是从条件与结论中角的关系和函数关系入手,变换条件或结论,在变换条件过程中注意角的范围的变化.(2)在恒等变形中,注意变角优先,要根据函数式中的“角”“名”“形”的特点(即有没有与特殊角相关联的角;有没有互余、互补的角;角和角之间有没有和、差、倍、半的关系)来寻求已知条件和所求式子之间的关系,从而找到解题的突破口. (3)对于条件求值题,一般先化简,再代入求值.【例9】化简1sin4cos41sin4cos4αααα+-++.【分析】可以考虑正弦、余弦的倍角公式的和与积的互化,2(sin cos )1sin2ααα±=±及1-22cos22sin ,1cos22cos αααα=+=;考虑用余弦倍角公式的升幕形式.【解析】1 原式()()221cos4sin42sin 22sin2cos21cos4sin42cos 22sin2cos2αααααααααα-++==+++ 【解析】2原式()()222222(sin2cos2)cos 2sin 2(sin2cos2)cos 2sin 2αααααααα+--=++- 【点睛】对于较复杂的三角函数式的化简与求值题,一般先观察式子的结构特征,在熟练堂握三角函数变换公式的基础上,灵活运用公式的变形、公式的逆用等.【例10】已知02πβαπ<<<<,且12cos ,sin 2923βααβ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求()cos αβ+的值.【分析】本题已知cos ,sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值,要求角αβ+的余弦值.观察已知角和所求角,可作222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的配凑角变换,利用余弦的差角公式求2αβ+的正弦值或余弦值,最后用二倍角公式求角αβ+的余弦值.【解析】因为02πβαπ<<<<,所以,,,24242βπαππαπβ⎛⎫⎛⎫-∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin 22βααβ⎛⎫⎛⎫-==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以coscos 222αββααβ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以()22239cos 2cos1212729αβαβ++=-=⨯-=-⎝⎭.【点睛】“凑角法”是解三角函数题的常用技巧,本题计算角αβ+的余弦函数值,而已知角只有,22βααβ--,因此要将αβ+配凑为22βααβ⎛⎫--- ⎪⎝⎭的二倍.【例11】已知都是锐角,若sin αβ==,则αβ+=______________. A.4πB.34πC.4π和34πD.4π-和34π- 【分析】本题要求角αβ+的大小,一般方法是求其某一三角函数值,结合角的范围求角的大小(或范围).考虑到,αβ都是锐角,0αβπ<+<,为使角的三角函数值唯一,则考虑选用求()cos αβ+.【解析】因为sin αβ==且,αβ都是锐角,所以cos αβ==所以()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-==. 又()0,αβπ+∈,所以4παβ+=.故选A.【点睛】例已知,αβ的正弦值,根据同角的正弦值与余弦值的平方关系,可分别求出,αβ的余弦值，接下来利用两角和的余弦公式求出()cos αβ+,然后结合αβ+αβ+的取值范围这里选用()cos αβ+求解,若选用()sin αβ+求解,应先考虑缩小αβ+的取值范围,否则会产生增解34παβ+=.【例12】已知函数()226sin cos 2cos 1,4f x x x x x x π⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭R . (1)求()f x 的最小正周期.(2)求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【分析】本题研究三角函数()f x 的性质,计算化简时利用相关三角恒等变换公式,需要将已知函数式化为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式,常用公式为辅助角公式.【解析】(1) ()3sin2cos2f x x x x x⎫=+-⎪⎪⎭所以()f x 的最小正周期2T ππω==.(2)因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以32,444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.所以sin 242x π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦,所以max min?()()2f x f x ==-.【点睛】用二倍角公式降幂,结合辅助角公式研究三角函数的图象与性质.强化训练1.若()()13sin ,sin 55αβαβ+=-=,则tan tan αβ=________________. 【答案】2- 【解析】1sin cos cos sin 5αβαβ+=,3sin cos cos sin 5αβαβ-=,两式分别相加、相减得,21sin cos ,cos sin 55αβαβ==- 所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-.2.已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,且,x y 为锐角,则()tan x y -的值是（）B.C.【答案】B 【解析】已知22sin sin ,cos cos 33x y x y -=--=,两式平方并相加得 ()822cos cos sin sin 9x y x y -+=, 即()5cos 9x y -=. 因为,x y 为锐角,sin sin 0x y -<,所以x y <.所以()sin x y -==()()()sin tan cos 5x y x y x y --==--. 3.求值:tan20tan403tan20tan40++.【解析】原式()()tan 20401tan20tan403tan20tan40=+-+ )1tan20tan403tan20tan403=-+=. 4.化简2cos10sin20cos20-. 【解析】:原式2cos10sin20cos20-==5.求值():cos4013tan10+. 【解析】原式3sin10cos10cos40cos10+=⨯()2sin 1030cos40cos10+=⨯ 2sin40cos40sin801cos10cos10===.6.化简()()()()22:cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ-+++-+. 【解析】解法1：原式=()()1cos 12021cos 120211cos cos 222222θθθθθθ+-++⎛⎫⎫⎛+++- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎝⎭⎭34=.解法2:由余弦的平方差公式得()()22cos cos cos sin αβαβαβ+-=-,所以原式()()()()2cos 60cos 60cos 60cos 60θθθθ⎡⎤=-++--+⎣⎦34=.7.已知3sin 4cos 0αα-=,则23cos2α+=_______.【答案】2925【解析】因为3sin 4cos 0αα-=所以4tan 3α=.所以222222cos sin 1tan 7cos2cos sin 1tan 25ααααααα--===-++, 所以212923cos222525α+=-=. 8.已知1sin cos 2αα=+,且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_______.【答案】【解析】解法1：由1sin cos 2αα=+和22sin cos 1αα+=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得11sin 44αα+-+==, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解法2：由1sin cos 2αα=+可得1sin cos 2αα-=,等号两边平方可得3sin24α=, 则27(sin cos )4αα+=. 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则sin cos 2αα+=, 则)22cos2sin cos 2sin 4αααπα==+=-⎛⎫- ⎪⎝⎭9.设3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,. 【解析】因为3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.原式cos cos 22αα====-.10.已知函数(),12f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R . (1)求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. (2)若33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【解析】(1)164f ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)因为33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-. 故4324sin22sin cos 25525θθθ⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭, 所以27cos212sin 25θθ=-=-.从而1722cos2sin23425f ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 11.已知()113cos ,cos 714ααβ=-=,且02πβα<<<.(1)求tan2α的值.(2)求β.【解析】(1)因为1cos ,072παα=<<,所以sin tan 7αα==所以22tan tan21tan 14847ααα===---. (2)因为02παβ<-<,所以()sin αβ-==所以()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦11317142=⨯+=. 因为02πβ<<,所以3πβ=.12.已知函数()26cos 3(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,,B C 为图象与x 轴的交点,ABC 为正三角形.(1)求ω的值及函数()f x 的值域.(2)若()0f x =且0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,求()01f x +的值.【解析】(1)由已知可得,()3cos 3f x x x x πωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.所以正三角形ABC 的高为从而4BC =. 所以函数()f x 的周期428T =⨯=,即28πω=,4πω=函数()f x 的值域为⎡-⎣.(2)已知()0f x =由(1)有()00435f x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 即04sin 435x ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0102,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭知0,4322x ππππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭,所以03cos 435x ππ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故()001443f x x πππ⎛⎫+=++⎪⎝⎭00sin cos 43435x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦.。

高考数学解析几何专题讲义第3讲--抛物线的定义及其应用

8
MA MF 的最小值为
．
7．过抛物线 y2 x 焦点的直线与该抛物线交于 A 、 B 两点，若 AB 4 ，则弦 AB 的中点到直线 x 1 0 的距 2
离等于（）
A． 7 4
B． 9 4
C． 4
D．2
8．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A 、 B 两点，则 1 1
【证明】如图，设抛物线的准线为 l ，过 A 、B 两点分别作 AC 、BD 垂直于 l ，垂足分别为 C 、D ．取线段 AB 中点 M ，作 MH 垂直 l 于 H ．
由抛物线的定义有： AC AF ， BD BF ，所以 AB AC BD ．
∵ ABDC 是直角梯形， MH 1 AC BD 1 AB
以开口向右的抛物线为例，设抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F，准线为 l ，点 M x0, y0 为抛物线
C 上的动点．则有:
焦半径 MF
x0
p 2
；过焦点的弦
AB
长为
AB
xA xB p ．
（二）抛物线定义的应用
与抛物线焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：
（2）如图，设 AFK ．
∵
AF
AA1
AK
p
AF
sin
p
，∴
AF
p 1 sin
，
又
BF
BB1
p
BF
sin
，∴
BF
p 1 sin
，
∴ 1 1 1 sin 1 sin 2 （定值）．
AF BF
p
pp
【变式训练】求证：以抛物线 y2 2 px p 0 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切．

2014届高考数学文二轮专题突破：专题三第3讲推理与证明

第3讲推理与证明【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．3．直接证明(1)综合法用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q (2)分析法用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→4．间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如图所示的框图表示．考点一归纳推理例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________. 答案 1 000解析由N (n,4)＝n 2，N (n,6)＝2n 2－n ，…，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，得到一个明显成立的条件∴N (10,24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠．(1)在数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＝6，且当n ∈N *时，a n ＋2是a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 014等于 ( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 A解析由a 1＝2，a 2＝6，得a 3＝2，a 4＝2，a 5＝4，a 6＝8，a 7＝2，a 8＝6，…，据此周期为6，又2 014＝6×335＋4，所以a 2 014＝a 4＝2，故答案选A.(2)(2012·江西)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于 ( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123. 考点二类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________. 答案 (1)127 (2)b 2a2解析 (1)本题考查类比推理，也即是由特殊到特殊的推理．平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以V 1V 2＝127.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则有⎩⎨⎧x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y22.将A ，B 代入双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中得x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＝y 21－y 22b2，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝b 2a 2，即k OM ·k AB ＝b 2a2.类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比，本题即属于此类．一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等．(1)若数列{a n }是等差数列，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，则数列{b n }也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c nnnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n(2)命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________．答案 (1)D (2)内角平分线 a解析 (1)由{a n }为等差数列，设公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋n －12d ，又正项数列{c n }为等比数列，设公比为q ，则d n ＝nc 1c 2…c n ＝nc n 1qn 2－n 2＝c 1q n －12，故选D. (2)对于椭圆，延长F 2M 与F 1P 的延长线交于Q . 由对称性知，M 为F 2Q 的中点，且PF 2＝PQ ，从而OM ∥F 1Q 且OM ＝12F 1Q .而F 1Q ＝F 1P ＋PQ ＝F 1P ＋PF 2＝2a ，所以OM ＝a .对于双曲线，过F 2作∠F 1PF 2内角平分线的垂线，垂足为M ，类比可得OM ＝a .因为OM ＝12F 1Q ＝12(PF 1－PF 2)＝12·2a ＝a .考点三直接证明与间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列． (1)解已知3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1化为1－a 2n ＋11－a 2n ＝23，而1－a 21＝34，所以数列{1－a 2n }是首项为34，公比为23的等比数列，则1－a 2n ＝34×⎝⎛⎭⎫23n －1，则a 2n＝1－34×⎝⎛⎭⎫23n －1，由a n a n ＋1<0，知数列{a n }的项正负相间出现，因此a n ＝(－1)n＋11－34×⎝⎛⎭⎫23n －1， b n ＝a 2n ＋1－a 2n＝－34×⎝⎛⎭⎫23n ＋34×⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1.(2)证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为b m 、b n 、b p ，其中m 、n 、p 是互不相等的正整数，可设m <n <p ，而b n ＝14×⎝⎛⎭⎫23n －1随n 的增大而减小，那么只能有2b n ＝b m ＋b p ，可得2×14×⎝⎛⎭⎫23n －1＝14×⎝⎛⎭⎫23m －1＋14×⎝⎛⎭⎫23p －1，则2×⎝⎛⎭⎫23n －m＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m . 当n －m ≥2时，2×⎝⎛⎭⎫23n －m≤2×⎝⎛⎭⎫232＝89，上式不可能成立，则只能有n －m ＝1，此时等式为43＝1＋⎝⎛⎭⎫23p －m ，即13＝⎝⎛⎭⎫23p －m ，那么p －m ＝log 2313，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等．所以假设不成立，那么数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可．(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和综合法交替使用．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列．(1)证明假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4 ⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．所以{a n }不是等比数列．(2)解因为b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0 (n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由b n ＋1＝－23b n ，可知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列；综上知，当λ＝－18时，数列{b n }构不成等比数列；当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．1．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．答案 2 013解析观察数阵，记第n 行的第1个数为a n ，则有 a 2－a 1＝2， a 3－a 2＝4， a 4－a 3＝6， a 5－a 4＝8， ……a n －a n －1＝2(n －1)．将以上各等式两边分别相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋8＋…＋2(n －1)＝n (n －1)，所以a n ＝n (n －1)＋1，所以a 45＝1 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 981＋16×2＝2 013.2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________．答案 14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)解析类比k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，可得到k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，先逐项裂项，然后累加即得14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2答案 C解析从图中观察五角星构成规律， n ＝1时，有1个； n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个； n ＝4时，有10个；…所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2．①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.以下结论正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确答案 D解析反证法的实质是否定结论，对于①，其结论的反面是p ＋q >2，所以①不正确；对于②，其假设正确．3．已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3>0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( ) A ．恒为正数 B ．恒为负数 C ．恒为0D ．可正可负答案 A解析由已知得f (0)＝0，a 1＋a 5＝2a 3>0，所以a 1>－a 5. 由于f (x )单调递增且为奇函数，所以f (a 1)＋f (a 5)>f (－a 5)＋f (a 5)＝0，f (a 3)>0. ∴选A.4．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)答案 B解析依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数时，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个整数时，注意到10(10＋1)2<60<11(11＋1)2，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各数对依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.5．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15答案 C解析原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法， V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14，所以应选C.6．把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 010，则i ，j 的值的和为( )A ．75B ．76C ．77D ．78 答案 C解析观察偶数行的变化规律，2 010是数列：2,4,6,8，…的第1 005项，前31个偶数行的偶数的个数为(2＋62)×312＝32×31＝992，所以2 010是偶数行的第32行第13个数，即三角形数表中的第64行第13个数，所以i ＝64，j ＝13，所以i ＋j ＝77.故选C. 二、填空题7．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________．答案 a n ＝n 3解析由题意知a 1＝1＝13，a 2＝3＋5＝8＝23，a 3＝7＋9＋11＝27＝33，a 4＝13＋15＋17＋19＝64＝43，….因此可归纳出a n ＝n 3.8．(2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)解析由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)．9．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．答案1360解析由上面的规律可知第n 行的第一个数为1n ，第二个数为1n (n －1)，所以第9行的第二个数为18×9，第10行的第一个数为110，第二个数为19×10＝190，设第3个数为x ，即x ＋190＝19×8⇒x ＝1360. 10．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．答案 8解析由已知可观察出m 3可分裂为m 个连续奇数，最小的一个为(m －1)m ＋1.当m ＝8时，最小的数为57，第二个便是59.∴m ＝8. 三、解答题11．观察下列三角形数表，假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *)．(1)依次写出第六行的所有6个数字；(2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式并求出a n 的通项公式．解 (1)第六行的所有6个数字分别是6,16,25,25,16,6. (2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋(n －2)(n ＋1)2.所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2)．12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)． ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∵(p ＋r 2)2＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．13．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2.(1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．解 (1)由已知，得S 1＝1×(a －a )2＝a 1＝a ，所以a ＝0.由a 1＝0得S n ＝na n2，则S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋12，∴2(S n ＋1－S n )＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，即2a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，于是有(n －1)a n ＋1＝na n ，并且na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1，∴na n ＋2－(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，即n (a n ＋2－a n ＋1)＝n (a n ＋1－a n )，则有a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，∴{a n }为等差数列． (2)由(1)得S n ＝n (n －1)p2，∴p n ＝(n ＋2)(n ＋1)p 2(n ＋1)np 2＋(n ＋1)np2(n ＋2)(n ＋1)p2＝2＋2n －2n ＋2，∴p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n ＝⎝⎛⎭⎫2＋21－23＋⎝⎛⎭⎫2＋22－24＋…＋⎝⎛⎭⎫2＋2n －2n ＋2－2n ＝2＋1－2n ＋1－2n ＋2. 由n 是整数可得p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n <3.故存在最小的正整数M ＝3，使不等式p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n ≤M 恒成立．。

江苏高考数学程序方式策略篇专题3解题策略第3讲换元法在解题中的应用

第3讲换元法在解题中的应用[方式精要] 一样而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题取得简化，这种方式称为换元法．某些数学问题通过这种换元，往往能够暴露已知与未知之间被表面形式覆盖着的实质，发觉解题途径．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处置．换元法又称辅助元素法、变量代换法，其特点是通过引进新的变量，能够把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把陌生的形式转变成熟悉的形式．高中数学中要紧换元法有整体换元、三角换元、对称换元、均值换元等等．换元法应用普遍，如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的通项与和等，在解析几何中也有普遍的应用．题型一换元法求函数的解析式例1 已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)．破题切入点通过引入参数，令1－cos x＝t，将原式转化为含有t的式子，从而取得函数f(x)的表达式，专门注意写出函数f(x)的概念域．解令1－cos x＝t，那么t∈[0,2]，因此cos x＝1－t，因此f(t)＝sin2x＝1－cos2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，因此f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)．题型二换元法在不等式中的应用例2 已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：3a＋1＋3b＋1＋3c＋1≤3 2.破题切入点换元法在不等式中的应用要紧体此刻不等式的证明中，把原不等式中的参数用某一个或几个量表示，然后利用取值范围进行比较．证明设3a＋1＋3b＋1＋3c＋1＝k，再设3a＋1＝k3＋t1，3b＋1＝k3＋t2，3c＋1＝k3＋t3，其中t1＋t2＋t3＝0，∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1＝(k 3＋t1)2＋(k 3＋t2)2＋(k 3＋t3)2，即6＝k23＋23k(t1＋t2＋t3)＋t21＋t22＋t23 ＝k23＋(t21＋t22＋t23)， ∴6≥k23，解得k≤32， ∴3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1≤3 2.题型三换元法在三角函数中的应用例3 已知函数y ＝2＋2sin xcos x ＋sin x ＋cos x ，x ∈[0，π2]，求函数的最大值和最小值．破题切入点题目中的未知量较多，解题时选择适当的三角函数式作为辅助未知量，能够利用正弦与余弦之间的关系，设sin x ＋cos x ＝t ，那么2sin xcos x ＝t2－1，把题目中较多的未知量通过换元用一个未知量表示，并依照那个未知量的范围解决最值问题．解令sin x ＋cos x ＝t ，因为x ∈[0，π2]，因此t ∈[1，2]，由(sin x ＋cos x)2＝t2得2sin xcos x ＝t2－1，因此原函数变成y ＝t2＋t ＋1，t ∈[1，2]，因为y ＝t2＋t ＋1的对称轴是t ＝－12，因此函数y ＝t2＋t ＋1在t ∈[1，2]上单调递增．因此t ＝2时函数有最大值ymax ＝(2)2＋2＋1＝3＋2；t ＝1时函数有最小值ymin ＝3. 总结提高换元法不仅是重要的解题方式，也是解高考题的热点方式之一，把握它的关键在于通过观看、联想发觉构造出变换式，常见的大体换元形式有等式代换、三角代换、均值代换、和差代换等．1．已知f(1－x)＝2x ，那么函数f(x)的解析式是________．答案 f(x)＝2－2x2(x≥0)解析令1－x ＝t ，t≥0，那么x ＝1－t2，因此f(t)＝2－2t2(t≥0)．因此f(x)＝2－2x2(x≥0)．2．已知函数f(x)＝ax3＋bsin x ＋4(a ，b ∈R)，f(lg(log210))＝5，那么f(lg(lg 2))＝________.答案 3解析因为log210与lg 2互为倒数，因此lg(log210)与lg(lg 2)互为相反数．不妨令lg(log210)＝x ，那么lg(lg 2)＝－x ，而f(x)＋f(－x)＝ax3＋bsin x ＋4＋a(－x)3＋bsin(－x)＋4＝8，故f(－x)＝8－f(x)＝8－5＝3.3．假设函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，那么函数F(x)＝f(x)＋1f x的值域是________．答案 [2，103] 解析令t ＝f(x)，那么t ∈[12，3]，那么F(x)＝f(x)＋1f x 可化为y ＝t ＋1t ，t ∈[12，3]，易知，当t ＝1时，y 有最小值2，当t ＝3时，y 有最大值103. 故函数F(x)的值域为[2，103]． 4．函数f(cos x)＝cos2x －3cos x ＋2的最小值为________．答案 0解析设t ＝cos x ，那么f(t)＝t2－3t ＋2，t ∈[－1,1]，因此有f(t)＝(t －32)2－14. 结合二次函数的单调性，可知当t ＝1时，函数f(t)有最小值即为0.5．若是f(1x )＝x 1－x，那么当x≠0且x≠1时，f(x)＝________. 答案 1x －1解析令t ＝1x ，得x ＝1t ，∴f(t)＝1t 1－1t＝1t －1，∴f(x)＝1x －1. 6．假设x 是三角形的最小内角，那么函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin xcos x 的最大值是________．答案 12＋2 解析由0<x≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，而π4<x ＋π4≤712π，得1<t≤ 2.又t2＝1＋2sin xcos x ，得sin xcos x ＝t2－12，得y ＝t ＋t2－12＝12(t ＋1)2－1，有1＋0<y≤2＋22－12＝2＋12. 因此y 的最大值为12＋ 2. 7．已知f(3x)＝4xlog23＋233，那么f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值为________．答案 2 008解析令t ＝3x ，那么x ＝log3t ，f(t)＝4log3tlog23＋233＝4log2t log23log23＋233＝4log2t ＋233，因此f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋3＋…＋8)＋8×233＝144＋1 864＝2 008.8．函数y ＝x ＋4＋9－x2的最小值是________．答案 1解析由9－x2≥0得－3≤x≤3，故可令x ＝3sin θ(θ∈[－π2，π2])，那么y ＝3sin θ＋4＋9－9sin2θ＝3sin θ＋3cos θ＋4＝32sin(θ＋π4)＋4. 又θ＋π4∈[－π4，3π4]，因此sin(θ＋π4)∈[－22，1]，因此y ∈[1,32＋4]．9．假设cos2x ＋2msin x －52<0恒成立，试求实数m 的取值范围．解原式化为1－sin2x ＋2msin x －52<0，那么sin2x －2msin x ＋32>0，即(sin x －m)2－m2＋32>0恒成立．令t ＝sin x ，f(t)＝(t －m)2－m2＋32(－1≤t≤1)．假设m<－1，那么当t ＝－1时，f(t)有最小值f(－1)＝2m ＋52，因此2m ＋52>0，即m>－54，因此－54<m<1. 假设m>1，那么当t ＝1时，f(t)有最小值f(1)＝52－2m ，因此52－2m>0，即m<54，因此1<m<54. 当－1≤m≤1时，f(t)有最小值f(m)＝32－m2. 因此32－m2>0.因此－1≤m≤1. 综上，m 的取值范围是－54<m<54. 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P(x ，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值．解依照分析，令x3＝cos θ，y ＝sin θ，那么x ＝3cos θ，故可设动点P 的坐标为(3cos θ，sin θ)，其中0≤θ<2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＝2(32cos θ＋12sin θ) ＝2sin(θ＋π3)．因此当θ＝π6时，S 取最大值2. 11．假设函数f(x)＝4x ＋a·2x＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围．解方式一设2x ＝t ，那么函数f(x)＝4x ＋a·2x＋a ＋1化为g(t)＝t2＋at ＋a ＋1(t ∈(0，＋∞))．函数f(x)＝4x ＋a·2x＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t2＋at ＋a ＋1＝0，①有正实数根．(1)当方程①有两个正实根时，a 应知足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a2－4a ＋1≥0，t1＋t2＝－a>0，t1·t2＝a ＋1>0解得－1<a≤2－22；(2)方程①有一正根一负根时，只需t1·t2＝a ＋1<0，即a<－1；(3)方程①有一根为0时，a ＝－1，现在方程①的另一根为1.综上可知a≤2－2 2.方式二令g(t)＝t2＋at ＋a ＋1(t ∈(0，＋∞))．(1)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在两个零点时，实数a 应知足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a2－4a ＋1≥0，－a 2>0，g 0＝a ＋1>0，解得－1<a≤2－2 2.(2)当函数g(t)在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a 应知足g(0)＝a ＋1<0，解得a<－1.(3)当函数g(t)的一个零点是0时，g(0)＝a ＋1＝0，a ＝－1，现在能够求得函数g(t)的另一个零点是1.综合(1)(2)(3)知a≤2－2 2.。

【立体几何专题高考数学复习】第3讲立体几何中的截面问题的解决方法-原卷版

第3讲立体几何中的截面问题的解决方法知识与方法在立体几何中,截面是指用一个平面去截一个几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱雉、长方体、正方体等)得到的平面图形.此平面与几何体表面的交线叫做截线,此平面与几何体的棱的交点叫做截点.作截面的关键在于确定截点.通过位于多面体同一表面上的两个不同截点即可连结成截线,从而得到截面.正方体的基本截面如下.正方体的截面不会出现以下图形:直角三角形、针角三角形、直角梯形、正五边形.典型例题【例1】在正方形1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，H 分别在AB,BC,DD 1,B 1C 1上，点,,P Q R 在平面1111,,AC AB BC 内,点S 在正方体内部,(1)作过,,E F G 三点的截面;(2)作过,,E G H 三点的截面;(3)作过,,E G P 三点的截面;(4)作过,,F H S 三点的截面;(5)作过,,P Q R 三点的截面.【例2】如图，在三棱锥A BCD -中，截面EFGH 与对棱,AC BD 都平行,且分别与,,,AB BC CD DA 交于点,,,E F G H ,则点,,,E F G H 在何处时,截面EFGH 面积最大.【例3】如图○1，在三棱锥O ABC -中三条棱OA,OB,OC 两两垂直，且OA OB OC >>,分别经过棱,,OA OB OC 作一个截面平分三棱雉的体积,截面面积依次为123,,S S S ,则123,,S S S 的大小关系为 .【例4】如图○1，已知正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点,过点O 的平面α与棱,,PA PB PC 分别交于点,,D E F .设三棱雉P DEF -的体积为0V ,截面DEF 的面积为0S ,则（）A.008,4V V S SB.008,4V V S SC.008,4V V S SD.008,4V V S S【例5】如图 (1), 在直三棱柱 111ABC A B C - 中, 若 122,BC AB AA AC ===M = 是 11B C 的中点, 过 AM 作这个三棱柱的截面, 当截面与平面 ABC 所成的锐二面角最小时,这个截面的面积为（）A. 2B.C.D.【例6】已知球O 是正三棱锥 (底面为正三角形, 顶点在底面上的射影为底面中心)A BCD - 的外接球, 3,BC AB ==点 E 在线段 BD 上, 且 6BD BE =, 过点E 作球 O 的截面, 则所得截面圆面积的取值范围是（） A. 3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 7,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 11,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例7】一个长方体形状的无盖容器 1111ABCD A B C D - 的容积是 V , 其长、宽、高分别为 1,,AD a AB b AA c ===, 容器内装有体积为23V 的水并放在水平的地面上. 现固定顶点 A 在地面上, 将容器倾斜, 当容器中的水刚好要从顶点 1A 处流出时, 设水平面与 11,BB CC , 1DD 分别交于点 ,,E F G , 且 1AA 与水平地面所成的角为 θ. 现有下列命题:(1) 111C F B E D G =+;(2) 1C F 为定值;(3)若 a b >, 则当 10B E = 时 θ 取得最小值; (4)若 a b >, 则当 10D G = 时θ 取得最小值;(5) 当 2121D G a B E b= 时, θ 取得最大值.其中的真命题是________ (写出所有真命题的编号).强化训练1.如图,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过,,A P Q 三点的平面截该正方体所得的截面记为S ,则下列命题中正确的是（）○1当102CQ <<时,截面S 为四边形; ○2当12CQ =时,截面S 为等腰梯形; ○3当34CQ =时,截面S 与11C D 的交点R 满足1113C R =;○4当314CQ <<时,截面S 为六边形;○5当1CQ =时,截面S . A.○1○3○4 B.○2○4○5 C.○1○2○4 D.○1○2○3○52.已知圆雉的母线长为l ,轴截面的顶角为θ,求过此圆雉母线的截面面积的最大值.3.如图,在正方体ABCD A B C D '-'''中,平面α垂直于对角线AC ,且平面α截正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（）A.S 为定值,l 不为定值B.S 不为定值,l 为定值C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值4.在边长为 1 的正方体 ABCD A B C D '-''' 中, ,,E F G 分别在 ,,BB BC BA ' 上,并且满足 311,,422BE BB BF BC BG BA =='=. 若平面 AB F ', 平面 ACE , 平面 B CG ' 交于一点 ,O BO xBG yBF zBE =++, 则 x y z ++= _________,OD =______.5.如图, 正方体 1111ABCD A B C D - 的棱长为 1,,E F 分别是棱 11,AA CC 的中点, 过点 ,E F 的平面分别与棱 11,BB DD 交于点 ,G H . 给出以下四个命题: (1) 平面 EGFH 与平面 ABCD 所成角的最大值为 45; (2)四边形 EGFH 的面积的最小值为 1 ;(3) 四棱锥 1C EGFH - 的体积为定值16;(4)点 1B 到平面 EGFH 的距离的最大值为3. 其中正确命题的序号为 A. (2) (3)B. (1) (4)C. (1) (3)(4)D. (2) (3)(4)6.已知直四棱柱 1111ABCD A B C D -, 其底面 ABCD 是平行四边形, 外接球的体积为36π. 若 1AC BD ⊥, 则其外接球被平面 11AB D 截得的图形面积的最小值为（）A. 8πB.24310π C.8110πD. 6π7.如图, 水平桌面上放置一个棱长为 4 的正方体水槽, 水面高度恰为正方体棱长的一半, 在该正方体侧面 11CDD C 上有一个小孔 ,E E 点到 CD 的距离为 3 , 若该正方体水槽绕 CD 倾斜 ( CD 始终在桌面上), 则当水恰好流出时, 侧面 11CDD C 与桌面所成角的正切值为A.B.12C.D. 2。

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第3讲 大题专攻——三角函数与解三角形 2023高考数学二轮复习课件

2015高考数学一轮课件：第3篇 第3讲 三角函数的图象与性质