新湘教版九年级数学下册第二章《正多边形与圆(第1课时)》公开课课件1
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湘教版九年级下册数学课件：2.7 正多边形与圆(共15张PPT)
则六边形ABCDEF就是所求作的⊙O的内接 正六边形.
A
F
r
B
E
O
C
D
Page 9
在生产设计中，人们经常会遇到等分圆的问题。 例如设计剪纸、齿轮、汽车轮毂等就是通过等分圆 而得到的（如下图所示）。
Page 10
三、课堂总结
作正n多边形
将圆n等分
关键： 将圆心角n等分 再利用图形的相关性质解决
Page 11
Page 7
【例1】已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内AC⊥BD.
（2）依次连接AB，BC，CD，DA，则四
D
边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形.
A
O
C
B
Page 8
【例2】已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.
（1）作⊙O的任意直径BE,分别以B，E为圆心，以r 作弧，与⊙O分别相交于点A，C和D，F. （2）依次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，
(第一课时)
二、思考
将一个圆n（n≥3）等分，依次 连接各等分点所得的多边形叫 作这个圆的内接正多边形，这 个圆是这个正多边形的外接圆， 正多边形的外接圆的圆心叫作 正多边形的中心.n等分的圆心 角称为中心角。
正n边形的中心角：360 n
如何作一个正多边形呢？
由于在同圆中，相等的 圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等，因此 可以将圆心角n等分， 从而使圆n等分，一次 连接各等分点，可得到 一个正n边形.
Page 1
Page 2
一、观察
如图，这些多边形有什么共同的特点？
Page 3
每个多边形的各边都相等，各内角也相等.
我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫 作正多边形.
A
F
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B
E
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C
D
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在生产设计中，人们经常会遇到等分圆的问题。 例如设计剪纸、齿轮、汽车轮毂等就是通过等分圆 而得到的（如下图所示）。
Page 10
三、课堂总结
作正n多边形
将圆n等分
关键： 将圆心角n等分 再利用图形的相关性质解决
Page 11
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【例1】已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内AC⊥BD.
（2）依次连接AB，BC，CD，DA，则四
D
边形ABCD就是所求作的⊙O的内接正方形.
A
O
C
B
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【例2】已知⊙O的半径为r，求作⊙O的内接正六边形.
（1）作⊙O的任意直径BE,分别以B，E为圆心，以r 作弧，与⊙O分别相交于点A，C和D，F. （2）依次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，
(第一课时)
二、思考
将一个圆n（n≥3）等分，依次 连接各等分点所得的多边形叫 作这个圆的内接正多边形，这 个圆是这个正多边形的外接圆， 正多边形的外接圆的圆心叫作 正多边形的中心.n等分的圆心 角称为中心角。
正n边形的中心角：360 n
如何作一个正多边形呢？
由于在同圆中，相等的 圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等，因此 可以将圆心角n等分， 从而使圆n等分，一次 连接各等分点，可得到 一个正n边形.
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一、观察
如图，这些多边形有什么共同的特点？
Page 3
每个多边形的各边都相等，各内角也相等.
我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫 作正多边形.
初中数学《正多边形和圆(第一课时)》课件
思考：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？
你能总结出用量角器画正n边形的方法吗?
先计算圆心角的度数是360度除以n， 再用量角器度量一个360/n的圆心角， 在圆周上得到一段弧，然后再用圆规 顺次在圆上截取相等的弧，就把圆周n 等分了。这种方法称为等分圆周法。
学以致用 用量角器画一个正九边形。
· O
学习新知
正多边形：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形. 如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫做正n边形。 等边三角形有三条边叫正三角形。 正方形有四条边叫正四边形。
思考： 1.矩形是正多边形吗？为什么？
2.菱形是正多边形吗？为什么？
注意 正多边形
各边相等 各角相等
缺一不可
多姿ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ彩的正多边形
思考：如果你手中只有圆规和直尺，类比用量角器画正n边形的 方法，你能利用等分圆周法作出一个正六边形吗？同学们先独 立思考，然后小组讨论后动手画一画。
思考：还有别的方法吗？
怎样用直尺和圆规作一个正十二边形？作一个正 三角形呢？
学以致用 用直尺和圆规作一个正方形．
· O
尺规作图虽然是一种 准确的等分圆的方法，但 是它有一定的局限性，不 能将圆任意等分。
A
B
E
O
C
D
如何将圆周五等分?你有哪些方法呢？请同学 们先独立思考，然后小组讨论后动手画一画。
· O
猜想：顺次连结圆的五等分点所得的五边形是正五边形。
已知： 在⊙O 中，A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒E=E⌒A,
求证： 五边形ABCDE是正五边形。
A
证明： ∵AB=BC=CD=DE=EA,
B
E
∴ AB=BC=CD=DE=EA,
初三下数学课件(湘教版)-正多边形与圆
.在 Rt△OAG 中，OA＝4，AG＝BG＝2，∴OG＝ 42－22＝2 3，∴S6＝21 ×4×2 3×6＝24 3.答：这个正六边形的边长是 4，周长为 24，面积为 24 3.
14．如图所示，正五边形 ABCDE 的对角线 AC 和 BE 相交于点 M，求证：
(1)AC∥DE； 证明：∵五边形 ABCDE 为正五边形，∴AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA.∵∠ BAC＋∠BCA＋∠ABC＝180°，∠ABC＝108°，∴∠BAC＝36°.∵∠EAC＋ ∠BAC＝∠EAB＝108°，∴∠EAC＝72°.∵∠AED＝108°，∴∠EAC＋∠AED ＝180°，∴AC∥DE.
(1)证明：延长 BP 至 E，使 PE＝PC，连接 CE.∵A、B、P、C 四点共圆， ∴∠BAC＋∠BPC＝180°，∵∠BPC＋∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝ 60°，PE＝PC，∴△PCE 是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°.又∵∠BCE ＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP.∵△ABC、△ECP 为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，∴△BEC≌△APC(SAS)，∴PA＝ BE＝PB＋PC； (2)解：PA＝PC＋ 2PB，证明：过点 B 作 BE⊥PB 交 PA 于 E，∵∠1＋∠2 ＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝ 2PB. 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE.∴PA＝AE＋PE＝PC＋ 2PB；
__2_4___cm. 12．(毕节中考)正六边形的边长为 8cm，则它的面积是 96 3cm2 .
13．已知正六边形的半径为 4，如图，求这个正六边形的边长 a6，周长 P6， 面积 S6.
解：过 O 作 OG⊥AB 于 G，连接 OA、OB，∴∠AOB＝3660°＝60°.∵OA＝ OB，∴△OAB 是等边三角形，∴a6＝4.P6＝4×6＝24
14．如图所示，正五边形 ABCDE 的对角线 AC 和 BE 相交于点 M，求证：
(1)AC∥DE； 证明：∵五边形 ABCDE 为正五边形，∴AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA.∵∠ BAC＋∠BCA＋∠ABC＝180°，∠ABC＝108°，∴∠BAC＝36°.∵∠EAC＋ ∠BAC＝∠EAB＝108°，∴∠EAC＝72°.∵∠AED＝108°，∴∠EAC＋∠AED ＝180°，∴AC∥DE.
(1)证明：延长 BP 至 E，使 PE＝PC，连接 CE.∵A、B、P、C 四点共圆， ∴∠BAC＋∠BPC＝180°，∵∠BPC＋∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝ 60°，PE＝PC，∴△PCE 是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°.又∵∠BCE ＝60°＋∠BCP，∠ACP＝60°＋∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP.∵△ABC、△ECP 为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，∴△BEC≌△APC(SAS)，∴PA＝ BE＝PB＋PC； (2)解：PA＝PC＋ 2PB，证明：过点 B 作 BE⊥PB 交 PA 于 E，∵∠1＋∠2 ＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝ 2PB. 又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE.∴PA＝AE＋PE＝PC＋ 2PB；
__2_4___cm. 12．(毕节中考)正六边形的边长为 8cm，则它的面积是 96 3cm2 .
13．已知正六边形的半径为 4，如图，求这个正六边形的边长 a6，周长 P6， 面积 S6.
解：过 O 作 OG⊥AB 于 G，连接 OA、OB，∴∠AOB＝3660°＝60°.∵OA＝ OB，∴△OAB 是等边三角形，∴a6＝4.P6＝4×6＝24
湘教版九年级数学下册第二章《正多边形与圆(第1课时)》优质课件
E
.. O
D
rR
PC
1、正n边形的一个内角的度数是_（ __n___2） _•_1_8;0
n
360
中心角是_____n______; ２、正多边形的中心角与外角的大小关系是
____相__等__.
A
D
3、正方形ABCD的外接圆圆心
O叫做正方形ABCD的_中___心___.
.OO
4、正方形ABCD的内切圆的
解:由于ABCDEF是正六边形，所以 F
它的中心角等于360 60， 6
OBC是等边三角形，从而正 A
六边形的边长等于它的半径.
∴亭子的周长 L=6×4=24(m) B
在Rt OP中 C ，OC4，PCBC42 22
根据勾股定理，心可距r得 边4222 2 3
亭子的面 S积1Lr1242 22
341.6(m2)
2个全等的直角三角形
AOGBOG180 n
..O
R
C
a
AGB
设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距 r R2（ a）2 ， 2
面积S 1L•边心距r） （ 1na•边心距r） （
2
2
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
半径OE叫做正方形
ABCD的_边__心__距____.
B EC
５、图中正六边形ABCDEF的中心角是∠AOB 它的度数是 60度
E
D
F
.O
C
A
B
Ø能力提升
1. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB= 120°，则阴影部分的面积为 ( B )
湘教版九年级数学下册第二章《正多边形与圆》公开课课件
【综合运用】
18．(10 分)如图，把⊙O 分成相等的 6 段弧，依 次连接各分点得到六边 形 ABCDEF. 求证：六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形．
解：∵A︵B＝B︵C＝C︵D＝D︵E＝E︵F＝F︵A，∴AB＝BC
＝CD＝DE＝EF＝FA，∵12B︵CF＝12(B︵C＋C︵D＋D︵E＋ E︵F)＝2B︵C，12C︵DA＝12(C︵D＋D︵E＋E︵F＋F︵A)＝2C︵D，又 ∴∠A 的度数等于 2B︵C的度数，∠B 的度数等于 2C︵D的 度数，∴∠A＝∠B，同理可证∠B＝∠C＝∠D＝∠E ＝∠F＝∠A，又∵六边形 ABCDEF 的顶点都在⊙O 上，根据正多边形的定义，各边相等、各角相等，得
六边形 ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形
正多边形的有关概念 5．(4 分)中华人民共和国国旗上的五角星的画法 通常是先把圆五等分，然后连接五等分点而得(如图)， 五角星的每一个角为( C ) A．30° B．35° C．36° D．37° 6．(4 分)已知正六边形的边长为 12 cm，则这个正 六边形的边心距是( C ) A．6 cm B. 2 cm C．6 3 cm D．12 3 cm
三、解答题(共 30 分)
16．(10 分)有一个亭子，它的地基是半径为 8 m
的⊙O 的内接正六边形，求地基的周长和面积．(结果
保留根号)
解：周长为 48 m，面积为 96 3 m2
17．(10 分)正六边形的两条平行边间的距离为 12 cm，求它的外接圆的半径．
解：外接圆的半径为 4 3 cm
AEF 都内接于⊙O，EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，
H，则GEHF 的值是( C )
6 A. 2
B. 2
C. 3
2024九年级数学下册第2章圆2.7正多边形与圆课件新版湘教版 (1)
是这个正多边形的外接圆 .
感悟新知
知1－讲
特别解读 “各边相等，各内角相等”是正多边形的两
个基本特征，当边数n>3时，二者必须同时具备， 缺一不可.
感悟新知
3. 正多边形的有关概念(如图 2.7-1)
知1－讲
(1)正多边形的中心： 正多边形的外接圆的圆心叫作正多
边形的中心 .
(2)正多边形的半径： 正多边形的外接圆的半径叫作正多
边形的半径 .
感悟新知
知1－讲
(3)正多边形的中心角： 正多边形每一边所对的圆心角叫 作正多边形的中心角 .
(4)正多边形的边心距： 正多边形的中心到正多边形的一 边的距离叫作正多边形的边心距 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒： 边心距与弦心距的关系，边心距是正多边形 的中心到正多边形一边的距离，也可以看作正多边形的外接 圆中，圆心到正多边形的边(即外接圆的弦)的距离，即边 心距一定是弦心距，但弦心距不一定是边心距 .
知2－讲
感悟新知
知2－练
例2 已知正六边形 ABCDEF 的半径为 6，求这个正六边 形的边长 a6，周长 l6 和面积 S6.
解题秘方：巧用正六边形的边长、半径等关系进 行计算 .
Байду номын сангаас
感悟新知
解： 如图 2.7 － 3，设正六边形 ABCDEF 的中心 为点 O，过点 O 作 OG ⊥ AB 于点 G， 连接 OA， OB.
知3－讲
感悟新知
例3 作一个正三角形，使其半径为 0.9 cm.
知3－练
解题秘方：用量角器画时应先求出其中心角，用 尺规画时应先考虑等分圆周.
感悟新知
解：作法一 (1)作半径为 0.9 cm 的⊙ O；
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2.7 正多边形与圆
（第1课时）
三条边相等，三个角也 相等（60度）。 正多边形：
四条边都相等，四个 角也相等（90度）。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n(n≥3)条
边，那么这个正多边形叫做正n边形。
1、菱形是正多边形吗？矩形呢？正方形呢?
为什么？
２、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
4 2
2
2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41.6(m ) 2 2
（n 2） 180 1、正n边形的一个内角的度数是_________; n 360 中心角是___________; n
２、正多边形的中心角与外角的大小关系是 相等 ________.
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心。
A
A
D
B
C
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ∴AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ⌒ ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5 B
2. 如图，△ABC为等腰直角三角形， ∠A=90°，AB=AC=2，⊙A与BC相切， 则图中阴影部分的面积为( C ) A.1- 2 C.１- 4
B.1- 3
D.１- 5
ABCDEF的边长为2厘米, 分别以每个 顶点为圆心, 以1厘米为半径作弧, 求 这些弧所围成的图形(阴影部分)面 积.(精确到0.1平方厘米).
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
解: 由于ABCDEF是正六边形，所以
360 它的中心角等于 60， 6 OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径.
F
E
A
B
2
. .O
r R P
D
C
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
BC 4 在RtOPC中，OC 4，PC 2 2 2 根据勾股定理，可得边 心距r
A
3、正方形ABCD的外接圆圆心 中心 O叫做正方形ABCD的_______. 4、正方形ABCD的内切圆的 半径OE叫做正方形 ABCD的_________. 边心距
D
.O O
B E C
∠AOB ５、图中正六边形ABCDEF的中心角是 60度 它的度数是
E
D .O
F
C B
A
能力提升
1. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB= 120°，则阴影部分的面积为 ( B ) A.4π B.2π C.4/3π D.π
A
S阴 S 正六边形 6 S扇形AGH 3 120 1 2 6 2 6 4 360 6 3 2 4.1(cm2 )
2
G
B
●
H
F O E D
C
B
中心角 360 n
中心角
E
D
边心距把△AOB分成 F 2个全等的直角三角形
180 AOG BOG n
. .O
R a
C
A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r பைடு நூலகம்面积S
a ， ） R（ 2
2
2
1 1 L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
2 3
A
1
5
4
E
C
D
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
E
F
中心角
半径R . O.
D
边心距r
C
正多边形的边心距： A 中心到正多边形的一边的距离.
（第1课时）
三条边相等，三个角也 相等（60度）。 正多边形：
四条边都相等，四个 角也相等（90度）。
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正n边形：如果一个正多边形有n(n≥3)条
边，那么这个正多边形叫做正n边形。
1、菱形是正多边形吗？矩形呢？正方形呢?
为什么？
２、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的中心。
4 2
2
2 3
1 1 2 亭子的面积S Lr 24 2 3 41.6(m ) 2 2
（n 2） 180 1、正n边形的一个内角的度数是_________; n 360 中心角是___________; n
２、正多边形的中心角与外角的大小关系是 相等 ________.
３、边数是偶数的正多边形还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心。
A
A
D
B
C
B
C
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
—多边形是正多边形
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明：∵AB=BC=CD=DE=EA ∴AB=BC=CD=DE=EA ⌒ ⌒ ⌒ ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠5 B
2. 如图，△ABC为等腰直角三角形， ∠A=90°，AB=AC=2，⊙A与BC相切， 则图中阴影部分的面积为( C ) A.1- 2 C.１- 4
B.1- 3
D.１- 5
ABCDEF的边长为2厘米, 分别以每个 顶点为圆心, 以1厘米为半径作弧, 求 这些弧所围成的图形(阴影部分)面 积.(精确到0.1平方厘米).
例 有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形,
求地基的周长和面积(精确到0.1平方米).
解: 由于ABCDEF是正六边形，所以
360 它的中心角等于 60， 6 OBC是等边三角形，从而正 六边形的边长等于它的 半径.
F
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r R P
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∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
BC 4 在RtOPC中，OC 4，PC 2 2 2 根据勾股定理，可得边 心距r
A
3、正方形ABCD的外接圆圆心 中心 O叫做正方形ABCD的_______. 4、正方形ABCD的内切圆的 半径OE叫做正方形 ABCD的_________. 边心距
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.O O
B E C
∠AOB ５、图中正六边形ABCDEF的中心角是 60度 它的度数是
E
D .O
F
C B
A
能力提升
1. 如图，在同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB= 120°，则阴影部分的面积为 ( B ) A.4π B.2π C.4/3π D.π
A
S阴 S 正六边形 6 S扇形AGH 3 120 1 2 6 2 6 4 360 6 3 2 4.1(cm2 )
2
G
B
●
H
F O E D
C
B
中心角 360 n
中心角
E
D
边心距把△AOB分成 F 2个全等的直角三角形
180 AOG BOG n
. .O
R a
C
A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r பைடு நூலகம்面积S
a ， ） R（ 2
2
2
1 1 L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
2 3
A
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又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
正多边形的中心角: 正多边形的每一条 边所对的圆心角.
E
F
中心角
半径R . O.
D
边心距r
C
正多边形的边心距： A 中心到正多边形的一边的距离.