《近世代数基础》(修订本)张禾瑞.著__课后答案__PPt格式
近世代数基础PPT课件
近世代数是一门十分活跃又发展 迅速的学科，它的概念众多、内容丰富， 作为一门基础课，又限于教学时数，教 学时只能择其最基础的概念和基本的内 容。因此，有的课本就名曰《近世代数 基础》。
6
高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基 本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念， 因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加 深对概念的正确理解。
13
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方 程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之 下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运 算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不 能求根。
最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群 的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次 代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论 逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代 数产生的一个最重要的来源。
9
5.《近世代数》，吴品山，人民教育出版社，1979。 6.《抽象代数学》，谢邦杰，上海科学技术出版社， 1982。 7.《抽象代数基础》，刘云英，北京师范大学出版 社，1990年。 8. <<近世代数>>,杨子胥,高等教育出版社,2003年.
10
<<
近世代数教学PPT(精品)
一个集合可能只含有有限多个元素，这样的 集合叫做有限集合. 如，学校全体学生的集合； 一本书里面所有汉字的集合等等这些都是有 限集合. 如果一个集合是由无限多个元素组成的， 就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；全 体实数的集合. 不含任何元素的集合叫空集. 表示为：Ø
枚举法:
例如,我们把一个含有n个元素 a1 , a2 ,, an 的 a1 , a2 ,, an . 前五个 集合的有限集合表示成： 正整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
直到1824年一位年青的挪威数学家 N.Abel (1802-1829) 才证明五次和五次以上的一般代数方程 没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一 个已知的多项式能借助加、减、乘、除有理运算以及 开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。 最终解决这一问题的是一位法国年青数学家 E.Galois(1811—1832)，Galois引入了扩域以及群的 概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数 方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成 为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的 一个最重要的来源。
A1 A2 An 和 A1 A2 An
. 我们有
, n)
( x A1
A2
A) ( x至少属于某一Ai , i 1, 2,
, 拟枚 1,2,3,4,5....n..... 拟枚举： 自然数的集合可以记作 举可以用来表示能够排列出来的的集合 , 像 自然数、整数…
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞) (1)
近世代数课后习题参考答案
第二章群论
1群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件
''5,4来作群的定义:
'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立
'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1-a 能让 e aa =-1
证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1
得e a a =-1
因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'
1 所以))(()('
11
1
a a a a e a a ---=
e a a a e a a aa a ====----'1'1'11][)]([
即 e a a =-1
(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea =
a ae a a a a aa ea ====--)()(11
即 a ea =
这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1
-=
b be b aa b a a ===--)()(11
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到'
'
5,4是不困难的.
2单位元,逆元,消去律
1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2
,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111
近世代数教学 ppt课件
PPT课件
5
（1） 代数方程的解
两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 ax2+bx+c=0 方法解二次方程 。16世纪初欧洲 文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代 数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学 家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》 （Ars Magna）中给出了三、四次多项式的求根 公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五 次方程的一般求解方法，但是都失败了。
PPT课件
1
高度的抽象是近世代数的显著特点，它 的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽 象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要 多注意实例,以加深对概念的正确理解。
近世代数的习题，因抽象也都有一定的
难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的 环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习 题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课 内容。
近世代数
《近世代数》课程是现代数学的基础,既 是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的 继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛 函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学 王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生 必修的重要基础课。
同学应当具备有初等代数，高等代数的 背景，此外还有初等数论等方面的知识背景。
PPT课件
2
主要参考书
1．B．L．瓦德瓦尔登著：代数学Ⅰ、Ⅱ 卷，科学出版社，1964年版 2．N．贾柯勃逊著：抽象代数1、2、3卷， 科学出版社，1987年出版 3. <<近世代数基础>>，张禾瑞 ，高等教 育出版，1978年修订本。 4．刘绍学著：近世代数基础，高等教育 出版社，1999年出版
近世代数
1.6 分配律
定义6 设( S ,,) 是具有两个二元 代数运算“ +”的代数系。 ”和“
如果 a, b, c S 有：
a (b＋c) (a b) (a c) 则称“”对“＋”满足左分配律。
如果 a, b, c S 有：
(b＋c) a (b a) (c a)
[本章主要内容]
1）群、子群及相关性质； 2）置换群、循环群； 3）子群的陪集、正规子群； 4）群的同态；
2.1半群与群的概念 定义1 设“”时非空集合S上的一个二元 代数运算，称为乘法。若对a, b, c S 有(a b) c a (b c) 则称集合S对
则单位元用“0”表示。
定义8 设( S ,) 是一个代数系。若存在
一个元素 z S 使得 a S 有： z a a z z 则称z是“”的零元素.
定义9 设 ( S ,)是一个代数系。A, B S 定义： A B a b | a A且b B 简记为AB。而把 a b 写成ab。 特别地，当A＝{a}时，AB＝{a}B, 简记为aB，即：
a1 a2 an
定理 假如一个集合A的代数运算 适合 结合律，那么对于A的任意n (n 2)个 元 a1 , a2 , an ，所有的 (a1 , a2 , an ) 都相等；因此符号 a1 a2 an 也就总有意义。
近世代数基础
近 世 代 数
概 述
>>
1． 近世代数理论的三个来源 (1) 代数方程的解 (2) Hamilton四元数的发现 (3) Kummer理想数的发现
下一页
（1） 代数方程的解
两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开 方法解二次方程 ax2+bx+c=0 。16世纪初欧洲文 艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数 学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家 G.Cardano(1501-1576)在他的著作《大术》（ Ars Magna）中给出了三、四项多项式的求根公 式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次 方程的一般求解方法，但是都失败了。
Kummer方法的前提是形如a+bη的复整数也象 整数一样具有唯一的素因子分解，其中a与b是通 常整数。并不是对于每个整数n,复整数a+bη都具 有唯一分解性，Kummer把这种复整数的因子分解 称为理想数的分解。
近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-2
近世代数课后习题参考答案
第二章 群论
1 群论
1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?
证 不是一个群,因为不适合结合律.
2. 举一个有两个元的群的例子.
证 }1,1{-=G 对于普通乘法来说是一个群.
3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件 '
'5,4来作群的定义:
'4. G 至少存在一个右单位元e ,能让a ae = 对于G 的任何元a 都成立
'5. 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1
-a 能让 e aa =-1
证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由e aa =-1
得e a a =-1
因为由'4G 有元'a 能使e a a =-'
1 所以))(()('
11
1
a a a a e a a ---=
e a a a e a a aa a ====----'
1'
1
'
1
1
][)]([ 即 e a a =-1
(2) 一个右恒等元e 一定也是一个左恒等元,意即 由 a ae = 得 a ea = a ae a a a a aa ea ====--)()(1
1
即 a ea =
这样就得到群的第二定义. (3) 证 b ax =可解 取b a x 1
-=
b be b aa b a a ===--)()(1
1
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到'
'
5,4是不困难的.
2 单位元,逆元,消去律
1. 若群G 的每一个元都适合方程e x =2
,那么G 就是交换群. 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对G b a ∈,有ba a b ab ab ===---111