_三角函数的有关计算习题课

在Rt△ABC中,已知∠A= 75°, 斜边AB=6,求BC的长 0
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子 的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足 50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
B (2)当梯子底端距离墙面2.4m时, 角α是否在50°≤ α ≤75 °内 梯子与地面所成的角 α等于多 少(精确到1°)?这时人能否安 全使用这个梯子? 这个问题归结为: 在Rt△ABC中, 已知AC=2.4m,斜边AB=6, ,求锐 角α的度数?
CD 5 2 sin ∠DAC= AC 10 2
北
F
45°
1 2
A
∴ ∠ DAC=30° ∴∠CAF= ∠BAF -∠DAC= 45°-30°=15° ∴灯塔C处在观察站A的北偏西15°的方向
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观 察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
α＝22° 1.20 22.7
E
图 19.4.4
(课本93页)
建筑物BC上有一旗杆AB,由距BC 40m的D处观 察旗杆顶部A的仰角为50°,观察底部B的仰角 为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
A
B
D
40
C
例3. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
A
解；在Rt△ABD中，∠BAD＝30° BD＝AD· tan30°=40 3 在Rt△ACD中,∠CAD＝60° CD＝AD· tan60°=60 3 ∴BC＝BD+CD＝100 3 ∴山高100
C
3m
8.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有 暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得 小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果 渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的 危险？
B
12
D
9.如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B 在观察站A北偏西450的方向，灯塔C在B正东方向， 且相距10海里，灯塔C与观察站A相距10 2 海里， 请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
B
10 C 10 2
F
北
A
1 2
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
A
C
45° 60° D
B
2008沈阳中考 14．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，
12 BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE＝ ，则 5 河堤的高BE为 米．
B A E
C
D
2009沈阳中考 16．如图，市政府准备修建一座高AB＝6m的过街天 桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正
察站A相距10 2 海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向
∴ ∠B=45°
CD ∵sinB = CB
B
10 45° D
C
5 2
10 2
2 =5 2 sinB=10×sin45°= 10× ∴CD= BC· 2 ∵在Rt△DAC中，
A C
65° P
34°
B
1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克 准备通过一座和山顶的水平距离为1000米，山 高为565米，如果这辆坦克能够爬300 的斜坡， 试问：它能不能通过这座小山？
B
565米
A
1000米
C
5.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要 物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行 到达,到达后必须立即卸货.此时,接到气象部门 通知,一台风正以40海里/时的速度由A向北偏西 60°方向移动.距台风中心200海里的圆形区域北 (包括边界)均会受到影响. (1)问:B处是否受到台风的 C 影响?请说明理由. 60° (2)为避免受到台风的影响, 该船应在多少小时内卸完货物?
A
C
AC 0 cos 0.4 66 AB
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电 线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测 得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
1.20 22.7
图 19.4.4
例1.如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电 线杆22.7米的C处，用高1.20米的测角仪CD测 得电线杆顶端B的仰角a＝22°， 求电线杆AB的高．（精确到0.1米）
九年级数学(下)第一章 直角三角形的边角关系
3.三角函数的有关计算
1 . 如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°， 求∠B. AC 2, BC 6， 解：在Rt△ABC中，
∵tanB=
A
AC 2 3 BC 6 3
2
C
30°
6
B
∴∠B=30°
解:在Rt△ACD中，∠CAD＝30° CD ∴tan30°＝ AD 3 5 3 ∴CD＝AD· tan30°＝ 5 3 3 5 3 ∴CE＝1.7+ ≈4.6(m) 3 ∴棵树大约4.6m.
已知五个元素中的两个 3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； 元素（其中必须有一个 (1) ∠A＝45°, a= 3; 元素是边），则这样的 (2) c=8,b=4; 直角三角形可解.
思考：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余 元素呢？
则AC＝
8
，AB＝
10
.
在山脚C处测得山顶A的仰角为45°问题如下: 沿着水平地面向前300米到达D点在D点测得山 顶A的仰角为600 , 求山高AB.
A
B
D
40
C
2010年长沙 5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现 状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌 （如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测 得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和 45°．求路况显示牌BC的高度 解：∵在Rt△ADB中， ∠BDA＝45°，AB＝3 ∴DA＝3 在Rt△ADC中，∠CDA＝60°
∴CA= 3 3 ∴BC=CA－BA=( 3 3 －3)米 答：路况显示牌BC的高度是( 3 3 －3)米
CA ∴tan60°= AD
7.热气球的探测器显示,从 热气球看一栋高楼顶部的 仰角为30°,看这栋高楼底 部的俯角为60°,热气球与 高楼的水平距离为120m, 这栋高楼有多高?
B
α=30° 120 D β=60°
2
2
45°
B
D
30°
C
AD sinB = AB
∴AD=AB· sinB
∵在Rt△ACD中，∠C=30° ∴AC=2AD = 2 2
2 2 =2×sin45°= 2 2
知识的运用
4.如图,∠D＝90°,∠B=30°,∠ACD=45°, A BC=4cm,求AD.
解：在Rt△ACD中,∠BDA＝45° ∴CD=AD
CE 5 5 3 ∴sin ∠CAE= 10 2 AC 3 (舍去) ∴∠CAE≈15°
A
∴灯塔C处在观察站A的北偏西15° 的方向
1.在Rt △ABC中，∠C＝90°，已知a， ∠A的值，则c的值为
a a A. atanA B. asinA C. cos A D. sin A （ D ） 3 2.在Rt △ABC中，∠C＝90°，已知 tan A ，BC＝6， 4 一个直角三角形中，若
3 弦值为 ，则坡面AC的长度为 5
m．
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子 的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足 50°≤ α ≤75°.现有一个长6m的梯子.问:
B (1)使用这个梯子最高可以安全 攀上多高的平房?(精确到0.1m) 角α越大,攀上的高度就越高. 这个问题归结为:
A
C
BC AB sin75
2.如图,身高1.7m的小明用一 个两锐角分别是30°和60° 的三角尺测量一棵树的高度. 已知他与树之间的距离 为5m,那么这棵树大约 有多高?（精确0.1m）
3 .如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=30°， AB=2，求AC的长. 解：过A作AD⊥BC于D，
A
∵ 在Rt △ABD中,∠B=45°,AB=2，
B
A
解：过A作AF⊥BD于F.设AF＝x海里 在Rt△ABF中,∠BAF＝60° ∴BF=AF· tan60°＝ 3 x 在Rt△ADF中，∠DAF＝30° ∴DF=AF· tan30°=
A
30°
∵BF－DF=BD ，即
3 x 3
60°
x
F
3 3x x 12 ∴ x=6 3>8 ∴没有触礁的危险 3
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E, 设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x ∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2 ∴x2+(10+x)2=(10 2 )2 即：x2+10x-50=0
45°
B
10
C
55 3
10 2
E
10
北
x1 5 5 3, x2 5 5
x
30° 45° ┌
在Rt△ABD中，∠B＝30°
∴tan30°=
怎样做？ AD
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3x ∴BD= 3 AD ∵BD－CD=BC, 即 3 AD－AD＝4 ∴ AD＝2 3 +2