高考数学(人教,文)专题复习课件：专题17 不等式选讲
新课标通用版高考数学总复习精品课件：第16章 不等式选讲(2课时)
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§16.1 绝对值不等式
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高频考点 1 绝对值不等式的解法 【例 1.1】 (1)(2018 年高考·课标全国卷Ⅲ) 设函数 f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
图1 ①画出 y＝f(x)的图像； ②当 x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求 a＋b 的最小值．
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答案 1．(1)≥2ab a＝b (2)≥ ab a＝b
(3)算术 几何 (4)≥3 abc a＝b＝c (5)a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an 2．(1)ab≥0 (2)(a－b)(b－c)≥0
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高考数学一轮复习课件1--不等式选讲
1 －x－5 x＜－2， 1 解 (1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝ 3x－3 －2≤x＜4， x＋5 x≥4.
1 当 x＜－ 时，由 f(x)＝－x－5＞2 得，x＜－7.∴x＜－7； 2 1 5 当－2≤x＜4 时，由 f(x)＝3x－3＞2，得 x＞3， 5 ∴3＜x＜4；
[解答示范] (1)当 a＝1 时，f(x)≥3x＋2 可化为|x－1|≥2. 由此可得 x≥3 或 x≤－1. (3 分)
故不等式 f(x)≥3x＋2 的解集为{x|x≥3 或 x≤－1}．(5 分)
第(2)问解不等式|x－a|＋3x≤0的解集，结果用a表示， 再由{x|x≤－1}求a.
(2)由 f(x)≤0 得，|x－a|＋3x≤0.
当 x≥4 时，由 f(x)＝x＋5＞2，得 x＞－3，∴x≥4. 故原不等式的解集为
5 xx＜－7或x＞ 3 .
(2)画出 f(x)的图象如图： 9 ∴f(x)min＝－2.
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点； ②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取 每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代 数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
a 由题设可得－2＝－1，故 a＝2.(10 分)
本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档 题．解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号 转化为一元一次和一元二次不等式 (组)进行求解．含有多个绝 对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－ a|＋|x－b|＞m 或|x－a|＋|x－b|＜m(m 为正常数)，利用实数绝对 值的几何意义求解较简便．
高考数学最新真题专题解析—不等式选讲(全国通用)
解绝对值不等式的常用方法有：
（1）公式法：对于形如|f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x)，利用公式|x|<a⇔−a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<−a(a>0)直接求解不等式；
（2）平方法：对于形如|f(x)|≥|g(x)|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f(x)|≥|g(x)|⇔f(x)2≥g2(x)；
真题汇总及解析
1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数 ．
(1)求不等式 的解；
(2)若 对任意 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）讨论 ， ， ，写出 的解析式，分段讨论解不等式即可.
（2）当 时， 恒成立，所以 ，当 时， 恒成立，由绝对值三角不等式求出 的最小值即可求出答案.
即 得证.
(2)正数x，y满足 ，由柯西不等式可得
，
当且仅当 即 等号成立.，
即 得证.
10．（2022·江西赣州·二模（理））不等式 对于 恒成立．
(1)求证： ；(2)求证：
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值三角不等式可得出 ，再利用基本不等式可证得结论成立；
(1)若 ， ，求实数 的取值范围；
(2)求证： R， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 的范围，去掉绝对值，然后分段求解不等式即可.（2）由绝对值的三角不等关系，可得 ，然后根据基本不等式即可求解.
(1) 时， ，
高考数学2017届二轮复习不等式选讲名师精编课件(全国通用)
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(2)用图象法求解不等式 用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使 得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好 的方法． 2．解决含参数的绝对值不等式问题的两种常用方法 (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决； (2)借助于绝对值的几何意义， 先求出 f(x)的最值或值域， 然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．
所以原不等式的解集为
5 xx＜－7或x＞ 3
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.
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解法二：f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝
－x－5，x＜－1， 2 1 3x－3，－2≤x＜4， x＋5，x≥4.
画出 f(x)的图象
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大二轮 ·数交点为(－7,2)，3，2 .
5 由图象知 f(x)＞2 的解集为xx<－7或x＞3 .
9 (2)由(1)的解法二中的图象知：f(x)min＝－2.
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3．解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化 f(x)>a 恒成立⇔f(x)min>a； f(x)<a 恒成立⇔f(x)max<a； f(x)>a 有 解 ⇔ f(x)max>a ； f(x)<a 有 解 ⇔ f(x)min<a ； f(x)>a 无 解 ⇔ f(x)max≤a；f(x)<a 无解⇔f(x)min≥a.
专题17 不等式选讲-高考数学(理)十年真题(2010-2019)分类汇编(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题17不等式选讲历年考题细目表题型年份考点试题位置解答题2019 不等式选讲2019年新课标1理科23 解答题2018 综合测试题2018年新课标1理科23 解答题2017 综合测试题2017年新课标1理科23 解答题2016 综合测试题2016年新课标1理科24 解答题2014 综合测试题2014年新课标1理科24 解答题2013 综合测试题2013年新课标1理科24 解答题2012 综合测试题2012年新课标1理科24 解答题2011 综合测试题2011年新课标1理科24 解答题2010 综合测试题2010年新课标1理科24历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科23】已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．【解答】证明：（1）分析法：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．要证（1）a2+b2+c2；因为abc＝1．就要证：a2+b2+c2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2；（b+c）≥2；（c+a）≥2；当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8••24abc＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．2．【2018年新课标1理科23】已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，由f（x）＞1，∴或，解得x，故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞），（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，即|ax﹣1|＜1，∴﹣1＜ax﹣1＜1，∴0＜ax＜2，∵x∈（0，1），∴a＞0，∴0＜x，∴a∵2，∴0＜a≤2，故a的取值范围为（0，2]．3．【2017年新课标1理科23】已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x的二次函数，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4＝2x，解得x，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）＝2，f（x）≥f（﹣1）＝2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）＝f（﹣1）＝2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．4．【2016年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y＝f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x），由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x，即有﹣1＜x或1＜x；当x时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或x＜3．综上可得，x或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．5．【2014年新课标1理科24】若a＞0，b＞0，且．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b＝6？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且，∴2，∴ab≥2，当且仅当a＝b时取等号．∵a3+b3 ≥224，当且仅当a＝b时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥22，当且仅当2a＝3b时，取等号．而由（1）可知，2246，故不存在a，b，使得2a+3b＝6成立．6．【2013年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）＝x+3．（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y＝|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[，]时，f（x）＝1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[，]都成立．故a﹣2，解得a，故a的取值范围为（﹣1，]．7．【2012年新课标1理科24】已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．8．【2011年新课标1理科24】设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得1，故a＝29．【2010年新课标1理科24】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象：（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由于f（x），函数y＝f（x）的图象如图所示．（Ⅱ）由函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象可知，极小值在点（2，1）当且仅当a＜﹣2或a时，函数y＝f（x）与函数y＝ax的图象有交点．故不等式f（x）≤ax的解集非空时，a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，求含有绝对值的函数最值也是考查的热点．预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围，证明不等式为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈. （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2{|3x x <或()4cos(2)6f x x π=-；（2）空集. 【解析】解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩，解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或.（2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-， 由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解，所以实数a 的取值范围是空集（或者∅）. 2．已知()221f x x x =-++． （1）求不等式()6f x <的解集；（2）设m 、n 、p 为正实数，且()3m n p f ++=，求证：12mn np pm ++≤． 【答案】(1) ()1,3- (2)见证明 【解析】（1）①2x ≥时，()24133f x x x x =-++=-， 由()6f x <，∴336x -<，∴3x <，即23x ≤<，②12x -<<时，()4215f x x x x =-++=-，由()6f x <，∴56x -<，∴1x >-，即12x -<<， ③1x ≤-时，()42133f x x x x =---=-，由()6f x <，∴336x -<，∴1x >-，可知无解，综上，不等式()6f x <的解集为()1,3-； （2）∵()221f x x x =-++，∴()36f =， ∴()36m n p f ++==，且,,m n p 为正实数∴()222222236m n p m n p mn mp np ++=+++++=， ∵222m n mn +≥，222m p mp +≥，222n p np +≥， ∴222m n p mn mp np ++≥++，∴()()2222222363m n p m n p mn mp np mn mp np ++=+++++=≥++ 又,,m n p 为正实数，∴可以解得12mn np pm ++≤． 3．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|||2|(0)f x x m x m m =--+>. （1）当1m =，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭；（2）()0,2 【解析】（1）当1m =时，()1f x ≥为：1211x x --+≥当1x ≥时，不等式为：1211x x ---≥，解得：3x ≤-，无解当112x -≤<时，不等式为：1211x x -+--≥，解得：13x ≤-，此时1123x -≤≤- 当12x <-时，不等式为：1211x x -+++≥，解得：1x -≥，此时112x -≤<-综上所述，不等式的解集为113x x ⎧⎫-≤≤-⎨⎬⎩⎭（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立等价于()()max min |2||1|f x t t <++- 因为|2||1||(2)(1)|3t t t t ++-≥+--=，当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立 所以()min |2||1|3t t ++-=因为0m >时，()2f x x m x m =--+=2,23,22,m x m x m x x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，函数()f x 单调递增区间为(,)2m -∞-，单调递减区间为(,)2m-+∞ ∴当2m x =-时，()max 322m mf x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭332m∴<，又0m >，解得：02m << ∴实数m 的取值范围()0,24．选修4-5不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x -+≤的解集为{|2}x x ≤-，其中0m >. （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：2222b c aa b c++≥.【答案】（1）2m =（2）见证明 【解析】（1）由题意知：20x m x -+≤即20x m x m x ≥⎧⎨-+≤⎩或20x mm x x ≤⎧⎨-+≤⎩化简得：3x mm x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或x m x m ≤⎧⎨≤-⎩ 0m > ∴不等式组的解集为{}x x m ≤- 2m ∴-=-，解得：2m =（2）由（1）可知，2a b c ++=由基本不等式有：22b a b a +≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥三式相加可得：222222b c a a b c b c a a b c +++++≥++222b c a a b c a b c ∴++≥++，即：2222b c a a b c++≥ 5．选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x a =+++ （1）当1a =-时，解不等式()2f x ≥；（2）若存在0x 满足00()211f x x ++<，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或 (2) 24a << 【解析】（1）当1a =-时，()|1||31|f x x x =++-，当13x ≥时，不等式等价于1312x x ++-≥，解得12x ≥，12x ∴≥； 当113x -<<时，不等式等价于1312x x +-+≥，解得0x ≤，10x ∴-<≤；当1x ≤-时，不等式等价于1312x x ---+≥，解得12x ≤-，1x -∴≤.综上所述，原不等式的解集为1|02x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或. （2）由()00211f x x ++<，得003131x x a +++<，而()()000000313333333|3|x x a x x a x x a a +++=+++≥+-+=-， （当且仅当()()003330x x a ++≤时等号成立） 由题可知min (()2|1|)1f x x ++<，即31a -<， 解得实数a 的取值范围是24a <<. 6．已知函数()|2|f x ax =-.（Ⅰ）当4a =时，求不等式()|42|8f x x ++≥的解集；（Ⅱ）若[2,4]x ∈时，不等式()|3|3f x x x +-≤+成立，求a 的取值范围.【答案】（I ）(,1][1,)-∞-+∞；（II ）[1,2]- 【解析】（I ）当4a =时，原不等式即|42||42|8x x -++≥，即|21||21|4x x -++≥.当12x ≥时，21214x x -++≥，解得1x ≥，∴1x ≥； 当1122x -≤≤时，12214x x -++≥，无解；当12x ≤-时，12214x x ---≥，解得1x ≤-，∴1x ≤-；综上，原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞（II ）由()|3|3f x x x +-≤+得|2||3|3ax x x -+-≤+（*） 当[2,3]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|2ax x x ax x -+-≤+⇔-≤即22a x -≤，所以2222a x x -+≤≤+恒成立，所以813a -≤≤ 当(3,4]x ∈时，（*）等价于|2|33|2|6ax x x ax -+-≤+⇔-≤ 即48ax -≤≤，所以48a x x-≤≤恒成立，所以12a -≤≤ 综上，a 的取值范围是[1,2]-7．已知函数()21f x x x a =-++，()2g x x =+． （1）当1a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）设12a >-，且当1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，()()f x g x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）()0,2；（2）11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦ 【解析】（1）当1a =-时，不等式()()f x g x <化为：21120x x x -+---<当12x ≤时，不等式化为12120x x x -+---<，解得：102x <≤当112x <≤时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：112x <≤当1x >时，不等式化为21120x x x -+---<，解得：12x << 综上，原不等式的解集为()0,2 （2）由12a x -≤<，得221a x -≤<，21210a x --≤-< 又102x a a ≤+<+ 则()()211f x x x a x a =--++=-++∴不等式()()f x g x ≤化为：12x a x -++≤+得21a x ≤+对1,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭都成立 21a a ∴≤-+，解得：13a ≤又12a >-，故a 的取值范围是11,23⎛⎤- ⎥⎝⎦8．已知函数()|2|f x x =-．（Ⅰ）求不等式()|1|f x x x <++的解集；（Ⅱ）若函数5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（II ）(,1)-∞【解析】解：（I ）由已知不等式()|1|f x x x <++，得|2||1|x x x -<++， 当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥； 当12x -<<时，不等式为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <<； 当1x ≤-时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解． 综上：不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（II ）若5log [(3)()3]y f x f x a =++-的定义域为R ，则(3)()30f x f x a ++->恒成立． ∵|1||2|3|12|333x x a x x a a ++--≥+-+-=-，当且仅当[1,2]x ∈-时取等号． ∴330a ->，即1a <．所以实数a 的取值范围是(,1)-∞． 9．已知函数()123f x x x =-+-． （Ⅰ）解关于x 的不等式()4f x ≤；（Ⅱ）若()20f x m m -->恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）()2,1-.【解析】解：（I ）当1x ≤时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故1x =． 当13x <<时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得1x ≥，故13x <<1＜x ＜3， 当3x ≥时，不等式为：()1234x x -+-≤，解得113x ≤，故1133x ≤≤． 综上，不等式()4f x ≤的解集为111,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（II ）由()20f x m m -->恒成立可得()2m m f x +<恒成立．又()37,35,1337,1x x f x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-+≤⎩，故()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,3上单调递减，在[)3,+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为()32f =． ∴22m m +<，解得21m -<<． 即m 的最值范围是()2,1-．10．已知函数()211f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）记函数()f x 的最小值为m ，若,,a b c 均为正实数，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值. 【答案】（Ⅰ）{}11x x x ≤-≥或；（Ⅱ）914. 【解析】（Ⅰ）由题意， 3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，所以()3f x ≥等价于133x x ≤-⎧⎨-≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩或1233x x ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩.解得：1x ≤-或1x ≥，所以不等式的解集为{}11x x x ≤-≥或； （Ⅱ）由(1)可知,当12x =时, ()f x 取得最小值32,所以32m =，即233a b c ++=， 由柯西不等式得2222222()(123)(23)9a b c a b c ++++≥++=， 整理得222914a b c ++≥， 当且仅当123a b c ==时, 即369,,141414a b c ===时等号成立.所以222a b c ++的最小值为914.11．已知函数()12f x x a x =+++. （Ⅰ）求1a =时，()3f x ≤的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值. 【答案】（Ⅰ）[3,0]-； （Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当1a =时，232()12121231x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+≥-⎩∵()3f x ≤当2x -≤时()233f x x =--≤解得32x -≤≤-当21x -<<-时()13f x =≤恒成立当1x -≥时()233f x x =+≤解得10x -≤≤ 综上可得解集[3,0]-.（Ⅱ）(1)212()12(1)2121(1)211a x a x f x x a x a x a x a x a x -+--≤-⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++≥-⎩当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且10a -≤，即11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= 当(1)0a -+<且10a ->，即1a >时， min ()(2)1f x f =-= 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-；当11a -<≤时， min ()(1)f x f a =-= ； 当1a >时， min ()(2)1f x f =-=； 12．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|23||1|f x x x =--+. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）设集合M 满足：当且仅当x M ∈时，()|32|f x x =-，若,a b M ∈，求证：228223a b a b -++≤. 【答案】(1) {}210x x -≤≤；(2)见解析. 【解析】（1）()4,1323132,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <- 时，46x -+≤ ，得2x -≥ ，故21x -≤<-； 当312x -≤≤时，326x -+≤ ，得43x ≥- ，故312x -≤<；当32x >时，46x -≤ ，得10x ≤ ，故3102x <≤； 综上，不等式()6f x ≤的解集为{}210x x -≤≤（2）由绝对值不等式的性质可知()231(23)(1)32f x x x x x x =--+≤-++=- 等价于23(1)32x x x -≤-++-，当且仅当(23)(1)0x x -+≤，即213x -≤≤时等号成立，故21,3M ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦所以221,133a b -≤≤-≤≤， 所以222510(1),4(1)99a b ≤-≤-≤--≤-， 即228(1)(1)3a b ---≤.13．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()31f x x m x m =---- （1）若1m =，求不等式()1f x <的解集.（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）(,3)-∞；（2）1123m -≤≤ 【解析】（1）()141f x x x =---<，所以11441(4)11(4)1141x x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨---<---<--+<⎩⎩⎩或或解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞. (2)当131,2m m m +>>-时，由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合， 所以1231,3m m ≥+∴≤，所以1123m -<≤，当131,2m m m +==-时，不等式恒成立，当131,2m m m +<<-时，由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合，由题得1231,3m m ≤+≥，所以m 没有解.综上，1123m -≤≤. 14．已知()21f x x x =+-． （1）证明()1f x x +≥； （2）若,,a b c +∈R ，记33311134abc a b c +++的最小值为m ，解关于x 的不等式()f x m <． 【答案】(1)见证明；(2) 2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）()2212211f x x x x x x +=+-≥-+=．当且仅当()2x 2x 10-≤,等号成立（2）∵333333311131333333234444abc abc abc abc m a b c a b c abc abc +++≥+=+≥⋅==，当且仅当a=b=c 等号成立由不等式()3f x <即()213f x x x =+-<．由()31,01211,02131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+≤⎪⎪=+-=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩得：不等式()3f x <的解集为2433x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．15．选修4—5：不等式选讲已知函数()11f x x mx =++-，m R ∈。
2021年全国高考数学人教新版特色专题：不等式选讲-(讲义教师版)
不等式选讲知识集结知识元绝对值不等式的解法不等式的证明知识讲解1．不等式的证明【知识点的知识】证明不等式的基本方法：1、比较法：（1）作差比较法①理论依据：a＞b⇔a﹣b＞0；a＜b⇔a﹣b＜0．②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．（2）作商比较法①理论依据：b＞0，＞1⇒a＞b；b＜0，＜1⇒a＜b；②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．2、综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．3、分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．4、放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．常用的放缩技巧有：例题精讲不等式的证明例1.（2021春∙中山市期末）求证：【答案】详见解析【解析】题干解析:证明：，即证明，左右两边同时平方，左边=，右边=，则左边>右边即所以。
2020版高考理数：专题(17)不等式选讲ppt课件三
考点 不等式选讲 考法1 绝对值三角不等式的应用
例1、[课标全国Ⅱ2018·23]设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
5
考点 不等式选讲 考法2 数形结合解绝对值不等式
例2、[课标全国Ⅲ2018·23]设函数f (x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
6
考点 不等式选讲
7
考点 不等式选讲 考法3 求含参的绝对值不等式的参数范围
利用不等式的证明考查变形及转化与化归能力 例4、[课标全国Ⅱ2017·23]已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：
10
考点 不等式选讲
例5、[课标全国Ⅱ2016·24]已知函数f(x)＝ 集．
(1)求M； (2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.
M为不等式f(x)＜2的解
11
考点 不等式选讲
专题十七 不等式选讲
1 目录
CONTENTS
考点 不等式选讲
考点 不等式选讲
必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力
考点 不等式选讲 考法例析 成就能力
本专题主要考查绝对值不等式的求解、恒成立问题、存 在性问题以及不等式的证明，多以解答题的形式出现，难 度中等，分值10分．
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例3、[课标全国Ⅰ2017·23]已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
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考点 不等式选讲 考法3 求含参的绝对值不等式的参数范围
例3、[课标全国Ⅰ2017·23]已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
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考点 不等式选讲 考法4 不等式的证明
例5、[课标全国Ⅱ2016·24]已知函数f(x)＝ 集．
第十七章 不等式选讲
ｆ（ ｘ） ≥６⇔
－２ｘ－
或 １≥６
３≥６
或 ２ｘ＋１≥６，
解得
ｘ≤－
７ ２
或
ｘ≥
５ ２
，
{ } 故原不等式的解集是 ｘ
ｘ≤－
７ ２
或
ｘ≥
５ ２
．
（２）ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ－１ ｜ ＋ ｜ ｘ＋ａ２ ｜ ≥ ｜ （ｘ－１） －（ｘ＋ａ２） ｜ ＝ ｜ ａ２ ＋１ ｜ ＝ ａ２ ＋
１，且 ｆ（１） ＝ ａ２ ＋１，故 ｆ（ ｘ） ｍｉｎ ＝ ａ２ ＋ １，存在 ｘ０ ∈Ｒ，使得 ｆ（ ｘ０ ） ＜ ４ａ
对应学生用书起始页码 Ｐ２８１
⇔ｍ≥ ｜ ｆ（ ｘ） ｜ ｍａｘ ； （２） ｜ ｆ（ ｘ） ｜ ≥ｍ 有解⇔ｍ≤ ｜ ｆ（ ｘ） ｜ ； ｍａｘ ｜ ｆ（ ｘ） ｜ ≤ｍ 有解⇔ｍ
≥ ｜ ｆ（ ｘ） ｜ ｍｉｎ ； （３） ｜ ｆ（ ｘ） ｜ ≥ｍ 无解⇔ｍ＞ ｜ ｆ（ ｘ） ｜ ； ｍａｘ ｜ ｆ（ ｘ） ｜ ≤ｍ 无解⇔ｍ＜
ìïｘ － ４，ｘ≤ － １，
解析
（ １） ｆ（ ｘ） ＝
ïï３ｘ － ２，－ １ ＜ ｘ≤ í
３ ２
，
ï îï－ ｘ ＋ ４，ｘ ＞
３ ２
，
ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象如图所示．
（３ 分） （５ 分）
（２） 由 ｆ（ｘ）的表达式及图象，当 ｆ（ｘ）＝ １ 时，可得 ｘ ＝ １ 或 ｘ ＝ ３；
（６ 分）
仅当（ ａ－ｂ） （ ｂ－ｃ） ≥０ 时，等号成立；
③ ｜ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ｜ ≤ ｜ ａ＋ｂ ｜ ．
注意：含绝对值的三角不等式 ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ≤ ｜ ｜ ａ ｜ － ｜ ｂ ｜ ｜ ≤ ｜ ａ±ｂ ｜
【3年高考2年模拟】高考数学一轮复习 第十七章 不等式选讲课件 理 新人教A
高考数学文科二轮专题攻略课件：第十七讲 不等式选讲
考点聚焦 栏目索引
2.|x-a|+|x-b|≥c(c>0),|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根;
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(2)把这些根由小到大排序,它们把数轴分为若干个区间; (3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得 的不等式在这个区间上的解集; (4)这些解集的并集就是原不等式的解集.
∴原不等式可化为|x-1|≥2x2,即x-1≥2x2或x-1≤-2x2,
解得-1≤x≤
1 2
,故不等式的解集为
x
|
1
x
1 2
.
(2)不等式g(x)+c≤f(x)-|x-1|可化为|x-1|≤2x2-c,
即c≤2x2-|x-1|恒成立,
令函数F(x)=
2x2
2
x2
x x
1, 1,
x x
1, 1,
称,且f(x)=x2+2x.
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(1)解关于x的不等式g(x)≥f(x)-|x-1|;
(2)如果∀x∈R,不等式g(x)+c≤f(x)-|x-1|恒成立,求实数c的取值范
围.
考点聚焦 栏目索引
解析 (1)∵函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,
∴g(x)=-f(-x)=-x2+2x, 高考导航
n
n
n
5.ai∈R,bi∈R(i=1,2,…,n),
i 1
ai2
i 1
bi2
≥(
aibi)2.
i 1
考点聚焦 栏目索引
已知函数f(x)=|x-1|.
高考导航
(1)求不等式f(x)≥3-2|x|的解集;
第十七章 不等式选讲.pptx
解析 (1)解法一:f(x)= 2x 1, 1 x 2,
3, x 2.
当x<-1时, f(x)≥1无解; 当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2; 当x>2时,由f(x)≥1解得x>2. 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. 解法二:由|x+1|-|x-2|≥1,得|x+1|≥|x-2|+1则x+1≥|x-2|+1,即|x-2|≤x①, x+1≤-|x-2|-1,即|x-2|≤-x-2②. 解①式有-x≤x-2≤x,得x≥1,解②式有x+2≤x-2≤-x-2,x无解. 所以不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}. (2)解法一:由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|
7.(2015课标全国Ⅰ,24,10分,0.48)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解析 (1)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
=-
|
x
|
3 2
2
+ 5 ≤ 5 ,
44
当且仅当x= 3 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= 5 .
2
4
因为原不等式的解集非空,
2020版高考理数：专题(17)不等式选讲ppt课件二
恒成立，实数m的
最大值为t.
(1)求实数m的最大值t；
(2)已知实数x，y，z满足2x2＋3y2＋6z2＝a(a>0)，且x＋y＋z的最大值为 求a的值.
20
考点 不等式选讲
21
(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法
脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距
离求解．
(5)图像法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像，利用函数
(1)分类讨论去绝对值符号，将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图
像，求得最值．
(2)利用性质
来求最值或证明，这时常要对绝
对值内的式子进行分析、组合、添项、拆项，使要证明的式子与已知联系起
来，从而完成证明．
(3)利用基本不等式求出相应函数的最值，注意“一正、二定、三相等”的要
求．
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考点 不等式选讲
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考点 不等式选讲
例3 [河南信阳高级中学2018月考]设f(x)＝|x＋1|－|2x－1|.
(1)求不等式
的解集；
(2)若不等式满足
对任意实数x≠0恒成立，求实数a的取值范围．
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考点 不等式选讲
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考点 不等式选讲
例4 [辽宁铁东2018二模]已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－1|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (1)求不等式f(x)＜2的解集；
(3)若待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法证明．在必要的情况 下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．
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考点 不等式选讲
不等式选讲()-2017年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破含解析
【2017年高考考纲解读】本讲内容在高考中主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法以及不等式证明问题，其中绝对值不等式的解法常与集合及不等式恒成立等结合在一起综合考查.求解时要注意去掉绝对值符号的方法，绝对值的几何意义以及转化与化归、数形结合思想的应用.高考对本内容的考查主要有：（1）含绝对值的不等式的解法；B级要求．(2)不等式证明的基本方法；B级要求．(3）利用不等式的性质求最值；B级要求．（4)几个重要的不等式的应用．B级要求。
【重点、难点剖析】1．含有绝对值的不等式的解法(1)|f（x)｜>a(a〉0)⇔f(x）〉a或f（x)〈－a；（2)|f（x）｜<a（a>0)⇔－a〈f(x)<a；（3)对形如|x－a｜＋|x－b|≤c，｜x－a｜＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质|a｜－|b|≤|a±b｜≤｜a|＋|b｜。
此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a，b∈R,则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b 时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则错误!≥错误!，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3:如果a，b，c为正数，则错误!≥错误!，当且仅当a＝b＝c时,等号成立．定理4:（一般形式的算术—几何平均不等式）如果a1、a2、…、a n为n个正数，则错误!≥错误!，当且仅当a1＝a2＝…＝a n时，等号成立．4．柯西不等式(1)设a，b,c，d为实数，则（a2＋b2)(c2＋d2)≥（ac ＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若a i,b i(i∈N*）为实数，则（错误!错误!）错误!≥(错误!i b i)2，当且仅当b i＝0(i＝1,2，…，n）或存在一个数k，使得a i ＝kb i(i＝1,2,…，n)时，等号成立．（3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式｜a｜－|b｜≤|a±b|≤|a|＋|b|.需要灵活地应用．6．不等式的性质，特别是基本不等式链错误!≤错误!≤错误!≤ 错误!（a>0，b>0），在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等。
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考法1 绝对值不等式的解法
解含有绝对值的不等式的常用方法有以下几种：公式法、平方法、零点划分区间法、几何法．对 于不同类型的题目，需灵活选用不同的方法．具体如下： 类型1 |ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法(公式法) (1)若c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c， |ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a，b的值求解即可． (2)若c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R. 类型2 |x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)零点划分区间法：若不等式含有两个或两个以上的绝对值并且含有未知数，通常先求出每个绝 对值的原数值等于零的未知数的值(即零点)，然后将这些零点标在数轴上，此时数轴被零点分成 了若干个区间．在每一个区间里，每一个绝对值符号内的代数式有一个确定的符号，此时利用绝 对值的定义可以去掉绝对值符号．原不等式的解集就是这若干个区间上不等式解集的并集． 【注意】每个区间上的解集应该是该区间的子集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．
1．绝对值不等式的解法 (1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的方法转化为一元二次不等式来求解． (2)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集
(3)形如|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解集： |ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c(c>0)， |ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)． 2．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成 立． 上述定理还可以推广得到以下几个不等式： (1)|a1＋a2＋„＋an|≤|a1|＋|a2|＋„＋|an|； (2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|； (3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
专题17
不等式选讲
专题17
不等式选讲
600分基础 考点&考法 700分综合 考点&考法
600分基础 考点&考法
考点85 绝对值不等式的解法及其应用 考点86 证明不等式的基本方法
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考点85 绝对值不等式的解法及其应用
考法1 绝对值不等式的解法
考法2 绝对值三角不等式的应用
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考点85 绝对值不等式的解法及其应用
考法5 分类讨论、数形结合在含参绝对值不 等式中的应用
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考法5 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用
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考法5 分类讨论、数形结合在含参绝对值不等式中的应用
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【防错预警】在利用基本不等式解决最值问题时，应注意等号成立的条件能 否成立．
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考法3 基本不等式及其应用
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考法4 不等式的证明
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考法4 不等式的证明
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700分综合 考点&考法
考点87 分类讨论、数形结合在含参绝对值不 等式中的应用
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考点87 分类讨论、数形结合在含 参绝对值不等式中的应用
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考法1 绝对值不等式的解法
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考法1 绝对值不等式的解法
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考法2 绝对值三角不等式的应用
绝对值三角不等式定理 常用来解决与最值有关 的恒成立问题． 不等式的解集为R是指不 等式的恒成立问题，而 解集为∅的不等式的对 立面也是不等式恒成立 问题(如f(x)>m的解集是∅， 则f(x)≤m恒成立)，这两 类问题都可以转化为最 值问题，即f(x)<a恒成立 a>f(x)max , f(x)>a恒成立 a<f(x)min .
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考法2 绝对值三角不等式的应用
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考点86 证明不等式的基本方法
考法3 基本不等式及其应用
考法4 不等式的证明
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考点86 证明不等式的基本方法
考法3 基本不等式及其应用
高考中主要考查利用基本不等式求最值或证明不等式．具体考法、思路可参 照不等式专题的有关章节． 1．利用算术平均—几何平均定理求代数式的最值，关键是合理使用“拆、拼、 凑”的技巧，得到满足“正、定、等”三个条件的式子．对于含分母的式子， 常常采用分离变量的方法，而分离变量常使用平方差公式，这样可以简化运 算过程．有时候为了简化分母，还可以对分母进行代换． 2．已知不等式对变量在某个范围内恒成立，求不等式中参数的最值，关键是 将参数分离出来，转化为利用定理求与变量有关的式子的最大值或最小值． 3．证明不等式时，应创设利用定理的条件进行拆与凑，证明过程中要注意等 号是否成立，多次使用定理时等号成立的条件是否能够保证． 【说明】在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别 是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立．