铅球投掷模型
完整的数学建模(铅球投掷)
承诺书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： C我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)：所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期： 2012 年 05 月21 日编号专用页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表铅球投掷问题摘要本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论，研究了根据实际怎样控制水平距离的因素，才能使得铅球飞行更远．运用了力学知识，抛物线规律及数学软件的辅助，建立了各种最佳投掷模型。
即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，对应的出手角度在37.2707°左右时能使得投掷距离最大，而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力，同时采用旋转投掷法，从腰间发力，在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用．关键词：铅球投掷投掷距离出手角度出手速度最佳一、问题的提出铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
如图1：图1 铅球投掷场地根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为35°—41°,出手速度一般为13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般为1.9m—2.1m……………[1]。
铅球掷远问题的数学模型
铅球掷远问题的数学模型颜学友1，黄兰香1，黄旺林21．韶关学院2001级数学系数学与应用数学(1)班，广东韶关512005； 2． 韶关学院2002级计算机系本科(2)班，广东韶关512005[摘要]：本文综合考虑铅球的受力情况，抓住出手角度、出手速度、出手高度与投掷距离的关系，从解析几何角度考虑铅球的运动方程，进而得出了反映铅球掷远距离与三者函数关系的模型Ⅰ．为了得到更为合理的数学模型，我们进一步观察整个投掷过程，将整个过程分为滑步用力阶段和展臂脱手两个阶段．再对两个阶段分别进行合理的分析，进一步考虑推力、初速度、加速度、出手速度等因素之间的相互关系，对以上模型进行了改进，得到了更为合理的模型Ⅱ．在以上模型的基础上固定出手高度，求出了最佳出手角度为πθk 2±]4/,0(π∈，N k ∈,其中))/(arccos(2/12v gh gh +=θ．另外，运用数值极差法和图象分析法，得出了速度的灵敏性高于出手角度．关键词：出手速度；出手角度；出手高度；灵敏性1 问题的提出铅球掷远比赛要求运动员在直径2.135m 的圆内将重7.257kg 的铅球投掷在 45的扇形区域内，如右图．综合分析铅球的运动过程建 立分别符合以下要求的两个数学模型：1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型； 2．考虑运动员推铅球时用力展臂的动作，改进以上模型．3．在此基础上，给定出手高度，对于 不同的出手速度，确定最佳出手角度4．比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性．2 模型的分析2．1 模型Ⅰ2．1.1 模型的假设与符号约定1 忽略空气阻力对铅球运动的影响．2 出手速度与出手角度是相互独立的．3 不考虑铅球脱手前的整个阶段的运动状态． 2．1.2 符号约定v 铅球的出手速度 θ 铅球的出手角度 h 铅球的出手高度 t 铅球的运动时间 L 铅球投掷的距离g 地球的重力加速度(2/8.9s m g =)2．1.3 问题的分析问题1要求我们以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型．我们只需求出掷远的距离关于三者的函数关系式．这样，我们合理地简化其他影响因素，从物理、数学上得出关系式即可． 2.1.4 模型的建立与求解铅球出手后，由于是在一个竖直平面上运动．我们，以铅球出手点的铅垂方向为y 轴，以y 轴与地面的交点到铅球落地点方向为x 轴构造平面直角坐标系．这样，铅球脱手后的运动路径可用平面直角坐标系表示，如图(1)．因为，铅球出手后，只受重力作用（假设中忽略空气阻力的影响），所以，在x 轴上的加速度0=，在y 轴上的加速度g a y -=．如此，从解析几何角度上，以时间 t 为参数，易求得铅球的运动方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-==h gt t v y t v x 221sin cos θθ 对方程组消去参数t ，得h x x v gy ++-=)(tan cos 2222θθ……………………………………………(1) 当铅球落地时，即是0=y ，代入方程(1)解出x 的值v ggh gh v g v x θθθθθ2222sin 22cos sin cos sin 2-++=对以上式子化简后得到铅球的掷远模型θθθ22222cos 22sin 222sin g v h g v g v L +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=………………………………(2) 2.1.5 模型的检验以下是我国两名优秀女运动员一次投掷的成绩： 从以上数据，我们可以看出由模型Ⅰ计算的结果与实际投掷距离是比较吻合的．但也有一定的误差，这是由于我们忽略了过多的因素，下面我们尽量考虑所涉及到的因素建立模型Ⅱ．2.2 模型Ⅱ2.2.1 模型的假设1 忽略空气阻力对铅球运动的影响．2 手对铅球的推力是一个恒力．3 在铅球脱手前，铅球的运动方向与出手角度一致．4 铅球从静止到运动期间运动的路径是直线的．5 不考虑运动员的身体素质和心理素质对投掷铅球的影响．6 铅球出手瞬间肩部恰在场地边界． 2.2.2 符号约定v 铅球的出手速度 θ 铅球的出手角度 h 铅球的出手高度g 地球的重力加速度(2/8.9s m g =) F 手对铅球的推力m 铅球的质量(m=7.257kg)'h 铅球出手瞬间肩部的高度L 铅球出手后运动的距离1L 手臂的长度 2L 铅球加速的距离S 铅球投掷的总成绩 2.2.3 问题的分析在模型Ⅰ中，我们假设出手速度和出手角度是相互独立的．事实上，整个投掷过程包括滑步用力阶段和展臂脱手阶段，（如图(2)）．它们是相互联系的．所以，模型Ⅰ中假设出手速度和出手角度相互独立是不合理的．现在，我们观察以上两个阶段，铅球从A 点运动到B 点,其运动状态是匀加速直线运动的,加速距离是2L 段．且出手高度与手臂长及出手角度是有一定的联系，进而合理地细化各个因素对掷远成绩的约束，改进模型Ⅰ．２.2.4 模型的建立与求解在投掷角度为θ上进行受力分析，如图(3)由牛顿第二定 律可得，ma mg F =-θsin 再由上式可得，θsin g mFa -=………………………………………(3) 又，22022aL v v =-，即22022aL v v += (4)将(3)代入(4)可得，θsin 2222202g L m FL v v -⎪⎭⎫⎝⎛+= ………………………(5) (5)式进一步说明了，出手速度v 与出手角度θ有关，随着θ的增加而减小．模型Ⅰ假设出手速度与出手角度相互独立是不合理的． 又根据图(2),有θsin 1'L h h += (6)由模型Ⅰ,同理可以得到铅球脱手后运动的距离θθθ22222cos 22sin 222sin g v h g v g v L +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 将 (4)、(5)、(6)式代入上式整理，得到铅球运动的距离()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθθθ22220'2220sin sin 22sin 2112sin 2sin 22g L m FL v h g g g L m FL v L 对上式进行化简：将m=7.257kg,2/8.9s m g = 代入上式，再令m h 60.1'= (我国铅球运动员的平均肩高)，代入上式进一步化简得，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-++⨯θθθθθ2222232222sin sin 6.192756.06.19sin 6.19sin 2756.0sin 1L FL v L FL v ………………(7) 所以,运动员投掷的总成绩θcos 1L L S +=即为模型Ⅱ．一般情况下，129.1L L =．将2L 代入以上模型，得到S 关于F 和θ的函数关系式(手臂()θθ2sin sin 6.192756.051.0222L FL v L -+=长1L 是常数)．为了了解S 对F 和θ的关系，我们令m L 8.01=，分别用数学软件MAPLE 作出S 对F (令θ=37.6)和S 对θ的图象(令F=350N)供参考：2.3给定出手高度，对于不同的出手速度，要确定最佳的出手角度．显然，是求极值的问题，根据微积分的知识，我们要先求出驻点，首先，模型一中L 对θ求导得，g hv g v g hv v g v d dL θθθθθθθθ22224242cos 82sin sin cos 42cos 2sin 2cos +-+=令0=θd dL,化简后为， 0sin cos 42cos 2sin cos 82sin 2cos 2422242=-++θθθθθθθhgv v hgv v v根据倍角与半角的三角关系，将以上方程转化成关于θ2cos 的方程，然后得，hv g g vgh gh222cos +=+=θ (3)从(3)式可以看出，给定铅球的出手高度h ，出手速度v 变大，相应的最佳出手角度θ也随之变大．对(3)式进行分析，由于0,0>>θh ，所以02cos >θ，则40πθ≤<．所以，最佳出手角度为)arccos(212v gh gh +=θθ是以π2为周期变化的，当且仅当N k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛∈±,4,02ππθ时，πθk 2±为最佳出手角度．特别地，当h=0时（即出手点与落地点在同一高度），最佳出手角度︒=45α． 2.4 参数灵敏性分析 2.4.1 数值极差法模型Ⅰ、Ⅱ是铅球掷远的数学模型，运动员最为关心是怎样才能有效地提高掷远成绩，也就是怎样从出手高度、出手角度、出手速度三个自变量中抓住其中的主要因素，提高掷远成绩．由于出手高度是没有多大变化的，所以，我们应该从出手角度和出手速度着手找出其中对掷远成绩影响较大的变量．也就是比较出手速度和出手角度的灵敏性．这里，我们引入数值分析中的极差来比较两者的灵敏性．根据我国优秀铅球运动员三个因素的具体情况，我们令0.2=h 米，出手速度在10m/s ─15m/s 之间变化，出手角度在37─43变化．用数学软件MA TLAB 编程得到下表：从上表可以看出，出手角度在其可能范围内所引起的成绩的最大改变量在0.06─0.42m 之间；出手速度在其可能范围内所引起的成绩的最大改变量在12.48─12.88m ．这表明，出手速度是影响成绩的主要因素，即出手速度的灵敏性高于出手角度的灵敏性． 2.4.2 图象分析法极差法从数值上分析了出手角度和出手速度的灵敏性，图象法是从得到的模型出发，观察L 关于速度的图象(4)和L 关于角度的图象(5)．分析：图(4)和图(5)是根据我国优秀运动员正常情况下投掷时作出的, 图(4)是s m v m h /10,2==时，θ在一个周期内的图象；图(5)是 37,2==θm h 时，v 在s m s m /15/10-时的图象．图(4)的曲线明显比图(5)的曲线递增要快,几乎任意一点的斜率都要比图(5)中的任意点的斜率要大．也就是说，改变等量的L,θ的变化量比v 的变化量要更大．换言之，改变少量的v 则可以使得L 变化较大．所以，v 的灵敏性较高．3 模型的优缺点模型Ⅰ以出手速度、出手角度以及出手高度为参数建立的数学模型，通过假设出手速度和出手角度是相互独立的，较为简单地描述了掷远距离与三者的关系．缺点是忽略了过多的因素，该模型相对简单且与实际问题有一定距离，不适合精确的计算和要求较高的铅球运动员训练参考．模型Ⅱ综合考虑铅球从静止到脱手整个运动过程，将整个过程分成滑步用力阶段和展臂脱手阶段．合理地假设铅球脱手前作直线运动，利用出手速度与初速度和出手角度的关系，得出的结果更为合理和精确．给定出手高度，对于不同的出手速度，解出了最佳出手角度，这样铅球运动员可以根据不同的出手速度确定最佳出手角度，使投掷距离最远．在模型Ⅰ的基础上，对出手速度和出手角度的灵敏性进行了分析，确定了出手速度的灵敏性高于出手角度．所以,运动员要提高成绩，应该抓住出手速度这一主要矛盾．缺点是数值分析法只能从数值上进行比较，图象分析法是观察图象比较的，较为粗糙．参考文献：[1] 姜启源．数学模型(第三版)[M]．北京：高等教育出版社，2003.8 [2] 刘来福．数学模型与数学建模[M]．北京：北京师范大学出版社，1997.9 [3] 王庚．实用计算机数学建模[M]．安徽：安徽大学出版社，2000.7 [4] 郑永令．力学[M]．上海：复旦大学出版社，1989.10 [5] 程稼夫．力学[M]．北京：中国科学技术大学出版社，1996.3The mathematics model of the shot putYAN Xue-you 1, HUANG Lan-xiang 1, HUANG Wang-lin 2(1. Department of Mathematics, Shaoguan University, Shaoguan 512005 Guangdong China; 2. Department of Computer, Shaoguan University, Shaoguan 512005 Guangdong China)Abstract: This text synthesizes the consideration shot put suffers the dint circumstance, holding tight the handangle,out the hand speed and out the hand the high degree with the relation that throw the distance, consider the square distance in sport of the shot put from the analytic geometry angle, then have to out to reflect the shot put distance with three equation the model Ⅰ that function relation. For getting more reasonable mathematics model, we are further to observe whole foundation for throwing process,Whole process is divided into slipping a correlation for making an effort stage with exhibition arm selling two stages. Again to two stages distinguishing reasonable analysis in proceeding, further considering pushing dint, beginning speed, acceleration, outing hand speed etc. Bases the above model proceeding improvement, getting more reasonable model Ⅱ. In the above model is last fix out hand high degree, beg a the best out hand angle is N k k ∈∈±],4/,0(2ππθ,thereinto ))/(arccos(2/12v gh gh +=θ.In addition,the number ofapplication differs the method very to analyze the method with portrait, get flat-out and intelligent higher than out hand angle.Key wrods: Out the hand the speed;Out the hand angle;Out the hand the high degree; Intelligent。
投掷铅球的数学模型
分 析表 中 数据变 化 规 律 可 以 发 现 ¹ 初 速 度 V 是 影 响投 掷 距 离 的 最 主
要 因 素 初 速 度提 高 1 米 / 秒
,
:
½ 表
测量
,
1
可 为 运 动 员 寻 找个 人差 距
。
、
改
进 投掷 技 术 提 供 参 照 均值
h
;
。
铅 球 出手 高 度 易 于
,
,
则投 掷 距 离
.
或 4 o 0 则 投 掷 距离 均不 高 于 3 4’
, ,
若 实 际 投距 与 表
。
6 2 米
2
厘米 的差 距 离 对 于 高水 平 的
,
中 的 距 离 有 较大 差 距
,
,
则很 可 能是 由 于 出
,
运动 员 来 说 是 极 其 宝 贵 的
往往决定 能否
球 角度 不 佳 所致 运动 员 应 调 整 出 球 角度
0
.
’
41 47
0
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’
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’
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(1 3 9 4 ) (1 5 0 9 ) ( 1 6 3 1 ) (1 7
4 1 20
0
.
,
1 75
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4 1 42
0
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5 6 ) (1 8 8 6 ) ( 2 0 2 3 ) ( 2 1 6 3 ) ( 2 3 0 9 ) ( 2 4 6 0 ) 0 0 , 0 , 0 ’ 0 , 0 , 0 ’ 4 1 59” 42 0 8 4 2 21 42 32 42 42 42 50 42 58
铅球掷远研究-数学建模-论文
铅球掷远研究目录一、问题的提出 (3)二、问题分析 (3)三、模型假设 (4)四、符号定义 (4)五、模型建立与求解 (4)六、模型的评价 (10)七、参考文献 (10)八、附录 (10)摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。
得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。
铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。
由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。
迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。
通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度一、问题提出球掷远比赛要求运动员在直径2.135m 的圆内将重7.257kg （男子）的铅球投掷在45的扇形区域内，如图1所示。
观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题 ：1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。
2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。
比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。
二、问题分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。
【1】三、模型假设1、 人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度28.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(︒≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。
最新铅球掷远研究-数学建模-
铅球掷远研究目录一、问题的提出 (3)二、问题分析 (3)三、模型假设 (4)四、符号定义 (4)五、模型建立与求解 (4)六、模型的评价 (10)七、参考文献 (10)八、附录 (10)摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。
得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。
铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。
由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。
迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。
通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度一、问题提出球掷远比赛要求运动员在直径2.135m的圆内将重7.257kg（男子）的铅球投45的扇形区域内，如图1所示。
观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷掷在角度变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题：1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。
2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。
比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。
二、问题分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。
【1】三、模型假设1、 人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度28.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(︒≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。
数学建模铅球投掷问题(四川理工学院)
2011年四川理工学院数学建模摘要：在铅球投掷训练和比赛中，教练和运动员关心的核心问题是铅球的投掷距离的远近，而距离的远近主要取决于铅球的出手速度、出手角度、出手高度等等，它们对铅球投掷距离的远近主次影响是怎样的呢？因为空气阻力等的影响相对比较微小，可以忽略不计，本文主要运用牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学模型探讨出手速度、出手高度、出手角度这三个影响铅球投掷成绩的主要因素，然后运用数值法进行分析，计算出各影响因素对铅球投掷距离的影响程度，确定出各影响因素的主次关系，为制定科学的铅球训练计划提供依据。
关键词：铅球投掷、数值法、最优出手角度、最远投掷距离1问题的提出众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。
最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名出手速度)/(smv 出手高度)(mh出手角度)(oα实测成绩李梅素13.75 1.90 37.60 20.95李梅素13.52 2.00 38.69 20.30斯卢皮亚内克13.77 2.06 40.00 21.41表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名成绩s(m) 出手速度)/(smv 出手角度)(oα出手高度)(mh李梅素19.40 13.16 40.27 2.02李梅素 20.30 13.51 38.69 2.00 黄志红 20.76 13.58 37.75 2.02 隋新梅 21.66 13.95 39.00 2.04 李梅素21.7614.0835.131.952 问题的分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。
铅球抛掷问题数学建模
五一数学建模模拟赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）： A我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）： 8 所属学校（请填写完整的全名）：四川理工学院参赛队员 (打印并签名) ：1. 郭亮2. 陈欢3. 肖望指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2015 年 4 月24日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：五一数学建模模拟赛编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：铅球抛掷问题摘要本文探究了铅球投掷远度的影响因素等一系列问题。
运用了牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学物理模型探讨了出手速度v（m/s），出手高度h（m）,出手角度α（度），这三个影响铅球投掷水平位移s(m)的主要因素。
然后运用数值法进行分析，计算各影响因素的主次关系。
问题一的分析：根据斜抛运动及牛顿运动定理求解铅球抛掷的水平距离s(m)以及求出水平距离s与出手速度v（cm/s）出手高度h（m），出手角度α（度）的影响。
铅球抛掷问题数学建模
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或
其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文
引用处和参考文献中明确列出。
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铅球抛掷问题
摘要
本文探究了铅球投掷远度的影响因素等一系列问题。运用了牛顿力学等物理、数 学知识建立了铅球投掷过程的数学物理模型探讨了出手速度v（m/s），出手高度 h（m）,出 手角度 α（度），这三个影响铅球投掷水平位移s(m)的主要因素。然后运用数值法进行 分析，计算各影响因素的主次关系。
问题一的分析：根据斜抛运动及牛顿运动定理求解铅球抛掷的水平距离s(m)以及求 出水平距离s 与出手速度v（cm/s）出手高度h（m），出手角度α（度）的影响。用 Mathematica 软件求出理论抛掷距离s0，并用 Matlab 软件对题中数据进行筛选，最终得 到实际抛掷距离s0与理论值 s 之间的误差百分比。再分析表1、表 2 中的数据，得出出 手速度ｖ在１０ｍ/ｓ~１５ｍ/ｓ之间变化，出手角度 α 在３７°~４３°之间变化， 并对这之间的速度、角度分别求出对应的投掷距离。再运用 Excel 做出角度与投掷 距离的关系图。最后得出运动员投掷铅球存在最佳角度，角度是在 40°～42°间。
一、问题重述
众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住 7.264kg (16 磅)重的铅球在直径为 2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为 45 的有效扇形区域内。以铅球 的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动 员的成绩（以国际男子铅球比赛为例）。如图：
铅球掷远模型
2.135m
45 ο
综合分析铅球的运动过程，可以分为两种情况：
1、在不考虑铅球展臂的情况下，以出手速度、出手高度、出手角度为参数， 建立第一种数学模型。
2、在考虑铅球展臂的情况下，以出手速度、出手高度、出手角度、展臂为 参数，建立第二种数学模型。
3. 在铅球整个运动过程中，空气阻力虽然一直存在，但是其影响极其微小， 因而忽略不计。
2.3 问题三的分析 针对问题三我们运用以上所建立的模型一，求出水平投掷的距离，再借助
Matlab7.0 软件对水平距离求导，确定最优解，即铅球在不同出手速度下的最佳 出手角度。
2.4 问题四的分析 对于问题四我们同样运用模型二来解决掷远结果对速度和角度的灵敏度。
分别求 S (v,θ ) 对 v 和θ 的一阶导数，对二者比较大小，可以得出出手速度对掷远
我们运用 Matlab7.0 软件分别求出 ∂S （已求出）Leabharlann ∂S ，可以得出结果。∂θ
∂v
∂S 的求导过程如下： ∂v
PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 /FinePrint
通过 Matlab7.0 我们可以比较 ∂S 和 ∂S 的大小，比较的结果为 ∂S > ∂S ,因而可
对于问题二：当考虑运动员臂展对投掷结果的影响的条件下，我们对模型
一进行了适当的改进，在引进臂展这一参数之后重新建立了以出手速度、出手角
度、出手高度以及臂展为参数的掷远模型二，应用模型一中相同的知识，我们建
立
的
模
型
二
为
：
S(F,θ ) = (2FL − 2mgL sinθ )sinθ cosθ + mg
第五章 微分方程建模 第四节 铅球掷远模型
a = sin
和最佳成绩为
∗
−1
v ; 2 2(v + gh)
v 2 R = v + 2gh . g
∗
第四节
铅球掷远模型
如果测得该运动员的出手高度 h = 1.5 m，铅球初速 ， 度为 v = 10m/s，则有 ， 得最佳出手角度为 最佳成绩为
a ∗ ≈ 41.4 ,
R∗ = 11.4m .
第四节
铅球掷远模型
在右图坐标系下， 在右图坐标系下，铅球运动方程为
x ɺɺ = 0 ; ɺ x(0) = 0 , x(0) = v cos a .
y ɺɺ = − g ; ɺ y(0) = h , y(0) = v sin a .
第四节
铅球掷远模型
分= x(t ) = sinacos a + 2 sin a + v cos a , g g g
这个关系式还可以表示为
1 2
R2 g = 2v2 cos2 a(h + Rtana) .
第四节
铅球掷远模型
dR = 0 ，得最佳出手角度为 由此计算 da a∗
x ( t ) = ( v cos a )t ;
1 2 y ( t ) = (v sin a )t − gt + h . 2
又令 y ( t ) = 0 ，可得
1 t = v sin a + v 2 sin 2 a + 2 gh , g
∗
(
)
第四节
铅球掷远模型
代入 x ( t ) 可以求得铅球的投掷距离为
第四节
铅球掷远模型
某铅球运动员正在训练，如果不考虑阻力， 某铅球运动员正在训练，如果不考虑阻力，设铅球初 与地面夹角)， 速度为 v，出手高度为 h，出手角度为 a (与地面夹角 ， ， ， 与地面夹角 试建立投掷距离 R 与 v，h，a 的关系式的数学模型。并 ， ， 的关系式的数学模型。 在 v，h 一定的条件下求该运动员的最佳出手角度和最佳 ， 成绩。 成绩。
铅球投掷中的数学模型
距离 角 度 ３７° ３８° ３９° ４０° ４１° ４２° ４３° 极差
速度 １０ｍ／ｓ １１．７８ １１．８１ １１．８２ １１．８３ １１．８３ １１．８２ １１．７９ ０．０５ １１ｍ／ｓ １３．８６ １３．９０ １３．９３ １３．９５ １３．９６ １３．９５ １３．９３ ０．１０ １２ｍ／ｓ １６．１２ １６．１８ １６．２３ １６．２６ １６．２８ １６．２８ １６．２６ ０．１６ １３ｍ／ｓ １８．５７ １８．６５ １８．７１ １８．７６ １８．７９ １８．７９ １８．７８ ０．２２ １４ｍ／ｓ ２１．２０ ２１．３０ ２１．３９ ２１．４５ ２１．４９ ２１．５１ ２１．５０ ０．３１ １５ｍ／ｓ ２１．８９ ２２．０８ ２２．２５ ２２．３９ ２２．５１ ２２．６０ ２２．６６ ０．７７
４．来稿请 在 左 上 方 注 明 文 稿 适 合 初 中 生 还 是 高 中 生 阅 读，标 题 下 方 请 写 明 作 者 的 通 讯 地 址 、邮 编 、作 者 姓 名 、电 子 信 箱 及 电 话 ．
５．来稿切忌一稿 多 投，如 发 现 抄 袭 现 象 我 们 将 作出公开批评．来稿一律不退，请作者自留底稿．
（４ ５
）ｘ ，
ｘ＜２ 时 ，
ｇ（ｘ）＝
（３ ５
）ｘ ＋
（４ ５
）ｘ ＞
（３ ５
）２＋
（４ ５
）２＝１；
ｘ＞２ 时 ，
欢迎投稿
来稿须知 １．稿 件 的 内 容 要 新 颖 、形 式 要 活 泼，以 适 合
中 学 生 阅 读 ，应 避 免 写 成 教 学 交 流 文 章 ． ２．提倡短小精 悍 的 文 章，讲 清 一、两 个 问 题，
（责 审 余 炯 沛 ）
铅球掷远数学建模matlab代码
铅球掷远数学建模matlab代码铅球掷远是一项流行的田径运动，同时也是一个经典的数学建模问题。
在本文中，我们将介绍如何使用 Matlab 对铅球掷远问题进行建模并求解。
1. 模型构建微元法是解析上问题的标准方法，在铅球掷远中，我们可以采用微元法将其转换为微分方程问题。
我们可以假设铅球是一个小球，它沿着一个轨道的方程运动，该轨道的方程如下：$$y = h +\frac {x^2}{4R}$$其中， $y$ 表示轨道上的高度， $x$ 表示沿轨道的位置， $h$ 表示轨道的高度（即铅球离地面的高度）， $R$ 表示轨道半径。
在铅球的运动过程中，它受到以下三个力的影响：重力、空气阻力和旋转力。
旋转力是由于铅球自身的自转引起的，在这里我们可以暂时忽略它的影响。
假设铅球的重量为$m$ ，则铅球受到的重力为$$F_g = mg$$其中 $g$ 表示重力加速度。
空气阻力是铅球受到的一个速度相反的力，它的大小可以使用以下公式计算：其中 $C_d$ 是阻力系数，$\rho$ 是空气密度，$A$ 是铅球的横截面积，$v$ 是铅球的速度。
由牛顿第二定律可以得到：假设铅球在 $x$ 轴上的速度为 $v_x$ ，在 $y$ 轴上的速度为 $v_y$ 则铅球在 $x$ 轴上和 $y$ 轴上的分量分别为：这样我们就得到了铅球掷远的微分方程组：$$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{1}{2m}\rho CAv^2\cos\theta$$其中，2. 数值求解使用 Matlab 对这个微分方程组进行求解，我们需要进行如下步骤：1. 定义模型参数：铅球重量 $m$，空气密度 $\rho$，铅球横截面积 $A$，阻力系数$C_d$，轨道高度 $h$，轨道半径 $R$，初始位置 $(x_0,y_0)$，初始速度$(v_{x0},v_{y0})$。
2. 定义微分方程：使用 Matlab 的 ode45 函数对微分方程组进行求解。
铅球投掷模型
a=42.40，
s=20.95m
h=2.0m, a=39.70, v=13.52m/s，s=20.22
a=42.40
s=20.30m
出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度，
但投掷的远度减小了。
出手的速度随着出手角度的增加减小了！
2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、 出手角度和出手高度是不独立的。是运动员 投掷铅球过程中用力过程的一个综合的结果。
2
3P2 h2* (s (h2*2 (s
xm ) xm )2 )5/ 2
0
P11/ 3 P21/ 3 ,
xm
s xm
xm
P11/ 3 P11/ 3 P21/ 3
s
路灯照明
对于P1=2000W，P2=3000W，s=20m 可算得 P11/3=12.60，P21/3=14.42，N=27.02 xm=20×12.60/27.02=20 ×
需要组建铅球投掷的模型。
假设：
1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生 一个水平的初速度。
2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球 到铅球出手有一段时间。
3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大 小不变，力的方向与铅球出手方向相同。
参量: v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。
11 14.01 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 0.11
12 16.31 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 0.17
13 18.80 18.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 0.25
二. 模型与分析：
1. 抛射体模型：铅球出手后的运动过程
铅球投掷模型 终极版
10.43
10.56
10.68
10.78
10.87
2.8最优出手角度
由上述模型可以看出，一个运动员投掷铅球，在能力一定时，即出手高度 和出手速度确定的时候，他所投掷的距离 只与投掷角度 有关，要看 是否存在最大值，即要看 关于 的函数式在其定义域范围内是否有最大值(在实际中，投掷距离 自然是大于等于零的数，当然求最小值是没有意义的，所以 的极值存在且为极大值就是 最大值)．
2.04
13.95
39.00
21.66
21.68
+0.1%
李梅素
1.95
14.08
35.13
21.76
21.50
-1.2%
从表1的数据中我们可以看出，由铅球投掷的抛射体模型计算出得出的理论成绩与实际成绩是比较相符的，所以模型的建立是较为成功的．
2.7参数灵敏度测试
相比其他数据来看，运动员投掷铅球时的出手高度 是相对稳定的，这主要与运动员的身高、臂长以及对专业技术的掌握程度有关．
，
则有
可得，当 时，投掷距离最远(因为 ,所以 )，即 达到最大值．
由 可得速度 对应的 的函数图像[7]如图3所示．
在图像中我们可以很直观地看出，在运动员的实际出手速度( )范围内，最优出手角度在 左右[8]．有的研究认为，铅球的最优出手角度在 度之间，这显然有些笼统．有的资料表示，最优出手角度趋于 ，但这是在出手速度
表1实际与理论成绩比对
姓名
出手
高度
( )
出手
速度
( )
出手
角度
( )
实际
成绩
( )
理论
成绩
( )
与实际
铅球投掷的模型
铅球投掷的模型
铅球投掷是以物理模型来描述实际运动现像的重要方式，它往往由理论物理有关的原
理研究实际运动、运动学以及动力学等来进行模拟。
这种模型主要应用于体育训练，可以
用来分析材料、装备及技术对投掷对象运动的影响。
铅球投掷的模型主要是由抢掷、表格计算和模拟投掷等三个部分组成的。
其中第一部分，即抢掷，是以受力和动作分析为基础，通过实际拍摄和重新拍摄的物理实验，一步步
研究出铅球投掷的抢掷力度，预知其投掷结果。
第二部分，即表格计算，是把物理原理应
用到铅球投掷模型中，从而得出投掷力度和投掷结果之间的表格计算关系。
而第三部分，
即模拟投掷，则是利用计算机把物理原理应用到实际的投掷球的运动中，模拟投掷结果，
从而得出投掷结果。
在实际应用中，铅球投掷模型可以用于运动员投球训练、装备调整、选择投掷手法等，以提高运动效果和比赛成绩。
例如影响投掷运动结果的因素可以研究出来，就可以灵活选
择投掷手法，以达到最佳效果。
此外，这个模型还可以解释体育比赛现象，如投掷对象运
动结果的影响，甚至在发生体育事故时也可以帮助调查人员准确分析原因和解决方案。
总之，铅球投掷模型是一种以物理模型描述运动实际现象的有效方式。
它不仅可以用
来调整投掷技术和装备，还可以解释投掷现象、解决各种体育事故，积极有效地推动体育
事业的发展。
数学实验之铅球投掷
一、问题：铅球掷远比赛的场地是直径2.135m的圆，要求运动员从场地中将7.257kg（男子）重的铅球投掷在45°的扇形区域内，如下图所示。
观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度变化比较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，试建立模型讨论以下问题：（1）以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型；（2）给定出手高度为1.8m，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度，比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性；（3）是否存在最佳出手角度？二、问题引入的背景：铅球比赛是奥运会中一项重要的比赛项目，在铅球比赛中，运动员在投掷圈中站立开始投掷。
投掷圈外围是金属镶边，有6毫米厚，顶端涂白。
投掷时，运动员不能接触铁边的顶端或者投掷圈以外的地面，铅球的投掷圈直径2.135米。
圈内地面由水泥或者有相似的硬度又能防滑的物质构成，它的高度略低于地面高度。
铅球投掷圈的正前方放着一个木质的抵趾板，用来防止运动员滑出圈外。
运动员可以碰抵趾板的内侧，但不能碰抵趾板的顶部。
运动员进入圈内开始投掷后，如果运动员身体的任何部位触及圈外地面，或触及铁圈和抵趾板上面，或以不符合规定的方式将铅球推出，均判为一次试掷失败。
铅球必须完全落在落地区角度线内沿以内，试掷方为有效。
每次有效试掷后，应立即测量成绩。
从铅球落地痕迹的最近点取直线量至投掷圈内沿，测量线应通过投掷圈圆心。
运动员在器械落地后方可离开投掷圈。
离开投掷圈时首先触及的铁圈上沿或圈外地面必须完全在圈外白线的后面，白线后沿的延长线应能通过投掷圈圆心。
铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45°的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
铅球掷远模型
铅球掷远模型一、问题重述不考虑阻力，铅球初速度为v ，出手高度为h ，出手角度为a （与地面夹角），建立投掷距离与v ，h ，a 的关系，并在v ，h 一定的条件下求最佳出手角度。
二、基本假设1、设当地的重力加速度为g ，且取值为9.8m/s 2，并在抛铅球的任意点都相等；2、不考虑空气阻力，摩擦力以及风速等其他因素的影响；3、铅球运动轨迹在同一平面内；4、地面处处水平。
三、问题分析由题目所述，再根据物理知识可得，铅球投掷轨迹为一抛物线，且由题目知，初速度v 和高度h 一定，因此可以建立一个平面直角坐标系，分别对x ，y 方向进行分析。
对y 即竖直方向，铅球做竖直向上抛运动，对x 即水平方向，铅球做匀速直线运动，所以轨迹为两个运动的叠加。
照此，根据物理知识可建立模型。
四、模型建立由题目可知，铅球初速度为v ，高度为h ，出手角度为a ； 设铅球质量为m ；抛出的水平距离为s ；抛出至落地的时间为t 。
以铅球抛出点在水平地面投影点为原点，原点与落地点方向为x 轴正方向，原点与抛出点方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系。
由物理知识有：y 方向:h+t*v*sina-1/2*g*t^2;x 方向：t*v*cosa=s.五、模型计算由于h 和s 是正相关的，因此当求出h （max ）时，即对应的s 也为s （max ） v y xs a h由上面两关系式，联立消去t得-h=-1/2*g*(s/v*cosa)^2+s*tana=-(gs^2/2v^2)*(tana-v^2/gs)^2-g/2*(s/v)^2+v^2/2g可知在a变化时，-h的最大值为-h=-g/2*(s/v)^2+v^2/2g此时tana=v^2/g*s;所以有s=v*sqrt(v*v+2*g*h)/g，然后将tana=v^2/g*s代入得tana=v/sqrt(v*v+2*g*h)另外，对抛物线分析，设最高点距地面H，且前后两段时间为t1、t2，则有：(v*sina)^2=2*g*(H-h)1/2*g*t2^2=Hv*sina=g*t1所以s=(sqrt(2*g*h+(v*sina)^2)+v*sina)*v*cosa/g由上，s、h、v、a的关系式如下：s=(sqrt(2*g*h+(v*sina)^2)+v*sina)*v*cosa/g且当a=arctan(v/sqrt(v*v+2*g*h))时，s最大。
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路灯照明
照度定律：点光源 O 与被照明平面中心 A 的距 离为 h 时，平面上 A 点的照度 E= (I / h2) cos a, 其中，I 为 O 点的光强度，a 为平面的法线方向与 光源到 A点连线之间的夹角。
路灯照明
二. 模型 1. 假设： 10. 灯为点光源， 20. 没有反射， 30. 忽略灯具的效率和发光效率。 2. 参量、变量： Pk：光强度，hk：光源高度，s：两灯的水平距离。 坐标系（x，y）：灯杆 1 为 y 轴，路为 x 轴。 两个光源的位置：G1: (0, h1), G2: (s, h2); 两灯间路面上一点: X: (x, 0), 0 ≤ x ≤ s; ak: GkX 与 x 轴的夹角.
2F m
t 0 v 0 cos
检验: 李梅素 隋新梅 李梅素 黄志红 李梅素 李梅素 α 40.27 39.00 38.69 37.75 37.60 35.13 v 13.16 13.95 13.51 13.58 13.75 14.08 h 2.20 2.04 2.00 2.02 1.90 1.95 s 19.40 21.66 20.30 20.76 20.95 21.76
11 41.16 14.11 40.99 14.20 40.82 14.29 12 41.71 16.48 41.55 16.57 41.40 16.65 13 42.15 19.05 42.01 19.14 41.88 19.29 14 14.5 42.51 42.76 21.81 23.27 42.39 42.55 21.90 23.36 42.27 42.44 22.00 23.46 15 42.80 24.78 42.70 24.87 42.59 24.97
路灯照明
30. 关于 h2 极大化 E（x） 给定 h1, 对于每个 h2 都存在一个最小照明点 xm(h2) 求 h2*使得在其最小照明点xm(h2*)处照度最高. 即
E ( x m ( h ))E maxx E (3x hm( s(h)2 ))0 3P h P x
* 2
x (h
2 1
h 2x
1 1 2
2
2
)
5/2
(h (s x) )
2 2 2
5/2
该点一定在函数 E( x, h2) 的稳定点中. 计算 E x 0 ， E h2 0 可以得到 P2[( s - xm)2 - 2h2*2] = 0 * h2 2 a2=35.260 tan
路灯照明
3. 模型 G1 在 X 点的照度
E1 P1 r
2 1
sin 1 ,
r1
h x ,
2 1 2
sin 1
h1 h1 x
2 2
G2 在 X 点的照度
E2 P2 r
2 2
sin 2 , r2 h ( s x ) , sin 2
2 2 2
参量: v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。 m x ( t ) F cos , x ( 0 ) v , 发力期间平衡关系： m y ( t ) F sin mg y ( 0 ) 0 . 模型 令t=0时开始用力，t=t0 铅球出手。在区 间[0，t0]积分模型，可得 x (t ) F t cos v ,
二. 模型与分析： 1. 抛射体模型：铅球出手后的运动过程 假设：1. 铅球是个质点。 2. 忽略空气阻力。 3. 出手角度与出手速度无关。 变量、参量： 出手角度 α，出手高度 h，出手速度 v， 出手时间 t，投掷远度 s。 坐标系：（x，y） 铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ).
2
s xm
2
路灯照明
40. 照明的优化 道路上的照明均匀是非常重要的，但是当使用点 光源时是不可能的。对于给定亮度和给定间隔的光 源，是否可以通过调整光源的高度来使最小照明强 度的点的亮度达到最大？ 考虑三个变量 x，h1，h2 的照度函数 E(x, h1, h2). 最亮的最低照明点xm, 与它对应的点光源的高度 h1*, h2*一定在这个函数的稳定点当中.
2
1 2
G2：
3/2
E2 dE 2 dx
P2 h 2
2 2 3/2
( h2 ( s x ) )
2
dE 1 dx
3 P1 h1 x ( h1 x )
2 5/2
3 P2 h2 ( s x ) ( h2 ( s x ) )
2 5/2
E = E1+E2：双峰函数，中部有最低点。
2. 铅球投掷模型 问题： 1. 李梅素的数据 h=1.9m, a=37.60, v=13.75m/s, s=20.68m a=42.40， s=20.95m h=2.0m, a=39.70, v=13.52m/s，s=20.22 a=42.40 s=20.30m 出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度， 但投掷的远度减小了。 出手的速度随着出手角度的增加减小了！
2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、 出手角度和出手高度是不独立的。是运动员 投掷铅球过程中用力过程的一个综合的结果。 需要组建铅球投掷的模型。 假设： 1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生 一个水平的初速度。 2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球 到铅球出手有一段时间。 3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大 小不变，力的方向与铅球出手方向相同。
出手速度：12.47~12.89 出手角度：0.05~0.42 出手高度：0.16~0.22 结论： 1. 出手速度最重要。 2. 出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要 的。但在最佳出手角度上下 20 范围内远度的 变化很小。不必过分准确。 3. 在前面的基础上，尽量提高出手的高度。
分析:
v ( F m
2 2
g
2
2F m
g sin ) t 0 v 0
2 2
2F m
t 0 v 0 cos
1. v 随着 F 和 t0 的增加而增大; 2. v 随着 v0 的增加而增大; 3. v 随着 α 的增加而减小. 女子铅球的技术特征: 滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低 而快地直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球 低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向 前性。
平衡关系：力与运动的牛顿定律
d x dt
2 2 2
0, g ,
x (0) 0 , y (0) h ,
x ( 0 ) v cos y ( 0 ) v sin
d y dt
2
有解
x ( t ) ( v cos ) t y ( t ) ( v sin ) t
4 2 2 2 2
化简可得
cos 2
gh gh v
2
g g v /h
2
0 45
0
给定出手高度, 最佳出手角度随出手速度增大 而增大。 给定出手速度，最佳出手角度随出手高度增 大而减小。
2. 最佳投掷模式 给定出手高度h、出手速度v 从而可以 计算最佳出手角度 α。这三个量就构成最佳 的铅球投掷模式。
gx
2 2 2
1 2
gt
2
h
y( x)
2 v cos
(tan ) x h
模型: 铅球投掷的远度为抛物线与x轴交点的横坐标
s v sin 2
2
2g
(
v sin 2
2
2g
) 2h
2
v cos
2 2
g
检验: 姓 名 李梅素 李梅素 斯卢皮
v(m/s) 13.75 13.52 13.77
10 1.9 40.48 11.95 2.0 40.28 12.03 2.1 40.08 12.12
3. 主要因素分析—模型的参数灵敏度分析 参数变化对模型值的影响。 模型对参数变化率的分析。 模型对参数的极差分析：比较参数在可能 的变化范围内变化时模型值改变量的极差。
10 11 12 13 14 15 37 11.89 14.01 16.31 18.80 21.48 24.36 12.47 38 11.92 14.05 16.38 18.89 21.59 24.49 12.57 39 11.94 14.09 16.43 18.96 21.68 24.60 12.66 40 11.95 14.11 16.46 19.01 21.75 24.68 12.73 41 11.95 14.12 16.48 19.04 21.79 24.74 12.79 42 11.94 14.12 16.48 19.05 21.81 24.78 12.84 43 11.92 14.10 16.47 19.04 21.82 24.78 12.86 0.06 0.11 0.17 0.25 0.34 0.42
路灯照明
20. 最低照明点
dE dx dE 1 dx dE 2 dx 3 P1 h1 x (h x )
2 1 2 5/2
3 P2 h2 ( s x ) (h (s x) )
2 2 2 5/2
0
令 P1=2000W，P2=3000W，h1=5m，h2=6m， s=20m. 可求得 x =（0.028， 9.34，19.98） E =（81.98，18.24，84.48） xe = 9.00