2020高考数学(文)大一轮精讲练课件：第九章 概率 第3节
2020年高考数学一轮复习第九章概率与统计第1讲计数原理与排列组合课件理
(8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的 排法有多少种？
(10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (14)甲、乙两同学不能相邻，甲、丙两同学也不能相邻的 排法共有多少种？
2.排列与排列数
(1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺
序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
(2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列
的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用
n！ (n－m)！
n！
1
3.组合与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.
答案：12
(2)(2018 年浙江)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中 任取 2 个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四 位数.(用数字作答)
答案：1260
【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其 他元素位置的选取出现变化，故出现了分类讨论，分类讨论既 不能重复，又不能遗漏，这样才能保证考虑事情的严谨性.
【互动探究】
4.现安排 4 名老师到 3 所不同的学校支教，每所学校至少 安排一名老师，其中甲、乙两名老师分别到不同的学校的安排
方法有( C ) A.42 种
B.36 种
C.30 种
D.25 种
5.国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大 学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现 有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去 任教，有___9_0___种不同的分派方法.
【三维设计】2022届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义：第九章 概率 Word版含答案
第九章 概 率第一节随机大事的概率对应同学用书P141基础盘查一 随机大事及概率 (一)循纲忆知1．了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性． 2．了解概率的意义及频率与概率的区分． (二)小题查验 1．推断正误(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必定大事( ) (2)“方程x 2＋2x ＋8＝0有两个实根”是不行能大事( ) (3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( ) (4)不行能大事就是确定不能发生的大事( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．(人教B 版教材习题改编)某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次，击中靶心的概率约是________． 答案：0.903．(2021·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：依据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：29基础盘查二 大事关系与运算 (一)循纲忆知了解两个互斥大事的概率加法公式：当大事A 与B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (二)小题查验1．推断正误(1)对立大事确定是互斥大事，互斥大事不愿定是对立大事(2)一个人打靶时连续射击出两次，大事“至少有一次中靶”的互斥大事是“至多有一次中靶”( ) (3)大事A ，B 为互斥大事，则P (A )＋P (B )<1( )(4)大事A ，B 同时发生的概率确定比A ，B 中恰有一个发生的概率小( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．(人教A 版教材例题改编)假如从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心的概率是14，取到方块的概率是14，则取到黑色牌的概率是________． 答案：12.3．(2021·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是________． 答案：78对应同学用书P141考点一 随机大事的关系(基础送分型考点——自主练透) [必备学问] 1．互斥大事若A ∩B 为不行能大事(记作：A ∩B ＝∅)，则称大事A 与大事B 互斥，其含义是：大事A 与大事B 在任何一次试验中不会同时发生．2．对立大事若A ∩B 为不行能大事，而A ∪B 为必定大事，则大事A 与大事B 互为对立大事，其含义是：大事A 与大事B 在任何一次试验中有且仅有一个发生．[提示] “互斥大事”与“对立大事”的区分：对立大事是互斥大事，是互斥中的特殊状况，但互斥大事不愿定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．[题组练透]1．从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中： (1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；(2)至少有一个是奇数和两个都是奇数；(3)至少有一个是奇数和两个都是偶数；(4)至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述大事中，是对立大事的是()A．(1)B．(2)(4)C．(3) D．(1)(3)解析：选C(3)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数依据取到数的奇偶性可认为共有三个大事：“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立大事．易知其余都不是对立大事．2．设条件甲：“大事A与大事B是对立大事”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若大事A与大事B是对立大事，则A∪B为必定大事，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.设掷一枚硬币3次，大事A：“至少毁灭一次正面”，大事B：“3次毁灭正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立大事．3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的大事是()A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个大事，它是“2张全是移动卡”的对立大事，故选A.[类题通法]利用集合方法推断互斥大事与对立大事1．由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则大事互斥．2．大事A的对立大事A所含的结果组成的集合，是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机大事的概率(重点保分型考点——师生共研)[必备学问]概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观看某一大事A是否毁灭，称n次试验中大事A毁灭的次数n A为大事A毁灭的频数，称大事A毁灭的比例f n(A)＝n An为大事A毁灭的频率．(2)对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A)．[典题例析](2022·陕西高考)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解析：(1)设A表示大事“赔付金额为3 000元”，B表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估量概率得P(C)＝0.24.[类题通法]求解随机大事的概率关键是精确计算基本大事数，计算的方法有：(1)列举法；(2)列表法；(3)利用树状图法．[演练冲关]假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图：(1)估量甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估量该产品是甲品牌的概率．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估量概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)依据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于 200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529.据此估量已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.考点三 互斥大事与对立大事的概率(重点保分型考点——师生共研) [必备学问]1．互斥大事的概率加法公式假如大事A 与大事B 互斥，那么P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； 2．对立大事概率公式若大事B 与大事A 互为对立大事，则P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．A 的对立大事记为A ，当计算大事A 的概率P (A )比较困难时，可通过P (A )＝1－P (A )计算．[典题例析]依据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示大事：该车主购买甲种保险；B 表示大事：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示大事：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示大事：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3， 又C ＝A ∪B ，所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8. (2)由于D 与C 是对立大事， 所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2. [类题通法]求概率的关键是分清所求大事是由哪些大事组成的，求解时通常有两种方法： (1)将所求大事转化成几个彼此互斥的大事的和大事，利用概率加法公式求解概率；(2)若将一个较简洁的大事转化为几个互斥大事的和大事时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立大事的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少”或“至多”型大事的概率．[演练冲关]现有7名数理化成果优秀者，其中A 1，A 2，A 3的数学成果优秀，B 1，B 2的物理成果优秀，C 1，C 2的化学成果优秀，从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，组成一个小组代表学校参与竞赛．(1)求C 1被选中的概率；(2)求A 1和B 1不全被选中的概率．解：(1)用M 表示“C 1恰被选中”这一大事．从7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本大事为： (A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)．C 1恰被选中有6个基本大事：(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 2，C 1)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 2，C 1)， 因而P (M )＝612＝12.(2)用N 表示“A 1，B 1不全被选中”这一大事，则其对立大事N 表示“A 1，B 1全被选中”这一大事，由于N ＝{}(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，所以大事N 由两个基本大事组成，所以P (N )＝212＝16， 由对立大事的概率公式得P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.对应A 本课时跟踪检测(五十五)一、选择题1．在一次随机试验中，彼此互斥的大事A ，B ，C ，D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )A ．A ∪B 与C 是互斥大事，也是对立大事 B ．B ∪C 与D 是互斥大事，也是对立大事 C ．A ∪C 与B ∪D 是互斥大事，但不是对立大事 D ．A 与B ∪C ∪D 是互斥大事，也是对立大事解析：选D 由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ∪B ∪C ∪D 是一个必定大事，故其大事的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个大事与其余3个大事的和大事必定是对立大事，任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事也是对立大事．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235 C.1735D ．1解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为大事A ，“从中取出2粒都是白子”为大事B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为大事C ，则C ＝A ∪B ，且大事A 与B 互斥．所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47D ．0.37解析：选A 取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.4．从某校高二班级的全部同学中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为： 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150， 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.依据样本频率分布估量总体分布的原理，在该校高二班级的全部同学中任抽一人，估量该生的身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为( )A.25B.12C.23D.13解析：选A 从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位同学中，身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的同学有8人，频率为25，故可估量在该校高二班级的全部同学中任抽一人，其身高在155.5 cm ～170.5 cm 之间的概率约为25.5．已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙胜的概率为13，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A.16，16 B.12，23 C.16，23D.23，12解析：选C “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立大事，所以甲胜的概率为1－12－13＝16.设“甲不输”为大事A ，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥大事的和大事，所以P (A )＝16＋12＝23.或设“甲不输”为大事A ，则A 可看作是“乙胜”的对立大事，所以P (A )＝1－13＝23. 6．若随机大事A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54，2 B.⎝⎛⎭⎫54，32 C.⎣⎡⎦⎤54，32D.⎝⎛⎦⎤54，43解析：选D由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1⇒⎩⎨⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 二、填空题7．据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1，则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________．解析：法一：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为大事A ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为大事B ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为大事C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为大事D ，由题意知大事A ，B ，C 彼此互斥，而大事D 包含大事A 与B ，所以P (D )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.5＝0.9.法二：记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为大事C ，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为大事D ，由题意知C 与D 是对立大事，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.1＝0.9.答案：0.98．(2021·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m ”为大事A ，则P (A )最大时，m ＝________.解析：m 可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，对应的基本大事个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1，∴两次向上的数字之和等于7对应的大事发生的概率最大．答案：79．某城市2022年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50<T ≤100时，空气质量为良；100<T ≤150时，空气质量为略微污染，则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：3510．若A ，B 互为对立大事，其概率分别为P (A )＝4x ，P (B )＝1y ，且x >0，y >0，则x ＋y 的最小值为________．解析：由题意可知4x ＋1y ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫4x ＋1y ＝5＋⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥9，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时等号成立．答案：9 三、解答题11．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率． 解：从六个球中取出两个球的基本大事是：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共计15个．(1)记大事A 为“取出的两个球都是白球”，则这个大事包含的基本大事是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个，故P (A )＝315＝15；记“取出的两个球都是黑球”为大事B ，同理可得P (B )＝15.记大事C 为“取出的两个球的颜色相同”，A ，B 互斥，依据互斥大事的概率加法公式，得P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记大事D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则大事C ，D 对立，依据对立大事概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.12．黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表：血型A B AB O 该血型的人数所占的比例28%29%8%35%已知同种血型的人可以相互输血，O 型血的人可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB 型血的人，其他不同血型的人不能相互输血．小明是B 型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解：(1)任找一人，其血型为A ，B ，AB ，O 型血分别记为大事A ′，B ′，C ′，D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.由于B ，O 型血可以输给B 型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为大事B ′∪D ′，依据概率加法公式，得P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64.(2)由于A ，AB 型血不能输给B 型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为大事A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.其次节古典概型对应同学用书P143基础盘查一 古典概型 (一)循纲忆知1．理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机大事所包含的基本大事数及大事发生的概率． (二)小题查验 1．推断正误(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观看它是否发芽”属于古典概型，其基本大事是“发芽与不发芽”( )(2)掷一枚硬币两次，毁灭“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能大事( ) (3)在古典概型中，假如大事A 中基本大事构成集合A ，全部的基本大事构成集合I ，则大事A 的概率为card (A )card (I )( )答案：(1)× (2)× (3)√2．(北师大版教材例题改编)小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按确定挨次构成，小明不当心遗忘了密码中4个数字的挨次，随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是________．答案：23243．(2021·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，则甲被选中的概率为________． 解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为23.答案：234．(2021·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求大事的概率为436＝19.答案：19对应同学用书P144考点一 古典概型(基础送分型考点——自主练透) [必备学问] 1．基本大事的特点(1)任何两个基本大事是互斥的．(2)任何大事(除不行能大事)都可以表示成基本大事的和． 2．古典概型 (1)特点：①试验中全部可能毁灭的基本大事只有有限个，即有限性． ②每个基本大事发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝A 包含的基本大事的个数基本大事的总数.[提示](1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性； (2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关． [题组练透]1．(2021·浙江模拟)从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：选C 基本大事为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是12.2．(2021·广州二模)有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成一个两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )A.16B.13C.12D.38解析：选C 能组成的两位数有12,13,20,30,21,31，共6个，其中的奇数有13,21,31，共3个，因此所组。
高考数学一轮复习 第九章 第3讲 几何概型课件 文
求
概
率
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[做一做]
1．(2014·高考湖南卷)在区间[－2，3]上随机选取一个数 X，
则 X≤1 的概率为( B )
A．45
B．．35
C．25
D．15
解析：在区间[－2，3]上随机选取一个数 X，则 X≤1，即
－2≤X≤1 的概率为 P＝35．
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2．(2014·高考辽宁卷) 若将一个质点随机投入如图所示的 长方形 ABCD 中，其中 AB＝2，BC＝1，则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是( B )
(4)与距离有关的几何概型．
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(1)一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯
的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，则某人到达路口时看
见的是红灯的概率是( B )
A．15
B．25
C．35
D．45
(2)设
p
在[0，5]上随机地取值，则方程 3
x2＋px＋p4＋12＝0
有
实数根的概率为_____5___．
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13
π
π
解析：(1)所求概率为π26 －－（（－－π62 ））＝13，故选 A．
(2)由 1∈{x|2x2＋ax－a2＞0}，得 a2－a－2＜0⇒－1＜a＜2，
所以所求概率为25－ －（ （－ －15） ）＝130．
(3)∵函数 g(x)＝a－x 2在区间(0,＋∞)内为增函数,∴a－2＜0,
第九章 概率
第3讲 几何概型
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1
1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 _____长__度__(面__积__或__体__积__)______成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的概率公式
2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第九章第3讲几何概型 Word版含答案
第3讲 几何概型,[同学用书P179])1．几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式P (A )＝构成大事A 的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）1．辨明两个易误点(1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．(2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本大事的发生是等可能的，不同之处是几何概型中基本大事的个数是无限的，古典概型中基本大事的个数是有限的．2．会解三种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本大事只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本大事与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本大事就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1. 教材习题改编 如图，转盘的指针落在A 区域的概率为( )A ．16B ．19C ．112D ．118[答案] C2.教材习题改编 一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，则某人到达路口时观察的是红灯的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45B [解析] P ＝3030＋5＋40＝25，故选B.3.教材习题改编 如图，在一边长为2的正方形ABCD 内有一曲线L 围成的不规章图形．往正方形内随机撒一把豆子(共m 颗)．落在曲线L 围成的区域内的豆子有n 颗(n <m )，则L 围成的区域面积(阴影部分)为( )A ．2nmB ．4n mC ．n 2mD ．n 4mB [解析]S 阴影S 正方形＝落在L 围成的区域的豆子数n 落在正方形中的豆子数m，所以S 阴影＝n m ×22＝4nm.4.教材习题改编 如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机投掷一点，则它落在阴影部分的概率为________．[解析] 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ， 则所求大事的概率为P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.[答案]1π5．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________．[解析] 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设M -ABCD 的高为h ，则13×S 四边形ABCD ×h ＝16.又S 四边形ABCD ＝1，所以h ＝12.若体积小于16，则h <12，即点M 在正方体的下半部分，所以P ＝12V正方体V 正方体＝12.[答案] 12与长度、角度有关的几何概型[同学用书P180][典例引领](1)(2022·高考全国卷乙)某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A ．13B ．12C ．23D ．34(2)(2021·烟台模拟)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．【解析】 (1)由题意得图：由图得等车时间不超过10分钟的概率为12.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)由于∠B ＝60°，∠C ＝45°， 所以∠BAC ＝75°.在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记大事N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时大事N 发生． 由几何概型的概率公式，得： P (N )＝30°75°＝25.【答案】 (1)B (2)13 (3)251.本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？[解] 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32， 得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为23.2.本例(3)中，若将“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，则BM <1的概率是多少？[解] 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.与长度、角度有关的几何概型的求法解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将全部基本大事及大事A 包含的基本大事转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建大事的区域(长度或角度)．[通关练习]1．在区间[0，2]上随机地取出一个数x ，则大事“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A ．34B ．23C ．13D ．14A [解析] 不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1可化为log 122≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.2．如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．[解析] 如题图，由于射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.[答案] 16与面积有关的几何概型(高频考点)[同学用书P181]与面积有关的几何概型是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，多为简洁题或中档题． 高考对与面积有关的几何概型的考查主要有以下两个命题角度： (1)与平面图形面积有关的几何概型； (2)与线性规划学问交汇命题的几何概型． [典例引领](1)(2022·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A ．4nmB ．2nmC ．4mnD ．2m n(2)(2021·湖北华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A ．14B ．316C ．916D ．34【解析】 (1)设由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x n ≤10≤y n ≤1构成的正方形的面积为S ，x 2n ＋y 2n ＜1构成的图形的面积为S ′，所以S ′S ＝14π1＝m n ，所以π＝4mn，故选C. (2) (x ，y )构成的区域是边长为4的正方形及其内部，其中满足x ＋2y ≤8的区域为如图所示的阴影部分，易知A (4，2)，所以P ＝12×（2＋4）×44×4＝34.选D.【答案】 (1)C (2)D与面积有关的几何概型的求法求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积以求面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．[题点通关]角度一 与平面图形面积有关的几何概型1. 如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分)．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为( )A ．4π－1B ．1πC ．1－1πD ．2πA [解析] 顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于(2)2－4⎝⎛⎭⎫14×π×12－12×12＝4－π，又由于圆的面积等于π×12＝π，因此所求的概率等于4－ππ＝4π－1. 角度二 与线性规划学问交汇命题的几何概型2．在区间[0，1]上任取两个数a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________． [解析] 要使该函数无零点，只需a 2－4b 2<0，即(a ＋2b )(a －2b )<0.由于a ，b ∈[0，1]，a ＋2b >0，所以a －2b <0.作出⎩⎨⎧0≤a ≤1，0≤b ≤1，a －2b <0的可行域(如图阴影部分所示)，易得该函数无零点的概率P ＝1－12×1×121×1＝34.[答案] 34与体积有关的几何概型[同学用书P181][典例引领](1)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(2)(2021·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S －ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S －APC 的体积大于V3的概率是________．【解析】 (1)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. (2)由题意可知V S －APC V S －ABC >13，三棱锥S －ABC 的高与三棱锥S －APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S －APC V S －ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．【答案】 (1)1－π12 (2)23与体积有关的几何概型的求法对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简单的也可利用其对立大事求解．(2021·长春其次次调研) 如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点(点E 与B 1不重合)，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G .设AB ＝2AA 1＝2a ，EF ＝a ，B 1E ＝2B 1F .在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，则该点取自于几何体A 1ABFE -D 1DCGH 内的概率为________．[解析] 由于EH ∥A 1D 1，所以EH ∥B 1C 1，所以EH ∥平面BCC 1B 1.过EH 的平面与平面BCC 1B 1交于FG ，则EH ∥FG ，所以易证明几何体A 1ABFE -D 1DCGH 和EB 1F -HC 1G 分别是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，所求概率为：P ＝1－V 三棱柱V 长方体＝1－S △EB 1F S 矩形ABB 1A 1＝1－12×55a ×255a 2a 2＝910.[答案]910,[同学用书P182])——转化与化归思想在几何概型中的应用某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________．(用数字作答)【解析】 设小王到校时间为x ，小张到校时间为y ，则小张比小王至少早到5分钟时满足x －y ≥5.如图，原点O 表示7：30，在平面直角坐标系中画出小王和小张到校的时间构成的平面区域(图中正方形区域)，该正方形区域的面积为400，小张比小王至少早到5分钟对应的图形(图中阴影部分)的面积为12×15×15＝2252，故所求概率为P ＝2252400＝932.【答案】932本题通过设置小张、小王两人到校的时间这两个变量x ，y ，将已知转化为x ，y 所满足的不等式，进而转化为坐标平面内的点(x ，y )的相关约束条件，从而把时间这个长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而转化为面积型的几何概型问题求解．若题中涉及三个相互独立的变量，则需将其转化为空间几何体的体积问题加以求解．甲、乙两位同学商定周日上午在某电影院旁见面，并商定先到达者等10分钟后另一人还没有到就离开．假如甲是8：30到达，假设乙在8：00～9：00之间到达，且乙在8：00～9：00之间何时到达是等可能的，则两人见面的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．12C [解析] 由题意知，若以8：00为起点，则乙在8：00～9：00之间到达这一大事对应的集合是Ω＝{x |0<x <60}，而满足条件的大事对应的集合是A ＝{x |20≤x ≤40}，所以两人见面的概率是40－2060－0＝13., [同学用书P349(独立成册)])1．设p 在[0，5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( ) A ．15B ．25C ．35D ．45C [解析] 方程x 2＋px ＋1＝0有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．由几何概型的概率计算公式可知所求的概率为5－25－0＝35.2．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A ．16B ．13C ．23D ．45C [解析] 设AC ＝x ，则CB ＝12－x ，所以x (12－x )<32，解得x <4或x >8. 所以P ＝4＋412＝23.3．已知ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8B [解析] 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD＝2－π22＝1－π4.4. 如图所示，A 是圆上肯定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14C [解析] 当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，故由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13，故选C.5．(2021·商丘模拟)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．23C [解析] 如图所示，设点M 是BC 边的中点，由于PB →＋PC →＋2P A →＝0，所以点P 是中线AM 的中点，所以黄豆落在△PBC 内的概率P ＝S △PBC S △ABC ＝12，故选C.6．任取实数a 、b ∈[－1，1]，则a 、b 满足|a －2b |≤2的概率为( ) A ．18B ．14C ．34D ．78D [解析] 建立如图所示的坐标系，由于|a －2b |≤2，所以－2≤a －2b ≤2表示的平面区域为图中阴影部分，所以|a －2b |≤2的概率为S 阴影S 正方形＝78.7. 如图，在一不规章区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1 000 颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375颗，以此试验数据为依据，可以估量出该不规章图形的面积为________平方米．[解析] 设该不规章图形的面积为x 平方米，向区域内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在正方形区域内(含边界)的黄豆数为375，所以依据几何概型的概率计算公式可知3751 000＝1x ，解得x ＝83.[答案] 838．已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5，5]，若从区间[－5，5]内随机抽取一个实数x 0，则所取的x 0满足f (x 0)≤0的概率为________．[解析] 令x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，由几何概型的概率计算公式得P ＝2－（－1）5－（－5）＝310＝0.3.[答案] 0.39．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．[解析] 设大事M ＝“动点在三棱锥A －A 1BD 内”， 则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝V 三棱锥A 1－ABDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD＝16.[答案] 1610．(2021·郑州模拟)若不等式x 2＋y 2≤2所表示的平面区域为M ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，y ≥2x －6表示的平面区域为N ，现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为________．[解析] 作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示，平面区域N 的面积为12×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N 内的面积为14π(2)2＝π2，故所求概率P ＝π212＝π24.[答案]π2411. 如图所示，圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)已知点A 的坐标为(2，0)，B 为圆周上任意一点，求AB ︵的长度小于π的概率； (2)若N (x ，y )为圆O 内任意一点，求点N 到原点的距离大于2的概率． [解] (1)圆O 的周长为4π，所以AB ︵的长度小于π的概率为2π4π＝12.(2)记大事M 为N 到原点的距离大于2，则Ω(M )＝{(x ，y )|x 2＋y 2>2}，Ω＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}，所以P (M )＝4π－2π4π＝12.12．(2021·广东七校联考) 如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为( )A ．3＋316πB ．3＋34πC ．4π3＋3D ．16π3＋3B [解析] 由正弦定理BC sin A ＝ACsin B＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)． 于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝25（3＋3）102π＝3＋34π. 13．已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )．(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． [解] (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.由于x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π， 故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，面积S 2＝4，故所求概率为P 2＝S 2S ＝12.14．已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12.(1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，其次次取出的小球标号为b . ①记“a ＋b ＝2”为大事A ，求大事A 的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x ，y ，求大事“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”的概率．[解] (1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2.(2)①记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能状况有：(s ，t )，(s ，k )，(s ，h )，(t ，s )，(t ，k )，(t ，h )，(k ，s )，(k ，t )，(k ，h )，(h ，s )，(h ，t )，(h ，k )，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k )，(s ，h )，(k ，s )，(h ，s )．所以所求概率为P (A )＝412＝13.②记“x 2＋y 2>(a －b )2恒成立”为大事B ，则大事B 等价于“x 2＋y 2>4恒成立”，(x ，y )可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤2，0≤y ≤2，x ，y ∈R }，而大事B 构成的区域为B＝{(x ，y )|x 2＋y 2>4，(x ，y )∈Ω}．所以所求的概率为P (B )＝1－π4.。
2020高考数学大一轮复习 第九章 概率 第3节 几何概型课件 文 新人教A版
第三节 几何概型
概型的意义．
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2.了解几何
栏 目 导 航
01 课前回扣·双基落实 02 课堂互动·考点突破
01 课前回扣·双基落实
1．几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的__长__度__(_面__积__或__体__积__)___成比 例，与区域的形状，位置无关，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概 型．
(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． (6)从(5)区与间面[积1,1有0]关内的任几取何一概个型数的，概取率到与1几的何概图率形是的P形＝状19. 有关．
(×) (( × ))
VS
题组二 教材改编⇔最新模拟
2．(P137 思考改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为
A．12
B．13
C．14
D．1
(B )
解析 坐标小于 1 的区间为[0,1)，长度为 1，[0,3]的区间长度为 3，故所求概率 为13.
3．(P140T5改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小 球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是
A ()
解析 ∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B)．
4．(2019·山东临沂月考)有一杯1 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从
这杯水中取出0.1 L，则小杯水中含有这个细菌的概率为
(B)
A．0
B．0.1
C．0.01
D．1
解析 小杯水含有这个细菌的概率为 P＝01.1＝0.1.
届高考数学大一轮总复习 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9.7 离散型随机变量及其分布列课
变式训练1 (1)随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
2 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝____3____。
解析 由题意知2a＋b＝b＋a＋c＝c，1，
则 2b＝1－b，则 b＝31，a＋c＝23，
所以 P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝32。
(2)在例1(2)中条件不变的情况下，求Y＝2X＋1的分布列。 解 列表
X
0
1
2342Fra bibliotek＋11
3
5
7
9
∴P(Y＝1)＝P(X＝0)＝0.2，
P(Y＝3)＝P(X＝1)＝0.1，
P(Y＝5)＝P(X＝2)＝0.1，
P(Y＝7)＝P(X＝3)＝0.3，
P(Y＝9)＝P(X＝4)＝0.3。
因此，Y＝2X＋1的分布列为
Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
考点二 离散型随机变量的分布列
X
1
2
3
4
P
1 6
1
1
3
6
p
则 p＝( )
1 A.3
解析
1
1
1
B.2
C.4
D.6
由概率分布列的性质可知16＋13＋16＋p＝1，解得 p＝13。
答案 A
3．袋中装有10个红球、5个黑球。每次随机抽取1个球后，若取得黑球
则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止。若取球的次数为X，则表示
“放回5个红球”事件的是( )
基础自测
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列9_4古典概型课件理新人教A版
考点二|古典概型计算较复杂事件的概率 (方法突破) 【例2】 (2018·高考天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别 为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活 动． (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同 学承担敬老院的卫生工作． ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
4．(必修3·习题3.2B组改编)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则
甲被选中的概率为
．
答案：23
考点一|古典概型的简单应用 (思维突破)
【例1】 (1)(2017·高考山东卷)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机
抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )
(3)如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，
那么每一个基本事件的概率都是
1 n
；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件
A的概率P(A)＝mn .
[三基自测]
1．(必修3·习题3.2A组改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取
2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是( )
跟踪训练 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字2,3，这三张卡片除标记 的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数 字依次记为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
第09讲 函数的对称性(课件)-高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)
C.关于直线x＝1对称
√
D.关于直线y＝1对称
A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，
故A错误；
B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，
故B错误；
C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝
)
【变式3-1】已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图
象与y＝f(4－x)的图象
A.关于直线x＝1对称
√
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
得≠
，
∈ ，所以函数g(x)的定义域为： { ∈ | ≠
A， (−) = (− + ) = −( − ) = −( +
∈ }
，
) = −()
，
，即函数g(x)是奇函数，
不是偶函数，其图象关于直线x=0不对称，A选项错误；
当 x<0 时，不等式 xf(x－3)<0 等价于 f(x－3)>0，
所以 x－3<－3 或 0<x－3<3，解得 x<0；
当 x>0 时，不等式 xf(x－3)<0 等价于 f(x－3)<0，
所以－3<x－3<0 或 x－3>3，解得 0<x<3 或 x>6.
综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪(0，3)∪(6，＋∞)，故选 A.
2019-2020年高考数学大一轮复习第九章概率第三节几何概型课件文
[谨记通法] 1．与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可 直接用概率的计算公式求解． 2．与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角 的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替， 这是两种不同的度量手段．
考点二 与体积有关的几何概型 [典例引领]
2019/7/20
最新中小学教学课件Fra bibliotekthank
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2019/7/20
最新中小学教学课件
C.12＜p2＜p1
D．p1＜12＜p2
解析：如图，满足条件的 x，y 构成的点(x，y)在正方形 OBCA
内，其面积为 1.事件“x＋y≤12”对应的
图形为阴影△ODE，其面积为12×12×12＝
18，故 p1＝18＜12；事件“xy≤12”对应的图
形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故 p2＞12，则 p1＜12＜
半径为 R，圆 C 半径为 r，∴R＝r＋2r
＝3r，∴落入圆内的点的个数估计值为
600·16ππr32r2＝400.
答案：C
2．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数 x，y，记 p1 为事件
“x＋y≤12”的概率，p2 为事件“xy≤12”的概率，则(
)
A．p1＜p2＜12
B．p2＜12＜p1
区域体积为 23－23π，根据几何概型概率公式得， 点 P 与点 O 距离大于 1 的概率 P＝23－2323π＝1－1π2. 答案：1－1π2
[由题悟法] 与体积有关的几何概型求法的关键点 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问 题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对 于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．
新课标2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布列9_3随机事件的概率课件理新人教A
第三节 随机事件的概率
教 材 回 顾 考 点 突 破
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最新考纲考情考向分析
1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式.以考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率为主，常与事件的频率交汇考查．本节内容在高考中三种题型都有可能出现，随机事件的频率与概率的题目往往以解答题的形式出现，互斥事件、对立事件的概念及概率常常以选择、填空题的形式出现.
一定
一定不。
2020年高考数学一轮总复习第九章计数原理、概率、随机变量及其分布列9_3随机事件的概率课件理新人教A版
至少有1个红球的概率为
．
答案：1
考点一|随机事件的关系 (易错突破) 【例1】 (1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩 具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出 现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )
跟踪训练 (2018·沈阳模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、 乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×” 表示未购买.
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率； (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； (3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
(1)90分以上的概率： (2)不及格的概率：
； .
答案：(1)0.07 (2)0.1
2．(必修3·习题3.1A组改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰
有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少
有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述事件中，是对立事件的
[解析] (1)根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件 A，B不互斥也不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件． (2)从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)， (黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都 为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发 生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件． [答案] (1)D (2)A
第三节 随机事件的概率
高考数学(文)大一轮精讲练课件：第九章 概率 第1节
件是
( D)
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．
3．(P82B组T1改编)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11； [31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3.
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
师生 共研
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
Y 频数
51
48
45
42
4
(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 48 kg 的概率．
解 (1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的
作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6
解析 ∵P(A)＝512，P(B)＝1532，且 A 与 B 是互斥事件．∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ＝512＋1532＝1542＝276.
02 课堂互动·考点突破
考点一 事件关系的判断
自主 完成
1．从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是 奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶
6天
3天
(1)试求这 30 天中日销售量低于 100 枝的概率；
(2)若此花店在日销售量低于 100 枝的时候选择 2 天作促销活动，求这 2 天恰好是
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第九章概率9_3几何概型课件文新人教A版
D.1285
答案：C
(2)(2018·合肥质检)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00～6：00 之间送货上门．已知小李下班到家的时间在下午5：30～6：00之间，快递员到小 李家时，如果小李未到家，就将商品存放到快递柜中，则小李需要去快递柜收取 商品的概率等于________．
(2)因为f(2)＝6，所以22＋m＝6，解得m＝2.因为f(x)≥4，所以2x＋2≥4，所以
x≥1，而x∈[－3,3]，故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率
P＝26＝13.故选B .
(3)如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概
率为36600°°＝16.
2 n
＋y
2 n
<1构成的图形的面
1 积为S′，所以S′ S ＝41π＝mn ，所以π＝4nm，故选C.
(2)不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.
由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝
1 2
S圆＝
π
π2，所以由几何概型知，所求概率P＝SS正黑 方形＝24＝π8.
体 ABCD－A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为
________．
[解析] (1)当点P到底面ABC的距离小于32时， 1
VP－ABC<2VS－ABC. 由几何概型知(如图所示)，
所求概率为 P＝1－123＝78. (2)V正＝23＝8，V半球＝12×43π×13＝23π.VV半正球＝82×π3＝1π2，∴P＝1－1π2. [答案] (1)A (2)1－1π2
[答案]
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()
• (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形． ()
• (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率． ( )
• (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关． (
( 6从)区间[ 1 , 内1任0取] 一个数，取到 1 的概率是 P＝19.
VS
题组二 教材改编⇔最新模拟
解析 小杯水含有这个细菌的概率为 P＝01.1＝0.1.
• 5．(2019·陕西临潼月考)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落
1
30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠6 yOT内的概率
__________.
解析 根据题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的，所以 OA 落在 内的概率为36600＝16.
• (3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何图形的体积公式解答 题．
VS
题组一 判断正误⇔概念辨析
• 1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
• (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零． ( )
• (2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随
取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．
成比例，与区域的形状，位置无关，则称这样的概率模型为几何 模型，简称几何概型．
• 2．几何概型的两个基本特点 • (1)无限性：在一次试验中可能出现的结果无有限__多__个________. • (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等_可__能__性_______. • 3．几何概型的概率公式
构成事件A的区域长度面积或体积
a－2b＜0 易得该函数无零点的概率 P＝1－121× ×11×12＝34.
考点三 与体积有关的几何概型
1．(2019·湖南长沙四县联考)如图，在一个棱长为 2 的正方体鱼
缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底
面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地
投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率
2 为____5______.
解析 因为∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°. 在 Rt△ABD 中，AD＝ 3，∠B＝60°，所以 BD＝tanAD60°＝1，∠BAD＝30 件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M，使 BM<1”，则可得∠BAM< 时事件 N 发生．由几何概型的概率公式，得 P(N)＝3705°°＝25.
(
• A．p1＝p2
• B．p1＝p3
• C．p2＝p3
• D．p1＝p2＋p3
解析 ∵S△ABC＝12AB·AC，以 AB 为直径的半圆的面积为12π·A2B2＝π8AB2， 以 AC 为直径的半圆的面积为12π·A2C2＝π8AC2， 以 BC 为直径的半圆的面积为12π·B2C2＝π8BC2， ∴SⅠ＝12AB·AC，SⅢ＝π8BC2－12AB·AC，
• P(A)＝____试__验__的__全__部_结 __果__所__构__成__的__区__域__长__度__面__积__或__体__积__ _______.
• 几种常见的几何概型
• (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关
• (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关， 知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标 样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决
解决与面积有关的几何概型问题，其解题关键是明确试验所发生的区域及
发生的区域面积，其解题流程为：
第一步 — 明确取点的区域Ω |
第二步 — 确定所求事件对应的区域A |
第三步 — 计算区域Ω和区域A的几何度量μΩ和μA |
第四步 — 利用PA＝μμΩA计算概率
[训练 1] (2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1， yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
确定的平面区域记为 Ω2，若在 Ω1 中随机取一点，则该点恰好在 Ω2 内的
7 ____8______.
解析 如图，平面区域 Ω1 就是三角形区域 OAB，平面 区域 Ω2 与平面区域 Ω1 的重叠部分就是区域 OACD，
易知 C－12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概 率 P＝S四S边△形OOAABCD＝S△OASB△－OASB△BCD＝2－2 14＝78.
• 2．与角度有关的几何概型
• 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小 区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同 量手段．
考点二 与面积有关的几何概型
• 与面积有关的几何概型是高考考查几何概型的热点，常与平面几 性质、解析几何、向量、复数、线性规划等知识交汇命题，多以 题、填空题的形式出现，属中低档题．
A．4mn
B．2mn
C．4nm
D．2nm
解析 因为 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn 都在区间[0,1]内随机抽取，所 的 n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形 OABC 内(包括边界)， 示．若两数的平方和小于 1，则对应的数对在扇形 OAC 内(不包括扇形圆弧上
SⅡ＝π8AB2＋π8AC2－π8BC2－12AB·AC＝12AB·AC．∴SⅠ＝SⅡ.由几何概型概
得 p1＝SSⅠ 总，p2＝SSⅡ 总.∴p1＝p2.
考向 2：与线线规划有关的几何概型
x≤0， 由不等式组y≥0，
确定的平面区域记为
y－x－2≤0
Ω1，由不等式组xx＋ ＋
2．(P137 思考改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于 1 的概率为
A．12
B．13
C．14
D．1
解析 坐标小于 1 的区间为[0,1)，长度为 1，[0,3]的区间长度为 3，故所 为13.
• 3．(P140T5改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一 璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机
• [变式探究] 题4中，若将“在∠BAC内作射线AM交BC于点M”改 “在线段BC上找一点M”，求BM<1的概率．
解
依题意知 BC＝BD＋DC＝1＋
3，P(BM<1)＝1＋1
＝ 3
3－1 2.
• 1．与长度有关的几何概型
• 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用 的计算公式求解．
第九章 概率
第三节 几何概型
•
1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2.了
何概型的意义．
栏 目 导 航
01 课前回扣·双基落实 02 课堂互动·考点突破
01 课前回扣·双基落实
• 1．几何概型的定义 • 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_长__度__(面__积__或__体__积__)_
是
(A )
A．1－π4
B．1π2
C．π4
D．1－1π2
解析 鱼缸底面正方形的面积为 22＝4，圆锥底面圆的面积为 π.所以“鱼
鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是 1－π4.
• 2．在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，
正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概
应选择的游戏盘是
()
解析 ∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)>P(C)＝P(D)>P(B
• 4．(2019·山东临沂月考)有一杯1 L的水，其中含有1个细菌，用 小杯从这杯水中取出0.1 L，则小杯水中含有这个细菌的概率为 (
• A．0
B．0.1
• C．0.01 D．1
2．(2019·河北衡水模拟)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C，现作一矩 边长分别等于线段 AC，CB 的长，则该矩形的面积大于 20 cm2 的概率为A．16Fra bibliotekB．13
C．23
D．45
解析 设|AC|＝x，则|BC|＝12－x，所以 x(12－x)>20，解得 2<x<10，故所 P＝101－2 2＝23.
• 考向1：与平面图形有关的几何概型
• (2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的
图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形
的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ
色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
4 油(油滴的直径忽略不计)，则正好落入孔中的概率是_____9_π____.
解析 依题意，该问题为与面积有关的几何概型，其概率为 P＝π·13222＝94