山西省忻州市2020届高考数学二轮复习 排列组合二项式定理专题小测(无答案)理
2020年高考数学(理)二轮复习命题考点串讲系列-专题19 排列、组合、二项式定理(含答案解析)
2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题19 排列、组合、二项式定理1、考情解读1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.2、重点知识梳理 1．两个重要公式 (1)排列数公式 A m n ＝n ！n －m ！＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(n ，m ∈N *，且m ≤n )．(2)组合数公式 C m n ＝n ！m ！n －m ！＝nn －1n －2…n －m ＋1m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．2．三个重要性质和定理 (1)组合数性质①C m n ＝C n －m n (n ，m ∈N *，且m ≤n )；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n (n ，m ∈N *，且m ≤n )；③C 0n ＝1. (2)二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k ·b k ＋…＋C n n b n ，其中通项T r ＋1＝C r n an －r b r . (3)二项式系数的性质①C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n ；②C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n；③C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1. 3、高频考点突破 考点1 排列与组合例1．【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 【答案】D【变式探究】【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72 ，故选D.【变式探究】(2015·四川，6)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个解析 由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A 34＝72个；若万位是4，则有2×A 34个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.答案 B考点二 排列组合中的创新问题例2．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)解析 分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b 5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c )5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5，故选A.答案 A【变式探究】设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130答案 D考点三 二项展开式中项的系数例3．【2016年高考北京理数】在6(12)x 的展开式中，2x 的系数为__________.（用数字作答）【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式16(2)r r r r T C x +=-可知，2x 的系数为226(2)60C -=。
2020年高考数学(理科)二轮复习押题特训专题19 排列、组合与二项式定理
2020年高考数学（理科）二轮复习押题特训专题19 排列、组合与二项式定理1．设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0，1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5}，则P⊗Q中元素的个数是()A．4 B．9 C．20 D．24解析：选C依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素，故选C.2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A．224 B．112 C．56 D．28解析：选B根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有C28C14＝112种．3．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为()A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x4＝C r6x6－r i r，由6－r＝4，得r＝2.解析：选A二项式的通项为T r＋1故T3＝C26x4i2＝－15x4.故选A.4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：D5．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．30种B．36种C．60种D．72种解析：选A甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C24C24＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30种．6．已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( ) A ．945B ．－945C ．1 024D ．－1 024解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315×32×(－1)13＝－945.7．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．168C ．144D ．120解析：选D 先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．(1)小品1，相声，小品2.有A 22A 34＝48； (2)小品1，小品2，相声．有A 22C 13A 23＝36； (3)相声，小品1，小品2.有A 22C 13A 23＝36.共有48＋36＋36＝120种．8．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102r·x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.9．定义“规范01数列”{a n }如下：{ a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：C10．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016 x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为( ) A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016， ∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016. 即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24·C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝560－16－72＝472种，选C.答案：A18．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于( ) A ．－10B ．－5C ．5D ．10解析：对等式两边求导得10(2x －3)4＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝1得10＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5，故选D.答案：D19．设k ＝⎠⎛0π(sinx －cosx)dx ，若(1－kx)8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．256解析：∵k ＝⎠⎛0π(sinx －cosx)dx ＝(－cosx －sinx)⎪⎪⎪π0＝(－cosπ－sinπ)－(－cos0－sin0)＝2，∴(1－2x)8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 8＝1，令x ＝0可得a 0＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝0，故选B.答案：B20．若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．解析：T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案：－221．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x3的系数是________． 答案：2122．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同分法的种数是________．解析：5张参观券分成4份，1份2张，另外3份各1张，且2张参观券连号，则有4种分法，把这4份参观券分给4人，则不同的分法种数是4A 44＝96.答案：9623．若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则函数f (x )＝a 2x 2＋a 1x ＋a 0的单调递减区间是________．解析：∵(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴a 0＝1，a 1＝－C 15＝－5，a 2＝C 25＝10，∴f (x )＝10x 2－5x ＋1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋38，∴函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1424．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．解析：把8张奖券分4组有两种方法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，∴不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60.答案：6025．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8展开式中，含x 3的项的系数是__________． 答案：－121。
2020年新高考数学二轮习题练专题08_排列组合二项式定理
专题08 排列组合二项式定理一、单选题1.张、王夫妇各带一个小孩儿到上海迪士尼乐园游玩，购票后依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩要排在一起，则这6个人的入园顺序的排法种数是（ ）校的不同分配方法有（D.-3个歌曲节目，要求歌曲节目一定排在首尾，另外 2个舞蹈节目一定要排在一起，则这同编排种数为A. 48B. 36C. 24D. 125 .用数字0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成没有重复数字的四位奇数的个数是( A. 72B, 144C, 150D. 1806 .石家庄春雨小区有 3个不同的住户家里供暖出现问题，负责该小区供暖的供热公司共有4名水暖工，现要求这4名水暖工都要分配出去，且每个住户家里都要有人去检查，则分配方案共有（8.（1 ax ）（1 X ）6的展开式中，x 3项的系数为-10,则实数a 的值为（）A. -B. 2C. 2D.-33 9 .今有某种产品50个，其中一级品45个，二级品5个，从中取3个，出现二级品的概率是10 .如图，用四种不同的颜色给图中的 A, B, C, D, E, F, G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色,A. 12B. 24C. 36D. 482.将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、 C 三所学校任教，每所学校至少安排1人, 则甲不去A 学A. 18 种B. 24 种C. 32种D. 36种3. 3男2女共5名同学站成一排合影，则 2名女生相邻且不站两端的概率为（4.元旦晚会期间，高三二班的学生准备了6个参赛节目，其中有 2个舞蹈节目,个小品节目，26个节目的不A. 12B. 24C. 36D. 727•若m 35nxdx，则二项式2xm的展开式中的常数项为（A. 6B. 12C. 60D. 120A.C 3C 30B.C C 52 C 3C 3 C. 1 C 5C 30D.C5c 45C 5 c 45 C 50且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（A. 192B. 336C. 600D.以上答案均不对二、多选题811. jx 1工展开式中系数最大的项（）24xA.第2项B.第3项C.第4项D.第5项n112.对于二项式一x3 nN，以下判断正确的有（）x・ . * ...................................................... .A.存在n N ,展开式中有常数项；.. 、 * .......................................... .................. .B.对任意n N ,展开式中没有常数项；C.对任意n N*,展开式中没有x的一次项；D.存在n N* ,展开式中有x的一次项.三、填空题b13.已知（1 2x）6展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则一.a2 10 9 1014.右多项式x x a0a1 x 1 a9x 1 a10x 1 ,则a? .15.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数 A a1a2a3a4a5,其中A的各位数中a k（k=2,3,4,5）出现。
2020高考数学二轮复习专题讲练4 排列、组合与二项式定理(最新,超经典)
2020高考数学二轮复习专题讲练4 排列、组合与二项式定理（最新，超经典）考情考向分析1．排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型。
2．二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般。
考点一排列与组合1.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为()A．12B．24 C．36D．48解析因为A，B两型号的种子试种方法数为2×2＝4，所以一共有4A33＝24(种)试种方法。
答案B2．若从6名志愿者中选4人去“鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有() A．60种B．70种C．80种D．90种解析若乙被选上，则乙不能去水立方，只能去鸟巢，共有C35·C13＝30(种)选派方法，若乙不被选上，共有C45·C24＝30(种)选派方法，所以共有30＋30＝60(种)选派方法。
答案A3．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有()A．48种B．72种C．96种D．216种解析按照以下顺序涂色，A：C14→B：C13→D：C12→C：C12→E：C11→F：C12，所以由分步乘法计数原理得总的方案数为C14·C13·C12·C12·C12＝96。
答案C4．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”。
“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学。
某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A．120种B．156种C．188种D．240种解析当“数”排在第一节时有A22·A44＝48(种)排法，当“数”排在第二节时有A13·A22·A33＝36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A22·A33＝12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有A12·A22·A33＝24(种)排法，所以满足条件的共有48＋36＋12＋24＝120(种)排法。
2020高考数学课标二轮：专题能力训练排列、组合与二项式定理含解析
答案:
解析:由题意知k= =12,所以Tr+1= xr.
因为r=2,所以含x2项的系数为 =66× .
27.已知二项式 的展开式中x2的系数为A,常数项为B,且B=4A,求a的值.
解:展开式的通项为Tr+1= x6-r· =(-a)r x6-2r.令6-2r=2,得r=2,A=a2 =15a2;令6-2r=0,得r=3,B=-a3 =-20a3.将其代入B=4A,得a=-3.
A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5
B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5
C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)
D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)
答案:A
解析:本题可分三步:第一步,分别取0,1,2,3,4,5个红球,共有1+a+a2+a3+a4+a5种取法;第二步,取0个或5个蓝球,有1+b5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c)5种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5种取法.故选A.
A.72种B.144种C.288种D.360种
答案:B
解析:第一步,排语文、英语、化学、生物4种,且化学排在生物前面,有 =12种排法;第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空当中的2个,有 =12种排法,所以不同的排法共有12×12=144种.
计数原理排列组合二项式定理二轮复习专题练习(一)附答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学专题复习
《计数原理排列组合二项式定理》单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．(汇编重庆理)若)12(x x -
n 展开式中含21x 项的系数与含41x 项的系数之比为－5，则n 等于
（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
2．1 ．（汇编重庆理）812x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中常数项为 （ ） A ．1635 B ．835 C ．435 D ．105
3．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]
A 85
B 56
C 49
D 28 (汇编湖南理)。
高考复习专题：排列组合、二项式定理测试题及答案
专题20 排列组合、二项式定理测试题满分150分 时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分） 1.设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 42.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A ．30种B ．36种C ．60种D ．72种4.已知(x ＋2)15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，则a 13的值为( ) A ．945 B ．－945 C ．1 024 D ．－1 0245.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．168C ．144D ．1006.若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．457．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( ) A ．232 B ．252 C ．472 D ．4848.若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016 x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－29.某校开设A 类课3门，B 类课5门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种10.某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则不同的安排方法有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．114种11.若n⎛⎫的展开式中的二项式系数之和为64，则该展开式中3y 的系数是（ ） A ．15 B ．15- C ．20 D ．20-12.在(x －2)2 006的二项展开式中，含x 的奇次幂的项之和为S ，当x ＝2时，S ＝( ) A ．23 008 B ．－23 008 C ．23 009 D ．－23 009 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有 ． 14．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．15.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)．16.若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则函数f (x )＝a 2x 2＋a 1x ＋a 0的单调递减区间是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？18.赛艇运动员10人，3人会划右舷，2人会划左舷，其余5人两舷都能划，现要从中选6人上艇，平均分配在两舷上划浆，有多少种不同的选法？19、在二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中的常数项；（2）求展开式中各项的系数和.20（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中的有理项．21.从1到9这九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？22、已知()(23)n f x x =-展开式的二项式系数和为512，且2012(23)(1)(1)n x a a x a x -=+-+-(1)n n a x ++-L .（1）求2a 的值； （2）求123n a a a a ++++L 的值.专题20 排列组合、二项式定理测试题参考答案一、选择题1.解析：选A 二项式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r，由6－r ＝4，得r ＝2. 故T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 2.故选A.2.解析：选D 从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类是取四个偶数，即C 44＝1种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即C 25C 24＝60种方法；第三类是取四个奇数，即C 45＝5，故有5＋60＋1＝66种方法．学_科网3.解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C 24C 24＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30种．4.解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315×32×(－1)13＝－943. 5.解析：选D 先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．(1)小品1，相声，小品2.有A 22A 34＝48； (2)小品1，小品2，相声．有A 22C 13A 23＝36； (3)相声，小品1，小品2.有A 22C 13A 23＝34.共有48＋36＋36＝100种． 6.解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2r ＝C r 102r·x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.7..解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24·C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝560－16－72＝472种，选C.8.解析：选C 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016， ∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1.9.解析：可分以下2种情况：①A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，有C 13C 25种不同的选法；②A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，有C 23C 15种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C 13C 25＋C 23C 15＝30＋15＝45(种)．答案：C10解析：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1,1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有C 35A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为(2,2,1)时，有C 25C 23A 22·A 33＝90种，A ，B 住同一房间有C 23A 33＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类计数原理共有42＋72＝114(种)，故选D. 答案：D11. 【答案】A 【解析】由题意得264,6nn ==，因此3363622166r r r r r r r T C C x y ---+==，从而333,42r r -==，因此展开式中3y 的系数是426615.C C ==选A. 12. 答案：B 解析：设(x －2)2 006＝a 0x 2 006＋a 1x 2 005＋…＋a 2 005x ＋a 2 006，则当x ＝2时，有a 0(2)2006＋a 1(2)2 005＋…＋a 2 0052＋a 2 006＝0①；当x ＝－2时，有a 0(2)2 006－a 1(2)2 005＋…－a 2 0052＋a 2 006＝23 009②.①－②得2[a 1(2)2 005＋…＋a 2 005(2)]＝－23 009，即2S ＝－23 009，∴S ＝－23 006.故选B. 二、填空题 13．【答案】65【解析】分二类：第一类，甲上7楼，有52种；第二类：甲不上7楼，有4×2×5种，52＋4×2×5＝65．14.解析：T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案：－215.解析：把8张奖券分4组有两种方法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给4人有A 44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C 23种分法，再分给4人有C 23A 24种分法，∴不同获奖情况种数为A 44＋C 23A 24＝24＋36＝60. 答案：6016.解析：∵(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴a 0＝1，a 1＝－C 15＝－5，a 2＝C 25＝10，∴f (x )＝10x 2－5x ＋1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋38，∴函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14三、解答题17、解 方法一 共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种).方法二 将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个18.解 分三类，第一类.2人只划左舷的人全不选，有C 35C 35＝100(种)；第二类，2人只划左舷的人中只选1人，有C 12C 25C 36＝400(种)；第三类，2人只划左舷的人全选，有C 22C 15C 37＝175(种).所以共有C 35C 35＋C 12C 25C 36＋C 22C 15C 37＝675(种).位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84(种)放法.故共有84种不同的选法.19.解：展开式的通项为2311()(0,1,22n rr r r n T C x r -+=-=,…,)n由已知：00122111()()()222n n n C C C -,,成等差数列，∴ 121121824n n C C n ⨯=+∴=,（1）5358T = （2）令1x =，各项系数和为125620.【解析】在展开式中，恰好第五项的二项式系数最大，则展开式有9项，∴ 8=n ．∴ 中，令1=x（2）通项公式为 ，1，2， (8)整数，即8,5,2=r 时，展开式是有理项，有理项为第3、6、9项，即21.解 (1)分步完成：第一步：在4个偶数中取3个，有C 34种情况. 第二步：在5个奇数中取4个，有C 45种情况. 第三步：3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况.所以符合题意的七位数有C 34·C 45·A 77＝100 800(个).(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C 34·C 45·A 55·A 33＝14 400(个).(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34·C 45·A 33·A 44·A 22＝5760(个). (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空位(包括两端)，共有C 34·C 45·A 44·A 35＝28 800(个).22.【解析】（1）根据二项式的系数和即为2n ，可得25129n n =⇒=，因此可将()f x 变形为99()(23)[2(1)1]f x x x =-=--，其二项展开式的第1r +为9919(1)2(1)(09)r r r r r T C x r --+=--≤≤，故令7r =，可得727292(1)144a C =-=-；（2）首先令令901,(213)1x a ==⨯-=-，再令令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-=L ，从而1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-=L L . （1）由二项式系数和为512知，9251229n n ==⇒= 2分，99(23)[2(1)1]x x -=-- ，∴727292(1)144a C =-=- 6分；（2）令901,(213)1x a ==⨯-=-，令2x =，得901239(223)1a a a a a +++++=⨯-=L ，∴1239012390()2a a a a a a a a a a ++++=+++++-=L L 12分．。
高考数学排列组合二项式定理测试.doc
十、排列、组合、二项式定理考试要求：1、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。
2、理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3、理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。
4、掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。
1、高三年级有文科、理科共9个备课组，每个人备课组的人数不少于4人，现从这9个备课组中抽出12人，每个备课组至少1人，组成“年级核心组”商议年级的有关事宜，则不同的抽调方案共有：A ．129种B ．148种C ．165种D ．585种2、从4名教师与5名学生中任选3人,其中至少要有教师与学生各1人,则不同的选法共有：A ．140种B ．80种C ．70种D ．35种3、 对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止. 若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有：A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种4、以长方体的8个顶点中的任意3个为顶点的三角形中，锐角三角形的个数是：A ．0B ．6C ．8D ．245、4个男生2个女生排成一排，若女生不能排在两端，且又不相邻，则不同的排法数有____________种。
6、假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角，由于受了点 伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右蜂房中去，从最初位置爬 到6号蜂房共有 种不同的爬法。
7、某单位有六个科室，现从人才市场招聘来4名新毕业的大学生，要随机地安排到其中的两个科室且每科室2名，则不同的安排方案种数为A.2426C AB. 2426A AC. 262AD. 242621C A 8、中央电视台“正大综艺”节目的现场观众来自四个单位，分别在图中的四个区域内坐定.有四种不同颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域的观众服装颜色相同与否，不受限制，那么不同的着装方法有：A.36种B.84种C.48种D.24种9、6名运动员站在6条跑道上准备参加比赛，其中甲不能站在第一道也不能站在第二道，乙必须站在第五道或第六道，则不同排法种数共有A. 144B. 96C. 72D. 4810、直线x y m x ==,将圆面422≤+y x 分成若干块. 现在用5种不同的颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，若共有120种不同的涂法，则实数m 的取值范围是 .11、用1个1，2个2，3个3这样6个数字可以组成多少个不同的6位数: 0654321蜜蜂A ．20B ．60C ．120D ．9012、从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程022=++c by ax 中的系数，则确定不同椭圆的个数为 .13、 在765)1()1()1(x x x +++++的展开式中，含4x 项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的：A ．第13项B ．第18项C ．第11项D ．第20项14、在7)1(+ax 的展开式中，3x 项的系数是2x 的系数与5x 项系数的等比中项，则a 的值是： A. 510 B. 925 C. 35 D. 325 15、若n xx )213(32-的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是: A ．3B ．4C ．5D ．6 16、102)1(x -的展开式中2x 的系数是 ，如果展开式中第r 4项和第2+r 项的二项式系数相等，则r 等于 .17、已知二项式72展开式的第4项与第5项之和为零，那么x 等于：A ．1BC ．2D ．4618、若nx )51(+与n x )57(+的展开式中各项系数之和分别为n a ，n b ，则nn n n n b a b a 432lim +-∞→= . 19、二项式(1+x)n 的展开式中, 存在着系数之比为5: 7的相邻两项, 则指数n (n ∈N*)的最小值为：A. 13B. 12C. 11D. 10十、排列、组合、二项式定理参考答案1、C ；2、C ；3、C ；4、C ；5、144；6、21；7、D ；8、B ；9、A ；10、22<<-m ； 11、B ；12、36；13、D ；14、B ；15、C ；16、-10，2；17、C ；18、21-；19、C。
高二数学排列组合及二项式定理检测题
排列组合及二项式定理检测题一、选择题：本大题共10小题，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知8)(xa x -展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ ） A.82 B. 83 C. 1或83 D.1或822.1003)23(+x 展开所得关于x 的多项式中，系数为有理数的共有（ ）项A.50B.17C.16D. 153.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则2312420)()(a a a a a +-++的值为( )A.1B.-1C.0D.24.对于二项式)()1(3+∈+N n x xn ，四位同学作了四种判断，其中正确的是( ) （1）存在+∈N n ，展开式中有常数项； （2）对任意+∈N n ,展开式中没有常数项； （3）对任意+∈N n ,展开式中没有x 的一次项； （4）存在+∈N n ,展开式中有x 的一次项。
A. (1)(3)B.(2)(3)C.(2)(4)D.(1)(4) 5已知naa )12(3+的展开式的常数项是第七项，则正整数n 的值为 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D . 106.5555除以8，所得余数是( )A.7B. 1C.0D. 1-7.设n 为自然数，则nn n k n k n k n n n n C C C C )1(2)1(22110-++-++--- 等于 ( )A.n2 B.0 C.-1 D. 18.如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图。
公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件。
在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行。
那么要完成上述调整，最少的调动件数（n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件数为n ）为（ ）A.18B.17C.16D. 159.某市为改善生态环境，计划对城市外围A 、B 、C 、D 、E 、F 六个区域（如图）进行治理，第一期工程拟从这六个区域中选取三个，根据要求至多有两个区域相邻，则不同的选取方案共有（ ）A.6B.10C.16D.1510.甲、乙、丙、丁与小强一起比赛围棋，每两人都要比赛一盘，到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁只赛了1盘，则小强已经赛了（ ） A .4盘 B .3盘 C .2盘 D .1盘本大题共5小题，每小题5分，共25分。
排列组合与二项式定理常考小题(20大核心考点)课件-2024年高考数学二轮复习讲练测(新教材新高考)
事排赛、彩票规则等，培养数学应用的思维意识．
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考点要求
考题统计
2023年北京卷第5题，4分
二项式定理
2023年天津卷第11题，5分
2022年I卷第13题，5分
2024
高考二轮复习讲练测
专题19 排列组合与二项式定理常考小题
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
知识建构
方法技巧
真题研析
核心考点
01
考情分析
排列组合与二项式定理是高考重点考查的内容之一，今后在本节的考查形式依然
以选择或者填空为主，以考查基本概念和基本方法为主，难度中等偏下，与教材相
+
+
项与第
+
项）的二项式系数相等数最大．
1．（2023•北京）( − ) 的展开式中，的系数是( D )
A．−
B．40
C．−
D．80
2．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法
共有( C )
A．30种
B．60种
虑其他情形．
（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”．
（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．
8、求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项+ = − 的特点，一般
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 排列组合与二项式定理小题练(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数) 排列组合与二项式定理小题练一、选择题1.5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有( )A ．A 55A 24种B ．A 55A 25种C ．A 55A 26种D ．(A 77－4A 66)种2.6本不同的书在书架上摆成一排，要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种3.已知A ，B ，C ，D 四个家庭各有2名小孩，四个家庭准备乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名小孩(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩中恰有2名来自同一个家庭的乘坐方式共有( ) A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种4.将甲、乙、丙、丁4名学生分配到三个不同的班，每个班至少1名，则不同分配方法的种数为( )A ．18B ．24C ．36D ．725.若(1－3x)2 018=a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为( )A ．22 018－1B ．82 018－1C ．22 018D ．82 0186. (1－3x)7的展开式的第4项的系数为( )A ．－27C 37B ．－81C 47 C ．27C 37D ．81C 477.若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中的第5项是常数，则自然数n 的值为( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．158. (x －y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中，x 2y 3z 2的系数为( )A ．－30B ．120C ．240D ．4209.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种10.某中学高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，现从中任选3人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且在三班至多选1人，则不同选法的种数为( )A ．484B ．472C ．252D ．23211.若(x －2y)6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( )A.152 B ．154 C ．120 D ．24012.已知(x ＋2)9=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )A ．39B ．310C ．311D ．312二、填空题13.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)14.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法有________种(用数字作答)．15.已知集合M={1，－2,3}，N={－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为________．16.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,则不同取法的种数为 .17.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 9的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________．18.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中含x 4项的系数为________．19.在二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中，若常数项为－10，则a=________.20.在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy 3的系数为________．21.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)22.设a ，b ，c ∈{1,2,3,4,5,6}，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三角形有________个．23.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25的展开式中x 2的系数是________．24.已知(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x 的系数为2，则实数a 的值为________．答案解析1.答案为：A ；解析：首先5名大人先排队，共有A 55种排法，然后把2个小孩插进中间的4个空中，共有A 24种排法，根据分步乘法计数原理，共有A 55A 24种排法，故选A.2.答案为：A ；解析：由题意知将甲、乙两本书放在两端有A 22种放法，将丙、丁两本书捆绑，与剩余的两本书排列，有A 33种放法，将相邻的丙、丁两本书排列，有A 22种放法，所以不同的摆放方法有A 22×A 33×A 22=24(种)，故选A.3.答案为：B ；解析：若A 家庭的孪生姐妹乘坐甲车，则甲车中另外2名小孩来自不同的家庭，有C 23C 12C 12=12种乘坐方式，若A 家庭的孪生姐妹乘坐乙车，则甲车中来自同一个家庭的2名小孩来自B ，C ，D 家庭中的一个，有C 13C 12C 12=12种乘坐方式，所以共有12＋12=24种乘坐方式，故选B.4.答案为：C ；解析：将4人分成三组，有C 24=6种方法，再将三组同学分配到三个班级有A 33=6种分配方法， 依据分步乘法计数原理可得不同分配方法有6×6=36(种)，故选C.5.答案为：B ；由已知，令x=0，得a 0=1，令x=3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018=(1－9)2 018=82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018=82 018－a 0=82 018－1，故选B.6.答案为：A ；解析：(1－3x)7的展开式的第4项为T 3＋1=C 37×17－3×(－3x)3=－27C 37x 3，其系数为－27C 37，选A.7.答案为：C ；解析：由二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式的第5项C 4n (x)n －4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 4=是常数项， 可得n2－6=0，解得n=12.8.答案为：B ；解析：[(x ＋2y)＋z]6的展开式中含z 2的项为C 26(x ＋2y)4z 2，(x ＋2y)4的展开式中xy 3项的系数为C 34×23，x 2y 2项的系数为C 24×22，∴(x －y)(x ＋2y ＋z)6的展开式中x 2y 3z 2的系数为C 26C 34×23－C 26C 24×22=480－360=120，故选B.9.答案为：C.解析：不同的分配方案可分为以下两种情况：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分配在另外的两个路口，其不同的分配方案有C 23A 33=18(种)；②甲、乙所在路口分配三人，另外两个路口各分配一个人，其不同的分配方案有C 13A 33=18(种)． 由分类加法计数原理可知不同的分配方案共有18＋18=36(种)．10.答案为：B.解析：若三班有1人入选，则另两人从三班以外的12人中选取，共有C 14C 212=264(种)选法． 若三班没有人入选，则要从三班以外的12人中选3人，又这3人不能全来自同一个班，故有C 312－3C 34=208(种)选法．故总共有264＋208=472(种)不同的选法．11.答案为：B ；解析：由题意知，S=C 06＋C 16＋…＋C 66=26=64，P=C 46(－2)4=15×16=240，故P S =24064=154.故选B.12.答案为：D ；解析：由题意得，因为(x ＋2)9=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，两边同时求导，可得9(x ＋2)8=a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋9a 9x 8，令x=1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋9a 9=310， 令x=－1，得a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋…＋9a 9=9，又(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2=(a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＋6a 6＋7a 7＋8a 8＋9a 9)·(a 1－2a 2＋3a 3－4a 4＋5a 5－6a 6＋7a 7－8a 8＋9a 9)=310×9=312.13.答案为：16；解析：法一：(直接法)按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C 12C 24种，有2位女生参加有C 22C 14种．故共有C 12C 24＋C 22C 14=2×6＋4=16(种)．法二：(间接法)从2位女生，4位男生中选3人，共有C 36种情况，没有女生参加的情况有C 34种，故共有C 36－C 34=20－4=16(种)．14.答案为：36；解析：法一：第一步，选2名同学报名某个社团，有C 23·C 14=12种报法；第二步，从剩余的3个社团里选一个社团安排另一名同学，有C 13·C 11=3种报法． 由分步乘法计数原理得共有12×3=36种报法．法二：第一步，将3名同学分成两组，一组1人，一组2人，共C 23种方法；第二步，从4个社团里选取2个社团让两组同学分别报名，共A 24种方法．由分步乘法计数原理得共有C 23·A 24=36(种)．15.答案为：14；解析：分两类：一是以集合M 中的元素为横坐标，以集合N 中的元素为纵坐标有3×2=6个不同的点；二是以集合N 中的元素为横坐标，以集合M 中的元素为纵坐标有4×2=8个不同的点，故由分类加法计数原理得共有6＋8=14个不同的点．16.答案为：472；17.答案为：0；解析：二项展开式的通项T r ＋1=C r 9x9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r =a r C r 9x 9－2r ，令9－2r=3，得r=3，所以a 3C 39=－84， 所以a=－1，所以二项式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 9，令x=1，则(1－1)9=0，所以展开式的各项系数之和为0.18.答案为：－48；解析：因为展开式中各项系数的和为2，所以令x=1，得(1－a)×1=2，解得a=－1.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项公式为T r ＋1=C r 5(2x)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r =(－1)r 25－r C r 5x 5－2r ，令5－2r=3，得r=1， 展开式中含x 3项的系数为T 2=(－1)×24C 15=－80，令5－2r=5，得r=0，展开式中含x 5项的系数为T 1=25C 05=32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a x ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中含x 4项的系数为－80＋32=－48.19.答案为：－2；解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1=C r 5(ax 2)5－r×⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r =， 令10－5r 2=0，得r=4，所以C 45a 5－4=－10，解得a=－2.20.答案为：120；解析：因为二项式(1＋2x)6的展开式中含x 的项的系数为2C 16，二项式(1＋y)5的展开式中含y 3的项的系数为C 35，所以在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，xy 3的系数为2C 16C 35=120.21.答案为：1 080；解析：解析：分两种情况：第一种：四位数都不是偶数的个数为：A 45=120(个)，第二种：四位数中有一位为偶数的个数为C 14C 14A 35=960(个)，则共有1 080个．22.答案为：27；解析：由题意知以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形， (1)先考虑等边三角形情况则a=b=c=1,2,3,4,5,6，此时有6个．(2)再考虑等腰三角形情况，若a ，b 是腰，则a=b ，当a=b=1时，c ＜a ＋b=2，则c=1，与等边三角形情况重复；当a=b=2时，c ＜4，则c=1,3(c=2的情况等边三角形已经讨论了)，此时有2个； 当a=b=3时，c ＜6，则c=1,2,4,5，此时有4个； 当a=b=4时，c ＜8，则c=1,2,3,5,6，此时有5个；当a=b=5时，c ＜10，有c=1,2,3,4,6，此时有5个； 当a=b=6时，c ＜12，有c=1,2,3,4,5，此时有5个； 由分类加法计数原理知有2＋4＋5＋5＋5＋6=27(个)．23.答案为：120；解析：在⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋25的展开式中，含x 2的项为2C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4,23C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2，所以在这几项的展开式中x 2的系数和为2C 15C 14＋23C 35C 02=40＋80=120.24.答案为：3；解析：因为(1－2x)5的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 15×(－2)=－10；(1＋ax)4的展开式中的常数项为1，x 的系数为C 14·a =4a ，所以(1－2x)5(1＋ax)4的展开式中x 的系数为1×4a＋1×(－10)=2，所以a=3.。
高考数学二轮复习 排列组合二项式定理专题小测理 试题
排列组合二项式定理一、选择题(每一小题5分)1． 从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，那么不同的挑选方法一共有( )A ．70种B ．112种C ．140种D ．168种2． (2021理6)5的展开式中含32x 的项的系数为30，那么a =〔 〕A ．-63．(2021)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为 ( )A ．144B ．120C ．72D ．244． 将2名老师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会理论活动，每个小组由1名老师和2名学生组成，不同的安排方案一共有( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种5． 2021年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，一共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．假设甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，那么不同的安排方案一共有( ) A ．1 440种B ．1 360种C ．1 282种D ．1 128种 6． 设n xx )15(-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，假设M －N ＝240，那么展开式中x 的系数为( ) A ．－150 B ．150 C ．300 D ．－300二、填空题(每一小题5分) 7．(2021全国I)8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为___________.(用数字填写上答案)8．假设对于任意实数x ，有x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋…＋a 5(x －2)5，那么a 1＋a 3＋a 5－a 0＝________.三、解答题(每一小题10分)9．现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动工程，要求每个工程都有人参加，每人只参加一个工程．(1)问一共有多少种不同的安排方法？(2)求满足题设要求，且甲、乙两人不参加同一个工程的安排方法种数．10．(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56. (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．附加题： 定义“标准01数列〞{a n }如下：{a n }一共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ，12,,,k a a a 中m =4，那么不同的“标准01数列〞一共有 A ．18个 B ．16个 C ．14个 D ．12个。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题10 排列组合二项式定理
专题10 排列组合二项式定理排列、组合与二项式定理是高中数学中内容相对独立的一个部分，排列、组合的知识为概率与统计中的计数问题提供了一定的方法．这部分内容的试题有一定的综合性与灵活性，要注意与其他数学知识的联系，注意与实际生活的联系．通过对典型例题的分析，总结思维规律，提高解题能力．§10－1 排列组合【知识要点】1．分类计数原理与分步计数原理． 2．排列与组合．3．组合数的性质：(1)；(2)．【复习要求】理解和掌握分类计数与分步计数两个原理．在应用分类计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，在应用分步计数原理时，要注意“步”与“步”之间的相关性和连续性．熟练掌握排列数公式和组合数公式，注意题目的结构特征和联系；掌握组合数的两个性质，并应用于化简、计算和论证．正确区别排列与组合的异同，体会解计数问题的基本方法，正确处理附加的限制条件． 【例题分析】例1 有3封信，4个信筒．(1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法?(2)把3封信都寄出，且每个信筒中最多一封信，有多少种寄信方法?⋅=-=-=m n mn mn m nA A m n m n C m n n A )!(!!,)!(!mn n m n C C -=11-++=m n m n m n C C C【分析】(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．(2)典型的排列问题，共有＝24种寄信方法．例2 在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A ，B 两种作物，每种作物种植1垄，为有利于作物生长，要求A ，B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有______种．解：设这10垄田地分别为第1垄，第2垄，…，第10垄，要求A ，B 两垄作物的间隔不少于6垄，所以第一步选垄的方式共有(1，8)，(1，9)，(1，10)，(2，9)，(2，10)，(3，10)这6种选法，第二步种植两种作物共有＝2种种植法，所以共有6×2＝12种选垄种植方法．【评述】排列组合是解决计数问题的一种重要方法．但要注意，计数问题的基本原理是分步计数原理和分类计数原理，是最普遍使用的，不要把计数问题等同于排列组合问题．对某些计数问题，当运用公式很难进行时，适时采取原始的分类枚举方法往往是最好的．如例2．在具体的计数问题的解决过程中，需要决策的是，这个计数问题需要“分步”还是“分类”完成，再考虑这个计数问题是排列问题、组合问题还是一般的计数问题．如例1的两个问题．例3 某电子表以6个数字显示时间，例如09:20:18表示9点20分18秒．则在0点到10点之间，此电子表出现6个各不相同数字来表示时间的有______次．【分析】分步来确定电子表中的六个数字如下： 第一步：确定第一个数字，只能为0，只有1种方法；第二步：确定第三位数字，只能为0至5中的一个数(又不能与首位相同)，所以只有5种方法；第三步：确定第五位数字，也只能为0至5中的一个数(又不能与首位，第三位相同)，所以只有4种方法；第四步：确定剩下三位数字，0至9共10个数字已用了3个，剩下的7个数字排列在2，4，6位共有种排法．由分步计数原理得：1×5×4×＝4200种．34A 22A 37A 37A【评述】做一件事情分多步完成时，我们一般先做限制条件较大的一步，如本题中，首位受限条件最大，其次为三、五位，所以我们先排首位，再排三、五位，最后排其他位．例4 7个同学站成一排，分别求出符合下列要求的不同排法的种数． (1)甲站在中间； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲在乙的左边(但不一定相邻)； (4)甲、乙、丙相邻； (5)甲、乙、丙两两不相邻；解：(1)甲站在中间，其余6名同学任意排列，故不同排法有＝720．(2)第一步：先把甲、乙捆绑，视为一个元素，连同其余5个人全排列，共有种排法；第二步：给甲、乙松绑，有种排法，此题共有＝1440种不同排法． (3)在7名同学站成一排的种排法中，“甲左乙右”与“甲右乙左”的站法是一一对应的，各占一半，因此甲站在乙的左边(不要求相邻)的不同排法共有÷2＝2520种．(4)先把甲、乙、丙视为一个元素，连同其余4名同学共5个元素的全部排列数有种，再结合甲、乙、丙3个人之间的不同排列有种，此题的解为：＝720． (5)先让除甲、乙、丙外的4个人站好，共有种站法，让甲、乙、丙3人插空，由于4个人形成5个空位，所以甲、乙、丙共有种站法，此题答案．【评述】当要求某几个元素排在一起时，我们常将这几个元素捆绑在一起作为一个元素与其他元素进行排列如例4(2)，(4)．当要求某几个元素不相邻时，我们常常先排其他元素，然后再将这几个元素排在已排好的其他元素的空中如例4(5)．例5 4个不同的球，4个不同的大盒子，把球全部放入盒内，恰有一个盒不放球，共几种放法?66A 66A 22A 66A 22A 77A 77A 55A 33A 55A 33A 44A 35A 14403544 A A【分析】先将4个球分成3组，共有种分组方法；再将3组球放在4个盒子里，是排列问题，有24种方法，所以，共有种不同的放球方法．【评述】类似这种装球问题采取先分组后装球的方法比较好．例6某班组有10名工人，其中4名是女工．从这10个人中选3名代表，其中至少有一名女工的选法有多少种?解法1：至少有一名女工的情形有三类：1名女工和2名男工；2名女工和1名男工；3名女工，把这3类选法加在一起，共有种不同的选法．解法2：与“至少有一名女工”选法相对立的是“没有女工”的选法，从所有的选法中除去“没有女工”的选法，剩下的即为所求，共有．【评述】当涉及“至少”或“至多”的问题时，从大的方向看我们常常是对其分类讨论，运用分类计数原理解决问题，当然，也可以考虑问题的对立面再用减法进行计算．例7 如图，用六种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有多少种?【分析】如果按从左至右的顺序去涂色，当涂到第4个格子时会发现，第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同决定着第4个格子有几种涂色方法，即如果第三个格子的颜色与第一个格子的颜色是否相同是不确定的，则第四个格子的涂色情况不定．于是，我们要按照1、3两个格子颜色相同和不相同两种情况分类来处理这个计数问题．解：1、3两个格子颜色相同时，按分步计数原理，有6×5×1×5＝150种方法； 1、3两个格子颜色不相同时，按分步计数原理，有6×5×4×4＝480种方法． 所以，共有不同的涂色方法630种．例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点，取4个不共面的点，不同取法有多少种?624=C =34A 1443424=A C 1003416242614=++C C C C C 10036310=-CC【分析】没有限制地从10个点中选出4个点，共有种不同选法，除去4点共面的选法即可．4点共面的选法有3类．(1)4个点在四面体A －BCD 的某一个面 上，共有种共面的情况．(2)过四面体的一条棱上的3个点及对棱的中点，如图中点A ，E ，B ，G 平面，共计有6种共面的情况．(3)过四面体的四条棱的中点，而且与一组对棱平行的平面，如图E ，F ，G ，H 平面，此类选法共有3种．综上，符合要求的选法共有种．例9 在给出的下图中，用水平或垂直的线段连结相邻的字母，按这些线段行走时，正好拼出“竞赛”即“CONTEST ”的路线共有多少条?【分析】“CONTEST ”的路线的条数与“TSETNOC ”路线的条数相同，如下右图，从左下角的T 走到边上的C 共有6步，每一步都有2种选择，由分步计数原理，所以下图中，“TSETNOC ”路线共有26＝64条．所以本题的答案为64×2－1＝127．410C 464C 141)364(46410=++⨯-CC【评述】例9的这种计数的方法常称之为对应法计数，它的理论基础为：如果两个集合之间可以建立一对一的对应关系，那么这两个集合的元素的个数相同．借助这个原理，如果一个集合元素的个数不好计算时，我们将其转化为求另一个集合元素的个数不失为一种较好的方法．例10 (1)计算的值； (2)计算的值；(3)证明：．(1)解：． (2)解：注意到中的隐含条件：n ≥m ，m ∈N ，n ∈N *，有解得，所以n ＝10． 所以，．(3)证明：．【评述】对于含排列组合式的恒等式证明及计算问题常用的方法有两种，一种是运用排列组合数的计算公式转化为代数恒等式的证明及代数式求值问题，另一种是运用组合数的一些性质进行计算及证明．常用的组合数的性质有：(1)； (2)；59694858A A A A -+nn nnC C 321383+-+mn m n m n A mA A 11+-=+275!93!85!9!94!8!84!4!9!3!9!4!8!3!859694858=⨯⨯=-⨯+⨯=-+=-+A A A A mn C ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥->-≥,321,038,03,383n n n n n n 221219≤≤n 46613123030312830=+=+C C C C )!1(!)!1(!)1()!1(!)!(!1+-++-+-=+-+-=+⋅⋅-m n n m m n n m n m n n m m n n mA A m nm n m n A m n n m n n m n n m m n n m n 1]!)1[()!1()!1()!1()!1(!)!1(!)1(+=-++=+-+=+-++-+-=⋅⋅m n n m n C C -=11-++=m n m n m n C C C(3)；(4)．练习10－1一、选择题1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( ) (A)10种(B)20种(C)25种(D)32种2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( ) (A)42(B)30(C)20(D)123．四面体的一个顶点为A ，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有( ) (A)30种(B)33种(C)36种(D)39种4．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有( ) (A)5种(B)6种(C)7种(D)8种5．下列等式中正确的是( )(1)；(2)； (3)； (4)． (A)(1)(2) (B)(1)(2)(3) (C)(1)(3)(D)(2)(3)(4)6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不．能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( ) (A)234种 (B)346种(C)350种(D)363种二、填空题nn n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3120n n n n C C C C 11--=k n k n nC kC 111111+++=+k n k n C n C k kn k nC k k n C 11+-=+kn k n C n k C 1111++=++7．从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的A 、B 、C ，所得的经过坐标原点的直线有______条．(结果用数值表示)8．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有______． 9．马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有______种．10．将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有______种．(以数字作答)11．从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)，每排中字母O ，Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是______．(用数字作答)12．8个相同的球放进编号为1、2、3的盒子里，则放法种数为______．(以数值作答)§10－2 二项式定理【知识要点】1．二项式定理：．2．通项公式：，3．，，，…，，…，称为二项式系数，4．二项展开式的系数的性质：；．【复习要求】会求二项展开式中适合某种特殊条件的项；了解利用二项式定理进行近似计算，证明与组合数有关的等式或整数(整式)的整除性的方法． 【例题分析】例1 在二项式的展开式中，含x 4的项的系数是______．nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)(rr n r n r b a C T -+=10n C 1n C 2n C r n C nn C n n n n n n C C C C 2210=++++ΛΛΛ++=++3120n n n n C C C C 52)1(xx -解：， 令10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4项的系数是．例2 (1)若(1＋x )n 的展开式中，x 3的系数是x 系数的7倍，求n 的值； (2)在(2＋lg x )8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，求x 的值．解：(1)由已知，即，整理得n 2－3n －40＝0，解得n ＝8或n ＝－5(舍)．所以n ＝8．(2)(2＋lg x )8的展开式中共有9项，二项式系数最大的项为第5项．由已知，，整理得(lg x )4＝1，所以lg x ＝±1，解得x ＝10或 例3 求的展开式中x 的系数为有理数的项的个数．解：，若系数为有理数，则都必须是整数，即r 应为6的倍数． 又0≤r ≤100，所以r 的不同值有17个． 所以x 的系数为有理数的项共有17项．例4 已知的展开式中，第3项与第6项的系数互为相反数，求展开式中系数最小的项．解： 由已知，所以n ＝7．所以第4项系数最小， r r r r rr r x C xx C T 31055251)1()1()(--+-=-=10)1(225=-C 137n n C C =n n n n 76)2)(1(=--1120)(lg 244485=⋅=⋅x C T ⋅=101x 1003)23(+x r r r rrr r r x C x C T ---+==1003210010031001001·2·3·)2()3(3,2100rr -nnx )1(-,)1(,)1(1055556422223-----=-==-=n n n n n n n n x C xx C T x C x xC T 25n n C C =.35)1(37337374x x C xxC T -=-=-=-【评述】通项公式是二项式定理中常用的一个公式，要熟练掌握，同时注意系数、上标、下标之间的关系；注意系数、二项式系数的区别，如例2； 注意运用通项公式求第3项时，r ＝2．如例4．例5 已知(a 2＋1)n 的展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式中的系数最大项等于54，求a 的值，解：的展开式的第r ＋1项令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，r ＝4，所以常数项 又(a 2＋1)n 的展开式中的各项系数之和等于2n ，由题意得2n ＝16，所以n ＝4． 由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n 的展开式中的系数最大的项即为二项式系数最大的项，是中间项T 3，所以，解得．例6 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7．求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜．解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1． ① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37． ②(1)易知a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7－a 0＝－2；(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝＝－1094；(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6=＝1093；(4)方法1：因为(1－2x )7的展开式中a 1，a 3，a 5，a 7是负数，a 0，a 2，a 4，a 6是正数，rr n r n r b a C T -+=152)1516(xx +52)1516(x x +.)516()1()516(2520555251rr r r rr r x C xx C T ---+==.16516455=⨯=C T 54424=a C 3±=a 2317--2317+-所以｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝2187． 方法2：因为｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜表示(1＋2x )7的展开式中各项系数的和，令x ＝1，可得｜a 0｜＋｜a 1｜＋｜a 2｜＋…＋｜a 7｜＝37＝2187．【评述】通过给二项式定理中的字母赋值(根据式子的特点，常令字母为1或－1)的方式可以解决二项展开式系数整体求值的问题．例7 若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝______．【分析】方法1：由于a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10＝x 2＋x 10[－1＋(x ＋1)2]＋[－1＋(x ＋1)10]＝，则．方法2：由于等式左边x 10的系数为1，所以a 10＝1，又，等式左边x 9的系数为0，所以，所以a 9＝－10．例8 除以100的余数为______．解：前面各项均能被100整除，只有末尾两项不能被100整除，，所以9192除以100的余数为81．例9求(0.998)5精确到0.001的近似值． 解：． 【评述】利用二项式定理求余数、求近似值是二项式定理的应用之一． 例10 设a ＞1，n ∈N *且n ≥2，求证． 10101091910)1()1()1(+++-+x C x C Λ10)1(9109-=-=C a 0109109=+a C a 9291190909090)190(9191922909291192920929292+++++=+=⋅⋅⋅⋅C C C C Λ81820082811909192+==+⋅C =-=55)002.01((0.998)990.0)002.0()002.0(2251505÷+-+-+ΛC C C na a n 11-<-证明：设，则(x ＋1)n ＝a ．欲证原不等式，即证nx ＜(x ＋1)n －1，其中x ＞0．，即有(x ＋1)n ＞nx ＋1，得证．例11 的展开式中常数项为______．(用数字作答)解：求的常数项，即求展开式中的常数项及含x－2的项．对于，． 令8－2r ＝0，即有r ＝4，．令8－2r ＝－2，即有r ＝5，．所以常数项为70＋2×(－56)＝－42．练习10－2一、选择题1．若的展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 (A)－84(B)84(C)－36(D)362．已知的展开式中x 3的系数为，常数a 的值为( )(A)1(B)2(C)4(D)83．在(1＋x )5(1－x )4的展开式中，x 3的系数是( ) (A)4(B)－4 (C)8 (D)－84．若与同时有最大值，则m 的值是( )(A)5 (B)4或5 (C)5或6 (D)6或7x a n =-1)2(111)1(11110≥+=+>++++=+---n nx x C x C x C x C x n n n n n n n n n Λ82)1)(21(xx x -+82)1)(21(xx x -+8)1(xx -8)1(xx -r r r r rr r x C xxC T 288881)1()1(--+-=-=70)1(4845=-=C T 22585656)1(---=-=x x C T nxx )1(2-9)2(x x a -49nC 21mn C二、填空题 5．(x 2＋)6的展开式中常数项是______．(用数字作答) 6．若(x ＋1)n ＝x n ＋…＋ax 3＋bx 2＋…＋1，(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝______． 7．(n ＋1)n＋1除以n 2(n ＞1)的余数为______．8．观察下列等式：，，，，……由以上等式推测到一个一般的结论：对于___________．三、解答题9．在(3x ＋1)n 的展开式中，如果各项系数的和比各项二项式系数的和大992，求n 的值． 10．若f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为( )11．当n ∈N *时，求证：x12235515-=+C C 3799591922+=++C C C 511131391351311322-=+++C C C C 7151717131791751711722+=++++C C C C C =++++∈+++++1414914514114*,n n n n n C C C C n ΛN .3)11(2<+≤nn习题10一、选择题1．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有( ) (A)35种(B)25种(C)20种(D)16种2．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( ) (A)18(B)24(C)30(D)363．从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有“qu ”(其中“qu ”相连且顺序不变)的不同排列共有( ) (A)120种(B)480种(C)720种(D)840种4．若＝，则(a 0＋a 2)2－(a 1＋a 3)2的值为( )(A)－1 (B)1 (C)0 (D)25．若的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( ) (A)10 (B)6(C)5(D)36．若，则的值为( )(A)2 (B)0(C)－1(D)－2二、填空题7．在(3－x )7的展开式中，x 5的系数是______．(用数字作答)8．从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少有一名女生，则不同的选法有______种．9．有6个座位连成一排，现有3人就座，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有______种． 10．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于______．11．数列a 1，a 2，…，a 7，其中恰好有5个2和2个4，调换a 1至a 7各数的位置，一共可以组成不同的数列(含原数列)______个．3)32(+x 332210x a x a x a a +++nx x )23(32-)()21(20092009102009R ∈+++=-x xa x a a x Λ200920092122aa a a +++Λ12．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种． 三、解答题13．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝509－n ，求n ．14．已知n 是等差数列4，7，10，13，…中的一项．求证的展开式中不含常数项．nxx )1(专题10 排列组合二项式定理参考答案练习10－1一、选择题1．D 2．A 3．B 4．C 5．B 6．B 二、填空题7．30； 8．240； 9．56； 10．240； 11．8424； 12．45．练习10－2一、选择题1．B 2．C 3．B 4．C 二、填空题5．15； 6．11； 7．n ＋1； 8．24n －1＋(－1)n 22n －1． 三、解答题9．解：令x ＝1，得各项系数和为4n ，又各项二项式系数和为2n ， 所以4n －2n ＝992.22n －2n －992＝0，解得n ＝5．10．解：f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋3x )n 展开式中含x 的项，由2m ＋3n ＝13，m ，n 为正整数，得m ＝2，n ＝3或m ＝5，n ＝1，当m ＝2，n ＝3时，求得x 2的系数为31；当m ＝5，n ＝1时求得x 2的系数为40， 故x 2的系数为31或40．11．证明：， 因为， 所以 x n m x C x C n m )32(3211+=+2111111)11(1221=+≥++++=+⋅⋅⋅⋅nC n C n C n C nn n n n n n nΛ121!1)11()21)(11(!1)!(!!1-≤≤----==-=⋅k k k knk n k n n k n k n k n n C ΛΛnn n n n n n n n n n C n C n C n C n C n 1·121111)11(22221+++≤++++=+⋅⋅⋅⋅ΛΛ.32132121212112<-=++++≤--n n Λ所以习题10一、选择题1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．C 二、填空题7．－189； 8．100； 9．72； 10．－240； 11．21； 12．36． 三、解答题13．解：令x ＝1，得2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ．令x ＝0，则a 0＝n ． 又由已知可得a n ＝1．∴，化简得2n ＝256，∴n ＝8． 14．解：用反证法，假设第r ＋1项为常数，即为常数项．又等差数列4，7，10，13，…的第k 项为a k ＝4＋(k －1)×3＝3k ＋1(k ∈N *)． 令n ＝3k ＋1，T r ＋1为常数项，则 即，∵k ∈N *，这与，且r ∈N 矛盾，所以它没有常数项．.3)11(2<+≤nn1)509(12)12(2+-+=--n n n 2321r n r nr rn r nr xC xxC T ---+==⋅.02313,023=-+=-r k r n 322+=k r。
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排列组合二项式定理
一、选择题(每小题5分)
1． 从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有
( ) A ．70种 B ．112种
C ．140种
D ．168种
2． (2020湖南理6)已知5
的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ）
A C.6 D ．-6
3．(2020辽宁)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为 ( )
A ．144
B ．120
C ．72
D ．24
4． 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种
5． 2020年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有
( ) A ．1 440种
B ．1 360种
C ．1 282种
D ．1 128种 6． 设n x
x )15(-的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为
( ) A ．－150 B ．150 C ．300
D ．－300 二、填空题(每小题5分) 7．(2020全国I)8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为___________.(用数字填写答案)
8．若对于任意实数x ，有x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋…＋a 5(x －2)5
，则a 1＋a 3＋a 5－a 0＝________.
三、解答题(每小题10分)
9．现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目，要求每个项目都有人参加，每人只参加一个项目．
(1)问共有多少种不同的安排方法？
(2)求满足题设要求，且甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数．
10．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项
系数的56
. (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；
(2)求展开式中的有理项．
附加题：
定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有
A ．18个
B ．16个
C ．14个
D ．12个。