第九章 欧氏空间与线性变换
高等代数考研复习[欧氏空间]
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即 ( , ) 0, 则称 与 正交，记为 .
非零向量组 1, 2 , , n如果满足 (i , j ) 0,(i j).
实数
称为向量 的长度，记为 0
1的向量称为单位向量.如果 长度为
则
称为
的单位化向量.长度有以下性质：
a) | | 0 当且仅当 0 时取等号； b) | k | k | |; c)
| || | | | .
夹角：欧氏空间V中向量 , 的夹角 , 定
(1 ,1 ) (1 , 2 ) ( , ) ( , ) 2 2 2 1 ( m ,1 ) ( m , 2 ) (1 , m ) ( 2 , m ) ( m , m )
则称 1, 2 , , n 是正交向量组. a)正交向量组一定是线性无关的； b) 若1, 2 , , n 是正交组，则
| 1 2 n || 1 | | 2 | | n | .
2 2 2 | | | | | | . c) 如果 , 则
为基 1, 2 , , n 的度量矩阵.
2) 度量矩阵的性质
a) 设 , 在n维欧氏空间V的基 1, 2 , , n 下的 坐标分别为 X ( x1, x2 , , xn ), Y ( y1, y2 , , yn ), 则 ( , ) X AY , 其中A是基 1, 2 , , n 的度量矩 阵.特别当 1, 2 , , n 是标准正交基时，A=E,则
高等代数考研复习
第九章 欧氏空间
图形学欧氏空间具体概念
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
高等代数欧几里得空间知识点总结
第九章 欧几里得空间（ * * * ）一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。
除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。
二、考点精讲：三、首师大真题： （一）欧氏空间1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质： （1）(,)(,)αββα=； （2）(,)(,)k k αβαβ=（3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+；（4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2.α的长度，记为α。
3.非零向量的夹角,β规定为(,),arccos,0,ααβαβπαβ=≤≤4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。
5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令(,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ⨯= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。
（1）度量矩阵是正定的；（2）不同基底的度量矩阵是合同的。
6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
（1）施密特正交化这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1,β2=α2-11112),(),(ββββα,β3=α3-11113),(),(ββββα-22223),(),(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组.（二）同构1.实数域R 上欧氏空间V 与'v 称为同构，如果由V 到'v 有一个1-1上的映射σ，适合 （1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=（3）((),())(,)σασβαβ= 这里,,V k R αβ∈∈，这样的映射σ称为V 到'v 的同构映射。
高代竞赛辅导第9章欧氏空间
9.欧氏空间1.（华南理工大学2006）4R正交基，其中1111111111222211A --⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭。
解 分析：设m n A R ⨯∈的列向量为12,,,n ααα ，则12(,,,)n A ααα= ， 列空间12,,,Im n W A ααα=<>= 。
0Ti i x Wx W x x αα⊥∈⇔⊥⇔⊥⇔=0Ker T TA x x A ⇔=⇔∈，从而有(Im )K er TWA A⊥⊥==，这表明：将A 改成T A ，又可以得到以上是两个非常重要的结论，在很多地方都用的上。
具体到本题：相当于求Ker TA 也就是求齐次线性方程组0T A x =的解空间的一个 标准正交基，这是一个标准问题。
先求0T A x =的一个基础解系：121331,2002αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；任何将12,αα正交化、单位化得121414,14140707ββ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
2.（中山大学2006）设由向量123(1,1,2,1),(3,1,4,1),(1,1,0,1)T T Tααα=-=-=-生成的子空间为W ，求一个线性方程组，使得它的解空间为恰好W 。
解 设矩阵()123,,A ααα=，则Im WA =()Im K er T A A⊥=。
这样问题就归结为：求齐次线性方程组0T A x =的解空间的一个基础解系1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 0101⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 这个基础解系生成的空间就是Ker T A ，而它的正交补也就是W ，恰好是和以上两个向量都正交的向量全体，这正好就是齐次线性方程组123240x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩的解空间，因此123240x x x x x ++=⎧⎨-+=⎩就是要求的线性方程组。
3.（南开大学2006）设线性方程组123451245123452303220390x x x x x x x x x x x x x x ++-+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-+=⎩ 的解空间为V 。
第九章_欧氏空间
第九章 欧氏空间一. 内容概述1. 欧氏空间的定义设V 是实数域R 上的一个线性空间.如果V ∈∀βα.,定义了一个二元实函数.记作()()R ∈βαβα,,,称为内积,且满足1)()()2;,,αββα=)()()()()()(),0,)4;,,,)3;,,≥+=+=ααγβγαγβαβαβαk k 当且仅当0=α时,().0,=αα其中γβα,,是V 中任意向量,k 为任意实数,则称V 为欧几里空间,简称欧氏空间.常见的欧氏空间有: (1)在(){}R x x x x R inn∈=|,,21里定义内积为()()1,2211y x yx y x nn +++= βα其中()().,,,,,11y y x x nn==βα则称Rn为R 上的欧氏空间.(2)设[]b a C ,为定义在[]b a ,上所有连续实函数所成的线性空间.内积定义为()()()()2,dx x g x f g f ba ⎰=(3)设Rmn ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '=则称Rmn ⨯为R上的欧氏空间,2. 欧氏空间的内积的主要性质: 1)()()()()()()())4;0,00,)3;,,,)2;,,==+=+=βαγαβαγβαβαβαk k 设εεεn ,,,21 为V的一组基,,,22112211εεεεεεβαnnn n y y y x x x +++=+++=则()Ay x '=βα,其中()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=εεεεεεεεn n n nn n A y x y y y x x x11112121,.3. 向量的长度,角,柯西-不涅柯夫斯基不等式().,βαβα≤4. 标准正交基 施密特正交化的方法正交向量组是线性无关的.正交基.标准正交基.格拉姆矩阵()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∈αααααααααααn n n nm G V V111121.,,,.度量矩阵.εεεn V ,,,.21 一组基G=()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛εεεεεεεεn n n n1111 5. 同构.6. 正交变换的定义及其等价的四个命题欧氏空间V 的线性变换A 称为正交变换,如果它保持向量的内积不变即对于任意的V ∈βα,,都有(βαA A ,)()βα,=.设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,于是下面四个命题相互等价的: 1)A 是正交变换;2)A 保持向量的长度不变,即对于.,ααα=A ∈V3)如果εεεn ,,,21是标准正交基,那么εεεn A A A ,,,21 也是标准正交基4)A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵,正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵. 正交变换的分类,第一类(旋转)|A|=1第二类的|A|=-1. 7. 向量与空间的正交, 空间与空间的正交.正交补. 8. 对称变换;, 对称矩阵的标准形.四个引理:1)设A 是实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数.2) 设A 是实对称矩阵,A 定义为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x n A 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x n A 21.则对任意R n∈βα,有()()βαβαA A ,,=或βααβA A '='3) 设A 是实对称矩阵,则Rn中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.4.设是A 对称变换，V 是A 一子空间，则也是A 一子空间。
第九章 欧氏空间
= ( , ) + ( , ) .
3 ) ( , 0 ) = (0 , ) = 0；
4) ( ki i , l j j ) ki l j ( i , j );
i 1 j 1 i 1 j 1
s
n
s
n
5 ) | ( , ) | | | | |，当且仅当 , 线性相
关时，等号才成立.
2 长度、夹角与正交
(1) 设V是欧氏空间，对任意V，非负实数 ( , ) 称为向量 的长度，记为 | |. 即| | 度为1的向量称为单位向量. 如果≠0，则
( , ) ，长
1 | |
是单位
向量，称为将单位化.
(2) 非零向量 , 的夹角 < , > 规定为
为 V1 . 如果V1 V2 ，且V=V1 + V2 ，则称V2为V1的
正交补，记为V1.
(2) 正交子空间有下列结果： 1) 设V是欧氏空间， , i , j V，则
L(1 , 2 , … , t) 等价于 j (j=1, 2, ..., t);
L(1 , 2 , … , s) L(1 , 2 , … , t)等价于i j
第九章
欧氏空间
内 容 摘 要
1 内积和欧几里得空间
(1) 设 V 是实数域 R 上一个线性空间，如果对V中 任意两个元素 , 有一个确定的实数( , )与它们对应， 且满足：
1) ( , ) = ( , )；
2) (k , ) = k( , )；
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
高等代数教案(北大版)第九章 欧式空间
Euclid 空间
Euclid 空间是定义了内积的实线性空间，在线性空间中，向量间的基本运算只限于线性 运算，而几何空间作为具体模型，还有很多性质没有推广到线性空间中来。把几何空间中的 长度、夹角等度量概念引入线性空间，就成了建立 Euclid 空间的一个基本目的，其中内积 的概念起了关键作用， 它使得 Euclid 空间具有更丰富的几何内容。 Euclid 空间的理论在解析 几何等数学分支和涉及正交变换的应用学科中都具有广泛的应用。 教学目的：为解决用正交变换把二次型化为标准形问题，必须在线性空间的基础上引 入度量，建立 Eulicd 空间。通过本章的学习，让学生了解并领会 Eulicd 空间的定义及基本 性质、内积的定义、标准正交基、同构正交矩阵、正交变换、子空间、正交补的概念，掌握 标准正交基的求法、 无关向量组扩充为标准正交基的 Schmidt 正交化方法、 同构的充要条件、 正交矩阵的性质和判定方法、正交补的存在唯一性和实对称阵正交相似标准对角矩阵的求 法。 教学重点：Eulicd 空间的基本概念、度量矩阵、标准正交基、正交矩阵、实对称矩阵的标 准形。 教学难点： 正交变换、对称变换和正交子空间。 教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。 2．习题课以多媒体教学为主。 教学内容：
§2
一、概念
标准正交基
定义 1 正交向量组：欧氏空间 V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就 称为正交向量组. 规定：单个非零向量组成的向量组是正交向量组. 性质 证明 正交的向量组必线性无关 设α1, α2,…, αm是一正交向量组，即(αi, αj)=0, i≠j.
令k1α1+k2α2+…+kmαm=0, 在等式两边用 α i 作内积：
习题解答 第九章 欧氏空间(定稿)
定理 2 正交向量组1,2 , ,m 必线性无关. 定理 3 设1,2 ,L ,m 为 n 维欧氏空间 V 的一组正交向量组，则可将1,2 ,L ,m 扩 展为 V 的一组正交基1,L ,m,m1,L ,n . 定理 4 设1,2 ,L ,m 为 n 维欧氏空间 V 的一组线性无关向量组，则存在正交向量组 1, 2 ,L , m ，使得1,2 ,L ,i 与 1, 2 ,L , i 等价 (i 1, 2,L , m) .
3. 同构
定义 8 设 V 与 W 都是数域 R 上的欧氏空间，如果由 V 到 W 有一个双射（一一对应）
, 且 具有如下性质： , V , k R (1) ( ) ( ) ( ) (2) (k ) k ( ) (3) (, ) ( ( ), ( ))
四、典型题解析
例1.设A, B是n阶实对称阵，定义
(A, B) trAB
○1
证明：所有n阶实对称阵V 关于( A, B)成一欧式空间。 (1)求V的维数。 (2)求使trA=0的空间S的维数。 (3)求S的维数。
证 首先可证V {A Rnn | A A}是R上的一个线性空间。 再证○1 是V 的内积，从而得证V 是关于内积○1 的欧式空间. 事实上A,B,CV ,k R,有
n
( A, A) 0 ai2j 0 A 0 i, j1
此即证V是欧式空间。
(1)证：Eij是(i, j)元为1，其余一元皆为0的n阶方阵，那么可证 B11 E11, B12 E12 E21,L , B1n E1n En1 B22 E22 , B2n E2n En2 ,L , Bnn Enn 为V的一组基，于是
○2
第九章 欧氏空间与线性变换.
(1)设线性变换/A在一组标准正交基下的矩阵为A, 则/A的共轭变换在这组基下的矩阵为 A / . (2)共轭变换满足(/A*)*=/A,(/A+/B)*=/A*+/B*,
(/A/B)*=/B*/A*,(k/A)*= k /A*. (3)设酉空间V的子空间W是线性变换/A的不变子 空间,则W的正交补W⊥是/A*的不变子空间.
(4)若/AX= X,则/A*X= (5)若线性变换/A特征根为 1 , 2 ,, n ,则/A* 的特征根为 , ,, .
1 2 n
X.
(6)若线性变换/A满足/A*/A=/A/A*,则称/A为正规变 换.正交变换、对称变换都是正规变换.
(7)设/A是正规变换,则属于/A的不同特征根的特征 向量正交. (8)若/A是正规变换,W是/A的不变子空间,则W⊥也 是/A的不变子空间. (9)若线性变换/A满足/A*=-/A,则称/A为酉空间的反 对称变换.显然反对称变换也是正规变换,且它满足对 任意的 , V 有 (/ A , ) ( , / A ) . 二、基本方法 常用的欧氏空间: (1)线性空间Rn,对如下定义的内积构成欧氏空间
祝福大家好运!
(2)设/A是欧氏空间V的对称变换,若V1是/A的不变 子空间,则V1的正交补V1⊥也是/A的不变子空间. (3)对称变换得所有特征根全为实数,且属于不同特 征根的特征向量互相正交. 4.共轭变换与正规变换 设V是复数域上的线性空间,并定义了内积,则称V 为酉空间.这里的内积是二元复函数,满足 ( , ) ( , ) . 其它性质类似于欧氏空间的内积.对应于欧氏空间的 正交变换和对称变换,在酉空间中有酉变换和对称变 换.设/A是酉空间中的线性变换,若对任意的 , V 有(/ A , ) ( , / B ) ,则称/B是/A的共轭变换,并记为 /B=/A*.
第九章 欧式空间(第一讲)
2
( , )
2
( , )
2
2
,
即
( , )
2
2
2
.
开方便得
( , )
.
综合ⅰ，ⅱ便知定理成立. 基于定理1.1的结果，又可以给出欧氏空间中两向量夹 角的定义.
定义1.3 对于欧氏空间中两个非零向量α, β ，定义α与 β的夹角为
累次应用以上两条及欧氏空间定义中的条件2）3）即可得 到3）式.
性质2 对于欧氏空间中任意向量α ，总有（α ，0）= （0，α）=0. 证明 由
( , 0) ( , 0 0) ( , 0) ( , 0)
即得（α ，0）=0.再由内积的交换律又知（0，α）= （α ，0）=0 . 特别，有（0，0）=0 .再结合欧氏空间定义中的第4） 条规定，便得如下结论：内积空间中向量α为零向量的充 分必要条件是（α ，α ）=0 ，也就是说，零向量是内积空 间中与自身的内积为0的唯一向量.
即对欧氏空间中任一组向量我们看到殴氏空间在向量的长度夹角正交等方面与我们已熟知的普通几何空间确有许多相像之处
线性代数
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结束
第九章
欧氏空间*
通过上两章的学习，我们对线性空间有了比较深入的 了解.线性空间是涉及一个集合、一个数域、两种运算、 八个条件的一个整体概念.它包含着丰富的内容，有着广 泛的应用.在这一章里将讨论一类特殊发线性空间—欧氏 空间.我们还将发现，欧氏空间与人们熟悉的几何空间有 许多相似的结果.通常的实向量内积、长度、夹角、距离 等概念都可以平行地在欧氏空间上建立起来，并得到类似 的相应结果.
第九章 欧氏空间
第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1)),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列：+∞<=∑∞=1221),,,,(n nn x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间（内积定义类似于例1，这是无穷维空间）.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.证明：由0),(≥++βαβαt t 对于任意实数t 成立，给出简单证明。
第九章欧氏空间习题答案
第九章欧氏空间习题答案一、填空题1. 0；2. i x；3. 123'b A b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 5. A ；6. (2,2,1)-；7. 2π；8. 6±；9. 2k >；10. 线性变换在某基下的矩阵；11. 012. 它们的维数相同；13. A ，1；14. 1-；15. 正交；16. 3π；17. 正定的。
二、判断题1-5 ××√√√ 6-10 √×√√√ 11-15 √√√×√ 16-20 √√×√× 三、选择题1-5 CDBCC 6-10 CACB(BD) 11-15 BDAAA 16-18 ABB 四、计算题1. 由220212(2)(1)(4)002E A λλλλλλλ---=--=+--=，故特征值为2,1,4-。
当2λ=-时，有12123234202320230x x x x x x x --=⎧⎪--+=⎨⎪-=⎩，则基础解系为11(,1,1)'2ξ=-，单位化为1122(,,)'333η=-；当1λ=时，有1213232022020x x x x x x --=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩，则基础解系为21(1,,1)'2ξ=-，单位化为2212(,,)'333η=-；当4λ=时，有12123232202320240x x x x x x x -=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩，则基础解系为31(1,1,)'2ξ=-，单位化为3221(,,)'333η=-。
则令122333212333221333T ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，为正交阵，有1214T AT --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
2. （1）111111t A t t ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由于二次型正定，则2300320t t t t >⎧⎪>⎨⎪-->⎩，即2t >。
第九章欧几里得空间
已知欧氏空间上的一组基,如何求正交基? 定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一 组基
, , , , 使 1 2 n
, , , 1 2 n ,都可以找到一组标准正交基
L ( , , , ) L ( , , , ) ,1 i , 2 , , n . 1 2 i 1 2 i
( AA ) ( ) ,
则称A 为正交变换.
定理 4 设A 是n维欧氏空间 V 的一个 线性变换，于是下面四个命题是相互等价的: 1) A 是正交变换;
V ,A ; 2) A 保持向量的长度不变,即对于
, , , 3) 如果 1 2 n 是标准正交基,那么
引入“长度”的概念：
几何空间中: 向量的长度: 定义 2
.
非负实数 ( α , α ) 称为向量 α 的长度,记为 α
引入“夹角”的概念：
几何空间中:
非零向量的夹角: c o s ,
在欧式空间中能否类似定义？
柯西－布涅柯夫斯基不等式： 对任意的向量α , β ，
(α , β) α β .
当且仅当 α , β 线性相关时，等号才成立. 定义 3 非零向量 α , β 的夹角 < α, β > 规定为： (α , β) <α , β> =a rc c o s . αβ
定义 4
如果向量 α , β 的内积为零，即
(α, β) 0,
那么 α , β 称为正交或互相垂直，记为 α β .
1 T 'A T TA T 成对角形.
要证明这个结果,需要如下准备: 引理 1 设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数.
n 对应于实对称矩阵A,在n维欧氏空间 R 上定义一个线 性变换A 如下: x1 x1 x x2 2 A A . xn xn
高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]
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第九章 欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()ij n n A a ⨯=，其中(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵。
( )2、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ-正交。
( )3、设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈,并且(,)0αβ=，则,αβ线性无关。
( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 （ ）5、若T 是正交变换，则T 保持向量的内积不变 （ ）6、度量矩阵是正定的 （ ）7、正交矩阵的行列式等于1 （ ）8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵，则AB 也是正交矩阵。
10、在欧氏空间V 中，若向量α与自身正交，则0=α.( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵，则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换，则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间，且21V V V +=，则21V V V ⊕=。
( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。
( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中，向量(1,0,1)α=-，(0,1,0)β=，那么(,)αβ＝_________， α＝_________．2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________．3、已知A 是一个正交矩阵，那么1A -＝_________，2A ＝_________． 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα，其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则向量12323βααα=+-的长度为 。
5、已知A 为n 阶正交阵，且|A|<0，则|A|= .6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。
高等代数(第9章)
证 依题意，可设 = k11+k22+…+knn ,则
n
n
( , ) ( ki i , ) ki ( i , ) 0
i 1
i 1
故 = 0.
(2)性质 设V是欧氏空间，则内积有如下性质
(i) (, 0)= (0, )=0
对称性
(ii) (k , )= (, k )
3.度量矩阵
定义 设V是n维欧氏空间, 1, 2,…,n为V的一组基.称
( 1 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , n )
A ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , n )
( n , 1 ) ( n , 2 ) ( n , n )
依定义，若1, 2,…,n是n维欧氏空间V中一个标
准正交基，则
( i ,
j)
1, 0,
i i
j j
(i, j 1,2,, n).
反之亦然，因此有如下结论.
定理 n维欧氏空间V的一组基1, 2,…,n是标准正 交基为该基的度量矩阵A=((i,j))nn为单位矩阵.
(ii)|k |=| k| | | (iii) |+ || |+ | | (后证)
证 (ii) k (k, k ) k 2 (, ) k .
长度为1的向量称为单位向量，而 称为把单位化.
(2)向量的夹角 为合理引进两个向量夹角的概念,首先证明欧氏空
间中的柯西——布涅科夫斯基(Cauchy-Buniakowski) 不等式.
定理 设V是欧氏空间， , V,有 |( , ) ||| | |
当且仅当 , 线性相关时等号成立. 证 (i)若 , 线性无关,则0, t , tR.考虑向量 =-t ( 0),由于
第九章 欧式空间(第三讲)
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﹡§3 正交变换与对称变换
本节讨论欧氏空间中两个特殊的线性变换—正交变换 与对称变换.
定义3.1 设σ是欧氏空间V的线性变换.如果对于V中任 意向量α, β都有
（σ（α），σ（β）=（α, β），
（6）
则称σ为一个正交变换.
满足（6）的线性变换σ称为是保持内积的.于是可以说， 正交变换是欧氏空间中保持内积的线性变换.
该基下的矩阵为 A (aij )nn .
必要性.据设有
(i ) a1i1 ( j ) a1 j1
于是
a ji ( (i ), j ),
a ji j aiji
ani n , anj n ,
aij (i , ( j )).
σ（ε1，ε2，···，ε n）= （ε1，ε2，···，ε n） A， 即
（σ（ε1）, σ（ε2）,···, σ（εn））=（ε1，ε2，···，ε n） A. 由2）已知σ（ε1）, σ（ε2）, ···, σ（εn）也是V的标准正交 基.按定理2.4， A必是正交矩阵.
3） => 4)设ε1，ε2，···，ε n是V的标准正交基, α是V中 向量,它在基ε1，ε2，···，ε n下的坐标为x,再设σ在基ε1， ε2，···，ε n下的矩阵为A.于是σ(α)在基ε1，ε2，···，ε n下 的坐标为Ax.又因A为正交矩阵,便有
由σ为对称变换知
(i ), j i , ( j ), i, j 1, 2, , n,
所以A为对称矩阵.
充分性.若A为对称矩阵，即AT= A，对于V中任意向量α, β，设它们在基ε1，ε2，···，εn下的坐标分别为x,y ，则σ(α)， σ(β)在基ε1，ε2，···，εn下的坐标分别为Ax, Ay .于是
欧氏空间与线性空间
欧氏空间与线性空间欧氏空间和线性空间是数学中两个重要的概念，它们在不同的领域和应用中发挥着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用等方面来探讨欧氏空间和线性空间的相关内容。
一、欧氏空间欧氏空间是指具有内积的实数向量空间。
在欧氏空间中，可以定义向量的长度和向量之间的夹角。
具体而言，对于n维欧氏空间R^n 中的向量x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)，其内积定义为：<x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn而向量的长度定义为：||x|| = sqrt(<x, x>) = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)欧氏空间具有一些重要的性质。
例如，欧氏空间中的向量满足三角不等式，即对于任意的向量x和y，有：||x + y|| <= ||x|| + ||y||此外，欧氏空间还满足正交性质，即对于任意的向量x和y，如果它们的内积为零，则称向量x和y是正交的。
欧氏空间的概念在几何学、物理学、统计学等领域中有广泛的应用。
在几何学中，欧氏空间可以用来描述点、线、面等几何对象之间的关系。
在物理学中，欧氏空间可以用来描述空间中的力、速度等物理量。
在统计学中，欧氏空间可以用来度量数据样本之间的相似性。
二、线性空间线性空间是指具有加法和数乘运算的向量空间。
在线性空间中，向量之间的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律和结合律。
具体而言，对于n维线性空间V中的向量x，y和标量a，其加法和数乘定义为：x + y = y + x (交换律)(a + b)x = ax + by (分配律)a(bx) = (ab)x (结合律)线性空间的概念在代数学、数学物理学、计算机科学等领域中有广泛的应用。
在代数学中，线性空间可以用来研究向量和矩阵的性质。
在数学物理学中，线性空间可以用来描述复杂的物理系统。
在计算机科学中，线性空间可以用来处理图像、音频等数据。
高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j iij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =，因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，,(,)ij i ji ja x xααα==∑，,(,)iji ji jay y βββ==∑，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
欧氏空间与双线性函数基本内容与考点综述
第九章 欧氏空间与双线性函数基本内容与考点综述一、基本概念1.欧几里得空间设V 是实数域R 上一线性空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记作),,(βα它具有以下性质:(1) );,(),(αββα=(2) );,(),(βαβαk k =(3) );,(),(),(γβγααβα+=+(4) .0),(0,0),(==≥ααααα时当且仅当这里V 是γβα,,中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.2.酉空间设V 是复数域C 上的线性空间,在V 上定义了一个二元复函数,称为内积,记作),,(βα它具有以下性质: (1);),(),(),,(),(的共轭复数是这里αβαβαββα=(2));,(),(βαβαk k =(3)),(),(),(γβγαγβα+=+;(4).0),(0,0),(==≥ααααα时当且仅当这里.,,,,空间这样的线性空间称为酉是任意复数中任意的向量是k V γβα3.向量的长度 非负实数αααα记为的长度称为向量,),(.4.向量的夹角非零向量规定为的夹角><βαβα,,πβαβαβαβα>≤≤<>=<,0,),(arccos ,. 5.向量正交如果向量βαβαβα,,0),(,,那么称即的内积为零=正交,记为βα⊥.6.基的度量矩阵V n n 维欧氏空间是εεε,,,21 的一组基,令.,,2,1,),,(n j i a j i ij ==εε称nn ij a A )(=为基n εεε,,,21 的度量矩阵.7.正交向量组欧氏空间V 中一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一正交向量组.8.正交基、标准正交基在n 维欧氏空间中,由n 个向量组成的正交向量组称为正交基,由单位向量组成的正交基称为标准正交基.9.正交矩阵、酉矩阵n 级实矩阵A 称为正交矩阵,如果.E A A ='n 级复矩阵A 称为酉矩阵,如果.E A A ='10.欧氏空间同构实数域R 上欧氏空间V 与V '称为同构的,如果由V 到V '有一个双射σ,满足(1)()()();σαβσασβ+=+(2));()(ασασk k =(3)).,())(),((βαβσασ=这里.,,,的同构映射到称为这样的映射V V R k V '∈∈σβα11.正交变换,酉变换欧氏空间如果满足的线性变换σV).,())(),((βαβσασ=则称.的一个正交变换为V σ酉空间如果满足的线性变换σV),())(),((βαβσασ=则称.的一个酉变换为酉空间V σ12.子空间正交、向量与子空间正交设恒有如果对于任意的的两个子空间是欧氏空间,,,,2121V V V V V ∈∈βα.0),(=βα则称恒有如果对于任意的一个向量记为为正交的,,.,,12121V V V V V ∈⊥βα.0),(=βα则称.,11V V ⊥αα记为正交与子空间13.子空间的正交补子空间.,,212112V V V V V V V =+⊥并且如果的一个正交补称为子空间14.欧氏空间V 的线性变换σ如果满足(),)(,()).σαβασβ=（则称.的一个对称变换为V σ15.向量之间的距离 长度).,(,βαβαβαd 记为的距离和称为向量-16.最小二乘解实系数线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=-+++=-+++00022112222212111212111n s ns n n s s s s b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 可能无解.即任何一组实数s x x x ,,,21 都可能使222111)(i s is i i ni b x a x a x a -+++∑= (1) 不等于零.使(1)式最小的实数组00201,,,s x x x 称为方程组的最小二乘解.17.对称矩阵,Hermite 矩阵如果.,为对称矩阵则称矩阵A A A =' 如果为则称矩阵A A A ,='Hermite 矩阵.18.Hermite 二次型设A 为Hermite 矩阵,二次齐次函数X A X x x a x x x f j i ij nj n i n '=∑∑===1121),,,( 称为Hermite 二次型.19.线性函数设V 是数域满足如果的一个映射到是上的一个线性空间f P V f P ,,(1))()()(βαβαf f f +=+;(2)).()(ααkf k f =其中.,,,上的一个线性函数为则称中任意数是中任意元素是V f P k V βα20.对偶空间、对偶基.设).,(,P V L V n P V 集合记作上全体线性函数组成的维线性空间上一个是数域用自然的方法在.,),(,),(的对偶空间称为上的线性空间成为数域上定义加法和数量乘法V P P V L P V L 设V n P V n 是维线性空间上的一个是数域εεε,,,,21 的一组基,作n V 上个线性函数,,,,21n f f f 使得⎩⎨⎧=≠==.,,2,1,,,0,1)(n j i i j i j f j i ε 则n n P V L f f f εεε,,,,),(,,,2121 称为的一组基为的对偶基.21.双线性函数V V f P V 即对上一个二元函数是上一个线性空间是数域,),(,βα中任意两个向量βα,,根据f 都唯一地对应于P 中一个数:),(),,(有下列性质如果βαβαf f(1)11221122(,)(,)();f k k k f k f αββαβαβ+=+，(2)),,(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+其中上的一个为则称中任意数是中任意向量是V f P k k V ),(,,,,,,,,212121βαβββααα双线性函数.22.双线性函数的度量矩阵设),(βαf 是数域,,,,.21的一组基是上的一个双线性函数维线性空间上V V n P n εεε 则矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f A εεεεεεεεεεεεεεεεεε 叫做),(βαf 在基n εεε,,,21 下的度量矩阵.23.非退化的双线性函数设),(βαf 是线性空间V 上一个双线性函数,如果0),(=βαf对任意就叫做非退化的可推出f V ,0,=∈αβ24.对称双线性函数,反对称双线性函数),(βαf 是线性空间V 上的一个双线性函数,如果对V 中任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f =.则称),(βαf 为对称双线性函数,如果对V 中任意两个向βα,都有),(),(αββαf f -=则称),(βαf 为反对称双线性函数.25.双线性函数对应的二次齐次函数设V 是数域βαβα=当上双线性函数是上的线性空间,),(,V f P 时, V 上函数),(ααf 称为与),(βαf 对应的二次齐次函数.26.双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间设V 是数域P 上的线性空间,在V 上定义了一个非退化双线性函数,则V 称为一个双线性度量空间,当f 是非退化对称双线性函数时, V 称为P 上的正交空间;当V 是n 维实线性空间,f 是非退化对称双线性函数时, V 称为准欧氏空间;当f 是非退化反对称双线性函数时, V 称为辛空间.二、基本结论1.柯西—布涅柯夫斯基不等式欧氏空间V 中的任意向量βα,有βαβα≤),(.当且仅当βα,线性相关时,等号才成立.2.度量矩阵是正定的,不同基的度量矩阵是合同的.3. n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.4.对于n 维欧氏空间中任意一组基n ααα,,,21 ,都可以找到一组正交基n βββ,,,21 使 .,,2,1).,,,(),,,(2121n i L L i i ==βββααα其中 .,,2,),(),(),(),(,1111111111n k k k k k k k k k =---==----ββββαββββααβαβ 5. ++⇔'=⇔='⇔='⇔=-j i j i nn ij a a a a A A E A A E A A a A 22111)(是正交矩阵⎩⎨⎧≠==+.,0,1j i j i a a nj ni 当当 ⎩⎨⎧≠==+++⇔.,0,12211j i j i a a a a a a jn in j i j i 当当 .的过渡矩阵中两组标准正交基之间维欧氏空间是V n A ⇔.,,,,,),,,(),,,(212121的一组标准正交基是是正交变换其中V A n n n εεεσεεεεεεσ =⇔6. n εεε,,,21 是n 维欧氏空间的一组标准正交基⇔⎩⎨⎧≠==j i j i j i ,0,1),(εε ⇔基n εεε,,,21 的度量矩阵为单位矩阵.⇔存在标准正交基n e e e ,,,21 及正交矩阵Q .使Q e e e n n ),,,(),,,(2121 =εεε7.两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.8.设:,以下四个命题是等价的的一个线性变换维欧氏空间是V n σ(1)都有即对任意的保持内积不变,,,V ∈βασ);,())(),((βαβσασ= (2);)(,,αασασ=∈V 即保持向量的长度不变(3)如果n εεε,,,21 是标准正交基,那么)(,),(),(21n εσεσεσ 也是标准正交基;(4).的矩阵是正交矩阵在任一组标准正交基下σ9.如果子空间.,,,,2121是直和那么和两两正交s s V V V V V V +++10..一的正交补的每一个子空间都有唯维欧氏空间V n 11..,,量必正交的不同特征值的特征向且属于的特征值都是实数则是实对称矩阵A A A 12..,,11一子空间也是则一子空间是是对称变换设σσσ⊥V V13.对于任意一个AT T AT T T n A n 1,,-='使阶正交矩阵都存在一个阶实对称矩阵成对角形.14.任意一个实二次型11,,,1,,.n n ij i j ij ji i j a x x a a i j n ==∑∑==都可以经过正交的线性替换变成平方和2222211n n y y y λλλ+++ .其中平方项的系数.,,,21的特征值就是矩阵A n λλλ15.线性方程组.X b A AX A b AX 的解程组的最小二乘解为满足方'='=16.埃尔米特矩阵的特征值为实数,它的属于不同特征值的特征向量必正交.17.若使则有酉矩阵是埃尔米特矩阵,,C AAC C AC C '=-1是对角形矩阵.18.对埃尔米特二次型1211(,,,)n nj n ij i i j f x x x a x x X AX =='=∑∑= 必有酉矩阵时当CY X C =, .),,,(22211121n n n n y y d y y d y y d x x x f +++=19.设,维线性空间上的是数域n P V n εεε,,,21 是V 的一组基, n a a a ,,,21 是P 中任意n 个数,存在唯一的V 上线性函数f ,使.,,2,1.)(n i a f i i ==ε20.设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基,它们的对偶基分别为n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .如果由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为A ,那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为.)(1-'A21. V 是一个线性空间, V **是V 的对偶空间的对偶空间, V 到V **的映射**x x →是一个同构映射.22.同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.23.双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵.24.设V 是数域P 上n 维线性空间,),(βαf 是V 上对称双线性函数,则存在V 的一组基n εεε,,,21 ,使),(βαf 在这组基下的矩阵为对角矩阵.25.设V 是复数域上n 维线性空间, ),(βαf 是V 上对称双线性函数,则存在V 的一组基n εεε,,,21 ,对V 中任意向量有.,11i i ni i i n i y x εβεα==∑=∑= )0(),(2211n r y x y x y x f r r ≤≤+++= βα26.设V 是实数域上n 维线性空间, ),(βαf 是V 上对称双线性函数,则存在V 的一组基n εεε,,,21 ,对V 中任意向量有.,11i i ni i i n i y x εβεα==∑=∑= )0(),(1111n r p y x y x y x y x f r r p p p p ≤≤≤---++=++ βα27.设),(βαf 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数,则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111 --使(,)1,1,,;(,)0,0;(,)0,,1,,.i i i j k f i r f i j f V k s εεεεαηα-⎧==⎪=+≠⎨⎪=∈=⎩ 三、基本方法1.常用的欧氏空间(1)线性空间n R ,对如下定义的内积构成欧化空间. ),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα.),(2211n n b a b a b a +++= βα(2)线性空间),()(),().,(b a C x g x f b a C ∈对如下定义的内积构成欧氏空间⎰=ba dx x g x f g f )()(),(. 2.将对称矩阵的理论、二次型的理论及对称双线性函数的理论互相转化,会给解题带来一些方便.试题精选1.(东南大学,2006)设f 是有限维Enclid 空间V 上的正交变换.(1)证明:f 的特征值只能是1或-1;(2)证明: f 的属于不同特征值的特征向量相互正交;(3)如果1和-1都是f 的特征值,并且11-V V 和分别表示f 的属于特征值1和-1的特征子空间,若I f =2(211:),V V V I =-证明上的恒等变换表示.证明:(1)若(),,0.f R f αλαλα=∈≠由是正交变换，那么2((),())(,)f f ααλαλαλαααα===且2(,)0 1.,1 1.R ααλλλ>=∈=-，于是那么或(2)若那么,)(,)(2211αααα-==f f.0),().,(),())(),((),(2121212121=-=-==αααααααααα于是f f(3)若,,,,,,212n V f I f ααα 的一组基于是存在可以对角化则=使.00),,,(),,,(2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-r n r n n E E f αααααα 那么 ),,,().,,,(211211n r r r L V L V αααααα ++-==.由(2),..dim ,dim ,111111⊥-⊥-⊥-=-=-=⊆V V r n V r n V V V 由正交补的唯一性且2.(东南大学,2006)假设n s A ⨯是实矩阵,在通常的内积下,A 的每个行向量的长度为a ,任意两个不同的行向量的内积为b ,其中b a ,是两个固定的实数.(1)求矩阵T AA 的行列式;(2)若.:.02的特征值均大于零证明T AA b a ≥>解 (1) 令则个行向量的是,,,,21s A A A A s2,1,,.,,,1,,.T T i i i j A A a i s A A b i j i j n ===≠= .)]()1([),,,(1222222122212121112121---+===⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=s T s s T s T s T s T T T s T T T s T T s T b a b s a a b b b a b bb a A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A AA证明 (2) 设s λλλ,,,21 是T AA 的特征值,则s T AA λλλ,,,21 =.由T AA 是半正定矩阵.于是.,,1,0s i i =≥λ只要证明T T AA AA 则,0≠的特征值均大于零.因为.0)]()1([,01222>=--+≥>-T s AA b a b s a b a 则3.(东南大学,2005)设n V 是维Euclid 空间,上的线性是V f 变换,并且满足条件:对任意)).(,()),((,,βαβαβαf f V =∈有(其中,().,),的内积表示向量ηξηξ(1)证明:f 的属于不同特征值的特征向量是相互正交的.(2)证明:如2,f f =则01,V V ⊥=其中10,V V 分别表示f 的关于特征值1和0的特征子空间证明 (1)设.0,0,,,,)(,)(212121222111≠≠≠∈==ααλλλλαλααλαR f f 那么).,(),()),((21121121ααλααλαα==f由已知条件1212122212((),)(,())(,)(,).f f αααααλαλαα===于是.0),(,0),)((212121==-ααααλλ所以(2)由没于是则的最小多项式是令则)(,)(,)(.0,222x m x x x m f x m f f f f -=-=有重根,f 可以对角化,那么存在V 的一组基n ααα,,,21 .使.000),,,(),,,(2121⎪⎭⎫ ⎝⎛=r n n E f αααααα 于是1120(,,,),(,r r r n V L V L αααααα++==.由(1),r n V V V V -==⊆⊥⊥1010dim dim .,由正交补的唯一性,⊥=10V V .4.(东南大学,2004)设321,,εεε为欧氏空间V 的标准正交基,31212,2εεβεεα+=-=,求正交变换H ,使.)(βα=H解.102),,(,021),,(321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεβεεεα .102021001010100100001010100010001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102021001100010 令.001100010),,(),,(321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=εεεεεεH 则.)(,βα=H H 且是正交变换5.(东南大学,2004)已知A n A n 是阶实对称阵是λλ,,,1 的特征值,相对应的标准正交特征向量为n ξξ,,1 .求证: ."".111表示转置这里T A T n n n T ξξλξξλ++= 证明 令.).,,,(21是正交矩阵则Q Q n ξξξ =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n A λλλξξξξξξ 212121),,,(),,,( 于是⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-T nT T n n T n n Q Q Q Q A ξξξλλλξξξλλλλλλ 21212121121),,,( .111T n n n T ξξλξξλ++= 6.(大连理工,2003)设的标准正交基底上在是正交变换维欧氏空间是一个V n V σσ,,的矩阵是A .证明:(1)若,,,V vi u ∈+βασ则有的一个虚特征值是使(),();u v v u σααβσβαβ=+=-+(2)若σ的特征值皆为实数,则V 可分解为一些两两正交的一维不变子空间的直和;(3)若σ的特征值皆为实数,则A 是对称阵.证明 (1)容易证明，如果ξ的坐标是实向量,则)(ξσ的坐标也是实向量. 令 ()(),,,0,0,.u vi u v R v V σξξξξ=+∈≠≠∈设 那么.αβξi += 于是).()())(()()()()(βαβααβασβσαβσξσv u i u v i iv u i i +++-=++=+=+=.)(,)(βαβσβαασu v v u +-=+=(2)令n λλλ,,,21 是σ的实特征值,由Schur 定理,A 正交相似于一个上三角形矩阵,那么存在正交矩阵Q ,使⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-n T AQ Q AQ Q λλλ 0*211 (1) (1)式两边取逆,则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-----11211110*n T T Q A Q Q A Q λλλ (2) (1)式两边取转置,则.*021⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T T Q A Q λλλ 由(2)式⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-n T AQ Q AQ Q λλλ 211 (3) 设n εεε,,,21 是V 的一组标准正交基.,),,,(),,,(2121A n n εεεεεεσ =因为.,是正交矩阵则是正交变换A σ令 ,),,,(),,,(2121Q e e e n n εεε = 则n e e e ,,,21 是V 的一组标准正交基.⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==-n n n n e e e AQ Q e e e e e e λλλσ 212112121),,,(),,,(),,,( 于是有.,,1),(,,,2,1,)(n i e L V n i e e i i i i i ====令λσ那么 .,,,2121子空间是两两正交的一维不变n n V V V V V V V ⊕⊕⊕=(3) 由(3)式T n Q QA ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ 21 显然A 是对称阵.7.(大连理工,2005)设V 是一个V n n 是维欧氏空间αα,,,1 的一个标准正交基,V 是σ的一个线性变换,n n ij a A ⨯=)(是σ关于这个基的矩阵,证明 .,,2,1,),),((n j i a j i ji ==αασ(( , )表示内积).证明 .),,,(),,,(2121A n n αααααασ =⎩⎨⎧≠==.,0,1),(j i j i j i αα1((),)(,)(,).ni j ki k j ji j j ji k a a a σαααααα==∑==8.(北京理工,2005)设A 是一个3阶正交矩阵,且.1=A (1)证明:;1的特征值必为A =λ (2)证明:存在正交矩阵Q ,使.cos sin 0sin cos 0001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθAQ Q T证明 (1) .)1(3E A E A E A A E T --=--=--=- 另一方面,.E A E A A A AA A E T T T -=-⋅=-=-两式相加,有0=-A E .即.1的特征值是A =λ(2)令3111123,1,3,,,A R ααααααα==1且将扩充成维欧氏空间的一个标准正交基.则.001),,(),,(321321⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a y x A αααααα (1)令那么是正交矩阵则,),,,(321Q Q ααα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a y x C 001也是正交矩阵,于是满足且d c b a y x ,,,,0==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.0112222cd ab d b c a 于是存在角α,使ααsin ,cos ±==c a .由cos()cos ,sin()sin ,αααα±=±=±因此不妨令.sin ,cos αα==c a同理,存在角β,使.sin ,cos ββ==d b那么 .0sin sin cos cos =+αβαβ 即.0)cos(=-αβ于是 .2)12(παβ++=ksin ,;cos cos[(21)]2sin ,.k k k απβαα-⎧=++=⎨⎩当为偶数当为奇数⎩⎨⎧-=++=.,cos ;,cos ]2)12(sin[sin 为奇数当为偶数当k k k ααπαβ 因此.cos sin 0sin cos 0001cos sin 0sin cos 0001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=αααααααα或C 由则令于是前者成立则.,.1,1θα-===C A.cos sin 0sin cos 0001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθC 由(1)式,存在正交矩阵Q ,使⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001AQ Q T9.(北京交通大学,2002)设.,不变子空间是的正交变换维欧氏空间是σσW V n ，证明W 的正交补.的不变子空间也是σ⊥W 证明 W W W W σσσ⊆=（），由是正交变换，则（），存在,1W ∈β使那么),(1βσβ=即,0),())(),(()),((11===βαβσασβασ.,)(的不变子空间也是所以σασ⊥⊥∈W W10.(北京交通大学,2004)设V V 是同一空间的线性变换是欧氏空间τσ,的一个变换,且对:)).(,()),((,,证明有βταβασβα=∈∀V(1);的线性变换是V τ(2)τσ的核等于的值域的正交补. 证明 (1) 有.,,V ∈∀ηξα)),(()),(()),(())(,(ηασξασηξασηξτα+=+=+))(,())(,(ηταξτα+= ))()(,(ητξτα+=于是,V ∈∀α.0))()(()(,(=+-+ητξτηξτα令 则)),()(()(ητξτηξτα+-+=.0)))()(()()),()(()((=+-++-+ητξτηξτητξτηξτ因此 ).()()(ητξτηξτ+=+仿上方法容易证明 .).()(的线性变换是因此V k k τξτξτ=(2)ker ,()0.().,().V V ξσσξβταβτα∀∈=∀∈∈=则那么存在使(,)(,())((),)(0,)0()ker ().V V ξβξτασξααξτστ⊥⊥====∈⊆，于是，从而反之,().(),(,)0.(),(,())((),())0.V V ξτητξηητσξξτσξσξσξ⊥∀∈∀∈====有令则 于是()0,ker ,()ker ,V σξξστσ⊥=∈⊆从而因此ker ().V στ⊥=11.(北京交通大学,2005)设:,定义变换如下中的非零向量维欧氏空间是V n ααα),()(~x k x x A += )(V x ∈∀(1)证明;~是线性变换A(2)设在求下的坐标为的一组标准正交基在A a a a V T n n ~,),,,(,,,2121 εεεα这组基下的矩阵;(3)证明;~是对称变换A(4)证明.),,(2~αα-=k A 条件是是正交变换的充分必要 证明 (1)αα),()()(~y x k y x y x A +++=+αααα),(),(y k y x k x +++= ).(~)(~y A x A +=ααλλλλ),()(~,x k x x A R +=∈∀ααλ),((x k x += ).(~x A λ=因此A ~是线性变换。
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(/ A α , / A β ) = (α , β ).
(c)/A保持长度不变 即对 的任意元 α 有 保持长度不变,即对 保持长度不变 即对V的任意元
(/ A α , / A α ) = (α , β )
(d) )/A把一组标准正交基变为一组标准正交基 把一组标准正交基变为一组标准正交基. 把一组标准正交基变为一组标准正交基 (e) )/A在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 (2)欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变 则它 欧氏空间的一个变换,若它保持内积不变 欧氏空间的一个变换 若它保持内积不变,则它 是正交变换. 是正交变换 (3)正交变换的逆和积是正交变换 正交变换的逆和积是正交变换. 正交变换的逆和积是正交变换 (4)/A的特征根的模等于 的特征根的模等于1. 的特征根的模等于 3.对称变换 对称变换 (1)欧氏空间 的线性变换 是对称变换当且仅当 欧氏空间V的线性变换 欧氏空间 的线性变换/A是对称变换当且仅当 对任意的 α , β ∈ V 有 (/ A α , β ) = (α , / A β ) ,当且仅当 当且仅当 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵. 在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵
(1)设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换/A在一组标准正交基下的矩阵为 设线性变换 在一组标准正交基下的矩阵为A, 则/A的共轭变换在这组基下的矩阵为 A / . 的共轭变换在这组基下的矩阵为 (2)共轭变换满足 *)*=/A,(/A+/B)*=/A*+/B*, 共轭变换满足(/A 共轭变换满足 (/A/B)*=/B*/A*,(k/A)*= k /A*. (3)设酉空间 的子空间 是线性变换 的不变子 设酉空间V的子空间 是线性变换/A的不变子 设酉空间 的子空间W是线性变换 空间,则 的正交补 的正交补W 的不变子空间. 空间 则W的正交补 ⊥是/A*的不变子空间 (4)若/AX= λ X,则/A*X= 若 则 (5)若线性变换 特征根为 λ1 , λ 2 , L , λ n ,则/A* 若线性变换/A特征根为 若线性变换 则 的特征根为 λ , λ , L , λ .
1 2 n
λ X.
(6)若线性变换 满足 */A=/A/A*,则称 为正规变 若线性变换/A满足 则称/A为正规变 若线性变换 满足/A 则称 正交变换、 换.正交变换、对称变换都是正规变换 正交变换 对称变换都是正规变换.
(7)设/A是正规变换 则属于 的不同特征根的特征 设 是正规变换 则属于/A的不同特征根的特征 是正规变换,则属于 向量正交. 向量正交 (8)若/A是正规变换 是/A的不变子空间 则W⊥也 若 是正规变换 是正规变换,W是 的不变子空间 的不变子空间,则 的不变子空间. 是/A的不变子空间 的不变子空间 (9)若线性变换 满足 *=-/A,则称 为酉空间的反 若线性变换/A满足 则称/A为酉空间的反 若线性变换 满足/A 则称 对称变换.显然反对称变换也是正规变换 显然反对称变换也是正规变换,且它满足对 对称变换 显然反对称变换也是正规变换 且它满足对 任意的α, β ∈V 有 (/空间: 常用的欧氏空间 (1)线性空间 n,对如下定义的内积构成欧氏空间 线性空间R 对如下定义的内积构成欧氏空间 线性空间
( f ,g) =
三、考点
∫
b a
f ( x ) g ( x ) dx
考点1：欧氏空间、内积、 考点 ：欧氏空间、内积、标准正交基与正交矩 矩阵,正交补 阵,Gram矩阵 正交补 矩阵 考点点拨:主要对欧氏空间的定义、欧氏内积、 考点点拨 主要对欧氏空间的定义、欧氏内积、标准 主要对欧氏空间的定义 正交基与正交矩阵的关系,以及 以及Gram矩阵和正交补 正交基与正交矩阵的关系 以及 矩阵和正交补 概念的考查. 概念的考查
考点1：正交变换、正规变换、酉变换 正交变换在 考点 ：正交变换、正规变换、酉变换,正交变换在 标准正交基下的矩阵表示 考点点拨:主要对正规变换、 考点点拨 主要对正规变换、正交变换及酉变换的定 主要对正规变换 义和性质的考查,其中包含了对对称阵 反对称阵、 其中包含了对对称阵、 义和性质的考查 其中包含了对对称阵、反对称阵、 正交阵这些特殊的正规矩阵在正交相似下的最简表 达式形式的考查. 达式形式的考查.
第九章 欧氏空间及线性变换 本章研究欧氏空间及线性变换的性质,特别是几种 本章研究欧氏空间及线性变换的性质 特别是几种 重要的线性变换,如正交变换 如正交变换、 重要的线性变换 如正交变换、对称变换与正规变换 等. 一、基本概念和重要结果 1.欧氏空间与内积 欧氏空间与内积 是实数域上的线性空间并定义了内积,则称 设V是实数域上的线性空间并定义了内积 则称 是实数域上的线性空间并定义了内积 则称V 为欧几里得空间,简称为欧氏空间 简称为欧氏空间.设 为欧几里得空间 简称为欧氏空间 设 α , β ∈V,则 α 则 与 β 的内积记为 (α , β ) . (1) (α , β ) = ( β , α ). (2) ( kα , β ) = (3)
k ( α , β ).
(α + β , γ ) = (α , γ ) + ( β , γ ).
(4) (α , α ) ≥ 0,当且仅当 α = 0时(α , α ) = 0. (5)设 α 与 β 间的夹角为 θ 设 的长度. 其中 | α |, | β | 分别表示 α与β 的长度
(α , β ) ,则 cos θ = , 则 | α || β |
α = (a1 , a 2 , L , a n ), β = (b1 , b2 , L , bn ) (α , β ) = a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn
(2)线性空间 线性空间C(a,b),f(x),g(x)∈C(a,b)对如下定义的 线性空间 ∈ 对如下定义的 内积构成欧氏空间
(2)设/A是欧氏空间 的对称变换 若V1是/A的不变 设 是欧氏空间 的对称变换,若 是欧氏空间V的对称变换 的不变 子空间,则 的正交补V 也是/A的不变子空间 的不变子空间. 子空间 则V1的正交补 1⊥也是 的不变子空间 (3)对称变换得所有特征根全为实数 且属于不同特 对称变换得所有特征根全为实数,且属于不同特 对称变换得所有特征根全为实数 征根的特征向量互相正交. 征根的特征向量互相正交 4.共轭变换与正规变换 共轭变换与正规变换 是复数域上的线性空间,并定义了内积 则称V 设V是复数域上的线性空间 并定义了内积 则称 是复数域上的线性空间 并定义了内积,则称 为酉空间.这里的内积是二元复函数 这里的内积是二元复函数,满足 为酉空间 这里的内积是二元复函数 满足 (α , β ) = ( β , α ) . 其它性质类似于欧氏空间的内积.对应于欧氏空间的 其它性质类似于欧氏空间的内积 对应于欧氏空间的 正交变换和对称变换,在酉空间中有酉变换和对称变 正交变换和对称变换 在酉空间中有酉变换和对称变 是酉空间中的线性变换,若对任意的 换.设/A是酉空间中的线性变换 若对任意的 α , β ∈ V 设 是酉空间中的线性变换 则称/B是 的共轭变换 的共轭变换,并记为 有 (/ Aα , β ) = (α , / B β ) ,则称 是/A的共轭变换 并记为 则称 /B=/A*.
祝福大家好运! 祝福大家好运
(6) | (α , β ) |≤| α || β | ,等式成立当且仅当 等式成立当且仅当 线性相关. 线性相关 (7)若 (α , β ) = 0 ,则称 若 则称
α与 β
α与 β
正交. 正交
2.正交变换 正交变换 (1)下列说法等价 下列说法等价 (a)欧氏空间 的线性变换 是正交变换 欧氏空间V的线性变换 是正交变换. 欧氏空间 的线性变换/A是正交变换 (b)/A保持内积不变 即对任意的 α , β ∈ V ,有 保持内积不变,即对任意的 保持内积不变 有