山东省烟台市2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)

2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．若集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，集合C=A∩B，则C 的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．82．若复数（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|＞3的解集为（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣1或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞1} 3．“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为（）A．20 B．28 C．40 D．485．若α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列结论错误的是（）A．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βC．如果α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n6．一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，则该几何体的体积为（）A ．B ．C ．D ．7．若变量x ，y 满足则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x ）如图所示，则的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．49．执行如图所示的程序框图，输出的n 值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1210．已知，若不等式f （x ﹣1）≥f （x ）对一切x ∈R 恒成立，则实a 数的最大值为（ ）A ．B ．﹣1C ．D ．1二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．若，则展开式中的常数项为 ．12．已知x ，y 均为正实数，若=（x ，y ﹣1），=（2，1），且⊥，则的最小值是．13．过双曲线的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为．14．从曲线x2+y2=|x|+|y|所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为．15．已知f（x）是定义在R上的函数，f'（x）是f（x）的导函数．给出如下四个结论：①若，且f（0）=e，则函数xf（x）有极小值0；②若xf'（x）+2f（x）＞0，则4f（2n+1）＜f（2n），n∈N*；③若f'（x）﹣f（x）＞0，则f（2017）＞ef（2016）；④若f'（x）+f（x）＞0，且f（0）=1，则不等式f（x）＜e﹣x的解集为（0，+∞）．所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．16．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）将函数的图象向右平移角A个单位可得到函数g（x）=﹣cos2x的图象，求φ的值；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值．17．（12分）如图所示的三棱柱中，侧面ABB1A1为边长等于2的菱形，且∠AA1B1=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面ABB1A1．（1）求证：A1B1⊥AC1；（2）求侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值．18．（12分）己知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足；数列{b n}满足．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n•b n}的前n项和为T n，当T n＞2017时，求正整数n的最小值．19．（12分）2017年由央视举办的一档文化益智节目《中国诗词大会》深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在[10，70]的观众，得到如下频率分布直方图．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的年龄分别为x，y，若|x﹣y|≥10，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概P；（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁的人数ξ的分布列及期望．20．（13分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；（2）求函数f（x）在上的最小值；（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立．21．（14分）如图，已知椭圆的左焦点F为抛物线y2=﹣4x的焦点，过点F做x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|=3．（1）求椭圆C的标准方程：（2）若M，N为椭圆上异于点A的两点，且满足，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．2017年山东省烟台市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1．若集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，集合C=A∩B，则C 的真子集个数为（）A．3 B．4 C．7 D．8【考点】子集与真子集．【分析】先求出集合B，从而求出集合C=A∩B，由此能求出C的真子集个数．【解答】解：集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴集合C=A∩B={﹣1，1，3}，∴C的真子集个数为23﹣1=7．故选：C．【点评】本题考查交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．若复数（i为虚数单位，a为实数）为纯虚数，则不等式|x+a|+|x|＞3的解集为（）A．{x|x＞1}B．{x|x＜﹣2}C．{x|x＜﹣1或x＞2}D．{x|x＜﹣2或x＞1}【考点】复数代数形式的乘除运算；绝对值不等式的解法．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a 值，再由绝对值的几何意义求得不等式|x+a|+|x|＞3的解集．【解答】解：∵=为纯虚数，∴，解得a=1．∴|x+a|+|x|＞3⇔|x+1|+|x|＞3，由绝对值的几何意义可得：x＜﹣2或x＞1．∴不等式|x+a|+|x|＞3的解集为{x|x＜﹣2或x＞1}．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础的计算题．3．“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用函数的奇偶性的判定方法、简易逻辑的判定方法即可得出．【解答】解：函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=log2（1﹣mx）﹣log2（1+mx）+log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）=0，m，x满足：．可得“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”，反之不成立，例如取m=﹣1．因此“m=1”是“函数f（x）=log2（1+mx）﹣log2（1﹣mx）为奇函数”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．用0，1，2，…，299给300名高三学生编号，并用系统抽样的方法从中抽取15名学生的数学成绩进行质量分析，若第一组抽取的学生的编号为8，则第三组抽取的学生编号为（）A．20 B．28 C．40 D．48【考点】系统抽样方法．【分析】根据已知计算出组距，可得答案．【解答】解：因为是从300名高三学生中抽取15个样本，∴组距是20，∵第一组抽取的学生的编号为8，∴第三组抽取的学生编号为8+40=48．故选：D．【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念5．若α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线，则下列结论错误的是（）A．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等B．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βC．如果α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n【考点】平面的基本性质及推论．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：A、如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等，故正确；B、如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；C、如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确；D、如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确，故选B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．6．一个几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是一个正三角形及其内切圆，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得出几何体是一个三棱柱，中间挖去一个内切圆柱，结合图中数据求出体积．【解答】解：由几何体的三视图可得：该几何体是一个三棱柱，中间挖去一个内切圆柱；且正三棱柱的底面边长为4，高也为4；所以组合体的体积为V=V三棱柱﹣V圆柱=×42×4﹣π•×4=16﹣．故选：A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积问题，是基础题目．7．若变量x，y满足则的最小值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由=的几何意义，即可行域内的动点与定点P（）连线斜率倒数的2倍求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，B（0，2），A（1，0），=的几何意义为可行域内的动点与定点P（）连线斜率倒数的2倍，∵k PA==，k PB=．∴的最小值为2×．故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数的图象f'（x）如图所示，则的值为（）A．B．2 C．D．4【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求出函数的导函数，利用导函数的周期，求出ω，利用振幅求出A，利用导函数经过（，﹣2），求出φ，得到函数的解析式，即可得解．【解答】解：函数的导函数f′（x）=ωAcos（ωx+φ），由图象可知f′（x）的周期为4π．所以ω=．又因为Aω=2．所以A=4．函数经过（，﹣2），所以﹣2=2cos（×+φ），0＜φ＜π，所以×+φ=π，即φ=．所以f（x）=4sin（x+）．所以f（）=4sin（×+）=4．故选：D．【点评】本题主要考查函数的导数与函数的图象的关系，考查计算能力和数形结合思想的应用，属于中档题．9．执行如图所示的程序框图，输出的n值为（）A．4 B．6 C．8 D．12【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，利用等比数列的前n项和公式求得满足条件S＞的最小的n值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S=++…+=＞⇒n＞7，∴跳出循环体的n值为8，∴输出n=8．故选C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断是否的功能是关键．10．已知，若不等式f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则实a数的最大值为（）A．B．﹣1 C．D．1【考点】函数恒成立问题．【分析】作出函数f（x）的图象，利用函数f（x﹣1）的图象高于f（x）的图象，进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和f（x﹣1）的图象，当a≥0时，f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R不恒成立（如图1）当a＜0时，f（x﹣1）过定点（1，0）（如图2），当x＞0时，f（x）=ax2+x的两个零点为x=0和x=﹣，要使不等式f（x﹣1）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则只需要﹣≤1，得a≤﹣1，即a的最大值为﹣1，故选：B【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数图象平移关系，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强．二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．11．若，则展开式中的常数项为﹣160．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项的值．【解答】解：若，则2lnx=2（lne﹣ln1）=2，即a=2，∴展开式的通项公式为：=•x6﹣r•=（﹣2）r••x6﹣2r，T r+1令6﹣2r=0，解得r=3；∴展开式的常数项为：T4=（﹣2）3•=﹣160．故答案为：﹣160．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与定积分的计算问题，是基础题目．12．已知x，y均为正实数，若=（x，y﹣1），=（2，1），且⊥，则的最小值是8．【考点】基本不等式．【分析】⊥，考点•=0，即2x+y=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵⊥，∴•=2x+y﹣1=0，即2x+y=1．又x，y均为正实数，则=（2x+y）=4+≥4+2=8，当且仅当y=2x=时取等号．故答案为：8．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．过双曲线的右支上一点P分别向圆C1：（x+3）2+y2=4和圆C2：（x﹣3）2+y2=1作切线，切点分别为A，B，则|PA|2﹣|PB|2的最小值为9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣3，0），F2（3，0），连接PF1，PF2，F1A，F2B，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】9解：圆C1：（x+3）2+y2=4的圆心为（﹣3，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣3）2+y2=1的圆心为（3，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1A，F2B，可得|PA|2﹣|PB|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•6﹣3=9．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值9．故答案为：9【点评】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．14．从曲线x 2+y 2=|x |+|y |所围成的封闭图形内任取一点，则该点在单位圆中的概率为．【考点】几何概型．【分析】分别按x ＞0，y ＞0和x ＞0，y ≤0和x ≤0，y ＞0和x ≤0，y ≤0讨论，这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，即可得出结论．【解答】解：分别按x ＞0，y ＞0和x ＞0，y ≤0和x ≤0，y ＞0和x ≤0，y ≤0讨论，这样绝对值就可以去掉了，每种情况得到的曲线都是圆的部分，当x ＞0，y ＞0，原方程可化为：（x ﹣）2+（y ﹣）2=，它表示圆心在（，），半径为的圆在第一象限的部分．当x ＞0，y ≤0，原方程可化为：（x ﹣）2+（y +）2=，它表示圆心在（，﹣），半径为的圆在第四象限的部分．当x ≤0，y ＞0，原方程可化为：（x +）2+（y ﹣）2=，它表示圆心在（﹣，），半径为的圆在第二象限的部分．当x ≤0，y ≤0，原方程可化为：（x +）2+（y +）2=，它表示圆心在（﹣，），半径为的圆在第三象限的部分．综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域．这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径．所以总面积S=（）2+（）2π•2=2+π，故该点在单位圆中的概率p=，故答案为：．【点评】本题考查圆的一般方程，考查面积的计算，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．15．已知f（x）是定义在R上的函数，f'（x）是f（x）的导函数．给出如下四个结论：①若，且f（0）=e，则函数xf（x）有极小值0；②若xf'（x）+2f（x）＞0，则4f（2n+1）＜f（2n），n∈N*；③若f'（x）﹣f（x）＞0，则f（2017）＞ef（2016）；④若f'（x）+f（x）＞0，且f（0）=1，则不等式f（x）＜e﹣x的解集为（0，+∞）．所有正确结论的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用；导数的运算．【分析】由各个选项中的条件分别构造函数g（x），由求导公式和法则求出g′（x）后由条件判断出符号，由导数与函数单调性的关系判断出g（x）的单调性，由条件和函数的单调性进行判断即可．【解答】解：①、设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵，∴，则函数g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）上递增，∴函数g（x）的极小值是g（0）=0，①正确；②、设g（x）=x2f（x），则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）=x[xf'（x）+2f（x）]，∵xf'（x）+2f（x）＞0，∴则函数g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）上递增，∵2n+1＞2n＞0，∴g（2n+1）＞g（2n），即4f（2n+1）＞f（2n），②不正确；③、设g（x）=，则g′（x）==，∵f'（x）﹣f（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在R上是增函数，∴g（2017）＞g（2016），则，即f（2017）＞ef（2016），③正确；④、g（x）=e x f（x），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）=e x[f（x）+f′（x）]，∵对任意x∈R满足f（x）+f′（x）＞0，e x＞0，∴对任意x∈R满足g′（x）＞0，则函数g（x）在R上是增函数，∵f（0）=1，且f（x）＜e﹣x的化为g（x）＜1=g（0），即x＜1，则不等式的解集是（﹣∞，1），④不正确；故答案为：①③．【点评】本题考查导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，以及构造法的应用，考查化简、变形能力．三、解答题：本大题共6个小题，共75分．16．（12分）（2017•烟台一模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）将函数的图象向右平移角A个单位可得到函数g（x）=﹣cos2x的图象，求φ的值；（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积的最大值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦定理．【分析】（1）根据利用正弦定理求解出角A大小，根据三角函数图象的平移变换即可求解φ的值．（2）根据△ABC的外接圆半径为1，利用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式可得△ABC面积的最大值．【解答】解：由和正弦定理可得：，整理得：sinAcosB=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，0＜A＜π，∴．将函数的图象向右平移角A个单位，可得：sin[2（x﹣）+φ]．由题意可得：sin[2（x﹣）+φ]=﹣cos2x，即sin（2x﹣+φ）=sin（2x﹣），∴φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=+2kπ（k∈Z），∵0＜φ，∴φ=．（2）根据△ABC的外接圆半径为1，A=，∴2RsinA=a，即a=．由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：3=b2+c2﹣bc，即3+bc≥2bc，可得bc≤3，当且仅当b=c是取等号．∴△ABC面积的最大值．【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换，正弦定理和余弦定理，基本不等式等知识点的灵活运用和计算能力．17．（12分）（2017•烟台一模）如图所示的三棱柱中，侧面ABB1A1为边长等于2的菱形，且∠AA1B1=60°，△ABC为等边三角形，面ABC⊥面ABB1A1．（1）求证：A1B1⊥AC1；（2）求侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取A1B1的中点O，连结OA，OC1，只证A1B1面AOC1即可得到A1B1⊥AC1．（2）先证明AO⊥AC1．再以O为坐标原点，OA1，OA，OC1方向为x、y、z轴建立坐标系O﹣xyz．求出平面A1ACC1、平面BCAC1B1的法向量即可【解答】解：（1）证明：取A1B1的中点O，连结OA，OC1，因为，△ABC为等边三角形，∴C1O⊥A1B1，在△A1AO中，A1A=2，A1O=1，∠AA1B1=60°，可得OA⊥OA1，∴A1B1⊥C1O，A1B1⊥OA，OA∩OC1=O，∴面AOC1而AC1⊂面AOC1，A1B1⊥AC1．（2）∵面A1B1C1⊥面ABB1A1，面A1B1C1∩面ABB1A1=B1A1，且C1O⊥A1B1，∴C1O ⊥面ABB1A1，OA⊂面ABB1A1∴AO⊥AC1．由（1）知OA⊥OA1，OA1⊥OC1，故可以O为坐标原点，OA1，OA，OC1方向为x、y、z轴建立坐标系O﹣xyz．A1（1，0，0），A（0，，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，0），C（﹣1，，，设为平面A1ACC1的法向量，则，可得．．设为平面BCAC1B1的法向量，则，可得．∴，侧面A1ACC1和侧面BCC1B1所成的二面角的余弦值为．【点评】本题考查了线线垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题．18．（12分）（2017•烟台一模）己知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足；数列{b n}满足．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n•b n}的前n项和为T n，当T n＞2017时，求正整数n的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由（n≥2），可得（n≥3），两=1（n≥3）．再由a2﹣a1=1，可得数列{a n}为等差数列，则数式相减得a n﹣a n﹣1列{a n}的通项公式可求，再由，得（n≥2）．两式相比可得：（n≥2），验证首项后得；（2）由（1）可知，，然后利用错位相减法求得T n，结合单调性及T8=3586＞2017，T7=1538＜2017．可得正整数n的最小值．【解答】解：（1）∵（n≥2），∴（n≥3），=1（n≥3）．两式相减得：，则a n﹣a n﹣1又∵，a1=1，∴，∵a2＞0，∴a2=2．显然a2﹣a1=1．=1（n≥2）．∴a n﹣a n﹣1数列{a n}为等差数列，又a1=1，∴a n=n．∵，∴（n≥2）．两式相比可得：（n≥2），当n=1时，b1=2满足题意，∴；（2）由（1）可知，，∴，，两式相减可得：=﹣2+2n+1﹣n•2n+1．故．∵＞0，∴T n随n的最大而最大，而T8=3586＞2017，T7=1538＜2017．∴正整数n的最小值为8．【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列通项公式的求法，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．19．（12分）（2017•烟台一模）2017年由央视举办的一档文化益智节目《中国诗词大会》深受观众喜爱，某记者调查了部分年龄在[10，70]的观众，得到如下频率分布直方图．若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．（1）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数；（2）现根据观看年龄，从第四组和第六组的所有观众中任意选2人，记他们的年龄分别为x，y，若|x﹣y|≥10，则称此2人为“最佳诗词搭档”，试求选出的2人为“最佳诗词搭档”的概P；（3）以此样本的频率当作概率，现随机从这组样本中选出3名观众，求年龄不低于40岁的人数ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设第四、五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，x+y=1﹣（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，联立解得：x，y．从而得出直方图．（2）由题意第四组人数为4×=12．可得P=．（3）由题意可得：样本总人数==80，年龄不低于40岁的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24．故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为=．X的可能取值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，即可得出．【解答】解：（1）设第四、五组的频率分别为x，y，则2y=x+0.005×10，x+y=1﹣（0.005+0.015+0.02+0.035）×10，联立解得：x=0.15，y=0.10．从而得出直方图，=15×0.2+25×0.15+35×0.35+45×0.15+55×0.1+65×0.05=34.5．（2）由题意第四组人数为4×=12．∴P==．（3）由题意可得：样本总人数==80，年龄不低于40岁的人数为：80×（0.05+0.10+0.15）=24．故在样本中任选1人，其年龄不低于40岁的概率为=．X的可能取值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，可得P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．可得ξ的分布列：ξ～B，则Eξ=3×=．【点评】本题考查了频率分布直方图的性质、二项分布列的性质及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2017•烟台一模）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；（2）求函数f（x）在上的最小值；（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论t的范围求出函数的单调区间，从而求出f（x）的最小值即可；（3）设m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），求出m（x）的导数，求出m（x）的最大值，得到f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，从而证明结论即可．【解答】解：（1）f′（x）=lnx+x•=lnx+1，x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，故f（x）在x=1处的切线方程是：y=x﹣1，联立，消去y得：x2+（1﹣a）x+1=0，由题意得：△=（1﹣a）2﹣4=0，解得：a=3或﹣1；（2）由（1）得：f′（x）=lnx+1，x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，①0＜t＜t+≤，即0＜t≤﹣时，f（x）min=f（t+）=（t+）ln（t+），②0＜t＜＜t+，即﹣＜t＜时，f（x）min=f（）=﹣；③≤t ＜t +，即t ≥时，f （x ）在[t ，t +]递增， f （x ）min =f （t ）=tlnt ；综上，f （x ）min =；（3）证明：设m （x ）=﹣，（x ∈（0，+∞）），则m′（x ）=，x ∈（0，1）时，m′（x ）＞0，m （x ）递增， x ∈（1，+∞）时，m′（x ）＜0，m （x ）递减，可得m （x ）max =m （1）=﹣，当且仅当x=1时取到，由（2）得f （x ）=xlnx ，（x ∈（0，+∞））的最小值是﹣，当且仅当x=时取到，因此x ∈（0，+∞）时，f （x ）min ≥﹣≥m （x ）max 恒成立， 又两次最值不能同时取到，故对任意x ∈（0，+∞），都有成立．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．21．（14分）（2017•烟台一模）如图，已知椭圆的左焦点F 为抛物线y 2=﹣4x 的焦点，过点F 做x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |=3．（1）求椭圆C 的标准方程：（2）若M ，N 为椭圆上异于点A 的两点，且满足，问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知c=1，令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=，，可得a2=4，b2=3（2）由（1）知A（﹣1，），设，．由得，直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数，可设直线AM：：y=k（x+1）+，代入得，利用韦达定理求出M、N的坐标，直线MN的斜率k MN=．【解答】解：（1）由题意可知F（﹣1，0），所以c=1，令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=，∴，∴a2=4，b2=3∴椭圆C的标准方程：．（2）由（1）知A（﹣1，），设，．由得，||cosα=||cosβ，即∠FAM=∠FAN，又因为FA⊥x轴，∴直线AM、AN的倾斜角互补，直线AM、AN的斜率互为相反数．可设直线AM：：y=k（x+1）+，代入得，设M（x M，y M），N（x N，y N），因为A（﹣1，）在椭圆上，，，．∵直线AM、AN的斜率互为相反数，∴用﹣k换k得：．∴直线MN的斜率k MN=．∴直线MN的斜率是否为定值﹣【点评】本题考查了椭圆与直线的位置关系，定点问题，属于难题．。