第2章 z变换与离散时间傅里叶变换(DTFT)

m
k
单阶极点的留数： 单阶极点的留数：Re s[ F ( z)]z = zr
= [( z zr )F ( z)]z=zr
z2 例1：X ( z ) = ， 1/4< z < 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) 2 1 z 解：x ( n ) = z n 1dz c ∈ ( Rx , Rx + ) 2π j ∫ c (4 z )( z 1/ 4)
x ( n ) = Re s[ F ( z )]z =4
z n +1 = ( z 4 ) ( 4 z )( z 1/ 4 ) z =4 4n+ 2 = 15
4 n 4n+2 ∴ x(n) = u ( n + 1) + u( n 2) 15 15
j Im[ z ]
C
1/ 4
0
4 Re[ z ]
Re[ z ]
x(n) =
2π j ∫
1
c
X ( z ) z dz c ∈ ( Rx , Rx + )
n 1
n 1
利用留数定理求围线积分，令 利用留数定理求围线积分，
F ( z) = X ( z) z
若F(z)在围线 上连续，在c内有 个极点 k，则： 在围线c上连续 内有K个极点 在围线 上连续， 内有 个极点z
X ( z ) = ZT [ x ( n )] =
实质：求X(z)幂级数展开式 实质： 幂级数展开式 z反变换的求解方法： 反变换的求解方法： 反变换的求解方法 围线积分法（留数法） 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法
n = ∞
∑
∞
x(n ) z n
1、围数积分法求解（留数法） 围数积分法求解（留数法）
1 z n +1 4 n = ( z ) 1= 4 (4 z )( z 1/ 4) z = 15
4
当n < 1时 1 F ( z )在围线c内有一阶极点z = 和-( n + 1)阶极点z = 0 4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式
阶次高于分子多项式阶次两次以上
例1
δ[n]← →1,0 ≤ z ≤ ∞
ZT
Q ∑δ [n]z
n=∞
∞
n
=1
收敛域应是整个z的闭平面 收敛域应是整个 的闭平面
例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域 ： 的 变换及其收敛域
解：X(z)= ∑ x ( n ) z = ∑ RN ( n ) z
n n =∞ ∞ ∞ n
1 z =∑ z = 1 1 z n =0
N 1 n
Leabharlann Baidu
n =∞ N
qn1 qn2 +1 qn = ∑ 1 q n=n1
n2
zN 1 = N 1 z ( z 1)
j 2π r N
n2 →∞时 满 q <1 须 足
j Im[z]
零点：z = e r = 1,..., N 1 极点：z = 0 （N 1）阶
Re[ z]
0
Roc : 0 < z ≤ ∞
+ +
X ( z) =
而
Cn =
n=∞ n =∞
∑C z
n
c
∞
n
R x < z < Rx +
j Im[ z ]
C
1 2π j
∫
X ( z ) z n 1dz
Rx Rx +
n = 0, ±1, ±2,L
0
其中围线c是在 其中围线 是在X(z)的环状 是在 的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。 反时针方向的闭合单围线。
2
Roc : a < z < 1/ a
零点：z = 0, ∞
极点：z = a, a
1
j Im[ z ]
a 0
Re[ z ] 1/ a
给定 变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 给定z变换 不能唯一地确定一个序列， 变换 不能唯一地确定一个序列 只有同时给出收敛域才能唯一确定。 只有同时给出收敛域才能唯一确定。 X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故： 在收敛域内解析，不能有极点， 在收敛域内解析 – 右边序列的z变换收敛域一定在模最 变换收敛域一定在模最 的 变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外 的有限极点所在圆 – 左边序列的z变换收敛域一定在模最 变换收敛域一定在模最 的 变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内 的有限极点所在圆
j Im[ z ]
j Im[ z ]
a
a
b
Re[ z ]
c
b Re[ z ]
0
0
c
j Im[ z ]
j Im[ z]
a
a
b Re[ z ]
c
0
b
Re[ z]
c
0
§2.2 z反变换 反变换
z反变换 从X(z)中还原出原序列 反变换: 中还原出原序列x(n) 反变换 中还原出原序列
x ( n ) = IZT [ X ( z )]
包括 z = ∞处
3）左边序列 ）
n > n2 0 x(n ) = x ( n ) n ≤ n2
∴当n2 ≤ 0时，Roc : 0 ≤ z < Rx + 当n2 > 0时，Roc : 0 < z < Rx +
Re[ z ] 0 j Im[ z ]
Rx + n2 ≤ 0
4）双边序列 ）
n为任意值时皆有值
例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域 ： 的变换及其收敛域
解：X(z)= ∑ x ( n ) z = ∑ a u( n ) z = ∑ a z
n n n n =∞ n =∞
1
∞
∞
∞
n n
n =0
1 = 1 az 1
当 az
< 1时
j Im[ z ]
Roc :
z >a
0
a
Re[ z ]
零点：z = 0 极点：z = a
z n +1 同样当n < 0时，由F ( z ) = 在c外无 (4 z )( z 1/ 4) 极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由 围线外极点留数为0可得x ( n ) = 0
当n ≥ 0时
z n +1 F ( z) = (4 z )( z 1/ 4)
∞
∞
1
∞
n n
=∑ a z + ∑ a z
n n n =1 n =0
∞
∞
n n
az Q∑a z = 1 az n =1
n n
∞
az < 1 z < 1/ a
az 1 < 1 z > a
Q∑a z
n n =0
∞
n
1 = 1 1 az
∴当 a ≥ 1时，无公共收敛域，X( z )不存在
az 1 z (1 a ) 当 a < 1时，X ( z ) = + = 1 1 az 1 az (1 az )( z a )
第二章 z变换和DTFT
本章主要内容： 本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 、 变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 、 变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 、 变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 、 5、z变换与DTFT的关系 变换与 6、离散系统的z变换法描述 、离散系统的 变换法描述
如果 ≥0 ，则收敛域不包括0点 如果n1≥ 则收敛域不包括 点
n1 ≥ 0, n2 > 0时，< z ≤ ∞ 0
如果 如果n1<0<n2，收敛域不包括 、∞点 ，收敛域不包括0 点
n1 < 0, n2 > 0时，< z < ∞ 0
2）右边序列 ）
x ( n ) n ≥ n1 x(n ) = n < n1 0
n1 k m
k
0
Re[ z ] or = ∑Res[ X (z)zn1]z=z m
Re s[F ( z)]z= zr = [( z zr )F ( z)]z=zr
1、围数积分法求解（留数法） 围数积分法求解（留数法）
根据复变函数理论，若函数 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 在环状区域 Rx < z < Rx , （Rx ≥ 0, Rx ≤ ∞） 内是解析的， 内是解析的，则 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 可展开成罗朗级数， 在此区域内 可展开成罗朗级数
若函数X(z)zn-1在围数 上连续，在C以内有 在围数C上连续 上连续， 以内有K 若函数 以内有 个极点z 而在C以外有 个极点z 以外有M个极点 则有： 个极点 k，而在 以外有 个极点 m，则有：
j Im[ z ]
C
1 n1 x(n) = ∫c X (z)z dz 2πj
Rx +
Rx
= ∑Res[ X (z)z ]z=z
∞
n
x(n) X (z), z : (γ1,γ 2 )
z 是复变量，所在的复平面称为 平面 是复变量，所在的复平面称为z平面
二、ZT的收敛域 的收敛域
对于任意给定序列 对于任意给定序列x(n)，使其z变换 ，使其 变换 变换X(z) 收敛的所有z值的集合称为 值的集合称为X(z)的收敛域。 的收敛域。 收敛的所有 值的集合称为 的收敛域 级数收敛的充要条件是满足绝对可和
x ( n ) = ∑ Re s[ F ( z )]z = zk
若F(z)在c外M个极点 m，且分母多项式 的 个极点z 且分母多项式z的 在 外 个极点 阶次比分子多项式高二阶或二阶以上， 阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则： x ( n ) = ∑ Re s[ F ( z )]z = zm
a 1 z 1 = = 1 1 a z 1 az 1
Roc :
z<a
Re[ z ]
零点：z = 0
极点：z = a
为实数， 例5：求x(n)=a|n|，a为实数，求ZT及其收敛域 ： 为实数 及其收敛域
解：X(z)= ∑ x(n)z = ∑ a z = ∑ a z + ∑a z
n n n n n n=∞ n=∞ n=∞ n=0
z2 例2：X ( z ) = ，z > 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) j Im[ z ]
解： 收敛域是圆的外部 Q ∴ x ( n )是右边序列
又 lim X ( z ) = 1，
z →∞
C
1/ 4 0
4
Re[ z ]
即X(z)在z=∞处收敛 z=∞
∴ x ( n )是一个因果序列，即x ( n ) = 0，n < 0
∴当n1 ≥ 0时，Roc : Rx < z ≤ ∞ 当n1 < 0时，Roc : Rx < z < ∞
因果序列的z变换必在∞处收敛 因果序列的 变换必在 因果序列 在∞处收敛的 变换， 变换， 在 处收敛的z变换 其序列必为因果序列 其序列必为因果序列
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
0
n1 ≥ 0
z2 z n +1 其中：F ( z ) = z n 1 = (4 z )( z 1/ 4) (4 z )( z 1/ 4)
当n ≥ 1时 1 F ( z )在围线c内只有一阶极点z = 4
z= 1 4
j Im[ z ]
C
x ( n ) = Re s[ F ( z )]
1/ 4
0
4 Re[ z ]
X ( z ) = x(n1 ) z
0
n1
+ x(n1 + 1) z
1
( n1 +1)
+ L + x( 1) z
( n2 1)
1 n2
+ x(0) z + x(1) z + L+ x(n2 1) z
如果n2≤0 ，则收敛域不包括∞点 如果n2≤ 则收敛域不包括∞点
+ x(n2 ) z
n1 < 0, n2 ≤ 0时，≤ z < ∞ 0
例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域 ： 的变换及其收敛域
解：X(z)= ∑ x ( n ) z = ∑ a u ( n 1) z
n n
∞
∞
n
= ∑ a z =∑ a z
n n n =1 n =1
n =∞ ∞
n =∞ ∞
当 a 1 z < 1时
j Im[ z ] a 0
n n
其z变换：X ( z ) =
n =∞
∑ x(n) z
1
n
+ ∑ x(n) z
n =0
∞
n
前式Roc: 0 ≤ z < Rx +
后式Roc: Rx < z ≤ ∞
j Im[ z ]
Rx
Re[ z ]
Rx +
∴当Rx ≥ Rx + 时，Roc :
0
当Rx < Rx + 时，Roc : Rx < z < Rx +
n =∞
∑
∞
x(n) z
n
=M <∞
1）有限长序列 ）
x ( n ) n1 ≤ n ≤ n2 x(n) = 其它n 0
其Z变换：X ( z ) =
n = n1
∑ x(n ) z
n2
n
j Im[ z]
Re[ z]
Roc至少为： 0 < z < ∞
0
除0和∞两点是否收敛与 和n2取值情况 两点是否收敛与n1和 取值情况 和 两点是否收敛与 有关外，整个z 平面均收敛。 有关外，整个 平面均收敛。
§2.1 z变换的定义及收敛域 变换的定义及收敛域
信号和系统的分析方法有两种： 信号和系统的分析方法有两种： ——时域分析方法 时域分析方法 ——变换域分析方法 变换域分析方法 连续时间信号与系统 —— LT FT 离散时间信号与系统 —— ZT FT
一、ZT的定义 的定义
X (z) =
n=∞
∑x(n)z