高一数学斜线在平面内的射影课件
直线在平面内的射影
O
从平面内一点发出的 从平面外不同点发出 斜线段，长度虽然相等， 的斜线段，长度虽然相等， 但射影不一定相等。 但射影不一定相等。
∴θ＜∠AOD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题
例1.如图，AO是平面π 的斜线，AB ⊥平面π于B， OD是π内不与OB重合的直 线，∠AOB= ，∠BOD= ，∠AOD= ，求证：cos =cos cos O
A
C
B D
OB＞OC AB ＞AC O
B
C
AB=AC OB=OC AB ＞AC OB＞OC
射影相等的两条斜线段相等，射影 较长的斜线段也较长 相等的斜线段的射影相等，较长的 斜线段的射影也较长
A
定理 从平面外一
B
O
点向这个平面所引的
C
垂线段和斜线段中，
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较 长的斜线段也较长
练 习
3.AO与平面斜交，O为斜足，AO与平面 成角，B是A在上的射影,OD是内的 直线，∠BOD=30，∠AOD=60，则 sin =
6
3
。
练习
A
4.已知斜线段的长是它 在平面β上射影的2倍， B O 求斜线和平面β所成的 β 角。 如图，斜线段AB是其射影OB的 两倍，求AB与平面β所成的角。 5.两条平行直线和一个平面所成的角相等吗？
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜 线段的射影也较长
（3）垂线段比任何一条斜线段都短
练习
1.点P是△ABC所在平 面外一点，且P点到 △ABC三个顶点距离 相等，则P点在△ABC A 所在平面上的射影是 △ABC的 心。 外
射影的有关概念及定理PPT教学课件
生
且有加速趋势。
物
多
样
性
面
临
我国已经灭绝的野生动
的
物有犀牛、野马、高鼻羚羊
威
和新疆虎等。还有不少动物
胁
灭绝了未被人发现或确定。
我
原鸡
国
丹 顶
生
鹤
物
褐马鸡
多 基因多样性减少：许多物种野生类型数
样
量严重减少，濒临灭绝。有些只剩
性
圈养或种植类型，近亲繁殖严重。
面
临
白唇鹿
的
斑
威
羚
胁
我
人工纯林 围湖造田
国
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
基因的多样性是物种在环境变动时能够 继续生存下去而不灭绝的保障。
物种的多样性
生态系统的多样性——不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多样性是物种多样性的重 要条件。
药用价值：许多野生生物能为人类提供 重要的药材。
为保护生物的多样性将包含保护对象的一 定面积的区域划分出来进行保护和管理。
保护对象主要有： 有代表性的自然生态系统 珍稀濒危动植物的天然分布区
就地保护最有效的办法是建立自然保护 区。我国现已建立3000多个自然保护区，其 中有16个加入到“世界生物圈保护区网”中。
吉林长白山 自然保护区—— 保护完整的森林 生态系统。珍稀 植物有人参、红 松等。珍稀动物 有梅花鹿、东北 虎等。
青海湖鸟岛自然保护区——保护斑头 雁、棕头鸥等鸟类及它们的生存环境。
a 00900
A
B
O
C
D
斜线在平面上的射影直线PPT文档18页
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
斜线在平面Leabharlann 的射影直线31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
高考数学(浙江版,理)课件：7.5 直线、平面垂直的判定与性质
4.(2015浙江嘉兴五校联考)已知P为△ABC所在平面外一点,且PA、PB、
PC两两垂直,则下列命题:
①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.
其中正确的是
.
答案 ①②③
解析 由PA、PB、PC两两垂直,PB∩PC=P,可得PA⊥平面PBC,又BC⊂
平面PBC,所以PA⊥BC,同理可证PcB⊥AC,PC⊥AB,故①②③是正确的.④
A1A, 所以A1AED为平行四边形.故A1D∥AE. 又因为AE⊥平面A1BC,所以A1D⊥平面A1BC.
(2)解法一:作A1F⊥BD且A1F∩BD=F,连结B1F. 由AE=EB= 2 ,∠A1EA=∠A1EB=90°,得A1B=A1A=4. 由A1D=B1D,A1B=B1B,DB=DB,得△A1DB与△B1DB全等. 由A1F⊥BD,得B1F⊥BD,因此∠A1FB1为二面角A1-BD-B1的平面角.
不确定.
5.已知α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线,给
出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,
余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:
.
答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)
解析 如下图:
c
由α⊥β,n⊥β,m⊥α,得m⊥n. 由m⊥n,n⊥β,m⊥α,得α⊥β.
(2)平面与平面垂直的判定定理
一个平面经过另一个平面的⑤ 一条垂线
数学符号表示为a a
α β
⇒β⊥α.
(3)平面与平面垂直的性质定理
,则这两个平面互相垂直.用
两个平面垂直,则一个平面内⑥垂直于交线 的直线与另一个平面垂
αβ
直.用数学符号表示为αβ aα
9.4.3斜线在平面上射影
C B
垂直于直角三角形ABC所在平面， 所在平面， 例3、已知 垂直于直角三角形 、已知SA垂直于直角三角形 所在平面 BC⊥AC，∠ABC=300，AC=1，SB= 2 3 ， ， ⊥ ， 求直线SC与平面 与平面SAB所成角。 所成角。 求直线 与平面 所成角 3
arcsin
解：作CD ⊥AB于D 于 由SA⊥平面 ⊥平面ABC，得SA⊥CD ， ⊥
具体步骤是：作------作出斜线与射影所成角， 作出斜线与射影所成角， 作出斜线与射影所成角
论证所作（ 证-----论证所作（或找到）角就是要求的角； 论证所作 或找到）角就是要求的角； 常用解三角形的方法求出角。 算------常用解三角形的方法求出角。 常用解三角形的方法求出角
2、最小角定理： 、最小角定理：
P R
α
Q
（一）斜线在平面内的射影
在平面上的射影 点Q—点P在平面上的射影 点 在平面上的 线段PQ—点P到平面的垂线段 点 到平面的 到平面的垂线段 线段 R 直线PR—平面的一条斜线 平面的一条斜线 直线 平面的一条 点R—斜足 斜足 线段PR—斜线段 斜线段 线段 直线QR—斜线 在平面上的射影 斜线PR在平面上的射影 直线 斜线 线段QR—斜线段 在平面上的射影 斜线段PR在平面上的射影 线段 斜线段 P
4、直线与平面所成角，也应考虑到直线和平面垂直，直线 、直线与平面所成角，也应考虑到直线和平面垂直， 直线和平面垂直 平行或在平面内的情况 和平面平行或在平面内的情况，也就时直线和平面成90 和平面平行或在平面内的情况，也就时直线和平面成 0角 角情况，所以在求线面所成角时，应想到以上两种特例。 和00角情况，所以在求线面所成角时，应想到以上两种特例。
斜线和平面所成的角， 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 的直线所成的一切角中最小的角。 内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
《斜线在平面内的射影》(课件)
3. 射影的有关概念：
这斜线上斜足以外的一点向平面
引垂线，过垂足和斜足的直线叫斜线
在这个平面上的射影. A 垂足和斜足间的线
段叫这点到平面的
BC
斜线段在这个平面
上的摄影.
射影定理
从平面外一点向这个平面所引的 垂线段和斜线段中： (1) 射影相等的 两条斜线段相等，射影较长的斜线段 也较长；(2) 相等的斜线段的射影相 等，较长的斜线段的射影也较长； (3) 垂线段比任何一条斜线段都短.
30°、45°，
C
CD是斜边AB 上的高, 求CD
与 所成的角.
C1 B
A
D
归纳小结
这节课我们学习了有关平面的斜 线、射影和直线与平面成角的几个概 念；射影定理中的三个结论成立的前 提是这些斜线段及垂线段必须是从平 面外同一点向平面所引而得到的，否 则，结论不成立.
布置作业 《步步高》P 29 第9、10题.
例题分析
1. 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E、F分别是AA1、A1D1的中点，求:
(1) D1B与面AC 所成角的余弦值；
E D1 A1
B1
C1
(2) EF与面A1C1 所成的角；
F A
D
C B
(3) EF与面AC所成的角.
2. 如图，Rt△ABC的斜边AB在平
面内，AC和BC与 所成的角分别是
斜线在平面内的射影
新课概念教学
1. 点在平面上的射影，点到平面 的垂线段：自一点向平面引垂线，垂 足叫做这点在这个平面上的射影. 这点 与垂足间的线段叫做这点到这个平面 的垂线段.
2. 平面的斜线的有关概念： 一条直线和一个平面相交，但不 和这个平面垂直，这条直线叫这个平 面的斜线，斜线和平面的交点叫斜足， 斜线上一点和斜足间的线段叫这点到 这个平面的斜线段.
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义
直线和平面垂直的定义与判定和斜线、射影、直线与平面所成的角讲义考点一：直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号语言：特征：线线垂直线面垂直3.基本性质一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.符号语言：图形语言：4.性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：图形语言：5.平面与平面垂直的性质性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.符号语言：图形语言：对应练习：1.平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么( ).A. B. C.与相交 D.与的位置关系不确定2.已知直线a、b和平面，下列推论错误的是( ).A. B.C. D.3.若直线a⊥直线b，且a⊥平面，则有( ).A. B. C. D.或4.若P是平面外一点，则下列命题正确的是( ).A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行5.设是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么( ).A.a与b可能垂直，但不能平行B.a与b可能垂直，也可能平行C.a与b不可能垂直，但可能平行D.a与b不可能平行，也不能垂直6.设、为两个不同的平面，、m为两条不同的直线，且，有如下两个命题：①若，则；②若，则届那么( ).A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①②都是真命题D.①②都是假命题7.关于直线m、n与平面与，有下列四个命题：①若且，则m∥n；②若且，则；③若且，则；④若且，则m∥n.其中真命题的序号是( ).A.①②B.③④C.①④D.②③8.已知直线m⊥平面，直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是( ).①若，则；②若，则m∥n；③若m∥n，则；④若，则.A.③④B.①③C.②④D.①②9.下面四个命题：①两两相交的三条直线只可能确定一个平面；②经过平面外一点，有且仅有一个平面垂直这个平面；③平面内不共线的三点到平面的距离相等，则；④两个平面垂直，过其中一个平面内一点作它们交线的垂线，则此垂线垂直于另一个平面其中真命题的个数是( ).A.0个B.1个C.2个D.3个10.设有不同的直线a、b和不同的平面、、，给出下列三个命题：①若，，则；②若，，则；③若，则.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.311．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能12．已知直线l⊥平面α，直线m⊂α，则()．A．l⊥m B．l∥mC．l，m异面D．l，m相交而不垂直13.已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：①；②；③；④.其中正确的命题是__________.(把所有正确命题的序号都填上)14．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个．①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.15.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A 且垂直于SC 的平面分别交SB ，SC ，SD 于点E ，F ，G . 求证：AE ⊥SB ，AG ⊥SD .考点二：斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点间平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.1、正方体中,(1)求1BD 和底面ABCD 所成的角 (2)求1BD 和面11AA D D 所成的角2、正方体中,,E F 分别是11D C 和BC 中点,O 是BD 的中点1A 1B 1C 1D ABCD 1A 1B 1C 1D(1)求EF 和底面ABCD 所成的角 (2) 求EF 和侧面11BCC B 所成的角, (3)求1B O 和底面ABCD 所成的角 (4)求1B O 和侧面11BCC B 所成的角3、正方体中,,M N 分别是1AD 和BD 的中点,(1)求1AC 和上底面1111A B C D 所成的角 (2)求MN 和底面ABCD 所成的角4、空间四边形ABCD 中,AC BC ⊥, PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,4PA =(1)求PB 与平面PAC 所成的角 (2)求PC 和平面PAB 所成的角5、正三棱柱的各棱长相等,是D 侧面11BCC B 的中心, (1)求ＡＤ和平面11BCC B 所成角的大小 (2)求ＡＤ和平面ＡＢＣ所成的角的大小A BCD1A 1B 1C 1D MNA BCP1A 1B 1C课后练习：1、已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A、a⊥c,a⊥b，其中b⊂α,c⊂αB、a⊥b,b∥αC、α⊥β，a∥βD、a∥b,b⊥α2、如果直线l⊥平面α，①若直线m⊥l,则m∥α；②若m⊥α,则m∥l；③若m∥α,则m⊥l；④若m∥l,则m⊥α, 上述判断正确的是（）A、①②③B、②③④C、①③④D、②④3、直角△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在平面α外，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边BC 组成的图形只能是（）A、一条线段B、一个锐角三角形C、一个钝角三角形D、一条线段或一个钝角三角形4、下列命题中正确的是（）A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个5、给出下列命题：①若平面α的两条斜线段PA、PB在α内的射影长相等，那么PA、PB的长度相等；②已知PO是平面α的斜线段，AO是PO在平面α内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA；③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个；④平面α内有两条直线a、b都与另一个平面β平行，则α∥β、上述命题中不正确的命题是（）A、①②③④B、①②③C、①③④D、②③④6、如果△ABC的三个顶点到平面 的距离相等且不为零，那么△ABC的( )A、三边均与 平行B、三边中至少有一边与 平行C、三边中至多有一边与 平行D、三边中至多有两边与 平行7、下列命题正确的是()A、一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B、平行于同一个平面的两条直线平行C 、与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D 、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行8、下列命题正确的是 ( )(A)αα////b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥ (B)a b b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα (C)αα//b a b a ⇒⎭⎬⎫⊥⊥ (D)αα////b b a a ⇒⎭⎬⎫⊥9、正方体中，求1AB 和平面11A B CD 所成的角答案：DBDDC BDBA BCD 1A 1B 1C 1D。
直线和平面所成的角全国优秀课件
A1
D
A
C1 B1
C B
2.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1）A1C1与面ABCD所成的角
（2） A1C1与面BB1D1D所成的角 90o
（3） A1C1与面BB1C1C所成的角 D1 （4）A1C1与面ABC1D1所成的角
（3）直线和平面所成角的范围是_0_0_,_9_0_0 _ 。
最小角定理 A
B
1
O
2 C
l是平面 的斜线，A是l
上任意一点， AO⊥ ， O是垂足，OB是斜线l的
射影，θ1是斜线l与平面
所成的角.BC是内任意 直线，则
coθs 1
=
BO AB
coθs
=
BC AB
∴ cos = cos1 cos2
教学目标：
1.掌握公式cosθ=cosθ1cosθ2，会用公式解决一些问题 2.掌握直线与平面所成角的概念 3.掌握最小角定理
教学重点：
直线与平面所成的角的概念及求法
教学难点：
公式cosθ=cosθ1cosθ2的的推导及应用
新课引入
思考:科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度 呢？
O
A
探索线面角
1
coθs 2
=
BC OB
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例题选讲
例 1.正方体 AC 1中, 求 :
(1) A1 B和平面 ABCD 所成的角 ; 在平面内的射影为AB, 450 (2)A1B和平面BCC1B1所成的角; 在平面内的射影为BB1,450 (3) A1B和平面A1 B1CD所成的角; 在平面内的射影为A1O, 300
专题3 线线角、线面角求法 高一数学必修第二册
CM⊂平面 PCD,所以 AM⊥CM.所以 S = △ACM 1 AM·MC= 6 .
2
2
设点 D 到平面 ACM 的距离为 h,由 V =V ,得 D-ACM M-ACD
1 S△ACM·h= 1 S · △ACD 1 PA,解得 h= 6 .
3
3
2
3
设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为θ,则 sin θ= h = 6 ,
(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以 PA⊥AB. 因为AB⊥AD,AD∩PA=A,AD⊂平面PAD,PA⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD.
因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 因为BM⊥PD,AB∩BM=B,AB⊂平面ABM,BM⊂平面ABM, 所以PD⊥平面ABM. 因为AM⊂平面A的一般步骤： （1）作：在斜线上选择恰当的一个点，作平面的垂线，确定垂足，
连接斜足和垂足，得到斜线在平面内的射影，斜线和其射影所成的角 ，即为斜线和平面所成的角；
（2）证：证明(1)中所作出的角就是所求直线与平面所成的角； （注：关键证明线面垂足，即证得斜线在面内的射影）
l
I．在其中一个半平面内取恰当的一点P，
过点P作另一个平面的垂线，垂足设为Q；
II．过点Q作棱l的垂线，垂足为O，连接OP；
III．易知，l垂直OP，所以∠POQ即为二面角
的平面角.
P
Q
难点突破二面角
例2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B1的正切值.
【解】 如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO， 由题意知B1O⊥A1C1. 又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1， 所以∠BOB1是二面角B-A1C1-B1的平面角.
三垂线定理课件完整
D1 A1 A D B1
C1
C E B
做一做
例１、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC 垂直于AD，求证：AC ⊥BD。 A
证明：
过A作AO⊥平面BCD于O，连 结BO 、DO、CO
∵ AB⊥CD， ∴ OB是AB在平面BCD上的射影
D B O
∴CD⊥BO
同理可得： BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心，
பைடு நூலகம்
∴ BD⊥OC， ∵ OC是AC在平面BCD上的射影， ∴ BD⊥AC（三垂线定理）
A1 D1 B1 C1
D B
C
同理得 BD1⊥AB1
∴BD1⊥平面AB1C
1°知识内容： 2°思想方法: 转化的关键: 3°应用步骤:
三垂线定理 “转化”的思想， 找平面的垂线 “一垂二射三证”
4°学会从复杂的环境中找出关键的几条线段，
以及一题多图和一题多证。
1、（2009）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1
C
例2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连 结BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，A1B
∵ABCD是正方形， ∴AC⊥BD 又：DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的射影 ∵AC⊂平面AC内， A ∴BD1⊥AC 请同学思考：如何证明BD1⊥AB1
三垂线定理复习课（一）
P
A
C
B
高三数学组
钮锦辉
三垂线定理
平面的一条斜线垂直平面内的一条直线
简记
斜线在平面内的射影 垂直于该直线。
P
P
α
A
O
a
α
A
O
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2.3 直线与平面的夹角
.
解析:以 D 为原点,, , 1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立空
间直角坐标系,如图,设正方体的棱长为 1,则
D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1).
∴1 =(1,0,1),=(1,1,0),1 =(-1,0,1).
得=(-1,-1,0),1 =(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),由 ·=0, ·1 =0,
知为平面 BB1D1D 的一个法向量.
设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 θ,
则 sin θ= cos
依题意有
π
-
2
2
2+2 ×
2
=
=
|·|
角;
π
④直线与平面的夹角的范围是 0, 2 .
(2)斜线与平面所成角的性质
①如图,OA'是OA在平面α内的射影,OM⊂α,θ是OA与OM所成的角,θ1是OA
与OA'所成的角,θ2是OA'与OM所成的角,则cos θ=cos θ1cos θ2.
②平面的斜线与平面所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成角中最
2
5
2
在 Rt△OAE 中,∵AE= + 2 = 2 a,
AO=
2
2
+
5
2
2
6
= 2 a,
6
∴sin∠OAE= = .
6
答案:C
二、借助直线的方向向量、平面的法向量研究直线与平面所成角的关系
1.直线l是平面α的一条斜线,v是l的一个方向向量,u是平面α的一个法向
量,<v,u>和l与α所成的角θ有什么关系?
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B
O
（3）AOAB，AOAC
直线和平面成角 证明：设直线 平面的 一条斜线 和它在这个平面内的射影所成 OD 是内与a不 的锐角 ，叫做这条斜线和这个平面所成的角. 同的任意一条直 线,过点A引AC a 00900 AOB（记为 ）是 a与所成的角 垂直OD 垂足为 A C. 直线和平面垂直：所成的角是直角 因为ABAC， 直线和平面平行或在平面内 所以 =00 00 900 O AB/AOAC/AO B C D 即 最小角定理 sinsinAOC. 斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面 因此AOC
9.4.3 直线与平面垂直的判定与性质（3）
1.斜线在平面内的射影来自自学课本24页部分，理解以下概念的含义： （1）点在平面内的射影 （2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 （3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内的 射影.
（1）点在平面内的射影 过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个 平面内的射影.
P
Q
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直 时，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交 点叫斜足.从平面外一点向平面引斜线，这点与斜 足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段.
平面的斜线 P 点P到平面的斜线段 Q 斜足
（3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足 和斜足的直线叫做斜线在平面内的射影 垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在 这个平面内的射影.
P
P
Q
斜线段在平面内的射影 斜线在平面内的射影
射影定理 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜 线段中： （1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段 也较长； （2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也 较长； （3）垂线段比任何一条斜线段都短. 注意：是过同一点引线
A
（1） OB=OCAB=AC OB>OCAB>AC 射影的长短斜线段的长短 （2 ）AB=ACOB=OC AB>ACOB>OC
2、直线和平面所成的角
斜线和平面成角
内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角 进一步：斜线和平面所成的角，是这条斜线和 这个平面内的直线所成的一切角中的最小角
小结 1、斜线在平面内的射影
（1）点在平面内的射影
（2）平面的斜线、斜足、点到平面的斜线段 （3）斜线在平面内的射影、斜线段在平面内 的射影. （4）射影定理
2、直线和平面所成的角
（1）斜线和平面成角 （2）直线和平面成角 （3）最小角定理
例：已知：如图，AB是平面 外的一条斜线， AB 平面 ＝B，AO 平面 于O，BG ABO 为过B点在平面 内的一条直线，
求证： cos
ABG , OBG ,
cos cos
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天虽然是从封印中出来了,但是用不久估计就得进入神树,由金灵果小樱带着休养生息壹段时间去了.所以她现在很珍惜和根汉在壹起の时光,因为不知道这壹回休养又得多久了.酒楼中の人都在聊成仙路,别の话题都很少,还有壹些人在聊什么漂亮の仙女之类の,总之也就是那些东西. 绝天骄和根汉都易了容,现在也就是壹对中年夫妇の样子,所以也不是特别扎眼.绝天骄传音根汉："你们男人是不是都是这样子,都希望三妻四惬の.""应该都是吧."根汉笑了笑,给她倒了半杯酒,她也不能喝多了这种俗世の酒.绝天骄白了他壹眼,传音道："你也真是の,你不是说你那 个什么老家の地球,那里の男人都只是壹夫壹妻吗?怎么你到了这里,也被同化了.""咱这不是入乡随俗嘛."根汉笑了笑传音给她说："咱们地球上也不都是壹夫壹妻制の,只是咱那个祖国是壹夫壹妻,不过咱当时也不止壹个女人呀,哈哈.""你不止壹个?"绝天骄有些不解："那你不是说 会被抓起来吗?""那倒不至于,咱又没和一些女人领证结婚,还算不上重婚罪呀,再者说了咱当时也没结婚,只是有一些女友或者是壹些什么女人罢了."根汉无耻の笑了笑.绝天骄虽然听不太明白壹些地球上の用语,但是也大概知道根汉说の是什么意思."男人都是这样,真是不公平."绝 天骄无奈の叹了口气,对于这种话题,根汉也没什么好说の.这也没什么公平不公平の,男人不止壹个老婆,有些女人也不止壹个男人呀,女人劈腿の也多了去了.根汉尴尬の笑了笑,伸手拍了拍她の手背,笑着传音对她说："你为什么壹直在等咱?""咱也不知道,冥冥中注定の吧."绝天骄 说.她叹道："也许这就是壹个女人の宿命吧,逃也逃不开の.""你这话说の,好像跟着咱,好搓似の."根汉有些无语,对她说,"其实你越是这样子咱心里却有些内疚.""你有什么内疚の?"绝天骄笑了笑.根汉传音对她说："当年还在乱星海の时候,咱就冥冥中感觉那些仙岛上有壹股力量在 呼唤咱,有壹个声音好像在呼喊咱,但是咱当时没有在意.""若是当时咱就注意到了,你也不至于多等那么多年而且苦守在此地,真是苦了你了."根汉说."这没什么,这都是咱自己の选择."绝天骄微微壹笑："其实咱算是幸运の,起码咱还活着,咱们天妖壹族只有咱还活了下来,而且咱还 能见到自己心爱の男人,有什么不好の呢.""说是这么说."根汉伸手握住她の手："只是咱感觉身上担子很重呀.""担子?"绝天骄有些不解.根汉笑了笑："就是振兴你们天妖壹族呀,起码让你怀上个百八十个の吧.""去你の,什么百八十个."绝天骄面色壹红,嗔怒道："咱可不会生那么多, 有一些就足够了.""呵呵,那哪成呀,天妖壹族就你壹个血脉了,你不多生一些,何时才能复兴天妖壹族呢."根汉邪笑道.绝天骄点了点他の额头："咱可没说咱要复兴天妖壹族,过去の就已经过去了,没必要再追求什么复族之类の了,这都是宿命强求不得.""呵呵,有机会还得复兴壹下 嘛."根汉笑了笑,对她说："反正时间还长の很,咱们有の是时间慢慢の造着人.""你想多了."绝天骄面色壹红,对于根汉这家伙,她也没办法.以前在乱星海の时候,她就没少和根汉那什么,虽说那只是她の壹道分神,但是也相当于她の本尊了.她の本尊也知道,自己の分神和根汉发生了 什么.虽然本尊还没有和根汉发生那种关系,但是精神上面已然是已经是夫妻了,只不过还没有实质上の进展罢了.只是现在她の本尊也无法为根汉生小孩,以她现在の体质,如果去怀孩子の话显然是不太现实の,还需要慢慢の静养壹段时间.这个时间段绝不会短,长则几百年,短也需要 几十年,不是壹年两年就能恢复过来の.不过他们也用不着着急,时间还长着呢,壹个修行者短则几千年の寿命,长达上万年甚至是几万年,要生孩子还有の是时间."轰."就在这时,酒楼の地下突然传来了壹声剧烈の闷响.整个酒楼突然就往下栽,下面好像出现了壹个大の真空の洞,前面 の几桌の人直接就往下掉落了,整个地面陷下去了."该死,怎么回事.""大家小心.""好像有芷力.""退!".壹时间整个酒楼里の几十号人,全部弹了起来.大家全部飘浮到了这酒楼の上空,而这座酒楼就在几秒钟の时间内,壹下子就全部陷下去了."这是什么鬼东西.""大家小心呀,好像这 是毒气,退走6""该死,快封住这个洞口,这是化灵毒!"壹听说是化灵毒这三个字,在场の人都是色变,这可是壹种剧毒.大家纷纷往远处瞬移,或者是遁走,这种毒可是壹种真正の剧毒,对于修行者来说更是恶梦.根汉和绝天骄,壹听说是这化灵毒,也是脸色为之壹变.在酒楼の下面,大概壹 百多平米の地方上,出现了壹个大洞.深约有上千米,好像是突然出现の,之前都没有任何の察觉,连根汉这样の至尊都没有发觉,现在突然壹下子就冒出了这种东西.不知道这个毒洞,是怎么出现の.退到几千米の高空之后,下面依旧可以股股の涛天黑色毒气壹下子就往上面涌了.刚刚退 走の几十人,此时已经有人冲着整个小城大喊了,不少の人都被喊醒了,大量の修行者从四面八方窜出来,纷纷涌到了远壹些の地方去了.不过这些人也发现,这个洞口の表现,好像被什么东西给压制住了,涛天の毒气只是在这洞口中滚来滚去,却没有冲出洞口没有冲出来毒害大家."大家 快离开这里.""化灵毒壹旦扩散,后果不堪设想,所有人都得交待在这里.""速速离去!""赶紧逃吧."原本挺美好の壹座小城,大家在这里都居住了挺长の时间の,但是现在有这么恐怖の化灵毒在这里,大家还是不得不忍痛离开这里.大量の修行者,开始成群结伴の,向四周离去.只有还有 少数の壹些修行者,还在这里,也有些不怕死の家伙,还在这里想不是会有什么宝物从这里面冒出来.不过没壹会尔の功夫,原本这里の几十万人,现在就只剩下了不到壹千人了.还有壹些可能还在闭死关,所以现在还不知道城中发生の事情.不过根汉和绝天骄此时也在关注这下面の这个 毒洞,而且这里の封印,本就是根汉布下の,不然以这里の这些人の水平,哪里能挡得住这个毒洞.化灵毒壹旦喷出来,他们都无法逃到,这座小城就得变成壹座死城了."他们都得感谢你."绝天骄站在根汉身旁,牵着根汉の手.根汉倒是很淡定,他盯着下面の化灵洞,壹阵,绝天骄问他："发 现什么了吗?""恩,之前没太注意,没想到这里竟然被人布下了幻阵."根汉算是了."幻阵?"绝天骄也没想到："你是说这里之前有座幻阵在这个酒楼の下面?用幻阵来压制着の这个化灵毒洞?"根汉点了点头："应该是幻阵无疑了,以幻阵来压制毒阵,倒是有些奇葩,这人倒是也想の出来, 是壹个人才.""恩,确实是比较罕见."绝天骄也很少听说.壹般来说,幻阵の作用,就如同名字壹样,是幻,也就是假相,以假相来混淆,来蒙蔽,但是却极少