高考数学复习点拨 对初相的理解及求解

对初相ϕ的理解及求解
一、对初相ϕ的理解
教材中指出：物理中，简谐运动的函数解析式形如[)sin()0y A x x ωϕ=+∈+，，∞（其中00A ω>>，），x ωϕ+称为相位；0x =时的相位ϕ称为初相．可见，ϕ没有明确的范围，并且可正可负，这里先从形式上予以浅谈．
例1 指出函数πsin 2(π)3y x ϕ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭
的初相． 分析：本题中解析式需满足sin()y A x ωϕ=+中的00A ω>>，，因此函数需要化成标准形式才能解答．
解：由ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2πsin π2sin 233x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 可知，函数的初相是2π3
． 二、初相ϕ的求法
1．代点法：即将图象上的已知点代入解析式求ϕ
例2 根据图象写出函数sin()y A x ωϕ=+（00A ω>>，）的解析表达式． 解：由图象1
可知：A =
周期2[6(2)]16T =⨯--=，
所以2ππ168
ω==，
因此π8y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
． 下面请看有关ϕ的几种求法：
分析：由正弦曲线sin y x =可知，点(2π0)k ，
在其单调增区间上，点((21)π0)k -，在其单调减区间上，因此在求ϕ时要特别注意由该点所在区间的单调性来确定x ωϕ+的取值．
解法一：点(60)，在其增区间上， 所以π62π8
ϕ⨯+=． 解得5π4
ϕ=
； 解法二：点(20)-，在其减区间上， 所以ππ4
ϕ-+=． 解得5π4
ϕ=； 解法三：
因为点(2-，在图象上且为最低点，
所以πsin 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π3π42ϕ+=．
解得5π4
ϕ=．
因此所求解析式为π5π8
4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 说明：以上解法的关键是抓住两点，一个是已知点所在单调区间，另一个是最值点．
2．平移法：函数s i n (y A
x ωϕ=+（00A ω>>，）的图象，看作是由s i n y x ω=的图象经向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平移ϕω
个单位而得到． 例3 已知电流I 与时间t 的关系为πsin()02I t ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭，，根据图2中的数据求其解析式．
解：由图可知300A =，周期111218090075
T ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以2π150πT
ω==． 因此300sin(150π)300sin[150π]150πI t t ϕϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
， 由图象的平移可知，1150π900
ϕ-=-， 又π2ϕ<，解得π6
ϕ=． 因此所求解析式为π300sin 150π6y t ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭． 说明：由平移可知，sin()sin y A x A x ϕωϕωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭上面的点2π0ϕωω⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，对应着 sin y x ω=上面的点2π0ω⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，且都在其单调增区间上，否则在例3中易出现1150180ϕ-=，5π6ϕ=-的错解．。