数列第一课

数列（一）数列的概念及简单表示法
1、数列的概念 （1）定义：
（2）数列与函数的关系：
（3）数列的通项公式：
（4）数列的分类：
（5）数列的递推公式：
（6）n a 与 n S 的关系： 若数列{}n a 的前n 项和为n s ，则{
.
1,.
2,11=≥--=n S n S S n n n a .在数列{}n a 中，
若n a 最大，则
{
≥≤
n n a a ,若n a 最小，则
{
≤≥
n n a a
考点一、已知数列的前几项求通项公式
例1、根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式； （1）2,0,2,0，⋅⋅⋅； （2）⋅⋅⋅,16
15
,87,43,21； （3）5
41
,
431,321,211⨯⨯-⨯⨯-
，⋅⋅⋅； （4）⋅⋅⋅,7777,777,77,7；
练习1、根据数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式；
（1）1，-3,5，-7,9，⋅⋅⋅； （2）⋅⋅⋅,2
25
,
8,29,2,21
；
（3）⋅⋅⋅,8888.0,888.0,88.0,8.0；
考点二、由n a 与n S 的关系求通项n a
例2、已知下面数列{}n a 的前n 项和n S ，求{}n a 的通项公式：
（1）;322
n n S n -= （2）.3b S n
n +=
练习2、已知各项均为正数的数列{}
n a 的前n 项和满足n S >1，
6,
),2)(1(*
∈++=N n a a S n n n 求数列{}n a 的通项公式。

考点三、数列性质的应用
例3、已知数列{}n a 的通项),()11
10)(
1(+∈+=N n n a n
n 试问该数列{}n a 有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由。

练习3、已知数列{}n a 的前n 项和).(242
*
∈+-=N n n n S n
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）当n 为何值时，n S 达到最大值？最大值是多少？
考点自测
1.数列
⋅⋅⋅--,9
8
,76,54,32的第10项是( ) 1716.-A 1918.-B 2120.-C 23
22.-D
2.设数列{}n a 的前n 项和,2
n n S n +=则7a 的值为（ ）
13.A 14.B 15.C 16.D
3. 在数列{}n a 中，,12,111+==-n n a a a 则5a 的值为（ ）
30.A 31.B 32.C 33.D
4.已知数列{}n a 的前4项分别为2,0,2,0，则下式不能作为数列{}n a 的通项公式的是（ ） 1
)
1(1.+-+=n n a A 2
sin
2.π
n a B n = πn a C n cos 1.-= {
为奇数为偶数
，n n n a D ,20.=
数列（二）等差数列及其前n 项和
1、等差数列的定义
如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____________，公差通常用字母____来表示。

数学语言表达式：________________________________，其中___为常数。

2、等差数列的通项公式
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则其通项公式为=n a __
__________。

3、等差数列的前n 项和公式
若已知首项1a 和末项n a ，则n S =____________，或等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则其前n 项和公式为_________________=n S 。

4、等差数列及前n 项和的性质
（1）若b A a ,,成等差数列，则A 叫做b a ,的等差中项，且______________=A ： （2）通项公式的推广：).,(________*
∈+=N m n a a m n
（3）若{}n a 为等差数列，当,q p n m +=+则有_____________（*∈N q p n m ,,,）。

（4）若{}n a 为等差数列，公差为d ，则),(,,,2*
++∈⋅⋅⋅N m k a a a m k m k k 也是等差数列，其
公差为______。

（5）数列⋅⋅⋅--,,,232m m m m m S S S S S 也是等差数列。

（6）.)12(12n n a n S -=- （7）若n 为偶数，则;2
S -nd S =奇偶 若n 为奇数，则（中间项）。

中
偶奇a S =S - （8）最值问题 在
等
差
数
列
{}
n a 中
，
若
__
_
____
_____
1S ,0,0存在则n d a <>若。

—————存在则n d a S ,0,01><
考点一、等差数列基本量的计算
例1、设d a ,1为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足
.01565=+S S
（1）若;S ,5165a S 及求= （2）求d 的取值范围。

练习1、（2011年福建）在等差数列{}n a 中，.3,131-==a a
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前k 项和,35-=k S 求k 的值。

例2、在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12.
(1)求通项a n ；(2)求此数列前30项的绝对值的和.
练习2、在等差数列{a n }中，若a 1＝25且S 9＝S 17，求数列前多少项和最大.
考点二、等差数列的判定与证明 例3、在数列{}
n a 中，),
,2(12,5311*-∈≥-==N n n a a a n n 数列{}n b 满足
).(1
1
*∈-=
N n a b n n （1）求证：数列{}n b 是等差数列；
（2）求数列{}n a 的最大项与最小项，并说明理由。

练习3、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足.2
1),2(0211=≥=∙+-a n S S a n n n （1）求证：⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S 1是等差数列； （2）求n a 的表达式。

巩固练习、已知数列{}n a 的前n 项和n S 是n 的二次函数，且.6,2,2321==-=S a a （1）求;n S （2）证明：数列{}n a 是等差数列。

考点三、等差数列及前n 项和性质的应用
例4、在等差数列{}n a 中；（1）若,20174=+a a 求20S ； （2）若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和为n S =286，求.n （3）若,36,963==S S 则
._____________987=++a a a （4）若,0,166473=+-=⋅a a a a 则其前n 项和.__________=n S
练习4、设等差数列的前N 项和为n S ，已知前6项和为36，n S =324，最后6项的和为180（n ＞6），求数列的项数n
巩固练习（1）设数列
{}
n a 的首项
1a =-7，且满足
____________17211...)(2=+++∈+=*+a a a N n a a n n ，则
（2）等差数列{}n a 中，78,24201918321=++-=++a a a a a a ，则此数列前20项和等于
_______________
考点自测
1.在等差数列{}n a 中，===1032,4,2a a a 则（ ） A.12 B.14 C.16 D.18
2.已知{}n a 为等差数列，582,12a a a 则=+=（ ） A.4 B.5 C.6 D.7
3.记等差数列{}n a 的前N 项和为n S ，若1a =
2
1
，==64,20S S 则 A.12 B.16 C.20 D.24
4.已知数列{}n a 的通项公式是3-=kn a n ，并且它的第八项是-7，则它的第14项是______
________。