201X年秋九年级数学上册第一章二次函数专题分类突破二抛物线中几何图形的最值问题课件新版浙教版

合集下载

人教版九年级上 22.1.4 二次函数抛物线型最值问题精讲(共32张PPT)

22.1.4 二次函数抛物线型最值问题精讲
第一课时
刘芙蓉
学习目标
1.复习二次函数顶点式的相关知识 2.学习探究二次函数抛物线型最值问题。
复
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
习
根据图形填表：
抛物线顶点坐标
对称轴位置
开口方向增减性最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k）
直线x=h
解：当水位上升 hm 时，D 点的纵坐标为 h－4.将它代入抛物线的解析式，得 h－4＝－215x2，∴x＝±5 4－h，于是桥下水面宽度 d＝10 4－h.
(3)为保证过往船只顺利通航，桥下水面宽度不得小于 18m，则水深超过正常水位多少米时，会影响过往船只顺利通航？
解：当 d≥18 时，10 4－h≥18，∴h≤0.76.∴当水深超过正常水位大于 0.76m 时，会影响过往船只顺利通航．
7．已知烟花弹爆炸后某个残片在空中的飞行轨迹可以看成是二次函数
y＝－1x 3
2＋2x
＋5
图象的一部分，其中
x(s)为爆炸后经过的时间，y(m)
为残
片离地面的高度，请问在爆炸后 1s 到 6s 之间，残片距离地面的高度范围为
(
B
)
A．0m 到 8m
B．5m 到 8m
C．230m 到 8m
D．5m 到 230m
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
由h和kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

人教版数学九年级上专题二抛物线(二次函数)线段、周长与面积的最值专题【学生版】

专题二抛物线（二次函数）线段、周长与面积的最值专题（一）将军饮马问题及其延伸1、在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.解题思路：作定点B关于直线l的对称点C,连接AC,交直线于点Q，当点P运动到点Q，最小值为AC.证明：关键是作其中一个定点的对称点，使得PB=PC，求PA+PB的最小值，即求PA+PC的最小值。

再转化为上述题型。

2、如图，在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．解题思路：作点A关于OM的对称点'A，作点A关于ON的对称点''A，连接''A，与OM交于点B，'A与ON交于点C，连接AB，AC，此△ABC周长最短．证明：两点之间，线段最短3、如图在∠MON的内部有两点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．解题思路：作点A关于OM的对称点'A，作点B关于ON的对称点'B，连接'A，与OM交于点C，'B与ON交于点D，连接AC，BD，此四边形ABCD周长最短．证明：两点之间，线段最短。

4、如图，直线l 外有A,B 两个定点，在l 上找一点P,使得PB PA -最大解题思路：延长AB 交直线l 于点Q,当点P 运动到点Q ，PB PA -最大值为AB.证明：三角形任意两边之差小于第三边，当A 、B 、P 三点共线可取等于.5、如图：已知A 、B 是两个定点，在定直线l 上找两个动点M 与N ，且MN 长度等于定长d （动点M 位于动点N 左侧），使AM+MN+NB 的值最小. 解题关键：平移其中一个定点，再作它的对称点。

解题思路2:作'A 关于直线l 的对称点1A ，将点1A 向右平移长度d 得到点2A ，连接B A 2交直线l 于点Q 将点Q 向左平移长度d ，得到点P,此AM+MN+NB 最小值为B A 2+PQ.(先对称再平移)（二）在平面直角坐标系中求面积的方法：方法一：割补法（铅锤高）方法二:平移法AC 为定值，做AC 的平行线当与AC 有一个交点时可得H 点的坐标，设AC 的平行线且与AC 有一个交点H 的直线为L （虚线部分）与抛物线联立，当▲=0时，求得直线L 与抛物线的交点，进而求得面积的最大值。

九年级二次函数最值问题

九年级二次函数最值问题二次函数是一种常见的代数函数形式，其图像为抛物线。

它在数学中有着广泛的应用，包括物理、经济学等领域。

而在九年级数学学科中，二次函数常常涉及到最值问题的解决。

那么，本文将从什么是二次函数、二次函数的图像特征、二次函数的最值问题及其解决方法等方面展开详细的讲解。

一、二次函数的定义及图像特征1.二次函数定义：二次函数是指其自变量的平方的系数不为零的代数函数。

其一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。

2.二次函数的图像特征：(1)抛物线开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

(2)抛物线的对称轴：对称轴的方程为x = -b/2a。

(3)顶点坐标：顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

(4) x轴交点：当y=0时的解对应着抛物线与x轴的交点，也就是方程ax² + bx + c = 0的解。

(5) y轴截距：抛物线与y轴交点的坐标即为(0, c)。

二、二次函数的最值问题1.最值问题的意义：在实际问题中，我们经常需要求解函数的最值，即函数在特定区间上的最大或最小值。

对于二次函数而言，最值问题与抛物线的凸起和凹下密切相关。

2.求二次函数最值的方法：(1)图像法：通过观察抛物线的凹凸性及顶点位置，可以较直观地判断出最值。

(2)公式法：利用二次函数的性质和相关公式，通过计算可以得到最值。

3.最值问题的举例：例如，已知二次函数f(x) = 2x² - 3x + 4，求解f(x)在定义域上的最值。

三、图像法解决最值问题1.这是一个开口向上的抛物线，根据抛物线的形状可知，该二次函数的最小值即为顶点的纵坐标。

2.对于二次函数f(x) = 2x² - 3x + 4而言，可以通过求顶点的坐标来得到最小值。

3.顶点的横坐标为x = -b/2a = -(-3)/2(2) = 3/4。

初三数学上册【二次函数】最值4种解法,压轴题常考,期中复习必看

初三数学上册【二次函数】最值4种解法，压轴题常考，期中复习必看题目如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由。

解答：(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．∴点P坐标为（－3/2，15/4）若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法。

解如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y＝x＋b．三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，作PM⊥BC于点M．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），则F(x，x＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解。

九年级数学上册专题突破19二次函数和反比例函数利用二次函数求最值新版北京课改版

二次函数求最值二次函数求最值的一般步骤：（1）找等量：分析题目中的数量关系，（2）列式：列出函数关系式，（3）求最值的方法： ①配方法， ②公式法。

方法归纳：二次函数求最值的注意事项：①若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最值，即当x ＝－b 2a 时，y 最值＝4ac －b24a；②若自变量的取值范围是x 1≤x ≤x 2，当－b 2a 在x 1≤x ≤x 2内时，有一个最值4ac －b 24a 在x ＝－b 2a时取得，另一个最值在两端点处取得；当－b2a 不在x 1≤x ≤x 2时，函数的最值在x ＝x 1和x ＝x 2时取得。

总结：1. 能根据实际问题的情境建立二次函数模型。

2. 会利用二次函数求实际问题的最值。

例题1 在关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋2y ＝a2x －y ＝1中。

（1）若a ＝3，求方程组的解；（2）若S ＝a （3x ＋y ），当a 为何值时，S 有最值。

解析：（1）用加减消元法求解即可；（2）把方程组的两个方程相加得到3x ＋y ，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答。

答案：（1）a ＝3时，方程组为⎩⎨⎧x ＋2y ＝32x －y ＝1，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝1。

（2）方程组的两个方程相加得，3x ＋y ＝a ＋1，所以S ＝a （3x ＋y ）＝a （a ＋1）＝a 2＋a ，所以，当a ＝－12×1＝－12时，S 有最小值。

点拨：本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3x ＋y 的表达式是解题的关键。

例题2 便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y （元）与每件销售价x （元）之间的关系满足y ＝－2x 2＋80x ＋750，由于某种原因，售价只能满足15≤x ≤22，那么一周可获得的最大利润是多少？解析：先将二次函数变形，或利用公式求出此抛物线的顶点，再判断顶点是否在15≤x ≤22范围内，最后根据二次函数的性质求出最大值。

九年级全一册数学全程突破课时达标

九年级全一册数学全程突破课时达标数学是一门重要且广泛应用的学科，对学生的思维能力、逻辑思维能力和问题解决能力的培养都起到重要作用。

为了帮助九年级学生全程突破数学课时要求，我们需要制定一套有效的学习计划。

以下是我为九年级全一册数学全程突破课时达标制定的学习计划。

第一章：数的集合这一章主要介绍了数的分类、数的表示方法和数的运算。

学生需要掌握自然数、整数、有理数和无理数的概念，了解数轴的表示方法，并能进行整数的四则运算。

此外，学生还需要掌握数的开方和绝对值的概念和运算法则。

第二章：代数式与函数这一章主要介绍了代数式的概念和性质，学生需要学会代数式的化简、展开和因式分解。

此外，学生还需要学会解一元一次方程和一元一次不等式，了解函数的概念和性质。

第三章：平面几何图形的认识与性质这一章主要介绍了平面几何图形的基本概念和性质，包括直线、射线、线段、角、三角形、四边形和圆的概念。

学生需要学会根据图形的性质进行证明和推理，并能计算图形的周长和面积。

第四章：函数与图像这一章主要介绍了函数的概念和性质，包括函数的定义域、值域和图像。

学生需要学会画出函数的图像，并能根据图像解读函数的性质和关系。

第五章：统计与概率这一章主要介绍了统计学和概率学的基本概念和方法。

学生需要学会统计数据的收集和整理，并能根据数据进行统计和分析。

此外，学生还需要学会计算概率，并能运用概率进行问题的预测和判断。

第六章：三角函数这一章主要介绍了三角函数的概念和性质，学生需要学会计算三角函数的值，并能根据三角函数的性质解决相关的问题。

第七章：图形的变换这一章主要介绍了图形的平移、旋转、对称和放缩的概念和性质。

学生需要学会根据图形的变换进行判断和推理，并能进行相关的计算。

第八章：解析几何这一章主要介绍了平面直角坐标系和向量的概念和性质。

学生需要学会画出平面直角坐标系，并能利用向量进行图形的平移、旋转和对称。

第九章：立体几何这一章主要介绍了立体图形的概念和性质，包括体积和表面积的计算方法。

2018年秋九年级数学上册第1章二次函数专题分类突破二抛物线中几何图形的最值问题练习新版浙教版

专题分类突破二抛物线中几何图形的最值问题(见B本9页), 类型 1 线段的最值问题)例1图【例1】如图所示，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP，BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M，N分别是EF，CD的中点，则MN的最小值是__5__．变式某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝1100x2的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是( B)变式图A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米, 类型 2 线段和差的最值问题【例2】如图所示，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过其顶点M 的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y轴上找一点P，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为( A )A ．(0，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32例2图变式如图所示，二次函数y ＝－x 2－3x ＋4的图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于点C.点P是抛物线的对称轴上一动点，若|PA －PC|的值最大，则点P 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，10 ．, 类型 3 面积的最值问题【例3】正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内抛物线l 上的动点．则△OAE 与△OCE 面积之和的最大值是__9__．例3图变式图变式如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)a ＝__－12__，b ＝__3__；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3，变式答图(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD ，CB ，过C 作CE⊥AD，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4；S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋3x ＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2＜x ＜6)．∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.1．2017·泸州中考已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴第1题图的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一动点，则△PMF 周长的最小值是( C )A ．3B ．4C ．5D ．6第2题图2．如图所示，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3 的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)写出A ，B ，C 三点的坐标：A(__－3__，__0__)，B(__1__，__0__)，C(__0__，__3__)． (2)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A ，B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积．解：(2)由抛物线y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4可知，对称轴为直线x ＝－1，设点M 的横坐标为m ，则PM ＝－m 2－2m ＋3，MN ＝(－m －1)×2＝－2m －2，∴矩形PMNQ 的周长＝2(PM ＋MN)＝2(－m 2－2m ＋3－2m －2)＝－2m 2－8m ＋2＝－2(m ＋2)2＋10， ∴当m ＝－2时矩形的周长最大．∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC 的函数表达式为y ＝x ＋3，当x ＝－2时，y ＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)，∴EM ＝1，AM ＝1，∴S ＝12AM ·EM ＝12.第3题图3．2017·东营中考如图所示，直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH⊥BC 于点H ，作MD∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点， ∴B(3，0)，C(0，3)，∴OB ＝3，OC ＝3，∴BC ＝23， ∴∠CBO ＝30°，∠BCO ＝60°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝1，∴A(－1，0)． ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33，b ＝233，∴抛物线解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋ 3. (2)∵MD∥y 轴，MH ⊥BC ，∴∠MDH ＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°， ∴DH ＝12DM ，MH ＝32DM ，∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋32DM ，∴当DM 有最大值时，其周长有最大值，∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点， ∴可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t 2＋233t ＋3，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t ＋3， ∴DM ＝－33t 2＋233t ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33t ＋3＝－33t 2＋3t ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋334，∴当t ＝32时，DM 有最大值，最大值为334，此时3＋32DM ＝3＋32×334＝93＋98，即△DMH 周长的最大值为93＋98.第4题图4．已知：抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，其对称轴为x ＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E(5，0)，交y 轴于点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52. (1)求抛物线l 2的函数表达式；(2)M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．解：(1)∵抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为x ＝1，∴－b －2＝1，解得b ＝2，∴抛物线l 1的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，令y ＝0，可得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A 点坐标为(－1，0)，∵抛物线l 2经过A ，E 两点， ∴可设抛物线l 2的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)，又∵抛物线l 2交y 轴于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52， ∴－52＝－5a ，解得a ＝12，∴y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52，∴抛物线l 2的函数表达式为y ＝12x 2－2x －52.(2)由题意可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2－2x －52，∵MN ∥y 轴，∴N(x ，－x 2＋2x ＋3)，令－x 2＋2x ＋3＝12x 2－2x －52，解得x ＝－1或x ＝113.①当－1＜x≤113时，MN ＝(－x 2＋2x ＋3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52＝－32x 2＋4x ＋112＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋496，显然，－1＜43≤113，∴当x ＝43时，MN 有最大值496；②当113＜x≤5时，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52－(－x 2＋2x ＋3)＝32x 2－4x －112＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432－496，显然，当x ＞43时，MN 随x 的增大而增大，∴当x ＝5时，MN 有最大值，32×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－432－496＝12.综上可知在点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为12.。

九年级数学上册第1章二次函数专题分类突破一二次

专题分类突破一二次函数的解析式及图象特征, 类型 1 由图象上的点确定解析式 )例1题图【例1】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的边长为4，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 经过B ，C 两点，点D 为抛物线的顶点，连结AC ，BD ，CD.(1)求此抛物线的解析式；(2)四边形ABDC 的面积是__12__．解：(1)由已知，得C(0，4)，B(4，4)，把B 与C 坐标代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋c ＝12，c ＝4，解得b ＝2，c ＝4，则解析式为y ＝－12x 2＋2x ＋4.(2)∵y＝－12x 2＋2x ＋4＝－12(x －2)2＋6，∴抛物线顶点坐标为(2，6)，则S 四边形ABDC ＝S △ABC＋S △BCD ＝12×4×4＋12×4×2＝8＋4＝12.变式已知抛物线经过A(1，0)，B(0，3)两点，且对称轴是直线x ＝－1，求抛物线对应的函数解析式．(用顶点式与交点式两种方法完成)解：方法一：设y ＝a(x ＋1)2＋b ，将A(1，0)，B(0，3)两点坐标代入，求得a ＝－1，b ＝4；所求的函数解析式y ＝－(x ＋1)2＋4＝－x 2－2x ＋3.方法二：由题意可得抛物线与x 轴的另一个交点为(－3，0)，设y ＝a(x －1)(x ＋3)，将B(0，3)的坐标代入，得a ＝－1，所求的函数解析式为 y ＝－(x －1)(x ＋3)＝－x 2－2x ＋3., 类型 2 由系数的特征确定二次函数图象 )【例2】在一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)中，y 随x 的增大而减小，则二次函数y ＝k(x －1)2的图象大致是( B )A ．B ．C ． D.变式图变式二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么下列关于此二次函数的四个结论中，正确的有( D )①a ＜0；②c＞0；③b 2－4ac ＞0；④a 2b＜0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ①∵图象开口向下，∴a ＜0，故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，故本选项正确；③∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个不相同交点，∴根的判别式Δ＝b 2－4ac ＞0，故本选项正确；④∵对称轴x ＝－b 2a ＞0，∴a2b＜0，故本选项正确．, 类型 2 由图象的平移变换确定解析式)【例3】 2017·天津中考已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3与x 轴相交于点A ，B(点A 在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为( A )A ．y ＝x 2＋2x ＋1B ．y ＝x 2＋2x －1C ．y ＝x 2－2x ＋1D ．y ＝x 2－2x －1变式图变式如图，抛物线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝12x ＋1交于A ，B 两点，与直线x ＝2交于点P ，将抛物线沿着射线AB 平移325个单位．求：(1)求平移后的抛物线的顶点坐标；(2)在整个平移过程中，点P 经过的路径长.解：(1)由题意，抛物线沿着射线AB 平移32 5个单位时，点A 向右平移3个单位，再向上平移32个单位，∵抛物线y ＝x 2＋2x 的顶点坐标为(－1，－1)，∴平移后抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12. (2)设抛物线向右平移a 个单位，再向上平移12a 个单位，抛物线的解析式为y ＝(x ＋1－a)2－1＋a 2，令x ＝2，y ＝(3－a)2－1＋12a ，∴y ＝a 2－112a ＋8，∴y ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －1142＋716， ∵0≤a ≤3，∴y 的最大值为8，最小值为716，∵a ＝3时，y ＝12，∴点P 经过的路径长为8－12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－716＝618.1．已知二次函数y＝a(x＋h)2＋k，其中，a＞0，h＜0，k＜0，则函数图象大致是( A)A．B．C． D.2．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上(下)或向左(右)平移m个单位，使平移后的抛物线经过原点，则|m|的最小值为( B)A．1 B．2 C．3 D．43．已知二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点(2，4)，且顶点在直线y＝2x＋1上，则二次函数的表达式为__y＝x2－2x＋4__．第4题图4．如图所示，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋c1和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线．请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形：和y＝3x2＋23x(答案不唯一，符合条件即可) ．5．已知抛物线C：y＝x2－4x＋3.(1)求该抛物线关于y轴对称的抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1平移使顶点在x轴上得到C2，求C2的解析式．解：(1)配方，y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.∴该抛物线的顶点为(2，－1)，与y 轴交点(0，3)．∵C1与C关于y轴对称，∴C1顶点坐标是(－2，－1)，且与y轴交点(0，3)．设抛物线C1的解析式为y＝a(x＋2)2－1，把(0，3)代入，解得a＝1，∴抛物线C1的解析式为y＝x2＋4x＋3.(2)抛物线C1的解析式为y＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1.将抛物线C1向上平移1个单位得到抛物线C2：y＝(x＋2)2.此时顶点坐标是(－2，0)，符合题意．第6题图 6．在直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，写出b 的取值范围．解：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，∴抛物线解析式为y ＝12x 2－x ＋2.第6题答图(2)∵y＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32.∴顶点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， ∵直线BC 为y ＝－x ＋4，∴对称轴与BC 的交点H(1，3)， ∴S △BDC ＝S △BDH ＋S △DHC ＝12·32·3＋12·32·1＝3.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2，消去y 得到x 2－x ＋4－2b ＝0，当Δ＝0时，直线与抛物线有唯一公共点， 1－4(4－2b)＝0，∴b ＝158，当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3，当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5，∵直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B ，C)部分有两个交点，∴158＜b≤3. 7．2017·江西中考已知抛物线C 1：y ＝ax 2－4ax －5(a ＞0)． (1)当a ＝1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴；(2)①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式； (3)若(2)中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，抛物线表达式为y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9， ∴对称轴为x ＝2，∴当y ＝0时，x －2＝3或－3，即x ＝－1或5， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(－1，0)或(5，0)．(2)①抛物线C 1表达式为y ＝ax 2－4ax －5，整理，得y ＝ax(x －4)－5.∵当ax(x －4)＝0时，y 恒定为－5，∴抛物线C 1一定经过两个定点(0，－5)，(4，－5)． ②这两个点连线为y ＝－5，将抛物线C 1沿y ＝－5翻折，得到抛物线C 2，开口方向变了，但是对称轴没变，∴抛物线C 2的表达式为y ＝－ax 2＋4ax －5. (3)抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，则x ＝2时，y ＝2或－2.当y ＝2时，2＝－4a ＋8a －5，解得a ＝74；当y ＝－2时，－2＝－4a ＋8a －5，解得a ＝34.∴a ＝74或34.。

2018年秋九年级数学上册第1章二次函数专题分类突破二抛物线中几何图形的最值问题练习 (新版)浙教版

专题分类突破二抛物线中几何图形的最值问题(见B本9页), 类型 1 线段的最值问题)例1图【例1】如图所示，线段AB＝10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP，BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M，N分别是EF，CD的中点，则MN的最小值是__5__．变式某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝1100x2的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是( B)变式图A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米, 类型 2 线段和差的最值问题【例2】如图所示，已知抛物线y＝－x2＋px＋q的对称轴为直线x＝－3，过其顶点M 的一条直线y＝kx＋b与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y轴上找一点P，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为( A )A ．(0，2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，53C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 例2图变式图变式如图所示，二次函数y ＝－x 2－3x ＋4的图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于点C.点P是抛物线的对称轴上一动点，若|PA －PC|的值最大，则点P 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，10 ． , 类型 3 面积的最值问题【例3】正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内抛物线l 上的动点．则△OAE 与△OCE 面积之和的最大值是__9__．例3图变式图变式如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)a ＝__－12__，b ＝__3__；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3，变式答图(2)如图，过A 作x 轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD ，CB ，过C 作CE⊥AD，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4；S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4；S △BCD ＝12BD ·CF ＝12×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋3x ＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x ，∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2＜x ＜6)．∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.1．2017·泸州中考已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴第1题图的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一动点，则△PMF 周长的最小值是( C )A ．3B ．4C ．5D ．6第2题图2．如图所示，抛物线y ＝－x 2－2x ＋3 的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．(1)写出A ，B ，C 三点的坐标：A(__－3__，__0__)，B(__1__，__0__)，C(__0__，__3__)． (2)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点A ，B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积．解：(2)由抛物线y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4可知，对称轴为直线x ＝－1，设点M 的横坐标为m ，则PM ＝－m 2－2m ＋3，MN ＝(－m －1)×2＝－2m －2，∴矩形PMNQ 的周长＝2(PM ＋MN)＝2(－m 2－2m ＋3－2m －2)＝－2m 2－8m ＋2＝－2(m ＋2)2＋10， ∴当m ＝－2时矩形的周长最大．∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC 的函数表达式为y ＝x ＋3，当x ＝－2时，y ＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)，∴EM ＝1，AM ＝1，∴S ＝12AM ·EM ＝12.第3题图3．2017·东营中考如图所示，直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH⊥BC 于点H ，作MD∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点， ∴B(3，0)，C(0，3)，∴OB ＝3，OC ＝3，∴BC ＝23， ∴∠CBO ＝30°，∠BCO ＝60°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝1，∴A(－1，0)． ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎨⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33，b ＝233， ∴抛物线解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋ 3. (2)∵MD∥y 轴，MH ⊥BC ，∴∠MDH ＝∠BCO＝60°，则∠DM H ＝30°， ∴DH ＝12DM ，MH ＝32DM ，∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋32DM ，∴当DM 有最大值时，其周长有最大值，∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点， ∴可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t 2＋233t ＋3，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t ＋3， ∴DM ＝－33t 2＋233t ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33t ＋3＝－33t 2＋3t ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋334，∴当t ＝32时，DM 有最大值，最大值为334，此时3＋32DM ＝3＋32×334＝93＋98，即△DMH 周长的最大值为93＋98.第4题图4．已知：抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，其对称轴为x ＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E(5，0)，交y 轴于点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52. (1)求抛物线l 2的函数表达式；(2)M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．解：(1)∵抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为x ＝1，∴－b －2＝1，解得b ＝2，∴抛物线l 1的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，令y ＝0，可得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A 点坐标为(－1，0)，∵抛物线l 2经过A ，E 两点， ∴可设抛物线l 2的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)，又∵抛物线l 2交y 轴于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52， ∴－52＝－5a ，解得a ＝12，∴y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52，∴抛物线l 2的函数表达式为y ＝12x 2－2x －52.(2)由题意可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2－2x －52，∵MN ∥y 轴，∴N(x ，－x 2＋2x ＋3)，令－x 2＋2x ＋3＝12x 2－2x －52，解得x ＝－1或x ＝113.①当－1＜x≤113时，MN ＝(－x 2＋2x ＋3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52＝－32x 2＋4x ＋112＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋496，显然，－1＜43≤113，∴当x ＝43时，MN 有最大值496；②当113＜x≤5时，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52－(－x 2＋2x ＋3)＝32x 2－4x －112＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432－496，显然，当x ＞43时，MN 随x 的增大而增大，∴当x ＝5时，MN 有最大值，32×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－432－496＝12.综上可知在点M 自点A 运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值为12.。

新人教部编版初中九年级数学上册解题技巧专题：二次函数的最值及函数值的范围

长冲中学“四学一测”活力课堂
②当－b≥2时，则在x＝2时，y取最小值为－3，
此时－3＝22＋2×2b＋b＋2，解得b＝－ 9 ，不合题意，舍去；
5
③当－2＜－b＜2时，则 4(b 2) 4b2 ＝－3， 4
化简得b2－b－5＝0，
长冲中学-“四学一测”活力课堂
长冲中学“四学一测”活力课堂
解得b1＝1 2 21(不合题意，舍去)，b2＝1 2 21 . 综上所述，b＝3或 1 21 .
长冲中学“四学一测”活力课堂
◆类型四已知函数的最值，求待定系数的值
8．(2019·白水县一模)若二次函数y＝(k＋1)x2－2 2 x＋k图象的最高点在x轴上，则k的值为( D )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
9．当a≤x≤a＋1时，函数y＝x2－2x＋1的最小值为4，
则a的值为( D )
A．－2
长冲中学-“四学一测”活力课堂
长冲中学“四学一测”活力课堂
◆类型一没有限定自变量的范围求最值
1．(2019·哈尔滨中考)二次函数y＝－(x－6)2＋8的
最大值是 8 .
2．(2019·江阴市期末)已知二次函数y＝x2＋mx＋n
的图象经过点(－1，－3)，则代数式mn＋1有( A )
A．最小值－3
11．已知二次函数y＝x2＋2bx＋c. (1)若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；
解：(1)存在．理由如下：若b＝c，由y＝1得x2＋2bx ＋b＝1，∴x2＋2bx＋b－1＝0. ∵Δ＝4b2－4b＋4＝(2b－1)2＋3＞0， ∴存在两个实数x，使得相应的y＝1.
长冲中学-“四学一测”活力课堂
B．4
C．4或3 D．－2或3

浙教版九年级上册数学第1章二次函数利用二次函数解抛物线形的最值应用

2．【中考·金华】图②是图①中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可
近似看成抛物线 y＝－4100(x－80)2＋16，桥拱与桥
墩 AC 的交点 C 恰好在水面，有 AC⊥x 轴，若 OA ＝10 米，则桥面离水面的高度 AC 为( B )
9．【中考·滨州】如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m) 与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2 ＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？
解：根据题意得 B(0，4)，C3，127.把 B(0，4)，C3，127的坐标代入 y＝－16x2＋bx＋c，解得 b＝2，c＝4.抛物线的函数表达式为 y＝－16x2＋2x＋4，即 y＝－16(x－6)2＋10，所以 D(6， 10)．所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10 m.
(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
所用时间是4s.
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20， ∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20. 答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时
最大，最大高度是0m.
①小球在空中经过的路程是40m； ②小球抛出3s后，速度越来越快； ③小球抛出3s时速度为0； ④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s. 其中正确的是( ) A．①④B．①② C．②③④D．②③ D
6．【中考·武汉】飞机着陆后滑行的距离 y(单位：m)关于滑行时间 t(单位：s)的函数表达式是 y＝60t－32t2，在飞机着陆滑行中，最后 4s 滑行的距离是 ___2_4____m.

浙教版九年级数学上册第一章二次函数专题复习二含答案

专题二二次函数的图象性质与系数的关系[见 B 本 P10](教材 P22 作业题第 1 题 )已知二次函数y＝－ 2x2＋ 4x＋6.(1)求函数图象的极点坐标、与坐标轴交点的坐标和对称轴，并画出函数的大体图象；(2)自变量 x 在什么范围内时，y 随 x 的增大而增大？何时y 随 x 的增大而减小？并求函数的最大值或最小值、解： (1)y＝－ 2x2＋ 4x＋ 6＝－ 2(x－ 1)2＋ 8.令 y＝0，得 x1＝－ 1， x2＝ 3.令 x＝ 0，得 y＝6，因此图象的极点坐标是(1，8)，与 x 轴的交点坐标为(－ 1， 0)， (3， 0)，与 y 轴的交点坐标为 (0， 6)，对称轴是直线x＝ 1，画图略、(2)当 x≤1时， y 随 x 的增大而增大；当x≥1时，y 随x 的增大而减小；当 x＝1 时， y 有最大值 8.【思想方法】(1)利用函数的增减性可以比较二次函数值的大小，也可以利用函数的图象比较大小、(2)依据函数的图象可以确立二次函数的各项系数或有关代数式的值、a 的作用：|a|的大小决定抛物线的张口大小.|a|越大，抛物线的张口越小；|a|越小，抛物线的张口越大、口诀：上 (张口 )＋ (a 的符号 )，下 (张口 )－ (a 的符号 )、b 的作用： ab 的符号决定抛物线的对称轴的地点、当ab＝ 0 时，对称轴为y 轴；当ab>0时，对称轴在y 轴左边；当ab<0时，对称轴在y 轴右边、口决：左(对称轴在y 轴左边)同( a，b 同号 )右 (对称轴在y 轴右边 )异 (a， b 异号 )、c 的作用： c 的大小决定抛物线与y 轴的交点地点，c＝ 0 时，抛物线过原点；c>0 时，抛物线与y 轴交于正半轴；c<0 时，抛物线与y 轴交于负半轴、口诀：上 (抛物线与y 轴交于正半轴) “＋”(c＞ 0)下(抛物线与y 轴交于负半轴) “－”(c＜ 0)、特别值：当x＝ 1时， y＝a＋ b＋ c；当x＝－ 1时， y＝ a－ b＋ c.若a＋ b＋ c>0 ，即x＝ 1时， y>0；若a－ b＋c>0，即x＝－ 1 时， y>0.[2012 ·泰安 ] 设点 A(－ 2， y1)， B(1， y2)， C(2， y3)是抛物线y＝－ (x＋ 1)2＋ a 上的三点，则 y1， y2， y3的大小关系为 ( A )A、 y1＞ y2＞ y3B、 y1＞ y3＞ y2C、y3＞ y2＞y1 D 、y3＞ y1＞y2【分析】依据二次函数的图象的对称性，找出点 A 的对称点 A′，再利用二次函数的增减性可判断y 值的大小、画出函数y＝－ ( x＋ 1) 2＋a 的大体图象以以下图，∴抛物线的对称轴是 x＝－ 1，∴点 A 关于对称轴的对称点A′的坐标是 (0， y1)、∵点 A′， B，C 都在对称轴的右边，在对称轴右边y 随 x的增大而减小，∴ y1＞ y2＞ y3.[2012 ·贵阳 ]已知二次函数y＝ax2＋bx＋ c(a＜ 0)的图象如图1 所示，当－5≤x≤0时，以下说法正确的选项是( B )图 1A、有最小值－ 5，最大值 0 B 、有最小值－ 3，最大值 6C、有最小值 0，最大值 6 D 、有最小值 2，最大值 6[2012 ·重庆 ] 已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)的图象如图2 所示，对称轴为 x＝－1.以下结论中，正确的选项是 ( D )2图 2A、 abc>0B、 a＋ b＝0C、 2b＋ c>0 D 、 4a＋ c<2b浙教版九年级数学上册第一章二次函数专题复习二含答案【分析】 ∵抛物线张口向上，∴ a ＞ 0.∵抛物线与 y 轴交于负半轴，∴ c ＜0.∵抛物线的对称轴在 y 轴左边，∴－b＜ 0，∴ b ＞ 0，∴ abc ＜ 0，故 A 项错误；∵抛物线的对称轴为x2a＝－ b ＝－ 1，∴ a ＝ b ，故 B 项错误；当 x ＝ 1 时， a ＋ b ＋c ＝ 2b ＋ c ＜0，故 C 项错误；∵抛2a 2物线的对称轴为 x ＝－12，抛物线与x 轴的一个交点的横坐标的取值范围为x 1＞ 1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点的横坐标的取值范围为x 2＜－ 2，∴当 x ＝－ 2 时， 4a －2b ＋ c ＜ 0，即4a ＋ c ＜ 2b ，故 D 项正确、应选 D.[2013 ·长沙 ] 二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋ c 的图象以以下图，则以下关系式错误的选项是( D )A 、 a>0B 、 c>0C 、 b 2－ 4ac>0D 、 a ＋b ＋ c>0[2013 ·山西 ] 已知二次函数y ＝ ax 2＋ bx ＋c 的图象以以下图，对称轴为直线 x ＝1，则以下结论正确的选项是 (B )A 、 ac>0B 、方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝ 0 的两根是 x 1＝－ 1， x 2＝ 3C 、 2a － b ＝0D 、当 x>0 时， y 随 x 的增大而减小[2013 ·滨州 ] 如图，二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠0)的图象与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且对称轴为 x ＝ 1，点 B 坐标为 (－ 1，0) 、则下边的四个结论∶①2a ＋b ＝0；② 4a －2b ＋ c ＜ 0；③ ac ＞ 0；④当 y ＜ 0 时， x ＜－ 1 或 x ＞ 2.此中正确的个数是 ( B )A、 1B、2C、 3D、4[2013 ·烟台 ] 如图是二次函数y＝ ax2＋bx＋ c 图象的一部分，其对称轴为x＝－ 1，5且过点 (－ 3， 0)、以下说法∶① abc＜ 0；② 2a－b＝ 0；③ 4a＋ 2b＋ c＜ 0，④若 (－5， y1)，(2，y2)是抛物线上两点，则 y1＞ y2.此中说法正确的选项是 ( C )A、①②B、②③C、①②④D、②③④[2013 ·德州 ] 函数y＝ x2＋ bx＋ c与y＝ x 的图象以以下图，有以下结论∶①b2－4c>0 ；② b＋ c＋ 1＝ 0；③ 3b＋ c＋6＝ 0；④当1<x<3时， x2＋(b－ 1)x＋ c<0. 此中正确的个数是 (B)A、 1B、 2C、3D、 4[2012 ·威海 ] 已知二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0)的图象如图9 所示，以下结论中(D)错误的选项是图9A、 abc>0B、 3a>2bC、 m(am＋ b) ≤a－ b(m为任意实数) D 、 4a－ 2b＋ c<0。