江苏省启东中学2013届高三数学寒假加试训练三
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江苏省启东中学2013届高三数学寒假加试训练三
21.B．（矩阵与变换）设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵1
M-以及椭圆
22
1
49
x y
+=在1
M-的作用下的新曲线的方程．
C.（坐标系与参数方程）求直线
4
1
5
3
1
5
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=--
⎪⎩
（为参数
t
）被曲线)
4
π
ρθ
=+所
截的弦长.
22. 已知斜三棱柱
111
ABC A B C -，90BCA ∠=
，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点
D ，又知11BA AC ⊥.
（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --余弦值的大小.
23． 已知抛物线L 的方程为()022>=p py x ，直线x y =截抛物线L 所得弦24=AB ． ⑴求p 的值；
⑵抛物线L 上是否存在异于点A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
江苏省启东中学2013届高三数学寒假加试训练三参考答案
21．B.解：（Ⅰ）由条件得矩阵
20
03
M
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，它的特征值为2和3，对应的特征向量为
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
及
1
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
；
（Ⅱ）11
0 2
1 0
3
M-
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，椭圆
22
1
49
x y
+=在1
M-的作用下的新曲线的方程为221
x y
+=．
C．（坐标系与参数方程）求直线
4
1
5
3
1
5
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=--
⎪⎩
（为参数
t
）被曲线)
4
π
ρθ
=+所截
的弦长，将方程
4
1
5
3
1
5
x t
y t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=--
⎪⎩
，)
4
π
ρθ
=+分别化为普通方程：3410
x y
++=，
220,
x y x y
+-+= (5分)
17
.
105
d== 11
圆心C（，－），半径为＝，弦长＝
22
21. 解：（I）如图，取AB的中点E，则//
DE BC，因为BC AC
⊥，所以
D E A C
⊥，又
1
A D⊥平面ABC，以
1
,,
DE DC DA为,,
x y z轴建立空间坐标系，则()
0,1,0
A-，()
0,1,0
C，()
2,1,0
B，()
1
0,0,
A t，()
1
0,2,
C t，()
1
0,3,
AC t
=
，
()
1
2,1,
BA t
=--
，()
2,0,0
CB=
，由
1
A C CB
⋅=
，知
1
A C CB
⊥，又
11
BA AC
⊥，从
而
1
AC⊥平面
1
A BC；
（II）由
1
AC⋅
2
1
30
BA t
=-+=
，得t=.
设平面
1
A AB的法向量为()
,,
n x y z
=
，(
1
AA=
，()
2,2,0
AB=
，所以
1
220
n AA y
n AB x y
⎧⋅=+=
⎪
⎨
⋅=+=
⎪⎩
，设1
z=
，则)
n=