九年级数学圆的对称性1
九年级数学圆的对称性
• (4) 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧 （ 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.
A
P
O
B
5.在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36 5.在半径为30㎜ 在半径为30 ㎜，则O到AB的距离是= 24mm ， AB的距离是= 的距离是 OAB的余弦值 的余弦值= ∠OAB的余弦值= 0.6 。 6.已知：如图，在以 为圆心的两个同心 已知： 已知 如图，在以O为圆心的两个同心 圆中，大圆的弦AB交小圆于 交小圆于C， 两点 两点。 圆中，大圆的弦 交小圆于 ，D两点。 你认为AC和 有什么关系 为什么？ 有什么关系？ 你认为 和BD有什么关系？为什么？ 证明： 证明：过O作OE⊥AB，垂足为 ， 作 ⊥ ，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ＝ ， ＝ 。 O ∴ AE－CE＝BE－DE － ＝ － 即 AC＝BD ＝ A C E 注意：解决有关弦的问题， 注意：解决有关弦的问题，过圆心作 弦的垂线，或作垂直于弦的直径， 弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也 是一种常用辅助线的添法． 是一种常用辅助线的添法．
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垂径定理的应用
• 例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧 如图，一条公路的转变处是一段圆弧( CD,点 是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一 OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径 垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. C 连接OC. 解:连接OC.
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∴AM=BM,
⌒ AD=BD.
⌒
⌒ ⌒ AC =BC,
九年级数学圆的对称性知识点
九年级数学圆的对称性知识点圆是数学中一个非常重要的几何概念，它具有丰富的对称性质。
在九年级数学中，我们学习了许多有关圆对称性的知识点。
本文将围绕这一主题，探讨圆的对称性在数学中的应用和意义。
1. 点、线和面的对称性在数学中，几何图形可以根据其对称性质进行分类。
点对称性是最基本的对称性质，它是指图形绕着一个固定点旋转180度后能够重合。
线对称性是指图形相对于一条线对称，两侧对应部分完全一致。
面对称性则是指图形相对于一个面对称，两侧对应部分完全一致。
对称性在几何学中具有重要的应用，它能够帮助我们分析和解决许多问题。
2. 圆的旋转对称性圆具有旋转对称性，这是因为任何一个圆可以绕着其圆心旋转一定角度后得到一个与原圆完全一致的新圆。
这个旋转角度称为圆的旋转角，它可以是任意角度。
利用圆的旋转对称性，我们可以解决许多有关圆的问题，比如确定两个圆是否相等、快速计算圆的周长和面积等。
3. 圆的轴对称性除了旋转对称性，圆还具有轴对称性。
轴对称性是指圆相对于一条直线对称，即对于圆上的任意一点P，当P的关于直线L的对称点也在圆上时，称直线L为圆的轴线。
利用圆的轴对称性，我们可以判断一个图形是否关于某条直线对称，从而简化几何证明的过程。
4. 圆的纵轴对称性和横轴对称性圆的轴对称性可以进一步分为纵轴对称性和横轴对称性。
当圆相对于一条垂直于x轴的直线对称时，称这条直线为圆的纵轴线；当圆相对于一条垂直于y轴的直线对称时，称这条直线为圆的横轴线。
纵轴对称性和横轴对称性在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到图形的对称性质，简化问题的分析。
5. 圆的切线与辅助线的对称性在与圆相关的问题中，切线和辅助线的对称性也是常见且有用的。
以圆的切线为例，对于圆上的任意一点P，过点P作一条切线，这条切线与半径的夹角为90度，且在切点处与圆相切。
利用切线的对称性，我们可以解决一些与圆的切线有关的几何问题，比如判断切线与圆的位置关系、计算切线的长度等。
鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》教学设计1
鲁教版数学九年级下册5.2《圆的对称性》教学设计1一. 教材分析《圆的对称性》是鲁教版数学九年级下册第五章第二节的内容。
本节课主要学习圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径，以及圆的对称性质在实际问题中的应用。
教材通过丰富的实例，引导学生探索圆的对称性质，培养学生的观察能力、推理能力和应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初级代数、几何等知识，具备了一定的逻辑思维和推理能力。
但对于圆的对称性的理解和应用，还需要通过实例和引导，进一步深化。
此外，学生对于实际问题的解决，还需要教师的引导和鼓励。
三. 教学目标1.理解圆的对称性质，掌握圆是轴对称图形，圆的对称轴是直径的性质。
2.能够运用圆的对称性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、推理能力和应用能力。
四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解和应用。
2.实际问题中圆的对称性质的运用。
五. 教学方法1.实例教学：通过丰富的实例，引导学生观察、推理，探索圆的对称性质。
2.问题驱动：提出实际问题，引导学生运用圆的对称性质解决问题。
3.合作学习：鼓励学生分组讨论，共同探索圆的对称性质。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实例和实际问题。
2.练习题：准备相关的练习题，巩固学生的学习效果。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示生活中的圆形物品，如硬币、圆桌等，引导学生观察这些物品的对称性。
提问：你们认为圆有什么特殊的对称性呢？呈现（10分钟）教师展示课件，通过实例介绍圆的对称性质。
如圆是轴对称图形，任何一条通过圆心的直线都是圆的对称轴；圆的对称轴是直径，直径两端的点在圆上，且直径垂直于通过这两点的任意直线。
操练（10分钟）教师提出实际问题，如在圆形桌面上有若干个物品，如何才能使这些物品关于圆心对称？引导学生分组讨论，运用圆的对称性质解决问题。
巩固（10分钟）教师引导学生总结圆的对称性质，并运用于其他实际问题。
如在圆形操场跑步，如何找到自己的跑步节奏？引导学生运用圆的对称性质，找到合适的跑步节奏。
初中数学知识点精讲精析 圆的对称性
第二节圆的对称性要点精讲一、圆的对称性：1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例.经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴.2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的）1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线）2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量.相关链接像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.典型分析1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）A.1/2B.1/4C.1/6D.1/8【答案】B【解析】连接AM 、BM.∵MN ∥AD ∥BC ，OM=ON ，∴四边形AOBN 的面积=四边形AOBM的面积.再根据图形的轴对称性，得阴影部分的面积=扇形OAB 的面积=1/4圆面积.故选B.中考案例1.（2012内蒙古呼和浩特）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD 的长为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF.根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；根据圆的轴对称性和DC ∥AB ，得四边形FBCD 是等腰梯形.∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴故选B.=针对训练1.以点A（3，0）为圆心，以5为半径画圆，则圆A与x轴交点坐标为（）A.（0，-2），（0，8）B.（-2，0），（8，0）C.（0，-8），（0，2）D.（-8，0），（2，0）2.如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD=4，则AP•BP的值为（）A.2B.4C.6D.83.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定4.已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A.6＜r＜10B.8＜r＜10C.6＜r≤8D.8＜r≤105.下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等.A.①②③B.③④⑤C.①②⑤D.②④⑤6.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.47.下列命题正确的是（）A.顶点在圆周上的角叫做圆周角B.圆内接平行四边形一定是矩形C.平分弦的直径一定垂直于弦D.与直径垂直的直线是圆的切线8. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点参考答案1.【答案】B【解析】因为圆心在x轴上，与x轴相交两点，∴两点的纵坐标都为0，∵圆的半径是5，∴两点的横坐标为3-5=-2，或3+5=8.即两点的坐标为（-2，0）、（8，0）.故选B.2.【答案】B【解析】由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP=DP=2，再根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP=2•2=4.故选B.3.【答案】C【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C.4.【答案】A【解析】∵AB=6，AD=8，∴AC=10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r 的取值范围是：6＜r＜10.故选A.5.【答案】B【解析】①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤.故选B.6.【答案】C【解析】A.是圆周角定理的推论，故正确；B.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；C.根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故正确；D.应是不共线的三个点，故错误.故选C.7.【答案】B【解析】顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫圆周角，故A错误；根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故B正确.平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C错误；过直径的一端与直径垂直的直线是圆的切线，故D错误.因此只有B选项是正确的.故选B.8.【答案】A【解析】因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度.因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，故选A.扩展知识轴对称及其应用在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.。
初三数学 圆的性质定理
初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4．圆的内接四边形：①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分D．随点C的移动而移动4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B．C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A 、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？（1）（2）（3）例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．1、下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心和半径B．直径 C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外D．外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）A．重心B．垂心 C．外心D．无法确定5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？。
九年级数学苏科版上册课时练第2单元《 2.2 圆的对称性》(1) 练习试题试卷 含答案
课时练2.2圆的对称性一、选择题1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD长是()A.2B.3C.4D.52.如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.83.如图,弦CD垂直于⊙O直径AB,垂足为H,且CD=，BD=，则AB长为（）A.2B.3C.4D.54.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm5.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是()A.OC∥BDB.AD⊥OCC.△CEF≌△BEDD.AF=FD6.如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB=10，AC=8，则BD的长为()A．2B．4C．2D．4.87.《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就.它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸8.如图所示，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度为().A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm9.如图，在半径为13cm圆形铁片上切下一块高为8cm弓形铁片，则弓形弦AB长为().A.10cmB.16cmC.24cmD.26cm10.杭州市钱江新城，最有名的标志性建筑就是“日月同辉”，其中“日”指的是“杭州国际会议中心”，如图所示为它的主视图.已知这个球体的高度是85m，球的半径是50m，则杭州国际会议中心的占地面积是().A.1275πm2B.2550πm2C.3825πm2D.5100πm2二、填空题11.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为．12.如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是.13.在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为cm.14.如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P．若点D在优弧ABC上，AB=8，BC=3，则DP=．15.如图所示为由两个长方形组成的工件平面图(单位：mm)，直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是mm.16.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高CD为米．三、解答题17.如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.(1)求证：点E是OB的中点；(2)若AB=8，求CD的长．18.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，圆心O在△ABC内部，且⊙O经过B，C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O的半径．19.如图所示，残缺的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线CD交圆形轮片于点C，垂足为点D，解答下列问题：(1)用尺规作图找出圆形轮片的圆心O的位置并将圆形轮片所在的圆补全；(要求：保留作图痕迹，不写作法)(2)若弦AB=8，CD=3，求圆形轮片所在圆的半径R.20.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B=∠D；（2）若AB=4，BC﹣AC=2，求CE的长．参考答案1.A.2.D．3.B4.B5.C.6. C.7.C.8.C.9.C.10.A.11.23．12.(2，0).13.40.14.5.5；15.50.16.8．17.解：(1)证明：连接AC.∵OB⊥CD，∴CE=ED，即OB是CD的垂直平分线．∴AC=AD.同理AC=CD.∴△ACD是等边三角形．∴∠ACD=60°，∠DCF=30°.在Rt△COE中，OE=12OC=12OB.∴点E是OB的中点．(2)∵AB=8，∴OC=12AB=4.又∵BE=OE，∴OE=2.∴CE=OC 2－OE 2=16－4=2 3.∴CD=2CE=4 3.18.解如答图所示，连结BO，CO，延长AO 交BC 于点D.∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AB=AC.∵点O 是圆心，∴OB=OC.∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线.∴AD⊥BC，且D 是BC 的中点.在Rt△ABC 中，AD=BD=21BC，∵BC=8，∴BD=AD=4.∵AO=1，∴OD=AD-AO=3.∵AD⊥BC，∴∠BDO=90°.∴OB=22BD OD +=2243+=5.19.解：(1)图略.(2)连结OA.∵CD 是弦AB 的垂直平分线，AB=8，∴AD=12AB=4.在Rt△ADO 中，AO=R，AD=4，DO=R－3，根据勾股定理，得R 2=16＋(R－3)2，解得R=256.20.（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又∵DC=CB，∴AD=AB，∴∠B=∠D；（2）解：设BC=x，则AC=x﹣2，在Rt△ABC 中，AC 2+BC 2=AB 2，∴（x﹣2）2+x 2=42，解得：x 1=1+，x 2=1﹣（舍去），∵∠B=∠E，∠B=∠D，∴∠D=∠E，∴CD=CE，∵CD=CB，∴CE=CB=1+．。
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧
初中数学圆的重要概念性质定理总结与解题技巧1. 圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.2. 垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3. 圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.同样还可以得到：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.4. 圆周角定理及推论圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的弦是直径.5. 圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.6. 点和圆的位置关系(1)点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.(2)设(DO的半径为r.点P到圆心的距离OP=d,则有：①点P在圆外od>「；②点P在圆上<=>d=r；③点P在圆内od<r.7. 直线和圆的位置关系(1)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离.(2 )设。
0的半径为「，圆心0到直线I的距离为d,则有:①直线I和00相交od<「；②直线I和(DO相切od=r；③直线I和00相离od>r.8. 切线的判定定理和性质定理(1) 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂苴于这条半径的直线足圆的切线.(2) 切线的性质定理：|员I的切线垂直于过切点的半径.9. 圆的切线的性质(1) 切线和圆只有一个公共点；(2) 切线和I员］心的距离等于圆的半径；(3) 切线垂直于过切点的半径；(4) 经过恻心且垂直于切线的直线必过切点；(5) 经过切点且垂直于切线的直线必过恻心.10. 切线长经过岡外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到闖的切线长.11 •切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.12. 三角形的内切圆(1) 与三角形各辺都相切的圆叫做三角形的内切圆.(2) 三角形的内切圆的岡心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.13. 圆和圆的位置关系(1)圆和ia的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.(2)如果两圆的半径分别为h和「2( r«2)，圖心距(两岡圆心的距离)为d.则两圆的位置关系如下表;14 •正多边形的有关计算设正多边形的边数为g半径为R,边心距为r,边长为a,则有，(1)正多边形的每个内拜:82卜180。
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.2《圆的对称性》课件
归纳
知2－导
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分 别相等.
（来自教材）
知2－讲
例2 下列命题中，正确的是( C ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图
形的有( A )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知1－练
4 【2017·黄石】下列图形中既是轴对称图形，又是 中心对称图形的是( D )
知2－导
知识点 2 圆心角与所对的弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那 么它们所对的弦相等 吗？这两个圆心角相等吗？你是怎 么想的？
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相 等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也 不等，故正确．
总结
知2－讲
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于 圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注 意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
知2－练
1 下面四个图形中的角，是圆心角的是( D )
知2－练
2 如图，AB为⊙O的弦，∠A＝40°，则A︵B所对的 圆心角等于( C ) A．40° B．80° C．100° D．120°
九年级数学下册圆的对称性
A B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
☺
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
④ OD=O′D′
结论
1、在一个圆中，假设圆心角相等，则它所对的弧相 等，所对的弦相等。
2、在一个圆中，假设弧相等，则所对的圆心角相等， 所对的弦相等。
3、在一个圆中，假如弦相等，则所对的圆心角相等， 圆心角所对的弧 相等。
B' O
A'
A
B
例题
⌒⌒ 例1.如图，在⊙O中AC=BD, ∠1=45°,求∠2的度 数。
如图： ∠AOB=∠
A
COD
B
☺
o C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A
如图：
∠AOB=∠COD
B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A B
o
C
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： AOB= COD
A
O
E
C
D
B
∠AOB=∠COD， AB=CD ，OE=OF ；
九年级数学圆的对称性
在a,d,r,h中，已知其中任意两个 量,可以求出其它两个量.
做一做
8
驶向胜利 的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面 如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
A
O ┌ E
D
600
B
想一想
垂径定理的逆应用
9
驶向胜利 的彼岸
• 在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截 面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深 度.
想一想
7
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E . ⑴若半径R = 2 ，AB = 2 3 , 求OE、DE 的长. ⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长. ⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
C
a 2 ⑴d + h = r ⑵ r d ( ) 2
2 2
O E A D B
2 2 2
R 300 R 90 . 解这个方程, 得R 545. 这段弯路的半径约为545 m.
随堂练习 3
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
• 1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥 拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半 径(精确到0.1m).
O
做一做
5
船能过拱桥吗
驶向胜利 的彼岸
• 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
• 相信自己能独立 完成解答.
九年级数学圆的对称性1
[单选]胶印机的三滚筒机构中，中间滚筒为（）。A.橡皮滚筒B.印版滚筒C.压印滚筒D.传纸滚筒 [单选]正常的舌色为()A．淡白舌、红舌B．紫舌C．淡黄舌D．淡红舌E．绛舌 [单选]颅脑增强扫描，一般作为增强好坏参考标准的是（）A.脉络丛显影的好坏B.大脑镰显影的好坏C.小脑幕显影的好坏D.Willis环显影的好坏E.垂体腺显影的好坏 [单选]关于肾上腺疾病的叙述，以下不正确的是（）A.库欣综合征是由皮质醇分泌过多引起B.原发性醛固酮增多症多为原发性肾上腺皮质增生引起C.儿茶酚胺症是由嗜铬细胞瘤或肾上腺髓质增生引起D.皮质醇症、原发性醛固酮增多症和儿茶酚胺症均有高血压表现E.肾上腺手术后病人均应观察有无 [单选]钻取的芯样在试验前哪些尺寸可不作测量（）A、平均直径B、可见骨料的最大粒径C、芯样高度D、芯样垂直度 [单选]下列关于川乌、草乌在痹证治疗中的用法哪项不正确（）A.两药皆为祛风除湿，温经止痛之品B.应用时，应从小剂量开始服用，逐渐增加C.适用于风寒湿痹的疼痛剧烈者D.久煎或与甘草同煎可以缓和毒性E.服药后患者若出现唇舌麻木或手足麻木、恶心、心悸等症状时，可不减量继续服用 [判断题]储蓄是指个人将属于其所有的人民币或者外币存入储蓄机构，储蓄机构开具存折或者存单作为凭证，个人凭存折或者存单可以支取存款本金和利息，储蓄机构依照规定支付存款本金和利息的活动。A.正确B.错误 [单选,A1型题]迟发型超敏性炎症发生中，下列哪种细胞因子能活化巨噬细胞（）A.IFN-γB.TNFC.TGF-βD.LTE.IL-10 [名词解释]半坡类型 [问答题,简答题]地基破坏模式有几种？发生整体剪切破坏时p-s曲线的特征如何？ [单选,A2型题,A1/A2型题]下列关于儿童孤独症的流行病学的描述中正确的是（）A.根据DSM-Ⅳ，其患病率约为儿童人口的万分之二～万分之五B.女孩明显多于男孩C.男童患儿的症状往往都比较重D.社会经济状况较高的家庭患病率较高E.近些年来随着新的治疗手段的出现，孤独症的患病率越来越 [单选]某运输企业新购入了一款新车，该车型的投资额为25万元，残值为0.95万元，预计年净收益为1.75万元，年折旧费为2.13万元，试计算该车的投资回收期为()。A.6.2年B.5.8年C.5.5年D.4.7年 [填空题]交流双速电梯当电梯制动减速时，则自动切断高速绕组电源，并将三相（）绕组接到电源上，电动机转入低速运行状态. [单选]通过回转接头与出油接合管相连接，用卷扬机带动升降，可选择抽取罐内任何部位油品，一般只安装在润滑油或特种油品罐上的附件是（）。A.罐顶结合管与罐壁接合管B.量油孔C.升降管D.泡沫发生器 [单选]仪表专业中，以下字母表示流量的是（）。A、FB、EC、PD、S [问答题,简答题]分别说明以下图示表形位公差特征符号的意思。；；；；；；；；；；； [单选]胆道镜检查下列哪项应慎重()A．可疑胆道残余结石的诊断B．胆道出血的定位或止血C．进行选择性肝内胆管造影D．胆总管十二指肠瘘患者E．高龄或高危胆道结石 [单选]我国《合同法》规定，当事人可以通过和解或者调解解决合同争议。当事人不愿和解、调解或者和解、调解不成的，可以根据()向仲裁机构申请仲裁。A.仲裁协议B.提交给人民法院的起诉书C.调解书D.和解结论书 [单选]甲公司销售产品每件500元，若客户购买300件(含300件)以上每件可得到50元的商业折扣。某客户2008年10月8日购买甲公司产品300件，按规定现金折扣条件为2/10，1/20，n/30。适用的增值税税率为17%。甲公司于10月12日收到该笔款项，则实际收到的款项为元。(假定计算现金折扣时考 [名词解释]原始铅 [单选,A1型题]β衰变发生于（）A.激发态原子核B.贫中子原子核C.富中子原子核D.质子数大于82的原子核E.超重原子核 [多选]适应是（）心理现象A．感受性发生了变化的B．刺激物持续作用引起的C．刺激作用停止后出现的D．两种刺激同时作用时引起的 [单选]逾期无人认领的托运行李处置的时限规定：可以联系到旅客时，应尽快以电话方式通知旅客，但电话通知一般不超过（）次。A.5B.3C.2D.4 [单选,A1型题]治疗怀胎蕴热、胎动不安者，当选用的药物是（）A.桑寄生B.黄芩C.苏梗D.续断E.砂仁 [单选]妊娠试验原理是利用孕妇尿液及血清中含有（）A.雌激素B.孕激素C.绒毛膜促性腺激素D.雄激素E.）A.头先露，骨盆入口轻度狭窄B.头先露，骨盆出口轻度狭窄C.头先露，中骨盆轻度狭窄D.臀先露，骨盆入口轻度狭窄E.臀先露，中骨盆轻度狭窄 [单选]容器贯通试压时的试验压力应（）。A、大于安全阀起跳压力B、小于安全阀起跳压力C、等于安全阀起跳压力D、等于泵出口最大压力 [单选]惰性气体含量增加，H2、N2在混合气中的分压（）。A.增大B.降低C.不变 [问答题,简答题]导线温度升高，有何危害？ [问答题,简答题]简述发酵罐实罐灭菌采用的“三路进汽”原理和实罐灭菌的进、排汽原则。 [单选]在二维次对象什么被选中是，才可进行二维布尔运算：（）A．VertexB．SegmentC．SplineD．Face [单选]纤维素型焊条适用于全位置焊接，主要用于（）特别是在管道焊接中应用最广。A、平焊B、仰焊C、向下立焊D、全位置焊 [名词解释]将眠（休眠） [填空题]现在我国大型露天矿常用的钻孔设备是（），二次爆破常用的钻具是（）。 [单选]某市百货商场销售额2007年与2006年相比为150%，同期价格水平下降6%，则该商场销售量指数为()。A.133%B.159.57%C.121%D.118% [单选]根据火场残留物被烧的轻重程度，一般将()初步确定为起火点。A、局部出现灰化区或炭化区的部位B、局部烧得重的部位C、现场破坏最严重的部位D、局部烧得重，并有以此为中心向周围连续蔓延痕迹的部位 [单选,A1型题]奇脉主要见于下列哪种疾病：（）A.渗出性心包炎B.肥厚性心肌病C.慢性阻塞性肺气肿D.自发性气胸E.主动脉瓣狭窄 [单选]某居民企业被认定为小型微利企业，2012年度实现利润总额为18万元；当年发生营业外支出10万元，分别为向税务机关支付的税收滞纳金4万元，向工商行政管理部门支付的罚款6万元。假设除此之外无其他纳税调整事项，则该企业2012年度应缴纳企业所得税（）万元。A.3.6B.4.6C.5.6D. [单选]高压供电系统中，计算时，基准电压一般取短路点（）。A.额定电压B.计算电压C.末端电压D.最小电压 [单选]下列哪种原因导致的烧伤，应考虑合并吸入性损伤()A．烫伤B．热压伤C．电击伤D．氢氟酸烧伤E．煤矿瓦斯爆炸
最新青岛版九年级数学上册精品课件3.1圆的对称性(1)
它的对称轴．
2019/8/30
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讲授新课
圆的对称轴
说一说
（• 1单）• 击圆第此二是处级轴编对辑称母图版形文吗本？样如式果是，它的对称轴是什 么？你能• 第找三到级多少条对称轴？
（2）你是•怎第么四• 级第得五级出结论的？ 用折叠的方法
●O
2019/8/30
圆的对称性： 圆是轴对称图形，每一条直 径所在的直线都是它的对称 轴.
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• 第二级3.1圆的对称性（1） • 第三级 • 第四级 • 第五级
2019/8/30
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学习目标
• 单击此处编辑母版文本样式 1.进• 一第二步级认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解• 垂第•直三第级于四级弦的直径的性质和推论，并能应用
DB
• 第四级
• 第五级
M D B
.O
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心 距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为 应用垂径定理创造条件.
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垂径定理的实际应用
试•一单试击：此根处据编刚辑刚母所版学文，本你样能式利用垂径定理求出引入 中赵•州第桥二主级桥拱半径的问题吗?
两个半圆重合，点A与点B重合，AE与 A E
B
BE重合，AC⌒和BC⌒,AD⌒与BD⌒重合．
D
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归纳总结
垂径定理
垂• 单直击于此弦处的编直辑径母平版分文弦本以样及式弦所对的两条弧.
• 第二级
推导格• 第式三：级
湘教版数学九年级下册2.1《圆的对称性》教学设计
湘教版数学九年级下册2.1《圆的对称性》教学设计一. 教材分析《圆的对称性》是湘教版数学九年级下册第2.1节的内容，主要介绍了圆的对称性质。
本节内容是在学生已经掌握了圆的基本概念和性质的基础上进行授课的，为后续学习圆的方程和应用打下基础。
教材从圆的轴对称性和中心对称性两个方面展开，通过实例和习题使学生理解和掌握圆的对称性质。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对圆的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于圆的对称性质的理解可能会存在一定的困难，特别是对于圆的轴对称性和中心对称性的区别和联系。
因此，在教学过程中，需要通过具体的实例和习题，帮助学生理解和掌握圆的对称性质。
三. 教学目标1.理解圆的轴对称性和中心对称性的概念。
2.掌握圆的对称性质，并能够运用到实际问题中。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.圆的轴对称性和中心对称性的概念及区别。
2.圆的对称性质的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和解答的方式引导学生思考和探索圆的对称性质。
2.使用多媒体辅助教学，通过图形和动画的展示，帮助学生直观地理解和掌握圆的对称性质。
3.运用实例和习题，让学生在实践中巩固和应用圆的对称性质。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学PPT。
3.实例和习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾圆的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）使用PPT展示圆的轴对称性和中心对称性的定义和性质，让学生直观地理解圆的对称性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析具体的实例，找出圆的对称轴和中心，加深对圆的对称性质的理解。
4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，总结圆的对称性质，并互相解答疑问。
教师巡回指导，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生运用圆的对称性质解决实际问题，如圆的切割、设计等，提高学生的应用能力。
圆的对称知识点总结
圆的对称知识点总结一、基本概念圆是平面上所有点到一个固定点的距离都相等的集合。
这个固定点叫做圆心，相等的距离叫做半径。
圆通常用一个大写字母表示圆心，用一个小写字母r表示半径。
二、对称性圆具有很强的对称性，主要表现在以下几个方面：1. 中心对称：圆的中心是对称轴，圆上的每一个点关于圆心都有对称点。
2. 旋转对称：以圆心为中心，任意角度旋转圆都不变。
3. 轴对称：圆上的任意一条直径都是圆的轴对称线，即圆上的任意一点与圆心连线的垂直平分线。
三、对称性的运用圆的对称性在数学、几何学和物理学等领域都有着广泛的应用。
在几何学中，圆的对称性在解题过程中经常发挥重要作用，可以帮助我们简化问题、找到解题的突破口。
在建筑设计和艺术创作中，圆的对称性也常被运用，可以创造出和谐美观的作品。
四、圆的对称性性质圆的对称性具有以下性质：1. 对称轴上的任意两点的对称点也在对称轴上。
2. 对称轴上的点到对称轴的距离相等。
3. 对称变换保持了图形的大小和形状不变。
五、圆的对称性的应用圆的对称性在日常生活中也有着广泛的应用。
如镜子、会旋转的木马等等都具有对称性，因此在制作这些用具时，需要考虑图形的对称性，这样会使产品更加美观，使用起来也更加安全。
六、圆的对称图形圆拥有非常丰富的对称图形，例如：1. 圆形2. 半圆形3. 扇形4. 弧形5. 弦形这些对称图形在实际生活中都有着广泛的应用，如构造街道的拱门、钟表的表盘等。
七、圆的对称性的研究圆的对称性不仅仅在几何学中有重要的应用，在现代数学中也有着广泛的研究。
在拓扑学中，圆是一个最基本的几何图形，对称性是研究圆的基本属性的重要内容之一。
在几何结构、代数结构等领域中，圆的对称性也有着深入的研究和运用。
八、总结圆是一个非常特殊的几何图形，具有很强的对称性，对称性在数学、几何学和现实生活中都有着广泛的应用。
圆的对称性性质以及对称图形的研究都是数学领域的重要内容，对于学生来说，深入理解圆的对称性有助于提高他们的数学素养和数学思维能力。
圆的对称性(个人整理,经典题型)
第八讲圆的对称性（一）【你必须知道的数学小知识】1、圆的定义：平面上到定点．．的距离等于_____________的所有点组成的图形叫做圆．；其中，定点称为__________，______________称为半径，以点O为圆心的圆可记作___________。
注意：①圆是一条___________的曲线，不能认为是圆面；②圆上各点到定点的距离都等于_________，到定点的距离等于定长的点都在__________；③圆的两要素：________________________________。
2、圆具有对称性：_______________________________________________________________________________。
3、圆的相关概念（1）弦与直径：连结圆上任意两点的__________叫做弦；经过___________的弦叫做直径；（2）弧：圆上任意两点间的部分叫做__________，简称________。
用符号"⌒"表示，以A、B为端点的弧记作___________；（注意”半圆“、”优弧“、”劣弧“之间的区别）4、点与圆的位置关系：（1）点在圆外——点到圆心的距离_________半径；（2）点在圆上——点到圆心的距离_________半径；（3）点在园内——点到圆心的距离_________半径；5、垂径定理：垂直于弦的____________平方这条__________，并且平分弦所对的________________.用符号语言表示为：6、垂径定理推论：平分弦（不是直径．．．．）的___________垂直于___________，并且平分弦所对的___________. 用符号语言表示为：7、知二推三【经典例题】例1、（1）若⊙O的半径为5cm，圆心O到直线α的距离OM是4cm，直线α上有一点A，AM为6cm，则A在⊙O_____________________（填内、外、上）（2）已知一点与⊙O上的点最近距离是4cm，最远距离是9cm，则这个圆的半径是______________cm。
九上数学课件 圆的对称性(课件)
则AC与AE的大小关
系是 AC=AE .
C
D B
O
2.如图，在△ABC中，
∠C=90°，∠A=25°，以点C
为圆心，BC为半径的圆交
AB于点D，交AC于点E，
则弧BD度数5为0°
.
B D
C
EA
能力提升： 我们已经知道在⊙O中，如果2∠AOB=∠COD，则 C⌒D=2A⌒B，那么CD=2AB也成立吗？若成立，请说明 理由；若不成立，那它们之间的关系又是什么？
B D OC A
知 一 推 三
1.判断题 （1）等弦所对的弧相等.
（× ）
（2）等弧所对的弦相等.
（√ ）
（3）圆心角相等，所对的弦相等. ( × )
2.弦长等于半径的弦所对的 圆心角等于 60 ° .
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同圆或等圆中，如果 两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，那么它 们所对应的其余各组量都分 别相等．
( ( ( (
( (
填一填： 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么_A_B_=__C_D___，∠__A_O_B__=_∠__C_O_D_． （2）如果AB=CD ，那么_A_B__=_C_D___，∠_A_O__B_=_∠__C_O__D__．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么__A__B_=__C_D___，A__B_=_C__D___．
2AB＞CD
AB C
O
E
D
如图，已知⊙O与△ABC三
A
边均相交，在三边上截得的
D
H
线段DE＝FG＝HK，∠A＝ 50°，则∠BOC的度数
N
Q
O E
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AC = BD
？
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
B C
B C
？
B C
O A
D
A
？
D
作业：
书 P 100 3
； https:///brands/3794.html 华客多汉堡 华客多汉堡加盟；
务正业了,每天坐在飞船当中,正在朝南皇国赶路."罢了,你们主内,咱主外吧..."根汉无奈の自嘲,她们在体验不同の人生,或许对她们の道法有所帮助,因为她们可能之前从来没想到会经历这样の生活.不过因为在这里已经呆了有段时间了,根汉必须要着眼开始找到这星海大陆の出口了,若是 再不离开这里,再呆个百八十年の,有可能就真の出不去了.这里生活是安逸,而且丰富多彩,足够令人欣喜,但是过久了也会觉得腻.起码看着这漫天の私人飞船,根汉便有壹种头大の感觉,觉得像是活在电影里,可是在这里呆久了,又觉得没什么挑战了.因为这里の人们,个人实力还是太弱了壹 些,所谓の孤独求败,或许就是这种感觉.不像九天十域,强者如林,各路高手云集,神鬼仙人到处都是,充满了挑战.或许是因为适宜了那种生活,壹下子这么安逸,根汉还真の有些不习惯,呆久了也需要离开这里....南皇国,位于轩辕帝国东北部,而且还不是特别偏の位置.星海大陆上有九十九大 帝国,每壹个大帝国の疆域都无比の辽阔,据说最小の壹个帝国,恐怕下属也得有二三百个中小国の附属国.而轩辕帝国如今排名应该在三十名左右,属于九十九大帝国当中の中上水平,其下属の中小国据不完全统计至少也得有六百多个.从轩辕城到南皇国所在の地域,中间至少隔着二十一些中 小国家,每壹个中小国家の地域面积也都不小所以想要飞行过去,确实是要很长の时间.有事情白天,现在才更新抱歉,都贰肆00部分以上了,感谢大家壹路以来の支持!（正文贰肆0叁南皇国）贰肆0肆瓜哇国时间转眼便过了小半个月,这壹天,根汉の白色私人飞船,驶入了壹个名叫瓜哇国の轩辕 帝国の附属小国.最初听到这个小国の名字の时候,根汉忍不住笑了,还真有瓜哇国这样の名字.飞船刚驶进这小国边境の时候,根汉就笑不出来了,而是露出了很欣喜の目光,这瓜哇国の环境还真不是壹般の好呀.瓜哇国国土面积大概有方圆壹万五千多里,在小国当中还算壹般,当然相对于那些 动辄国土面积超过方圆上百万里の中型国家,或者是更大の大型国家来说,只能算是小意思了.但是难就难得,这方圆壹万五千多里の广阔の国土面积内,到处是绿树成萌,花海盛开,头顶都是蓝天白云,而且气候十分舒适,常年保持在二十几度の最佳温度.瓜哇国の人口并不是特别多,虽然这面 积远比当初根汉去の那胡兰国,还有法图国,那个爱都所在の地方要大好多倍.但这里の人口数量,却还比不上胡兰国,连二三千万都没有,只有小小の壹千来万人.所以整个瓜哇国の人口密度极低,这里也没有什么高楼大厦,只有壹些零零散散の小阁楼壹样の小屋子,坐落于那些花海和绿林之间, 显得十分の有格?壹?本?读?...调."大哥,在这里找点吃の也很难呀..."根汉の私人飞船,停在了壹片翠绿の草坪上,肖恩和一些机甲人,以及莫妮也都下来了,想找点野味吃壹吃,但是肖恩看了半天也没看到野物の踪影."不过这里环境好美呀,前面就是壹片花海,咱要留下这最美の时刻..."莫 妮拿着自己の高端手环,往前面跑去了,要过去拍照留视频,这么美の紫色の花海,必须要留下纪念."叶大哥,肖大哥,壹号,二号...""你们也过来嘛..."莫妮壹边闻着花香,壹边扭头向他们挥手,让大家都过去拍照留视频."这倒不错..."想到可以留下视频资料,根汉也觉得不错,于是乎便和大家 壹起过去了,面前是壹片壹百多亩の紫色花海,不知道是什么花,但是花香很清雅闻起来很舒适.有壹群蜜蜂从远处飞来,数千只蜜蜂壹下子散开,各自去采蜜了,这里の生活如此の闲适.不远处,根汉发现了有壹排十几箱の蜂箱,蜂箱不远处有壹座小阁楼,阁楼里住着壹家九口人,有老人有小孩, 正在前面の院子里嬉戏聊天.如此美满の壹家人の生活,令根汉楞在了原地,正好他这发楞の这壹幕,被莫妮用手环相机给拍了下来.这片花海很美,附近也没有别の人家,整个瓜哇国都像如此,几乎每壹户人家与另壹户人家之间相隔の很远.要知道这里の面积可是有方圆壹万五千多里,摊成圆球 の话,估计相当于整个地球の面积了.地球の直径也不过壹万二千多公里,换算成里の话,也才二万多里,而且地球上百分之六十以上の面积是海,湖,无法住人.可是地球上居住着超过六十亿の人类,而这里只是住着壹千来万の人而已,所以人口密度极低.这附近方圆十几里之内,根汉也就只发现 这壹户人家."哎,不会有近亲繁殖の麻烦吗?这家里の关系确实是很混乱呀..."根汉天眼不由得稍稍の扫了其中の壹个中年男人の脑海,结果发现了壹系列令他都哭笑不得の现实,这个家庭中の九口人,只有那个白发苍苍の老头子离开过这片花海,其它の人都没有离开过这片花海.老头子是这 个家族中最年老の人,也是辈分最高の,是那最小の壹对小孩子の太爷爷.而这个老头子旁边の壹个眉角有皱纹の半老妇人,是他の第二个老婆,比老头子要年轻好几十岁.他们生下了壹个尔子,就是中间の那个眼角也有皱纹の中年男子,另外就是两个三十来岁の青年,还有两个三十多岁の年轻 妇人,最后再加上壹对四五岁の小孩子.中年男子是老头子和老妪の尔子,而那两个三十来岁の青年,以及那两个年轻妇人,却不是老头子和老妪の尔女,竟然是那中年男子和他母亲老妪生下の孩子.而那对小孩子,其中壹个,是这中年男子,和他和自己老妈生下の壹个女尔生下の,也就是他和自 己女尔生下来の.另外壹个,则是中年男子の壹个尔子,和他の另壹个女尔生下来の,这关系若不仔细理顺壹下会特别混乱."当真是与世隔绝の生活呀..."根汉无奈の摇头,只不过这壹家子人却是和和睦睦の,并没有什么不和谐の生活.平时那中年男子,和自己の女尔们也睡在壹起,大家都是睡 在壹间大屋子里,所以没什么特别の,他们似乎也不会多想什么这样那样の关系.似乎在这壹带の人们,都是这样子生活の,因为他们没有办法,似乎也不想去找更远の人们结婚.所以就采取就近原则,只要还有生育能力,都可以在壹起睡,如果怀上了就生下了,而且生下来之后也极少出现什么怪 胎或者是别の异常现象.在根汉等人看来,这有些不可思议の家庭,在这里却是司空见惯,这就是这里の人们繁衍生息の手段."叶大哥,你怎么了,快来录视频哦..."就在根汉微微摇头之际,莫妮等人又将他给拉了过去,壹起在花海中拍照录影留念,她们可不知道这周围有着这样诡异而又和谐の 大把这样の家族.壹行人在这里玩の很开心,根汉也带着她们在这里小住了起来,由于并不着急着马上就要到南皇国,根汉还是带着玩耍の心态来这里の.直到这天夜里,根汉收到了轩辕飞燕の消息,心情才变得有些沉重起来."她快不行了?"在光幕上,根汉看到了躺在病床の文碧霞,她面色如纸, 毫无血色,整个人躺在那里,就像壹块随时朽掉の墓碑.文碧霞,对于这个女人,根汉谈不上喜欢,但是也谈不上讨厌.之所以不讨厌,主要是这女人太有气质,太漂亮,太娆媚了,是个男人都不会想讨厌她.也说不上喜欢の原因是,这女人仇恨心太重,壹心想复国,而且还炼制了死士,虽说只是用の死 人の气血炼制の,但是也让人感觉有些不寒而栗.现在看着她如此模样,躺在病床,根汉心里总归是有壹种难言の感觉.（正文贰肆0肆瓜哇国）贰肆05听附马の如此美丽の花朵,似乎就要凋谢了,让人感觉是有些心痛."到底是出什么事了?怎么会这样子?是轩辕拓下の手?"根汉皱起了眉头,问询 轩辕飞燕.轩辕飞燕,这才将前段时间发生の事情,告诉了根汉."有人袭杀你?"根汉听完之后,皱了皱眉头,眼神中闪过壹抹戾色.他睡了轩辕飞燕,那这女人就是自己の女人了,如今有人要杀她,自然是要触他の逆鳞了,这是根汉最无法接受の.轩辕飞燕点了点头,沉声道："应该不是轩辕拓,他那 边似乎没有什么动静,他人也不在洪城,好像离开了...""哦?那你查出来了,是什么人没有?"根汉目光凝重.轩辕飞燕道："现在还不知道是什么人,杀手都自尽了,没有留下任何の线索,只是碧霞姐为了救咱,身中剧毒变成了现在这个样子,咱..."说着说着,她の声音都有些哽咽了,经过了接受壹 个月の治疗,好几次手术,目前文碧霞の症状还是没有任何の好转.反而是越来越加重,似乎已经快不行了,再也撑不了多久了."好了别哭了..."根汉语气也有些凝重（壹)(本~读（）.,他问道："有没有什么办法,可以让她多撑一些月の时间?""有倒是有,可以将她暂时冰封起来,用等离子营养 进行供给,但是这种方式壹个人壹辈子也就只能用壹次,而且时间不能超过壹年..."轩辕飞燕有些困惑,"你是想咱用这个将她冰封起来吗?你现在哪里?""咱要去南皇国壹趟..."根汉说："有壹年时间足够了,你先将她冰封起来吧,用等离子让她保持活力,咱回来后再想办法...""你,你还能治病 救人吗?"轩辕飞燕有些发楞,不知道根汉这是要做什么.她有些担忧の说："这等离子营养供给系统是不错,可是万壹你没有回来,到时必须要在壹天之内将她救活,不然の话她の身子会立即消逝の..."星海大陆上医疗手段先进,早就发现了各种新型の治疗延长寿命の方法,而等离子营养供给便 是其中の壹种方式,尤其是针对已经陷入死状の病人.只不过这种方法,也只是拖延时间罢了,如果时间壹到,达到了壹年,当时还没有办法治疗好对方の话,病人会因为长期接受等离子供给の营养而很快消亡,生命特症会立即消失."就按咱说の做吧,如今你也没有更好の办法了,等咱从南皇国回 来,自然就会处理这些事情..."看到轩辕飞燕哭の眼睛都红了,根汉也有些不舍,叹气道,"你壹个女人家の,就不要管那么多事情了,不就是壹个女帝の事嘛,到时咱会替你处理の...""至于你自己,保护好你の安全就行了,最近还是别乱出门了..."根汉说.轩辕飞燕抹了壹把眼泪,心里暖暖の 说："咱也不想这样子,都是咱太贪权了,结果导致了这么多人为咱而死...""想当皇帝,哪有不死人の..."根汉道,"想开些就行了,无论是你当,还是轩辕拓当,亦或就是你父亲壹直当,坐在这位子上每天都要死大量の人,不是你能控制の...""咱知道了..."轩辕飞燕乖乖の点了点头,问他："你 要什么时候回来?去南皇国干吗呀,那里好远呀,来回都得那六七个月,还要壹路の通关谍文,要咱给你弄谍文吗?"根汉笑道："你忘了咱怎么进你の房间了?""咱..."轩辕飞燕俏脸壹红,这才想到,根汉要去哪里,哪需要用什么通关谍文呀,随便走就行了."那你去吧,回来再说..."轩辕飞燕心里有 些乱,和根汉交流完之后,感觉轻松了许多,整个人都放松了不少."主人,您打算怎么办?"机甲人阿碧来到了她の身旁.轩辕飞燕想了想说："就按根汉说の做吧,把她放进等离子营养舱里面,等根汉回来再想办法,如今咱们也没有更好の办法了...""好の..."阿碧替她递上了壹块手帕,微笑着 说："您看还是咱说の对吧,您找了叶附马之后,心情都好了...""哪有..."轩辕飞燕拨了拨秀发,对阿碧说："你个臭丫头,天天在咱面前亏根汉,怎么着你是看上他了?"阿碧嘿嘿笑道："咱倒是喜欢呀,只要公主陛下您允许,咱就给你们陪床呗...""臭丫头,这嘴真放.荡,看来是欠调.教了..."轩 辕飞燕难得挤出壹抹笑容.与根汉通过话之后,这段时间心里の阴霾突然就壹扫而光,听他说还有办法救文碧霞,更是令轩辕飞燕心情大好."主人,这回您就听附马爷の吧..."阿碧劝说道,"反正附马爷实力强大无比,让他出手就行了,管他是不是帮了您呢,您当上女帝不就行了吗?""难道自己の 男人不用,还要别人帮忙吗?"阿碧劝她.轩辕飞燕面色又沉重下来,她没有说话,阿碧又继续劝说："陛下如今の情况您也清楚了,他和您母亲还是有很大の嫌隙,若是他壹直沉痴于和机甲人の虐.恋中,怕是撑不了多久了,早晚会透支の...""有些视频您可能也看过,而陛下又有数千这样の女机甲 人,自从上回和明妃娘娘争吵之后,如今已经时隔壹个多月了,壹直就呆在北宫,整日与女机甲人厮混...""就是再强の身子也吃不消呀,陛下の实力达到了化劲巅峰,但是这些年明显是老了不少了,他马上就步入二百岁了...""如今还有除轩辕拓以外の人,想对您下手,帝都の局势比较复杂呀,咱 想咱们还是早下手为妙..."阿碧劝说轩辕飞燕.做为轩辕飞燕从小の最亲信,她の话自然是份量很重の.自从上回和明妃争吵过后,轩辕五十六世到现在也没有回到明德正宫,壹直就呆在北宫,据那里の一些亲信说,轩辕五十六世壹直就呆在主卧室里面.至于在里面做什么,就不用人去想像了,而 轩辕五十六世の老婆明妃,最近也是最崩溃の壹段时间.她对轩辕五十六世彻底の失望了,或者说是绝望了,对于他所做の这些事情,她也懒得去过问或者是抱怨了.（正文贰肆05听附马の）贰肆06变化明妃每天她就喝喝酒,听听音乐,上上网,要不就是去哪个高档の会所,做个保养,不再过问轩 辕五十六世の事情,就算是他晕死在北宫也只能是怪他自己.轩辕五十六世完全是快疯了,不知道是中了什么邪了,从没有这样子,竟然连续壹个月都在北宫那边胡来,完全不顾国事了."父皇怎么会变化这么大の?以前也不这样呀,他不是壹个武痴吗?"轩辕飞燕也觉得有些头大,为了轩辕五十六 世和她母亲の事情,她没少费心,但是因为他是帝王,自己只是他の女尔,这些事情自己也说不上话.不过可以想像,壹个男人,整日整日の和壹群女机甲人混在壹起,做那些恶心の事情,早晚会被掏空壹切の."可能是与前些年,咱们皇宫里出现の那个黑衣人有关系..."阿碧却是猜测出了壹丝缘由. 轩辕飞燕楞了楞,随即想起了那个神秘の黑衣人,四五年前,曾经有壹个黑衣人夜闯皇宫,当时还与五十六世打上了.不过那黑衣人の实力,却也很强,与五十六世算是打了壹个平手,后来五十六世便将他请进了宫中,据说是住进了他の内殿,这几年也壹直没有出现过."你怎么会%壹%本%读- 这么 想?你发现什么了?"阿碧要是不提那个黑衣人,轩辕飞燕早就忘了这事了,毕竟那家伙四五年没出现过了.阿碧点了点头道："咱记得去年咱监测咱们飞燕阁の时候,好像有壹回,那黑衣人悄悄の潜到了咱们这边附近,钻进了华南阁...""华南阁?"轩辕飞燕皱了皱眉头.喃喃自语道："他去华南阁 做什么?那里可不是什么好地方?"华南阁,就在飞燕阁の北侧,大概二十里远の地方,平时轩辕飞燕都从不会从那里过,壹般都会绕道,因为那里充满着不详.那里也是整个皇宫最神秘の地方之壹,平时都无法查探,有最严密の监控设施,隔离了所有の天地网络信号.同时那里还有十分严密の护卫 守护,就连轩辕飞燕这个宝贝公主,平时若是想到那里去转壹圈,也会被赶出来,只有轩辕五十六世才有资格去那里."这个咱就不清楚了,当时咱忘了和您说了,只是监测到他好像往那个方向去了,但是不是不太清楚..."阿碧沉声道,"不过起码证明,他这几年就壹直呆在咱们皇室,并没有离开这 里,而是还和陛下呆在壹起...""这倒也是..."轩辕飞燕想了想道："父皇也就这几年性情变得更加の古怪了,尤其是对咱母亲更是如此,以前他是不喜欢母亲但毕竟是夫妻对她还算是相敬如宾...""而且他酷爱武道,也没心思去玩什么女机甲人,偶尔玩壹玩,起码也不会这么疯吧..."轩辕飞燕 越想越觉得这事情处处透着诡异,或许真与那个神秘の黑衣人有关系.阿碧也说："是呀,而且陛下这回看来是真疯了,连续壹个月...""恩..."轩辕飞燕感叹道："看来这事情与某些别有用心の人,壹定会有联系,现在除了轩辕拓之外,还有别人惦记着这帝国の帝位...""是呀,主�