高三数学经典——解析几何
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2 2 x0 1 m2 x0 =－1， x0 1 m x0
（ D ）
∴（x0－1）· （m+x0）=－1，∴m=
1 x0 ， x0 1
图 4－17－2
当 x0＞1 时，m=
1 1 x0 (1 x0 ) 1 ≤－3， 1 x0 1 x0 1 1 x0 (1 x0 ) 1 ≥1，故选 D． 1 x0 1 x0
第 16 课时
主干知识整合
直线和圆
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．能根据条件熟练地求出直线的方程．掌握两条直线平行与垂直 的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线方程判定两条直线的位置关系．同时要 充分利用平面几何性质，采用“数形结合法”、“待定系数法”、“转换法”、“参数法”、“特殊值法”、“设而不 求法”等数学思想和方法灵活解题． 2．了解二元一次不等式（组）表示平面区域；了解线性规划的意义并会简单应用．能用线性规划的 方法解决两种重要的实际问题．一是给定一定数量的人力、物力资源、问怎样运用这些资源能使完成的任 务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务、问怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资 源最小． 3．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用 待定系数法求出圆的方程． 4．掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，会求圆的切线方程、弦长等．在解决直线与圆的位置关系的 问题时，常通过“数”和“形”的结合，充分利用圆的几何性质、简化运算．如利用圆心到直线的距离讨论直 线与圆的位置关系，利用过切点的半径解决有关切线问题，利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形 去解决与弦长有关的问题及直线与圆综合的问题．
则 F1 到直线 F2M 的距离为 A． （ ）
3 6 5
B．
5 6 6
C．
6 5
D．
Baidu Nhomakorabea
5 6
【例 2】 如图 4－17－2 所示已知抛物线 y=x2 上三点 A、B、C，且 A（－1，1） ，AB⊥BC，当 B 移 动时，点 C 的横坐标的取值范围是 A． （－∞，－3）B． ［－3，1］ C． ［1，+∞］ D． （－∞，－3）∪［1，+∞］ 【解析】 A（－1，1） ，B（x0， x02） ，C（m， m2） ， ∵AB⊥BC，∴
变式题 函数 y=asinx－bcosx 的一条对称轴方程为 x=4．则直线 ax－by+c=0 的倾斜角为 （
A．45° B．60° C．120° D．135°
y 0 y-1 【例 2】 实数 x、y 满足不等式组 x y 0 ，则 w= 的取值范围是 x+1 2 x y 2 0
D．2b
【例 3】 如图 4－17－3 所示，B（－c，0） ，C（c，0） ，AH⊥BC，垂足为 H， → =3HC →． 且BH →· → =0，求以 B、C 为焦点并且经过点 A 的椭圆的离心率； （1）若AB AC → 的比 λ，A、D 同在以 B、C 为焦点的椭圆上， （2）D 分有向线段AB 当－5≤λ≤ 图 4－17－3
1 A． ［－1， ］ 3 1 1 B． ［－ ， ］ 2 3 1 C． ［－ ，+∞］ 2 1 D． ［－ ，1） 2
（ D ）
y-1 【解析】点（x，y）在图 4－16－1 中阴影部分，w= 表示动点（x，y） x+1 1 与定点 A（－1，1）连线的斜率，l1 为斜率 k1=kAB=－ ．l2 与 x－y=0 平行， 2 1 ∴w∈［－ ，1） 2 图 4－16－1
7 时，求椭圆的离心率 e 的取值范围． 2
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经典二轮专题·04·解析几何
c → =3HC → ，所以 H（ c ，0） →· → =0， 【解】 （1）因为BH ，又因为 AH⊥BC，所以设 A（ ，y0） ，由AB AC 2 2
得（－c－
c c 3 2 2 ，－y0）· （c－ ，－y0）=0，即 y0 c ， 2 2 4
D．π－arctan（－3）
【解析】 由题意知
2 a 2 a 2b a 2 4b 2 ， 整理得 （a－2b） =0， a=2b， － =－2， 即 ax+by+1=0 b 2
-2-(-1) 1+(-2)× (-1) = 1 ，故选 B． 3 ）
的斜率为－2，x+y+2=0 的斜率为－1，两直线夹角的正切值 tanα= π
所以 AB
(
3c 2 3c 2 c 3c 2 = 3c， AC ( ) 2 ＝C ) 2 4 2 4
c = 3－1． a
椭圆长轴 2a= AB AC =（ 3+1）c，所以，e=
c c y0 → 的比为 λ，所以 （2）设 D（x1，y1） ，因为 D 分有向线段AB ， y1 ，设椭圆方程为 x1 2 1 1
经典二轮专题·04·解析几何
专题四 解析几何
知识网络图解
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经典二轮专题·04·解析几何
考情分析及命题趋势
解析几何是用代数方法来研究几何问题一门科学，包括两个方面：一是根据已知条件求曲线的方程， 二是根据方程讨论曲线的性质．解析几何是数形结合的典范，它与函数、数列、不等式、向量、导数等知 识紧密联系，融为一体，同时又对运算技能的要求较高，是历年高考重点考查内容之一，每年的高考试题 中一般有 2～3 道客观题和一道主观题，约占总分值的 20%左右．客观题多为容易题或中档题，主要考查 学生的基础知识，基本方法和技能，主观题综合性很强，常作为压轴题出现在试卷中，它主要考查学生数 形结合、等价转化，分类整合和函数方程思想的灵活运用以及分析问题、解决问题，探究猜想等诸方面的 能力．特别是新课改以来，向量、导数作为一种很重要的数学工具，已渗透到解析几何中，是今后高考命 题又一热点之一，再者线性规划问题应用广泛，也不容忽视． 本章常考的考点有直线与圆的方程及位置关系，线性规划问题，圆锥曲线的有关基本量的计算，直线 与圆锥曲线的位置关系，轨迹问题，对称问题，范围及最值、定值问题等．其中以圆锥曲线为载体，以向 量、导数为工具，求参数的范围问题是近年高考的热点，值得关注．
整理得 e2=
7 1 1 2 3 3 2 1 ，因为－5≤λ≤ ，所以 e2∈［ , ］ ，又 0＜e＜1，所以 ≤e≤ ． 1 1 2 3 2 3 2
x2 y2 【例 4】 若 F1、F2 为双曲线 2 2 =1 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点 M a b
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经典二轮专题·04·解析几何
图 4－16－3
方法技巧提炼
1．用反三角函数表示倾斜角时，要注意反正切函数值域（
2
，
） ，反三角函数值域与倾斜角范围 2
［0， ）并不完全一致需要仔细分析，含有字母的问题往往要分类讨论。 2．判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两 条直线 l1、l2 斜率都存在，且均不重合的条件下，才有与 l1// l2 k1=k2 与 l1⊥l2 k1k2=－1． 3． 求两条直线相交所成的角， 一定要分清到角是从 l1 到 l2 还是 l2 到 l1 的角； 在运用公式 d 求平行直线间的距离时，一定要把 x，y 项系数化成相等的系数． 4．对线性目标函数 z=Ax+By 中的 B 的符号一定要注意．当 B＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最 大时，z 值最大，在 y 轴上截距最小时，z 值最小；当 B＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大． 5．求圆的方程应注意根据所给条件，恰当选择方程的形式，用待定系数法求解，讨论点与圆、直线 与圆、圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质解题，减少运算量．
变式题 已知有三个居民小区 A、B、C 构成三角形 ABC，这三个小区分别相距 BC=800m、AB=700m、
AC=300m，为解决居民就业、服务小区生活，在与 A、B、C 三个小区距离相等处建造一个食品加工厂， 同时为了不影响小区居民的正常生活和休息，在厂房的四周需要安装隔音窗或建造隔音围墙．根据以往经 验，机器从厂房发出的噪音是 85 分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过 50 分贝，每安装一 道隔音窗降低 3 分贝，花费 3 万元．隔音窗不能超过 3 道；每建造一堵隔音墙降低 15 分贝，花费 10 万元； 距离厂房平均每 25m 噪音均匀降低 1 分贝． （1）求加工厂距 A 区的距离； （ 3 ≈1.732，精确到 1m） （2）怎样建造隔音设备，使其隔音设备成本最低？ 【例 3】 2005 年· 江苏如图 4－16－2 所示， 圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1， O1O2=4．过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN（M、N 为切点） ，使得 PM= 2 PN．试建立平面直角坐标系，并求动点 P 的轨迹方程． 【解】 以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴，建立如图 4-16-3 所示的坐标系，则 O1（－2，0） ，O2（2，0） ．由已知 PM= 2PN，∴PM =2PN ．
x2 y2 =1（a＞b＞0） ，将 A、D 点坐标代入椭圆方程， a2 b2
得：
e 2 y0 =1， 4 b2
2
2
①
e 2 (1 2 ) 2 y0 1 ， 2 2 4 (1 ) b (1 ) 2
由①得
2 y0 e2 1 ，代入②， b2 4
②
C1 C2 A2 B 2
第 17 课时
主干知识整合
圆锥曲线的基本问题
1．掌握椭圆、双曲线与抛物线的定义，并会利用定义解题． 2．熟记椭圆、双曲线与抛物线的标准方程及其简单的几何性质，能熟练地进行基本量 a，b，c，e，p 间的互求． 3．掌握求椭圆、双曲线与抛物线标准方程的基本步骤——①定型（确定圆锥曲线类型） ；②定位（判 断它的中心在原点、焦点在哪条坐标轴上） ；③定量（建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量 a、b 的值） ．
【解析】 由已知得
p 2b 2 =2p，c= ， 2 a
图 4－17－1
则 b2=2ac，∴a2－c2=2ac，∴1－e2=2e，即 e2+2e－1=0，则 e= 2－1，故选 A．
x2 y2 变式题 2005 年· 全国卷Ⅱ已知双曲线 =1 的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴， 6 3
真题新题探究
【例 1】 已知椭圆 C1∶
x2 y2 2 =1 的一条通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线 C2：y2=2px 2 a b
（ A ） D．
1 2
（p＞0）的通径重合，则椭圆的离心率为 A． 2－1 B．
2 2
C． 3－1
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经典二轮专题·04·解析几何
2 又∵两圆的半径均为 1，所以 PO2 ． 1－1=2（PO2－1） 2 2 2 设P （x， y） ， 则 （x+2） +y2－1=2[ （ （x－2） +y2－1） ]， 即 （x－6） +y2=33． 2 2
图 4－16－2
∴所求动点 P 的轨迹方程为（x－6）2+y2=33（或 x2+y2－12x+3=0） ． 【评析】 本题考查求轨迹方程的基本方法及运算能力．
真题新题探究
π 【例 1】 函数 y=asinx+2bcosx 图象的一条对称轴方程为 x= ，则直线 ax+by+1=0 与直线 x+y+2=0 的 4 夹角大小为
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（ B ）
经典二轮专题·04·解析几何
A．arctan3
B．arctan
1 1 C．arctan ( ) 3 3
x2 y2 2 =1（b＞0）上变化，则 x2+2y 的最大值为（ 4 b b2 4 C． 4
）
当 x0＜1 时，m=
变式题 2005 年· 重庆若动点（x，y）在曲线
b2 ＜b＜ 4) 4(0 A． 4 2b(b 4)
b2 ＜b＜ 4) 4(0 B． 4 2b(b 2)
（ D ）
∴（x0－1）· （m+x0）=－1，∴m=
1 x0 ， x0 1
图 4－17－2
当 x0＞1 时，m=
1 1 x0 (1 x0 ) 1 ≤－3， 1 x0 1 x0 1 1 x0 (1 x0 ) 1 ≥1，故选 D． 1 x0 1 x0
第 16 课时
主干知识整合
直线和圆
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．能根据条件熟练地求出直线的方程．掌握两条直线平行与垂直 的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线方程判定两条直线的位置关系．同时要 充分利用平面几何性质，采用“数形结合法”、“待定系数法”、“转换法”、“参数法”、“特殊值法”、“设而不 求法”等数学思想和方法灵活解题． 2．了解二元一次不等式（组）表示平面区域；了解线性规划的意义并会简单应用．能用线性规划的 方法解决两种重要的实际问题．一是给定一定数量的人力、物力资源、问怎样运用这些资源能使完成的任 务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务、问怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资 源最小． 3．掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用 待定系数法求出圆的方程． 4．掌握直线与圆、圆与圆的位置关系，会求圆的切线方程、弦长等．在解决直线与圆的位置关系的 问题时，常通过“数”和“形”的结合，充分利用圆的几何性质、简化运算．如利用圆心到直线的距离讨论直 线与圆的位置关系，利用过切点的半径解决有关切线问题，利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形 去解决与弦长有关的问题及直线与圆综合的问题．
则 F1 到直线 F2M 的距离为 A． （ ）
3 6 5
B．
5 6 6
C．
6 5
D．
Baidu Nhomakorabea
5 6
【例 2】 如图 4－17－2 所示已知抛物线 y=x2 上三点 A、B、C，且 A（－1，1） ，AB⊥BC，当 B 移 动时，点 C 的横坐标的取值范围是 A． （－∞，－3）B． ［－3，1］ C． ［1，+∞］ D． （－∞，－3）∪［1，+∞］ 【解析】 A（－1，1） ，B（x0， x02） ，C（m， m2） ， ∵AB⊥BC，∴
变式题 函数 y=asinx－bcosx 的一条对称轴方程为 x=4．则直线 ax－by+c=0 的倾斜角为 （
A．45° B．60° C．120° D．135°
y 0 y-1 【例 2】 实数 x、y 满足不等式组 x y 0 ，则 w= 的取值范围是 x+1 2 x y 2 0
D．2b
【例 3】 如图 4－17－3 所示，B（－c，0） ，C（c，0） ，AH⊥BC，垂足为 H， → =3HC →． 且BH →· → =0，求以 B、C 为焦点并且经过点 A 的椭圆的离心率； （1）若AB AC → 的比 λ，A、D 同在以 B、C 为焦点的椭圆上， （2）D 分有向线段AB 当－5≤λ≤ 图 4－17－3
1 A． ［－1， ］ 3 1 1 B． ［－ ， ］ 2 3 1 C． ［－ ，+∞］ 2 1 D． ［－ ，1） 2
（ D ）
y-1 【解析】点（x，y）在图 4－16－1 中阴影部分，w= 表示动点（x，y） x+1 1 与定点 A（－1，1）连线的斜率，l1 为斜率 k1=kAB=－ ．l2 与 x－y=0 平行， 2 1 ∴w∈［－ ，1） 2 图 4－16－1
7 时，求椭圆的离心率 e 的取值范围． 2
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经典二轮专题·04·解析几何
c → =3HC → ，所以 H（ c ，0） →· → =0， 【解】 （1）因为BH ，又因为 AH⊥BC，所以设 A（ ，y0） ，由AB AC 2 2
得（－c－
c c 3 2 2 ，－y0）· （c－ ，－y0）=0，即 y0 c ， 2 2 4
D．π－arctan（－3）
【解析】 由题意知
2 a 2 a 2b a 2 4b 2 ， 整理得 （a－2b） =0， a=2b， － =－2， 即 ax+by+1=0 b 2
-2-(-1) 1+(-2)× (-1) = 1 ，故选 B． 3 ）
的斜率为－2，x+y+2=0 的斜率为－1，两直线夹角的正切值 tanα= π
所以 AB
(
3c 2 3c 2 c 3c 2 = 3c， AC ( ) 2 ＝C ) 2 4 2 4
c = 3－1． a
椭圆长轴 2a= AB AC =（ 3+1）c，所以，e=
c c y0 → 的比为 λ，所以 （2）设 D（x1，y1） ，因为 D 分有向线段AB ， y1 ，设椭圆方程为 x1 2 1 1
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专题四 解析几何
知识网络图解
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经典二轮专题·04·解析几何
考情分析及命题趋势
解析几何是用代数方法来研究几何问题一门科学，包括两个方面：一是根据已知条件求曲线的方程， 二是根据方程讨论曲线的性质．解析几何是数形结合的典范，它与函数、数列、不等式、向量、导数等知 识紧密联系，融为一体，同时又对运算技能的要求较高，是历年高考重点考查内容之一，每年的高考试题 中一般有 2～3 道客观题和一道主观题，约占总分值的 20%左右．客观题多为容易题或中档题，主要考查 学生的基础知识，基本方法和技能，主观题综合性很强，常作为压轴题出现在试卷中，它主要考查学生数 形结合、等价转化，分类整合和函数方程思想的灵活运用以及分析问题、解决问题，探究猜想等诸方面的 能力．特别是新课改以来，向量、导数作为一种很重要的数学工具，已渗透到解析几何中，是今后高考命 题又一热点之一，再者线性规划问题应用广泛，也不容忽视． 本章常考的考点有直线与圆的方程及位置关系，线性规划问题，圆锥曲线的有关基本量的计算，直线 与圆锥曲线的位置关系，轨迹问题，对称问题，范围及最值、定值问题等．其中以圆锥曲线为载体，以向 量、导数为工具，求参数的范围问题是近年高考的热点，值得关注．
整理得 e2=
7 1 1 2 3 3 2 1 ，因为－5≤λ≤ ，所以 e2∈［ , ］ ，又 0＜e＜1，所以 ≤e≤ ． 1 1 2 3 2 3 2
x2 y2 【例 4】 若 F1、F2 为双曲线 2 2 =1 的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点 M a b
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图 4－16－3
方法技巧提炼
1．用反三角函数表示倾斜角时，要注意反正切函数值域（
2
，
） ，反三角函数值域与倾斜角范围 2
［0， ）并不完全一致需要仔细分析，含有字母的问题往往要分类讨论。 2．判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形，在两 条直线 l1、l2 斜率都存在，且均不重合的条件下，才有与 l1// l2 k1=k2 与 l1⊥l2 k1k2=－1． 3． 求两条直线相交所成的角， 一定要分清到角是从 l1 到 l2 还是 l2 到 l1 的角； 在运用公式 d 求平行直线间的距离时，一定要把 x，y 项系数化成相等的系数． 4．对线性目标函数 z=Ax+By 中的 B 的符号一定要注意．当 B＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最 大时，z 值最大，在 y 轴上截距最小时，z 值最小；当 B＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大． 5．求圆的方程应注意根据所给条件，恰当选择方程的形式，用待定系数法求解，讨论点与圆、直线 与圆、圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质解题，减少运算量．
变式题 已知有三个居民小区 A、B、C 构成三角形 ABC，这三个小区分别相距 BC=800m、AB=700m、
AC=300m，为解决居民就业、服务小区生活，在与 A、B、C 三个小区距离相等处建造一个食品加工厂， 同时为了不影响小区居民的正常生活和休息，在厂房的四周需要安装隔音窗或建造隔音围墙．根据以往经 验，机器从厂房发出的噪音是 85 分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过 50 分贝，每安装一 道隔音窗降低 3 分贝，花费 3 万元．隔音窗不能超过 3 道；每建造一堵隔音墙降低 15 分贝，花费 10 万元； 距离厂房平均每 25m 噪音均匀降低 1 分贝． （1）求加工厂距 A 区的距离； （ 3 ≈1.732，精确到 1m） （2）怎样建造隔音设备，使其隔音设备成本最低？ 【例 3】 2005 年· 江苏如图 4－16－2 所示， 圆 O1 和圆 O2 的半径都等于 1， O1O2=4．过动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN（M、N 为切点） ，使得 PM= 2 PN．试建立平面直角坐标系，并求动点 P 的轨迹方程． 【解】 以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为 x 轴，建立如图 4-16-3 所示的坐标系，则 O1（－2，0） ，O2（2，0） ．由已知 PM= 2PN，∴PM =2PN ．
x2 y2 =1（a＞b＞0） ，将 A、D 点坐标代入椭圆方程， a2 b2
得：
e 2 y0 =1， 4 b2
2
2
①
e 2 (1 2 ) 2 y0 1 ， 2 2 4 (1 ) b (1 ) 2
由①得
2 y0 e2 1 ，代入②， b2 4
②
C1 C2 A2 B 2
第 17 课时
主干知识整合
圆锥曲线的基本问题
1．掌握椭圆、双曲线与抛物线的定义，并会利用定义解题． 2．熟记椭圆、双曲线与抛物线的标准方程及其简单的几何性质，能熟练地进行基本量 a，b，c，e，p 间的互求． 3．掌握求椭圆、双曲线与抛物线标准方程的基本步骤——①定型（确定圆锥曲线类型） ；②定位（判 断它的中心在原点、焦点在哪条坐标轴上） ；③定量（建立关于基本量的方程或方程组，解得基本量 a、b 的值） ．
【解析】 由已知得
p 2b 2 =2p，c= ， 2 a
图 4－17－1
则 b2=2ac，∴a2－c2=2ac，∴1－e2=2e，即 e2+2e－1=0，则 e= 2－1，故选 A．
x2 y2 变式题 2005 年· 全国卷Ⅱ已知双曲线 =1 的焦点为 F1、F2，点 M 在双曲线上且 MF1⊥x 轴， 6 3
真题新题探究
【例 1】 已知椭圆 C1∶
x2 y2 2 =1 的一条通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线 C2：y2=2px 2 a b
（ A ） D．
1 2
（p＞0）的通径重合，则椭圆的离心率为 A． 2－1 B．
2 2
C． 3－1
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2 又∵两圆的半径均为 1，所以 PO2 ． 1－1=2（PO2－1） 2 2 2 设P （x， y） ， 则 （x+2） +y2－1=2[ （ （x－2） +y2－1） ]， 即 （x－6） +y2=33． 2 2
图 4－16－2
∴所求动点 P 的轨迹方程为（x－6）2+y2=33（或 x2+y2－12x+3=0） ． 【评析】 本题考查求轨迹方程的基本方法及运算能力．
真题新题探究
π 【例 1】 函数 y=asinx+2bcosx 图象的一条对称轴方程为 x= ，则直线 ax+by+1=0 与直线 x+y+2=0 的 4 夹角大小为
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（ B ）
经典二轮专题·04·解析几何
A．arctan3
B．arctan
1 1 C．arctan ( ) 3 3
x2 y2 2 =1（b＞0）上变化，则 x2+2y 的最大值为（ 4 b b2 4 C． 4
）
当 x0＜1 时，m=
变式题 2005 年· 重庆若动点（x，y）在曲线
b2 ＜b＜ 4) 4(0 A． 4 2b(b 4)
b2 ＜b＜ 4) 4(0 B． 4 2b(b 2)