高等代数习题第二章

合集下载

《高等代数》第二章习题及答案

习题2.1

1. 设m,n 是不同的正整数，A 是m ×n 矩阵，B 是n ×m 矩阵，下列运算式中有定义的有

哪几个？

A+B ，AB ，BA ，AB T ，A-B T 答只有AB 和A-B T 有定义． 2. 计算

①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134 ③()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛213321 ④()321213⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛

⑤()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0713******** ⑥⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321

012100010501 ⑦()⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213332

232221

131211

x x x a a a a a a a a a x x x

解①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322113075321134=⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-922147117

②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213075321134=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22717 ③()⎪⎪⎪

⎭⎫

⎝⎛213321=()11

④()321213⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛642321963 ⑤()⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-0713********=()111813

⑥⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b a 321

012100010501=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-+-c b a c b a 32155125 ⑦()⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213332

232221

131211

x x x a a a a a a a a a x x x

高等代数课后答案高等教育出版社

高等代数习题答案（一至四章）

第一章多项式习题解答

1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262

()99

r x =--

（2）2

()1q x x x =+-，()57r x x =-+

2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ，（2）由22

(2)010m p m q p m ⎧--=⎪

⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212

q p m =⎧⎨+=⎩。 3、（1）4

()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--

4、（1）有综合除法：2

()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）2

()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++

（3）2

()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++

5、（1）x+1 （2）1 （3）2

1x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222

()133

v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 3

()32v x x x x =+--

7、02u t =⎧⎨

=⎩或2

u t =-⎧⎨=⎩

8、思路：根具定义证明

证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。即证。

高等代数作业第二章行列式答案

高等代数第四次作业

第二章行列式 §1—§4

一、填空题

1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，5

2．四阶行列式4

4⨯=ij

a D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a

3．设

.21

22221

112

d a a a a a a a a a nn

n n n n =Λ

ΛΛΛΛ

ΛΛ

则._____1

22211

121=n n nn

n n

a a a a a a a a a Λ

ΛΛΛΛ

(1)

2(1)n n d -- 4．行列式1

---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题

1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （）√

2. 设d =

n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211

则1211122221

n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d （）×

3. 设d =

n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ21

22221

11211

则

d a a a a a a a a a n

nn n n n

-=11211

2122221ΛΛΛ

ΛΛΛ

ΛΛ（）×

abcd z

z d

y y c x b a =000000 ( ) √ 5.

abcd d

x b y x a z y x

-=0

000

00 （）× 6.

高等代数Ⅰ第二章线性方程组测试题

（）
⎧ 四、当 a, b 取向值时，方程组 ⎪⎨2x1
+
x1 + x2 − x3
(a + 2)x2 − (b
=1
+ 2)x3
=
3
无解？有唯一解？有无穷多
⎪⎩ − 3ax2 +(a + 2b)x3 = −3
解？（10 分）
⎧
五、已知方程组
⎪ ⎨
x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1 x1 − 2x2 + x3 − x4 = 3
第二章 ——线性方程组测试题
一、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）
⎧ a11x1 + a12 x2 + "a1n xn = b1
⒈设线性方程组
⎪⎪ ⎨
⎪
a21 x1
+ a22 x2 + "a2n xn """"
=
b2
①பைடு நூலகம்
⎪⎩as1x1 + as2 x2 + "+ asn xn = bs
如果 s < n ，那么①（）
η1,η2 ,",ηn−1 线性无关。（10 分）
八、已知α1
=
(0,1,0),α 2
=
⎧

高等代数_李海龙_习题第2章多项式

第二章多项式

2.1 一元多项式的定义和运算

1．设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2

，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0．

证明概要：比较等式两边的次数可证．

2．求一组满足上一题中等式的不全为零的复系数多项式f (x )，g (x )和h (x )．解：取f (x ) = 2ix ，g (x ) = i (x +1)，h (x ) = x-1即可．或取f (x ) = 0，g (x ) = 1，h (x ) = i 即可． 3．证明：

(1)(1)(1)

1(1)

(1)()

(1)

x x x x x n x n x x n n ---+-+-+---=-

证明提示：用数学归纳法证之．

2.2 多项式的整除性

1．求f (x )被g (x )除所得的商式和余式：

(i) 14)(24--=x x x f ,13)(2

--=x x x g

(ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3

+-=x x x g

解：(i) 35)(,2)(2

--=--=x x r x x x q

(ii) 56)(,2)(2

2++=+=x x x r x x q

2．证明：k

x f x )(|必要且只要)(|x f x

证明：充分性显然．现证必要性．反证法：若x 不整除)(x f ，则c x xf x f +=)()(1，且

0≠c ．两边取k

次方得k k c x xg x f +=)()(，其中0≠k

高等代数第二章矩阵

k
K
k
kE
k
矩阵的数乘运算满足运算律：
(1) 1 A =A (2) k（l A）=（k l）A= l（k A） (3) （k ＋ l）A = k A ＋ l A (4) k（A ＋ B）= k A ＋ k B 其中 k 、l 为数. 矩阵的加法与数乘运算统称为矩阵的线性运算.
例2
设
A
3 0
．则必有
x = 3 ， y = 4 ， z = 5 ， a = 2 ， b = －1 ， c = 0. 1．矩阵的加法
定义 2.3 设两个同型矩阵 A = (aij ) m n ，B = (bij ) m n ．称矩阵 (aij bij ) m n 为矩阵 A
与 B 的和，记作 A ＋ B ．即
…
B1 B2 … Bn a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …………
Am
am1 am2 … amn
上述调运方案可简略地表示为：
a11
a21
am1
a12 a22
am2
a1n
a2n
amn
.
2.（成绩表）甲、乙、丙三名学生的考试成绩如下表：
英语
数学
计算机金融学
C= (cij )m n =A B
其中
s
cij =
aik bkj

高等代数第2章行列式

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
第2章行列式
§2.1 2阶、3阶行列式 §2.2 n 元排列 §2.3 n 阶行列式 §2.4 n 阶行列式的性质 §2.5 行列式按一行(列)展开 §2.6 Cramer 法则 §2.7 Laplace 定理
2.1.2 二阶行列式
用消元法解二元线性方程组
aa1211
x1 x1
通常记为 (i1,i2 , ,in )
定义6 逆序数为奇数的排列奇排列. 逆序数为偶数的排列偶排列.
一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半.
2.2.2 排列的奇偶性
定义7
把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换.
将相邻的两个数对换，称为相邻对换.
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.
二阶与三阶行列式的计算对角线法则
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21.

高等数学线性代数习题答案第二章

第二章

习题2-1

1. 证明：若lim n →∞

x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞

x n +k =a .

证：由lim n n x a →∞

=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有

n x a ε-<

取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有

n k x a ε+-<

由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞

2. 证明：若lim n →∞

x n =a ,则lim n →∞

∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.

证：

lim 0,,.

使当时，有n x n x a

N n N x a εε→∞

=∴∀>∃>-<

而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>

n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<

由数列极限的定义得 lim n n x a →∞

考察数列 (1)n

n x =-，知lim n n x →∞

不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞

=，

所以前面所证结论反之不成立。

3. 证明：lim n →∞

x n =0的充要条件是lim n →∞

∣x n ∣=0.

证：必要性由2题已证，下面证明充分性。即证若lim 0n n x →∞

=，则lim 0n n x →∞

=，

由lim 0n n x →∞

=知，0ε∀>，N ∃，设当n N >时，有

高等代数习题及参考答案

，
即证得
。
12．设与同上题，且是任意个数，显然
适合条件。
这称为拉格朗日(Lagrange)插值公式。
利用上面的公式：
1）一个次数的多项式，它适合条件：
2）一个二次多项式，它在处与函数有相同的值；
3）一个次数尽可能低的多项式，使
解1）设，且
，
将它们代入（即），可得
。
2）已知
证采用反证法。设可约，则有，那么由假设可得
或，
这是不可能的，因为后面两个多项式的次数低于的次数。于是得证。
7．证明：次数且首项系数为1的多项式是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件为：对任意的多项式必有，或者对某一正整数。
证必要性：设（其中是不可约多项式），则对任意多项式，有
指数组
对应的方幂乘积
4 2 0
4 1 1
3 3 0
3 2 1
2 2 2
原式= (1)
只要令 ,则原式左边。另一方面，有，
代入（1）式，得。再令，得。
令，得
（2）
令得
（3）
由（2），（3）解得。因此
原式。
4）原式=
指数组
对应的方幂乘积
2 2 0 0
2 1 1 0
1 1 1 1
设原式
证存在多项式，，使

高等代数作业第二章行列式答案

高等代数第四次作业

第二章行列式 §1—§4

一、填空题

1.填上适当的数字,使72__43__1为奇排列、 6,5

2.四阶行列式4

4⨯=ij

a D 中,含24a 且带负号的项为_____、 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a

3.设.21

22221

112

d a a a a a a a a a nn

n n n n =Λ

ΛΛΛΛ

ΛΛ

则._____1

22211

121=n n nn

n n

a a a a a a a a a Λ

ΛΛΛΛ

(1)

2(1)n n d -- 4.行列式1

---x 的展开式中, x 的系数就是_____、 2 二、判断题

1、若行列式中有两行对应元素互为相反数,则行列式的值为0 ( )√

2、设d =

n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211

则1211122221

n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d ( )×

3、设d =

n n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛ

ΛΛΛ21

22221

11211

则

d a a a a a a a a a n

nn n n n

-=11211

2122221ΛΛΛ

ΛΛΛ

ΛΛ( )×

4、 abcd z

z z d

y y c x b a =000000

( ) √ 5、

abcd d

x b y x a z y x

-=0

000

00 ( )× 6、

第二章高等数学基础知识-高等代数题库1-1-8

第二章高等数学基础知识-高等代数题库1-

1-8

问题：

[单选]设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，其中A、B均为m×n矩阵，现有以下4个命题

①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则rA≥rB；

②若rA≥rB，则Ax=0的解均是Bx=0的解；

③若Ax=0与Bx=0同解，则rA=rB；

④若rA=rB，则Ax=0与Bx=0同解。

以上命题中正确的是（）。

A.①②

B.①③

C.②④

D.③④

因为①中条件保证了n-r（A）≤n-r（B），所以r（A）≥r（B），而进一步易知③正确，而②、④均不能成立。

问题：

[单选]设是AX=b的三个解，则下列（）也是AX=b的解.

A.A

B.B

C.C

D.D

问题：

[单选]设A，B，C均为非零二阶矩阵，则下列各式正确的是（）。

A.AB=BA

B.（ABC=A（BC

C.若AB=0，则A=0或B=0

D.若AB=C，则B=CA-

/ NBA新闻

问题：

[单选]设，则（AB）-1=（）。

A.A

B.B

C.C

D.D

问题：

[单选]设a是数域P中一个固定的数，要使是Pn的子空间，则必有（）。

A.a=0

B.a≠0

C.a≤0

D.a≥0

问题：

[单选]设，则（）。

A.A与B既合同又相似

B.A与B合同但不相似

C.A与B不合同但相似

D.A与B既不合同又不相似

问题：

[单选]n级复矩阵A的所有特征值的乘积等于（）。

A.|A|

B.（-1）n|A|

C.（-1）n+1|A|

D.（-1）n-1|A|

考研必备高等代数第二章第六节

下面就来证明 Aij = (-1)i + j Mij .
证明
我们先由行列式的定义证明 n 级与 n - 1 级行
列式的下面这个关系，
a11 a21 an 1,1 0
a12 a22 0

a1,n 1 a2,n 1
a1n a2 n an 1,n 1
an 1, 2 an 1,n 1 0
图2–2
五、行列式计算举例
例 2 任意输入一个行列式，利用下列展开式
模型计算之.
例 3 行列式
1 a1 d a a
证明
2 1
1 a2 a a
2 2
1 a3 a a
2 3

1 an a
2 n

n 1 1

n 1 2

n 1 3
a
n 1 n
称为 n 级的范德蒙德 (Vandermonde) 行列式.
d
1 j i n
(a
i
a j ).
证明
对 n 作归纳法.
当 n = 2 时，
1 a1
结论成立.
1 a2
a2 a1 ,
设对于 n - 1 级的范德蒙德行列式结论
成立，现在来看 n 级的情形. 在 n 级范德蒙德行列式中，第 n 行减去第 n - 1 行的 a1 倍，第 n - 1 行

高等代数习题解答(第二章)

高等代数习题解答

第二章行列式

1．决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）134782695； 2）217986354； 3）987654321．

1）解 ()134********τ=，排列134782695是偶排列． 2）解 ()21798635418τ=，排列217986354是偶排列． 3）解 ()98765432136τ=，排列987654321是偶排列． 2．选择i 与k 使

1）1274569i k 成偶排列； 2）1254897i k 成奇排列．

1）解当8,3i k ==时，()12748563910τ=，排列127485639为偶排列． 2）解当3,6i k ==时，()1325648975τ=，排列132564897为奇排列． 3．写出把排列12435变成排列25341的那些变换．解 (1,2)

(1,5)

(4,3)

12435214352543125341→→→．

4．决定排列(1)21n n - 的逆序数，并讨论它的奇偶性．解 ()(1)

(1)21012(2)(1)2

n n n n n n τ--=++++-+-=

．当4n k =或41()n k k +=+∈ 时，排列为偶排列；当42n k =+或43()n k k +=+∈ 时，排列为奇排列．

5．如果排列121n n x x x x - 的逆序数为k ，排列121n n x x x x - 的逆序数是多少？

解由于一个n 级排列中，构成逆序的数对与构成顺序的数对总数是2

(1)

n n n C -=

高等代数课后答案高等教育出版社

高等代数习题答案（一至四章）

第一章多项式习题解答

1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262

()99

r x =--

（2）2

()1q x x x =+-，()57r x x =-+

2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ，（2）由22

(2)010m p m q p m ⎧--=⎪

⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212

q p m =⎧⎨+=⎩。 3、（1）4

()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--

4、（1）有综合除法：2

()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）2

()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++

（3）2

()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++

5、（1）x+1 （2）1 （3）2

1x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222

()133

v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 3

()32v x x x x =+--

7、02u t =⎧⎨

=⎩或2

u t =-⎧⎨=⎩

8、思路：根具定义证明

高等代数第二章课后习题

4.决定排列 n(n-1)…21 的逆序数，并讨论它的奇偶性 .
1
第二章行列式
1.如果排列 x1 x2...xn-1xn 的逆序数为 k 排列 xnxn-1...x2x1 的逆序数是多少？ 2.在 6 级行列式的展开式中，a23 a31 a a 42 56 a14 a65，a32 a43 a14 a51 a66 a25 这两项应带有什么符号？ 3. 写出 4 级行列式中所有带负号，并且包含因子 a23 的项 .
1
第章行列式 2
第二章行列式
6.由行列式定义计算
2x x 1 2
f（x）= 1 3
x 1 -1 2x 1
1 11 x
中 x4 与 x3 的系数，并说明理由.
3
第二章行列式
证明奇偶排列各半.
8.设
1
P(x)=
1 .
.
.Fra Baidu bibliotek
1
x
x2...xn-1
a1 a12 ...a1n-1 . .. . .. . ..
第二章行列式
第二章行列式
第二章行列式
第二章行列式
第二章行列式
x1-m
x2
…
xn
x1
x2-m … xn
3）
.
.
.
.
. .
.

线性代数高等教育出版社第二版卢刚主编课后习题答案第二章

3 1 1 1 2 1 1 1
det B1 1
3
0
12
3
0
2 8 4 0 1
4 3 2
3 7 3 1 2 7 3 1
10 9 0
2 8 4 0 4 10 9 440 72 4 32 128
4 3 2
8 4
1 4 3 4
1 2 4 4
0 3 1 1
det B2 1 1
0
48 1
0 1 3 1
x1 x2
2 c 3 2c
x3 c
4 解:齐次线性方程组有非 0 解的充要条件是系数行列式为 0. 即:
2 1 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
det A 3 4 7 4 3 7 0 5 5 5 0 1 1 0
1 2 k 2 1 k 0 3 k 6 0 0 k 3
k 3
方程组是否有解.
1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4
1
3,1,2 ,
2
3
1
5
0
9
5
3
0
1
0
2
1 2 2 6 0 5 0 10 0 0 5 15
1 0 0 4
0 0
1 0
0 1
2 3
∴ 能由1,2 ,3 线性表示 43 21 32
(2)

高等代数习题第二章

《高等代数》第二章习题及答案

高等代数__课后答案__高等教育出版社

高等代数作业 第二章行列式答案

高等代数Ⅰ第二章 线性方程组测试题

高等代数_李海龙_习题第2章多项式

高等代数 第二章 矩阵

高等代数第2章行列式

高等数学 线性代数 习题答案第二章

高等代数 习题及参考答案

高等代数作业 第二章行列式答案

第二章高等数学基础知识-高等代数题库1-1-8

考研必备高等代数第二章第六节

高等代数习题解答(第二章)

高等代数__课后答案__高等教育出版社

高等代数第二章课后习题

线性代数高等教育出版社第二版卢刚主编课后习题答案第二章

高等代数课后答案高等教育出版社

高等代数作业第二章行列式答案

高等代数Ⅰ第二章线性方程组测试题

高等代数第二章矩阵

高等数学线性代数习题答案第二章

高等代数习题及参考答案

高等代数作业第二章行列式答案

高等代数课后答案高等教育出版社