最新人教版高中数学必修4第一章三角函数的图象与性质：知识搜索与探究归纳

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高一数学人教A版必修4第一章(三角函数)本章小结课件

1-(-
5 5
)2
=
-
2
5 5
.
6. 用 cosa 表示 sin4a-sin2a+cos2a.
解: sin4a-sin2a+cos2a = sin2a(sin2a-1)+cos2a = sin2a(-cos2a)+cos2a = cos2a(1-sin2a) = cos4a.
7. 求证:
(1) 2(1-sina)(1+cosa) = (1-sina+cosa)2; (2) sin2a+sin2b-sin2a·sin2b+cos2a·cos2b =1.
6. 终边位置确定三角函数值的正负
y
y
y
++ -o - x
-+
ox
-+
-+
ox
+-
sina
cosa
tana
正弦上正下负, 余弦右正左负, 正切一三正二四负.
7. 同角三角函数的关系
sin2a+cos2a=1,
sina cosa
=
tana
.
常用的变形:
sin2a=1-cos2a. cos2a=1-sin2a.
解: 由已知得 sin2x=4cos2x, 1-cos2x=4cos2x,
解得 cos x =
5 5
.
又由已知得 tanx =2,
则 x 是第一、第三象限角.
当 x 是第一象限角时,
cos x =
5 5
,
sin x =
1-(
5 5
)2=
2
5 5
;
当 x 是第三象限角时,

高中数学必修4知识点总结归纳

第一象限角的集合为
k 360 90 k 360 180, k
第二象限角的集合为
k 360 180 k 360 270, k
第三象限角的集合为
k 360 270 k 360 360, k
ymax ymin
y cos x
R
1,1
当
x
ymax

2k
1
；当
k 时，
2
偶函数
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来
的图象．
k 时，
-3-
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根保通据护过生高管产中线工资敷艺料设高试技中卷术资配0料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高高与中中带资资负料料荷试试下卷卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并中3试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

高二年级必修四数学第一单元知识点：三角函数的图象与性质

高二年级必修四数学第一单元知识点：三角函数的图象与性质数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。

小编准备了高二年级必修四数学第一单元知识点，希望你喜欢。

对于三角函数y=f(x)=sin(wx+)的图像(0,w0，kZ)，我们要熟练掌握四个要素。

首先，这是一个周期函数f(x+T)=f(x)，周期T=2/|w|。

其次，函数最值为，在wx+=2k/2)时取得最大值，在wx+=2k/2)时取得最小值-。

第三，wx+时，取得函数的中心对称点x值，此时f(x)=0。

第四，wx++(/2)时，取得函数的中心对称轴x值，此时f(x)=或-。

对于三角函数y=f(x)=cos(wx+),当wx++(/2)时，取得函数的中心对称点x值，此时f(x)=0;当wx+时，取得函数的中心对称轴x值，此时f(x)=或-。

在高考中，有关三角函数图像性质的考查，基本上都是围绕这四个要素展开。

比如，关于y=sinx，可以有下面这些问题(kZ)：问题1.两条对称轴之间的距离是多少?,即周期的一半。

问题2.单调区间是怎样的，最值如何取?x[2k/2),2k/2)]时为增函数，x[2k/2),2k/2)]时为减函数。

x=2k/2)时取得最大值1，x=2k/2)时取得最小值-1。

问题3.函数取零点时的x?x=k时，函数取零值。

我们来看一道高考原题：函数f(x)=sin[wx-(/6)]+1，0,w0，最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为/2。

1.求f(x)解析式2.设(0,/2)，则f(/2)=2,求的值。

根据正弦函数y=sinx的图像，我们知道其相邻对称轴之间的距离，比如/2和3/2，是周期的一半。

本题中距离为/2，则：T=2/|w|=，w=2函数的最大值就是+1，故=2f(x)=2sin[2x-(/6)]+1f(/2)=2sin[-(/6)]+1=2，则有：sin[-(/6)]=1/2由(0,/2)得/3总体上而言，有关三角函数图像性质的考查不会出怪题、难题，同学们多画一画三角函数的图像，多理解多分析，一定能够把握住这个考点。

最新人教版高中数学必修4第一章专题复习：三角函数的图象与性质

§3.1 三角函数的图象与性质考点核心整合本课时重点内容是三角函数的图象与性质，它包含了三角函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性，其中单调性为本节的一个难点，图象的变换及其应用是本课时的重点. 1.关于y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象 (1)“五点法”作图:设t=ωx+φ=0、2π、π、23π、2π,求相应的x 值及对应的y 值,描点作图.(2)变换作图:y=sinx →y=Asinx 是将y=sinx 的图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍;y=Asinx →y=Asin(x+φ)是将y=Asinx 的图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位;y=Asin(x+φ)→y=Asin(ωx+φ)是将y=Asin(x+φ)的图象上的所有点的横坐标变为原来的ω1.要明确上面后两步的先后顺序.(3)由图象求解析式y=Asin(ωx+φ):首先确定“五点法”中的第一个零点(x 0,0),需根据图象的升降情况准确判定第一个零点的位置,易求A 、ω.再由ωx 0+φ=0得φ，有y=Asin(ωx+φ). (4)图象的对称性:y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线x=x k (ωx k +φ=k π+2π,k ∈Z )成轴对称图形;关于点(x k ,0)(ωx k +φ=k π,k ∈Z )成中心对称图形. (5)A 、ω、φ有明确的物理意义.A 表示振幅，ωπ2表示周期，φ表示初相位. 2.三角函数的性质定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性.对于单调区间,要把ωx+φ看作一个整体,如由2k π-2π≤ωx+φ≤2k π+2π(k ∈Z )解出的x 的取值区间即为y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的增区间.链接·提示当ω≠1时，y=Asin(ωx+φ)是复合函数，求其单调区间时要注意ω的符号，若ω<0，则应先利用奇偶性，把x 的系数的符号变为正的. 考题名师诠释【例1】(2005全国高考Ⅲ，17)设函数f(x)=sin(2x+φ),(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线x=8π. (Ⅰ)求φ；(Ⅱ)求函数y=f(x)的单增区间；(Ⅲ)证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图像不相切. 分析：由对称轴是x=8π，可知2×8π+φ使f(x)取最值，即4π+φ=k π+2π.(k ∈Z )，从而可求φ；由sinx 的单增区间可求f(x)=sin(2x+φ)的单增区间.由｜f ′(x)｜=｜2cos(2x+φ)｜≤2，直线5x-2y+c=0的斜率为25>2说明直线和f(x)的图象不能相切. 解：(Ⅰ)解法1：因为x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴，所以sin(2·8π+φ)=±1, 则有4π+φ=k π+2π,k ∈Z .因为-π<φ<0, 所以φ=-43π. 解法2：函数y=sin 2x 图像的对称轴为 x=2πk +4π,k ∈Z . y=sin(2x+φ)的图像由y=sin 2x 的图像向左平移2ϕ得到，所以有2πk +4π-2ϕ=8π k ∈Z . ∵-π<φ<0, ∴φ=-43π. 解法3：因为x=8π是函数y=f(x)的图像的对称轴. 所以f(8π-x)=f(8π+x).即sin ［2(8π-x)+φ］=sin ［2(8π+x)+φ］，于是有2(8π-x)+φ=2k π+2(8π+x)+φ(舍去),或［2(8π-x)+φ］+［2(8π+x)+φ］=2k π+π.因为-π<φ<0，∴φ=-43π.(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知φ=-43π,因此y=sin(2x-43π)，由题意得2k π-2π≤2x-43π≤2k π+2π,(k ∈Z ),所以函数y=sin(2x-43π)的单调增区间为［k π+8πk π+85π］,k ∈Z ,解法2：由y ′=2cos(2x-43π)≥0可得，2k π-2π≤2x-43π≤2k π+2πk ∈Z ,所以函数y=sin(2x-43π)的单调增区间为［k π+8π,k π+85π］ k ∈Z ,(Ⅲ)解法1：因为｜y ′｜=｜［sin(2x-43π)］′｜=｜2cos(2x-43π)｜≤2,所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为［-2,2］，而直线5x-2y+c=0的斜率25>2，所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π)的图象不相切. 解法2：令F(x)=sin(2x-43π)-25c x +, 则F ′(x)=2cos(2x-43π)-25,∵-1≤cos(2x-43π)≤1，∴F ′(x)≠0.则直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-43π)的图像不相切. 评述：本题第(Ⅰ)(Ⅱ)问是三角函数中最基本的问题，第(Ⅲ)问是考查一般函数在某点导数的几何意义，涉及的都是一些基本的概念，也是每个同学应该掌握的. 链接·提示1.依给定的对称轴x=8π，求φ：(a)不清楚对称轴一定经过f(x)的极大值点或极小值点；(b)由sin(2·8π+φ)=±1，确定4π+φ=2π或4π+φ=-2π时，没有考虑-π<φ<0这一条件.2.确定f(x)=sin(2x-43π)的单调增区间时，不清楚2x-43π所属的区间就是sinx 的单调增区间.3.f(x)=sin(2x-43π)是复合函数，有的同学求导出错. 4.｜f ′(x)｜=｜2cos(2x-43π)｜≤2,不清楚任意直线如斜率大于2则直线与f(x)不可能相切.【例2】(2006山东临沂模拟，17)已知集合A=｛x ｜｜x-a ｜<ax,a>0｝若f(x)=sin πx-cos πx 在A 上是增函数，求a 的最大值.分析：由f(x)在A 上是增函数，知A 应包含于f(x)的增区间，故需化简A ，求f(x)的单调增区间.解：由｜x-a ｜<ax 得⎩⎨⎧->-<-,,ax a x ax a x∴⎩⎨⎧>+<-.)1(,)1(a x a a x a (a>0)当1-a>0，即0<a<1时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>-<.1,1a a x aa x∴A={x ｜a a +1<x<aa-1}. f(x)=2sin(πx-4π),由2k π-2π≤πx-4π≤2k π+2π得2k-41≤x ≤2k+43. ∵f(x)在A 上为增函数，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≤--≥+.4321,4121k aa k a a(k ∈Z ).∵0<a a +1<1，aa-1>1,∴k=0. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥+431411a a a a∴0<a ≤73,即a 的最大值为73, 当1-a<0即a>1时，A=｛x ｜x>a a+1｝,与f(x)在A 上单调增不符；当1-a=0,即a=1时，A=｛x ｜x>aa+1｝,与f(x)在A 上单调增不符.综上得a 的最大值为73.评述：①f(x)的单调递增区间有无数多个，A 包含于哪个单增区间是解本题的难点和关键，解决这个难点的方法是看A 的端点的范围.②解本题分类讨论时，应先讨论a>1的情况，因为a>1时若有最大值，则不再需讨论a ≤1的情况. 链接·拓展已知集合A=｛x ｜｜x-a ｜<ax,a>0｝，是否存在实数a ，使得f(x)=sin πx-cos πx 在A 上为减函数；若存在，求a 的范围；若不存在，请说明理由.(不存在)(2006湖北黄冈四模，17文)已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB ·BC =6，AB 与BC 的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f(θ)=sin 2θ+2sin θ·cos θ+3cos 2θ的最小值.分析：(1)要建立θ与S 之间的函数关系式，再利用余弦函数的单调性；(2)要把f(θ)化成Asin(ωx+φ)的形式.解：(1)AB ·BC =｜AB ｜·｜BC ｜cos θ=6, ①S=21｜AB ｜·｜BC ｜·sin(π-θ)=21｜AB ｜·｜BC ｜sin θ， ②由②÷①得6S =21tan θ,即tan θ=3S . 由3≤S ≤3，得33≤tan θ≤1,又θ为AB 与BC 的夹角，∴θ∈［0，π］，∴θ∈［6π，4π］. (2)f(θ)=sin 2θ+2sin θ·cos θ+3cos 2θ=1+sin2θ+2cos 2θ=2+sin2θ+cos2θ=2+2sin(2θ+4π),∵θ∈［6π,4π］,∴2θ+4π∈［127π,43π］.∴2θ+4π=43π,即θ=4π时，f(θ)的最小值为3.评述：研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路. 【例3】已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx). (1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间［-2π,2π］上的图象.解：(1)f(x)=2sin 2x+2sinxcosx =1-cos2x+sin2x=1+2(sin2xcos4π-cos2xsin 4π)=1+2sin(2x-4π), 所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为1+2.故函数y=f(x)在区间［-2π,2π］上的图象是评述：本题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能，考查画图的技能.研究y=asinx+bcosx 型函数的性质，一般要化成y=Asin(ωx+φ)型的函数再研究. 链接·拓展求函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)在［-4π,4π］上的最值. 提示:求2x-4π的范围,最大值为2,最小值为1-2. 【例4】把函数f(x)=sin 2x-2sinxcosx+3cos 2x 的图象沿x 轴向左平移m(m>0)个单位，所得函数的图象关于直线x=817π对称. (1)求m 的最小值； (2)证明当x ∈(-817π,-815π)时，经过函数f(x)图象上任意两点的直线的斜率恒为负数；(3)设x 1,x 2∈(0,π),x 1≠x 2,且f(x 1)=f(x 2)=1,求x 1+x 2的值. 分析：(1)f(x)的图象平移后关于直线x=817π对称，则x=817π使平移后的函数式取最值；(2)只需计算图象上任两点斜率的范围；(3)可求出x 1,x 2的值即可. 解：(1)f(x)=sin 2x-2sinxcosx+3cos 2x=22cos 1x --sin2x+3·22cos 1x+ =cos2x-sin2x+2=2cos(2x+4π)+2. 将f(x)的图象沿x 轴向左平移m 个单位得到函数g(x)=2cos ［2(x+m)+4π］+2的图象. ∵g(x)的图象关于直线x=817π对称，∴2(817π+m)+4π=k π(k ∈Z )即m=4)92(π-k (k ∈Z ),又m>0，∴m 的最小值为4π(k=5时取得).(2)∵-817π<x<-815π,∴-4π<2x+4π<-27π,∴f(x)在(-817π,-815π)上是减函数.于是x 1,x 2∈(-817π，-815π)，且x 1<x 2,便有f(x 1)>f(x 2)从而经过两点(x 1,f(x 1),(x 2,f(x 2))的斜率k=2121)()(x x x f x f --<0.(3)f(x)=1⇔cos(2x+4π)=-22,在(0，π)内满足cos(2x+4π)=-22的值为4π和2π.∵f(x 1)=f(x 2)=1.且x 1,x 2∈(0,π).x 1≠x 2,∴x 1+x 2=4π+2π=43π 另法：由2x+4π=k π(k ∈Z )得x=2πk -8π ∴在(0，π)内的对称轴为x=83π和x=87π又f(x 1)=f(x 2)=1,且x 1,x 2∈(0,π).x 1≠x 2,x ∈(87π,π)时f(x)≠1. ∴x 1+x 2＝2×83π=43π. 评述：本题主要在于灵活运用正、余弦函数的图象及性质，以及数形结合的解题思想.解题关键在于对三角函数及其图象特征全面、深刻的理解及运用.。

高中数学必修4三角函数知识点总结归纳

高中数学必修4知识点总结第一章三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、终边相等的角：与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、已知α是第几象限角，确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n α终边所落在的区域．例4．设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解.C 22,(),,(),2422k k k Z k k k Z ππαππαππππ+<<+∈+<<+∈当2,()k n n Z =∈时，2α在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2α在第三象限；而coscoscos0222ααα=-⇒≤，2α∴在第三象限；5、1弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lrα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180π= ，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则弧长l r α=，周长2C r l =+，面积21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．例7．设MP 和OM 分别是角1817π不等式：①0<<OM MP ；②0O M M P <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0，其中正确的是_____________________________。

(2021年整理)人教版高中数学必修4第一章三角函数知识点

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人教版高中数学必修4第一章三角函数知识点⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限,则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定()*n nα∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为nα终边所落在的区域．5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l rα=． 7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=,1180π=,180157.3π⎛⎫=≈⎪⎝⎭． 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=,2C r l =+，21122S lr r α==．9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x xα=≠．10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．11、三角函数线:sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα= sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．13、三角函数的诱导公式:()()1sin 2sin k παα+=,()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-,()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=,()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短)到原来的A 倍（横坐标不变)，得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ;②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+;⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当1x x =时,取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T =-<． 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =;当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =;当2x k ππ=+ ()k ∈Z 时,min 1y =-．既无最大值也无最小值周期2π2ππ函数性质性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是增函数；在32,222k kππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k∈Z上是减函数．在[]()2,2k k kπππ-∈Z上是增函数；在[]2,2k kπππ+()k∈Z上是减函数．在,22k kππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k∈Z上是增函数．对称性对称中心()(),0k kπ∈Z对称轴()2x k kππ=+∈Z对称中心(),02k kππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭对称轴()x k kπ=∈Z对称中心(),02kkπ⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴16、向量：既有大小，又有方向的量．数量:只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量:长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质:①交换律：a b b a +=+；②结合律:()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =,其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．(不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）baC BAa b C C -=A -AB =B22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭． 23、平面向量的数量积:⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a 和b 都是非零向量,则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；22a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤．⑶运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+．若(),a x y =，则222a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =,()22,b x y =,则12120a b x x y y ⊥⇔+=．设a 、b 都是非零向量,()11,a x y =,()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则121cos a b a bx θ⋅==+．24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）;⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-(()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-)．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=）． ⑶22tan tan 21tan ααα=-．26、()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB =A．。

(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳

三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。

高一数学必修4第一章三角函数知识点

第一章三角函数知识点1.与角α终边相同的角的集合为2.(1) 第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为(2)终边在x 轴上的角的集合为终边在y 轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为3.α、2α、2α之间的关系: 若α终边在第一象限,则2α终边在；2α终边在若α终边在第二象限,则2α终边在；2α终边在若α终边在第三象限,则2α终边在；2α终边在若α终边在第四象限,则2α终边在；2α终边在4. 的弧所对的圆心角叫做1弧度.5.半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是α=6.弧度制与角度制的换算公式：180π=， 1=, ()1=≈7.若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r则弧长l =；周长C = ；面积S = =8．设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:α的正弦sin α= ；α的余弦cos α= ；α的正切tan α=9、设α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y，它与原点的距离是()0r r =，则sin α= ，cos α= ，tan α=10．三角函数在各象限的符号：sin αcos α tan α11．三角函数线：sin α= ，cos α= ，tan α=12．同角三角函数的基本关系：(1) (2)13．三角函数的诱导公式：14、(1)函数sin y x = ()sin y x ϕ=+的图象；()sin y x ωϕ=+的图象；()sin y A x ωϕ=+的图象。

(2)函数sin y x = sin y x ω=的图象；()sin y x ωϕ=+的图象；()sin y A x ωϕ=+的图象。

O xy O xy O xy(3)函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的性质： ①振幅： ②周期： ③频率： ④相位： ⑤初相：(4)函数()sin y A x B ωϕ=++，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12A y y =-，()max min 12B y y =+，()21122T x x x x =-<。

人教版高一数学必修四第一章三角函数的图象与性质

第2课时三角函数的图象与性质三角函数的图象设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象．【解】 (1)周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，因为－π2＜φ＜0，所以φ＝－π3.(2)因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表如下： 2x －π3－π3 0 π2 π 32π 53π x 0 π6 512π 23π 1112π π f (x ) 121－112用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的步骤第一步：列表；由ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π先求出x ，再由ωx ＋φ的值求出y 的值．x－φωπ2ω－φωπω－φω3π2ω－φω2πω－φωωx ＋φ0 π2 π 32π 2π yA－A第二步：在同一坐标系中描出各点．第三步：用光滑曲线连接这些点，进而成图象．1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，则它的振幅、周期、初相分别是( )A ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－π6B ．A ＝3，T ＝4π3，φ＝－3π4C ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－π6D ．A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4解析：选D.由题图知函数的最大值为A ＋2＝3，则A ＝1，函数的周期T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－π6＝4π3＝2πω，则ω＝32，则y ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ＋2，则当x ＝5π6时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6×32＋φ＋2＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝1，即5π4＋φ＝π2＋2k π，则φ＝－3π4＋2k π，因为|φ|<π，所以当k ＝0时，φ＝－3π4，故A ＝1，T ＝4π3，φ＝－3π4.三角函数的图象变换(2019·合肥市第一次教学质量检测)将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，则φ，a 的可能取值为( )A ．φ＝π2，a ＝2B ．φ＝3π8，a ＝2C ．φ＝3π8，a ＝12D ．φ＝π2，a ＝12【解】 y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移φ的单位长度得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －φ＋π4的图象，该图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －φ＋π4的图象，所以y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －φ＋π4，则a ＝12，φ＝π2＋2k π(k ∈Z )．又φ>0，所以结合选项知选D.【答案】 D函数y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象的两种方法1．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π3个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π6个单位D ．向右平移π3个单位解析：选B.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以只需把函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位即可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选B. 2．将函数f (x )＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的图象的一条对称轴为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝－π12D ．x ＝－π6解：选C.将f (x )＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，可以得到y ＝sin 2x 的图象，再向右平移π6个单位得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1知，x ＝－π12是g (x )图象的一条对称轴，故选C.三角函数的性质已知函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x . (1)求f (x )的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．【解】 (1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，所以3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.(1)三角函数的两条性质①周期性：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋B 的形式．(2)求三角函数值域(最值)的方法 ①利用sin x ，cos x 的有界性．②从y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．③换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2解析：选A.因为函数的周期为π，所以排除C ，D.因为函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，所以排除B ，故选A.2．(2019·郑州市第二次质量预测)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π2(x ∈R )，下列说法错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0中心对称D ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数解析：选D.因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝cos 2x ，所以函数f (x )是偶函数，且最小正周期T ＝2πω＝π，故A ，B 正确；由2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，当k＝0时，x ＝π4，所以函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0中心对称，故C 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ∈[0，π]，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，故D 不正确．故选D.1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎦⎤π8，π2 C.⎣⎡⎦⎤0，3π8D.⎣⎡⎦⎤3π8，π2解析：选C.令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z .又0≤x ≤π2，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8.2．(2019·南昌市摸底调研)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6的图象可以由函数y ＝cos x 2的图象( )A ．向右平移π3个单位长度得到B ．向右平移2π3个单位长度得到C ．向左平移π3个单位长度得到D ．向左平移2π3个单位长度得到解析：选B.由y ＝cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π2，y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象可以由y ＝cos x2的图象向右平移2π3个单位长度得到．3．(2018·高考江苏卷)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是________．解析：由函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，因为－π2<φ<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，则2π3＋φ＝π2，φ＝－π6.答案：－π64．如图，函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2的图象过点(0，3)，则f (x )的函数解析式为____________．解析：由函数图象可知，A ＝2，又函数f (x )的图象过点(0，3)，所以2sin φ＝3，即sin φ＝32，由于|φ|<π2，所以φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.答案：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π35．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解：(1)由图象知 A ＝－12－⎝⎛⎭⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝⎛⎭⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2πT ＝2.所以y ＝12sin(2x ＋φ)－1.当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，所以φ＝π6.所以所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．。

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高中数学必修4知识点总结第一章三角函数⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是lr α=．6、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180π=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭．7、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，21122S lr r α==．8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．10、三角函数线：sinα=MP，cosα=OM，tanα=AT．11、角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭． 12、函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移ϕω个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=A +的图象．14、函数()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>的性质：①振幅：A ；②周期：2πωT =；③频率：12f ωπ==T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ．函数()sin y x ωϕ=A ++B，当1x x =时，取得最小值为miny ；当2x x =时，取得最大值为maxy ，则()max min 12y y A =-，()max min 12y y B =+，()21122x x x x T=-<．sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 函数性质第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b-≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a aλλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a aλμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、baCBAa b C C -=A -AB =B()0b b ≠共线．21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。

必修4第一章三角函数知识点详解

（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等），
(2)公式变形使用（。
(3)三角函数次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：， )。
(4)常值变换主要指“1”的变换
(5)正余弦“三兄妹— ”的存联系――“知一求二”，如
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式：1rad＝ °≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ ≈0.01745（rad）
五: 弧长公式：
，扇形面积公式：，1弧度(1rad) .
1.2任意角的三角函数
一: 任意角的三角函数的定义：
设是任意一个角，P 是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是，那么，，，，。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.
二: 象限角的概念：
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
0°
90°
180°
270°
15°
75°
0
1
0
－1
1
0
－1
0
1
0
0
2-
2+
1
0
0

高一数学人教A版必修4第一章1.4三角函数的图象与性质4课时课件(共15)

其实,
y
y= -cosx的图象是
1
将 y=cosx 的图象
o
关于x轴对称地翻
-1
折后得到的.
y=cosx
2p x y= -cosx
练习: (补充)
1. 在0~2p 内画出下列函数的图象:
(1) y = 2sin x;
(2) y = 2cos x-1.
练习: (课本34页) 第 1、2 题.
练习: (补充)
期吗? 因为对一切实数都有
Asin(wx+j) =Asin(wx+j +2p)
∴y=Asin(wx+j)的周期是当 w<0 时, 周期为
同理可得余弦也如此.
即 y=Asin(wx+j), y=Acos(wx+j) 的周期是
练习: (课本36页) 第 1、2 题.
练习: (课本36页)
1. 等式 sin(30+120) = sin30 是否成立? 如果这个等式成立, 能否说120是正弦函数的一个周期? 为什么?
2
的图象. 通过视察两条曲线, 说出它们的异同.
提示: 可用列表、描点、连线的方法,
可用三角函数线的方法, 可用五点法,
也可用计算机画图象.
练习: (课本34页)
1. 用多种方法在同一直角坐标系中, 画出函数
y = sinx, x[0, 2p],
y = cosx,
x[
-
p
2
,
3p ]
2
的图象. 通过视察两条曲线, 说出它们的异同.
1
o
p
2p x
习题 1.4 A组
1. 画出下列函数的简图:

(完整word版)高中数学必修4三角函数知识点总结归纳

高中数学必修 4 知识点总结第一章三角函数正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、随意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角2、象限角：角的极点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．第一象限角的会合为k 360o k 360o90o , k第二象限角的会合为k 360o90o k360o180o, k第三象限角的会合为k 360o 180o k360o270o , k第四象限角的会合为k 360o270o k360o360o, k终边在 x 轴上的角的会合为k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为k180o90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o, k3、终边相等的角：与角终边同样的角的会合为k 360o, k4、已知是第几象限角，确立n*所在象限的方法：先把各象限均分 n 等n份，再从 x 轴的正半轴的上方起，挨次将各地区标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的地区．n例 4．设角属于第二象限，且cos2cos2，则角属于（）2A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解.C 2k22k,( k Z ), k4k,( k Z ),22当 k2n,( n Z ) 时，在第一象限；当 k2n1,(n Z ) 时，在第三象限；22而 cos cos cos20，在第三象限；2225、1 弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．- 1 -6、半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是l ．ro7、弧度制与角度制的换算公式：2360o ， 1o， 118057.3o ．1808、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则弧长 lr，周长 C2r l ，面积 S1 lr 1 r2 ．2 29、设是一个随意大小的角，的终边上随意一点的坐标是 x, y ，它与原点的距离是 r rx 2y 20 ，则 siny， cosx， tany x 0 ．r r x10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线： sin ， cos ， tan ． y例 7．设 MP 和 OM 分别是角17的正弦线和余弦线，则给出的以下P T18不等式： ① MP OM 0 ；② OM 0 MP ； ③ OMMP 0 ；OM Ax④ MP0 OM ，此中正确的选项是_____________________________ 。