线代第五章答案
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第五章 二次型
一、 温习巩固
1、写出下列二次型的矩阵
1）22
121122(,)32f x x x x x x =-+ 解：3111A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
2）222
123123121323(,,)323f x x x x x x x x x x x x =+-+-+解：1112133223112
A ⎛
⎫- ⎪ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝
⎭
3）222
1234123121323(,,,)323f x x x x x x x x x x x x x =+-+-+ 解：111021
3
302
2
3110200
00A ⎛⎫- ⎪
⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪
-- ⎪ ⎪⎝⎭
4）()2
123112233(,,)f x x x a x a x a x =++ 解： 2112
132
12
2
2321323
3
a a a a a A a a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
5）1221(,)31T
f x x X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 解：2221A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
6）123123(,,)456789T f x x x X X ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 解：135357579A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
1. 写出下列矩阵对应的二次型
1）001010100⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 解：2
123213(,,)2f x x x x x x =+
2）300010002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
解：222
123123
(,,)32f x x x x x x =-+
3）112123233⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
解：222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+++++
4）1120123023300
00
0⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
解：222
1234123121323(,,,)23246f x x x x x x x x x x x x x =+++++ 2. 判定下列二次型的正定性
1）二次型222
1231132233(,,)3648f x x x x x x x x x x =++-+是否正定？ 解： 2221231132233
(,,)3648f x x x x x x x x x x =++-+的矩阵为 303012328A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，
130A =>，230
3001
A =
=>，3303
01230328
A A ==-=>-， 所以123(,,)f x x x 为正定
2）二次型222
1231122233
(,,)3424f x x x x x x x x x x =++++是否正定? 解: 此二次型的矩阵为
320222021A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
顺序主子式320
3233,
20,
22240.22
021
==>=-<所以此二次型不是正定二次型.
3）222
12312233
(,,)(1)6f x x x x x x x x λλλ=-+-+，当λ取何值时，二次型f 为正定． 解 123(,,)f x x x 的矩阵为
1000303A λλλ-⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，
110A λ=->，()210
100A λλλλ
-=
=->，()()23190A A λλ==-->
3λ>从而，故当3λ>时，二次型f 为正定．
二、 练习提高
1.求一正交变换X PY =，把二次型2
123132(,,)2f x x x x x x =+化为标准型。
解：此二次型的矩阵为001010100A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，特征多项式201()010(1)(1)10f λλλλλλ-=-=-+-， 对应121λλ==有特征向量10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应31λ=-有特征向量10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
取00
10,0
P =⎢⎥并令X PY =，则二次型2
123132(,,)2f x x x x x x =+可化为222123
y y y +-。 2.求一个正交变换X PY =，把二次型312
322212x x x x x f -++=化为标准形。
解：此二次型的矩阵为101010101A -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
，特征多项式101()010(1)(2)101f λλλλλλλ-=-=---， 对应10λ=有特征向量10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应21λ=有特征向量01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应32λ=有特征向量10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
取00
10,0
P =⎢⎥并令X PY =，则二次型312322212x x x x x f -++=可化为22
23
2y y +。 3. 确定t 使3231212
32
22
13214225),,(x x x x x tx x x x x x x f +-+++=为正定二次型。
解：此二次型的矩阵为1112125t A t -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦，二次型正定的充要条件为此矩阵正定，即要求 1
1
10,1
20,1
12
5
t t
t t ->>-解得4
05
t -<<。