有限元和边界元方法 共33页

√
泊松方程的有限元方法(6/11)
有限元方程(关于 um 的线性方程组)
, j：电荷和电流密度，u,A：标势和磁矢
d：体积元
电磁学的作用量是时间积分
S t2 Ldt t1
运动方程由泛函的的极小值决定(即 S 0 )
√
物理问题的变分原理(3/3)
例：静电场的泊松方程
第一类边界条件
x 2u 2 y 2u 2f(x,y), u(x,y)u0(x,y) 等价的变分问题为求解泛函的极值问题
计算物理
有限元和边界元方法
125.217.162.13/lesson/ComputationalPhysics
有限元和边界元方法
物理问题的变分原理 泊松方程的有限元方法 扩散方程的有限元方法 波动方程的有限元方法 边界积分方程 边界元近似 单一边界下的边界元法 两种介质的边界元方法
n

等价的变分问题为求解泛函的极值问题
J ( u ){ 1 [ u ( ) 2 ( u ) 2 ] f} d x u d y ( 12 u ) u d s
2 x பைடு நூலகம்y
2
边界条件包含泛函中：自然边界条件 √
泊松方程的有限元方法(1/11)
B
静电场中二维泊松方程的有限元方法
√
物理问题的变分原理(1/3)
有限元方法
基于变分原理的离散化方法——部分逼近地离散化 划分整体区域为有限个基本块(单元) 在单元上插值逼近，得到结构简单的函数集(有限元空 间，是泛函 J(y) 的定义域的子集)
将边值问题转化为泛函的极值问题 在有限元空间中寻找泛函 J(y) 的极小值，作为近似解
(边界 2)的 q 是已知的。如果管中的自由
电荷密度分布 (x, y) 已知，则
2 u (x ,y )f(x ,y ),u 1 u 0 , 0
u 1 阴极 q
n 2
以上的泊松方程等价为求解以下泛函 J(u) 的极值问题
J ( u )D [1 2 ( u )2 f] d x u d y 2 qd s ,u u 1 u 0
例：光学的费马原理
光从点 A 到点 B 的传播路径是使光程 L 取极值
B
L A nds
由 L 0 得到几何光学的折射定律和反射定律
例：电磁学的麦克斯韦方程组
电磁场的拉格朗日函数 L 是空间积分
L[12(E2

H2)j

A]d

,：介质的介电常导数率和 E， ,H 磁 ：电场和磁场
J ( u ){ 1 2 [ u x ( ) 2 ( u y ) 2 ] f} d x d u y ,u ( x ,y ) u 0 ( x ,y )
泛函的求解必须在边界条件下：条件变分问题
第二类和第三类边界条件
x2u 2 y2u 2f,
(uu )
2u x 2

2u y 2

f (x, y),
x, y D
1
D 2
u(x,
y) 1

u0 (x,
y),
x, y 1
A
u q(x, y), n 2
x, y 2
例：阴极射线管(如右图) ，在两极上(边
1 阳极
界 1)的电势 u 是已知的，在左右两侧 2
2
三角形单元的编号：e ①, ②, ③,…
顶点的编号：按逆时针为 1, 2, 3
顶点的坐标：(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 单元的泛函：Je(u)
整体的泛函： J(u) Je(u)
e1
√
泊松方程的有限元方法(3/11)
构造线性插值函数
1 (x1, y1)
物理中的变分
例：力学体系的最小作用量原理 体系的特性可以用拉格朗日函数 L(q, q', t) 描写 在时刻 t1 和 t2 之间体系按照以下积分取最小值的方式 运动(即，运动轨道由泛函的的极小值决定)
S t2L(q,q,t)dt，由 S0得到运动方程 t1 √
物理问题的变分原理(2/3)
√
泊松方程的有限元方法(2/11)
有限元方法的具体步骤
划分整体区域为有限个单元和编号 ①
e
划分要点
②③
三角形的顶点相连
3
避免钝角(因引入较大误差) 每个三角形不跨越不同的介质
1e
每个三角形最多只有一条边在 2 上(方便计算) 2 三角形覆盖尽量多的区域
编号约定
2 3
单元的泛函
1e
J e(u ) e [1 2 ( u )2 ]d efdu 2 eqd su 2
第一项积分与单元刚度矩阵 (z i j)
第二项积分与单元矩阵 (r f j)
第三项积分与单元矩阵 (r q j)
√
泊松方程的有限元方法(5/11)
假设每个单元内 u(x, y) 是 x 和 y 的线性函数
每个的三个基函数
3 (x3, y3) e 2 (x2, y2)
u(x, y) 的插值表达式中，a, b, c, d 可由三角形的顶点坐 标确定，只剩余 u1, u2, u3 未知
√
泊松方程的有限元方法(4/11)
建立单元的矩阵
1
建立顶点和结点的(Vn)对应关系
e0
e11
单元编号：有一条边在 2 上且 ①
q0 的单元编号为 1, 2, …, e1，其 余的单元编号为 e11, e12, …, e0
②③
e1 2
顶点编号：用 V(e, i) 表示，逆时针方向，2和 3在 2 上
结上点的编结号点：编内 号部为和n121上, n的12结, …点,编n0号为 1, 2, …, n1，1
建立顶点和结点的对应关系：V(e, i) n
集成泛函和建立方程
泛函的离散化
K 为总体刚度矩阵，由单元刚度矩阵 (z i j) 合成
Rf 由单元矩阵 (r f j) 合成，Rq 由单元矩阵 (r q j) 合成
J(u) 被离散化为二次多元函数 J(u1, u2, …, un0)