B样条和贝塞尔曲线曲面的拼接

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离散点拟合曲线-Bezier-B样条

b1 y1 y0
b2
1 2
(
y0
2
P1
y1
y2 )
2. 二次B 样条曲线的特点
①起点为P0、P1点的中点，
并与线段P0P1相切；
P0
P2
§3 B样条曲线
②终点为P1、P2点的中点，并与线段P1P2相切； ③除起点、终点外，中间点将曲线拉向自己。
④二次B 样条曲线为“平均通过式”曲线
3. 多点时二次B 样条曲线的应用
pj() pj() 及 pj() pj() 称两曲线段在连接点 pj 处的光滑连接达到C 2连续。
。显然C 2连续比C 1连续要求更高，曲线的连接更光滑。
另外还有更高的连续标准，但对一般绘图，曲线段的连接满足C 1或C 2连续，其光滑已足够。
§2 贝塞尔曲线
一、Bezier 曲线
1. 特征多边形
§3 B样条曲线
P1 P0
……
Pn-1 Pn
Ps
边界处理示意图
Pe
Ps 在 P1 、P0 的延长线上，且 Ps0 P01
Pe 在Pn1、Pn 的延长线上，且 Pen Pnn1
y(t
)
b0
b1t
b2t
2
(0 t 1)
其中
a0 x0 a1 2( x1 x0 ) a2 x0 2x1 x2
b0 y0 b1 2( y1 y0 ) b2 y0 2 y1 y2
绘制方法：将参数 t 的区间[0 , 1]划分为 n 等份，依次取t = 1/n , 2/n , 3/n , … ，利用曲线参数方程计算对应的各点坐标，并用直线段依次连接各点。
对于这类曲线的绘制，首先要找出一种合理的拟合方法来设计曲线方程。

贝塞尔曲线B样条NURBS样条学习总结

Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。

贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。

贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。

贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。

2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。

与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。

这些基函数决定了曲线上每一点的形状。

B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。

B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。

3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。

NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。

NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。

总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

CAD中的曲线平滑与拟合方法

CAD中的曲线平滑与拟合方法CAD（Computer-Aided Design）是一种数字化辅助设计工具，广泛应用于工程设计、建筑设计和制造业等领域。

在CAD软件中，曲线平滑与拟合方法是非常重要的技巧之一。

本文将直入主题，介绍CAD中的曲线平滑与拟合方法。

曲线平滑是在CAD软件中处理曲线的过程，目的是通过调整曲线的控制点或参数，使得曲线更加光滑。

在CAD软件中，常用的曲线平滑方法包括B样条曲线、贝塞尔曲线和样条曲线等。

B样条曲线（B-Spline）是一种常用的曲线平滑方法。

它通过控制点来控制曲线的形状，通过调整控制点的位置，可以得到不同形状的曲线。

B样条曲线具有局部控制性，即只需要调整某一部分的控制点，就可以改变曲线的形状，这使得B样条曲线在CAD软件中得到了广泛应用。

在CAD软件中，可通过选择曲线上的点并调整其位置，或通过拖动控制点来对B样条曲线进行平滑处理。

贝塞尔曲线（Bezier）也是一种常用的曲线平滑方法。

贝塞尔曲线通过控制点和切线来控制曲线的形状。

在CAD软件中，可以通过选择曲线上的点和切线，并进行调整来平滑贝塞尔曲线。

贝塞尔曲线的优点是易于控制，通过调整控制点和切线的位置可以得到各种复杂的曲线形状。

样条曲线（Spline）是一种由多个小段曲线组成的平滑曲线。

在CAD软件中，可以将曲线分为多个小段，并通过调整小段曲线的参数来平滑整个曲线。

样条曲线具有光滑性和连续性，可以得到非常平滑的曲线形状。

在CAD软件中，除了以上介绍的曲线平滑方法，还可以通过拟合曲线来实现曲线的平滑。

拟合曲线是通过给定的点集来确定一条曲线的过程。

CAD软件中通常提供了多种拟合方法，如最小二乘法拟合、最小二乘法B样条拟合和Bezier最优拟合等。

在CAD软件中，我们可以选择适当的拟合方法，并根据给定的点集来生成平滑的曲线。

总之，CAD软件中的曲线平滑与拟合方法是非常重要的技巧。

通过掌握这些方法，我们可以在CAD软件中更加高效地处理曲线，使得设计和制图工作更加准确和专业。

bezier bezier曲线、b-样条生成原理

贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。

本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。

一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。

其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。

贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。

2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。

3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。

在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。

二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。

B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。

B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。

2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。

3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。

相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。

1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

Bezier&BSpline_曲线

i 0 1
1 1 P0 p (t ) [t 1] P 1 0 1
Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线
n 2, 控制点序列: P0 , P1 , P2 p(t ) Pi Bi , 2 (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
Bezier曲线的拼接
两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0
重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。
Bezier曲线的生成
Bezier曲线的缺点
1、特征多边形的顶点个数n+1决定了Bezier曲线的阶次，即只能生成n次曲线，不灵活。 2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的控制明显减弱。 3、由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线做局部修改成为不可能。
Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、变差缩减性
(1)对称性 : * 取P i P n i ( 2)凸包性 i 0,1, , n
*
有C * (t ) P i Bi , n (t ) P i Bi , n (t ) C (t )
i 0 i 0
n
n
B
i 0 n
n
i ,n
(t ) 1, 且Bi , n (t ) 0
n
(3)几何不变性
ua P ) i Bi , n (t ) P i Bi , n ( ba i 0 i 0 ( 4)变差缩减性
Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线
n 1, 控制点序列: P0 , P 1 p (t ) Pi Bi ,1 (t ) P0 (1 t ) P t [0,1] 1t

Bezier曲线曲面的拼接

Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面是一种常见的计算机图形学中的曲线曲面构造方法。

其原理是通过数学公式来描述一个点集合的形状。

在实际应用中，我们通常需要根据实际需求来构造或者拼接Bezier曲线曲面。

本文将着重介绍Bezier曲线曲面的拼接方法。

一、Bezier曲线曲面的构造Bezier曲线曲面的构造方法很简单，只需要给定点的坐标和曲线方程即可。

其中，点的坐标用于描述曲线上的控制点位置，而曲线方程则用于描述控制点间的线段的形状。

对于一条Bezier曲线，它的方程可以表示为：$$P(u)=\\sum_{i=0}^{n}B_i^n(u)P_i$$其中，$n$代表控制点的数量，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标，$B_i^n(u)$是权重多项式，它可以通过如下公式计算：$$B_i^n(u)={n\\choose i}u^i(1-u)^{n-i}$$这个公式包含两个部分。

第一部分是二项式系数$C_n^i={n\\choose i}$，它描述的是从$n$个点中选取$i$个点的组合数。

第二部分是$u^i(1-u)^{n-i}$，它描述的是每个控制点在曲线上占据的位置和弧长。

通过这两部分的组合，我们可以得到一个平滑连续的Bezier曲线。

对于一条Bezier曲面，它的方程可以表示为：$$P(u,v)=\\sum_{i=0}^{n}\\sum_{j=0}^{m}B_i^n(u)B_j^m(v)P_{ij}$$其中，$n$和$m$分别代表控制点的数量，$P_{ij}$表示第$i$行，第$j$列的控制点的坐标。

这个方程就是通过控制点的二维数组来描述空间中的三维曲面的。

二、Bezier曲线曲面的拼接当需要在一个三维场景中绘制复杂的曲面形状时，往往需要将不同的曲面拼接起来。

Bezier曲线曲面的拼接可以通过各种方法实现。

以下介绍两种常用的拼接方法。

1. 曲面连接法曲面连接法需要将拼接曲面共享一个相邻控制点，从而使得两个曲面连接处的网格点重合。

贝塞尔曲面的拼接研究

贝塞尔曲面的拼接研究2012 年 1 月Bezier曲线的连接及Bezier曲面的拼接摘要根据线动成面的思想由Bezier曲面的概念引入Bezier曲面的概念，Bezier 实际上是先由控制顶点生成一个方向（设为v方向）上的Bezier曲线，然后在已竟形成的Bezier曲线上寻找控制顶点，生成另一个方向（设为u方向）上的Bezier曲线，形成控制网格，Bezier曲面是对该控制网格的逼近。

同样，类似于Bezier曲线的性质介绍了Bezier曲面的端点性质、边界线位置、凸包性等比较常见的几个性质。

几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。

这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。

所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来。

同样的，复杂的曲面用Bezier曲面相互拼接起来实现。

根据光滑连续性的条件考虑连接处的光滑，从而实现Bezier曲线的光滑连接以及Bezier曲面的拼接。

关键词：光顺连续性、Bezier曲线的连接、Bezier曲面的拼接、服装仿真1 引言在虚拟现实和视景仿真应用中，天空仿真是必不可少的内容。

无论是地面还是空中、海上的视景仿真，天空背景的真实感对用户来说能大大提高视觉享受和沉浸感。

但是就目前来看，大部分软件和仿真平台对真实天空的模拟还都不太尽人意，例如著名的VEGA 仿真平台，不同气候条件下的天空仅仅是在不同颜色背景下几层贴上云纹理的平面，从地面上看去，云层明显的有一条水平的终结线。

而一旦进入这些云层，就更加明显的感到是穿过了几层毫无体积感的纹理平面。

在现实生活中，人们对天空是再熟悉不过了。

真实的天空是非常复杂的，从视觉角度分析，就有霞、雾、晕、晴、阴等等各种自然现象，而且整个天球在空间上也不是均匀体现某种颜色的，而是随着每天时间和天气状况的不同，有着千变万化的变化。

所以要完全仿真真实的天空，不仅要有图形学方面的知识，还要具备天文和大气物理学的知识，由于我们对这些知识不甚了了，只能对天空的仿真进行简化。

opencascade b样条曲线生成贝塞尔曲线

文章标题：从OpenCASCADE到B样条曲线生成贝塞尔曲线：深度探索一、引言在计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学领域，曲线生成一直是一个重要的主题。

opencascade是一个开源的CAD内核，它提供了丰富的曲线曲面生成功能。

而B样条曲线是其中的重要概念之一，它可以用来生成贝塞尔曲线，这在实际应用中具有广泛的价值。

二、opencascade简介opencascade是一个强大的CAD内核，它提供了丰富的几何建模和曲面重建功能。

通过opencascade，我们可以进行复杂的几何计算和曲面修复，为工程设计和制造提供了强大的支持。

其中，曲线生成是opencascade功能的重要组成部分，它可以帮助我们创建各种类型的曲线并进行精确的控制。

三、B样条曲线基础B样条曲线是一种经典的数学曲线模型，它通过一系列的控制点和权重进行定义。

在opencascade中，B样条曲线的生成和编辑都是非常灵活和强大的。

通过调整控制点和权重，我们可以实现对曲线形状的精细控制，从而满足不同的工程需求。

四、贝塞尔曲线应用贝塞尔曲线是一种特殊的曲线类型，它通过一系列的控制点来定义曲线形状。

在实际应用中，贝塞尔曲线具有良好的数学性质和几何特征，因此被广泛应用于CAD、动画和图形设计等领域。

opencascade的B 样条曲线可以方便地生成贝塞尔曲线，从而为各种工程应用提供了强大的支持。

五、深入探讨B样条曲线生成贝塞尔曲线5.1 B样条曲线的定义和性质在opencascade中，B样条曲线是通过一系列的控制点、权重和节点参数进行定义的。

这些参数之间复杂的关系决定了曲线的光滑性、几何特征和曲率连续性。

通过深入理解B样条曲线的数学原理，我们可以更好地掌握曲线生成的控制方法和技巧，从而达到更高的设计精度和效果。

5.2 B样条曲线的编辑和调整在实际工程设计中，曲线的编辑和调整是非常常见的需求。

opencascade提供了丰富的曲线编辑功能，包括控制点的移动、曲线的拉伸和旋转等操作。

曲面拟合的方法

曲面拟合的方法曲面拟合是一种数据处理技术，旨在通过使用数学模型来逼近给定数据点的曲面形状。

该方法在许多领域都有广泛的应用，包括计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉和地理信息系统等。

在曲面拟合中，常用的方法包括多项式拟合、样条曲线和曲面拟合、最小二乘法拟合、最小二乘平面拟合、径向基函数拟合、贝塞尔曲面拟合等。

多项式拟合是一种基于多项式函数的曲面拟合方法。

它通过将数据点与一个多项式函数的系数相连，使得该多项式函数最好地逼近给定的数据点。

多项式拟合的优点是计算简单，但它的缺点是对于复杂的曲面形状拟合效果不佳。

样条曲线和曲面拟合是一种基于分段函数的曲面拟合方法。

它将给定的数据点划分为一系列小区间，并在每个区间内使用一个函数来逼近该区间内的数据点。

通过在相邻区间内的函数之间施加平滑性条件，样条曲线和曲面拟合可以得到更平滑的曲面形状。

最小二乘法拟合是一种通过最小化实际数据与拟合曲面之间的平方误差来确定曲面参数的方法。

该方法可以用于拟合任意形状的曲面，并且能够处理带有噪声的数据。

最小二乘法拟合的优点是适用范围广泛，但它的计算复杂度较高，尤其是在数据点较多时。

最小二乘平面拟合是最小二乘法拟合的一种特殊情况，即在二维空间中拟合一个平面。

最小二乘平面拟合可以通过计算数据点的平均值和协方差矩阵来确定平面的参数，从而实现快速的拟合过程。

径向基函数拟合是一种基于径向基函数的曲面拟合方法。

径向基函数是一类具有中心对称性的函数，通过将数据点与一组基函数相乘并求和，可以逼近给定的数据点。

径向基函数拟合的优点是对于非线性曲面形状具有较好的适应性，但它的缺点是计算复杂度较高。

贝塞尔曲面拟合是一种基于贝塞尔曲线的曲面拟合方法。

贝塞尔曲线是一类具有良好数学性质的曲线，通过控制点来确定曲线的形状。

贝塞尔曲面拟合通过在二维或三维空间中使用贝塞尔曲线来逼近给定的数据点，实现曲面的拟合。

总之，曲面拟合是一种通过数学模型来逼近给定数据点的曲面形状的方法。

曲线插值算法

曲线插值算法一、概述曲线插值算法是一种数学方法，用于在给定的控制点之间生成平滑的曲线。

该算法可以应用于各种领域，如计算机图形学、CAD和工程设计等。

曲线插值算法通过计算控制点之间的曲线来创建平滑的曲线，并且可以根据需要进行调整。

二、常见的曲线插值算法1. 贝塞尔曲线插值算法贝塞尔曲线插值是一种基于控制点的方法，它通过连接多个控制点来生成平滑的曲线。

该方法使用贝塞尔函数来计算两个相邻控制点之间的曲线。

这种方法通常用于计算机图形学中，用于绘制二维和三维图像。

2. 样条曲线插值算法样条曲线插值是一种基于函数逼近的方法，它通过拟合多项式函数来生成平滑的曲线。

该方法使用分段多项式函数来连接相邻控制点，并且保证函数在连接处连续可导。

这种方法通常用于CAD和工程设计中。

3. B样条曲线插值算法B样条曲线插值是一种基于参数化表示的方法，它通过计算参数化函数来生成平滑的曲线。

该方法使用B样条基函数来计算控制点之间的曲线，并且可以通过调整参数来改变曲线的形状。

这种方法通常用于计算机图形学和CAD中。

三、贝塞尔曲线插值算法详解1. 原理贝塞尔曲线插值是一种基于控制点的方法，它通过连接多个控制点来生成平滑的曲线。

该方法使用贝塞尔函数来计算两个相邻控制点之间的曲线。

贝塞尔函数是一种多项式函数，它可以用于生成平滑的曲线。

2. 计算公式在贝塞尔曲线插值中，每个控制点都有一个权重系数，称为贝塞尔权重。

假设有n个控制点，第i个控制点的坐标为(Pi, Qi)，则第i个控制点的贝塞尔权重为Bi(n,t)，其中t是一个0到1之间的参数。

当t=0时，Bi(n,t)等于1；当t=1时，Bi(n,t)等于1；当0<t<1时，Bi(n,t)可以通过递归公式计算得出：Bi(n,t)= (1-t)*Bi-1(n-1,t)+t*Bi(n-1,t)对于两个相邻的控制点Pi和Pi+1，它们之间的曲线可以用下面的公式计算得出：P(t)= (1-t)*Pi+t*Pi+1其中，t是一个0到1之间的参数。

第五章Bezier曲面与B样条曲面

第5章曲线与曲面的生成与计算
5.1 曲面的参数表示 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 5.3 曲面的参数表示 5.4 Bezier、B样条曲面的生成
ห้องสมุดไป่ตู้
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
1
曲线与曲面的生成与计算
❖ 曲面和曲线一样，是计算机图形学中研究的重要内容之一，它们在实际工作中有着广泛的应用。在工程应用中，常用的自由曲面有很多，例如：Bezier曲面、 B样条曲面、 Coons曲面等。
P13
P23
P10
P20
P33
类似于Bezier曲线情况，特征网格框定了Bezier曲面P(u,v)的大致
形状； Bezier曲面P(u,v)是对特
P32
征网格的逼近。
P31
注：实际应用Bezier曲面时，m
和n不宜过大，一般为不大于4，
P30
否则特征网格对曲面的控制会减弱。
图 Bezier曲面特征网格
P0
、
m
P00 P10 P20
Pn
、
0
Pn0 Pn1 Pn 2 Pnm、
P0 m P1m P2 m Pnm、
为控制多边形的Bezier曲线。
2020年5月18日星期一
西安工程大学数学系
17
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
P03 P13 P02 P00 P10 P01
P33 P23 P32
Z r0
ua
O
Y
平面片
X
2020年5月18日星期一
eg: 当u=1/3,v=1/2时对应平面片中一点：
r(1/3,1/2)=r0+a/3+b/2

三次Bezier曲线与三次均匀B样条曲线的光滑拼接

图形学研究 .
第 3 期耿紫星 : 三次 Bezier 曲线与三次均匀 B 样条曲线的光滑拼接 - 1
59
3
- 6
- 3
1 0 0 0
V0 V1 V2 V3 ( 2) ,
点为 W0 ,W 1 , W2 , W3 , 则
3
3 1 3 2 1 [u u u ] 6 - 3 1
பைடு நூலகம்
1 ( V2 - V 0 ) , 2 1 (V - V ) . 3 1 2
=
i =0
6B
3, i
( u) Qi , 其中 Qi ( i = 0 , 1 , 2 , 3 ) , 如式 ( 3 )
所定义 . 则三次 Bezier 曲线 P1 ( u) 与三次均匀 B 样条曲线 P 2 ( u) 的拼接问题可以转化为两个三次 Bezi er 曲线之间的拼接问题 . 由三次 Bezier 曲线的 G0 拼接条件 :W 3 = Q0 , 结合式 ( 3) 就可以很容易的得到三次 Bezier 曲线
P (0 ) = ( 0) = P′ P′ ( 1) =
3 0
1
三次均匀 B 样条曲线 P 2 ( u) 如式 ( 2) 定义 , 控制顶点为 V0 , V1 , V2 , V3 . 则由上述三次均匀 B 样条
3
曲线的 Bezi er 构造方法 , P2 ( u) =
3
i =0
6N
i ,3
( u) V i
三次 Bezier 曲线与三次均匀 B 样条曲线的光滑拼接
耿紫星
(西北师范大学数学与信息科学学院 ,甘肃兰州 730070)
摘要 : 利用三次 B 样条曲线能转化为三次 Bezier 曲线的方法 , 把三次 Bezie r 曲线与三次 B 样条曲线之间的拼接问题转化为三次 Bezie r 曲线与三次 Bezie r 曲线之间的拼接问题 , 分别给出了三次 Bezier 曲线与三次 B 样条曲线的 G0 、 G1 、 G2 光滑拼接定理 . 关键词 :Bezie r 曲线 ;B 样条曲线 ; 光滑拼接中图分类号 : TP391 文献标识码 :A

B样条曲面拼接算法的设计

247科研与教育2020年第2期B样条曲面拼接算法的设计权燕霞，童玉龙，陈澳（辽宁省沈阳市沈阳师范大学物理科学与技术学院，辽宁沈阳 110034）摘　要：文章首先简要描述B样条曲面表面的功能，并将其绘制为B样条曲面表面。

通过改变控制点坐标或改变控制点来局部改变曲面的形状，使表面B样条曲面具有良好的局部性。

简单地处理B样条曲面的表面，在分散的数据点下绘制B样条曲面的曲面，然后简单地描述现有的表面组装方法。

解释了关于表面组装方法的国家和国际研究的现状，并设计了三个矢量参数的部分差分方程，以实现表面组装。

设计详细描述了PDE的三个矢量参数分辨率方法，并且通过该方法实现了表面的C1连续组装，从而更好地解决了表面形状的精确调节问题，并且可以在表面闭合或不闭合时应用，从而具有高的应用价值。

能更好地回应现实，为下一个研究奠定基础。

最后，概述算法的利弊。

关键词：B样条；曲面拼接；算法设计中图分类号：TP391.72 文献标志码：A 文章编号：2096-3092（2020）02-0247-01在技术设计中广泛使用的表面组合已成为当前科学研究中的一个重要主题，而表面组合已被许多研究人员探索，并产生了许多表面组合方法。

由Rossignac和Requicha提议的滚动球体方法可以被概括为由同时与两个要组装的表面相切旋转的球体形成的扫描表面。

“在几何建模中初始应用差分方程（PDE）方法是建造过渡面。

蒙皮构造法由Woodward提出，这个过程就如在建造机翼时在一系列翼肋组成的骨架上加上一张蒙皮，这样子机翼蒙皮就称为扫掠曲面。

它的主要原理是利用矩阵拓扑或离散点云在这些剃须图像和剖面曲线之间通过内插来构建一个过渡表面。

它的主要原理是利用矩阵拓方法的设计表面可以节省资源，条件是过渡表面之间的跨界矢量，就可产生平滑的过渡表面。

您可Lihua.You先PDE的方法，并通过该方法实PIA方法以下比特对数点主要用于实现集合，在实践中，根据数据点的分布和近似精度要求，可以采用更灵活的集合。

unity 贝塞尔曲线坐标和朝向

题目：Unity中贝塞尔曲线的坐标和朝向计算在Unity游戏开发中，贝塞尔曲线是一种常用的曲线，它可以用来实现各种动画效果，比如路径动画、飞行轨迹等。

贝塞尔曲线的坐标和朝向计算是使用过程中常遇到的问题，本文将对Unity中贝塞尔曲线的坐标和朝向进行详细的介绍和分析，帮助开发者更好地理解和应用贝塞尔曲线。

一、贝塞尔曲线概述贝塞尔曲线是一种数学曲线，其特点是具有平滑的变化和控制点的灵活性。

在Unity中，贝塞尔曲线常用来描述复杂的路径或动画效果，可以通过控制点的位置和权重来调整曲线的形状。

二、贝塞尔曲线的坐标计算1. 线性贝塞尔曲线线性贝塞尔曲线是最简单的贝塞尔曲线，由两个控制点确定。

其坐标计算公式为：B(t) = (1 - t) * P0 + t * P1其中，P0和P1分别为起始点和终点的坐标，t的取值范围为[0, 1]。

2. 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由三个控制点确定，其坐标计算公式为：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * t * (1 - t) * P1 + t^2 * P2其中，P0、P1和P2分别为起始点、控制点和终点的坐标，t的取值范围为[0, 1]。

3. 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由四个控制点确定，其坐标计算公式为：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * t * (1 - t)^2 * P1 + 3 * t^2 * (1 - t) * P2 + t^3 * P3其中，P0、P1、P2和P3分别为起始点、两个控制点和终点的坐标，t的取值范围为[0, 1]。

三、贝塞尔曲线的朝向计算在路径动画等应用中，贝塞尔曲线的朝向计算也是一个重要的问题。

通常情况下，可以通过求取曲线上两个相邻点的连线的斜率来计算曲线上某一点的朝向。

四、结语通过本文的介绍，相信大家对Unity中贝塞尔曲线的坐标和朝向计算有了更深入的理解。

在实际的游戏开发中，贝塞尔曲线的应用是非常广泛的，希望本文能够帮助到大家更好地应用贝塞尔曲线，实现各种炫酷的动画效果。

课件计算机图形学贝塞尔曲线及B样条

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t（i 1 t）ni i)!
其中i表示第i个顶点，n表示n次，t为参数。
六 bezier曲线特性分析:
由伯恩斯坦多项bernstein基函数的性质能推导出贝塞尔曲线性质。
(一) 曲线通过起始点与终止点
可以证明起点和终点在曲线上，
规定:
0i
0 1
i0 i0
另： 0！为1。
展开曲线为：（当n =0, 1, 2, 3时）
1962年法国雷诺汽车公司的贝塞尔提出了贝塞尔曲线（Bezier）并以这种方法为主，完成了一种曲线和曲面的设计系统 UNISURF，并于1972年在雷诺公司应用。
2 贝塞尔曲线的基本思想：
（1）将函数逼近与几何表示结合起来，使得设计师可以直观地通过改变参数来改变曲线的形状和阶次。
（2）通过控制点即顶点直观而方便地调整曲线的形状，（3）仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。
2 当顶点数m较大时，曲线的阶次将比较高，多边形对曲线形状的控制将大为减弱。
3 改变任意顶点的位置将会对整条曲线产生影响，
这不利于对曲线做局部修改。 P1
P2 P3
P0
P4
4 改变任意一个顶点的位置将会对整条贝塞尔曲线产生影响，不利于对曲线做局部修改。
三次参数样条曲线通过所有的型值点
二次B样条曲线三次B样条曲线三次贝塞尔曲线
1
0
0
0
P3
3 三次贝塞尔曲线能达到二阶连续
九贝塞尔曲线在使用中的问题
1 贝塞尔曲线的阶次m-1由多边形的顶点数m所决定，
使用不灵活。如3顶点则2次，4顶点则3次。
p(t )
(1t)2
p 0
2t(1 t)

贝塞尔曲线和B样条曲线

在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。

我们称之为“点点通过”。

但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。

在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。

针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。

后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。

一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。

在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。

第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。

1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。

B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面C语言算法源程序

图6.双二次（2x2）B 样条曲面6.B 样条曲线曲面和 NURBS 曲线曲面的C 语言实现算法源程序 #ifndef _mynu rbs_h#ifndef MYNURBS H学习小结：前面学习了 Bezier 曲线，B 样条基函数和 B 样条曲线的一些基础知识。

掌握关键问题是一条B 样条曲线间的多段曲线的光滑连接。

因为现在是用多段 Bezier 曲线来描绘一条B 样条曲线，所以问题变为两段 Bezier 曲线间光滑连接。

两段 Bezier 曲线段（3次） B1和B2光滑连接的条件：（1） .要求B1和B2有共同的连接点，即 &连续。

（2） .要求B1和B2在连接点处有成比例的一阶导数，即 G 连续。

由端点处的一阶导数 1 B1(1) 3(F 3 P 2), B 2(0) 3(Q i Q 。

)，为实现 G 连续，则有: B 2(0) B1(1) 即: Q 1 Q o R P 2 这也表明，P 2, B （Q o ）,Q 三点共线。

如下图表示了一条 3次B 样条曲线的所有控制多边形: E(P 1) P2 (P/ P 用P 0 10 P4 图5.3次B 样条曲线和所有控制多边形图5中，P0至P6为原始3次B 样条曲线控制多边形顶点， P 0至P 12是计算后最终形成样条曲线控制多边形顶点。

#include "gl\gl.h"#include "math.h"//* ************* B样条基函数计算部分************** // 确定参数u 所在的节点区间下标//n=m-p-1//m 为节点矢量U[] 的最大下标//p 为B 样条函数次数int FindSource(int n,int p,float u,float U[]){int low,high,mid;if(u==U[n+1])// 特殊情况return n;// 进行二分搜索low=p;high=n+1;mid=(int)(low+high)/2; while(u<U[mid]||u>U[mid]){if(u<U[mid]) high=mid; else low=mid;mid=(int)(low+high)/2;if(u>=U[mid]&&u<U[mid+1])// 找到u 所在的节点区间的下标break; // 退出二分搜索}return mid; // 返回区间下标}// 计算所有非零B 样条基函数并返回其值//i 为参数u 所在的节点区间下标void BasisFunction(int i,int p,float u,float U[],float N[]){int j,di,dp,k;float tul,tur,left,right;float tmpN[50][50];for(k=0;k<=p;k++){dp=0;for(di=i+p-k;di>=i-k;di--){if(u>=U[di]&&u<U[di+1])tmpN[di][0]=1;elsetmpN[di][0]=0;dp+=1;for(j=1;j<dp;j++){tul=U[di+j]-U[di];tur=U[di+j+1]-U[di+1];if(tul!=0)left=(u-U[di])/tul;elseleft=0;if(tur!=0)right=(U[di+j+1]-u)/tur;elseright=0;tmpN[di][j]=left*tmpN[di][j-1]+right*tmpN[di+1][j-1];}}N[i-k]=tmpN[i-k][p];}}// ----------------------------------------------------------------------// 计算基函数的1 阶导数并保存在NP[] 中//i 为参数u 所在的节点区间下标//p 为B 样条函数次数P>2void DerBasisFunc(int i,int p,float u,float U[],float NP[]){int j,di,dp,k;float tul,tur,left,right,saved,dl,dr;float tmpN[50][50];for(k=0;k<=p;k++){dp=0;for(di=i+p-k;di>=i-k;di--){if(u>=U[di]&&u<U[di+1])tmpN[di][0]=1;elsetmpN[di][0]=0;dp+=1;for(j=1;j<dp;j++){tul=U[di+j]-U[di]; tur=U[di+j+1]-U[di+1]; if(tul!=0) left=(u-U[di])/tul,dl=1/tul;elseleft=0,dl=0;if(tur!=0)right=(U[di+j+1]-u)/tur,dr=1/tur;else right=0,dr=0;tmpN[di][j]=(left*tmpN[di][j-1]+right*tmpN[di+1][j-1]); saved=p*(dl*tmpN[di][j-1]-dr*tmpN[di+1][j-1])/(p+p-1);}}NP[i-k]=saved;}}//*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* Bezier 曲线曲面部*****************// 计算参数u 的p 次基函数值并存在BC[] 中void BernsteinFunc(int p,double t,float BC[]){for(int i=0;i<=p;i++){if(i==0) BC[0]=(float)pow(1-t,p);if(i==p)BC[p]=(float)pow(t,p);if(i>0&&i<p) BC[i]=p*(float)pow(t,i)*(float)pow(1-t,p-i);}}// 获取p 次Bezier 曲线上的lines 个点的值void BezierPoint(int p,float px[],float py[],float pz[],int lines,float tmp[][3]){float BC[20];int i,j;for(j=0;j<=lines;j++){double t=j/(float)lines;BernsteinFunc(p,t,BC); tmp[j][0]=tmp[j][1]=tmp[j][2]=0;for(i=0;i<p+1;i++){tmp[j][0]+=BC[i]*px[i];tmp[j][1]+=BC[i]*py[i];tmp[j][2]+=BC[i]*pz[i];}}}// 获取p 次有理Bezier 曲线上的lines 个点的值void NBezierPoint(int p,float px[],float py[],float pz[],float lines,float tmp[][4])pw[],int {float x,y,z,w,BC[20];int i,j;for(j=0;j<=lines;j++){double t=j/(float)lines;BernsteinFunc(p,t,BC);x=y=z=w=0;for(i=0;i<p+1;i++){x+=BC[i]*px[i]*pw[i];y+=BC[i]*py[i]*pw[i];z+=BC[i]*pz[i]*pw[i];w+=BC[i]*pw[i];}tmp[j][0]=x/w;tmp[j][1]=y/w;tmp[j][2]=z/w;tmp[j][3]=w;}}// --------------------------------------------------------------------------- // 绘制p 次的Bezier 曲线void Bezier(int p,float px[],float py[],float pz[],int lines){float pt[100][3];int j;BezierPoint(p,px,py,pz,lines,pt); for(j=1;j<=lines;j++){glBegin(GL_LINES);glVertex3f(pt[j-1][0],pt[j-1][1],pt[j-1][2]); glVertex3f(pt[j][0],pt[j][1],pt[j][2]);glEnd();}}// ---------------------------------------------------------------------------// 绘制p 次的有理Bezier 曲线void NBezier(int p,float px[],float py[],float pz[],float w[],int lines){float pt[100][4];int j;NBezierPoint(p,px,py,pz,w,lines,pt); for(j=1;j<=lines;j++){glBegin(GL_LINES); glVertex3f(pt[j-1][0],pt[j-1][1],pt[j-1][2]); glVertex3f(pt[j][0],pt[j][1],pt[j][2]);glEnd();}}// ---------------------------------------------------------------------------//计算双p次Bezier曲面上所有的点并保存在Pt[][][] 中//u 和v 分别为曲面(u,v) 方向上的网格数void BezierFacePoint(int p,int u,int v,float px[][4],float pz[][4],float pt[161][161][3])py[][4],float {float urx[11][161],ury[11][161],urz[11][161];float tx[11],ty[11],tz[11],tmp[161][3];int i,j,k;for(j=0;j<p+1;j++){for(i=0;i<p+1;i++){tx[i]=px[i][j];ty[i]=py[i][j];tz[i]=pz[i][j];}BezierPoint(p,tx,ty,tz,v,tmp); for(k=0;k<=v;k++){urx[j][k]=tmp[k][0];ury[j][k]=tmp[k][1];urz[j][k]=tmp[k][2];}}for(i=0;i<=v;i++){for(k=0;k<p+1;k++){tx[k]=urx[k][i];ty[k]=ury[k][i];tz[k]=urz[k][i];}BezierPoint(p,tx,ty,tz,u,tmp);for(j=0;j<=u;j++){pt[i][j][0]=tmp[j][0];pt[i][j][1]=tmp[j][1];pt[i][j][2]=tmp[j][2];}}}// ---------------------------------------------------------------------------// 计算双p 次有理Bezier 曲面上所有的点并保存在Pt[][][] 中//u 和v 分别为曲面(u,v) 方向上的网格数void NuBezierFacePoint(int p,int u,int v,float px[][4],float pz[][4],float w[][4],floatpy[][4],float pt[161][161][3]){float urx[11][161],ury[11][161],urz[11][161],urw[11][161];float tx[11],ty[11],tz[11],tw[11],tmp[161][4];int i,j,k;for(j=0;j<p+1;j++){for(i=0;i<p+1;i++){tx[i]=px[i][j];ty[i]=py[i][j];tz[i]=pz[i][j];tw[i]=w[i][j];}NBezierPoint(p,tx,ty,tz,tw,v,tmp);for(k=0;k<=v;k++)urx[j][k]=tmp[k][0];ury[j][k]=tmp[k][1];urz[j][k]=tmp[k][2];urw[j][k]=tmp[k][3];}}for(i=0;i<=v;i++){for(k=0;k<p+1;k++){tx[k]=urx[k][i];ty[k]=ury[k][i];tz[k]=urz[k][i]; tw[k]=urw[k][i];}NBezierPoint(p,tx,ty,tz,tw,u,tmp);for(j=0;j<=u;j++){pt[i][j][0]=tmp[j][0];pt[i][j][1]=tmp[j][1];pt[i][j][2]=tmp[j][2];} }}// ******** ******* B 样条曲线曲面部**************// 计算样条曲线的1阶导矢( u 所对应的所有点)保存在Der[] 中//n=m-p-1//p 为曲线的次数void BSplineDer(int n,int p,float U[],float P[],float Der[]){float N[100],tmp;int i,j;for(i=p+1;i<=n;i++){DerBasisFunc(i,p,U[i],U,N);tmp=0;for(j=i;j>=i-p;j--) tmp+=N[j]*P[j];Der[i-p]=tmp;// 计算曲线上的点( u 所对应的所有点)保存在Poi[] 中//n=m-p-1//p 为曲线的次数void BSplinePoint(int n,int p,float U[],float P[],float Poi[]){float N[100],tmp;int i,j;for(i=p+1;i<=n;i++){BasisFunction(i,p,U[i],U,N);tmp=0; for(j=i;j>=i-p;j--) tmp+=N[j]*P[j];Poi[i-p]=tmp;}}// 计算3 次样条曲线上的所有控制多边形保存在CP[] 中//m 为节点矢量U[] 的最大下标void B3SplineControlPoint(int m,float U[],float P[],float CP[]){int n,k,i,cp,p;float Poi[100],Der[100],add;p=3; n=m-p-1;BSplinePoint(n,p,U,P,Poi); BSplineDer(n,p,U,P,Der);cp=(n-p)*3+p; for(i=0;i<2;i++){CP[i]=P[i]; CP[cp-i]=P[n-i];}for(i=3;i<cp-1;i+=3){k=(int)i/3; add=Der[k]/p; CP[i]=Poi[k];CP[i-1]=CP[i]-add; CP[i+1]=CP[i]+add;}}// 计算2 次样条曲线上的所有控制多边形保存在CP[] 中//m 为节点矢量U[] 的最大下标void B2SplineControlPoint(int m,float U[],float P[],float CP[]){int n,k,tm,i,cp,p;float Poi[100];p=2;n=m-p-1;BSplinePoint(n,p,U,P,Poi);cp=(n-p)*2+p;for(i=0;i<2;i++)CP[i]=P[i];CP[cp]=P[n];tm=2;for(i=2;i<cp-1;i+=2){k=(int)i/2;CP[i]=Poi[k];CP[i+1]=P[tm];tm++;}}// 绘制3 次B 样条曲线//m 为节点矢量U[] 的最大下标void BSpline3L(int m,float U[],float px[],float py[],float pz[]){float pcx[100],pcy[100],pcz[100],drx[4],dry[4],drz[4];int i,j,tmcp;B3SplineControlPoint(m,U,px,pcx);B3SplineControlPoint(m,U,py,pcy);B3SplineControlPoint(m,U,pz,pcz);/*glColor3f(0.0f,0.0f,0.0f);for(i=1;i<3*m-17;i++){glBegin(GL_LINES); glVertex3f(pcx[i-1],pcy[i-1],pcz[i-1]);glVertex3f(pcx[i],pcy[i],pcz[i]);glEnd();}glColor3f(1.0f,0.0f,0.0f);*/tmcp=m-7;for(i=0;i<=tmcp;i++)for(j=i*3;j<i*3+4;j++){drx[j-i*3]=pcx[j];dry[j-i*3]=pcy[j];drz[j-i*3]=pcz[j];}Bezier(3,drx,dry,drz,20);}}// 绘制2 次B 样条曲线//m 为节点矢量U[] 的最大下标void BSpline2L(int m,float U[],float px[],float py[],float pz[]){float pcx[100],pcy[100],pcz[100],drx[3],dry[3],drz[3];int i,j,tmcp;B2SplineControlPoint(m,U,px,pcx);B2SplineControlPoint(m,U,py,pcy);B2SplineControlPoint(m,U,pz,pcz); tmcp=m-5;for(i=0;i<=tmcp;i++){for(j=i*2;j<i*2+3;j++){drx[j-i*2]=pcx[j];dry[j-i*2]=pcy[j];drz[j-i*2]=pcz[j];}Bezier(2,drx,dry,drz,20);}}// 计算双三次( 3x3)B 样条曲面所有控制多边形顶点，并保存在pt[][][] 中//mu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标值void BS3FaceControlPoint(int mu,float U[],int mv,float V[],float py[],float pz[],floatpx[],float pt[100][100][3]){int i,j,k,dp;float tmx[50],tmy[50],tmz[50];float tmpx[50][100],tmpy[50][100],tmpz[50][100];float uvx[100][100],uvy[100][100],uvz[100][100];for(i=0;i<mv-3;i++){dp=i*(mu-3);for(j=dp;j<mu-3+dp;j++){tmx[j-dp]=px[j];tmy[j-dp]=py[j];tmz[j-dp]=pz[j];}B3SplineControlPoint(mu,U,tmx,tmpx[i]);B3SplineControlPoint(mu,U,tmy,tmpy[i]);B3SplineControlPoint(mu,U,tmz,tmpz[i]);}for(i=0;i<3*mu-17;i++){for(j=0;j<mv-3;j++){tmx[j]=tmpx[j][i];tmy[j]=tmpy[j][i];tmz[j]=tmpz[j][i];}B3SplineControlPoint(mv,V,tmx,uvx[i]);B3SplineControlPoint(mv,V,tmy,uvy[i]);B3SplineControlPoint(mv,V,tmz,uvz[i]); for(k=0;k<3*mv-17;k++){pt[i][k][0]=uvx[i][k];pt[i][k][1]=uvy[i][k];pt[i][k][2]=uvz[i][k];}}}// 计算双二次( 2x2)B 样条曲面所有控制多边形顶点，并保存在pt[][][] 中//mu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标值void BS2FaceControlPoint(int mu,float U[],int mv,float V[],float py[],float pz[],floatpx[],float pt[100][100][3]){int i,j,k,dp;float tmx[50],tmy[50],tmz[50];float tmpx[50][100],tmpy[50][100],tmpz[50][100];float uvx[100][100],uvy[100][100],uvz[100][100];for(i=0;i<mv-2;i++){dp=i*(mu-2);for(j=dp;j<mu-2+dp;j++){tmx[j-dp]=px[j];tmy[j-dp]=py[j];tmz[j-dp]=pz[j];}B2SplineControlPoint(mu,U,tmx,tmpx[i]);B2SplineControlPoint(mu,U,tmy,tmpy[i]);B2SplineControlPoint(mu,U,tmz,tmpz[i]);}for(i=0;i<2*mu-7;i++){for(j=0;j<mv-2;j++){tmx[j]=tmpx[j][i];tmy[j]=tmpy[j][i];tmz[j]=tmpz[j][i];}B2SplineControlPoint(mv,V,tmx,uvx[i]);B2SplineControlPoint(mv,V,tmy,uvy[i]);B2SplineControlPoint(mv,V,tmz,uvz[i]); for(k=0;k<2*mv-7;k++){pt[i][k][0]=uvx[i][k];pt[i][k][1]=uvy[i][k];pt[i][k][2]=uvz[i][k];}}}//---------------------------------------------------------------------------- // 设置网格数void SetGridCount(int dt,int tu,int tmk[]){int i,tm;tm=tu%dt;for(i=0;i<dt-1;i++)tmk[i]=(tu-tm)/dt;tmk[dt-1]=tmk[0]+tm;}//----------------------------------------------------------------------------//计算双三次（3x3次）或双二次（2x2次）B样条曲面上所有的点并保存在bs[][][] 中//nu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标//uk,vk 分别为B 样条曲面(u,v) 方向上的网格数//p 为曲面的次数void BSplineFace(int p,int nu,float U[],int uk,int mv,float V[],int vk,float px[],float py[],float pz[],float bs[161][161][3]){int udk[20],vdk[20],i,j,k,l,hu,sv,du,dv;float tp[100][100][3],td[161][161][3];float tmx[4][4],tmy[4][4],tmz[4][4];du=nu-2*p;dv=mv-2*p;SetGridCount(du,uk,udk);SetGridCount(dv,vk,vdk);if(p==3)BS3FaceControlPoint(nu,U,mv,V,px,py,pz,tp);if(p==2)BS2FaceControlPoint(nu,U,mv,V,px,py,pz,tp);for(i=0;i<dv;i++){for(k=0;k<du;k++){for(j=i*p;j<p+1+i*p;j++) for(l=k*p;l<p+1+k*p;l++) {tmx[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][0];tmy[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][1];tmz[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][2];}BezierFacePoint(p,udk[k],vdk[i],tmx,tmy,tmz,td); for(sv=i*vdk[0];sv<=vdk[i]+i*vdk[0];sv++) for(hu=k*udk[0];hu<=udk[k]+k*udk[0];hu++) {bs[sv][hu][0]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][0];bs[sv][hu][1]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][1];bs[sv][hu][2]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][2];}}}}//-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* Nurbs 样条曲线曲面部************** // 计算Nurbs 曲线上的点（u 所对应的所有点）保存在Poi[] 中//n=m-p-1//p 为曲线的次数void NurbsPoint(int n,int p,float U[],float P[],float W[],float Poi[]){float N[100],tmp,tmw;int i,j;for(i=p+1;i<=n;i++){BasisFunction(i,p,U[i],U,N); tmp=0;tmw=0;for(j=i;j>=i-p;j--){tmp+=N[j]*P[j]*W[j]; tmw+=N[j]*W[j];}Poi[i-p]=tmp/tmw;}}// 计算Nurbs 曲线的1 阶导矢( u 所对应的所有点)保存在Der[] 中//n=m-p-1 //p 为曲线的次数void NurbsDer(int n,int p,float U[],float P[],float W[],float Der[]){float N[100],CP[100],NW[100],tmp,tw;int i,j;NurbsPoint(n,p,U,P,W,CP);BSplinePoint(n,p,U,W,NW); for(i=p+1;i<=n;i++){DerBasisFunc(i,p,U[i],U,N); tmp=0;tw=0;for(j=i;j>=i-p;j--){tmp+=N[j]*P[j]*W[j]; tw+=N[j]*W[j];}Der[i-p]=(tmp-tw*CP[i-p])/NW[i-p];}}// 计算3 次Nurbs 曲线上的所有控制多边形保存在CP[] 中//m 为节点矢量U[] 的最大下标void Nurbs3ControlPoint(int m,float U[],float P[],float W[],float CP[]){int n,k,i,cp,p;float Poi[100],Der[100],add;p=3;n=m-p-1;NurbsPoint(n,p,U,P,W,Poi);{NurbsDer(n,p,U,P,W,Der); cp=(n-p)*3+p; for(i=0;i<2;i++)CP[i]=P[i];CP[cp-i]=P[n-i];}for(i=3;i<cp-1;i+=3){k=(int)i/3;add=Der[k]/p;CP[i]=Poi[k];CP[i-1]=CP[i]-add;CP[i+1]=CP[i]+add;}}// 计算2 次Nurbs 曲线上的所有控制多边形保存在CP[] 中//m 为节点矢量U[] 的最大下标void Nurbs2ControlPoint(int m,float U[],float P[],float W[],float CP[]){int n,k,tm,i,cp,p;float Poi[100];p=2;n=m-p-1;NurbsPoint(n,p,U,P,W,Poi);cp=(n-p)*2+p;for(i=0;i<2;i++)CP[i]=P[i];CP[cp]=P[n];tm=2;for(i=2;i<cp-1;i+=2){k=(int)i/2;CP[i]=Poi[k];CP[i+1]=P[tm];tm++;// 绘制3 次Nurbs 样条曲线//m 为节点矢量U[] 的最大下标void Nurbs3L(int m,float U[],float px[],float py[],float pz[],float W[]){float pcx[100],pcy[100],pcz[100],drx[4],dry[4],drz[4]; float pcw[100],drw[4];int i,j,tmcp;Nurbs3ControlPoint(m,U,px,W,pcx);Nurbs3ControlPoint(m,U,py,W,pcy);Nurbs3ControlPoint(m,U,pz,W,pcz);B3SplineControlPoint(m,U,W,pcw); tmcp=m-7;for(i=0;i<=tmcp;i++){{for(j=i*3;j<i*3+4;j++)drx[j-i*3]=pcx[j];dry[j-i*3]=pcy[j];drz[j-i*3]=pcz[j]; drw[j-i*3]=pcw[j];}NBezier(3,drx,dry,drz,drw,20);}}// 绘制2 次Nurbs 样条曲线//m 为节点矢量U[] 的最大下标void Nurbs2L(int m,float U[],float px[],float py[],float pz[],float W[]){float pcx[100],pcy[100],pcz[100],drx[3],dry[3],drz[3]; float pcw[100],drw[3];int i,j,tmcp;Nurbs2ControlPoint(m,U,px,W,pcx);Nurbs2ControlPoint(m,U,py,W,pcy);Nurbs2ControlPoint(m,U,pz,W,pcz);B2SplineControlPoint(m,U,W,pcw); tmcp=m-5;for(i=0;i<=tmcp;i++){for(j=i*2;j<i*2+3;j++){drx[j-i*2]=pcx[j];dry[j-i*2]=pcy[j];drz[j-i*2]=pcz[j];drw[j-i*2]=pcw[j];}NBezier(2,drx,dry,drz,drw,20);}}// 计算双三次( 3x3) Nurbs 样条曲面所有控制多边形顶点，并保存在pt[][][] //mu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标值void Nurbs3FControlPoint(int mu,float U[],int mv,float V[],float py[],float pz[],float W[],float pt[100][100][4]){int i,j,k,dp;float tmx[50],tmy[50],tmz[50],tmw[50];float tmpx[50][100],tmpy[50][100],tmpz[50][100],tmpw[50][100];float uvx[100][100],uvy[100][100],uvz[100][100],uvw[100][100];for(i=0;i<mv-3;i++){dp=i*(mu-3);for(j=dp;j<mu-3+dp;j++){tmx[j-dp]=px[j];tmy[j-dp]=py[j];tmz[j-dp]=pz[j];tmw[j-dp]=W[j];}Nurbs3ControlPoint(mu,U,tmx,tmw,tmpx[i]);Nurbs3ControlPoint(mu,U,tmy,tmw,tmpy[i]);Nurbs3ControlPoint(mu,U,tmz,tmw,tmpz[i]);B3SplineControlPoint(mu,U,tmw,tmpw[i]);}for(i=0;i<3*mu-17;i++){for(j=0;j<mv-3;j++){tmx[j]=tmpx[j][i];tmy[j]=tmpy[j][i];tmz[j]=tmpz[j][i];tmw[j]=tmpw[j][i]; 中px[],float}Nurbs3ControlPoint(mv,V,tmx,tmw,uvx[i]); Nurbs3ControlPoint(mv,V,tmy,tmw,uvy[i]); Nurbs3ControlPoint(mv,V,tmz,tmw,uvz[i]); B3SplineControlPoint(mv,V,tmw,uvw[i]);for(k=0;k<3*mv-17;k++){pt[i][k][0]=uvx[i][k];pt[i][k][1]=uvy[i][k];pt[i][k][2]=uvz[i][k];pt[i][k][3]=uvw[i][k];}}}// 计算双二次( 2x2) Nurbs 样条曲面所有控制多边形顶点，并保存在pt[][][] //mu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标值void Nurbs2FControlPoint(int mu,float U[],int mv,float V[],float py[],float pz[],float W[],float pt[100][100][4]){int i,j,k,dp;float tmx[50],tmy[50],tmz[50],tmw[50];float tmpx[50][100],tmpy[50][100],tmpz[50][100],tmpw[50][100];float uvx[100][100],uvy[100][100],uvz[100][100],uvw[100][100];for(i=0;i<mv-2;i++){dp=i*(mu-2);for(j=dp;j<mu-2+dp;j++){tmx[j-dp]=px[j];tmy[j-dp]=py[j];tmz[j-dp]=pz[j];tmw[j-dp]=W[j];}Nurbs2ControlPoint(mu,U,tmx,tmw,tmpx[i]);Nurbs2ControlPoint(mu,U,tmy,tmw,tmpy[i]);Nurbs2ControlPoint(mu,U,tmz,tmw,tmpz[i]);B2SplineControlPoint(mu,U,tmw,tmpw[i]);}for(i=0;i<2*mu-7;i++){for(j=0;j<mv-2;j++){tmx[j]=tmpx[j][i];tmy[j]=tmpy[j][i];tmz[j]=tmpz[j][i]; 中px[],floattmw[j]=tmpw[j][i];}Nurbs2ControlPoint(mv,V,tmx,tmw,uvx[i]);Nurbs2ControlPoint(mv,V,tmy,tmw,uvy[i]);Nurbs2ControlPoint(mv,V,tmz,tmw,uvz[i]);B2SplineControlPoint(mv,V,tmw,uvw[i]);for(k=0;k<2*mv-7;k++){pt[i][k][0]=uvx[i][k];pt[i][k][1]=uvy[i][k];pt[i][k][2]=uvz[i][k];pt[i][k][3]=uvw[i][k];}}}//----------------------------------------------------------------------------//计算双三次(3x3次)或双二次(2x2次)Nurbs样条曲面上所有的点并保存在//nu,mv 分别为节点矢量U[],V[] 的最大下标〃uk,vk 分别为B样条曲面(u,v)方向上的网格数//p 为曲面的次数void NurbsFace(int p,int nu,float U[],int uk,int mv,float V[],int vk,float px[],float py[],float pz[],float bs[161][161][3]){int udk[20],vdk[20],i,j,k,l,hu,sv,du,dv;float tp[100][100][4],td[161][161][3];float tmx[4][4],tmy[4][4],tmz[4][4],tmw[4][4];du=nu-2*p;dv=mv-2*p;SetGridCount(du,uk,udk);SetGridCount(dv,vk,vdk);if(p==3)Nurbs3FControlPoint(nu,U,mv,V,px,py,pz,w,tp);if(p==2)Nurbs2FControlPoint(nu,U,mv,V,px,py,pz,w,tp);for(i=0;i<dv;i++){for(k=0;k<du;k++){for(j=i*p;j<p+1+i*p;j++)for(l=k*p;l<p+1+k*p;l++){tmx[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][0];tmy[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][1];tmz[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][2]; bs[][][] 中w[],floattmw[j-i*p][l-k*p]=tp[l][j][3];}NuBezierFacePoint(p,udk[k],vdk[i],tmx,tmy,tmz,tmw,td);for(sv=i*vdk[0];sv<=vdk[i]+i*vdk[0];sv++)for(hu=k*udk[0];hu<=udk[k]+k*udk[0];hu++)bs[sv][hu][0]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][0];bs[sv][hu][1]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][1];bs[sv][hu][2]=td[sv-i*vdk[0]][hu-k*udk[0]][2];}}}} for(j=0;j<=u;j++) //* ************* 绘制曲面部*******************// 计算多边形的外法线返回值 tmN[]void getN(float x[3],float y[3],float z[3],float tmN[3]) { float p1,p2,p3,q1,q2,q3;float nx,ny,nz;p1=x[1]-x[0];p2=y[1]-y[0];p3=z[1]-z[0];q1=x[2]-x[1];q2=y[2]-y[1];q3=z[2]-z[1];nx=p2*q3-q2*p3;ny=q1*p3-p1*q3;nz=p1*q2-p2*q1;tmN[0]=nx;tmN[1]=ny;tmN[2]=nz;} //----------------------------------------------------------------------------// 显示 B 样条曲面//fill 取值为 0 或 1void ShowSurface(int u,int v,float bs[161][161][3],int fill) {int i,j;float x[3],y[3],z[3],tmn[3];for(i=0;i<=v;i++){if(fill!=0){x[0]=bs[i][j][0]; x[1]=bs[i+1][j][0]; x[2]=bs[i+1][j+1][0];y[0]=bs[i][j][1]; y[1]=bs[i+1][j][1]; y[2]=bs[i+1][j+1][1];z[0]=bs[i][j][2];z[1]=bs[i+1][j][2]; z[2]=bs[i+1][j+1][2];getN(x,y,z,tmn); glEnable(GL_NORMALIZE); glBegin(GL_QUADS);glNormal3f(tmn[0],tmn[1],tmn[2]); if(j<u){glVertex3f(bs[i][j][0],bs[i][j][1],bs[i][j][2]);glVertex3f(bs[i][j+1][0],bs[i][j+1][1],bs[i][j+1][2]);}if(i<v){glVertex3f(bs[i+1][j+1][0],bs[i+1][j+1][1],bs[i+1][j+1][2]);glVertex3f(bs[i+1][j][0],bs[i+1][j][1],bs[i+1][j][2]);}glEnd(); glDisable(GL_NORMALIZE);}else{ glBegin(GL_LINES); if(j<u) {glVertex3f(bs[i][j][0],bs[i][j][1],bs[i][j][2]);glVertex3f(bs[i][j+1][0],bs[i][j+1][1],bs[i][j+1][2]); }if(i<v){glVertex3f(bs[i][j][0],bs[i][j][1],bs[i][j][2]);glVertex3f(bs[i+1][j][0],bs[i+1][j][1],bs[i+1][j][2]);} glEnd();}#endif#endif#include 建立库文件“ myNurbs.h ”保存在include 目录下，在文件开始处写上"myNurbs.h" 即可用各函数的功能。

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