陕西省西安市第一中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

西安市第一中学
2013—2014学年度第二学期期中考试 高二理科数学试题（选修2-2）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知复数(2)z i i =-（i 为虚数单位），则=z （ ）
A ．12i +
B ．12i -+
C ．12i --
D ．12i - 2. 函数x x x y +=sin 的导数是( )
A.'sin cos y x x x =+
B. 'sin cos y x x x =-
C. 'sin cos y x x x =+
D. 'sin cos y x x x =-
3．下列不等式一定成立的是（ ）
A ．21lg()lg (0)4x x x +>>
B ．1
sin 2(,)
sin x x k k Z x π+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．21
1()1x R x >∈+
4．曲线324y x x =-+在点(13)，
处的切线的斜率为（ ） A ．2 B ．1 C -2 D ．-1 5．函数y ＝1＋3x －x 3有（ ）
A ．极小值－1，极大值1
B ．极小值－2，极大值3
C ．极小值－2，极大值2
D ．极小值－1，极大值3 6．设'()f x 是函数)(x f 的导函数, '()f x 的图象如右图所示，
则)(x f y =
）
A B C
7．由直线2
1=x ，x=2，曲线x
y 1=及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ）
A.
415 B. 4
17 C. 2ln 21
D. 2ln 2 8．若曲线()sin f x x x =⋅在x=2
π
处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，
则实数a 等于（ ）
A ．2
B ．1
C -2
D ．-1 9．函数2()2ln f x x x =-的递增区间是( ) A.1(0,)2
B.1(,0)2-和1(,)2
+∞ C.1(,)2
+∞ D.1(,)2
-∞-和1(0,)2
10.设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时，
''()()()()0f x g x f x g x +>，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集
是（ ）
A. (3,0)(3,)-⋃+∞
B. (,3)(0,3)-∞-⋃
C. (,3)(3,)-∞-⋃+∞
D. (3,0)(0,3)-⋃
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．已知23)(23++=x ax x f ，若4)1('=-f ，则a=____________； 12．过原点作曲线x e y =的切线，则切线斜率是 ； 13．观察下列不等式 213122+
< ， 231151233++<，474
131211222<+++ ……
照此规律，第五个．．．不等式为 ； 14．用数学归纳法证明：)12(312)()2)(1(-⨯⨯⨯⨯=+++n n n n n n （+∈N n ）时，从 “1+==k n k n 到”时，左边应增添的代数式_______________；
15．设()()()()f x x a x b x c =---(,,a b c 是两两不等的常数)，则
'''()()()
a b c
f a f b f c ++
的值是 ______________. 三、解答题（本大题共4小题，共40分）
16.（10分）已知数列
1111...122334(1)
n n ⨯⨯⨯⨯+，，，，，计算1234S S S S ，，，，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明.
17.（10分）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(1)13ab bc ca ++≤; (2)222
1
a b c b c a ++≥.
18．(10分）已知函数x ax x x f 3)(23--=
（1）若3
1-=x 是)(x f 的极大值点,求)(x f 在],1[a 上的最大值； （2）在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数bx x g =)( 的图像与函数)(x f 的图像恰有3个交点，若存在，求出b 的取
值范围，若不存在，说明理由。

19.（10分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈
(1)当2a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程; (2)求函数()f x 的极值。

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2013-2014学年度第二学期期中考试高二理科数学答案
一、选择题
AACBD CDACB 二、填空题 11、-1
12、e 13、 611
6
151********
2222<+++++
14 、 )12(2+k
15、0
三、解答题 16．已知数列
1111
...122334(1)
n n ⨯⨯⨯⨯+，，，，，计算1234S S S S ，，，，根据计算结果，猜想n
S 的表达式，并用数学归纳法证明.
解：12341
2
34====2
3
45S S S S ，，，， ……4分
猜想：=1
n n
S n + ……6分
用数学归纳法证明 （略） ……10分
17．（每小题5分，共10分）
设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(1)13ab bc ca ++≤; (2)222
1
a b c b c a ++≥.
18．已知函数
x ax x x f 3)(23--=
（1）若3
1
-
=x 是)(x f 的极大值点,求)(x f 在],1[a 上的最大值； （2）在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数bx x g =)(的图像与函数)(x f 的图
像恰有3个交点，若存在，求出b 的取值范围，若不存在，说明理由。

解：(1) 0)3
1('
=-f 得a=4. )3)(13(383)(2'-+=--=x x x x x f
在区间]4,1[上, )(x f 在]3,1[上为减函数,在]4,3[上为增函数.
而6)1(-=f ，12)4(-=f ，所以6)(max -=x f ……5分 (2)问题即为是否存在实数b ，使得函数bx x x x =--342
3
恰有3个不同实根.
方程可化为0)]3(4[2=+--b x x x 等价于 0)3(42=+--b x x 有两个不等于0的实根则30-≠>∆b 且，所以3,7-≠->b b ……
10分
19、解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞,()1'=-
a
f x x
. (1)当2=a 时,()2ln =-f x x x ,2
()1(0)'=-
>f x x x
, (1)1,(1)1'∴==-f f ,
()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ,
即20+-=x y . ……5分 (2)由()1,0-'=-
=>a x a f x x x x
可知: ①当0≤a 时,()0'>f x ,函数()f x 为(0,)+∞上的增函数,函数()f x 无极值; ②当0>a 时,由()0'=f x ,解得=x a ;
(0,)∈x a 时,()0'<f x ,(,)∈+∞x a 时,()0'>f x
()∴f x 在=x a 处取得极小值,且极小值为()ln =-f a a a a ,无极大值.
综上:当0≤a 时,函数()f x 无极值
当0>a 时,函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ,无极大值. ……10分。