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中考考前押题数学试卷含答案解析

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2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(四川成都卷)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(四川成都卷)

2024年中考数学考前押题密卷（四川成都卷）全解全析A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1．2024的倒数是（）A．2024−B．2024C．12024−D．12024【答案】D【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．【解析】解：∵1 202412024⨯=，∴2024的倒数是1 2024，故选：D．2．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块组成，其主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】从正面看：共有3列，从左往右分别有1，2，1个小正方形；据此可画出图形．【解析】如图所示的几何体的主视图是．故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．3．纳米是一种长度单位，常用于度量物质原子的大小，1纳米910−=米，已知某种植物孢子的直径为45000纳米，用科学记数法表示该孢子的直径为（ ） A ．.64510−⨯米 B ．.54510−⨯米 C ．54510−⨯米 D ．.704510−⨯米【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n 是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【解析】-94-95450004500010m=4.51010 4.510nm m m =⨯⨯⨯=⨯－ ．故选：B【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是熟练的掌握用科学记数法表示较小的数． 4．下列运算正确的是（ ） A ．236a a a ⋅= B ．235236a a a =⋅ C ．()22433a a =D ．2235a a a +=【答案】B【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是利用同底数幂的乘法、单项式的乘法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项对各选项逐一分析即可．【解析】解：A ．2356a a a a ⋅=≠，故此选项不符合题意；B ．235236a a a =⋅，故此选项符合题意；C ．()2244393a a a =≠，故此选项不符合题意；D ．22355a a a a +=≠，故此选项不符合题意． 故选：B ．5．如图，OE AB ⊥于E ，若O 的直径为10cm ，3cm OE =，则AB 长为（ ）.A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm【答案】D【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出BE 的长是解此题的关键． 【解析】解：如图，连接OB ，OA ，，O 的直径为10cm ，5cm OA OB ∴==，OE AB ⊥于E ，2AB BE ∴=，4cm BE OB ==， 28cm AB BE ∴==，故选：D ．6．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 为边BC 的中点，连接OE ．若1216AC BD ==，，则OE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理．由菱形的性质得到162OC AC ==，182OB BD ==，AC BD ⊥，由勾股定理求出BC 的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出OE 的长．【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴162OC AC ==，182OB BD ==，AC BD ⊥，10CB \=，E 为边BC 的中点， 1OE BC 52∴==．故选：C ．7．《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》.其中在《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问绳子、木条长多少尺？”，设绳子长为x 尺，木条长为y 尺，根据题意，所列方程组正确的是（ ）A ． 4.5112x y y x −=⎧⎪⎨−=⎪⎩B ． 4.5112x y y x +=⎧⎪⎨−=⎪⎩ C ． 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩D ． 4.5112x y x y −=⎧⎪⎨−=⎪⎩【答案】A【分析】本题的等量关系是:绳长-木长 4.5=;木长12−绳长=1,据此可列方程组求解.【解析】解:设绳长x 尺,长木为y依题意得 4.5112x y y x −=⎧⎪⎨−=⎪⎩, 故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，找出等量关系是解决本题的关键. 8．在同一坐标系中，二次函数2y ax b =+的图象与一次函数y bx a =+的图象可能是（ ）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】根据二次函数、一次函数图像与系数的关系，对每个选项一一判断即可．【解析】A．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a>0，b<0，故A选项不可能．B．由一次函数图像可得：a>0，b<0；由二次函数图像可得：a>0，b>0，故B选项不可能．C．由一次函数图像可得：a<0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b>0，故C选项可能．D．由一次函数图像可得：a>0，b>0；由二次函数图像可得：a<0，b<0，故D选项不可能．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数、二次函数图像与系数的关系，根据一次函数、二次函数图像判断系数的正负是解题关键．第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．在实数范围内因式分解：344a a−=．【答案】()() 411 a a a+−【分析】先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可．【解析】解：()()() 324441411a a a a a a a−=−=+−，故答案为()() 411a a a+−．【点睛】本题主要考查运用提公因式法、公式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．10．若分式2255xx−−的值为0，则x的值为【答案】－5【解析】由题意得：x2-25=0且x-5≠0，解之得x=-5．故答案为：-5．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子的值为0；（2）分母的值不为0．这两个条件缺一不可．11．如图，在ABC 中，,BAC ABC ∠∠的平分线交于点D ，过点D 作EF AB ∥，分别交,AC BC 于点E ，F ．当2,4AE BF ==时，EF 的长为 ．【答案】6【分析】本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义．根据角平分线的定义可得,BAD CAD ABD CBD ∠=∠∠=∠，根据平行线的性质可得,BAD ADE ABD BDF ∠=∠∠=∠，进一步可得,CAD ADE CBD BDF ∠=∠∠=∠，可得,DE AE DF BF ==，进一步可得EF 的长．【解析】解：∵AD ，BD 平分,BAC ABC ∠∠， ∴,BAD CAD ABD CBD ∠=∠∠=∠， ∵EF AB ∥，∴,BAD ADE ABD BDF ∠=∠∠=∠， ∴,CAD ADE CBD BDF ∠=∠∠=∠， ∴2,4DE AE DF BF ====， ∴246EF DE DF =+=+=， 故答案为：6．12．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，若AC =4，CE =8，BD =3，则DF 的值是 ．【答案】6【分析】根据平行线分线段成比例得438DF =，即可得出DF 值．【解析】解：∵直线a ∥b ∥c ， ∴AC BD CE DF =即438DF =，∴DF ＝6． 故答案为：6．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．13．如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，62ACB ∠=︒，按以下步骤作图：（1）以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交线段BA ，BC 于点M ，N ；（2）以点C 为圆心，BM 的长为半径画弧，交线段CB 于点D ；（3）以点D 为圆心，MN 的长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点E ；（4）过点E 作射线CE ，与BA 相交于点F ，则AFC ∠= ︒．【答案】56【分析】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，关键是由基本作图得到BCF B ∠=∠． 由作图可知：BCF B ∠=∠，由直角三角形的性质得到9028B ACB ∠=︒−∠=︒，由三角形外角的性质求出56AFC B BCF ∠=∠+∠=︒．【解析】解：由作图知：BCF B ∠=∠，∵90A ∠=︒，62ACB ∠=︒，∴9028B ACB ∠=︒−∠=︒， ∴28BCF ∠=︒，∴56AFC B BCF ∠=∠+∠=︒．故答案为：56．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）()1计算：0214sin45(3)()3π−−−+−−；()2解不等式组：()32412123x x x x ⎧−−≥⎪⎨−−<⎪⎩，并在数轴上表示它的解集．【解析】()1原式419=−8=8=−；()2解不等式()324x x −−≥，得：1x ≤，解不等式12123x x −−<，得：1x >−， 则不等式组的解集为11x −<≤， 将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是实数的混合运算与解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（8分）一天中午，小旭和小华两人想利用所学知识测量当地一座古塔的高度AB （古塔的底部不可到达），如图所示，小旭先在塔影子的顶端C 处竖立长为1.5m 的标杆CD ，测得标杆的影长CE 为2m ，此时小华在标杆的影子顶端E 处放置测角仪EF ，测得塔顶端B 的仰角为35︒，已知测角仪EF 的高度为1.5m ，EF AE ⊥，CD AE ⊥，AB AE ⊥，点A ，C ，E 在同一水平直线上，求该古塔的高度AB ．（参考数据：tan350.70︒≈，sin350.57︒≈，cos350.82︒≈）【解析】解：如图：设m AC x =，由题意得：CE ACCD AB =， ∴21.5x AB =， ∴0.75AB x =，由题意得： 1.5m EF CD AG ===，2m DF CE ==，m DG AC x ==， ∴(2)m FG DF DG x =+=+， 在Rt BFG △中，35BFG ∠=︒， ∴tan 350.7(2)m BG FG x =⋅︒≈+， ∵AG BG AB +=， ∴1.50.7(2)0.75x x ++=， 解得：58x =， ∴58m AC =，∴0.7543.5(m)AB x ==， ∴该古塔的高度AB 约为43.5m ．16．（8分）为了提高学生的综合素养，某校开设了五门手工活动课．按照类别分为：A “剪纸”、B “沙画”，C “葫芦雕刻”，D “泥塑”，E “插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量为______；统计图中的=a ______，b =______．(2)通过计算补全条形统计图．若该校共有2500名学生，请你估计全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数； (3)剪纸比较优秀的是1A ，2A 两名女生和1B 男生三名同学，若从比较优秀的3名同学中随机选取两名同学，参加市举办的剪纸比赛，请利用列表法或树状图法，求恰好选到一名男生和一名女生的概率． 【解析】（1）解：1815%120÷=名，∴本次调查的学生人数为120名，即样本容量为120， ∴12010%12a =⨯=，12030%36b =⨯=， 故答案为：120，12，36；（2）解：E 类别的人数为：1201812303624−−−−=（人）补全条形统计图如图所示：C 类别所占的百分比为：3012025%÷=，250025%625⨯=（人） ∴全校喜爱“葫芦雕刻”的学生人数约为625人． （3）解：画树状图如下：由树状图可知一共有6种等可能性的结果数，其中恰好选到一名男生和一名女生的结果数有4种， ∴恰好选到一名男生和一名女生的概率4263==．17．（10分）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，过点D 的直线EF 交AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，且2BAC BDE ∠=∠．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)当2,30CF E =∠=︒时，求图中阴影部分的面积． 【解析】（1）证明：如图1，连接OD ，AD∵AB 是O 的直径 ∴90ADB ∠=︒ ∴AD BC ⊥ ∵AB AC = ∴2BAC BAD ∠=∠ ∵2BAC BDE ∠=∠ ∴BDE BAD ∠=∠ ∵OA OD = ∴BAD ADO ∠=∠ ∵ADO ODB 90∠+∠=︒ ∴90BDE ODB ∠+∠=︒ ∴90ODE ∠=︒即DF OD ⊥ 又∵OD 是O 的半径 ∴DF 是O 的切线．（2）解：如图2，过点D 作DM AE ⊥于点M ，∵AB AC AD BC ⊥=， ∴BD CD = ∵BO AO =∴OD 是ABC 的中位线 ∴12OD AC OD AC =∥，∵30E OD DF ︒∠=⊥， ∴60DOE ∠=︒∵OD AC ∥，∴60CAB DOE ∠=∠=︒ ∴ACB △和BOD 为等边三角形 在Rt CFD △中，9060CFD C ︒∠︒∠==， ∴30CDF ∠=︒ ∴4CD =∴4OD BD CD ===在Rt ODM 中，304ODM OD ︒∠==，∴DM =∵BODBOD S S S =−阴影扇形，26041=43602π⨯−⨯⨯83π=−∴阴影部分的面积为83π−90°，中位线，含30°的直角三角形，等边三角形的判定与性质，扇形的面积等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18．（10分）已知点(),5m m +、()2,1m m ++均在反比例函数()0ky x x=>的图象上．(1)求反比例函数的表达式；(2)如图1，点P 是反比例函数()0ky x x=>图象上一点，PA x ⊥轴于点A ，点B 是y 轴上一点，BD BA ⊥交射线AP 于点D ，点M 为线段BD 上一点，连接MA ，点C 为MA 的中点，点N 为射线AP 上一点，当四边形MBCN 为菱形且面积为P 的坐标；(3)如图2，点Q 为反比例函数图象()20y x x=<上一动点，过Q 作QE y ⊥轴于点E ，连接QO 并延长，交反比例函数()0ky x x=>图象于点H ，过E 作EF OQ ∥，交反比例函数()0k y x x=>图象于点F ，连接OF ，试判断EOF S △是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）解：∵(),5m m +、()2,1m m ++均在反比例函数()0ky x x =>的图象上，∴()()()521k m m m m =+=++，解得1m =，6k =， ∴反比例函数表达式为6y x =；（2）如图，连接BN ，∵MBCN 为菱形，∴,BM BC MN BMC NMC ∠∠===， ∵BD BA ⊥，点C 为MA 的中点，BM BC CM ∴==，∴6030BMC BAM ∠∠=︒=︒，， ∴ABM ANM ≌， ∴30BAM NAM ∠∠==︒， ∴30BAO ∠=︒， 令2CM t BM ==，∵12BMNC S CM BN ==⨯⨯菱形，∴BN =，又∵2(sin 60)BN BM =⨯︒=，∴11t t ==−，(舍)， ∴2BM =，在Rt AMB 中，30BAM ∠=︒，∴AB ==， ∵30BAO ∠=︒，∴3OA AB =，又∵点P 是反比例函数()0ky x x =>图象上一点，∴点P 的坐标为()32，．（3）过点F 作FG x ⊥轴于点G ，EF 与x 轴交于点T ，设点2,Q a a ⎛⎫⎪⎝⎭，点F 坐标为,k b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则2kQE a OE FG a b =−=−=，，， ∵四边形QETO 是平行四边形， ∴EQO ETO QE OT a ∠∠===−，， ∵ETO FTG ∠=∠, ∴EQO FTG ∠=∠， 又∵90OEQ FGT ∠∠==︒， ∴OEQ FGT ∽，∴FG TGOE QE =，∴TG OG OT b a =−=+，∴2kb ab a a +=−−，解得b a =，∵a ，b 异号，0k >，∴b a =，∴11222EOFSOE b b a ⎛⎫=⨯⨯=⨯−⨯= ⎪⎝⎭，由（1）知6k =，∴EOFS=，为定值．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的图像上点的特点，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．B 卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上）19．已知m 是一元二次方程2510x x −−=的一个根，则220225m m −+的值为 ． 【答案】2021【分析】根据已知条件得251m m −=，然后将其代入所求代数式，即可求解．【解析】解：m 是一元二次方程2510x x −−=的一个根，251m m ∴−=，220225m m ∴−+=22022(5)m m −−=20221−=2021．故答案为：2021．【点睛】此题考查了代数式的求值与一元二次方程的根的概念，熟练运用相关概念与整体代入的思想是解此题的关键．20．将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为 ．【答案】13【分析】如图，将阴影部分分割成图形中的小三角形，令小三角形的面积为a ，分别表示出阴影部分的面积和正六边形的面积，根据概率公式求解即可． 【解析】解：如图，根据题意得：图中每个小三角形的面积都相等，设每个小三角形的面积为a ，则阴影的面积为6a ，正六边形的面积为18a ，∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为61183a a =． 故答案为：13．【点睛】本题主要考查几何概率，根据正六边形的性质得到图中每个小三角形的面积都相等是解题的关键．21．若数a 关于x 的不等式组()()11223321xx x a x ⎧−≤−⎪⎨⎪−≥−⎩恰有两个整数解，且使关于y 的分式方程132211y a y y −−=−−−的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是 ． 【答案】5【分析】先解不等式得出解集x≤2且x≥25a +，根据其有两个整数解得出0＜25a +≤1，解之求得a 的范围；解分式方程求出y ＝2a −1，由解为正数且分式方程有解得出2a −1＞0且2−a 1≠1，解之求得a 的范围；综合以上a 的范围得出a 的整数值，从而得出答案．【解析】解：()()11223321x x x a x ⎧−≤−⎪⎨⎪−≥−⎩①②解不等式①得：x≤2解不等式②得：x≥25a + ∵不等式组恰有两个整数解，∴0＜25a +≤1 解得32a −≤＜， 解分式方程132211y ay y −−=−−−得：21y a =−， 由题意知210211a a −>⎧⎨−≠⎩，解得12a >且1a ≠ 则满足32a −≤＜，12a >且1a ≠的所有整数a 的值是2和3；它们之和是2+3=5 故答案为：5【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和求方程的正数解，解题的关键是根据不等式组整数解和方程的正数解得出a 的范围，再求和即可．22．如图，抛物线241y x x =−++与y 轴交于点P ，其顶点是A ，点P '的坐标是()3,2−，将该抛物线沿PP '方向平移，使点P 平移到点P '，则平移过程中该抛物线上P 、A 两点间的部分所扫过的面积是 ．【答案】18【分析】将0x =代入求P 点坐标，由()224125y x x x =−++=−−+，可知A 点坐标，如图，连接PA ，AA '，A P ''，过A 作BC x ∥轴，交y 轴于B ，过P '作DE x 轴，交y 轴于D ，过A '作EC BC ⊥于C ，交DE 于E ，则四边形BCED 是矩形，()()()()0,55,50,25,2B C D E −−，，，，由题意知四边形APP A ''的面积即为平移过程中该抛物线上P 、A 两点间的部分所扫过的面积，根据ABPPDP ACA A EP BCED APP A S S SSSS''''''=−−−−矩形四边形，计算求解即可．【解析】解：当0x =时，1y = ∴()0,1P∵()224125y x x x =−++=−−+∴()2,5A∵()3,2P '−，抛物线沿PP '方向平移∴A 平移后的点坐标为()5,2A '如图，连接PA ，AA '，A P ''，过A 作BC x ∥轴，交y 轴于B ，过P '作DE x 轴，交y 轴于D ，过A '作EC BC ⊥于C ，交DE 于E∴四边形BCED 是矩形，()()()()0,55,50,25,2B C D E −−，，，由题意知四边形APP A ''的面积即为平移过程中该抛物线上P 、A 两点间的部分所扫过的面积 ∴ABPPDP ACA A EP BCED APP A S S SSSS''''''=−−−−矩形四边形1111=75423333422222⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯ 18=故答案为：18．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移，二次函数与面积综合等知识．解题的关键在于确定P 、A 两点间的部分．23．如图：正方形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且AE CF =，DG EF ⊥于H 交BC 于G ．若3tan 4BHG ∠=，BGH V 的面积为3，求DK 的长为 ．【答案】5【分析】如图，连接DE DF 、，作BM EF ⊥于M ，BN DG ⊥于N ，则四边形BMHN 是矩形，由3tan tan 4MH BHG HBM BM ∠=∠==，可以假设34MH BN k BM k ===，，则5BH k =，证明EAD FCD ≌△△，进而证明DEF 是等腰直角三角形，则有5EH HF BH k ===，再根据条件求出k ，进一步证明DHK BME ∽，得DK DH BE BM =，由此即可解决问题． 【解析】解：如图，连接DE DF 、，作BM EF ⊥于M ，BN DG ⊥于N ．则四边形BMHN 是矩形3tan tan 4MH BHG HBM BM ∠=∠==，∴设34MH BN k BM k ===，，则5BH k =，在EAD 和FCD 中，AD DC A FCD AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EAD FCD ≌△△， ∴DE DF ADE CDF =∠=∠，， ∴90EDF ADC ∠=∠=︒， ∴EDF 是等腰直角三角形， ∵DG EF ⊥，∴5EH HF BH k ===， ∵HGBM ，∴FHG FMB ∽， ∴GH HF BM FM =，52GH k∴=，∵BGH V 的面积为3， ∴153322k k ⨯⨯=，∴245k =， ∵0k >，∴k =，∴4DH BH EM BE =====，∵BEM DKH BME DHK ∠∠=∠∠=，， ∴DHK BME ∽，∴DK DHBE BM =，4DK =， ∴5DK =， 故答案为：5．【点睛】本题是几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知识点，难度较大．作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24．（8分）某品牌山地自行车经销商经营的A 型车去年销售总额为50000元，今年每辆车的售价比去年降低500元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少12500元．A 、B 两种型号车今年的进货和销售价格信息如表所示．（1）今年A 型车每辆售价为多少元?（2）该品牌经销商计划新进一批A 型车和B 型车共60辆，且B 型车的进货数量不超过A 型车数量的3倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批自行车售出后获利最多?最大利润是多少? 【解析】解：（1）今年A 型车每辆售价为m 元，由题意得：500005000012500m 500m −=+，解得：1500m =，经检验，1500m =是方程的解，且符合题意．1500m ∴=（元），答：今年A 型车每辆售价为1500元；（2）设经销商新进A 型车x 辆，则B 型车为60x −（）辆，获利y 元．由题意得：150011002000140060y x x =−+−−（）（）（），即20036000y x =−+，B 型车的进货数量不超过A 型车数量的2倍，603x x ∴−≤，15x ∴≥，由y 与x 的关系式可知，2000−<，y 的值随x 的值增大而减小．15x ∴=时，y 的值最大，最大利润为33000元． 60601545x ∴−=−=（辆），∴当经销商新进A 型车15辆，B 型车45辆时，获利最多，最大利润为33000元．答：当经销商新进A 型车15辆，B 型车45辆时，获利最多，最大利润为33000元．【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据等量关系列出分式方程．25．（10分）平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(2,0)，(0,3)，点D 是经过点B ，C 的抛物线2y x bx c =−++的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）点E 是（1）中抛物线对称轴上一动点，求当△EAB 的周长最小时点E 的坐标；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点始终在直线CD 上移动，若平移后的抛物线与射线．．BD 只有一个公共点，直接写出平移后抛物线顶点的横坐标m 的值或取值范围．【解析】（1）矩形OABC ， ∴OC=AB ，A(2，0)，C(0，3)， ∴OA=2，OC=3， ∴B(2，3)，将点B ，C 的坐标分别代入二次函数解析式，4233b c c −++=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为：223y x x =−++．（2）如图，在对称轴上取一点E ，连接EC 、EB 、EA ，当点C 、E 、A 三点共线时，EA+EC 最小，即EAB 的周长最小，设直线解析式为：y=kx+b ，将点A 、C 的坐标代入可得：203k b b +=⎧⎨=⎩，解得：323k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数解析式为：3=32y x −+．223y x x=−++=2(1)4x−+-，∴D(1，4)，令x=1，y=332−+=32．∴E(1，32)．（3）设直线CD解析式为：y=kx+b，C(0，3)，D(1，4)，∴43k bb+=⎧⎨=⎩，解得13kb=⎧⎨=⎩，∴直线CD解析式为：y=x+3，同理求出射线BD的解析式为：y=－x+5(x≤2)，设平移后的顶点坐标为(m，m+3)，则抛物线解析式为：y=－(x－m)2+m+3，①如图，当抛物线经过点B时，－(2－m)2+m+3=3，解得m=1或4，∴当1<m≤4时，平移后的抛物线与射线只有一个公共点；②如图，当抛物线与射线恰好只有一个公共点H时，将抛物线解析式与射线解析式联立可得：－(x －m)2+m+3=－x+5，即x2－(2m+1)x+m2－m+2=0， 要使平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点，即要使一元二次方程有两个相等的实数根，∴22[(21)]4(2)0m m m ∆=−+⨯−+=－，解得78m =．综上所述，14m <≤或78m =时，平移后的抛物线与射线BD 只有一个公共点．【点睛】本题为二次函数、一次函数与几何、一元二次方程方程综合题，一般作为压轴题，主要考查了图形的轴对称、二次函数的平移、函数解析式的求解以及二次函数与一元二次方程的关系，本题关键在于：①将三角形的周长最小问题转化为两线段之和最小问题，利用轴对称的性质解题；②将二次函数与一次函数的交点个数问题转化为一元二次方程实数根的个数问题．26．如图1，在矩形ABCD 中，BG AC ⊥交AC 于点G ，E 为AB 的中点，EG 的延长线交AD 于点F ，连接CF ．(1)若AF FD =，证明：EAF ABC △∽△； (2)在（1）的条件下，求tan ABG ∠的值；(3)如图2，若90EFC ∠=︒，M 为CD 的中点，连接BF ，FM ﹒已知AB =． ①求证：BF FM ⊥； ②求k 的值．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，∴90EAF ABC ∠=∠=︒，AD BC =． ∵E 为AB 的中点，∴12EA AB =． ∵AF FD =，∴1122AF AD BC ==， ∴12AF A AB BC E ==， ∴EAF ABC △∽△； （2）∵EAF ABC △∽△， ∴AEG EAG ∠=∠， ∴AG EG =．∵E 为AB 的中点，BG AC ⊥， ∴12AG EG AE BE AB ====，∴30ABG ∠=︒，∴tan ABG ∠=；（3）①证明：∵90EAF EFC ∠=∠=∠=︒， ∴90AFE CFD ∠+∠=︒，90DCF CFD ∠+∠=︒， ∴AFE DCF ∠=∠， ∴AFE DCF ∽， ∴AF AECD DF =． ∵E 为AB 的中点，M 为CD 的中点， ∴12AE AB =，2CD DM =，∴122AB AF DMDF =，即AF AB DM DF =， ∴ABF DFM ∽， ∴AFB DMF ∠=∠．∵90DMF DFM ∠+∠=︒， ∴90AFB DFM ∠+∠=︒， ∴90BFM ∠=︒，即BF FM ⊥；②设AE x =，AF y =，则2AB CD x ==， ∵AF AECD DF =， ∴2y x x DF =，解得：22x DF y =． ∵30ABG ∠=︒， ∴60BAG AGE ∠=∠=︒， ∴30CAF ∠=︒．∵60CGF AGE ∠=∠=︒，90CFG ∠=︒， ∴30FCG CAF ∠=︒=∠， ∴CF AF y ==．在Rt CDF △中，222CD DF CF +=，∴()222222x x y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴22x y=，∴2222242222222222(2)444144()244AB AE x x x y x AD AF DF x y x y y x y y ======+⎛⎫+++++ ⎪⎝⎭，∴221)AB AD =．∵AB ，∴22AB kAD =，∴1k =．【点睛】本题考查矩形的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，求角的正切值，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性强，为压轴题．熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键．。

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(江西卷)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(江西卷)

2024年中考数学考前押题密卷（江西卷）全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下面四个数中，比2−小的数是（ ） A ． 2.5− B ．2 C ．0D ．32−【答案】A【分析】本题考查的是有理数的大小比较，利用两个负数绝对值大的反而小可得答案．【详解】解：∵32.522−>−>−，∴32.52022−<−<−<<，∴比2−小的数是 2.5−， 故选A ．2．下列各式计算正确的是（ ） A ．()826826−−⨯=−−⨯ B ．4343223434⎛⎫÷⨯=÷⨯ ⎪⎝⎭C ．()()202120201111−=−−++D ．()224−−=−【答案】C【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 【详解】解：A 、()826826−−⨯≠−−⨯，故A 不正确，不符合题意；B 、433322234443344⎛⎫÷⨯=⨯⨯=⨯⨯ ⎪⎝⎭，故B 不正确，不符合题意； C 、()()202120201111−=−−++，故C 正确，符合题意；D 、()()2244−−=−−=，故D 不正确，不符合题意；故选：C ．3．沿正方体相邻的三条棱的中点截掉一部分，得到如图所示的几何体，则它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】据主视图是从正面看到的图形判定即可． 【详解】该几何体的主视图是，，故选：A ．【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键． 4．下列计算正确的是（ ）A ．22434x x x +=B ．22(3)9x x −=C ．222()a b a b +=+D ．234•22x y x x y =【答案】B【分析】根据整式的四则混合运算法则即可求解．【详解】解：A ：22234x x x +=，故A 错误；B ：22(3)9x x −=，故B 正确；C ：222()2a b a b ab +=++，故C 错误； D ：235•22x y x x y =，故D 错误． 故选：B【点睛】本题考查整式的四则混合运算．掌握相关运算法则即可． 5．已知一次函数y kx b =+的图象如图所示，则下列判断中正确的是（ ）A ．0k >，0b <B ．方程0kx b +=的解是3x =−C ．当3x >−时，0y <D ．y 随x 的增大而减小【答案】B【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系，以及一次函数的性质．根据图象可得，该一次函数的图象过一、二、三象限，进而可得k 、b 的值，以及与x 轴交点，函数的增减性，即可得出答案． 【详解】解：图象过一、二、三象限，且与y 轴交于正半轴， ∴0k >，0b >，故A 错误，不符合题意； 图象与x 轴交于点()3,0−，∴方程0kx b +=的解是3x =−，故B 正确，符合题意； 由图知，当3x >−时，0y >， 故C 错误，不符合题意；0k >，∴y 随x 的增大而增大；故D 错误，不符合题意； 故选：B ．6．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，满足CE DF =，连接AF DE 、，点G 在AB 边上，连接DG 交AF 于点H ，使得45DHF ∠=︒，连接GE ，若DAF α∠=，则BGE ∠的度数为（ ）A ．902α︒−B ．45α︒+C ．4αD ．315α+︒【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明()SAS ADF DCE ≌得到DAF CDE α==∠∠，进而证明90HOD ∠=︒得到45HDE ∠=︒，再证明()SAS ADK CDE ≌得到ADK CDE ∠=∠，DE DK =，进一步证明()SAS KGD EGD ≌，推出45AGD EGD α==︒+∠∠，则180902BGE AGD EGD α=︒−−=︒−∠∠∠．【详解】解：如图所示，延长BA 到E 使得AK CE =，连接DK ，设DE AF 、交于O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90AD DC ADF DCE =∠=∠=︒，， 又∵CE DF =， ∴()SAS ADF DCE ≌，∴DAF CDE α==∠∠，∴90DAF ADF ADF CDE ∠+∠=∠+∠=︒， ∴90HOD ∠=︒， ∵45DHF ∠=︒，∴904545HDE ∠=︒−︒=︒，∵90AK CE DAK DCE AD CD ===︒=，∠∠，，∴()SAS ADK CDE ≌，∴ADK CDE ∠=∠，DE DK =，∴9045GDK ADG ADK ADG CDE EDG EDG ∠=+=+=︒−=︒=∠∠∠∠∠∠， 又∵DG DG =， ∴()SAS KGD EGD ≌，∴()90904545AGD EGD ADG αα∠=∠=︒−∠=︒−︒−=︒+，∴180902BGE AGD EGD α=︒−−=︒−∠∠∠， 故选；A ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 7．分解因式：2233x y −= ． 【答案】()()3x y x y +−【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：2233x y −()223x y =− ()()3x y x y =+−， 故答案为：()()3x y x y +−．8．江西推进特色装备制造业发展，到2026年，全省装备制造业产业链营业收入力争达到8000亿元，数据“8000亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】11810⨯【分析】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10na ⨯的形式即可．【详解】解：∵8000亿11800000000000810==⨯， 故答案为：11810⨯．9．若m ，n 是一元二次方程2210x x +−=的两个实数根，则22m m mn ++的值是 ． 【答案】0【分析】本题考查了一元二次函数的根，一元二次方程根与系数的关系，根据题意可得221m m +=，1mn =−，即可解答，熟知1212,b cx x x x a a +=−=是解题的关键． 【详解】解：m ，n 是一元二次方程2210x x +−=的两个实数根，∴2210,1cm m mn a +−===−，22110m m mn ∴++=−=，故答案为：0．10．“端午食粽”是节日习俗之一．甲、乙两人每小时共包35个粽子，甲包40个粽子所用的时间与乙包30个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包x 个粽子，则可列方程为 ． 【答案】403035x x =−【分析】此题考查分式方程的应用，根据“甲包40个粽子所用的时间与乙包30个粽子所用的时间相等”即可列出分式方程．【详解】解：设甲每小时包x 个粽子，乙每小时包()35x −个粽子，根据题意可得：403035x x =−， 故答案为：403035x x =−．11．如果某圆锥形纸帽的底面直径为10cm ，沿侧面剪开后所得扇形的半径为15cm ，则该圆锥纸帽的侧面积为 2cm ． （结果保留π） 【答案】75π【分析】本题主要考查了圆锥侧面积的求法，首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，底面周长为10cm π， ∴该圆锥纸帽的侧面积为()21101575cm 2ππ⨯⨯=，故答案为：75π．12．如图，在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，9BC =，D 为AC 上一点，2AD DC =，P 为边BC 上的动点，当APD △为直角三角形时，BP 的长为 ．【答案】3或6或7【分析】分90PAD ∠=︒，90APD ∠=︒，90ADP ∠=︒三种情况计算即可．本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键．【详解】∵在ABC 中，AB AC =，30B ∠=︒，9BC =， ∴30C B ∠=∠=︒，120BAC ∠=︒， 过点A 作AM BC ⊥于点M ， ∵AB AC =，30B ∠=︒，9BC =， ∴1922BM CM BC ===，∴cos30BMAB AC ===︒∵2AD DC =，∴AD =DC = ①如图1，当90PAD ∠=︒时， 则30BAP ∠=︒，∴BAP B ∠=∠， ∴AP BP =．在Rt APC △中，30C ∠=︒，∴2PC AP =，∴3BC BP PC BP =+=， ∴3BP =②如图2，当90APD ∠=︒时，分别过点A ，D 作BC 的垂线，垂足分别为，F ，∴92BE CE ==，∴sin 30AE AB =︒=，sin 30DF DC =︒=，3cos302CF DC =︒=． 设EP x =，则3PF CE EP CF x =−−=−．∵90EAP EPA FPD ∠=−∠=∠，90AEP PFD ∠=∠=︒，∴APE PDF ∽△△， ∴AE PEPF DF =，∴23x =−， 整理得29304x x −+=，解得1232x x ==，∴32EP =，∴6BP EP BE =+=；③如图3，当90ADP ∠=︒时， 在Rt DPC 中，30C ∠=︒，∴2cos30CD PC ===︒，∴7BP BC PC =−=．综上所述，当APD △为直角三角形时，BP 的长为3或6或7．三、解答题（本大题共5个小题，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．(1)计算：()020232sin60π−+−︒；(2)解不等式组：()238,4.2x x x ⎧+≥⎪⎨+<⎪⎩①②② 【答案】（1）1；（2）14x ≤<【分析】（1）根据零指数幂与绝对值的意义和特殊角的三角函数值进行计算即可求解； （2）先分别解两个不等式得到 1x ≥和4x <，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【详解】解：（1）原式12=1=1=．（2）解不等式①，得1x ≥； 解不等式②，得4x <． ∴原不等式组的解集为14x ≤<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了实数的运算．14．如图．点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，点E ，F 分别在直线AB 的两侧，且AE BF =，A B ∠=∠．ACE BDF ∠=∠．(1)求证：ACE BDF ≌△△； (2)若8AB =，2AC =，求CD 的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4【分析】（1）直接利用AAS 证明ACE BDF ≌△△即可；（2）根据全等三角形的性质得到2BD AC ==，则4CD AB AC BD =−−=．【详解】（1）证明：在ACE △和BDF V 中，ACE BDFA B AE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACE BDF △△≌；（2）解：∵ACE BDF ≌△△，2AC =， ∴2BD AC ==， 又∵8AB =，∴4CD AB AC BD =−−=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 15．如图，在菱形ABCD 中120,BCD P ∠=︒是AB 的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图，(1)在图1中，过点P 作BC 的平行线，与CD 交于点Q ．(2)在图2中，作线段BC的垂直平分线，垂足为点H．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握菱形的的性质和等边三角形的性质是解题的关键．（1）连接AC和BD交于点O，连接BO并延长交CD于点Q，则PQ即为所作；（2）连接AC和BD交于点O，连接CP交BD于点E，过A、E作直线交BC于点H，则AH即为所作．【详解】（1）解：连接AC和BD交于点O，连接BO并延长交CD于点Q，则PQ即为所作；（2）解：连接AC和BD交于点O，连接CP交BD于点E，过A、E作直线交BC于点H，则AH即为所作．16．江西省将于2024“312++”模式：“3”为全国统一考试科目语文、数学、外语；“1”为首选科目，考生从物理、历史2门科目中自主选择1门：“2”为再选科目，考生从思想政治、地理、化学、生物4门科目中自主选择2门．(1)首选科目选择物理的概率是__________；(2)某同学在选择再选科目时，求选中化学和地理的概率．（请用画树状图或列表的方法表示）【答案】(1)1 2(2)恰好选择化学和地理的概率为1 6．【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）由概念公式可得答案；（2）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选择思想政治和地理的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】（1）解：考生从物理、历史2门科目中自主选择1门，∴选择物理的概率是12；故答案为：12；（2）解：记思想政治、地理、化学、生物分别为①，②，③，④，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和地理有：③②，②③，共2种， ∴恰好选择化学和地理的概率为21126=．17．下面是小华化简分式21x x xx x −⎛⎫−÷ ⎪+的过程：(1)小华的解答过程在第__________步开始出现错误；(2)请你帮助小华写出正确的解答过程，并计算当3x =时分式的值． 【答案】(1)①(2)正确解析见解析，32−【分析】（1）根据分式的混合运算法则即可求解．（2）利用分式的混合运算法则化简分式，再将3x =带入原式即可求解． 【详解】（1）解： 因为()211111x x x xx x x x x x x x +−−−=−=++++，所以第①步开始出现错误， 故答案为：①．（2）原式()21111x x xx x x x x +⎡⎤−=−÷⎢⎥+++⎣⎦ 2211x x x x x x x −−+=⋅+−()2111x x x x x −+=⋅+−1xx =−，当3x =时，原式33132==−−． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握其运算法则即可求解．四、解答题（本大题共3个小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．某中学为全面普及和强化急救知识和技能，特邀某医疗培训团在全校开展了系列急救培训活动，并于结束后在七、八年级开展了一次急救知识竞赛．竞赛成绩分为A 、B 、C D 、四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取20名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：(1)根据以上信息可以求出：=a ______，b =______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；(3)若该校七年级有800人、八年级有700人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少？【答案】(1)9，8.5，补全统计图见解析(2)七年级的成绩更好，理由见解析(3)估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人．【分析】（1）首先根据题意求出七年级C组的人数，然后根据众数和中位数的概念求解，最后完成统计图的补充即可．（2）根据平均数，中位数和方差的意义求解即可；（3）用总人数乘以优秀率即可得到人数．【详解】（1）由七年级竞赛成绩统计图可得，七年级C组的人数为：205735−−−=（人），∴七年级B组的人数最多，∴七年级的众数为9a=；由八年级竞赛成绩统计图可得，将20名学生的竞赛成绩从大到小排列，第10个数据在B组，第11个数据在C组，∴中位数988.52b+==，补充统计图如下：（2）七年级更好，理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，说明七年级一半以上人不低于9分，七年级方差小于八年级方差，说明七年级的波动较小， 所以七年级成绩更好． （3）解：()578007005%45%83020+⨯+⨯+=（人），答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有830人．【点睛】本题考查了统计图，众数，中位数，平均数，方差，样本估计总体，熟练掌握统计图，三数的计算公式是解题关键．19．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C 点测得屋顶A 的仰角为35︒，此时地面上C 点、屋檐上E 点、屋顶上A 点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m 到达点D 时，又测得屋檐E 点的仰角为55︒，房屋的顶层横梁12m EF =，EF CB ∥，AB 交EF 于点G （点C ，D ，B 在同一水平线上）．（参考数据：sin350.6︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，sin550.8︒≈，cos550.6︒≈，tan 55 1.4)︒≈(1)求屋顶到横梁的距离AG ； (2)求房屋的高AB ． 【答案】(1)4.2m (2)15.4m【分析】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．（1）根据EF CB ∥可得35C AEG ∠=∠=︒，再根据tan AG GE AEG =⋅∠，即可求解； （2）过点E 作EH BC ⊥于点H ，设m EH BG x ==，则tan tan 35EH xCH C ==∠︒，tan tan 55EH x DH EDH ==∠︒，再根据CH DH CD −=，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：EF CB ∥，35C AEG ∴∠=∠=︒，该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ∴16m 2EG EF ==，AB EF ⊥，tan 6tan35 4.2(m)AG EG AEG ∴=⋅∠=⨯︒≈，答：屋顶到横梁的距离为4.2m ． （2）解：过点E 作EH BC ⊥于点H ，设m EH BG x ==，35C ∠=︒，在Rt CEH 中，tan tan 35EH xCH C ==∠︒，55EDH ∠=︒，在Rt DEH 中，tan tan 55EH xDH EDH ==∠︒，CH DH CD −=，∴8tan 35tan 55x x−=︒︒，tan350.7︒≈，tan55 1.4︒≈，∴解得：11.2x ≈，11.2 4.215.4(m)AB AG BG ∴=+=+=，答：房屋的高为15.4m ．20．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图像交于A 、B 两点，A 点的坐标是()4,2−，B 点的坐标是(2,)n ．(1)求出两个函数解析式； (2)求出AOB 的面积； (3)直接写出满足mkx b x+<的x 的取值范围． 【答案】(1)2y x =−−，8y x =−；(2)AOB 的面积为6； (3)40x −<<或2x >．【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，坐标中不规则面积的求法和一次函数与反比例函数的交点问题等知识点的应用，解题的关键是数形结合思想．（1）把A 、B 两点坐标代入反比例函数解析式，即可求出m n 、，得到B 点坐标和反比例函数的解析式，然后再把A 、B 点的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）把AOB 分成两部分计算即可．（3）根据图象，分别在第二、四象限求出一次函数的值小于反比例函数的值时x 的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数my x =的图象过点()4,2A −，()2,B n ，∴428m =−⨯=−，2m n =⨯， ∴n =−4， ∴()2,4B −，反比例函数的解析式为：8y x =−，把点()4,2A −，()2,4B −代入y kx b =+中得：4224k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得：12k b =−⎧⎨=−⎩， ∴一次函数的解析式为：2y x =−−．（2）解：∵一次函数的解析式为：2y x =−−，其图象与x 轴交于点C ，令0y =，则2x =−， ∴点C 的坐标为()20−，，∴112224622AOBAOCBOCSSS =+=⨯⨯+⨯⨯=，∴AOB 的面积为6． （3）解：∵点()4,2A −，()2,4B −，∴由图象可知，mkx b x +<的x 的取值范围为：40x −<<或2x >．五、解答题（本大题共2个小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．如图，BC 是O 的直径，点A 在O 上，OD AC ⊥于点G ，交O 于点D ，过点D 作EF AB ⊥，分别交BA ，BC 的延长线于点E ，F ．(1)求证：EF 是O 的切线；(2)若2AE =，4tan 3B =，求O 的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5【分析】（1）由BC 是O 的直径，点A 在O 上，可得90BAC ∠=︒，证明EF AC ∥，则OD EF ⊥，进而结论得证；（2）证明四边形AGDE 是矩形，则2DG AE ==，由OD AB ∥，可得tan tan COG B ∠=∠，即43CG OG =，设4CG a =，则3OG a =，勾股定理得，5OC a =，由OG DG OD +=，可得325a a +=，解得1a =，则5OC =，进而可得结果．【详解】（1）证明：∵BC 是O 的直径，点A 在O 上，∴90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥， ∵EF AB ⊥， ∴EF AC ∥， ∵OD AC ⊥， ∴OD EF ⊥， 又∵OD 是半径， ∴EF 是O 的切线；（2）解：∵90BAC ∠=︒，EF AB ⊥，OD EF ⊥， ∴四边形AGDE 是矩形， ∴2DG AE ==， ∵OD AC ⊥，AC AB ⊥， ∴OD AB ∥， ∴COG B ∠=∠，∴tan tan COG B ∠=∠，即43CG OG =， 设4CG a =，则3OG a =，由勾股定理得，5OC a ，∵OG DG OD +=， ∴325a a +=，解得1a =， ∴5OC =， ∴O 的半径为5．【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正切，矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22．课本再现定义应用(1)如图1，已知：在四边形ABCD 中，90A B C ∠=∠=∠=︒， 用矩形的定义求证：四边形ABCD 是矩形．(2)如图2，在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，E 是AB 的中点，连接DE ，CE ，且DE CE =，求证：四边形ABCD 是矩形． 拓展延伸(3)如图3，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，若图中的四个三角形都相似，求A B B C的值．【答案】(1)见解析； (2)见解析；(3)AB BC =．【分析】（1）先证明四边形ABCD 是平行四边形，再由90A ∠=︒，即可证明四边形ABCD 是矩形； （2）证明()Rt Rt HL AED BEC ≌根据性质得AD BC =，证明四边形ABCD 是平行四边形，再由90A ∠=︒，即可证明四边形ABCD 是矩形；（3）由折叠易知，AED FED △≌△，证明BEF CFD △∽△，然后分当AED BEF ∽时和AED BFE △∽△时即可求解．【详解】（1）证明：∵90A B C ∠=∠=∠=︒， ∴180A B ∠+∠=︒，180B C ∠+∠=︒， ∴AD BC ∥，AB CD ∥， ∴四边形ABCD 是平行四边形， 又∵90A ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形；（2）证明：∵E 是 AB 的中点， ∴AE BE =∵90A B ∠=∠=︒，AE BE =，DE CE =，∴()Rt Rt HL AED BEC ≌，∴AD BC =，又∵180A B ∠+∠=︒，∴AD BC ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵90A ∠=︒，∴四边形ABCD 是矩形；（3）由折叠易知，AED FED △≌△，∴90EFD ∠=︒∴90BFE DFC ∠+∠=︒∵90B EFD C ∠=∠=∠=︒，∴90BFE BEF ∠+∠=︒∴BEF DFC ∠=∠∴BEF CFD △∽△，∴当AED BEF ∽时，60DEF AED BEF ∠=∠=∠=︒，∴tan 6030AD EFB AE =︒=∠=︒，∴AD =，1122BE EF AE ==， ∴32AB AE =，∴32AB AB AE BC AD ===； 当AED BFE △∽△时，DEF DEF BFE ∠=∠=∠，∴DE BC ∥，不符合题意，综上所述，符合题意的AB BC=． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．六、解答题（本大题共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）23．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()2,1P 称为“爱凌点”，经过点()2,1P 的函数，称为“爱凌函数”．(1)若点()34,r s r s ++是“爱凌点”，关于x 的数2y x x t =−+都是“爱凌函数”，则r =_____，s =_____，t =_____． (2)若关于x 的函数y kx b =+和m y x=都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k 的值． (3)如图，点()11,C x y 、()22,D x y 是抛物线232y x x =−+上两点，其中D 在第四象限，C 在第一象限对称轴右侧，直线AC 、AD 分别交y 轴于F 、E 两点：①求点E ，F 的坐标；（用含1x ，2x 的代数式表示）； ②若1OE OF ⋅=，试判断经过C 、D 两点的一次函数()0y kx b k =+≠是否为“爱凌函数”，并说明理由．【答案】(1)2；-1；-1； (2)102k =−或；(3)①()20,2E x −+；()10,2F x −+；②经过C 、D 两点的一次函数y=kx+b(k≠0)是“爱凌函数”；理由见解析【分析】（1）根据已知条件，代入求解即可；（2）首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出k 的值；（3）首先根据前提条件推出x1与x2的关系，然后利用C ，D 坐标用x1和x2表示出直线斜率kCD ，进一步代入点C 或者点D 的坐标，表示出截距b ，然后将坐标（2，1）代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件．【详解】（1）解：∵（3r ＋4s ，r ＋s ）为“爱凌点”，∴3421r s r s ⎧⎨⎩＋＝＋＝，解得：21r s ⎧⎨−⎩＝＝，将（2，1）代入y ＝x2−x ＋t 得：2122t =−+，解得t ＝−1．故答案为：2；-1；-1．（2）当k≠0时，将（2，1）分别代入y ＝kx ＋b 与y ＝mx 中， 得1212k b m =+⎧⎪⎨=⎪⎩，即122b k m =−⎧⎨=⎩，∵两个函数图象有且只有一个交点，∴kx ＋1−2k ＝2x 只有一个根，即：kx2＋（1−2k ）x−2＝0，Δ＝（1−2k ）2＋8k ＝0，∴k ＝−12．当k=0时，y=b ，∵函数y=b 是“爱凌函数”，∴b=1，此时，符合题意，∴k ＝102−或（3）①令x2−3x ＋2＝0，得：11x =，x2=2，∴A （1，0），B （2，0），∵C 、D 两点在抛物线上， ∴C （x1，x12−3x1＋2），D （x2，22232x x −+）， 设AD 的函数关系式为：11AD y k x b =+， 则11212122032k b k x b x x +=⎧⎨+=−+⎩，解得：121222k x b x =−⎧⎨=−+⎩，∴()()2222AD y x x x =−+−+，令x ＝0，则22y x =−+，∴()202E x −+，，设AC 的函数关系式为：22AC y k x b =+，则22221211032k b k x b x x +=⎧⎨+=−+⎩，解得：212122k x b x =−⎧⎨=−+⎩，∴()()1122AC y x x x =−+−+，令x ＝0，则12y x =−+，∴()102F x −+，；②y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”，理由如下：∵若OE•OF ＝1， ∴21221x x −+−+=，∴（2−x2）（x1−2）−1＝0，∴2x1−x1x2＋2x2−5＝0，∵一次函数y=kx+b 经过C 、D 两点，∴211122223232kx b x x kx b x x ⎧+=−+⎨+=−+⎩，解得：121232x x b x x =+−⎧⎨=−⎩，∴CD 的关系式为：y ＝（x1＋x2−3）x ＋2−x1x2，将（2，1）代入得：2（x1＋x2−3）＋2−x1x2=1，即2x1−x1x2＋2x2−5＝0，与前提条件OE•OF ＝1所得出的结论一致，∴经过C ，D 的一次函数y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数相关知识点，将结论与前提条件进行比较，整个题目涉及的未知数比较多，计算过程中需要仔细．。

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(北京卷)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(北京卷)

2024年中考数学考前押题密卷（北京卷）全解全析第Ⅰ卷一．选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．﹣3+2的结果是（）A．﹣5B．1C．﹣1D．﹣6【答案】C【解析】解：﹣3+2＝﹣1．故选：C．2．水质指纹污染溯源技术是一项水环境监管技术，被称为水环境治理的“福尔摩斯”，经测算，一个水分子的直径约有0.0000004mm，数据“0.0000004”用科学记数法表示为（）A．4×10﹣6B．4×10﹣7C．0.4×10﹣6D．4×107【答案】B【解析】解：0.0000004＝4×10﹣7．故选：B．3．华为手机锁屏密码是65位数字已经知道，则一次解锁该手机密码的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：一次解锁该手机密码的概率是．故选：B．4．如图，直线a∥b，若∠1＝130°，则∠3等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解析】解：如图：∵a∥b，∴∠1＝∠2＝130°，∴∠3＝180°﹣∠2＝50°，故选：B．5．《九章算术》中第七章《盈不足》记载了一个问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“现有一些人合伙购买物品，若每人出8钱，则多出3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品价格各是多少？”设有m个人，物品价格为n钱，则下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：由题意可得，，故选：B．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OD．若AE＝2，CD＝12，则⊙O的半径长为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】解：设⊙O的半径是r，∵弦CD⊥BA，∴DE＝CD＝×12＝6，∵AE＝2，∴OE＝r﹣2，∵OD2＝OE2+DE2，∴r2＝（r﹣2）2+62，∴r＝10，∴⊙O的半径长为10．故选：C．7．如图，在正方形ABCD中．O是对角线AC、BD的交点．过点O作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E，F．若AE＝3，CF＝1，则EF＝（）A．2B．C．4D．2【答案】B【解析】解：∵正方形ABCD中，OB＝OC，∠BOC＝∠EOF＝90°，∴∠EOB＝∠FOC，在△BOE和△COF中，∠OCB＝∠OBE45°，OB＝OC，∠EOB＝∠FOC，∴△BOE和COF全等（ASA）∴BF＝AE＝3，同理BE＝CF＝1在Rt△BEF中，BF＝3，BE＝1，∴EF＝．故选：B．8．如图1，Rt△ABC中，点P从点A出发，沿A﹣C﹣B匀速运动，过点P作PD⊥AB，垂足为D，设点A 到点D的距离为x，△APD的面积为y，则y关于x的函数图象如图2所示，则BC的长为（）A．2B．4C．D．【答案】C【解析】解：如图，当点P运动到点C处时，由图2得，AD＝4，△APD的面积＝AD•CD＝4，∴CD＝2，由△CDA∽△BCD得，BD：CD＝CD：AD，∴BD＝1，∴BC＝＝．故选：C．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）9．当x时，分式有意义．【答案】见试题解答内容【解析】解：当分母不为零的时，有意义，即3x﹣2≠0，解得x≠．故答案为：．10．分解因式：3a3﹣12a＝．【答案】见试题解答内容【解析】解：3a3﹣12a＝3a（a2﹣4），＝3a（a+2）（a﹣2）．故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．11．方程的解为．【答案】x＝2．【解析】解：原方程去分母得：x＝2（x﹣1），整理得：x＝2x﹣2，解得：x＝2，检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，故原方程的解为x＝2，故答案为：x＝2．12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），则m的值为．【答案】﹣2．【解析】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（﹣1，m），∴（﹣1）×m＝1×2，∴﹣m＝2，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2．13．睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某老师了解到某班40位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是小时．【答案】9.1．【解析】解：＝9.1（小时），即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时．故答案为：9.1．14．如图，已知▱ABCD中，点E在CD上，＝，BE交对角线AC于点F．则＝．【答案】见试题解答内容【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB．∵点E在CD上，＝，∴CE＝CD＝AB．∵CD∥AB，∴△CEF∽△ABF∴＝＝．故答案为：．15．清朝数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的边BC上的高，则．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，则△ABC的面积为．【答案】6．【解析】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝5，在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，∴△ABC的面积＝BC•AD＝×6×2＝6，故答案为：6．16．在一次数学活动课上，某数学老师将1～10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：15；丁：8；戊：17，则乙同学手里拿的卡片的数字是，丙同学手里拿的卡片的数字是．【答案】1和3，5和10．∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：15，可知丙手中的数字可能是5和10，6和9；由丁：8，可知丁手中的数字可能是1和7，2和6，3和5；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和6，甲只能是4和7，丙只能是5和10，戊只能是8和9．故答案为：1和3，5和10．三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（5分）计算：﹣22+（3.14﹣π）0﹣4sin60°+|1﹣|．【答案】﹣4﹣．【解析】解：原式＝﹣4+1﹣4×+﹣1＝﹣3﹣2+﹣1＝﹣4﹣．18．（5分）解不等式组：．【答案】x≤1．【解析】解：，解①，得x＜；解②，得x≤1．∴原不等式组的解集为x≤1．19．（5分）已知，求的值．【答案】．【解析】解：令x＝3k，y＝2k（k≠0），∴原式＝＝＝＝．即．20．（5分）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤：试按照以上步骤证明：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图，在△ABC中，，求证：．证明：【答案】点D，E分别是AB，AC边的中点；DE∥BC，且DE＝BC；证明过程见解答．【解析】已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，求证：DE∥BC，且DE＝BC．如图，延长DE到点F，使DE＝EF，连接FC，DC，AF．在△AED和△CEF中，，∴△AED≌△CEF（SAS），∴CF＝AD，∠DAE＝∠FCE，∴CF∥AB，∵AD＝DB，∴CF＝DB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF＝BC，DF∥BC，∵DE＝DF，∴DE＝BC，DE∥BC．故答案为：点D，E分别是AB，AC边的中点；DE∥BC，且DE＝BC．21．（6分）如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE＝DF，（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若∠AEC＝90°，求证：四边形AECF为矩形．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）如图，由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD．∵∠AEB+∠AEO＝∠CFD+∠CFE＝180°∴∠AED＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形．又∵∠AEC＝90°，∴平行四边形AECF为矩形．22．（5分）已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝﹣5；当x＝3时，y＝1．（1）求一次函数的表达式．（2）若点A（m，n）在该一次函数图象上，求代数式（n﹣3）（m+1）﹣mn的值．【答案】（1）y＝3x﹣8；（2）﹣11．【解析】解：（1）设一次函数解析式求为y＝kx+b，∵x＝1，y＝﹣5；x＝3时，y＝1，∴，解得，∴一次函数解析式求为y＝3x﹣8；（2）把A（m，n）代入y＝3x﹣8得n＝3m﹣8，∴n﹣3m＝﹣8，∴（n﹣3）（m+1）﹣mn＝mn+n﹣3m﹣3﹣mn＝n﹣3m﹣3＝﹣8﹣3＝﹣11．23．（6分）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：【实践探究】分析数据如下：【问题解决】（1）上述表格中：m＝，n＝；（2）①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是（填序号）；（3）现有一片长11cm，宽5.6cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．【答案】（1）3.75；2.0；（2）②；（3）这片树叶更可能是荔枝树叶．【解析】解：（1）把10片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为3.7、3.8，故m＝＝3.75；10片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是2.0，故n＝2.0；故答案为：3.75；2.0；（2）∵0.0424＜0.0669，∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；∵荔枝树叶的长宽比的平均数1.91，中位数是1.95，众数是2.0，∴B同学说法合理．故答案为：②；（3）∵11÷5.6≈1.96，∴这片树叶更可能是荔枝树叶．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝2CE，求的值．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【解析】（1）证明：连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AE，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是的⊙O的切线；（2）解：连接CD，BD，∵DE⊥AE，DE＝2CE，∴∠E＝90°，∴CD＝＝＝CE，∴＝＝，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠ECD＝∠B，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°＝∠E，∴△ABD∽△DCE，∴＝＝．25．（5分）【问题情境】数学活动课上老师提到我们身边很多事物都蕴含着数学知识，班上的数学兴趣小组决定趁着游玩之便对南宁凤岭摩天轮进行实地调研．摩天轮位于凤岭儿童公园内，摩天轮上均匀分布60个吊舱，顺时针旋转一周需要20分钟．【实践过程】小组成员使用秒表和手机的测距功能，记录某个吊舱从最低点旋转到不同位置距地面的高度（h）和所用的时间（t）的数据，并绘制图象如图1．【问题研究】请根据图1中信息回答：（1）h（）t的函数；（2）摩天轮最高点距地面（米），摩天轮最低点距地面（米）；（3）求摩天轮的半径；【答案】（1）是；（2）108，3；（3）摩天轮的半径是52.5米；【解析】解：（1）∵对于t的每一个值，h都有唯一的值与t对应，∴h是t的函数．故答案为：是；（2）∵图象的最高点对应的h的值是108，最低点对应的h的值是3米，∴摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米．故答案为：108，3；（3）∵摩天轮最高点距地面108米，最低点距离地面3米，∴摩天轮的直径是105米，∴摩天轮的半径是52.5米．答：摩天轮的半径是52.5米；26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过A（﹣2，﹣4）和B（3，1）两点．（1）求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过C（2m﹣3，n），D（7﹣2m，n）两点，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x 的增大而减小，求k的取值范围；（3）已知点M（﹣6，5），N（2，5），若该抛物线与线段MN恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】（1）；（2）k≥5；（3）a≥或a＝﹣1或a＜．【解析】解：（1）把A（﹣2，﹣4）和B（3，1）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：；（2）∵抛物线经过C（2m﹣3），D（7﹣2m，n）两点，∴抛物线的对称轴为：直线，∵抛物线开口向下，当k﹣3＜x＜k+3时，y随x的增大而减小，∴k﹣3≥2，即k≥5；（3）①当a＞0时，x＝﹣6，y≥5，即a×（﹣6）2+（1﹣a）×（﹣6）﹣6a﹣2≥5，解得：，抛物线不经过点N，如图①，抛物线与线段MN只有一个交点，结合图象可知：；②当a＜0时，若抛物线的顶点在线段MN上时，则＝＝5，解得：a1＝﹣1，a2＝，当a1＝﹣1时，＝＝1，此时，定点横坐标满足﹣6≤﹣≤2，符合题意；当a1＝﹣1时，如图②，抛物线与线段MN只有一个交点，如图③，当a2＝时，＝＝13，此时顶点横坐标不满足﹣6≤≤2，不符合题意，舍去；若抛物线与线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点N时，把N（2，5）代入y＝ax2+（1﹣a）x﹣6a﹣2，得：5＝a×22+（1﹣a）×2﹣6a﹣2，解得：a＝，当a＝时，如图④，抛物线和线段MN有两个交点，且其中一个交点恰好为点N，结合图象可知：a＜时，抛物线与线段MN有一个交点，综上所述：a的取值范围为：a≥或a＝﹣1或a＜．27．（7分）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．动手操作：（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割线，请求出所有可能的∠ACB的度数．【答案】（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）见解析过程；（3）∠ACB的度数为100°或115°或或．【解析】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°∵CD为角平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，∴∠BDC＝∠ACB，∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，当△ACD是等腰三角形，如图3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝50°+65°＝115°，当△ACD是等腰三角形，CD的情况不存在，当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝＝，∴∠ACB＝，当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°﹣2x，则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由题意得，180°﹣2x+50°＝x，解得，x＝，∴∠ACD＝180°﹣2x＝，∴∠ACB＝，综上所述：∠ACB的度数为100°或115°或或．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若点C关于弦AB中点的对称点恰好在⊙O上，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点，，弦AB的中点为P．在点，C3（2，0），C4（2，1）中，弦AB的“关联点”是；（2）如果⊙O的弦，直线y＝x上存在弦AB的“关联点”Q，直接写出点Q的横坐标x Q的取值范围；（3）已知点M（0，2），．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦AB，使得点S是弦AB 的“关联点”．若对于每一点S，将其对应的弦AB的长度的最大值记为d，则当点S在线段MN上运动时，d的取值范围是多少？直接写出你的答案．【答案】（1）C1，C3；（2）或；（3）．【解析】解：（1）∵点，，∴弦AB的中点为P的坐标为，∴C1（1，﹣1）关于点P的对称点坐标为（0，1），∵点（0，1）在⊙O上，∴C1（1，﹣1）是弦AB的“关联点”；同理关于点P的对称点坐标为，C3（2，0）关于点P的对称点坐标为（﹣1，0），C4（2，1）关于点P的对称点坐标为（﹣1，﹣1），∵，，∴点，（﹣1，﹣1）都不在⊙O上，而点（﹣1，0）在⊙O上，∴只有C1（1，﹣1），C3（2，0）是弦AB的“关联点”；故答案为：C1，C3；（2）如图2﹣1所示，过点O作OP⊥AB于P，连接OA，∴，∴，∴弦AB的中点到原点的距离为，∴弦AB的中点在以O为圆心，半径为的圆上；设点Q关于弦AB的中点对称的点为R，∵Q、R关于弦AB的中点对称，∴QR的垂直平分线一定与半径为的⊙O有交点；如图2﹣2所示，点Q在x轴上方，当点R恰好在直线y＝x上时，设直线y＝x与半径为的⊙O交于T，与半径为1的⊙O交于H，此时点Q与点R关于点T对称，∴；∴QO＝2，∴，∵OH＝1，∴；∵点Q到半径为的⊙O的最小距离QT，当点Q的横坐标增大时，点Q到半径为的⊙O的最小距离QT逐渐增大，则点R到半径为的⊙O的最大距离逐渐增大，故当点Q继续运动时，点R不可能在半径为1的⊙O上，∴当时，直线y＝x上存在弦AB的“关联点”Q，同理，在x轴下方，当时，直线y＝x上存在弦AB的“关联点”Q；综上所述，或；（3）设点S关于弦AB中点对称的点为K，∵要使弦AB最大，∴弦AB到圆心的距离要最小，即OP最小，∵OP≥|KP﹣OK|，∴当O、P、K三点共线时，OP≥|KP﹣OK|，∴此时KS一定经过圆心如图3﹣2所示，当OS⊥MN时，∵M（0，2），，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；同理当点S运动到点M时，可得，∴．。

2024年中考数学考前押题密卷(广东省卷)(全解全析)

2024年中考数学考前押题密卷(广东省卷)(全解全析)

z2024年中考数学考前押题密卷全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（本题3分）的相反数是（ ）A ．B ．2024C ．D ． 【答案】B【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．【详解】解：的相反数是2024，故选：B ．2．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．【详解】 解：、，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；、，既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 2024-2024-12024-120242024-A B Cz 、，不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：．3．（本题3分）下列运算正确的是（ ）A ．2a ＋3a ＝5a 2B ．6m 2﹣5m 2＝1C ．a 6÷a 3＝a 2D ．（﹣a 2）3＝﹣a 6 【答案】D【分析】利用合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可．【详解】2a ＋3a ＝5a ，故选项A 不符合题意；6m 2﹣5m 2＝m 2，故选项B 不符合题意；a 6÷a 3＝a 3，故选项C 不符合题意；（﹣a 2）3＝﹣a 6，故选项D 符合题意．故选D ．【点睛】本题考查了整式的加减法，以及整式的乘除法中的同底数幂的乘除法、幂的乘方.掌握相关运算法则是解答本题的关键．4．（本题3分）深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000这个数用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】．故选：B ．【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．5．（本题3分）年全国教育工作会议于月日在北京召开，会议重点谈到了要重视学生的“读书问题”，为落实会议精神，某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的名学生的读书册数进行调查，结果如下表：D C 60.3210´53.210´93.210´83210´5320000 3.210=´10n a ´1<10a £202311220z册数 1 2 3 4 5人数 2 5 7 4 2根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）A ．3，3B ．3，7C ．2，7D ．7，3【答案】A【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的一个数或多个数；根据中位数的定义：将数据按照从小到大的顺序排序后，位置在最中间的数值，进行求解即可．【详解】解：由题意可得：众数是3，中位数， 故选：A ．【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，熟记概念是解题关键．6．（本题3分）如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝以BC 的中点O 为圆心的圆分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，则弧DE 的长为( ).A ．B ．C ．D ．π【答案】C【分析】连接OE 、OD ，由切线的性质可知OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，又由∠A =90°可得四边形AEOD 是矩形，得出∠DOE =90°，由于O 是BC 的中点，从而可知OD 是中位线，所以可知∠B =45°，从而可知半径r 的值，最后利用弧长公式即可求出答案．【详解】解：连接OE 、OD ，3+332=4p3p2pz 设半径为r ，∵⊙O 分别与AB ，AC 相切于D ，E 两点，∴OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∵∠A =90°，∴四边形AEOD 是矩形，∴∠DOE =90°，∵O 是BC 的中点，∴OD 是中位线，∴OD =AE =AC ，∴AC =2r ，同理可知：AB =2r ，∴AB=AC ，∴∠B =45°，∵BC =∴由勾股定理可知AB =2，∴r =1，∴==． 故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，中位线定理，解题的关键是连接OE 、OD 后利用中位线的性质求出半径r 的值．7．（本题3分）车库的电动门栏杆如图所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则∠ABC +∠BCD 的大小是（ ）A ．150B ．180C ．270D ．360【答案】C 【分析】过B 作BF ∥AE ，则CD ∥BF ∥AE ．根据平行线的性质即可求解．12DE 901180p ´2p °°°°z 【详解】解：过B 作BF ∥AE ，则CD ∥BF ∥AE ．∴∠BCD+∠1=180°；又∵AB ⊥AE ，∴AB ⊥BF ．∴∠ABF=90°．∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°故选C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键． 8．（本题3分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）A ．函数解析式为B ．蓄电池的电压是C ．当时，D ．当时， 【答案】D【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．设函数解析式为，将点代入判断A 选项；由解析式判断B 选项；将解析式代入判断C 选项；由函数性质判断D 选项．【详解】解：设， 图象过， ，函数解析式为，故A 选项错误，不符合题意；W 13I R =18V =6ΩR 4A I =10A I £ 3.6R ³W ()0U I U R=¹()4,9=6ΩR ()0U I U R=¹ ()4,94936U \=´=\36I R =z 蓄电池的电压是，故B 选项错误，不符合题意；当时，，故C 选项错误，不符合题意； 当时，，由图象知I 随R 的增大而减小，∴当时，，故D 正确；故选：D ．9．（本题3分）如图，在坡比为斜坡上有一电线杆．某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等，此时电线杆在斜坡上的影长为30米，则电线杆的高为（ ）米．A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键，作，由坡比得到，在中，应用三角函数，求出、的长，根据题意求出的长度，根据即可求解．【详解】解：过点作，交延长线于点，∵坡比为∴ ∴， \36V ()366A 6I ==10A I ==3.6ΩR 10A I £ 3.6R ³W AB BC AB 1515CD AB ^30BCD Ð=°Rt BCD BD CD AD AB AD BD =-C CD AB ^AB D tan BCD Ð=30BCD Ð=°z ∵，∴米），（米）， ∵某时刻身高1.7米的小明在水平地面上的影长恰好与其身高相等，∴米），∴（米），故选：．10．（本题3分）如图（a ），A ，B 是⊙O 上两定点，，圆上一动点P 从点B 出发，沿逆时针方向匀速运动到点A ，运动时间是，线段AP 的长度是．图（b ）是y 随x 变化的关系图象，其中图象与x 轴交点的横坐标记为m ，则m 的值是（ ）A ．8B ．6C ．D ． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点的运动时间是解题关键．根据最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答．【详解】解：如图，当点运动到过圆心，即为直径时，最长，由图（b ）得，最长时为6，此时，，， 30BC =cos cos30302CD BC BCD BC =×Ð=×°==11301522BD BC ==´=AD CD ==15AB AD BD =-=C 90AOB Ð=°()s x ()cm y 143P AP P PA O PA AP AP 2x =90AOB Ð=°Q 90POB \Ð=°z此时点路程为90度的弧，点从点运动到点的弧度为270度，运动时间为，故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（本题3分）若代的取值范围是 ． 【答案】且【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到且，进行求解即可．【详解】解：代 且， 解得：且，故答案为：且．12．（本题3分），则 ．【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：， ∴，∴，∴，故答案为：．13．（本题3分）如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是 ．【答案】2：3/ 【分析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比解答． \P P B A \236´=x 2x ³-5x ¹20x +³50x -¹ 20x \+³50x -¹2x ³-5x ¹2x ³-5x ¹10y +=x y =12010x y -=+=ㄑ21x y ==-ㄑ10y +=010y ³+³ㄑ2010x y -=+=ㄑ21x y ==-ㄑ()211x y =-=123z【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为2：3，∴它们对应高线的比为2：3，故答案为：2：3．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高线的比等于相似比是解题的关键． 14．（本题3分）如图1，小言用七巧板拼了一个对角线长为6的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形（如图2所示），则矩形的对角线长为 ．【答案】【分析】本题考查了用七巧板拼图形，勾股定理，解题的关键是找到边长之间的等量关系，长方形的长等于正方形的对角线，长方形的宽是正方形对角线的一半，根据勾股定理，即可求解，【详解】解：由图像可知，长方形的长等于正方形的对角线为6，长方形的宽是正方形对角线的一半为3，根据勾股定理故答案为：15．（本题3分）若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第 象限．【答案】四．【分析】由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，由a 的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P 在第四象限，此题得解．【详解】∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且．∴，， 210(0)4ax x a --=¹(1, 3 )P a a +--210(0)4ax x a --=¹201(1)4-04a a ¹ìïíæöD =--´´>ç÷ïèøî1a >-0a ¹10a +>30a --<z ∴点在第四象限．故答案为四．【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a 的一元一次不等式组是解题的关键．16．（本题3分）如图，在菱形纸片中，点E 在边上，将纸片沿折叠，点B 落在处，，垂足为F ．若，，则 cm ．【答案】 【分析】由，可得，由菱形的性质与折叠可得，，过点E 作于点G ，设，则，，易证，得到，代入即可求出x 的值，从而得到的长，进而在中，根据勾股定理即可求解．【详解】∵，，∴，由翻折可得：，∴在菱形中，，∵，∴∴在中，，∵在菱形中，，∴，又由折叠有，且，∴ (1,3)P a a +--ABCD AB CE B ¢CB AD ¢^4cm CF =1cm FB ¢=BE=2574cm CF =1cm FB ¢=5cm CB ¢=5cm BC CD B C ¢===45BCE B CE ¢Ð=Ð=°EG BC ^cm CG x =cm EG x =()5cm BG BC CG x =-=-EGB CFD ＦEG GB CF FD =BG Rt BEG ア4cm CF =1cm FB ¢=()415cm CB CF FB =+¢=+=¢5cm BC B C ¢==ABCD 5cm CD BC ==CB AD ¢^90CFD CFA Ð=Ð=°Rt CDFア3DF ===ABCD AD BC Ｙ90BCB CFD ¢Ð=Ð=°BCE B CE ¢Ð=Ð90BCE B CE BCB ¢¢Ð+Ð=Ð=°45BCE Ð=°z过点E作于点G，∴，∴，∴，∴，设，则，，∵在菱形中，，又，∴，∴，即解得：，∴，，∴在中，．故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．综合运用各知识点，正确作出辅助线，得到相似三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题6分）先化简，再求值：，其中【答案】【分析】本题考查分式的混合运算，化简求值、分母有理化，掌握运算顺序是解题的关键，先因式分解，EG BC^90EGB EGCÐ=Ð=°90904545CEG BCEÐ=°-Ð=°-°=°CEG BCGÐ=Ð=EG CGcmCG x=cmEG x=()5cmBG BC CG x=-=-ABCD B DÐ=Ð90EGB CFDÐ=Ð=°EGB CFDＦEG GBCF FD=543x x-=207x=20cm7EG=15cm7BG=Rt BEGア()25cm7BE==2572221133a a aa a a+-÷+--1a=1aa-z按照分式的加法和分式除法法则进行化简，再把字母的值代入运算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式18．（本题7分）（1）计算：．（2）已知是关于的一次函数，且当时，；当时，．求一次函数的解析式．【答案】（1）（2）．【分析】本题考查特殊三角函数值，零次幂，负整数幂的运算，求一次函数解析式． （1）先算特殊三角函数值，零次幂，负整数幂，进而即可求解． （2）利用待定系数法求出其解析式即可． 【详解】（1）解：，，（2）解：∵是关于的一次函数，且当时，；当时，． ∴将及两点代入，可得：，()()()()13·1311a a a a a a a +-=+-+-111a =+-1111a a a -=+--111a a +-=-1aa =-1a ====()212sin 6023p -æö°--+ç÷èøy x y kx b =+4x =-3y =2x =0y =8+112y x =-+()212sin 6023p -æö°--+ç÷èø212113=+æöç÷èø19=+8=+y x y kx b =+4x =-3y =2x =0y =()4,3-()2,0y kx b =+3402k bk b =-+ìí=+îz求解此二元一次方程组，可得：， 因此一次函数的解析式为：．19．（本题8分）如图，在中，．(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D ，交于点F ；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)【分析】本题考查心规基本作图—作线段垂直平分线、解直角三角形、含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及含30度直角三角形角所对的边是斜边的一半是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据含30度直角三角形的性质和解三角形即可求得答案．【详解】（1）解：如图所示：直线是的垂直平分线；（2）解：在中，，， ∴∵是的垂直平分线， 121k b ì=-ïíï=î112y x =-+Rt ABC ア90A Ð=°BC MN AC BC 30C Ð=°3AB =CD 30°116322CF BC ==´=MN BC Rt ABC ア90A Ð=°30C Ð=°3AB =26BC AB ==DF BCz在中， ∴20．（本题9分）为了增强学生体质，某校在每周二、周四的课后延时服务时段开设了五类拓展课程：A 篮球，B 足球，C 乒乓球，D 踢建子，E 健美操．为了解学生对这些课程的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息回答下列问题．(1)本次抽取调查的学生共有______人； (2)请补全条形统计图；(3)在扇形统计图中，A 篮球类所对应的圆心角为______°；(4)八（1）班有甲、乙、丙、丁四位同学参加了乒乓球课程，为参加学校组织的乒乓球比赛，班主任从四人中随机抽取两人代表班级出战．利用画树状图或列表的方法求出甲和乙至少有一人被选上的概率．【答案】(1)125 (2)见解析 (3) (4)，见解析 【分析】（1）用项目B 的人数除以其人数占比即可求出本次抽取调查的学生人数； （2）先求出项目D 的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以项目A 的人数占比即可得到答案；（4）先列出图表得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．本题考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．Rt BAD cos CFC CDÐ=33cos cos30CD C ====а72°56360°【详解】（1）解：（人）， ∴此次调查共抽取了125名学生， 故答案为：125，（2）解：项目D 的人数为：（人）， 条形统计图补充为：（3）解：在此扇形统计图中，A 篮球类所对应的扇形圆心角为：， 故答案为：， （4）解：列表如下：∵所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有10种， ∴甲和乙至少有一人被选上的概率为， 故答案为：．21．（本题9分）某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米，建A 类摊位每平方米的费用为40元，建B 类摊位每平方米的费用为30元，用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用同样面积建B 类摊位个数的．（1）求每个A ，B 类摊位占地面积各为多少平方米？2016%=125÷1252520401525----=3602512572°´÷=°72°105126=5635（2）该社区拟建A ，B 两类摊位共90个，且B 类摊位的数量不大于A 类摊位数量的3倍，建造这90个摊位的总费用不超过10850元．则共有哪几种建造方案？（3）在（2）的条件下，哪种方案的总费用最少？最少费用是多少？【答案】（1）每个A 类摊位的占地面积为5平方米，每个B 类摊位的占地面积为3平方米；（2）共有3种建造方案，方案1：建造23个A 类摊位，67个B 类摊位；方案2：建造24个A 类摊位，66个B 类摊位；方案3：建造25个A 类摊位，65个B 类摊位；（3）方案1的总费用最少，最少费用是10630元【分析】（1）设每个B 类摊位的占地面积为x 平方米，则每个A 类摊位的占地面积为（x +2）平方米，根据题意列分式方程解决问题；（2）设建造m 个A 类摊位，则建造（90﹣m ）个B 类摊位，根据题意，列一元一次不等式组解决问题； （3）根据（2）的结论，分别计算各方案的费用，再比较即可得出费用最少的方案以及最少费用． 【详解】解：（1）设每个B 类摊位的占地面积为x 平方米，则每个A 类摊位的占地面积为（x +2）平方米， 依题意得：＝×， 解得：x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解，且符合题意， ∴x +2＝5．答：每个A 类摊位的占地面积为5平方米，每个B 类摊位的占地面积为3平方米． （2）设建造m 个A 类摊位，则建造（90﹣m ）个B 类摊位，依题意得： 解得：≤m ≤25．又∵m 为整数，∴m 可以取23，24，25， ∴共有3种建造方案，方案1：建造23个A 类摊位，67个B 类摊位； 方案2：建造24个A 类摊位，66个B 类摊位； 方案3：建造25个A 类摊位，65个B 类摊位．（3）方案1所需总费用为40×5×23+30×3×67＝10630（元）， 方案2所需总费用为40×5×24+30×3×66＝10740（元）， 方案3所需总费用为40×5×25+30×3×65＝10850（元）．602x +3560x903405303(90)10850m m m m -£ìí´+´-£î452z∵10630＜10740＜10850，∴方案1的总费用最少，最少费用是10630元．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式和方程是解题的关键．22．（本题9分）如图所示，内接于，是的直径，是上的一点，平分，，垂足为，与相交于点．(1)求证：是的切线；(2)当的半径为5，时，求的长．【答案】(1)证明见解析； (2)4.8【分析】（1）根据“过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线”进行证明；（2）根据三角函数的意义及勾股定理求解．本题考查了切线的判定和性质，掌握三角函数的意义及勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， 平分，，， ， ， ，，ABC O AB O D O CO BCD ÐCE AD ^E AB CDF CE O O 3sin 5B =CE CE AD ^ 90E \Ð=°CO BCD ÐOCB OCD \Ð=ÐOB OC = B BCOD \Ð=Ð=ÐD OCD \Ð=ÐOC DE \；90OCE E \Ð=Ð=°zx xk.com是圆的半径， 是的切线；（2）解：是的直径，，， ，， ，， 解得：，．23．（本题12分）综合实践(1)填空：在上图中位似中心是点________；________多边形是特殊的________多边形．（填“位似”或“相似”） OC CE \O AB O 90ACB \Ð=°3sin 5AC B AB == 6AC \=90OCE ACO OCB ACO ACE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=° ACE OCB B \Ð=Ð=Ð3sin sin 5AE ACE B AC \Ð===3.6AE = 4.8CE \==z(2)在平面直角坐标系中（如下图），二次函数的图像与x 轴交于点A ，点B 是此函数图像上一点（点A 、B 均不与点O 重合），已知点B 的横坐标与纵坐标相等，以点O 为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似．①画出，并求经过O 、、三点的抛物线的表达式； ②直线与二次函数的图像交于点M ，与①中的抛物线交于点N ，请判断和是否为位似三角形，并根据新定义说明理由．【答案】(1)P ；位似；相似(2)①图形见解析；；②和为位似三角形，理由见解析【分析】（1）根据位似图形的定义，即可求解；（2）①根据位似图形的定义，画出图形，再求出、的坐标，即可求解；②过点M 作轴于点D ，过点N 作轴于点C ，联立求出点M ，N 的坐标，可得，从而得到，进而得到，再由点的坐标为，点A 的坐标为，可得，然后根据新定义，即可求解．【详解】（1）解：在上图中位似中心是点P ；位似多边形是特殊的相似多边形． 故答案为：P ；位似；相似 xOy 2132y x x =-12OAB 11OA B 11OA B 1A 1B ()0y kx k =>2132y x x =-1OA N アOAM ア23y x x =-1OA N アOAM ア1A 1B MD x ^NC x ^2MD ODCN OC==OCN ODM ｄ 2OM MDON CN ==1A ()3,0()6,012OA OM OA ON ==z（2）解：①如图，即为所求；令，则， 解得：或0， ∴点A 的坐标为， 设点B 的坐标为， ∴，解得：或0， ∴点B 的坐标为，∵以点O 为位似中心，相似比为，将缩小，得到它的位似， ∴点的坐标为，点的坐标为，设经过O 、、三点的抛物线的表达式为，把点，，代入得：，解得：，∴经过O 、、三点的抛物线的表达式为， ②和为位似三角形，理由如下：如图，过点M 作轴于点D ，过点N 作轴于点C ，11OA B 0y =21032x x =-6x =()6,0(),s s 2132s s s =-8s =()8,812OAB 11OA B 1A ()3,01B ()4,41A 1B 2y ax bx c =++()3,0()4,4()0,093016440a b c a b c c ++=ìï++=íï=î130a b c =ìï=-íï=î1A 1B 23y x x =-1OA N アOAM アMD x ^NC x ^z联立得： ，解得：或， ∴点M 的坐标为， ∴，，，同理点N 的坐标为， ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵点的坐标为，点A 的坐标为，∴，∴， ∴和为位似三角形．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用，理解新定义，利用数形结合思想解答是解题的关键．24．（本题12分）综合探究素材：一张矩形纸片．操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部．2132y x x y kxì=-ïíï=î26262x k y k k =+ìí=+î00x y ==ìíî()262,62k k k ++62OD k =+262MD k k =+()23,3k k k ++3OC k =+23CN k k =+2MD OD CN OC==90OCN ODM Ð=Ð=°OCN ODM ｄ 2OM MD ON CN ==1A ()3,0()6,013,6OA OA ==12OA OM OA ON==1OA N アOAM ア,6,8ABCD AD AB ==CD E ADE V AE D D ABCDz(1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数；(2)如图2，当落在对角线上时，求的长；(3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长．【答案】(1)(2) (3)点落在对角线上时，线段长度最小，此时的长为3【分析】（1）根据折叠的性质得到是等边三角形. 则，再根据折叠的性质得到，即可得到答案；（2）由折叠的性质得到，再由同角的余角相等即可得到，由即可求出的长； （3）由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小， 根据勾股定理得到，由折叠得：，，，设，则，，根据勾股定理得到，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：连接，由折叠得：，垂直平分.DC AB MN D MN DAE ÐD BD DE CD ¢ABCD CD ¢CD ¢D DE 30DAE Ð=°92D AC CD ¢DE ADD ¢ 60DAD ¢Ð=°DAE D AE ¢Ð=ÐAE DD ¢^EDD EAD ¢Ð=Ð3tan tan 4DE EDD EAD AD ¢Ð=Ð==DE CD AC AD ¢¢³-A C D ¢キキCD ¢D AC CD ¢10AC ==ED ED =90A DE ¢Ð=°6AD AD ¢==DE x =8EC x =-1064D C ¢=-=()22248x x +=-DD ¢¢MN AD DAE D AE ¢Ð=Ðz ∵在上，∴，∴，∴是等边三角形.∴，∵，∴.（2）依题意得，，∴，∴，∴， ∴. （3）点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3.理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图，中，，由折叠得：，，， 设，则，，根据勾股定理得，，则，解得∴线段长度最小时的长为3.【点睛】此题考查了解直角三角形、矩形的折叠问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． D MN D A D D ¢¢=D A D D AD ¢¢==ADD ¢ 60DAD ¢Ð=°DAE D AE ¢Ð=Ð30DAE Ð=°AE DD ¢^090EDD ADD EAD ADD ¢¢¢Ð+Ð=Ð+Ð=EDD EAD ¢Ð=Ð3tan tan 4DE EDD EAD AD ¢Ð=Ð==3396442DE AD ==´=D AC CD ¢DE CD AC AD ¢¢³-A C D ¢キキCD ¢D AC CD¢Rt ADC10AC ==ED ED =90A DE¢Ð=°6AD AD ¢==DE x =8EC x =-1064D C ¢=-=222DE CD CE ¢¢+=()22248x x +=-3x =CD ¢DE。

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(山东济南卷)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(山东济南卷)

2024年中考数学考前押题密卷全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数的相反数中，最大的是（ ） A ．23B ．23−C ．1D ．1−【答案】D【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，首先求出所给个数的相反数，然后根据有理数大小比较的方法，判断出所给的各数的相反数中，最大的是哪个数即可，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 【详解】解：23、23−、1、1−的相反数分别是23−、23、1−、1，221133−<−<<， ∴所给的各数的相反数中，最大的是1−．故选：D ．2 ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了几何体的三视图，结合俯视图是从上面往下面看到的，据此即可作答． 【详解】解：结合几何体的特征，俯视图是长方形且中间是有一条实线 ，即是俯视图为，故选：B3．据中国国家铁路集团有限公司消息：在2024年为期40天的春运期间，全国铁路累计发送旅客4.84亿人次，日均发送12089000人次．将12089000用科学记数法表示应为（ ） A ．612.08910⨯ B ．61.208910⨯ C ．71.208910⨯ D ．80.1208910⨯【答案】C【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10na ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将12089000用科学记数法表示应为71.208910⨯， 故选：C ．4．直尺和三角板如图摆放，若155∠=︒，则2∠的大小为（ ）A ．35︒B ．55︒C ．135︒D ．145︒【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．根据平行线的性质得到3435∠∠==︒，再由邻补角互补即可得出结果． 【详解】解：如图所示：1+3=90∠∠︒，∵155∠=︒， ∴335∠=︒，由题意得，直尺的两边平行， ∴3435∠∠==︒， ∴21804145=︒−=︒∠∠， 故选D ．5．陇南康县王坝生态民俗旅游区，环境优美，群山叠翠，被誉为“陇上田园、诗画王坝”．下面四个艺术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的定义，根据中心对称图形的定义（把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，）和轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；）进行逐一判断即可．【详解】解：A 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； C 、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；D 、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C ．6．若0a b <<，则下列结论正确的是（ ） A ．a b a b −<−<< B ．b a a b −<−<< C ．a b b a <<−<− D ．a b a b <<−<−【答案】C【分析】本题考查的是不等式的性质．根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：0a b <<Q ，0a b ∴−>−>， a b b a ∴<<−<−．故选：C ．7．不透明袋子中装有红、蓝小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次都摸到蓝球的概率为（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】A【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及两次都摸到蓝球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下：共有4种等可能的结果，其中两次都摸到蓝球的结果有1种，∴两次都摸到蓝球的概率为14． 故选：A ．8．已知ABCD Y 中，∠A =55°，分别以点B ，点C 为圆心，以大于12BC 的长为半径画弧，分别交于点M ，N ，作直线MN 交DC 于点E ，则ABE ∠的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°【答案】D【分析】由ABCD Y 得55C A ∠=∠=︒，根据题意得MN 是BC 得垂直平分线，则BE CE =，得55C EBC ∠=∠=︒，即求得ABE ∠的度数．【详解】∵解：四边形ABCD 是平行四边形，∴55C A ∠=∠=︒，180A ABC ∠+∠=︒，则18055125ABC ∠=︒−︒=︒，∵以点B ，点C 为圆心，以大于12BC的长为半径画弧，分别交于点M ，N ，作直线MN 交DC 于点E ， ∴MN 是BC 得垂直平分线，则BE CE =， 所以55C EBC ∠=∠=︒，那么1255570ABE ABC EBC ∠=∠−∠=︒−︒=︒， 故选：D ．【点睛】本题主要考查的是平行四边形性质以及垂直平分线等知识内容，熟练掌握垂直平分线性质是解题的关键．9．如图，点P 是平行四边形ABCD 边上一动点，A D C B →→→的路径移动，设点Р经过的路径长为x ，BAP △的面积是y ，则大致能反映y 与x 之间的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】本题考查动点问题的函数图像，一次函数的图像，平行四边形的性质．注意分段考虑．解题的关键是数形结合的应用．根据题意分三段来考虑，点P 沿A D →移动，BAP △的面积逐渐变大；点P 沿→D C 移动，BAP △的面积不变；点P 沿C B →移动，BAP △的面积逐渐减小，据此选择即可．【详解】解：如图，过点B 作BH AD ⊥交DA 的延长线于H ，设BH h =，AB 与CD 之间的距离为m ，点P 沿A D →移动，1122BAPSAP BH hx =⋅=，h 是定值，则y 是x 的一次函数，且BAP △的面积逐渐变大； 点P 沿→D C 移动，12BAPSAB m =⋅，m 与AB 是定值，即BAP △的面积不变； 点P 沿C B →移动，()()1122BAPSAD CD BC x BH h AD CD BC x =++−⋅=++−，h 是定值，则y 是x 的一次函数，且BAP △的面积逐渐减小； 故选：C ．10．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记函数()20y x a a =−+>的图象在x 轴上方的部分与x 轴围成的区域（不含边界）为W ．例如当2a =时，区域W 内的整点个数为1，若区域W 内恰有7个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．23a <≤B ．23a ≤<C ．34a <≤D ．34a ≤<【答案】C【分析】根据题意对2,3,4a =时的二次函数图象进行分析，发现每次向上平移1即将上一次的边界整点包括在内，找到规律即可求得a 的取值范围【详解】当2a =时，区域W 内的整点个数为1，此时22y x =−+令0y =，解得x =0x =，解得2y =故函数22y x =−+的图像在x 轴上方的部分与x 轴围成的区域中，整数点有(0,1)有()()()1,11,1,0,2−，三个整数点在边界上如图，当3a =时，此时顶点为(0,3)，在W 区域内有点()()()()1,11,1,0,2,0,1−，四个整数点，边界上有()()()0,31,2,1,2−，三个整数点，当4a =时，W 将3a =时，在边界上是的整数点包括进来，即此时恰好有7个点， 所以34a <≤ 故选C【点睛】本题考查了二次函数平移，二次函数的图像的性质，找到规律是解题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式：21236x y xy y −+= ． 【答案】()26y x −【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解即可． 【详解】解：()()222123612366x y xy y y x x y x −+=−+=−．故答案为：()26y x −．12．在平面直角坐标系中，已知点()3,2P −与点()3,Q a −关于原点对称，则=a ． 【答案】2【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称两点坐标特征，根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数这一特征求解即可． 【详解】解：已知点()3,2P −与点()3,Q a −关于原点对称，则2a −=−，即2a =故答案为：213．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k −−+=有实数根，则k 的取值范围为 ． 【答案】32k ≥且2k ≠【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△0≥，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：关于x 的方程2(2)26k x kx k −−+=有两个实数根， 2Δ(2)4(2)(6)0k k k ∴=−−−−≥，解得：32k ≥，20k −≠， 2k ∴≠，k ∴的取值范围为32k ≥且2k ≠，故答案为：32k ≥且2k ≠．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式0∆≥，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．14．如图，△ABC 在边长为1个单位的方格纸中，△ABC 的顶点在小正方形顶点位置，那么∠ABC 的正切值为 ．【答案】12/0.5【分析】根据题意和图形，可以求得AC 、BC 和AB 的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断ACB △的形状，然后即可求得ABC ∠的正弦值．【详解】解：由图可得，AC =AB BC =∴222AC BC AB +=，∴ACB △是直角三角形，∴1tan 2AC ABC BC ∠===，故答案为：12．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．如图，菱形ABCD 的边长为2，以C 为圆心，BC 为半径画弧至点D ，恰好经过点A ，再以A 为圆心，AD 为半径画弧至点B ，恰好经过点C ，求图中的阴影面积 ．【答案】83π−【分析】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形判定和扇形的面积公式的应用，根据已知得出ABC 是等边三角形是解题关键．先证得ABC 是等边三角形，进而利用扇形面积和菱形面积求出即可． 【详解】解：连接AC BD ，，交于点O ，∵菱形ABCD 的边长为2，2AB BC ∴==，AC BD ⊥， AB AC =，ABC ∴是等边三角形，60BAC ∴∠=︒，2AB AC ==，1OA =，OB OD =，OB OD ∴=，BD ∴=，2120CD BC BAD ∴==∠=︒，，∴图中阴影部分的面积为：21202182236023ππ⎛⨯⨯−⨯⨯=− ⎝故答案为：83π−16．如图，线段AC 与BD 相交于点E ，保持60BEC ∠=︒，已知3AC =，2BD =，则AD BC +的最小值是 ．【分析】过点B 作BF AC ∥，过点A 作AF BC ∥交BF 于F ，过点D 作DH BF ⊥于H ，连接DF ，则四边形ACBF 为平行四边形，从而得AF BC =，3BF AC ==，60DBH BEC ∠=∠=︒，在Rt BDH △中分别求出1BH =，DH 2HF BF BH ==，由此可求出DF =AD BC AD AF DF +=+≥可得出AD BC +的最小值．此题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，正确地作出辅助线构造平行四边形和直角三角形，理解两点之间线段最短是解决问题的关键．【详解】解：过点B 作BF AC ∥，过点A 作AF BC ∥交BF 于F ，过点D 作DH BF ⊥于H ，连接DF ，如下图所示：BF AC ∥，AF BC ∥，3AC =，∴四边形ACBF 为平行四边形，AF BC ∴=，3BF AC ==，又60BEC ∠=︒，60DBH BEC ∴∠=∠=︒，在Rt BDH △中，9030BDH DBH ∠=︒−∠=︒，2BD =，1BH ∴=，由勾股定理得：DH312HF BF BH ∴=−=−=，在Rt DHF △中，由勾股定理得：DF ==AF BC =，AD BC AD AF ∴+=+，根据“两点之间线段最短”得：AF AD DF +≥，即AF AD +≥AF AD ∴+AD BC ∴+三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：()()220241312π−⎛⎫−−+ ⎪⎝⎭． 【答案】6【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算加减法即可．【详解】解：()()220241312π−⎛⎫−−+ ⎪⎝⎭1214=+−+6=．18．（6分）计算(1)解不等式组23789x xx x⎧>⎪⎨⎪−<⎩；(2)化简22211444a a a a a −−÷−+−．【答案】(1)0x > (2)222a a a −−−−【分析】本题主要考查解不等式组、分式的混合运算等知识点，掌握相关计算方法和步骤成为解题的关键． （1）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：23789x xx x ⎧>⎪⎨⎪−<⎩①②解不等式①可得：0x >， 解不等式②可得：4x >−， 所以原不等式组的解集为：0x >．（2）解：22211444a a a a a −−÷−+− ()()()()()2111222a a a a a a +−−=−÷+−− ()()()()()2221112a a a a a a +−−=−⨯+−−()()221a a a +=−−+222a a a −−=−−．19．（6分）如图，点A 、F 、C 、D 在一条直线上，AB DE ∥且AB DE =，AF DC =．(1)求证：ACB DFE ∠=∠；(2)求证：四边形BFEC 是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法．（1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得A D ∠=∠，再根据AF CD =，等量交换得AC DF =，结合已知条件AB DE =，根据全等三角形判定（边角边），得ABC DEF ≌△△，即可得ACB DFE ∠=∠； （2）根据（1）得ABC DEF ≌△△，由全等三角形的性质得BC EF =，ACB DFE ∠=∠，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得BC EF ∥，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论． 【详解】（1）证明：AB DE ∥，A D ∴∠=∠，又AF CD =，AF CF CD CF ∴+=+，即AC DF =，在ABC 和DEF 中，AB DEA D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABC DEF ∴≌，ACB DFE ∴∠=∠．（2）证明：由（1）得ABC DEF ≌△△， BC EF ∴=，ACB DFE ∠=∠， BC EF ∴∥，四边形BFEC是平行四边形．20．（8分）某学校组织学生采摘山楂制作冰糖葫芦(每串冰糖葫芦由5颗山楂制成)．同学们经过采摘、筛选、洗净等环节，共得到7.6kg的山楂．甲、乙两位同学各随机分到了15颗山楂，他们测量了每颗山楂的重量(单位：g)，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲同学的山楂重量的折线图：b．乙同学的山楂重量：8，8.8，8.9，9.4，9.4，9.4，9.6，9.6，9.6，9.8，10，10，10，10，10c．甲、乙两位同学的山楂重量的平均数、中位数、众数：根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m，n的值；(2)对于制作冰糖葫芦，如果一串冰糖葫芦中5颗山楂重量的方差越小，则认为这串山楂的品相越好．①甲、乙两位同学分别选择了以下5颗山楂制作冰糖葫芦．据此推断：品相更好的是(填写“甲”或“乙”)；②甲同学从剩余的10颗山楂中选出5颗山楂制作一串冰糖葫芦参加比赛，首先要求组成的冰糖葫芦品相尽可能好，其次要求冰糖葫芦的山楂重量尽可能大．他已经选定的三颗山楂的重量分别为9.4，9.5，9.6，则选出的另外两颗山楂的重量分别为和；(3)估计这些山楂共能制作多少串冰糖葫芦．【答案】(1)9.4，10(2)①甲，②9.3，9.6(3)160串【分析】（1）根据中位数和众数的概念，即可求解；（2）①根据方差的定义，即可求解；②根据题意可知，剩余两个山楂的重量应该尽可能大，且接近已有的三个山楂的重量，以保证方差最小，据此解答即可．（3）已知总重量和调查的平均数，用总数量除以调查的平均数先求出大概有多少个山楂，再用山楂数除以每串冰糖葫芦的山楂数即可求出能制作多少串冰糖葫芦．【详解】（1）解：根据甲的折线图可以看出，这组数据从小到大排列，中间第8个数为9.4，也就是说这组数据的中位数为9.4，所以9.4m=；根据乙同学的山楂重量数据可以发现，重量为10克出现的次数最多，也就是说这组数据的众数为10，所以10n=．（2）解：①根据题意可知甲同学的5个冰糖葫芦重量分布于9.19.2−之间，乙同学的5个冰糖葫芦重量分布于8.89.4−，从中可以看出，甲同学的5个数据比乙同学的5个数据波动较小，所以，甲同学的5个冰糖葫芦重量的方差较小，故甲同学冰糖葫芦品相更好．②要求数据的差别较小，山楂重量尽可能大，∴可供选择的有9.3、9.6、9.9，当剩余两个为9.3、9.6，这组数据的平均数为9.48，方差为：222221[(9.39.48)(9.49.48)(9.59.48)(9.69.48)(9.69.48)]0.01365−+−+−+−+−⨯=，当剩余两个为9.6、9.9，这组数据的平均数为9.6，方差为：222221[(9.49.6)(9.59.6)(9.69.6)(9.69.6)(9.99.6)]0.0285−+−+−+−+−⨯=，当剩余两个为9.3、9.9，这组数据平均数为9.54，方差为：222221[(9.39.54)(9.49.54)(9.59.54)(9.69.54)(9.99.54)]0.04245−+−+−+−+−⨯=，据此，可发现当剩余两个为9.3、9.6，方差最小，山楂重量也尽可能大．（3）解：7.6千克7600=克，76009.5800÷=（个)，8005160÷=（串)，答：能制作160串冰糖葫芦．【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，众数，中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．21．（8分）如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长17cm AB =，支撑板长16CD cm =，底座长14cm DE =，托板AB 连接在支撑板顶端点C 处，且7cm CB =，托板AB 可绕点C 转动，支撑板CD 可绕D 点转动．如图2，若7060DCB CDE ∠=︒∠=︒，．(参考数值sin400.64cos400.77︒≈︒≈，，tan400.84︒≈ 1.73≈)(1)求点C 到直线DE 的距离(精确到； (2)求点A 到直线DE 的距离(精确到0.1cm)． 【答案】(1)点C 到直线DE 的距离约为13.8cm (2)点A 到直线DE 的距离约为21.5cm【分析】（1）如图2，过点C 作CN DE ⊥，垂足为N ，然后根据三角函数可得sin CNCDN CD ∠=，即·sin CN CD CDN ∠＝，最后将已知条件代入即可解答；（2）如图2，过A 作AM DE ⊥，交DE 的延长线于点M ，过点C 作CF AM ⊥，垂足为F ，再说明Rt ACF 中，9040AFC A ∠=︒∠=︒，，10cm AC =，然后根据三角函数和线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：如图2，过点C 作CN DE ⊥，垂足为N由题意可知，16cm 60CD CDE =∠=︒，， 在Rt CDN △中，sin CNCDN CD ∠=，∴·sin 1613.8cm CN CD CDN ∠==＝＝．答：点C 到直线DE 的距离约为13.8cm ．（2）解：如图3，过A 作AM DE ⊥，交DE 的延长线于点M ，过点C 作CF AM ⊥，垂足为F ，∴CN FM CN FM =，∥在Rt ACF 中，90703040AFC A BCN ∠=︒∠=∠=︒−︒=︒，，17710cm AC AB BC =−=−=， ∴·cos40100.777.7cm AF AC =︒≈⨯≈， ∴7.713.821.5cm AM AF FM =+=+=． 答：点A 到直线DE 的距离约为21.5cm ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键．22．（8分）如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，且BC DC =，BD 交AC 于点E ，点F 在AC 的延长线上，BE BF =．(1)求证：BF 是O 的切线； (2)若12EF =，3cos 5ABC ∠=． ①求BF 的长； ②求O 的半径． 【答案】(1)见解析(2)①10；②O 的半径为203【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、解直角三角形等知识，熟练掌握相关定理并结合图形进行正确推理是解题的关键．（1）证明90ABF ∠=︒，根据切线的判定定理即可得到得到结论； （2）①由（1）得：BE BF =，由AB 为O 的直径得到BC EF ⊥，则162CF CE EF ===，证明F ABC ∠=∠，利用cos CFF BF ∠=即可得到答案； ②在Rt BCF 中，由勾股定理求出8BC =，由cos 35ABC BC AB ∠==即可得到403AB =，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵BC DC =， ∴D CBD ∠=∠， 又∵BC BC = ∴A D ∠=∠， ∴A CBD ∠=∠ ∵BE BF =， ∴BEC F ∠=∠．∵AB 为O 的直径， ∴90ACB ∠=︒， ∴90BEC CBE ∠+∠=︒， ∴90F A ∠+∠=︒． ∴90ABF ∠=︒， ∴OB BF ⊥， ∵OB 是圆的半径， ∴BF 是O 的切线；（2）解：①由（1）得：BE BF =， ∵AB 为O 的直径， ∴BC EF ⊥， ∴162CF CE EF ===，∵90,90ABC CBF CBF F ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴F ABC ∠=∠， 在Rt BCF 中，∵cos CF F BF ∠=， ∴3610cos 5CF BF F ==÷=∠；②在Rt BCF 中，8BC =，在Rt ABC △中，cos 35ABC BC AB ∠==， ∴3408cos 53BC AB ABC ==÷=∠． ∴O 的半径为203．23．（10分）党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．为扎实做好育人工作，某校深入开展“阳光体育”活动．该校计划购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多30元，且用1000元购买乒乓球拍的数量和用2000元购买羽毛球拍的数量相等．(1)求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；(2)学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共100副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的2倍，要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍多少副？资金总额最少为多少元？ 【答案】(1)每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元(2)要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用．（1）设每副乒乓球拍的价格是x 元，则每副羽毛球拍的价格是()30x +元，根据题意列方程并求解即可；（2）设购买乒乓球拍a 副，则购买羽毛球拍()100a −副，根据题意列关于a 的一元一次不等式并求解；设花费的资金总额为W 元，写出W 关于a 的函数，根据该函数的增减性，确定当a 取何值时W 取最小值，求出最小值即可．【详解】（1）解：设每副乒乓球拍的价格是x 元，则每副羽毛球拍的价格是()30x +元．根据题意，得1000200030x x =+， 解得30x =，经检验，30x = 303060+=（元），∴每副乒乓球拍的价格是30元，每副羽毛球拍的价格是60元． （2）解：设购买乒乓球拍a 副，则购买羽毛球拍()100a −副．根据题意，得：()2100a a ≤−，解得2003a ≤，设花费的资金总额为W 元，则()3060100306000W a a a =+−=−+，∵300−<，∴W 随a 的增大而减小， ∵2003a ≤且x 为整数，∴当66a =时，W 取最小值，306660004020W =−⨯+=最小，∴要想花费的资金总额最少，则最多购买乒乓球拍66副，资金总额最少为4020元．24．（10分）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线ky x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值； (2)点P 在双曲线ky x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MNHT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明． 【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MNHT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可； （2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论． 【详解】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点，1D x ∴=，设(1,)D t ， 又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x−+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=，解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −； ②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥；∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ； （3）解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠， 所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒， 所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=，∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.25．（12分）如图1所示，抛物线()21:0F y ax c a =+≠与直线34y x =相交于A 、B 两点（点B 在y 轴右侧），与y 轴相交于点C ．已知点A 的横坐标为4−，点C 的纵坐标为325−．(1)求抛物线1F 的解析式；(2)如图2，将抛物线1F 以每秒b 个单位（259b <）沿射线AB 方向平移，5秒后得到新的抛物线2F ，抛物线2F 与x 轴相交于D 、E 两点（点D 在点E 左侧），与y 轴相交于点F ．求DE 的长度（用含b 的式子表示）； (3)在（2）的条件下，令214W DE CF =+，求W 的最小值． 【答案】(1)212533y x =−(2)(3)37316【分析】（1）先求出点A 的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式，即得答案； （2）将抛物线1F 沿射线AB 方向平移5b 个单位，即抛物线2F 是由抛物线1F 向右平移4b 个单位，再向上平移3b 个单位得到，所以抛物线2F 的解析式为()21254333y x b b =−+−，令0y =，求得抛物线2F 与x 轴的交点的横坐标，即得答案；（3）先求出点C ，点F 的坐标，得到21633b CF b=+，求得2166253W b b =−+，由此即可求出W 的最小值．【详解】（1）解：当4x =−时，()3434y =⨯−=− ，∴点()4,3A −−，将()4,3A −−，250,3C ⎛⎫− ⎪⎝⎭代入2y ax c =+中，得163253a c c +=−⎧⎪⎨=−⎪⎩，解得13253a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩， ∴抛物线1F 的解析式为212533y x =−；（2）将抛物线1F 沿射线AB 方向平移5b 个单位，∴抛物线2F 是由抛物线1F 向右平移4b 个单位，再向上平移3b 个单位得到， ∴抛物线2F 的解析式为()21254333y x b b =−+−，令()212543033y x b b =−+−=，即()21254333x b b−=−，解得：14x b =，24x b =21DE x x ∴=−=（3）令0x =，则()22125162504333333b y b b b =−+−=+−， 216250,333b F b ⎛⎫∴+− ⎪⎝⎭， 250,3C ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 2216252516333333b b CF b b⎛⎫∴=+−−−=+ ⎪⎝⎭，由（2）知，DE = (22211163443W DE CF b b ∴=+=++2166253b b =−+，∴当69161623b −=−=⨯时，W 最小，最小值为37316．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，正确表示抛物线平移后的表达式是解题的关键．26．（12分）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边,DC BC 上，AE DF ⊥，垂足为点G ．求证：ADE DCF △∽△． 【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边,DC BC 上，AE DF =，延长BC 到点H ，使CH DE =，连接DH ．求证：ADF H ∠=∠． 【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边,DC BC 上，11,8AE DF DE ===，60AED ∠=︒，求CF 的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3【分析】（1）矩形的性质，得到90C ADE ∠=∠=︒，由同角的余角相等，得到AED DFC ∠=∠，即可得证； （2）先证明()Rt Rt HL ADE DCF ≌，得到DE CF =，再证明()SAS DCF DCH ≌，得到DFC H ∠=∠，平行得到ADF DFC ∠=∠，即可得证；（3）延长BC 至点G ，使8CG DE ==，连接DG ，证明()SAS ADE DCG ≌，推出DFG 是等边三角形，得到11FG DF ==，再根据CF CG FG +=，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90C ADE ∠=∠=︒， ∴90CDF DFC ∠+∠=︒， ∵AE DF ⊥， ∴90DGE ∠=︒， ∴90CDF AED ∠+∠=︒， ∴AED DFC ∠=∠， ∴ADE DCF △∽△；（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴,,90AD DC AD BC ADE DCF =∠=∠=︒∥， ∵AE DF =， ∴()Rt Rt HL ADE DCF ≌，∴DE CF =， ∵CH DE =， ∴CF CH =，∵点H 在BC 的延长线上， ∴90DCH DCF ∠=∠=︒， 又∵DC DC =， ∴()SAS DCF DCH ≌，∴DFC H ∠=∠， ∵AD BC ∥， ∴ADF DFC ∠=∠， ∴ADF H ∠=∠；（3）解：如图3，延长BC 至点G ，使8CG DE ==，连接DG ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴,AD DC AD BC =∥， ∴ADE DCG ∠=∠， ∴()SAS ADE DCG ≌，∴60,DGC AED AE DG ∠=∠=︒=， ∵AE DF ＝，∴DG DF =，∴DFG 是等边三角形， ∴11FG DF ==， ∵CF CG FG +=，∴1183CF FG CG =−=−=， 即CF 的长为3．【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．。

2024年中考押题预测卷(广东卷)数学试题及答案

2024年中考押题预测卷(广东卷)数学试题及答案

绝★启2024年中考押题预测卷数学(考试时间：120分钟试卷满分：120分)注意事项1．答卷前2．回答第Ⅰ卷时2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动干净后3．回答第Ⅱ卷时4．考试结束后一10小题3分30分的.1.下列实数中()A.πB.3C.-3D.02.中国信息通信研究院测算2020-2025年5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为()A.10.6×104B.1.06×1013C.10.6×1013D.1.06×1083.如图是我国几家银行的标志()A. B.C. D.4.如图c与直线a、b都相交．若a∥b,∠1=35°，∠2=()A.145°B.65°C.55°D.35°5.下列计算正确的是()A.-3ab22=6a2b4 B.-6a3b÷3ab=-2a2bC.a 2 3--a 3 2=0D.(a +1)2=a 2+16.不等式组x -1<0x +3≥2x 的解集是()A.无解B.x <1C.x ≥3D.1<x ≤37.若关于x 的方程kx 2-2x -1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是()A.k >-1且k ≠0B.k >-1C.k <-1D.k <1且k ≠08.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是()A.14B.13C.12D.349.如图，A 、D 是⊙O 上的两点，BC 是直径，若∠D =35°，则∠OCA 的度数是()A.35°B.55°C.65°D.70°10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABDC 的边AB 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，A -3,0 ，C 0,4 ，抛物线y =ax 2-8ax +c 经过点C ，且顶点M 在直线BC 上，则a 的值为()A.25B.12C.34D.23二、填空题:本大题共6小题，每小题3分，共18分.11.因式分解：x 2-x =．12.已知点A (-2，b )与点B (a ，3)关于原点对称，则a -b =．13.设5-7的整数部分为a ，小数部分为b ，则32a +7b =．14.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”根据题意可得每匹马两．15.如图，已知△ABC在边长为1的小正方形的格点上，△ABC的外接圆的一部分和△ABC的边AB、BC组成的两个弓形(阴影部分)的面积和为．16.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G．若BG=42，则△CEF的面积是．三、解答题(一)：本大题共4小题，第17、18题各4分，第19、20题各6分，共20分.17.(1)计算：16+|2-2|+3-64-2(1+2)0．(2)已知y与x-1成正比例，当x=-1时，y=4，当x=-8时，求y的函数值．18.如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，连接CA、CB，分别取CA、CB的中点D、E．若DE的长为36m，求A、B两地的距离．19.某社区积极响应正在开展的“创文活动”，安排甲、乙两个工程队对社区进行绿化改造．已知甲工程队每天能完成的绿化改造面积是乙工程队每天能完成的绿化改造面积的2倍，且甲工程队完成400m2的绿化改造比乙工程队完成400m2的绿化改造少用4天．分别求甲、乙两工程队每天能完成绿化改造的面积．20.已知：如图在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sin B=45．求：(1)线段DC的长；(2)tan∠EDC的值．四、解答题(二)：本大题共3小题，第21题8分，第22、23题各10分，共28分.21.如图，在矩形ABCD中，对角线BD=8．(1)实践与操作：作对角线BD的垂直平分线EF，与AB、CD分别交于点E、F(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)(2)应用与计算：在(1)的条件下，连结BF，若∠BDC=30°，求△BFC的周长．22.为了使二十大精神深入人心，某地区举行了学习宣传贯彻党的二十大精神答题竞赛，试卷题目共10题，每题10分．现分别从三个小区中各随机取10名群众的成绩(单位：分)，收集数据如下：锦绣城：90，70，80，70，80，80，80，90，80，100；万和城：70，70，80，80，60，90，90，90，100，90；龙泽湾：90，60，70，80，70，80，80，90，100，100．整理数据：分数人数小区60708090100锦绣城02a21万和城122141龙泽湾12322分析数据：平均数中位数众数锦绣城828080万和城82b90龙泽湾8280c根据以上信息回答下列问题：(1)请直接写出表格中a，b，c的值；(2)比较这三组样本数据的平均数，中位数和众数，你认为哪个小区的成绩比较好？请说明理由；(3)为了更好地学习宣传贯彻党的二十大精神，该地区将给竞赛成绩满分的群众颁发奖品，统计该地区参赛的选手数为3000人，试估计需要准备多少份奖品？23.如图，一次函数y=kx+2k≠0的图象与反比例函数y=mx(m≠0,x>0)的图象交于点A2,n，与y轴交于点B，与x轴交于点C-4,0．(1)求k与m的值；(2)P a,0为x轴上的一动点，当△APB的面积为72时，求a的值．(3)请直接写出不等式kx+2>mx的解集．五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分.24.如图，ABCD是正方形，BC是⊙O的直径，点E是⊙O上的一动点(点E不与点B，C重合)，连接DE，BE，CE．(1)若∠EBC=60°，求∠ECB的度数；(2)若DE为⊙O的切线，连接DO，DO交CE于点F，求证：DF=CE；(3)若AB=2，过点A作DE的垂线交射线CE于点M，求AM的最小值．25.综合运用：在平面直角坐标系中，点C的坐标为5,0，以OC长构建菱形OABC，cos∠BOC=45，点D是射线OB上的动点，连接AD，CD．(1)如图1，当CD⊥OC时，求线段BD的长度；(2)如图2，将点A绕着点D顺时针旋转90°，得到对应点A ，连接DA ，并延长DA 交BC边于点E，若点E 恰好为BC的中点，求BD的长度；(3)将点A绕着点D逆时针旋转一个固定角α，∠α=∠OCB，点A落在点A 处，射线DA 交x轴正半轴于点F，若△ODF是等腰三角形，请直接写出点F的横坐标．绝★启2024年中考押题预测卷数学(考试时间：120分钟试卷满分：120分)注意事项1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2024年山东省中考数学模拟押题预测卷及答案

2024年山东省中考数学模拟押题预测卷及答案

2024年初中学生学业水平考试数学押题预测试卷注意事项:1.本试题分为第1卷和第Ⅱ卷两部分。

第1卷为选择题，30分;第Ⅱ卷为非选择题，90分;共120分。

考试时间为120分钟。

2.答卷前务必将试题密封线内及答题卡上面的项目填涂清楚。

所有答案都必须涂、写在答题卡相应位置，答在本试卷上一律无效。

第Ⅰ卷(选择题 30分)一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.计算82024×(−0.125)2023的结果为( )A. −8B. 8C. −2D. −0.1252.剪纸是中国优秀的传统文化.如图剪纸图案中，是中心对称图形的是( )A. B. C. D.3.中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4600000000人，这个数用科学记数法表示为( )A. 46×108B. 4.6×108C. 4.6×109D. 4.6×10104.如图是一个玻璃烧杯，图2是玻璃烧杯抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为( )A. B. C. D.5.下列计算正确的是( )A. aa2+aa4=aa6B. (−aa3)2=aa6C. 2aa+3bb=5aabbD. aa6÷aa3=aa26.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.若∠1=30°，则∠2的度数是( )A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°7.乘坐高铁现在是人们非常方便快捷的一种出行方式，甲、乙两城市之间的铁路距离约2800kkkk，乘坐高铁列车比普通快车能提前8ℎ到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的2倍.设普通快车的平均行驶速度为xx kkkk/ℎ，根据题意所列出的方程为( )A. 2800xx=2800×2xx+8B. 2800×2xx=2800xx+8C. 28002xx−2800xx=8D. 2800xx−28002xx=88.如图，点AA，BB分别在反比例函数yy=12xx和yy=kk xx的图象上，分别过AA，BB两点向xx轴，yy轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则kk的值为( )A. 6B. 7C. 5D. 89.某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AABB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CCCC之比是黄金比.已知CCCC=80cckk，则AABB的长度是( )A. (20√ 5−20)cckkB. (80−40√ 5)cckkC. (40√ 5−40)cckkD. (120−40√ 5)cckk10.如图，在平面直角坐标系xxxxyy中，四边形xxAABBCC的顶点xx在原点上，xxAA边在xx轴的正半轴上，AABB⊥xx轴，AABB=CCBB=2，xxAA=xxCC，∠AAxxCC=60°，将四边形xxAABBCC绕点xx逆时针旋转，每次旋转90°，则第2024次旋转结束时，点CC的坐标为( )A. (√ 3,3)B. (3,−√ 3)C. (−√ 3,1)D. (1,−√ 3)第Ⅱ卷(非选择题 90分)二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

2024年中考数学考前押题密卷(黑龙江哈尔滨卷)(全解全析)

2024年中考数学考前押题密卷(黑龙江哈尔滨卷)(全解全析)

2024年中考考前押题密卷（黑龙江哈尔滨卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．有理数13-的倒数（）A ．13B ．13-C ．3D ．3-【答案】D 【详解】解：∵()1313-⨯-=∴有理数13-的倒数是3-．故选：D ．2．下列有关学科的图标中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】解：A 、此图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、此图是中心对称图形，故此选项符合题意；C 、此图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D 、此图不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：B ．3．下列运算正确的是（）A ．2374x x x -=-B ．236()a a -=C ．22234y y y -+=D ．248a a a ⋅=【答案】C【详解】解：A 、23x 与7x -不属于同类项，不能合并，故A 不符合题意；B 、236()a a -=-，故B 不符合题意；C 、22234y y y -+=，故C 符合题意；D 、246a a a ⋅=，故D 不符合题意；故选：C ．4．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】解：根据主视图可以发现，顶端是一个上宽下窄的梯形，∴从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，故选：D ．5．如图，在RtΔABC 中，90ABC ∠=︒，D 为边AB 上一点，过点D 作DE AC ⊥，垂足为E ，则下列结论中正确的是（）A ．sin BC A AB =B ．cos =AE A ADC ．tan =BC A AD D ．tan =AB A BC【答案】B 【详解】解：DE AC ⊥ ，90AED ABC ︒∴∠=∠=，A 、sin BC A AC=，故A 不符合题意；B 、结论正确，故B 符合题意；C 、tan =CB A AB，故C 不符合题意；D 、tan BC A AB =，故D 不符合题意．故选：B ．6．从写有数字1,2,3的3张卡片中任意抽取两张，摆成一个两位数，摆出的两位数是3的倍数的概率为（）A ．12B ．13C ．23D ．16【答案】B 【详解】解：列表如下：123112132212333132共有6种等可能的结果，其中摆出的两位数是3的倍数的结果有：12，21，共2种，∴摆出的两位数是3的倍数的概率为2163=．故选：B ．7．深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y 平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB x =米，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．(184)y x x =-B ．(162)y x x =-C ．(172)y x x =-D ．(154)y x x =-【答案】A 【详解】解： 铁栅栏的全长为15米，AB x =米，∴平行于墙的一边长为1534(184)x x +-=-米．根据题意得：(184)y x x =-．故选：A8．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别在CD 边和AD 边上，BE CF ⊥于点G ，且G 为CF 的中点．若4,5==AB BC ，则BG 的长为（）A ．4B ．32C ．25D ．26【答案】C【详解】解：连接BF ，四边形ABCD 是矩形，90BAF CDF ∴∠=∠=︒，∵BE CF ⊥且G 为CF 的中点，5BF BC ∴==，90FGB ∠=︒，在Rt ABF 中2222543AF BF AB =-=-=，532DF AD AF ∴=-=-=，在Rt CDF △中22224225CF CD DF -=+=，152FG CG ∴===在Rt BGF 中()2222555BG BF FG =--故选：C ．9．如图，OA 、OB 、OC 都是O 的半径，2ACB BAC ∠=∠，若4AB =，5BC =O 的半径为（）A ．32B ．52C ．2D ．3【答案】B【详解】证明：∵ AB AB =，∴12ACB AOB ∠=∠，∵ BCBC =，∴12BAC BOC ∠=∠，2ACB BAC ∠=∠ ，2AOB BOC ∴∠=∠．过点O 作半径OD AB ⊥于点E ，则1,2∠=∠=DOB AOB AE BE ，∴DOB BOC ∠=∠，BD BC ∴=，4,5== AB BC ，2,5∴==BE DB ，在Rt BDE △中，90DEB =︒∠Q 221∴=-=DE BD BE ，在Rt BOE 中，90OEB ∠=︒ ，222(1)2∴=-+OB OB ，52OB ∴=，即O 的半径是52．故选：B ．10．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A 的坐标为()2,0-，D 的坐标为()0,4，矩形ABCD 向右平移7个单位长度后点B 恰好落在直线3y kx =+上，若点B 的横坐标为4-，则k 的值为（）A ．2-B ．1-C ．34-D ．23-【答案】D【详解】过点B 作BE x ⊥轴交于点E ，90AEB ∴∠=︒，点A 的坐标为()2,0-，D 的坐标为()0,4，∴2OA =，4OD =，四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒，90BAE DAO ∴∠+∠=︒，90AOD ∠=︒ ，90OAD ODA ∴∠+∠=︒，BAE ODA ∴∠=∠，90AEB AOD ∠=∠=︒ ，AEB DOA ∴△∽△，∴4122BE OA EA OD ===，点B 的横坐标为4-，4OE ∴=，2AE OE OA ∴=-=，1BE =，()4,1B ∴-，矩形ABCD 向右平移7个单位长度后点B 恰好落在直线3y kx =+上，∴平移后点B 坐标变为()3,1，把()3,1代入3y kx =+中，解得：23k =-；故选：D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）11．“新型冠状病毒”发生以来，各相关部门和地方按照党中央、国务院的部署，对人民高度负责，全力以赴科学有效抓好疫情防控，同时提醒市民要勤洗手，戴口罩，多通风，不扎堆．经科学研究发现，该病毒的直径大小约为100纳米(1纳米=0.0000001米)，则100纳米用科学记数法表示为米．【答案】51.010-⨯【详解】解：100纳米=100×0.0000001米=0.00001米，50.00001=110-⨯，故答案为：5110-⨯.【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的知识．122124m m ++有意义，则m 的取值范围是．【答案】2m >-【详解】解：∵211m +≥，21024m m +≥+且240m +≠，∴240m +>，∴2m >-；故答案为：2m >-．13．若分解因式()()263x mx x x n +-=++，则m n -=．【答案】3【详解】解：()()3x x n ++()233x n x n=+++∵()()263x mx x x n +-=++∴()22633x mx x n x n+-=+++336n mn +=⎧∴⎨=-⎩解得12m n =⎧⎨=-⎩∴()123m n -=--=．故答案为：3．14133333a b ==，则ab =．【答案】29-【详解】解：1123333333=-∵1233333333a b ===∴1233a b ==-∴，122339ab ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭=∴故答案为：29-．15．不等式组210353x xx x ≥-⎧⎨+>⎩的解集为．【答案】522x ≤<【详解】解：210353x x x x ≥-⎧⎨+>⎩①②解不等式①得：2x ≥解不等式②得：52x <∴不等式组的解集为：522x ≤<故答案为：522x ≤<．16．如图，在Rt ABC △中，点D 是AB 中点，EF CD ，若:2:3AE EC =，2EF =，则AB =．【答案】10【详解】∵:2:3AE EC =∴25AE AC =∵EF CD∴AEF ACD∽△△∴25AE EF AC CD ==∴225CD =∴5CD =∵在Rt ABC △中，点D 是AB 中点，∴210AB CD ==．故答案为：10．17．二次函数277y kx x =--的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为．【答案】74k >-且0k ≠【详解】解：∵二次函数277y kx x =--的图象与x 轴有两个交点，∴关于x 的一元二次方程2770kx x --=有两个不相等的实数根，∴()()2Δ74700k k ⎧=--⨯-⋅>⎪⎨≠⎪⎩，解得74k >-且0k ≠，故答案为：74k >-且0k ≠．18．对于字母m 、n ，定义新运算22m n m mn n =++★，若方程2310x x ++=的解为a 、b ，则2a b +★的值为．【答案】10【详解】解：∵方程2310x x ++=的解为a 、b ，∴3,1a b ab +=-=，∵22m n m mn n =++★，∴2222a b a ab b +=+++★2222a ab b ab =++-+()22a b ab =+-+()2312=--+912=-+10=．故答案为：10．19．如图，在矩形ABCD 中，点G 在AD 上，且1GD AB ==，3AG =，点E 是线段BC 上的一个动点(点E 不与点B ，C 重合)，连接GB ，GE ，将GBE 关于直线GE 对称的三角形记作GFE ，当点E 运动到使点F 落在矩形任意一边所在的直线上时，则线段BE 的长是．【答案】3或5210【详解】解：①当点F 落在DC 的延长线上时，设BE EF x ==，1== AB GD ，BG GF =，90D A ∠=∠=︒，∴()Rt Rt HL ABG DGF ≌3∴==AG DF ，2CF ∴=，在Rt ECF 中，222EC CF EF +=，222(4)2x x ∴-+=，解得52x =，52BE ∴=；②当点F 落在BC 的延长线上时，则3BE AG ==，③当点F 落在AD 的延长线上时，∵AD BC∥∴BEG EGF∠=∠∵GBE 关于直线GE 对称的三角形记作GFE ，∴BGE EGF∠=∠∴BGE BEG ∠=∠，∴2210BE BG AG AB ==+=，综上所述，满足条件的BE 的值为3或5210．20．如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，E 为正方形内一点，连接BE ，BE BA =，连接CE 并延长，与ABE ∠的平分线交于点F ，连接OF ，若2AB =，则OF 的长度为2【详解】解：如图，连接AF ，四边形ABCD 是正方形，AB BE BC ∴==，90ABC ∠=︒，22AC AB ==BEC BCE ∴∠=∠，1802EBC BEC ∴∠=︒-∠，290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠-∠=∠-︒，BF 平分ABE ∠，1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠-︒，45BFE BEC EBF ∴∠=∠-∠=︒，在BAF △与BEF △,AB EBABF EBF BF BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BAF BEF ∴ ≌，45BFE BFA ∴∠=∠=︒，90AFC BFA BFE ∴∠=∠+∠=︒，O 为对角线AC 的中点，122OF AC ∴=，2三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21．（本小题满分7分）先化简，再求代数式22122444x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭的值，其中tan 602x =︒+．【详解】解：22122444x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭()()()()()22222222x x x x x x x x ⎡⎤++=-÷⎢⎥-+-++⎢⎥⎣⎦........................................................................................2分()()()222222x x x x +=⋅-++22x =-，.................................................................................................................................................4分当tan 60232x =︒+=时，..............................................................................................................6分原式233322==+-．.....................................................................................................................8分22．（本小题满分7分）如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中分别画出下列图形：(1)10的线段PQ ，其中P 、Q 都在格点上(2)面积为5的正方形ABCD ，其中A 、B 、C 、D 都在格点上【详解】（1）解：如图，线段PQ 即为所求，其中221310PQ =+=...................................................................................................................3分（2）如图，四边形ABCD 即为所求，其中：22215AB BC CD AD ===+连接AC ，...............................................................................................................................................5分∴2221310AC =+=，∴222AB BC AC +=，∴90ABC ∠=︒，∴四边形ABCD 555=．.........................................................................7分23．（本小题满分8分）我校鹿鸣“博·约”和融课程极大地满足了学生的兴趣需求，受到社会的广泛赞誉，现在“博·约”和融课程需开设数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的数学类拓展性课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)m =________，n =________；(2)在扇形统计图中，“C ．实验探究”所对应的扇形的圆心角度数是________度；(3)请根据以上信息补全条形统计图；(4)我校共有6000名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数．【详解】（1）解：观察条形统计图与扇形统计图知：选A 的有12人，占20%，故总人数有1220%60÷=（人），1560100%25%m =÷⨯=，960100%15%n =÷⨯=，故答案为：25%，15%；.....................................................................................................................2分（2）解：36015%54︒⨯=︒，故答案为：54；.....................................................................................................................................4分（3）解：D 类别人数为6030%18⨯=（人），补全图形如下：..............................................................................................6分（4）解：6600060060⨯=（人），答：估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数有600人．..................................................................8分24．（本小题满分8分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某学校体育社团准备从商场一次性购买若干副羽毛球拍和乒乓球拍，已知羽毛球拍的单价比乒乓球拍的单价高50元，用320元购买羽毛球拍的数量和用120元购买乒乓球拍的数量相等．(1)求购买一副羽毛球拍、一副乒乓球拍各需要多少元？(2)如果该校需要乒乓球拍的数量是羽毛球拍数量的2倍还多3副，且购买乒乓球拍和羽毛球拍的总费用不超过2890元，那么学校最多可购买多少副羽毛球拍？【详解】（1）设购买一副乒乓球拍需要x 元，则购买一副羽毛球拍需要()50x +元，根据题意得32012050x x=+，解得30x =，............................................................................................................................................2分经检验，30x =是原方程的解，所以50305080x +=+=，....................................................................................................................3分答：购买一副羽毛球拍需要80元，购买一副乒乓球拍需要30元；.............................................4分（2）设该校购买羽毛球拍a 副，则需要购买乒乓球拍是()23a +副，由题意得：()8030232890a a ++≤，..................................................................................................6分解得20a ≤，答：学校最多可购买20副羽毛球拍．...............................................................................................8分25．（本小题满分10分）问题背景：如图1，在正方形ABCD 中，边长为4．点M ，N 是边AB ，BC 上两点，且1BM CN ==，连接CM ，DN ，CM 与DN 相交于点O ．(1)探索发现：探索线段DN 与CM 的数量关系和位置关系，并证明；(2)拓展提高：如图2，延长CM 至P ，连接BP ，若45BPC ∠=︒，求线段PM 的长．【详解】（1）解：CM DN =，且DN CM ⊥，.................................................................................1分理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC CD =，90B NCD ∠=∠=︒，∵BM CN =，∴()SAS BCM CDN ≌，∴CM DN =，BCM CDN ∠=∠，......................................................................................................3分∵90BCM MCD ∠+∠=︒，∴90CDN MCD ∠+∠=︒，∴90COD ∠=︒，∴DN CM ⊥，∴线段CM 和DN 的关系为：CM DN =，且DN CM ⊥；..............................................................5分（2）如图，过点B 作BH CM ⊥于点H ，.........................................................................................6分∵222CM BC BM =+，∴221417CM =+∵1122CM BH BC BM ⨯=⨯，∴1717BH =，∴221717CH BC BH =-=，..........................................................................................................8分∵45BPC ∠=︒，∴45PBH ∠=︒，∴41717PH BH ==，∴201717PC PH CH =+=，∴31717PM PC CM =-=...............................................................................................................10分26．（本小题满分10分）如图，AC 是O 的直径，弦BD 交AC 于点E ， 2BCCD =，连结AB ，AD ．(1)如图1，若50D ∠=︒，求CAD ∠的度数．(2)如图2，点N 在弦AD 上，作MN AD ⊥，MN 分别交弦AB ，AC 于点M ，P ，=MN BE ，过B 作BF MN ∥交AC 于点F ．①求证：BF MN =．②如图3，连结ME ，若4BM =，211ME =，求AP ，PE 的长．【详解】（1）解：∵50D ∠=︒，∴ AB 的度数为100︒，∵AC 是O 的直径，∴ BC的度数为：18010080︒-︒=︒，..................................................................................................1分∵ 2BCCD =，∴ CD的度数为40︒，∴20CAD ∠=︒，∴CAD ∠的度数为20︒；.......................................................................................................................2分（2）①证明：连结BC ，∵AC 是O 的直径，∴90ABC ∠=︒，∵CAD ∠和CBD ∠是 CD 所对的圆周角，∴CAD CBD ∠=∠，令CAD CBD x ∠=∠=，∴90ABE ABC CBD x ∠=∠-∠=︒-， CD 的度数为2x ，.................................................................3分∵ 2BC CD =，∴ BC 的度数为4x ，∴2BAC x ∠=，∴()180********AEB BAE ABE x x x ∠=︒-∠-∠=︒--︒-=︒-，∵MN AD ⊥，∴9090MPC APN PAN x ∠=∠=︒-∠=︒-，......................................................................................4分∵BF MN ∥，∴90BFE MPC x ∠=∠=︒-，∴BFE AEB ∠=∠，∴BE BF =，..........................................................................................................................................5分∵=MN BE ，∴BF MN =；............................................................................................................................6分②解：连结FN ，由①知：BF MN =，又∵BF MN ∥，4BM =，211ME =∴四边形MNFB 是平行四边形，∴NF MB ∥，4NF MB ==，∴23FND BAN BAC CAD x x x ∠=∠=∠+∠=+=，2AFN BAE x ∠=∠=，...................................7分取AP 的中点Q ，连结QN ，∵MN AD ⊥，∴AQ QP QN ==，∴QNA QAN x ∠=∠=，∴2PQN QNA QAN x x x ∠=∠+∠=+=，∴2PQN x AFN ∠==∠，∴4QN NF ==，∴2248AP QN ==⨯=，......................................................................................................................8分过M 作MT BE ∥交AC 于点T ，过M 作MH AC ⊥交AC 于点H ，∴90MTA BEA x MPE ∠=∠=︒-=∠，∴MT MP =，∴PH HT =，.........................................................................................................................................9分设()0PH HT a a ==>，由①知：90ABE x AEB ∠=︒-=∠，∴AMT ABE AEB ATM ∠=∠=∠=∠，AB AE =，∴82AM AT AP PT a ==+=+，∴4TE BM ==，在Rt MHA △与Rt MHE △中，22222AM AH MH ME HE -==-，∴()()(()22228282114a a a +-+=-+，解得：1a =或7a =-（负值不符合题意，舍去），∴1146PE PT TE PH HT TE =+=++=++=，∴8AP =，6PE =．...........................................................................................................................10分27．（本小题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线223y ax ax =-+与x 轴交于点A ，B （点A在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点A 的坐标为()1,0-，点D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E ．(1)填空：a ＝_____，点B 的坐标是______；(2)连接BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN BD ⊥，交抛物线于点N（点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH x ⊥轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MNF 的周长取得最大值时，求12FP PC +的最小值；(3)在（2）中，当MNF 的周长取得最大值时，12FP PC +取得最小值时，如图2，把点P 233单位得到点Q ，连接AQ ，把AOQ △绕点O 顺时针旋转一定的角度()0360αα︒<<︒，得到A OQ '' ，其中边A Q ''交坐标轴于点G ．在旋转过程中，是否存在一点G ，使得GQ OG '=？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：将点(10)A -,代入223y ax ax =-+，得230a a ++=，解得，1a =-，......................................................................................................................................1分∴223y x x =-++，当0y =时，2230x x -++=，解得，1213x x =-=，，∴点B 的坐标是()3,0；故答案为：1-，()3,0；........................................................................................................................2分（2）解：∵223y x x =-++()214x =--+，∴点(03)C ，，点4(1)D ，，设直线BD 的解析式为()0y kx b k =+≠，将(30)B ，，4(1)D ，代入得：3=0=4k b k b +⎧⎨+⎩，解得，=2=6k b -⎧⎨⎩，∴26y x =-+，......................................................................................................................................3分设点()()2,26,23F m m N m m m -+-++，，由图形可知，MNF DBE ∠=∠，∵2sin 55DBE ∠=5cos 5DBE ∠=，∴52535555MN MF NF NF +=+=，∴355MNF C NF NF=+ 3555+=()235523265m m m +=-+++-()2355435m m +=-+-()2355215m ⎡⎤=⨯--+⎣⎦，∴当2m =时，MNF C 最大，此时2(2)F ，，2HF =，.......................................................................5分在x 轴上取点()3K -，，则30OCK ∠=︒，过F 作CK 的垂线段FG 交y 轴于点P ，此时12PG PC =，∴12PF PC FP PG +=+，∴当点F ，P ，G 三点共线时，12PF PC +有最小值为FG ，而此时点P 不在线段OC 上，故不符合题意，∴12PF PC +的最小值为FC 的长度，∵点(03)C ，，点2(2)F ，，∴22125CF =+∴当MNF 的周长取得最大值时，12PF PC +5.....................................................6分（3）解：存在．由（2）可知，点3(0)P ，，将点P 233Q ，∴点230,33Q ⎛ ⎝⎭，在Rt AOQ 中，23133OA OQ ==-，，则5AQ =....................................................................7分取AQ 的中点G ，则有OG GQ =，∴A OQ '' 在旋转过程中，只需使AQ '的中点G 在坐标轴上即可使得GQ OG '=，如图所示，当点G 在y 轴正半轴上时，过点Q '作Q I x '⊥轴，垂足为I ，∵GQ OG '=，∴GOQ GQ O∠='∠'∵OG IQ ∥，∴GOQ IQ O ''∠=∠，∴IQ O GQ O ''∠=∠，设(),Q x y '，则有：sin sin IQ O AQ O ∠''∠=2x =5=，∴255x =，则点2545Q ⎝⎭'，....................................................................................................8分同理可知，当点G 在x 轴正半轴上时，点455,55Q ⎛⎫- ⎝'⎪⎪⎭；当点G 在y 轴负半轴上时，点255,55Q ⎛-- ⎪ '⎪⎝⎭；当点G在x轴负半轴上时，点45555Q⎛⎫-⎝'⎪⎪⎭．综上，点Q'的坐标为2545452525454525,,,,,,55555555⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．...............10分。

2024年中考数学重难点押题预测《几何最值问题综合》含答案解析

2024年中考数学重难点押题预测《几何最值问题综合》含答案解析

几何最值问题综合1、2、3、4、题型一1.“两定一动”型将军饮马：①异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值②同侧型→对称、连接；后续同上2.“两定两动”型：①同侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移(往靠近对方的方向)、最后连接；后续同上。

同侧型异侧型②异侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)、再连接；后续同上。

【1(2023•泸州)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是　27　．【分析】找出点E 关于AC 的对称点E '，FE '与AC 的交点P '即为PE +PF 取得最小值时P 的位置AP P C的值即可．【E 关于AC 的对称点E '，FE '交AC 于点P '，PE '，∴PE =PE '，∴PE +PF =PE '+PF ≥E 'F ，故当PE +PF 取得最小值时P 位于点P '处∴当PE +PF 取得最小值时AP PC的值AP P C 的值即可．∵正方形ABCD 是关于AC 所在直线轴对称∴点E 关于AC 所在直线对称的对称点E '在AD 上AE '=AE ，过点F 作FG ⊥AB 交AC 于点G ，则∠GFA =90°，∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB =∠B =90°，∠CAB =∠ACB =45°，∴FG ∥BC ∥AD ，∠AGF =∠ACB =45°，∴GF =AF ，∵E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点∴AE '=AE =EF =FB ，∴GC =13AC ，AE GF =AE AF=12，∴AG =23AC ，AP P C =AE GF =12，∴AP '=13AG =13×23AC =29AC ，∴P 'C =AC -AP '=AC -29AC =79AC ，∴AP P C =29AC 79AC =27，故答案为27．2(2023•德州)如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AB =3，BC =4，点E 在AB 上，且AE =1．F ，G 为边AD 上的两个动点，且FG =1．当四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为　154　．【分析】先确定FG 和EC 的长为确定的值，得到四边形CGFE 的周长最小时，即为CG +EF 最小时，平移CG 到C 'F ，作点E 关于AD 对称点E '，连接E 'C '交AD 于点G '，得到CG +EF 最小时，点G 与G '重合，再利用平行线分线段成比例求出C 'G '长即可．【解答】解：∵∠A =90°，AD ∥BC ，∴∠B =90°，∵AB =3，BC =4，AE =1，∴BE =AB -AE =3-1=2，在Rt △EBC 中，由勾股定理，得EC =BE 2+BC 2=22+42=25，∵FG =1，∴四边形CGFE 的周长=CG +FG +EF +EC =CG +EF +1+25，∴四边形CGFE 的周长最小时，只要CG +EF 最小即可．过点F 作FC '∥GC 交BC 于点C '，延长BA 到E '，使AE '=AE =1，连接E 'F ，E 'C '，E 'C '交AD 于点G '，可得AD 垂直平分E 'E ，∴E 'F =EF ，∵AD ∥BC ，∴C 'F =CG ，CC '=FG =1，∴CG +EF =C 'F +E 'F ≥E 'C '，即CG +EF 最小时，CG =C 'G '，∵E 'B =AB +AE '=3+1=4，BC '=BC -CC '=4-1=3，由勾股定理，得E 'C '=E B 2+BC 2=42+32=5，∵AG '∥BC '，∴C G E C =AB E B ，即C G 5=34，解得C 'G '=154，即四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为154．故答案为：154．3(2023•绥化)如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则△CDF 周长的最小值是　3+33　．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF=∠CBE=30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF= 30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=6，∠ABC=∠BCA=60°，∵∠ECF=60°，∴∠BCE=60°-∠ECA=∠ACF，∵CE=CF，∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠CAF=∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE=12∠ABC=30°，CD=12AC=3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH=CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，则∠ACG=60°，CG=GH=12AC=3，∴CH=AC=6，∴△ACH为等边三角形，∴DH=CD•tan60°=33，AG垂直平分CH，∴CI=HI，CF=FH，∴CI+DI=HI+DI=DH=33，CF+DF=HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF=DH=33，∴△CDF的周长的最小值为3+33．故答案为：3+33．【中考模拟练】4(2024•衡南县模拟)已知：如图，直线y=-2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P(1，0)，若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是()A.3B.1+255+855C.2855D.10【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB 于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN=NP，FM=MP，FP⊥AB，OE=OP，FC=PC，MN+MP+ NP=MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP的最小值为线段EF的长；先求出点A(2，0)，点B(0，4)，则OA=2，OB=4，再由点P (1，0)得OP=1，则OE=OP=1，PA=OA-OP=1，再求出AB=25，证△PAC∽△BAO得PC：OB=PA：AB，由此得PC=255，则PF=455，再证△PFD∽△BAO得FD：OA=PD：OB=PF：AB，由此可得FD=45，PD=85，则ED=OE+OP+PD=185，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：则EN=NP，FM=MP，FP⊥AB，OE=OP，FC=PC，∴MN+MP+NP=MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，对于y=-2x+4，当x=0时，y=4，当x=0时，x=2，∴点A(2，0)，点B(0，4)，∴OA=2，OB=4，又∵点P(1，0)，∴OP=1，∴OE=OP=1，PA=OA-OP=2-1=1，在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=25，∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA=90°，∴∠PCA=∠BOA=∠PDF=90°，又∵∠PAC=∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB=PA：AB，∠APC=∠ABO，即PC：4=1:25，∴PC=255，∴FC=PC=255，∴PF=FC+PC=455，∵∠APC=∠ABO，∠BOA=∠PDF=90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA=PD：OB=PF：AB，即FD：2=PD：4=455:25，∴FD=45，PD=8 5，∴ED=OE+OP+PD=1+1+85=185，在Rt△EFD中，ED=185，FD=45，由勾股定理得：EF=ED2+FD2=285 5．故选：C．5(2023•龙马潭区二模)如图，抛物线y=-x2-3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为-3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE+EF的最小值　65-2　．【分析】先求出点A(-4，0)，点D(-3，4)，作点D关于y轴对称的点T，则点T(3，4)，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长，然后可在Rt△ATH中由勾股定理求出TA，进而可得TN，据此可得出答案．【解答】解：对于y=-x2-3x+4，当y=0时，-x2-3x+4=0，解得：x1=-4，x2=1，∴点A的坐标为(-4，0)，对于y=-x2-3x+4，当x=-3时，y=4，∴点D的坐标为(-3，4)，作点D关于y轴对称的点T，则点T(3，4)，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长．理由如下：当点E与点M不重合，点F与点N不重合时，∴DE+EF=TE+EF，根据“两点之间线段最短”可知：TE+EF+AF>AT，即：TE+EF+AF>TN+AN，∵AF=AN=2，∴TE+EF>TN，即：DE+EF>TN，∴当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小．∵点T(3，4)，A(-4，0)，∴OH=3，TH=4，OA=4，∴AH=OA+OH=7，在Rt△ATH中，AH=7，TH=4，由勾股定理得：TA=AH2+TH2=65，∴TN=TA-AN=65-2．即DE+EF为最小值为65-2．故答案为：65-2．6(2024•碑林区校级一模)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边AC 的中点．以点A为圆心，2为半径在△ABC内部画弧，若点P是上述弧上的动点，点Q是边BC上的动点，求PQ+QD的最小值；(2)如图②，矩形ABCD是某在建的公园示意图，其中AB=2003米，BC=400米．根据实际情况，需要在边DC的中点E处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点A为圆心，在公园内以10米为半径的圆弧上选一处点P开一个西北门，还要在边BC上选一处点Q，在以Q为圆心，在公园内以10米为半径的半圆的三等分点的M、N处开两个南门．线段PM、NE是要修的两条道路．为了节约成本，希望PM+NE最小．试求PM+NE最小值及此时BQ的长．【分析】(1)作点D关于BC的对称点D′，连接D′Q、AP，过点D′作D′E⊥AB交AB的延长线于E，则QD =QD′，DK=D′K，当A、P、Q、D′在同一条直线上时，PQ+QD=AD′-AP取得最小值，由DK∥AB，可得△CDK∽△CAB，运用相似三角形性质可得DK=3，CK=4，再由勾股定理即可求得答案；(2)连接MQ，NQ，过点Q作QK⊥MN于K，作点A关于直线MN的对称点A′，将E向左平移10米得到点E′，过点E′作E′L∥AB，过点A′作A′L⊥E′L于L，连接A′M、A′E′、E′M，由题意得随着圆心Q在BC上运动，MN在平行于BC且到BC距离为53的直线上运动，再运用勾股定理可得PM+NE最小值=A′E-AP=(201011-10)米；设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK⊥MN于K，由E′L∥AA′，可得△E′MT∽△A′MG，即可求得BQ的值．【解答】解：(1)如图①，作点D 关于BC 的对称点D ′，连接D ′Q 、AP ，过点D ′作D ′E ⊥AB 交AB 的延长线于E ，则QD =QD ′，DK =D ′K ，∴PQ +QD =PQ +QD ′=AQ -AP +QD ′，当A 、P 、Q 、D ′在同一条直线上时，PQ +QD =AD ′-AP 取得最小值，∵∠ABC =90°，AB =6，BC =8，∴AC =AB 2+BC 2=62+82=10，∵点D 是边AC 的中点，∴CD =12AC =5，∵DK ∥AB ，∴△CDK ∽△CAB ，∴DK AB =CK BC =CD AC，即DK 6=CK 8=510，∴DK =3，CK =4，∴D ′K =3，BK =4，∵∠E =∠EBK =∠BKD ′=90°，∴四边形BED ′K 是矩形，∴D ′E =BK =4，BE =D ′K =3，∴AE =AB +BE =6+3=9，∴AD ′=AE 2+D E 2=92+42=97，∵AP =2，∴PQ +QD 的最小值=97-2；(2)如图②，连接MQ ，NQ ，过点Q 作QK ⊥MN 于K ，作点A 关于直线MN 的对称点A ′，将E 向左平移10米得到点E ′，过点E ′作E ′L ∥AB ，过点A ′作A ′L ⊥E ′L 于L ，连接A ′M 、A ′E ′、E ′M ，∵M 、N 是半圆Q 的三等分点，且半径为10，∴△QMN 为等边三角形，且MN ∥BC ，MN =10，∵QK ⊥MN ，QM =10米，∴QK =53米，∴随着圆心Q 在BC 上运动，MN 在平行于BC 且到BC 距离为53的直线上运动，∵EE ′∥MN 且EE ′=MN =10米，∴四边形EE ′MN 是平行四边形，∴NE =ME ′，∴PM +NE =PM +ME ′≥AM -AP +ME ′=AM +ME ′-10，∵E 是CD 的中点，∴DE =12CD =1003，∴E ′L =AA ′-DE =2(AB -QK )-DE =2×(2003-53)-1003=2903(米)，A ′L =BC -E ′E =400-10=390(米)，在Rt △A ′E ′L 中，A ′E ′=A L 2+E L 2=3902+2903 2=201011，∴PM +NE 最小值=A ′E -AP =(201011-10)米；此时△MNQ 在如图③的△M ′N ′Q 位置，设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK⊥MN于K，′∵∠CBG=∠BGK=∠GKQ=90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ=GK，∵E′L∥AA′，∴△E′MT∽△A′MG，∴MT MG =E TA G，∵MT=390-MG，E′T=EH=1003-53=953(米)，A′G=AG= 2003-53=1953(米)，GT=390米，∴390-MGMG =953 1953，∴MG=760529(米)，∴GK=GM+MK=760529+5=775029(米)，∴BQ=GK=775029米，∴当PM+NE取最小值时，BQ的长为775029米．7(2023•卧龙区二模)综合与实践问题提出(1)如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小(保留作图痕迹，不写作法)；思维转换(2)如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，MN=6，连接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN 看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求ME+NE的最小值；拓展应用(3)如图③，在矩形ABCD中，AD=2AB=25，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，且BE= AF，分别过点E、F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M、N，连接AM、AN，请直接写出△AMN周长的最小值．【分析】(1)作点A的对称点，由两点之间线段最短解题即可；(2)将M、N看作定点，E看作动点，由(1)作法可解；(3)由相似得出MN为定值，再根据(2)作法求出AM+AN的最值，即可解答．【解答】解：(1)如图①，则点P为所求．连接A′B交l于点P，由对称得AP=A′P，∴AP+BP=A′P+BP，∵两点之间线段最短，∴A′P+BP最短，即PA+PB的和最小．(2)如图②，过点E作直线l1∥l，作点N关于l1的对称点N′，连接MN′，交l1于点P，则PM+PN的值即是EM+EN的最小值，∵点E到直线l的距离为4，∵NN′=8，∵MN=6，∴MN′=62+82=10，∴PM+PN=10，即ME+NE的最小值为10．(3)如图③，过A作l∥BD，AH⊥BD于点H，作点M关于l的对称点M′，连接M′N，由(2)得M′N为AM+AN的最小值，∵AB=5，AD=25，∴BD=52=5，2+25∴AH=5×25=2，5∴MM′=4，设ME=x，由△ABD∽△BME得，BM=2x，BE=5x，∴AF=5x，∴DF=25-5x，由△DNF∽△ABD得，DN=4-2x，∴MN=5-2x-(4-2x)=1，∵l∥BD，MM′⊥l，∴MM′⊥BD，∴M′N=42+12=17，∴△AMN周长的最小值为17+1．题型二：辅助圆类几何最值动点的运动轨迹为辅助圆的三种形式：1、定义法--若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆(或圆弧)2、定边对直角--若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆(或圆弧)3．定边对定角--若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆(或圆弧)【中考真题练】8(2023•黑龙江)如图，在Rt△ACB中，∠BAC=30°，CB=2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC 绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是　4+3　．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC=30°，E是AB的中点，∴AB =2BC =4，CE =AE =12AB =2，AC =AB •cos30°=23，∴∠ECA =∠BAC =30°，过点A 作AG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，∴AG =12AC =3，∵点F 在以A 为圆心，AB 长为半径的圆上，∴AF =AB =4，∴点F 到CE 的距离最大值为4+3，∴S △CEF =12CE ⋅4+3 =4+3，故答案为：4+3．【中考模拟练】9(2023•永寿县二模)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，M 是AD 的中点，点P 是CD 上一个动点，当∠APM 的度数最大时，CP 的长为　4-22　．【分析】因为同弧所对的圆外角小于圆周角，因此过点A 、M 作⊙O 与CD 相切于点P '，当点P 运动到点P '处时，∠AP 'M 的度数最大，记AM 的中点为N ，可以证出四边形OP 'DN 是矩形，在Rt △MON 中，利用勾股定理求出ON ，从而得出DP '的长，进而求出CP 的长．【解答】解：过点A 、M 作⊙O 与CD 相切于点P '，记PM 与⊙O 交于点Q ，连接AP ′，MP ′，OM ，OP ′，AQ ，则∠AP 'M =∠AQM >∠APM ，∠OP ′D =90°，∴当点P 运动到点P '时，∠AP 'M 最大，作ON ⊥AD 于点N ，则MN =AN =12AM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D =90°，∴四边形OP 'DN 是矩形，∵AB =4，M 是AD 的中点，∴AM =DM =2，MN =1，∴OM =OP '=DN =DM +MN =3，在Rt △MON 中，ON =OM 2-MN 2=32-12=22，∴DP '=ON =22，∴CP '=DC -DP '=4-22，∴当∠APM 的度数最大时，CP 的长为4-22．故答案为：4-22．10(2023•营口一模)如图，等边三角形ABC 和等边三角形ADE ，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB =6，AD =4，△ADE 绕点A 旋转过程中，MN 的最大值为　53　．【分析】分析题意可知，点M 是在以AM 为半径，点A 为圆心的圆上运动，连接AN ，AM ，以AM 为半径，点A 为圆心作圆，反向延长AN 与圆交于点M ′，以此得到M 、A 、N 三点共线时，MN 的值最大，再根据勾股定理分别算出AM 、AN 的值，则MN 的最大值M ′N =AN +AM ′=AN +AM ．【解答】解：连接AN ，AM ，以AM 为半径，点A 为圆心作圆，反向延长AN 与圆交于点M ′，如图，∵△ADE 绕点A 旋转，∴点M 是在以AM 为半径，点A 为圆心的圆上运动，∵AM +AN ≥MN ，∴当点M 旋转到M ′，即M 、A 、N 三点共线时，MN 的值最大，最大为M ′N ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB =6，AD =4，∴AN ⊥BC ，AM ⊥DE ，BN =3，DM =2，在Rt △ABN 中，由勾股定理得AN =AB 2-BN 2=33，在Rt △ADM 中，由勾股定理得AM =AD 2-DM 2=23，根据旋转的性质得，AM ′=AM =23，∴M ′N =AN +AM ′=53，即MN 的最大值为53．故答案为：53．11(2023•定远县校级一模)如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为　23π3　．【分析】由∠AFC =90°，得点F 在以AC 为直径的圆上运动，当点E 与B 重合时，此时点F 与G 重合，当点E 与D 重合时，此时点F 与A 重合，则点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为AG 的长，然后根据条件求出AG 所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．【解答】解：∵CF ⊥AE ，∴∠AFC =90°，∴点F 在以AC 为直径的圆上运动，以AC 为直径画半圆AC ，连接OA ，当点E 与B 重合时，此时点F 与G 重合，当点E 与D 重合时，此时点F 与A 重合，∴点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为AG的长，∵点G 为OD 的中点，∴OG =12OD =12OA =2，∵OG ⊥AB ，∴∠AOG =60°，AG =23，∵OA =OC ，∴∠ACG =30°，∴AC =2AG =43，∴AG 所在圆的半径为23，圆心角为60°，∴AG 的长为60π×23180=23π3，故答案为：23π3．12(2024•兰州模拟)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 为平面内一点(点A ，B ，D 三点不共线)，AE 为△ABD 的中线．【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM =AC ；②∠MDA +∠DAB =180°；【类比探究】(2)如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AE =12CF ，请你帮他证明；【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动(AD >AB )，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若AB =4，请直接写出BG 的最大值．【分析】(1)利用SAS 证明△ABE ≌△MDE ，可得AB =DM ，再结合AB =AC ，即可证得DM =AC ；由全等三角形性质可得∠BAE =∠DME ，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA +∠DAB =180°；(2)延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．利用SAS 证得△ACF ≌△DMA ，可得CF =AM ，再由AE =12AM ，可证得AE =12CF ；(3)延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得△ACF ≌△ABM (SAS )，利用三角形中位线定理可得AE ∥BM ，即AG ∥BM ，利用直角三角形性质可得GP =12AC =12AB =2，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的⊙P 上运动，连接BP 并延长交⊙P 于G ′，可得BG ′的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】(1)证明：①∵AE 为△ABD 的中线，∴BE =DE ，在△ABE 和△MDE 中，BE =DE ∠AEB =∠MED AE =ME，∴△ABE ≌△MDE (SAS )，∴AB =DM ，∵AB =AC ，∴DM =AC ；②由①知△ABE ≌△MDE ，∴∠BAE =∠DME ，∴AB ∥DM ，∴∠MDA +∠DAB =180°；(2)证明：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∵∠BAC =90°，∠DAF +∠BAC +∠BAD +∠CAF =360°，∴∠BAD +∠CAF =180°，由(1)②得：∠MDA +∠DAB =180°，DM =AB =AC ，∴∠CAF =∠MDA ，在△ACF 和△DMA 中，AF =AD ∠CAF =∠MDA AC =DM，∴△ACF ≌△DMA (SAS )，∴CF =AM ，∵AE =12AM ，∴AE =12CF ；(3)如图3，延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∴AF =AM ，∠MAF =180°-90°=90°，∵∠BAC =90°，∴∠MAF +∠CAM =∠BAC +∠CAM ，即∠CAF =∠BAM ，在△ACF 和△ABM 中，AC =AB ∠CAF =∠BAM AF =AM，∴△ACF ≌△ABM (SAS )，∴∠AFC =∠AMB ，即∠AFN =∠KMN ，∵∠ANF=∠KNM，∴∠FAN=∠MKN=90°，∴BM⊥CF，∵E、A分别是DB、DM的中点，∴AE是△BDM的中位线，∴AE∥BM，即AG∥BM，∴AG⊥CF，∴∠AGC=90°，∵点P是AC的中点，∴GP=12AC=12AB=2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在Rt△ABP中，BP=AB2+AP2=42+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值为25+2．题型三：瓜豆原理类几何最值大概动点问题符合瓜豆原理的模型时，也可以和几何最值结合【中考真题练】13(2022•沈阳)【特例感知】(1)如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是AD=BC；【类比迁移】(2)如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α(0°<α<90°)，那么第(1)问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】(3)如图3，若AB=8，点C是线段AB外一动点，AC=33，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是　8+36　；②若以BC为斜边作Rt△BCD(B，C，D三点按顺时针排列)，∠CDB=90°，连接AD，当∠CBD=∠DAB=30°时，直接写出AD的值．【分析】(1)证明△AOD≌△BOC(SAS)，即可得出结论；(2)利用旋转性质可证得∠BOC =∠AOD ，再证明△AOD ≌△BOC (SAS )，即可得出结论；(3)①过点A 作AT ⊥AB ，使AT =AB ，连接BT ，AD ，DT ，BD ，先证得△ABC ∽△TBD ，得出DT =36，即点D 的运动轨迹是以T 为圆心，36为半径的圆，当D 在AT 的延长线上时，AD 的值最大，最大值为8+36；②如图4，在AB 上方作∠ABT =30°，过点A 作AT ⊥BT 于点T ，连接AD 、BD 、DT ，过点T 作TH ⊥AD 于点H ，可证得△BAC ∽△BTD ，得出DT =32AC =32×33=92，再求出DH 、AH ，即可求得AD ；如图5，在AB 下方作∠ABE =30°，过点A 作AE ⊥BE 于点E ，连接DE ，可证得△BAC ∽△BTD ，得出DE =92，再由勾股定理即可求得AD ．【解答】解：(1)AD =BC ．理由如下：如图1，∵△AOB 和△COD 是等腰直角三角形，∠AOB =∠COD =90°，∴OA =OB ，OD =OC ，在△AOD 和△BOC 中，，∴△AOD ≌△BOC (SAS )，∴AD =BC ，故答案为：AD =BC ；(2)AD =BC 仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB =∠COD =90°，∴∠AOB +∠AOC =∠AOC +∠COD =90°+α，即∠BOC =∠AOD ，在△AOD 和△BOC 中，，∴△AOD ≌△BOC (SAS )，∴AD =BC ；(3)①过点A 作AT ⊥AB ，使AT =AB ，连接BT ，AD ，DT ，BD ，∵△ABT 和△CBD 都是等腰直角三角形，∴BT =2AB ，BD =2BC ，∠ABT =∠CBD =45°，∴BT AB=BD BC =2，∠ABC =∠TBD ，∴△ABC ∽△TBD ，∴DT AC =BT AB=2，∴DT =2AC =2×33=36，∵AT =AB =8，DT =36，∴点D 的运动轨迹是以T 为圆心，36为半径的圆，∴当D 在AT 的延长线上时，AD 的值最大，最大值为8+36，故答案为：8+36；②如图4，在AB 上方作∠ABT =30°，过点A 作AT ⊥BT 于点T ，连接AD 、BD 、DT ，过点T 作TH ⊥AD 于点H ，∵BT AB =BD BC =cos30°=32，∠ABC =∠TBD =30°+∠TBC ，∴△BAC ∽△BTD ，∴DT AC=BD BC =32，∴DT =32AC =32×33=92，在Rt △ABT 中，AT =AB •sin ∠ABT =8sin30°=4，∵∠BAT =90°-30°=60°，∴∠TAH =∠BAT -∠DAB =60°-30°=30°，∵TH ⊥AD ，∴TH =AT •sin ∠TAH =4sin30°=2，AH =AT •cos ∠TAH =4cos30°=23，在Rt △DTH 中，DH ===652，∴AD =AH +DH =23+652；如图5，在AB 上方作∠ABE =30°，过点A 作AE ⊥BE 于点E ，连接DE ，则BE AB=BD BC =cos30°=32，∵∠EBD =∠ABC =∠ABD +30°，∴△BDE ∽△BCA ，∴DE AC =BE AB =32，∴DE =32AC =32×33=92，∵∠BAE =90°-30°=60°，AE =AB •sin30°=8×12=4，∴∠DAE =∠DAB +∠BAE =30°+60°=90°，∴AD ===172；综上所述，AD 的值为23+652或172．【中考模拟练】14(2023•金平区三模)如图，长方形ABCD 中，AB =6，BC =152，E 为BC 上一点，且BE =32，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转45°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为　32+32　．【分析】如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接DE 交CG 于J ．首先证明∠ETG =90°，推出点G 的在射线TG 上运动，推出当CG ⊥TG 时，CG 的值最小．【解答】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接DE 交CG 于J ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =45°，∴∠BEF =∠TEG ，∵EB =ET ，EF =EG ，∴△EBF ≌△ETG (SAS )，∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵BC =152，BE =32，CD =6，∴CE =CD =6，∴∠CED =∠BET =45°，∴∠TEJ =90°=∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴DE ∥GT ，GJ =TE =BE =32，∴CJ ⊥DE ，∴JE =JD ，∴CJ =12DE =32，∴CG =CJ +GJ =32+32，∴CG 的最小值为32+32，故答案为：32+32．15(2023•苍溪县一模)如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB =4，BC =2，点P 是⊙O 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt △PCD ，且使∠DCP =60°，连接OD ，则OD 长的最大值为　23+1　．【分析】如图，作△COE ，使得∠CEO =90°，∠ECO =60°，则CO =2CE ，OE =23，∠OCP =∠ECD ，由△COP ∽△CED ，推出OP ED =CP CD=2，即ED =12OP =1(定长)，由点E 是定点，DE 是定长，推出点D 在半径为1的⊙E 上，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作△COE ，使得∠CEO =90°，∠ECO =60°，则CO =2CE ，OE =23，∠OCP =∠ECD ，∵∠CDP =90°，∠DCP =60°，∴CP =2CD ，∴CO CE =CP CD=2，∴△COP ∽△CED ，∴OP ED =CP CD =2，即ED =12OP =1(定长)，∵点E 是定点，DE 是定长，∴点D 在半径为1的⊙E 上，∵OD ≤OE +DE =23+1，∴OD 的最大值为23+1，故答案为23+1．16(2023•海淀区校级三模)在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个点M ，N 满足PM =3PN 且∠MPN =90°，则称点P 是图形W 的关联点．已知点A (-23，0)，B (0，2)．(1)在点P 1(-3，-1)，P 2(-3，3)，P 3(-23，-2)中，P1，P 2　是线段AB 的关联点；(2)⊙T 是以点T (t ，0)为圆心，r 为半径的圆．①当t =0时，若线段AB 上任一点均为⊙O 的关联点，求r 的取值范围；②记线段AB 与线段AO 组成折线G ，若存在t ≥4，使折线G 的关联点都是⊙T 的关联点，直接写出r 的最小值．【分析】(1)根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；(2)①根据题意推得三角形PMN 为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O 到点P 的最大距离为3+12r ，最小距离为3-12r ，推得⊙O 的所有关联点在以O 为圆心，3+12r 和3-12r 为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r 的取值范围；②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．【解答】解：(1)∵∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，∴满足MN 2=PM 2+PN 2，根据勾股定理可得：，，，；，，；P3A=2，，，∵，且，∴是线段AB的关联点；∵，且，∴是线段AB的关联点；∵P3A=7P3B，且P3A2+P3B2≠AB2，∴∠BAO=30°，P3A⊥OA，∴∠P3AB=90°+30°=120°，∴对于线段AB上的任意两点M、N，当时，∠P3NM>90°，如图，则∠MPN必是锐角，不可能是直角，∴不是线段AB的关联点；故答案为：P1，P2．(2)①由(1)可得：∵∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，∴MN2=PM2+PN2=4PN2，即MN=2PN，即三角形PMN为含30度角的直角三角形，如图：则点P是以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：以点P 为例，当点M 在半径为r 的⊙O 上运动时，点N 为圆上一定点，且MN =2PN ，∠PNM =60°，则点M 的运动轨迹为圆，故点P 的轨迹也为圆，令点P 的轨迹为圆R ，如图：当M ，O ，N 三点共线，P ，R ，N 三点共线时，∠PNM =60°，∴OR =32r ，RN =12r ，则点O 到点P 的最大距离为3+12r ，最小距离为3-12r ，当点N 也在⊙O 上运动时，⊙R 也随之运动，则⊙R 扫过的区域为3+12r 和3-12rr 为半径围成的圆，即⊙O 的所有关联点在以O 为圆心，3+12r 和3-12r 为半径的两个圆构成的圆环中，∴当线段AB 与半径为3+12r 交于点A 时，r 最小，如图：则3+12r =23，解得r =6-23，当线段AB 与半径为3-12r 的圆相切时，r 最大，过点O 作OH ⊥AB ，如图：则，即，解得，则，解得，∴②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：综上，所有区域叠加一起为：由①可知，满足T的所有关联点所在范围为圆环，故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆的必须经过点G1，∵∠GBA=30°，∠G=90°，∠OBA=60°，∠O=90°，∴四边形AOBG为矩形，∴，则，即，解得r=42(负值舍去)；综上，r的最小值为42．17(2024•昆山市一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．(1)求抛物线解析式；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的35，求此时点M的坐标；(3)如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点(F在E右侧)，若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD=90°(P、A、D三点为逆时针顺序)，连接FD．求FD长度的取值范围．【分析】(1)将点A(1，0)，C(0，5)代入y=x2+bx+c，即可求解；×4×(-m2+6m-5)，(2)设M(m，m2-6m+5)，先求AB=4，则S△ABC=10，再由题意可得S△AMB=6=12即可求M(2，-3)或M(4，-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，可证明△ADB'≌△APB(SAS)，则可得D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，又由B'(1，-4)，F(7，0)，则B'F=213，所以DF的最大值为61+ 2，DF的最小值为61-2，即可求213-2≤DF≤213+2．【解答】解：(1)令x=0，则y=5，∴C(0，5)，令y=0，则x=1，∴A(1，0)，将点A(1，0)，C(0，5)代入y=x2+bx+c，得，∴，∴y=x2-6x+5；(2)设M(m，m2-6m+5)，令y=0，则x2-6x+5=0，解得x=5或x=1，∴B(5，0)，∴AB=4，∴S△ABC=1×4×5=10，2∵△ABM的面积等于△ABC面积的35，∴S△AMB=6=1×4×(-m2+6m-5)，2解得m=2或m=4，∴M(2，-3)或M(4，-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，∵∠B'AD+∠BAD=90°，∠PAB+∠BAD=90°，∴∠B'AD=∠PAB，∵AB=AB'，PA=AD，∴△ADB'≌△APB(SAS)，∴BP=B'D，∵PB=2，∴B'D=2，∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，∵B(5，0)，A(1，0)，∴B'(1，-4)，∵BF=2，∴F(7，0)，∴B'F=213，∴DF的最大值为213+2，DF的最小值为213-2，∴213-2≤DF≤213+2．题型四：其他类几何最值除了常见的模型与几何最值结合外，还有一些几何问题，应用直接的最值原理，比如：点到直线的距离垂线段最短等【中考真题练】18(2023•锦州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是　23　．【分析】根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．【解答】理由如下：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，∵∠ABC=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AM平分∠CAB，∴∠CAF=∠BAF=12∠CAB=30°，过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，在Rt△APN中，∠BAF=30°，∴PN=12AP，∴CP+12AP=CP+PN=CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN值最小在Rt△ACN中，∠CAN=60°，AC=4，∴sin60°=CNAC，∴CN=sin60°×AC=4×32=23，∴CP+12AP=CP+PN=CN=23，故答案为：23．19(2023•德阳)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=23，AA1=2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC-A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于　19　．【分析】利用平面展开图可总结为3种情况，画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可．【解答】解：如图1，将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，∴CM=12AC=12×23=3，∴BM=CM+BC=33，在Rt△MBB1中，由勾股定理得：B1M=BM2+B1B2=31，如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，在Rt△AME中，∠MAE=60°，∴ME =AM •sin60°=3×32=32，AE =AM •cos60°=32，∴MF =ME +EF =32+2=72，B 1F =A 1B 1-A 1F =332，在Rt △MFB 1中，由勾股定理得：B 1M =MF 2+B 1F 2=19，如图3，连接B 1M ，交A 1C 1于点N ，则B 1M ⊥AC ，B 1N ⊥A 1C 1，在Rt △A 1NB 1中，∠NA 1B 1=60°，∴NB 1=A 1B 1•sin60°=3，∴B 1M =NB 1+MN =5，∵19<5<31，∴小虫爬行的最短路程为19．故答案为：19．20(2023•常州)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，D 是AC 延长线上的一点，CD =2．M 是边BC 上的一点(点M 与点B 、C 不重合)，以CD 、CM 为邻边作▱CMND ．连接AN 并取AN 的中点P ，连接PM ，则PM 的取值范围是　22≤MP <5　．【分析】先根据题意确定点P 的运动轨迹，即可确定MP 的最大值和最小值，从而解答．【解答】解：∵AB =AC =4，∴AD =6，∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形CNMD 是平行四边形，∴DN ∥BC ，DN =BC ，CD ∥MN ，CD =MN ，∴∠ADN =∠ACB =45°=∠ABC =∠CMN ，当M 与B 重合时，如图M1，N 1，P 1，∠ABN 1=90°，∴AN 1=42+22=25，∵P 1是中点，∴MP 1=12AN 1=5，当MP ⊥BC 时，如图P 2，M 2，N 2，∵P 1，P ，P 2是中点，∴P 的运动轨迹为平行于BC 的线段，交AC 于H ，∴CH =3-2=1，∵∠ACB =45°，∴PH 与BC 间的距离为P2M 2=22CH =22，∵M不与B、C重合，∴22≤MP<5．【中考模拟练】21(2024•济南一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE 沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为1．【分析】连接A1B，由F、G分别为A1C、BC的中点可得FG=12A1B，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，由勾股定理可得BD，由折叠性质和矩形性质可得A1D=AD=BC，即可求解．【解答】解：如图，连接A1B，BD，∵F、G分别为A1C、BC的中点，∴FG=12A1B，当FG的最小时，即A1B最小，∵四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=3，∴AD=BC=3，∠A=90°，∴BD=AB2+AD2=5，∵△ADE沿DE折叠，∴A1D=AD=3，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，∴A1B≥BD-A1D，即A1B≥2，∴FG=12A1B≥1，∴FG的最小值为1，故答案为：1．22(2024•郾城区一模)如图，在矩形ABCD中，AD=63，AB=6，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段AC上，且AE=4，点F为线段BD上的一个动点，则EF+12BF的最小值为4．【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，首先根据题意将12BF用FH表示，再将EF+FH的最小值用EG表示，进而求出EG的长即可解决问题．【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵四边形ABCD是矩形，AD=63，AB=6，。

2024年中考数学终极押题密卷(广东卷)数学试题及答案

2024年中考数学终极押题密卷(广东卷)数学试题及答案

广东省（统考新题型）2024年中考（新题型）猜题卷02数 学注意事项：1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷总分120分，考试时间120分钟．2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B 铅笔在答题卡上填涂对应的考生信息． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共30分）一、选择题（共（共30分）分） 1．比3−大1的数是（ ） A ．4−B ．2−C ．2D ．42．2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量1.02亿吨油当量．该油田是全球核杂岩型凹陷最大的商业发现．数据“1.02亿吨”用科学记数法表示为（ ） A ．81.0210×吨B ．101.0210×吨C ．1010210×吨D ．70.10210×吨3．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列计算正确的是（ ）A ．325a a a +=B ．325a a a ⋅=C ．()22242a a a +=++ D ．()235a a −=6．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．347．不等式组426231x x −< +≥ ，的解集是（ ）A ．2x <B ．1x ≥−C ．12x −≤<D ．1x ≤−8．圆的标准方程最早是笛卡尔发现的，如图，以坐标原点O 为圆心，r 为半径的圆，笛卡尔用222x y r +=来表示它．从而利用方程将一个静止不动的图形，转化成点P 连续运动的轨迹．这种研究方法体现的数学思想是（ ）A ．整体思想B ．归纳思想C ．换元思想D ．数形结合思想9．全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．某自行车经销商为满足市民的健身需求，准备购进甲、乙两种不同品牌自行车．已知甲种品牌自行车的进价比乙种品牌自行车的进价低500元，若该自行车经销商分别用3万元购进甲、乙不同品牌的自行车时，购进甲种品牌自行车的数量是购进乙种品牌自行车数量的43．设购进甲种品牌的自行车x 辆，根据题意列出的方程是（ ）A ．300003000050043x x =+ B ．300003000045003x x =×−C ．300003000045003x x =×− D ．300003000050034x x =− 10．某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建1m 宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为5m ，则绿化带的面积为（ ）A ．25mB ．()252πm +C ．()25πm +D ．()26πm +第二部分（非选择题 共75分）二、填空题（共15分） 11．因式分解：2a 2﹣8= ．12．已知关于x 的一元二次方程260x kx +−=的一个根是2，则另一个根的值是 ． 13．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，ABC 与'''A B C 的顶点都在正方形网格的格点上，且ABC 与'''A B C 为位似图形，则位似中心的坐标为 ．14．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点,A B 不重合），过点C 作O 的切线交AB的延长线于点D ．若3,4BD CD ==，则O 的直径为 ．15．如图，在正方形ABCD中，4AB=，点E是CD边的中点，ABE∠的平分线交AD于点F，连接EF，则tan DEF∠的值为．三、解答题（共75分）16．（511)2sin605π−−−°+．17．（5分）解方程组：7 22 x yx y−=+=①②18．（5分）如图，已知B C∠=∠，AD平分BAC∠，求证：ABD ACD△≌△．19．（5分）如图，点A是∠MON边OM上一点，AE//ON．(1)尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；(2)若∠MAE=48°，则∠OBE的大小为________．20．（5分）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价．21．（8分）推行“减负增效”政策后，为了解九年级学生每天自主学习的时长情况，学校随机抽取部分九年级学生进行调查，按四个组别；A组（0.5小时），B组（1小时），C组（1.5小时），D组（2小时）进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：(1)本次调查的学生人数是人；A组（0.5小时）在扇形统计图中的圆心角α的大小是；(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校九年级有600名学生，请估计其中每天自主学习时间不少于1.5小时的学生人数．22．（8分）北岳恒山索道被誉为“三晋第一索”，索道随山峦逐级起伏，绵延而上，可以俯瞰到恒山各处的秀丽美景，让游客的游览舒适惬意．恒山索道沿线有16座支架，用以保持索道悬空的状态．如图，A ，B ，C 为该索道的三处支架，且AB BC =，从支架B 处看支架A 的仰角为22°，从支架O 处看支架B 的仰角为30°，支架A 到支架C 的竖直距离AD 为320m ，已知点A ，B ，C ，D 在同一竖直平面内，求CD 的长．（结果精确到1m ；参考数据：sin 220.37°≈，cos 220.93°≈，tan 220.4°≈ 1.7≈）23．（10分）如图，一次函数()1110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()2220k y k x=≠的图象在第一象限内交于点A ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，C 为AB 的中点，4AOC S = ．(1)求2k 的值；(2)当2OB =，120y y >>时，求x 的取值范围．24．（12分）综合与探究羽毛球是一项广受欢迎的运动．小明在网上查阅与这项运动相关的资料时，意外发现其中蕴含的数学原理．羽毛球在飞行过程中的运动轨迹可看作抛物线，因此运动员可以通过击球时的用力方向和大小控制球的落地点，这引起了小明的强烈兴趣．于是小明和同学小华来到附近的羽毛球场地，打算用所学二次函数的知识来描述羽毛球在飞行过程中的轨迹，并利用其解决相关的实际问题．小华从场地左侧点A 距地面1m 处发球，球飞行过程中在点C 处到达最高点，并落在了场地右侧的点B 处，如图1所示（A ，B ，C 三点共线）．通过测量得知，A ，B 两点距离为8m ，A ，C两点距离为3m ．(1)小明根据测量数据建立了如图2所示的平面直角坐标系，并描绘了相应的抛物线轨迹，求出此抛物线的解析式；(2)小明和小华所在的羽毛球场地并未设置球网，查阅资料可知标准羽毛球网高度为1.5m ．小明又通过测量得到点A 和点B 距离球场中线l （球网所在位置）的距离分别为4m 和2.4m ，判断在球网存在的情况下小华此次击球是否能飞过球网，并说明理由；(3)小明通过测量得知场地内边线与场地中线的距离为6.7m ，假设小华站在点A 处发球，且击球时的用力方向和大小不变，为使球越过球网并且落在球场内边线内，求出小华发球时高度的取值范围．25．（12分）【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD 和正方形AEFG 按如图所示的位置摆放，连接BE 和DG ，延长DG 交BE 的延长线于点H ，求BE 与DG 的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG ”改成“矩形ABCD 和矩形AEFG ，且矩形ABCD ∽矩形AEFG ，3AE =，4AG =”，如图，点E 、D 、G 三点共线，点G 在线段DE 上时，若AD =，求BE 的长． 【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG 改成“菱形ABCD 和菱形AEFG ，且菱形ABCD ∽菱形AEFG ，如图3，5AD =，6AC =，AG 平分DAC ∠，点P 在射线AG 上，在射线AF 上截取AQ ，使得35AQ AP =，连接PQ ，QC ，当4tan 3PQC ∠=时，直接写出AP 的长．广东省（统考新题型）2024年中考（新题型）猜题卷02数 学全解全析一、选择题（共（共30分）分） 1．比3−大1的数是（ ） A ．4− B ．2− C ．2 D ．4【答案】B【分析】本题考查了有理数的加法运算，理解有理数加法运算法则，根据题意列出算式计算即可．【详解】解：比3−大1的数为：312−+=−， 故选：B ．2．2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田——开平南油田，探明油气地质储量1.02亿吨油当量．该油田是全球核杂岩型凹陷最大的商业发现．数据“1.02亿吨”用科学记数法表示为（ ） A ．81.0210×吨 B ．101.0210×吨 C ．1010210×吨 D ．70.10210×吨【答案】A【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：81.021.0210=×亿， 故选：A ．3．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果．下列花窗图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形，轴对称图形是沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形是绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意，B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，C．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故该选项不符合题意，D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意，故选：D．4．如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的方向：从正面看所得到的图形．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【详解】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形，故选B．5．下列计算正确的是（）A．325+=B．325a a a⋅=a a aC．()22+=++D．()235242a a a−=a a【答案】B【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．利用整式的运算法则计算每一个，根据计算结果得结论．【详解】解：32a a不能合并，故选项A计算错误；,325⋅=，故选项B计算正确；a a a()22+=++，故选项C计算错误；244a a a()236a a −=，故选项D 计算错误；故选：B ．6．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．34【答案】A【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的诗人相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A 、B 、C 、D 表示，列表如下： 小明小颖A B C DA(),A A (),B A (),C A (),D AB(),A B (),B B (),C B (),D BC(),A C (),B C (),C C (),D CD(),A D (),B D (),B D (),D D由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种， ∴他们选择的诗人相同的概率为41164=， 故选：A ．7．不等式组426231x x −< +≥ ，的解集是（ ）A ．2x <B ．1x ≥−C ．12x −≤<D ．1x ≤−【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：426231x x −< +≥①② 解不等式①得：2x <，解不等式②得：1x ≥−，∴不等式组的解集为12x −≤<，故选：C ．8．圆的标准方程最早是笛卡尔发现的，如图，以坐标原点O 为圆心，r 为半径的圆，笛卡尔用222x y r +=来表示它．从而利用方程将一个静止不动的图形，转化成点P 连续运动的轨迹．这种研究方法体现的数学思想是（ ）A ．整体思想B ．归纳思想C ．换元思想D ．数形结合思想【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系，根据平面直角坐标系使得我们可以用代数的方法研究几何问题，又可以用几何的方法研究代数问题，即可确定答案．【详解】解：用代数的方法研究几何问题，可知这种研究方法体现了数形结合思想， 故选：D ．9．全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．某自行车经销商为满足市民的健身需求，准备购进甲、乙两种不同品牌自行车．已知甲种品牌自行车的进价比乙种品牌自行车的进价低500元，若该自行车经销商分别用3万元购进甲、乙不同品牌的自行车时，购进甲种品牌自行车的数量是购进乙种品牌自行车数量的43．设购进甲种品牌的自行车x 辆，根据题意列出的方程是（ ）A ．300003000050043x x =+ B ．300003000045003x x =×− C ．300003000045003x x =×− D ．300003000050034x x =− 【答案】D【分析】本题考查了列分式方程；设购进甲种品牌的自行车x 辆，则购进乙种品牌的自行车34x 辆，用总价除以单价表示出购进自行车的数量，根据两种自行车的数量相等列出方程求解即可．【详解】设购进甲种品牌的自行车x 辆，依题意得300003000050034x x =− 故选：D ．10．某地为落实乡村振兴战略，在每个乡镇自然村都建设老年活动中心，某村老年活动中心如图中三角形区域，现计划在活动区域外围建1m 宽的绿化带，为了美观，绿化带三个拐弯处设计为弧形，已知图中三角形周长为5m ，则绿化带的面积为（ ）A ．25mB ．()252πm +C ．()25πm +D ．()26πm + 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线，首先根据题意得到1m AD BC MC GH GF DE ======，求出扇形ADE ，BCM ，GFH 正好拼成一个半径为1m 的圆，然后利用绿化带的面积2π1ADCB MCGH DEFG S S S +++×矩形矩形矩形求解即可．【详解】如图所示，过中间三角形的三个顶点分别向绿化带作垂线，根据题意得，1m ADBC MC GH GF DE ======，四边形ADCB ，DEFG ，GHMC 是矩形 ∴90ADC BCD MCG CGH DGF GDE ∠=∠=∠=∠=∠=∠=° ∴180AEDCDG ∠=°−∠，180BCM DCG ∠=°−∠，180FGH DGC ∠=°−∠ ∵180∠+∠+∠=°CDG DCG DGC∴360BCM ADE HGF∠+∠+∠=° ∴扇形ADE ，BCM ，GFH 正好拼成一个半径为1m 的圆，∴绿化带的面积2π1ADCB MCGH DEFG S S S +++×矩形矩形矩形2π1AD DC MC DC DE DC =⋅+⋅+⋅+×()2215π15πm =×+×=+． 故选：C ．二、填空题（共15分）11．因式分解：2a 2﹣8= ．【答案】2（a +2）（a －2）．【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．【详解】2a 2－8=2（a 2－4）=2（a +2）（a －2）．故答案为2（a +2）（a －2）．考点：因式分解．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．12．已知关于x 的一元二次方程260x kx +−=的一个根是2，则另一个根的值是 ．【答案】3−【分析】此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义．先把2x =代入原方程，求出k 的值，进而再将k 的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根．【详解】解：∵2x =是方程260x kx +−=的一个根， ∴22260k +−=， 解得：1k =，将1k =代入原方程得：260x x +−=， 解得：122,3x x ==−，∴方程的另一个根为3−．故答案为：3−．13．在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是1，ABC 与'''A B C 的顶点都在正方形网格的格点上，且ABC 与'''A B C 为位似图形，则位似中心的坐标为 ．【答案】()4,3−−【分析】本题考查了作图—位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是解题的关键．连接'A A ，'B B 并延长交于一点，交点即为所求．【详解】解：如图，连接'A A ，'B B 并延长交于一点P ，点P 即为所求．由网格图形可知，点P 的坐标为()4,3−−． 故答案为：()4,3−−．14．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点（与点,A B 不重合），过点C 作O 的切线交AB的延长线于点D ．若3,4BD CD ==，则O 的直径为 ．【答案】73/123【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，如图所示，连接OC ，设O 的半径为r ，则OC OB r ==，3OD r =+，由切线的性质可得90OCD ∠=°，则由勾股定理可得()22234r r +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OC ，设O 的半径为r ，则OCOB r ==， ∴3OD r =+，∵CD 是O 的切线，∴90OCD ∠=°， 在Rt COD 中，由勾股定理得222OD OC CD =+，∴()22234r r +=+， 解得76r =， ∴O 的直径为723r =， 故答案为：73．15．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点E 是CD 边的中点，ABE ∠的平分线交AD 于点F ，连接EF ，则tan DEF ∠的值为 ．【答案】33+【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求角的正切值等，作FG BE ⊥于点G ，由角平分线的性质可得AF FG =，再证Rt BGF ≌()Rt HL BAF ，推出4BG AB ==，AF GF =，设AF GF x ==，用勾股定理解Rt EDF 和Rt EGF ，求出x 的值，再根据tan DF DEF DE∠=即可求解．【详解】解：如图，作FG BE ⊥于点G ， 正方形ABCD 中，4AB =，点E 是CD 边的中点，∴90A C D ∠=∠=∠=°，4CD BC AD AB ====， 122CE DE CD ===， ∴BEBF 平分ABE ∠，FG BE ⊥，FA AB ⊥，∴AF FG =，在Rt BAF △和Rt BGF 中，AF FG BF BF = =， ∴Rt BGF ≌()Rt HL BAF ，∴4BG AB ==，AF GF =，∴4GE BE BG =−=，设AFGF x ==，则4FD AD AF x =−=−， 在Rt EDF 中，222DE DF EF +=，在Rt EGF 中，222EG FG EF +=， ∴2222EG FG DE DF +=+，即()()2222424x x +=+−， 解得2x =，∴()426FD =−=−∴tan 3DF DEF DE ∠=故答案为：3三、解答题（共75分）16．（5101)2sin 605π− −−°+ ． 【答案】4【分析】先化简绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，然后计算加减法即可．【详解】解：原式125=−− 4=． 【点睛】题目主要考查绝对值，零次幂及特殊角的三角函数、负整数指数幂，熟练掌握各个运算法则是解题关键．17．（5分）解方程组：722x y x y −=+=①② 【答案】34x y = =− 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键，直接利用加减消元法解方程组即可．【详解】解：722x y x y −= +=①②， ①+②得39x =，解得3x =．将3x =代入②，得4y =−．所以 34x y = =− ，． 18．（5分）如图，已知B C ∠=∠，AD 平分BAC ∠，求证：ABD ACD △≌△．【答案】见解析【分析】本题主要考查对全等三角形的判定，三角形的角平分线定义；根据角平分线的定义得出BAD CAD ∠=∠，根据AAS 即可证出答案． 【详解】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，在ABD △和ACD 中B C BAD CAD AD AD ∠=∠ ∠=∠ =， ()AAS ABD ACD ∴ ≌．19．（5分）如图，点A 是∠MON 边OM 上一点，AE//ON ．(1)尺规作图：作∠MON 的角平分线OB ，交AE 于点B （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若∠MAE=48°，则∠OBE 的大小为________．【答案】（1）见解析；（2）156°【分析】（1）利用基本作图作OB 平分∠MON ；（2）先利用平行线的性质得到∠MON =∠MAE =48°，再根据角平分线的定义得到∠NOB =24°，接着根据平行线的性质得到∠OBA 的度数，然后利用邻补角的定义计算∠OBE 的度数．【详解】解：（1）如图，OB 为所作；（2）∵AE∥ON，∴∠MON=∠MAE=48°，∵OB平分∠MON，∴∠NOB=12∠MON=24°，∵AB∥ON，∴∠OBA=∠NOB=24°，∴∠OBE=180°-∠OBA=180°-24°=156°．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．20．（5分）微信名“文游台”和“高邮湖”的两个同学计划一起用60元在网店购买一些签字笔，请根据他们如图的聊天截屏信息，求出第一家网店每支签字笔的单价．【答案】第一家网店每支签字笔的价格是10元【分析】本题主要考查了分式方程的应用等知识点，首先设第一家网店每支签字笔的单价是x 元，现在每支签字笔的价格是1.5x元，即可根据题意列出方程，解此分式方程即可求得答案，注意分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．【详解】解：设第一家网店每支签字笔的单价是x元，现在每支签字笔的价格是1.5x元，依题意得：606021.5x x=+，解得：10x=，经检验：10x=是原方程的解，答：第一家网店每支签字笔的价格是10元．21．（8分）推行“减负增效”政策后，为了解九年级学生每天自主学习的时长情况，学校随机抽取部分九年级学生进行调查，按四个组别；A组（0.5小时），B组（1小时），C组（1.5小时），D组（2小时）进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息，解决下列问题：(1)本次调查的学生人数是人；A组（0.5小时）在扇形统计图中的圆心角α的大小是；(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校九年级有600名学生，请估计其中每天自主学习时间不少于1.5小时的学生人数．【答案】(1)40，54°(2)画图见解析(3)不少于1.5小时的学生有330人【分析】(1)根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数；根据A组的学生人数以及总人数即可求得A组对应的圆心角的度数；(2)求出C组的学生人数，补全条形统计图即可；(3)利用用样本估计总体的计算方法列式计算即可求得．【详解】（1）解：本次调查的学生人数为：1230%=40÷(人)；A组（0.5小时）在扇形统计图中的圆心角α的大小为：6360=54°×°，40故答案为：40，54°；（2）解：C 组的人数为：40-6-12-8=14(人)， 补全条形统计图如下：（3）解：14860033040+×=（人） 答：估计该校九年级每天自主学习时间不少于1.5小时的学生人数有330人．【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．22．（8分）北岳恒山索道被誉为“三晋第一索”，索道随山峦逐级起伏，绵延而上，可以俯瞰到恒山各处的秀丽美景，让游客的游览舒适惬意．恒山索道沿线有16座支架，用以保持索道悬空的状态．如图，A ，B ，C 为该索道的三处支架，且AB BC =，从支架B 处看支架A 的仰角为22°，从支架O 处看支架B 的仰角为30°，支架A 到支架C 的竖直距离AD 为320m ，已知点A ，B ，C ，D 在同一竖直平面内，求CD 的长．（结果精确到1m ；参考数据：sin 220.37°≈，cos 220.93°≈，tan 220.4°≈ 1.7≈）【答案】653m【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B 作BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，则四边形BEDF 是矩形，可得BF DE DF BE ==，，设m AE x =，则()320m BF DE x ==−，解Rt ABE △得到 2.7m AB x ≈，解Rt BCF 得到()6402m BC x =−，进而得到2.76402x x =−，解方程得到136m 184m AE BF ==，，再解直角三角形求出BE CF ，的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点B 作BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，则四边形BEDF 是矩形，∴BF DEDF BE ==，， 设m AE x =，则()320m BF DE AD AE x ==−=−， 在Rt ABE △中， 2.7m sin AEABx ABE =≈∠，在Rt BCF 中，()6402m sin BF BC x C==−，∵AB BC =，∴2.76402x x =−， 解得136x ≈，∴136m184m AE BF ==，， 在Rt ABE △中，136340m tan 0.4AE BE ABE =≈=∠，在Rt BCF 中，313m tan BFCF C=≈， ∴653m CD DF CF =+=， ∴CD 的长约为653m ．23．（10分）如图，一次函数()1110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()2220k y k x=≠的图象在第一象限内交于点A ，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，C 为AB 的中点，4AOC S = ．(1)求2k 的值；(2)当2OB =，120y y >>时，求x 的取值范围．【答案】(1)216k = (2)2x >【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，（1）过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ，证明ADC BOC ≌进而求出结论； （2）先求出()2,8A ，根据图象写出结论即可． 【详解】（1）解：过点A 作y 轴的垂线，垂足为D ．点C 为AB 的中点，BC AC ∴=，又90BOC ADC ∠=∠=°；BCO ACD ∠=∠， ∴ADC BOC ≌， ∴DC OC =，设(),A x y ，点A 在第一象限， 则111142222x y x y ⋅=⋅=，即16xy =， ∴216k =．（2）因为2OB =， 所以()2,0B −，由ADC BOC ≌，得2ADOB ==， 所以，()2,8A ．当120y y >>时，x 的取值范围是：2x >． 24．（12分）综合与探究羽毛球是一项广受欢迎的运动．小明在网上查阅与这项运动相关的资料时，意外发现其中蕴含的数学原理．羽毛球在飞行过程中的运动轨迹可看作抛物线，因此运动员可以通过击球时的用力方向和大小控制球的落地点，这引起了小明的强烈兴趣．于是小明和同学小华来到附近的羽毛球场地，打算用所学二次函数的知识来描述羽毛球在飞行过程中的轨迹，并利用其解决相关的实际问题．小华从场地左侧点A 距地面1m 处发球，球飞行过程中在点C 处到达最高点，并落在了场地右侧的点B 处，如图1所示（A ，B ，C 三点共线）．通过测量得知，A ，B 两点距离为8m ，A ，C 两点距离为3m ．(1)小明根据测量数据建立了如图2所示的平面直角坐标系，并描绘了相应的抛物线轨迹，求出此抛物线的解析式；(2)小明和小华所在的羽毛球场地并未设置球网，查阅资料可知标准羽毛球网高度为1.5m ．小明又通过测量得到点A 和点B 距离球场中线l （球网所在位置）的距离分别为4m 和2.4m ，判断在球网存在的情况下小华此次击球是否能飞过球网，并说明理由；(3)小明通过测量得知场地内边线与场地中线的距离为6.7m ，假设小华站在点A 处发球，且击球时的用力方向和大小不变，为使球越过球网并且落在球场内边线内，求出小华发球时高度的取值范围．【答案】(1)()212531616y x =−−+ (2)小华此次击球不能飞过球网 (3)小华击球高度取值范围大于1916m 小于12731024m【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与应用，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可；（2）连接AB ，交直线l 于点M ，分别过点A ，B 向直线l 作垂线，垂足分别为N ，P ，由ANM BPM △△∽求得M 的坐标为()5,0，再代入函数解析式即可；（3）设此次小华击球的羽毛球飞行轨迹抛物线解析式为()21316y x k =−−+，直线AB 与场地右侧边线的交点为Q ，可求67,08Q，将()5,1.5，67,08分别代入，得到174k =，218491024k =，再将将0x =分别代入即可．【详解】（1）解：根据题意，得()0,1D ，()3,C b ，()8,0B ， 设此抛物线的解析式为()23y a x b =−+， 将点()0,1D ，()8,0B 代入，得19,025,a b a b =+=+解得1,1625.16a b=−=所以此抛物线的解析式为()212531616y x =−−+． （2）解：连接AB ，交直线l 于点M ，分别过点A ，B 向直线l 作垂线，垂足分别为N ，P ，如图所示．根据题意，得8AB =，4AN =， 2.4BP ． ∵,BP l AN l ⊥⊥， ∴BP AN ， ∴ANM BPM △△∽，452.43AM AN BM BP ∴===， 558AM AB ∴， 即点M 的坐标为()5,0．将点()5,0M 代入()212531616y x =−−+，得2116y =．2124 1.51616<=， ∴小华此次击球不能飞过球网．（3）解：∵小华仍从点A 处发球，且击球时的用力方向和大小不变，∴设此次小华击球的羽毛球飞行轨迹抛物线解析式为()21316y x k =−−+，直线AB 与场地右侧边线的交点为Q ．场地内边线距离场地中线的距离为6.7m，∴由（2）同理可得67,08Q．要求球越过球网且落在球场内边线内，∴将()5,1.5，67,08分别代入()21316y x k =−−+，得174k =，218491024k =．将0x =分别代入()211316y x k =−−+，()221316y x k =−−+， 得11916y =，212731024y =． ∴小华击球高度取值范围大于19m 16小于1273m 1024． 25．（12分）【问题发现】（1）如图1，将正方形ABCD 和正方形AEFG 按如图所示的位置摆放，连接BE 和DG ，延长DG 交BE 的延长线于点H ，求BE 与DG 的数量关系和位置关系．【类比探究】（2）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG ”改成“矩形ABCD 和矩形AEFG ，且矩形ABCD ∽矩形AEFG ，3AE =，4AG =”，如图，点E 、D 、G 三点共线，点G 在线段DE 上时，若AD =，求BE 的长． 【拓展延伸】（3）若将“正方形ABCD 和正方形AEFG 改成“菱形ABCD 和菱形AEFG ，且菱形。

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(全国通用)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(全国通用)

2024年中考数学考前押题密卷（全国卷）全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列各数中，相反数是它本身的数是（ ）A ．2−B ．1−C ．0D ．1【答案】C【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【解析】相反数等于本身的数是0． 故选：C ．【点睛】本题考查了相反数的意义．注意掌握只有符号不同的数为相反数，0的相反数是0． 2．如图所示的几何体是由7个相同的小正方体组合成的，则这个几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据观察几何体，从左边看，底层有2个正方体，上层有一个正方体，即可得到答案． 【解析】从左边看，底层有2个正方体，上层有一个正方体，∴几何体的左视图为： ，故选：D ．【点睛】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会找几何体的三视图．3．据国家统计局预测，截止2024年底，我国GDP 将突破23万亿美元，23万亿用科学记数法表示为（ ）A ．132.310⨯B ．142.310⨯C ．140.2310⨯D ．122310⨯【答案】A【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10na ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值． 【解析】23万亿23000000000000=元132.310=⨯元． 故选：A ．4．下列运算中，正确的是（ ）A ．326326x x x ⋅=B ．4482x x x +=C ．633x x x ÷=D ．()32528x x =【答案】C【分析】分别利用单项式乘单项式、合并同类项、同底数幂的除法和积的乘方运算法则化简求出即可． 【解析】A 、3x3•2x2=6x5，故此选项错误； B 、x4+x4=2x4，故此选项错误； C 、x6÷x3=x3，故此选项正确； D 、（2x2）3=8x6，故此选项错误． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式、合并同类项、同底数幂的除法和积的乘方等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．5．如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为()1,2，以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间【答案】B【分析】先根据勾股定理计算出OP 的长度，OP OA =可以知道A 点的横坐标，再利用估算无理数的方法得出答案．【解析】OP ==A即23<<，∴A 的横坐标介于2和3之间， 故选B ．6．某居民小区开展节约用电活动，对该小区30户家庭的节电量情况进行了统计，五月份与四月份相比，节电情况如下表：则五月份这30户家庭节电量的众数与中位数分别为（ ） A ．20，20 B ．20，25C ．30，25D ．40，20【答案】A【分析】根据表格中的数据可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决． 【解析】由表格中的数据可得，五月份这30户家庭节电量的众数是：20，中位数是20， 故选：A ．【点睛】本题考查众数、统计表、中位数，解题的关键是明确它们各自的含义，会找一组数据的众数和中位数．7．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，BC =将ABC 绕点 C 逆时针旋转至A B C ''△，使得点 A '恰好落在AB 上，A B ''与BC 交于点 D ，则A CD '△的面积为（ ）A B ．C ．5 D ．【分析】由已知结合旋转的性质可知CA CA '=，60A CA B ''∠=∠=︒，可证得ACA '是等边三角形，可得2A C A B ''==，30A CB B '∠=∠=︒，进而可知A D BC '⊥，由等腰三角形的性质和含30度的直角三角形的性质可知112A D A C ''==，12CD BC ==，进而利用面积公式即可求解．【解析】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，2AC =，30B ∠=︒， ∴9060A B ∠=︒−∠=︒，24AB AC ==， 由旋转可知，CA CA '=，60A CA B ''∠=∠=︒， ∴ACA '是等边三角形， ∴2AA AC A C ''===， ∴2A C A B ''==， ∴30A CB B '∠=∠=︒， ∵60CA B ∠=''︒，∴18090CDA A CD CA D '''∠=︒−∠−∠=︒，则A D BC '⊥，∴112A D A C ''==，12CD BC ==，∴112A CD S '=⨯△． 故选：A ．【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．8．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至途中自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，加快了骑车速度．下面是小明距离学校的路程s 关于行驶时间t 的函数图象，那么符合小明行驶情况的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数图象与因变量和自变量的关系判断选项即可．【解析】根据题意，小明距离学校的路程s 关于行驶时间t 的函数图象应该分为三段： 第一段随着时间的增加，路程s 逐渐减小；第二段小明停下修车，路程s 随着时间的增加没有发生变化； 第三段小明加速行驶，随着时间的增加，路程s 减小的更快， 所以只有D 选项符合题意， 故选：D ．【点睛】本题考查函数的图象，熟练掌握函数的图象与因变量和自变量的变化关系是解答的关键． 9．如图，AB 为O 的直径．弦CD AB ⊥于点E ，5OC cm =，8CD cm =，则BE 的值为（ ）A ．2cmB ．3cmC ．5cmD ．8cm【答案】A【分析】根据垂径定理得出4CE DE ==cm ，根据勾股定理得出222OC CE OE =+，代入求出答案即可．【解析】AB 是O 的直径，5OB OC ∴==（厘米），弦CD AB ⊥，4CE DE ∴==（厘米），在Rt OCE ∆中，5OC =（厘米），3OE ∴=（厘米），532BE OB OE ∴=−=−=（厘米）．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．10．如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点．过点O 作OE OF ⊥，分别交AB ，BC 于点E ，F ．若3AE =，1CF =，则EF =（ ）A ．2 BC ．4D．【答案】B【分析】本题考查正方形的性质，证明()ASA BOE COF ≌，得到1BE CF ==，继而得到3BF AE ==，最后在Rt BEF △中，利用勾股定理可得EF 的值．掌握正方形的性质及勾股定理是解题的关键． 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，3AE =，1CF =，∴AB BC =，OB OC =，90BOC ∠=︒，90ABC ∠=︒，45OBE OCF ∠=∠=︒， ∵OE OF ⊥，∴90EOF BOC ∠=︒=∠， ∴EOB FOC ∠=∠，在BOE △和COF 中，OBE OCFOB OCEOB FOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA BOE COF ≌，∴1BE CF ==，∴3BF BC CF AB BE AE =−=−==， 在Rt BEF △中，3BF =，1BE =，∴EF ==故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．因式分解：236m m −= ． 【答案】()32m m -【分析】提取公因式3m 即可． 【解析】()23632.m m m m −=−故答案为：()32m m -【点睛】本题考查的是利用提公因式分解因式，掌握“公因式的确定”是解本题的关键．12．有一个圆形飞镖盘，上面画有五个圆，半径由小到大依次为2cm 4cm 6cm 、、、8cm 10cm 、，如图所示，投中镖盘时，飞镖落在阴影部分的概率为 ．【答案】35/0.6【分析】本题考查了概率，掌握相关知识并熟练使用是解题的关键．【解析】∵()2224cm S ππ=⨯=小阴影，()()2226420cm Sππ=⨯−=中阴影，()()22210836cm Sππ=⨯−=大阴影，()2210100cm S ππ=⨯=大圆，∴飞镖落在阴影部分的概率4203631005ππππ++==．故答案为：35．13．如图，直线4y x =−+与双曲线=ky x交于A B ，两点，若AOB △的面积为4，则k 的值为 ．【答案】3【分析】根据直线4y x =−+与双曲线=ky x 关于直线=y x 对称，得出AOC BOD ≌，求得2AOCS=，根据三角形面积求得点A 的坐标，代入一次函数求得纵坐标，即可求解． 【解析】如图，设4y x =−+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，∵直线4y x =−+与双曲线=ky x 关于直线=y x 对称，∴AOC BOD ≌，由4y x =−+，令=0x ，得=4y ，令=0y 得=4x ， ∴(0,4),(4,0)C D , ∴14482COD S ∆=⨯⨯=，∵AOB △的面积是4， ∴()18422AOCS=−=，∴1422A x ⨯⨯=，解得1A x =，代入4y x =−+得，43y x =−+=， ∴(1,3)A ， ∴133k =⨯=， ∴k 的值为3， 故答案为：3．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了函数的对称性，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得A 的坐标是解题的关键．14．将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点B，A分别落在B'，A'位置上，FB'与AD的交点为G．若∠DGF=110°，则∠FEG的度数为．【答案】55°/55度【分析】根据平行的性质可知∠DGF=∠GFB，再根据翻折的性质可知∠BFE=∠EFG，即可求解．【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴AD BC∥，∴∠GFB=∠DGF，∵∠DGF=110°，∴∠GFB=∠DGF=110°，∵根据翻折的性质有∠BFE=∠EFG，∴∠BFE=∠EFG=12∠GFB，∴∠FEG=1110552⨯=o o，故答案为：55°．【点睛】本题考查了平行的性质、矩形的性质以及翻折的性质，掌握平行的性质是解答本题的关键．15．如图，MN是半圆O的直径，K是MN延长线上一点，直线KP交半圆于点Q，P．若20K∠=︒，40PMQ∠=︒，则MQP∠=．【答案】35°【分析】连接PO、QO，根据圆周角定理，得∠POQ=2∠PMQ=80°，则∠OPQ=∠OQP=50°，则∠POM=70°，再根据圆周角定理即可求解．【解析】连接PO 、QO ． 根据圆周角定理，得 ∠POQ=2∠PMQ=80°， 又OP=OQ ，则∠OPQ=∠OQP=50°， 则∠POM=∠K+∠OPK=70°， 所以∠PQM=12∠POM=35°．故答案为：35°．【点睛】此题综合运用了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，难度适中． 16．如图，ABC ∆的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin C = ．【答案】【分析】连接AD ，利用勾股定理的逆定理先证明ACD ∆是直角三角形，从而可得90ADC ∠=︒，然后在Rt ACD ∆中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解析】如图：连接AD ，由题意得： 2221750AC =+=， 222125CD =+=， 2226345AD =+=，∴222AD CD AC +=，∴ACD ∆是直角三角形， ∴90ADC ∠=︒，在Rt ACD ∆中，AD =AC =∴sin AD C AC ===，故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共852分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（4分）计算：202321(1)|1()2−−+−．【解析】202321(1)|1()2−−+−=)1114−−−=1114−− =7−【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．（5分）为提高病人免疫力，某医院精选甲、乙两种食物为确诊病人配制营养餐，两种食物中的蛋白质含量和铁质含量如表．如果病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每份营养餐中，甲、乙两种食物各需多少克？【解析】设甲、乙两种食物各需 x 克、y 克，则0.50.7350.440x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2830x y =⎧⎨=⎩.答：每份营养餐中，甲、乙两种食物分别要28，30克．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．19．（6分）如图，AM BN ∥，AC 平分BAM ∠，交BN 于点C ，过点B 作BD AC ⊥，交AM 于点D ，垂足为O ，连接CD ，求证：四边形ABCD 是菱形．【解析】证明：∵AC 平分BAM ∠，AM BN ∥， ∴12∠=∠，23∠∠=． ∴13∠=∠． ∴BA BC =．又∵BD AC ⊥于点O ，∴OA OC =．在AOD △和COB △中，23OA OCAOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()AOD COB ASA ≌．∴OD OB =．∴四边形ABCD 是平行四边形． 又∵BA BC =，【点睛】本题主要考查了菱形的判定，涉及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．20．（6分）某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言的人数比为10:3，请结合图中相关数据回答下列问题：（1）A组有人，C组有人，E组有人，并补全直方图；（2）该年级共有学生600人，请估计全年级在这天发言次数不少于20的人数；（3）已知A组发言的学生中恰有一位女生，E组发言的学生中恰有两位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，求所抽的两位学生至多有一位男生的概率．【解析】试题分析：（1）根据B、E两组发言的人数比为10:3，即可求得B组发言人数的百分比，从而可以求得抽取的总人数，即可求得结果；（2）先求得发言次数不少于20的人数所占的百分比，再乘以600即可得到结果；（3）先列树状图表示出所有等可能的情况，再根据概率公式求解即可.（1）∵B、E两组发言的人数比为10:3，E组发言人数的百分比为6%∴B组发言人数的百分比为20%∴B组发言的人数=10÷20%=50人∴A组有50×4%=2人，C组有50×40%=20人，E组有50×6%=3人（2）由题意得（人）答：全年级在这天发言次数不少于20的人数为60人； （3）列树状图：共有6六种等可能情况，符合至多有一位男生的情况有4种 因此P （至多有一位男生）4263==.21．（6分）电力公司在高山上建设如图1所示的输电铁塔，其示意图如图2所示，铁塔A 沿着坡面到山脚的距离200m AC =，铁塔B 沿着坡面到山脚的距离60m BD =，坡面AC 与山脚水平线CD 的夹角140ACD ∠=︒，坡面BD 与山脚水平线CD 的夹角120BDC ∠=︒．(1)求铁塔A 到山脚水平线CD 的距离；(2)若从铁塔A 看铁塔B 的俯角为10°，求铁塔A 与铁塔B 的距离AB 的长（结果精确到1m ）．（参考数据：sin 400.643︒≈，cos400.766︒≈，tan400.839︒≈，sin100.174︒≈，cos100.985︒≈，tan100.176︒≈，【解析】（1）解：如下图，过A 作AE CD ⊥交DC 延长线于E ，90AEC ∴∠=︒，140ACD ∠=︒， 18014040ACE ∴∠=︒−︒=︒，200m AC =Q ．∴在Rt ACE 中，sin AEACE AC ∠=，sin 200sin 402000.643128.6m AE AC ACE ∴=⋅∠=︒≈⨯=．答：铁塔A 到山脚水平线CD 的距离约为128.6m ．（2）如上图，过B 作BF CD ⊥交CD 的延长线于F ，过A 作AH CD ∥交FB 的延长线于H ， 则90AEC BFE H ∠=∠=∠=︒，∴四边形AEFH 为矩形， 128.6m HF AE ∴==． 120BDC ∠=︒，60BDF ∴∠=︒；60m BD =，∴在Rt BDF △中，sin BF BDF BD ∠=，sin 60sin 606030 1.73251.96m BF BD BDF ∴=⋅∠=⨯≈︒==⨯=，128.651.9676.64m BH HF BF ∴=−=−=．在Rt ABH △中，sin BHBAH AB ∠=， 76.6476.64440msin sin100.174BH BA AB H ∴==≈≈∠︒．答：铁塔A 到铁塔B 的距离AB 的长约为440m ．22．（7分）如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过点D作DE⊥MN 于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE＝4cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．【解析】（1）证明：连接OD，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD平分∠CAM，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴MN∥OD，∵DE⊥MN，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD5，∵DE⊥MN，∴∠AED＝90°，∴∠ADC＝∠AED，又∵∠2＝∠3，∴△ADC∽△AED，∴AC AD AD AE=，即5 53 AC=，∴AC＝25 3，∴OA＝12AC＝256，即⊙O的半径为256cm．【点睛】本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度．23．（8分）如图，已知抛物线22y ax bx =++()0a <与y 轴交于点C ，与x 轴交于()1,0A −，()2,0B 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是第二象限抛物线上的动点，DE x 轴，交直线BC 于点E ，点G 在x 轴上，点F 在坐标平面内，是否存在点D ，使以D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是正方形？若存在，求点D 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）将()1,0A −，()2,0B 代入22y ax bx =++()0a <中，得204220a b a b −+=⎧⎨++=⎩，解得：11a b =−⎧⎨=⎩∴抛物线的函数表达式为22y x x =−++． （2）由题意和22y x x =−++可得()0,2C ，()2,0B ，可设直线BC 的函数表达式为：2y kx =+， 将()2,0B 代入得：220k +=，∴1k =−，∴直线BC 的函数表达式为2y x =−+.设()2,2D t t t −++（0t <），分两种情况：①当DE 为边时，如图1，四边形DEFG 是正方形（点G 、F 可互换位置）.则22DG D t E t ==−++，故E 的纵坐标与D 的纵坐标相等为22t t −++，将22y t t =−++代入2y x =−+中，可得E 的横坐标为2t t −， 则点E 的坐标为()22,2t t t t −−++，2tt t DE =−−∴DE EF =，即222t t t t t −−=−++，解得2t =（0t <，要舍）或12t =−，∴点D 的坐标为15,24⎛⎫− ⎪⎝⎭．②当DE 为对角线时，如图2，连接FG ，过点D 作DH x ⊥轴于点H ，DE HG ∥，DH FG ∥，易得2DE FG DH ==， 则()2222224DE t t t t =−++=−++，则E 的纵坐标为2224t t t −+++，∴点E 的坐标为()22224,2tt t t t −+++−++．∴2222342t t t t −++=−−+，解得23t =−或2（0t <，要舍），∴点D 的坐标为28,39⎛⎫− ⎪⎝⎭．综上可得：存在点D ，使以D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是正方形，点D 的坐标为15,24⎛⎫− ⎪⎝⎭或28,39⎛⎫− ⎪⎝⎭．24．（10分）如图1，在正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AB BC ，上，且CE DF ⊥于点O ．(1)试猜想线段CE 与DF 的数量关系为______； (2)数学小组的同学在此基础上进行了深入的探究：①如图2，在正方形ABCD 中，若点E ，F ，G ，H 分别在边AB BC CD DA ，，，上，且EG FH ⊥于点O ，求证：EG FH =；②如图3，将①中的条件“在正方形ABCD 中”改为“在矩形ABCD 中，AB a =，2BC a =”，其他条件不变，试推理线段EG 与FH 的数量关系；③如图4，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，6AB BC CD ===，点M 为AB 的三等分点，连接CM ，过点D 作DN CM ⊥，垂足为点O ，直接写出线段DN 的长． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， 90,B DCF BC CD ︒∴∠=∠==，90BCE DCE ∴∠+∠=︒，CE DF ⊥，90CPD ︒∴∠=，90CDF DCE ∴∠+∠=︒，BCE CDF ∴∠=∠，CE DF ∴=．（2）①证明：过点H 作HN BC ⊥交于N ，过点G 作GM BA ⊥交于M ，∵四边形ABCD 是正方形，BC CD ∴=四边形BCGM 为矩形，四边形CDHN 为矩形，MG BC ∴=,HN CD =∴MG HN =，∵HF EG ⊥，∴90MGE OPG NHF OPG ∠+∠=∠+∠=︒，∴MGE NHF ∠=∠，∴()HFN GEM ASA ≌，∴HF EG =；②解：2EG FH =；理由：过点H 作HQ BC ⊥交于Q ，过点G 作GP ⊥AB 交于P ，由①可得，QHF PGE ∠=∠，QHF PGE ∴V V ∽，HF HQ GE PG ∴=，,2AB a BC a ==Q ，2,PG a HQ a ∴==，122HF a GE a ∴==，2EG FH ∴=；③解：如图3，过点D 作DS BC ⊥于S ，90DSN DSC B ∴∠=∠=∠=︒，60,6DCS CD ∠=︒=Q ，sin 60DS CD ∴=⋅︒==，点M 是AB 的三等分点，6AB =，2BM ∴=或4BM =，6BC =，CM ∴=DN CM ⊥Q ，BM DS ∴∥，BMC DJM ∴∠=∠，90DJM NDS NDS DNS ∠+∠=∠+∠=︒Q ，DNS DJM ∴∠=∠，BMC DJM DNS ∴∠=∠=∠，∴BCM SDN ∽，CM BC DN SD ∴=，==解得DN =【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．。

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(湖北卷)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(湖北卷)

2024年中考数学考前押题密卷（湖北卷）全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．实数a 在数轴上的位置如图所示，则下列计算结果为正数的是（ ）A ．2aB ．1aC ．1a −D ．2a +【答案】D【分析】本题考查了数轴，以及有理数四则运算法则．用几何方法借助数轴来求解，非常直观，体现了数形结合的优点．由数轴得出21a −<<−且12a <<，再根据有理数的加减运算法则逐一判断即可得． 【详解】解：由数轴知21a −<<−且12a <<， 则20a <是负数，1a是负数，1a −是负数，2a +是正数， 故选：D ．2．下面四幅图分别是“故宫博物馆”“广东博物馆”、“四川博物馆”、“温州博物馆”的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180︒后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A 中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； B 中既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合要求；C 中是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D 中既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； 故选：D ．3．下列式子中，2x =是它的解的是（ ） A ．112x = B ．2210x x −+= C ．0x <D ．13x x >⎧⎨>⎩【答案】A【分析】根据方程的解和不等式的解集的定义解答即可． 【详解】解：A 、将2x =代入原方程，左边1==右边， A ∴选项符合题意；B 、∵将2x =代入原方程，左边4411=−+=≠右边， ∴B 选项不符合题意；C 、2x =不是不等式0x <的解，C ∴选项不符合题意；D 、2x =不是不等式组13x x >⎧⎨>⎩的解， D ∴选项不符合题意．综上所述，A 选项符合题意． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了方程的解和不等式的解集，正确掌握方程的解和不等式的解集的定义是解题的关键．4．下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ） A ．()()22a a −−− B ．()()3223x y y x +− C ．()()4242m n m n −+ D ．()()33x x −−【答案】D【分析】本题考查了平方差公式的应用，根据两数之和与两数之差的乘积即为能够运用平方差公式，进行逐一分析，即可作答．【详解】解：A 、()()()()()222224a a a a a −−−=−−+=−−，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；B 、()()()()223223232349x y y x y x y x y x +−=+−=−，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；C 、()()224242164m n m n m n −+=−，故能用平方差公式运算，该选项是不符合题意的；D 、()()()()()233333x x x x x −−=−−−=−−，运用完全平方公式，不能运用平方差公式运算，该选项是符合题意的； 故选：D5．下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ） A ．调查本班同学的数学小测成绩 B ．调查一批学生饮用奶的微量元素的含量C ．为保证载人航天器成功发射，对其零部件进行检查D ．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检 【答案】B【分析】此题考查了全面调查和抽样调查，直接根据全面调查和抽样调查的意义分别分析即可得出答案，掌握抽样调查的意义是解题的关键．【详解】解：A 、调查本班同学的数学小测成绩，适合全面调查，该选项不符合题意； B 、调查一批学生饮用奶的微量元素的含量，适合抽样调查，该选项符合题意；CD 、对乘坐某班次飞机的乘客进行安检，必须全面调查，该选项不符合题意；故选：B ．6．下图是描述某校足球队员年龄的条形图，则这个足球队员年龄的中位数和众数分别是（ ）A ．14，14B ．14.5，14C ．15，15D ．14.5，15【答案】D【分析】本题考查中位数、众数，根据中位数、众数的定义进行计算即可求解． 【详解】解：由条形统计图可知，有20名足球队员，这20名足球队员年龄出现次数最多的是15岁，共出现8次，因此众数是15岁； 将这20名足球队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的2个数是14岁和15岁， 因此中位数141514.52+==岁 故选：D ．7．将一副直角三角板作如图所示摆放，60,45,GEF MNP AB CD ∠=︒︒∠=∥，则下列结论不正确的是（ ）A ．GE MP ∥B ．75BEF ∠=︒C ．145EFN ∠=︒D ．AEG PMN ∠=∠【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据90G MPN MPG ∠=∠=∠=︒，即可判断A 选项；由30EFG ∠=︒，得到18030150EFN ∠=︒−︒=︒即可判断C 选项；过点F 作FH AB ∥，根据平行线的性质求出45HFN MNP ∠=∠=︒，然后根据平角，即可判断B 选项；由180AEG GEF BEF ∠=︒−∠−∠即可判断D 选项．【详解】解：90G MPN ∠=∠=∠︒，GE MP ∴∥，故A 选项不符合题意；30EFG ∠=︒，18030150EFN ∴∠=︒−︒=︒，故C 选项符合题意；过点F 作FH AB ∥，如图，∥AB CD ，FH CD ∴∥，45HFN MNP ∴∠=∠=︒， 15045105EFH ∴∠=︒−︒=︒，FH AB ∥，18010575BEF ∴∠=︒−︒=︒；故B 选项不符合题意；60,75GEF BEF ∠=∠=︒︒，180607545AEG ∴∠=︒−︒−︒=︒，45AEG PMN ∴∠=∠=︒，故D 选项不符合题意．故选：C ．8．如图，在矩形ABCD 中，连接AC ，分别以点A 和C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交CD 于点E ，交AB 于点F ．若45CD CA =，10AC =，则线段BF 的长为（ ）A ．54B ．74C ．34D ．3【答案】B【分析】本题考查了作图−本作图得到152AO CO AC ===，EF AC ⊥，由于CD AB ∥，则BAC ACD ∠=∠，所以4cos cos 5BAC ACD ∠=∠=，根据余弦的定义，在Rt ABC △中求出AB ，在Rt AOF 中求出AF ，然后计算AB AF −即可，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．【详解】解：由作法得EF 垂直平分AC ，设垂足为O 点，如图，152AO CO AC ∴===，EF AC ⊥， 90AOF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，//CD AB ∴， BAC ACD ∴∠=∠，45CD CA =， 4cos cos 5BAC ACD ∴∠=∠=， 在Rt ABC △中，4cos 5AB BAC AC ∠==， 4410855AB AC ∴==⨯=， 在Rt AOF 中，4cos 5OA FAO AF ∠==， 52544AF OA ∴==， 257844BF AB AF ∴=−=−=． 故选：B ．9．如图，ABC 内接于O ，8AC BC ==，AD 是O 的直径，连结BD ，AE 平分BAC ∠交BD 于E ，若2DE =，则O 的半径为（ ）A ．92B ．133C ．174D ．5【答案】B【分析】过点C 作CK 垂直于点AB ，交AE 于点G ，交O 于点H ，连接AH ，易得CH 为O 的直径，根据圆周角定理，推出AOG ADE △∽△，求出OG 的长，圆周角定理结合角平分线的性质，推出AH GH =，设半径为r ，在Rt CAH △中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可．【详解】解：过点C 作CK 垂直于点AB ，交AE 于点G ，交O 于点H ，连接AH ，∵AC BC =，∴CK 为线段AB 的中垂线，ACH BCH ∠=∠， ∵ABC 内接于O ，∴,,C O K 三点共线，ACH BCH BAH ∠=∠=∠， ∴CH 为O 的直径， ∴90CAH ∠=︒， ∵AE 平分BAC ∠， ∴CAE EAB ∠=∠，∴CAE ACH BAH EAB ∠+∠=∠+∠， 即：AGH HAG ∠=∠， ∴AH HG =， ∵AD 是O 的直径， ∴AB DB ⊥，2AD OA =， ∴CH BD ∥， ∴AOG ADE △∽△， ∴12OG AO DE AD ==， ∴112OG DE ==， 设半径为r ，则：2,CH r OH r ==， ∴1AH HG OH OG r ==−=−， 在Rt CAH △中，222CH AC AH =+，∴()222481r r =−−，解得：5r =−（舍去）或133r =； ∴O 的半径为133； 故选B ．【点睛】本题考查圆周角定理，三角形的外接圆，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，综合性强，难度较大，属于选择题中的压轴题，解题的关键是添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形．10．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n （0n ≥）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点()13，与点122⎛⎫ ⎪⎝⎭，都是函数=21+y x 图象的“3阶方点”．若y 关于x 的二次函数22()6y x n n =−+−的图象存在“n 阶方点”，则n 的取值范围是（ ）A ．615n ≤≤ B ．625n ≤≤ C ．23n ≤≤ D ．13n ≤≤【答案】D【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线x n =上移动，当二次函数图象过点()n n −，-和点()n n ，时为临界情况，求出此时n 的值，进而可得n 的取值范围．【详解】解：由题意得：二次函数22()6y x n n =−+−的图象上的顶点坐标为：()26n n −，，∵y 关于x 的二次函数22()6y x n n =−+−的图象存在“n 阶方点”，∴二次函数22()6y x n n =−+−的图象与以坐标为()()()(),,,,n n n n n n n n −−−−，，，的正方形有交点， 当二次函数22()6y x n n =−+−恰好经过()n n −，-时，则2560n n +−=，解得：1n =或65n =−（舍去）；如当二次函数22()6y x n n =−+−恰好经过()n n ，时，则260n n −−=，解得3n =或2n =−（舍去）；∴当13n ≤≤时，二次函数22()6y x n n =−+−的图象存在“n 阶方点”，故选D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．古人常说的“一刹那”大约是0.000005小时，这个数据用科学记数法表示是 小时． 【答案】6510−⨯【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为10n a −⨯，其中110a ≤<，n 的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键． 根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可． 【详解】解：由题意知，60.000005510−⨯=，故答案为：6510−⨯．12．已知点()()1122,,,x y x y 都在函数3y x b =−+（b 为常数）的图象上，若21x x >，则2y 1y （用“>”或“<”填空）． 【答案】<【分析】本题考查了一次函数值的大小比较，根据一次函数的增减性进行比较即可． 【详解】解：函数3y x b =−+中，30k =−<，y ∴随x 的增大而减小，21x x >，21y y ∴<， 故答案为：<．13．如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关S S ₁,₂，3S 中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是 ．【答案】13【分析】本题考查了根据题意列表或画树状图求概率，正确列表或画出树状图是解题关键．根据题意画出树状图，得到共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光有2种可能性，根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得由树状图得共有6种等可能性，其中能让两个小灯泡同时发光应同时闭合1S ，3S ，故有2种可能性，所以概率为2163=．故答案为：1314．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图幻方a b +的值是 ．【答案】21【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意可得11121511121117a a ba b ++=++⎧⎨++=++⎩解出,a b 即可．【详解】解：根据题意可得：11121511121117a a b a b ++=++⎧⎨++=++⎩，解得138a b =⎧⎨=⎩ 13821∴+=+=a b ．故答案为：21．15．如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，连接BE ，在BE 上取一点F ，使2BAF CBE ∠=∠，过点F 作FG BE ⊥交CD 于点G ，若2EG =，60BAF ∠≠︒时，则DE = ．1【分析】在BC 上取点K ，使BK CE =，连接AK 交BE 于H ，证明()SAS ABK BCE ≌，得BAK CBE ∠=∠，BK CE =，AK BE =，又2BAF CBE ∠=∠，可知BAH FAH ∠=∠，从而证明()SAS ABH AFH ≌，BH FH =，由GEF ABH ∽，得2163EF EG BH AB ===，设EF x =，则3BH x FH ==，7BE x AK ==，可得CE =Δ2ABK S AB BK AK BH =⋅=⋅，得73x x ⋅，可解得7CE =61DE CE =−=．【详解】解：在BC 上取点K ，使BK CE =，连接AK 交BE 于H ，如图：四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABKBCE ∠=∠=︒，BK CE =，()SAS ABK BCE ∴≌，BAK CBE ∴∠=∠，BK CE =，AK BE =， 2BAF CBE ∠=∠，2BAF BAK ∴∠=∠， BAH FAH ∴∠=∠，90BAK AKB ∠+∠=︒， 90CBE AKB ∴∠+∠=︒， 90AHB AHF ∴∠=︒=∠，AH AH =，()SAS ABH AFH ∴≌，BH FH ∴=，ABH CEF ∠=∠，90AHB GFE ∠=∠=︒， GEF ABH ∴∽，∴2163EF EG BH AB ===， 3BH EF ∴=，设EF x =，则3BH x FH ==，7BE x AK ∴==，CE ∴==BK ∴Δ2ABK S AB BK AK BH =⋅=⋅，73x x ∴=⋅， 42491961440x x ∴−+=，设249x y =，则214144049y y −+=，解得98y =±7CE ∴=== 6CE <，7CE ∴=61DE CE ∴=−=．1．【点睛】本题考查正方形性质，三角形相似的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理．证明三角形全等与相似是解题的关键．三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（1112cos301tan602−⎛⎫︒−−−︒ ⎪⎝⎭（2）解不等式组()3241213x x x x ⎧−−≥⎪⎨+>−⎪⎩．【答案】（1）1；（2）1x ≤【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的混合计算，负整数指数幂，解一元一次不等式组： （1）先计算特殊角三角函数值负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．【详解】解：（1112cos301tan602−⎛⎫︒−−−︒ ⎪⎝⎭2221=+−)221=−221=1=；（2）()3241213x x xx ⎧−−≥⎪⎨+>−⎪⎩①② 解不等式①得：1x ≤， 解不等式②得：4x <， ∴不等式组的解集为1x ≤．17．如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，延长CD 到F ，使DF BE =，连接AF 、EF 、AE ，若3AE =，求EF 的长．【答案】EF的长是【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质．根据正方形的性质和全等三角形的性质，可以得到AF 和AE 的长，FAE ∠的度数，然后根据勾股定理即可得到EF 的长． 【详解】解：四边形ABCD 是正方形，AD AB ∴=，ADF ABE =∠∠，在ADF △和ABE 中，AD ABADF ABE DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ADF ABE ∴≌，3AF AE ∴==，∠=∠DAF BAE ，90BAE EAD ∠+∠=︒， 90DAF EAD ∴∠+∠=︒，90FAE ∴∠=︒，EF ∴即EF的长是18．随着“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注，体育用品需求增加，某商店决定购进AB 、两种羽毛球拍进行销售，已知每副A 种球拍的进价比每副B 种球拍贵20元，用2800元购进A 种球拍的数量与用2000元购进B 种球拍的数量相同． (1)求A B 、两种羽毛球拍每副的进价；(2)若该商店决定购进这两种羽毛球拍共100副，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，若销售A 种羽毛球拍每副可获利润25元，B 种羽毛球拍每副可获利润20元，如何进货获利最大？最大利润是多少元？【答案】(1)A 种羽毛球拍每副的进价为70元，B 种羽毛球拍每副的进价为50元 (2)购进A 种羽毛球拍45副，B 种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用：（1）设A 种羽毛球拍每副的进价为x 元，根据用2800元购进A 种球拍的数量与用2000元购进B 种球拍的数量相同，列分式方程，求解即可；（2）设该商店购进A 种羽毛球拍m 副，设总利润为w 元，根据购买这100副羽毛球拍的资金不超过5900元，列一元一次不等式，求出m 的范围；再表示出w 与m 的函数关系式，根据一次函数的性质即可确定如何进货总利润最大，并进一步求出最大利润即可．【详解】（1）解：设A 种羽毛球拍每副的进价为x 元，则B 种羽毛球拍每副的进价为()20x −元 根据题意，得：2800200020x x =−， 解得：70x =，经检验70x =是原方程的解，702050−=（元），答：A 种羽毛球拍每副的进价为70元，B 种羽毛球拍每副的进价为50元； （2）解：设该商店购进A 种羽毛球拍m 副，总利润为w 元， 根据题意，得()70501005900m m +−≤， 解得45m ≤，且m 为正整数，()252010052000w m m m =+−=+，∵50>，∴w 随着m 的增大而增大，当45m =时，w 取得最大值，最大利润为54520002225⨯+=（元）， 此时购进A 种羽毛球拍45副，B 种羽毛球拍1004555−=（副），答：购进A 种羽毛球拍45副，B 种羽毛球拍55副时，总获利最大，最大利润为2225元．19．“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立，小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄（单位：岁）数据进行了收集、整理和分析，下面是部分信息．a ．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图（数据分成5组：5060,6070,7080,8090,90100x x x x x ≤<≤<≤<≤<≤<）b ．“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在6070x ≤<这一组的是：63 65 65 65 65 66 67 68 68 68 69 69 69 69，根据以上信息，回答下列问题： (1)补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；(2)直接写出“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据中位数；若以各组的组中值代表各组的实际数据，求出“华罗庚数学奖”得主获奖时年龄数据的平均数（结果保留整数）；(3)小华准备从“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在8090x ≤<和90100x ≤<这两组中任意选取两人了解他们的数学故事，求选取的两人年龄正好在同一组的概率． 【答案】(1)见解析(2)69，71(3)25【分析】本题考查统计图，求中位数，平均数，树状图法求概率：（1）用年龄在8090x ≤<这一组的人数除以所占的比例求出总数，进而求出7080x ≤<的人数，补全直方图即可；（2）根据中位数的定义，平均数的计算公式进行计算即可；（3）用,,A B C 表示8090x ≤<的三人，用,D E 表示90100x ≤<中的两人，画出树状图，利用概率公式进行计算即可．【详解】（1）解：310%30÷=，∴7080x ≤<的人数为30314328−−−−=， 补全直方图如图：（2）将数据排序后，第15个和第16个数据均为：69， ∴中位数为69； 平均数为：55365147588539527130⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈；（3）用,,A B C 表示8090x ≤<的三人，用,D E 表示90100x ≤<中的两人， 画出树状图如图：共有20种等可能的结果，其中两人是同一组的结果有8种， ∴82205P ==． 20．如图，直线y x b =+与反比例函数()0ky k x=>的图像交于()3,2A k −(1)求k ，b 的值；(2)根据函数图像，求当kx b x+>时，x 的取值范围． 【答案】(1)3k =，2b =−(2)10x −<<或3x > 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，（1）将点()3,2A k −代入反比例函数求出k ，将()3,1A 代入直线解析式求出b 值即可；（2）根据图像直接写出不等式的解集即可；理解和掌握两个函数图像的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点()3,2A k −在反比例函数()0ky k x=>的图像上， ∴()32k k =−， 解得：3k =， ∴()3,1A ，∵点()3,1A 在直线y x b =+上， ∴13b =+， 解得：2b =−；（2）∵直线2y x =−与反比例函数3y x=的图像交于点A ，B ， ∴32−=x x，解得：=1x −或3x =， ∴()1,3B −−，根据图像可知：当kx b x+>时，x 的取值范围为：10x −<<或3x >． 21．如图，ABC 中，10AB BC ==，以AB 为直径的O 交AC 于点D ，过点D 分别作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，延长DE 交O 于点G ，延长CF 分别交DG 于点H ，交O 于点M ．(1)求证：DF 是O 的切线； (2)若1tan 2A =，求GH ，HM 的长． 【答案】(1)见解析(2)43GH =，83HM = 【分析】本题考查了圆与三角形的综合问题，证明某直线是圆的切线，根据正切值求线段长度：（1）连接OD ，根据题意得到角度之间的关系，根据等边对等角可得到90CDF ADO ∠+∠=︒，即可得到结果；（2）连接,BD AM ，先根据正切值以及勾股定理得到边长，然后根据三角形全等以及三角形的面积可得到关系式，解得边长，即可求得结果； 熟练运用知识点是解题的关键．【详解】（1）证明：连接OD ，如图所示：，∵DF BC ⊥于点F ， ∴90DFC ∠=︒，则DFC △中90CDF C ∠+∠=︒， ∵在O 中OA OD =， ∴ADO A ∠=∠， ∴90CDF ADO ∠+∠=︒， ∴90ODF ∠=︒， ∴OD DF ⊥， ∴DF 是O 的切线；（2）解：连接,BD AM ，如图所示：，∵AB 为O 的直径， ∴90ADB ∠=︒， ∵1tan 2A =， 则在t R ABD 中12BD AD =， 设BD m =，则2AD m =， 则在t R ABD 中()222210m m +=，∴m =BD =AD =， ∵DE AB ⊥于点E ，∴4DE ==，则4EG =， ∵在ABC 中，AB CB =，BD ⊥， ∴等腰三角形中三线合一，即=DBF DBE ∠∠， 又∵DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，在DBE DBF △和△中，90DEB DFB DBF DBE DB DB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS DBE DBF ≌， ∴4DF DE ==，则2BE ===，设EH x =，BH y =， ∵1122BDH S BH DF DH BE =⋅=⋅△， ∴()424y x =+，即24y x =+，又∵t R BEH 中224x y +=，∴83103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或02x y =⎧⎨=⎩（舍去），则83EH =，103BH =， ∴84433GH EG EH =−=−=，∵在AMC 和BDC 中，M CDB ∠=∠，C C ∠=∠， ∴AMC BDC △∽△， ∴CM AC CD BC == ∴16CM =，∴108161033HM CM CB BH =−−=−−=． 22．高速隧道是为了更好地适应地形、保护环境、节省土地和提高通行效率等方面的需要，除此之外高速隧道还有重要的战略意义．如图所示，某高速隧道的下部近似为矩形OABC ，上部近似为一条抛物线．已知10OA =米，1AB =米，高速隧道的最高点P （抛物线的顶点）离地面OA 的距离为10米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)若在高速隧道入口的上部安装两个车道指示灯E ，F ，若平行线段EF 与BC 之间的距离为8米，则点E 与隧道左壁OC 之间的距离为多少米？ 【答案】(1)29181255y x x =−++(2)点E 与隧道左壁OC 之间的距离为103米． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线解析式，矩形的性质、坐标与图形等知识点等知识，掌握待定系数法和表示出点E 的解析式是解题的关键．（1）先根据坐标系确定点C P B ，，的坐标，然后用待定系数法即可解答；（2）先根据题意确定点E 的纵坐标，然后代入解析式求得点E 的横坐标即可解答．【详解】（1）解：由题意可得：()()()0,15,1010,1C P B ，，， 设抛物线的解析式为：2y ax bx c =++， 则有：110255110010c a b c a b c=⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，解得：9251851a b c ⎧=−⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴29181255y x x =−++． （2）解：∵平行线段EF 与BC 之间的距离为8米，矩形OABC 且1AB =， ∴点E 到x 轴的距离为9且在第一象限， ∴点E 的纵坐标为9， ∴291891255x x =−++，解得：103x =或4053x =>（舍去）． ∴点E 与隧道左壁OC 之间的距离为103米． 23．如图，矩形ABCD 中，AD AB >，点P 是对角线AC 上的一个动点（不包含A 、C 两点），过点P 作EF AC ⊥分别交射线AB 、射线AD 于点E 、F ．(1)求证：AEF BCA △∽△；(2)连接BP ，若BP AB =，且F 为AD 中点，求APPC的值； (3)若2=AD AB ，移动点P ，使ABP 与CPD △相似，直接写出AFAB的值． 【答案】(1)答案见解析(2)2354【分析】（1）矩形的性质，得到90ABC FAE ∠=∠=︒，同角的余角相等，得到AEF ACB ∠=∠，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到E BPE ∠=∠，得到AB BP BE ==，设BC 交FE 于点G ，证明AFE BGE ∽，得到12BG AF =，证明AFP CGP ∽，列出比例式求解即可；（3）分ABP CDP ∽△△，ABP CPD ∽两种情况进行讨论求解． 【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是矩形，EF AC ⊥，90ABC FAE ∴∠=∠=︒，90APE ∠=︒， 90AEF EAC ∴∠+∠=︒，90BCA EAC ∠+∠=︒， AEF BCA ∴∠=∠， AEF BCA ∴∽；（2）BP AB =，BAP BPA ∴∠=∠，90BAP E BPA BPE ∠+∠=︒−∠+∠，E BPE ∴∠=∠，12AB BP BE AE ∴===， 设BC 交FE 于点G ，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴∥，AD BC =， AFE BGE ∴∽，12BG BE AF AE ∴==， 12BG AF ∴=， 1122AF AD BC ∴==， 34CG BC BG AD ∴=−=， AD BC ∥，AFP CGP ∴∽，122334ADAP AF PC GC AD ∴===；（354．理由如下：四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴∥，AD BC =，AB CD =，①当ABP CDP ∽△△时，1AP ABCP DC==， ∴P 是AC 的中点，AD BC ∥，ACB FAP ∴∠=∠， tan tan ACB FAP ∴∠=∠，即12PF AB AB AP BC AD ===， 设PF a =，则2AP a =，AF ∴，4AC a =，AC AB ==， AB ∴=，54AF AB ==；②当ABP CPD ∽时，AP ABCD CP=， AP CP AB CD ∴⋅=⋅，设AB CD x ==，AP t =，则2AD BC x ==，AC =，CP t ∴=−，2)t t x ∴−=，解得x =，AB ∴=， 由①知12PF AB AB AP BC AD ===， 1122PF AP t ∴==，AF ∴=，AFAB∴==AF AB ∴=54． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键．24．已知：在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线=-3y x +与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =−++经过B 、C 两点，与x 轴的另一交点为点A ．(1)如图1，求抛物线的解析式；(2)如图2，点D 为直线BC 上方抛物线上一动点，连接AC CD 、，设直线BC 交线段AD 于点E ，CDE 的面积为1S ACE ，的面积为2S ，当12S S 最大值时，求点D 的坐标； (3)如图3，在（2）的条件下，连接CD BD 、，将BCD △沿BC 翻折，得到BCF △（点D 和点F 为对应点），直线BF 交y 轴于点P ，点S 为BC 中点，连接PS ，过点S 作SP 的垂线交x 轴于点R ，在对称轴TH 上有一点Q ，使得PQB △是以PB 为直角边的直角三角形，求直线RQ 的解析式． 【答案】(1)223y x x =−++(2)D （32，154）(3)直线RQ 的解析式为254544y x =−或37333840y x =−+ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数图象上的点的坐标特征，相似三角形的性质是关键； （1）利用待定系数法解答即可；（2）过点A 作x 轴的垂线交BC 的延长线于点M ，过点D 作y 轴平行线交BC 于点N ，利用相似三角形的判定与性质得到DE DNAE AM=，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质得到12S DE DN S AE AM ==，设()223D t t t −++，，则()3N t t −+，，进而求得线段DN ，求出线段4MA =，再利用配方法解答即可；（3）利用分类讨论的方法分两种情形讨论解答：①当90FBQ ∠︒=时，利用待定系数法求得直线PS BF SR PQ ,,,的解析式，进而求得点R ，Q 的坐标，再利用待定系数法解答即可；②当90BPQ ∠=︒时，利用①中的方法解答即可．【详解】（1）解：令0x =，则3y =，∴()03C ，， 令0y =，则=3x ，∴()30B ，， 把()30B ，和()03C ，代入抛物线解析式中得：3930c b c =⎧⎨−++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =−++；（2）过点A 作x 轴的垂线交BC 的延长线于点M ，过点D 作y 轴平行线交BC 于点N ，如图，∵DN MA ∥，∴AME DNE MAE NDE ∠∠∠∠==，， ∴DEN AEM ∽， ∴DE DNAE AM=， ∵CDE 中DE 边上的高与ACE △中AE 边上的高相同，∴12S DE DNS AE AM==，设()223D t t t −++，，则()3N t t −+，， ∴()()22-23--3=-3DN t t t t t =++++，把=1x −代入3y x =−+中，得：4y =，∴()-14M ，， ∴4MA =，∴2212313994421616S DN t t t S AM −+⎛⎫===−−+≤ ⎪⎝⎭， ∴当32t =时，12S S 有最大值916， ∴D （32，154）；（3）①当90FBQ ∠=︒时，如图，由（2）知：31524D ⎛⎫⎪⎝⎭，，∵点D 和点F 关于直线BC 对称， ∴3342F ⎛⎫− ⎪⎝⎭，．∴直线BF 的解析式为2655y x =−+，令=0x ，则65y =， ∴ 605P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，根据题意可知：3322S ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴直线PS 的解析式为1655y x =+． ∴直线RS 的解析式为59y x =−+，令0y =，则95x =．∴905R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ∵直线BF 的解析式为2655y x =−+，∵90FBQ ∠︒=， ∴直线BQ 的解析式为51522y x =−． ∵()22=-23=-14y x x x ++−+， ∴抛物线对称轴TH 的解析式为1x =，当1x =时， 5151522y =⨯−=−，∴()15Q −，． 设直线RQ 的解析式为y kx b =+，∴5905k b k b +=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得254454k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，∴直线RQ 的解析式为254544y x =−； ②当90BPQ ∠=︒时，∵直线BF 的解析式为2655y x =−+，90BPQ ∠=︒，∴直线PQ 的解析式为5625y x =+， ∵抛物线对称轴TH 的解析式为1x =， ∴当1x =时，3730y =， ∴ 37130Q ⎛⎫⎪⎝⎭，．设直线RQ 的解析式为y mx n =+，∴3710905m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得37833340m n ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线RQ 的解析式为37333840y x =−+． 综上，直线RQ 的解析式为254544y x =−或37333840y x =−+.。

2024年中考数学考前押题密卷(包头卷)(全解全析)

2024年中考数学考前押题密卷(包头卷)(全解全析)

2024年中考考前押题密卷（包头卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．计算()23ab 的结果是（）A ．22a bB ．23a b C ．26a b D ．6ab 【答案】C【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，根据相应运算法则计算即可．【详解】解：()2326ab a b =；故选C ．2．不等式组31510x x -≤⎧⎨+≥⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．先解出不等式组的解集，将解集表示到数轴上，做出选择即可．【详解】解：31510x x -≤⎧⎨+≥⎩①②解不等式①得：2x ≤，解不等式②得：1x ≥-，∴原不等式组的解集为：12x -≤≤，∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：故选：B ．3．2024年1月3日，我国自主研制的60AG E 电动飞机首飞成功．60AG E 的最大平飞速度为218km /h ，航程1100000米，1100000用科学记数法可以表示为（）A ．71.110⨯B ．70.1110⨯C ．61.110⨯D ．51110⨯【答案】C【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为比原数的整数位数少的正整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：61100000 1.110=⨯．故选：C ．4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点C 在直线1l 上．若126∠=︒，12l l ，则2∠的度数为（）A ．54︒B ．56︒C ．64︒D ．74︒【答案】C【分析】本题考查平行线的性质，先用平角的定义求出∠3，再运用平行线的性质得出∠2即可．掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：∵在ABC 中，90ACB ∠=︒，126∠=︒，∴3180164ACB ∠=︒-∠-∠=︒，又∵12l l ，∴2364∠=∠=︒．故选：C5．六张完全相同的卡片背面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，将正面朝上放在桌面上，从中随机抽取一张，即是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）A．56B．23C．12D．13【答案】B【分析】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，事件A的概率()mP An=是解题关键．也考查了等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质．由六张完全相同的卡片的正面分别画有等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有圆形、矩形、菱形、正方形，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解： 等腰直角三角形、圆形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有圆形、矩形、菱形、正方形，∴随机抽取一张，即是轴对称图形又是中心对称图形的概率是42 63 =，故选：B．6．下列由若干个棱长相等的立方体搭成的几何体中，左视图为下图的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了三视图，根据左边看到的视图是左视图，逐项分析判断，即可求解．【详解】A的左视图为，故不正确；B的左视图为，故不正确；C的左视图为，故正确；D 的左视图为，故不正确；故选C ．7．如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形OABC ．若1AB BC ==，AOB α∠=，则2OC 的值为（）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+【答案】A【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，先解Rt ABO △得到1sin sin AB OB αα==，再在Rt OBC △中，由勾股定理得2222221111sin sin OC BC OB αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭．【详解】解：在Rt ABO △中，1sin sin AB OB αα==，在Rt OBC △中，由勾股定理得2222221111sin sin OC BC OB αα⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，故选：A ．8．如图，直线33y -与坐标轴交于点A 、B ，过点B 作AB 的垂线交x 轴于点C ，则点C 的坐标为（）A ．()33,0-B ．()6,0-C ．()3,0-D ．()3,0【答案】A【分析】直线33y x =-与坐标轴交于点A 、B ，得到()()3,0,0,3AB -,结合CB AB ⊥，得到ACB ABO ∠=∠，利用正切函数计算OC 即可，本题考查了图象于坐标轴的交点，正切函数的应用，熟练掌握直角三角形的特征和正切函数是解题的关键．【详解】∵直线33y x =-与坐标轴交于点A 、B ，∴()()3,0,0,3AB -,∴3,3AO OB ==,∴3tan 3OA ABO OB ∠==,∵CB AB ⊥，CO OB ⊥，∴90ACB BAO ABO ∠=︒-∠=∠，∴3tan tan 3OB ACB ABO OC ∠=∠==，解得33OC =,∴()33,0C -，故选：A ．9．如图，O 5AB 与CD 为O 的两条平行弦．若45CDE ∠=︒，2AD =，则弦BE 的长为（）A 5104B 522C ．32D 352【答案】C【分析】连接OC ，OE ，BC ，CE ，过点C 作CH BE ⊥于H ，由AB CD ∥可得BC 的长，由45CDE ∠=︒，可得相关圆周角和圆心角的度数，推出OCE △是等腰直角三角形，从而求出CE 的长，再用两次勾股定理可求出BE 的长．【详解】连接OC ，OE ，BC ，CE ，过点C 作CH BE ⊥于H ，AB CD ∥，∴»»BC AD =，∴BC AD =，2AD =，∴2BC AD ==，2COE CDE ∠=∠，45CDE ∠=︒，∴90COE ∠=︒，OC OE =，5=OC ，∴2210CE OC OE =+=，CH BE ⊥，∴222+=BH CH BC 45CBE CDE ∠=∠=︒，∴222BH CH BC ===，222EH CH EC +=，∴()()2210222EH =-=，∴32BE BH CH =+=，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰直角三角形，勾股定理，其中作辅助线是解题的关键．10．如图，反比例函数y x=的图象上有A ，B 两点，过点B 作BD y ⊥轴于点D ，交OA 于点C ．若2AC OC =，BOC 的面积为2，则k 的值为（）A ．92B ．92-C ．72D ．72-【答案】B【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义．解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．作BE x ⊥轴于点E ，AF y ⊥轴于点F ，AG x ⊥轴于点G ，设点(),B a b ，()00a b ，，则点()0,D b ，根据点B 的坐标可得k ab =，根据2AC OC =，可得点A 坐标为1,33a b ⎛⎫⎪⎝⎭，根据BOC 的面积为2，可得6AOB S =V ，而AOB AFOG AOF BOE BEGA S S S S S =+-- 矩形梯形，用含a ，b 的代数式代入即可求出92ab =-，从而得到k 的值．【详解】解：作BE x ⊥轴于点E ，AF y ⊥轴于点F ，AG x ⊥轴于点G ，如图所示：设点(),B a b ，()00a b ，，则点()0,D b ，∴k ab =，∵2AC OC =，∴3AO OC =，∵BD y ⊥轴，∴BD OG ∥，∴2AH ACGH OC==，∴2AH GH =，∴33AG GH b ==，∴点A 坐标为1,33a b ⎛⎫⎪⎝⎭，∵3AO OC =，且2BOC S = ，∴36AOB BOC S S == ，∵AOB AFOG AOF BOE BEGA S S S S S =+-- 矩形梯形()111111333233232b b a a a b a b b a ⎛⎫=-+--⋅+⨯⋅+⋅ ⎪⎝⎭43ab =-，即463ab -=，∴92ab =-，∴92k ab ==-．故选：B ．请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题111x -x 的取值范围是．【答案】1x ≥【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．根据二次根式有意义的条件可知10x -≥，求解即可．【详解】解：若式子1x -在实数范围内有意义，则有10x -≥，解得1x ≥．故答案为：1x ≥．12．已知方程2460x mx -+=的一根为2，则m =．【答案】11【分析】已知一元二次方程的一根，求方程中某个参数，将根代入即可【详解】由题意得：242260m ⋅-+=，解得11m =故答案为11【点睛】本题主要考查了一元二次方程中方程得根与其系数的关系，掌握其方法是关键13．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，在以AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立的平面直角坐标系中，将Rt ABC 绕点B 顺时针旋转，使点A 旋转至y 轴的正半轴上的A '处，若3CO =，则阴影部分面积为．【答案】3π【分析】本题主要考查了求扇形面积、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、解直角三角形，坐标与图形等知识点，先根据等腰直角三角形的性质求出36OC OA OB AB ====，，32AC BC ==，由旋转的性质得到6BA BA '==，解Rt A OB '△求出30OA B '∠=︒，进一步求得旋转角为60︒，由A BC ABC ABA CBC ABA CBC S S S S S S S ''''''=+--=- 阴影扇形扇形扇形扇形，即可求出阴影部分的面积．【详解】解：90ACB ∠=︒ ，AC BC =，点O 为AB 的中点，3CO =，∴36OC OA OB AB ====，，∴32AC BC ==，ABC 绕点B 顺时针旋转，使点A 旋转至y 轴正半轴上的A '处，ABC ∴ ≌A BC ''△，∴6BA BA '==，∴2BA OB '=，在Rt A OB '△中，sin 12OB OA B A B '∠=='，∴30OA B '∠=︒，∴60A BA '∠=︒，即旋转角为60︒，∴A BC ABC ABA CBC S S S S S ''''=+-- 阴影扇形扇形ABA CBC S S ''=-扇形扇形()226032606360360ππ⨯⨯=-63ππ=-3π=，故答案为：3π．14．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，其顶点为P ，连接AP ，若12AB =，10AP =，则a 的值是．【答案】29-【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，勾股定理，过点P 作PH AB ⊥于H ，则162AH BH AB ===，利用勾股定理求出228PH AP AH =-=，设()8P m ，，则()60A m -，，则抛物线解析式为()28y a x m =-+，把点A 坐标代入解析式中求解即可．【详解】解：如图所示，过点P 作PH AB ⊥于H ，则162AH BH AB ===，∵10AP =，∴228PH AP AH =-=，设()8P m ，，则()60A m -，，则抛物线解析式为()28y a x m =-+，∴()2680a m m --+=，解得29a =-，故答案为：29-．15．如图，点O 是正五边形ABCDE 和正三角形AFG 的中心，连接AD ，EF 交于点P ，则APE ∠的度数为°．【答案】84【分析】本题考查正多边形和圆，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握正三角形、正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的前提．根据正多边形的中心角的计算方法分别求出，72COD ∠=︒，120FAG ∠=︒，进而求出COF ∠的度数，由圆周角定理和三角形内角和定理即可求出答案．【详解】解：如图，连接OC 、OD 、OF 、OG ，五边形ABCDE 是O 的内接正五边形，360725COD °\Ð==°，36AFE ∴∠=︒，AFG 是O 的内接正三角形，3601203FOG ︒∴∠==︒，根据对称性可知，1(12072)242COF DOG ∠=∠=⨯︒-︒=︒，1()2FAD COF COD ∴∠=∠+∠1(2472)2=⨯︒+︒48=︒，APE FAD AFE∴∠=∠+∠4836=︒+︒84=︒，故答案为：84．16．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，点D ，E 在线段BC 上，且45DAE =︒∠，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒后得到线段AF ，连接BF ，EF ．给出以下结论：①AED AEF ≌△△；②ABE ACD ≌；③222BE DC DE +=；④2BEBF EF AB++=其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）【答案】①③④【分析】根据旋转的性质即可以及SAS 即可判断①；②中的两个三角形只有一条边和一个角相等，不能判定全等；根据全等的性质以及勾股定理即可判断③；根据等腰直角三角形的性质即可判断④．【详解】解：∵ABC 为直角三角形，AB AC =，∵45ACB ABC ∠=∠=︒，∵线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒后得到线段AF ，∴AD AF =，90DAF ∠=︒，∵45DAE =︒∠，∴45FAE DAF DAE =∠-∠=︒∠，在AED △和AEF △中，AD AF DAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS AED AEF △△≌，故①正确；在ABE 和ACD 中，只有45ABE ACD ∠=∠=︒，AB AC =，两个条件不能判定全等，故②不正确；∵AED AEF ≌△△，∴DE EF=∵90DAF BAC ∠=∠=︒，∴DAF BAD BAC BAD ∠-∠=∠-∠，即BAF CAD ∠=∠，在ABF △和ACD 中，AB AC BAF CAD AF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABF ACD ≌V △，∴45ABF ACD ∠=∠=︒，DC BF =，∵=45ABC ∠︒，∴90FBE ABF ABC ∠=∠+∠=︒，∴222EF BE BF =+，∴222DE BE DC =+，故③正确；∵ABC 为直角三角形，AB AC =，∴222AB AC BC +=，即222AB BC =，整理得：2BC AB=，∵BC BE DE CD BE EF EF =++=++，∴2BE BF EF AB++=，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等的性质和判定，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应边相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，全等三角形对应边相等，对应角相等．三、解答题17．计算：()()()2232331-．【答案】523-+【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，运用平方差公式以及完全平方公式进行运算即可求解．【详解】解：()()()222322331+---()()222233231=---+893231=--+-523=-+18．解分式方程：511x x=+--．【答案】4x =【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程变形后去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：33511x x x =+--方程两边同乘()1x -，得：，解得：4x =，检验：当4x =时，10x -≠，∴原分式方程的解为4x =．19．杭州第19届亚运会()19The thAsianGamesHangzhou 于2023年9月23日至10月8日举行．某中学八年级开展了“绿色、智能、节俭、文明”的亚运知识竞赛活动，分别从八年级（1）班、（2）班（两个班的人数相等）各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分：100分，得分不小于90分为优秀），并对数据进行了如下分析与整理：收集数据八年级（1）班成绩：82787670907387758485八年级（2）班成绩：76647563978185859678整理数据成绩6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤<八年级（1）班/名054m八年级（2）班/名2332平均数中位数方差优秀率八年级（1）班808038.810%八年级（2）班80n118.6p根据以上信息，回答下列问题．(1)填空：m=，n=，p=(2)如果该校八年级共有800名学生，请估计该校八年级竞赛成绩达到优秀的学生人数．(3)根据以上数据，请你判断哪个班学生竞赛成绩更好，并说明理由．【答案】(1)1；79.5；20%(2)120名(3)八年级（1）班，见解析【分析】本题主要考查了求一组数据的中位线，根据样本估计总体，解题的关键是熟练掌握相关的定义．（1）根据中位线定义，优秀人数除以总人数求出优秀率即可；（2）根据样本估计总体即可；（3）根据平均数、中位线、方差进行判断即可．【详解】（1）解：10541m=--=，八年级（2）班成绩从小到大排序：63，64，75，76，78，81，85，85，96，97，则排在第5的是78，第6的是81，∴中位数788179.52n+==；八年级（2）班的优秀率为：2100%20% 10⨯=．（2）解：1280012020+⨯=（名）．答：估计该校八年级竞赛成绩达到优秀的学生为120名．（3）解：八年级（1）班学生成绩更好．理由：八年级（1）班和（2）班学生竞赛成绩平均数相同，八年级（1）班中位数较高，说明成绩好的较多，八年级（1）班成绩方差较小说明学生成绩更稳定，故八年级（1）班成绩更好．（答案不唯一，合理即可）20．如图，旗杆AC上有一面宽为AB的旗子．,,C D F在同一水平线上，小明在距旗杆6m的点D处测得点B 的仰角为53︒，随后小明沿坡角（EDF ∠）为30︒的斜坡走了2m 到达点E 处，测得点A 的仰角为45︒．(1)求斜坡的高度EF 的长；(2)求旗面宽AB 的长度（参考数据：3 1.73,sin 530.80,cos530.60,tan 53 1.33≈︒≈︒≈︒≈，结果精确到0.1m ）．【答案】(1)斜坡的高度EF 的长为1m ；(2)旗面宽AB 的长约为0.8m ．【分析】本题考查了解直角三角形的应用：仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）利用含30︒的直角三角形的性质可得1EF =米；（2）过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，得四边形EFCG 为矩形，从而得1CG EF ==，63EG FC ==+，再在Rt AEG △中，利用锐角三角函数的定义求出AG 的长，最后在Rt BCD 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】（1） 在Rt DEF 中，302EDF DE ∠=︒=，，112EF DE ∴==，由勾股定理223DF DE EF =-=．∴斜坡的高度EF 的长为1m ；（2）过点E 作EG AC ⊥，垂足为G ，由题意得：90EGC EFC ACF ∠=∠=∠=︒，即四边形EFCG 为矩形，则EF CG FC EG ==，，1CG EF ∴==，6DC = ，63EG FC DF CD ∴==+=+，在Rt AEG △中，45,tan AGAEG AEG EG∠=︒∠=tan 4563AG EG EG ∴=⋅︒==+，在Rt BCD 中，53,tan BC BDC BDC CD∠=︒∠=，tan 536tan 53BC DC ∴=⋅︒=︒，6316tan 53AB AG CG BC ∴=+-=++-︒7 1.7361.330.8≈+-⨯≈（m ），∴旗面宽AB 的长约为0.8m ．21．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．莫小贝按照政策投资销售本市生产的一种品牌衬衫．已知这种品牌衬衫的成本价为每件120元，出厂价为每件165元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：y ＝﹣3x +900．（1）莫小贝在开始创业的第1个月将销售单价定为180元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设莫小贝获得的利润为w （元），当销售单价为多少元时，每月可获得最大利润？（3）物价部门规定，这种品牌衬衫的销售单价不得高于250元，如果莫小贝想要每月获得的利润不低于19500元，那么政府每个月为他承担的总差价最少为多少元？【答案】（1）政府这个月为他承担的总差价为16200元；（2）当销售单价定为210元时，每月可获得最大利润24300元；（3）销售单价定为250元时，政府每个月为他承担的总差价最少为6750元．【分析】（1）把x=180代入y=-3x+900求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；（2）由总利润=销售量•每件纯赚利润，得w=（x-120）（-3x+900），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；（3）令-3（x-210）2+24300=10450，求出x 的值，求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p 元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．【详解】解：（1）当x ＝180时，y ＝﹣3x +900＝﹣3×180+900＝360，360×（165﹣120）＝16200，即政府这个月为他承担的总差价为16200元．（2）依题意得，w ＝（x ﹣120）（﹣3x +900）＝﹣3（x ﹣210）2+24300∵a ＝﹣3＜0，∴当x ＝210时，w 有最大值24300．即当销售单价定为210元时，每月可获得最大利润24300元．（3）由题意得：﹣3（x ﹣210）2+24300＝19500，解得：x 1＝250，x 2＝170．∵a ＝﹣2＜0，抛物线开口向下，∴当170≤x ≤250时，w ≥19500．设政府每个月为他承担的总差价为p 元，∴p ＝（165﹣120）×（﹣3x +900）＝﹣135x +40500．∵k ＝﹣135＜0．∴p 随x 的增大而减小，∴当x ＝250时，p 有最小值＝6750．即销售单价定为250元时，政府每个月为他承担的总差价最少为6750元．【点睛】考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解.22．如图，AB 是O 的直径，AE 是O 的切线，点C 为直线AE 上一点，连接OC 交O 于点D ，连接BD 并延长交线段AC 于点E ．(1)求证：CAD CDE ∠=∠；(2)若6CD =，tan 2BAD ∠=O 的半径．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）由切线的性质得到90BAC ∠=︒，则90BAD CAD ∠+∠=︒，再由直径所对的圆周角是直角得到90B BAD ∠+∠=︒，则=B CAD ∠∠，再由等腰三角形的性质和对顶角相等进行推理即可；（2）先证明BAD AED ∠=∠，再根据正切的定义得到2AD DE=，证明DAC EDC △∽△，求出3262CE AC ==，，则32AE =，在Rt ABE △中，tan 2AB AEB AE ==∠，则6AB =，即可得到O 的半径为3．．【详解】（1）证明：∵AE 是O 的切线，∴90BAC ∠=︒，∴90BAD CAD ∠+∠=︒，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，∴90B BAD ∠+∠=︒，∴=B CAD ∠∠，∵OB OD =，∴OBD ODB ∠=∠，又∵ODB CDE ∠=∠，∴CDE CAD ∠=∠；（2）解：由（1）得90BAE ADB ADE ===︒∠∠∠，∴90ABE AEB ABD BAD ∠+∠=∠+=︒∠，∴BAD AED ∠=∠，在Rt ADE △中，tan tan 2AD AED BAD DE ===∠∠，∵DAC EDC C C ==∠∠，∠∠，∴DAC EDC △∽△，∴2CD AC AD CE CD DE ===，∴3262CE AC ==，，∴32AE AC CE =-=，在Rt ABE △中，tan 2AB AEB AE==∠，∴6AB =，∴O 的半径为3．【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角等等，灵活运用所学知识是解题的关键．23．【问题情境】如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC kBC =，CD 是AB 边上的高，点E 是DB 上一点，连接CE ，过点A 作AF CE ⊥于F ，交CD 于点G ．(1)【特例证明】如图1，当1k =时，求证：DG DE =；(2)【类比探究】如图2，当1k ≠时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时DG 与DE 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展运用】如图3，连接DF ，若34k =，3AC AE DG ==，，求DF 的长．【答案】(1)见解析(2)当1k ≠时，（1）中的结论不成立，此时DG kDE =，（或者DG k DE =），见解析(3)25【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）证明ADG CDE ≌，即可得到结论；（2）证明ADC ACB △∽△，则AD DC AC CB =，即可得到AD AC k DC BC ==，再证明ADG CDE △∽△，即可得到结论；（3）连接GE ，证明()HL AFC AFE ≌．则GC GE =，得到12DF CE =，由4DE =得到225GE DG DE =+=，则8CD CG DG ==＋，由勾股定理得到45CE =．即可得到答案．【详解】（1）证明：∵90ACB ∠=︒，AC BC =，CD 是AB 边上的高，∴90ADC BDC AD CD BD ∠=∠=︒==，．∵AF CE ⊥，∴90DAG AEF DCE AEF ∠+∠=∠+∠=︒．∴DAG DCE ∠=∠．∴ADG CDE ≌．∴DG DE=（2）当1k ≠时，（1）中的结论不成立，此时DG kDE =，（或者DG k DE=）理由如下：∵90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的高，∴9090ADC BDC ACD BAC B BAC ∠=∠=︒∠+∠=∠+∠=︒，．∴ACD B ∠=∠．∴ADC ACB △∽△．∴AD DC AC CB =∴AD AC k DC BC ==，∵AF CE ⊥，∴90DAG AEF DCE AEF ∠+∠=∠+∠=︒．∴DAG DCE ∠=∠．∴ADG CDE △∽△．∴DG kDE=（3）如图，连接GE ，∵AF CE ⊥，∴90AFC AFE ∠=∠=︒．∵AC AE AF AF ==，，∴()HL AFC AFE ≌．∴FC FE =．∴GC GE =．∵90CDE ACB ∠=∠=︒，∴12DF CE =，∵34DG DE =，3DG =∴4DE =，225GE DG DE =+=．∴5CG =∴8CD CG DG ==＋．由勾股定理得，2245CE CD DE =+=．∴25DF =．24．如图，抛物线2y x bx c =-++交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）坐标分别为()2,0-，()4,0，交y 轴于点C ．(1)求出抛物线解析式；(2)如图1，过y 轴上点D 作BC 的垂线，交线段BC 于点E ，交抛物线于点F ，当355EF =F 的坐标；(3)如图2，点H 的坐标是()0,2，点Q 为x 轴上一动点，点()2,8P 在抛物线上，把PHQ 沿HQ 翻折，使点P 刚好落在x 轴上，请直接写出点Q 的坐标．【答案】(1)228y x x =-++(2)()3,5或()27,271-+(3)()4,0-或()2,0【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）过点F 作x 轴的垂线交BC 于N ，交x 轴于M ，得出EFN MBN ∠=∠，根据三角函数求出3FN =，设()2,28F m m m -++，(),28N m m -+，求得11m =，23m =，327m =+，427m =-，其中()1,9F 和()27,127+-两点所对应的E 点不在线段BC 上，所以舍去；（3）分两种情况讨论：①如图所示，当点Q 位于x 轴负半轴时，过点P 作PM y ∥轴交x 轴于点M ，作PN x∥轴交y 轴于点N ，②如图所示，当点Q 位于x 轴正半轴时，过点P 作PM y ∥轴交x 轴于点M ，作PN x ∥轴交y 轴于点N ，根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求解；【详解】（1）解：将()2,0-，()4,0代入表达式得：4201640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：28b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为228y x x =-++；（2）过点F 作x 轴的垂线交BC 于N ，交x 轴于M ，∵FNE BNM ∠=∠，90FNE EFN BNM MBN ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFN MBN ∠=∠，在Rt BOC 中，90BOC ∠=︒，由勾股定理得：22224845BC OB OC =+=+=，∴cos cos OB EF EFN MBN BC FN ∠=∠==，即354545FN =，∴3FN =，∵()4,0B ，()0,8C ，∴直线BC ：28y x =-+，设()2,28F m m m -++，(),28N m m -+，∴()228283m m m -++--+=或()28²283m m m -+--++=，∴243m m -+=或243m m -+=-，解得：11m =，23m =，327m =+，427m =-，∴()1,9F 或()3,5或()27,127+-或()27,271-+其中()1,9F 和()27,127+-两点所对应的E 点不在线段BC 上，所以舍去，∴点F 的坐标为()3,5或()27,271-+；（3）分两种情况讨论：①如图所示，当点Q 位于x 轴负半轴时，过点P 作PM y ∥轴交x 轴于点M ，作PN x ∥轴交y 轴于点N ，则四边形OMPN 为矩形，∵()2,8P ，∴2NP OM ==，8ON PM ==，∵()0,2H ，∴826NH =-=，∴222226210PH NP NH =+=+=，由折叠可知：210PH HP '==，QP QP '=，∴()222221026OP P H OH =-=-'='，设OQ x =，∴6QP QP x '==+，2QM x =+，∵222P M Q M P Q +=，∴()()222826x x ++=+，∴4x =，∴Q 点的坐标为()4,0-；②如图所示，当点Q 位于x 轴正半轴时，过点P 作PM y ∥轴交x 轴于点M ，作PN x ∥轴交y 轴于点N ，由①得：210PH P H '==，P Q PQ '=，∴()222221026OP P H OH =-=-'='，设OQ m =，则6P Q PQ m '==+，2QM m =-，∵222P M Q M P Q +=，∴()()222286m m -+=+，∴2m =，∴Q 点的坐标为()2,0，综上所述，Q 点的坐标为()4,0-或()2,0．【点睛】本题为二次函数综合题，综合考查了二次函数的图象和性质，锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点及分类讨论思想的应用．。

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(山西卷)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(山西卷)

2024年中考数学考前押题密卷（山西卷）全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度零上126C ︒，记作+126C ︒，夜间平均温度零下150C ︒，应记作（ ） A ．+150C ︒ B ．150C −︒C ．+276C ︒D ．276C −︒【答案】B【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解． 【详解】解：平均温度零上126C ︒，记作+126C ︒，夜间平均温度零下150C ︒，应记作150C −︒， 故选：B ．2．博物馆作为文明交流的载体，是一个国家、一座城市宣传文明成就的重要窗口．如今，越来越多的人们走进博物馆近距离感受中国文化．下面是我省几家著名博物馆的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：是轴对称图形的是，故选B ．3．下面是某同学在作业中的计算摘录：①01a =，②235 a a a ⋅=，③2124−=−，④()323963()27x y xy x y −⋅=−，⑤2222x x x +=，⑥()3223a b a b =⋅，⑦4222()()bc bc b c −÷−=，其中计算正确的是（ ） A ．①②③④ B ．①③⑤⑦C ．②③④⑥D ．②④⑤⑦【答案】D【分析】根据零指数幂的运算法则判断①，根据同底数幂的乘法运算法则判断②，根据负整数指数幂的运算法则判断③，根据幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的运算法则判断④，根据合并同类项的运算法则判断⑤，根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断⑥，根据积的乘方，同底数幂的除法运算法则判断⑦．【详解】解：①()010a a =≠，原计算错误；②235 a a a ⋅=，原计算正确；③2211224−==，原计算错误； ④()3236333963()2727x y xy x y x y x y −⋅=−⋅=−，原计算正确； ⑤2222x x x +=，原计算正确； ⑥()3263a b a b =，原计算错误；⑦42222()()()bc bc bc b c −÷−=−=，原计算正确； 其中计算正确的是：②④⑤⑦．4．鲁班锁也叫八卦锁、孔明锁，是中国古代传统的土木建筑固定结合器，也是广泛流传于中国民间的智力玩具．如图1是拼装后的三通鲁班锁，如图2是拆解后的三通鲁班锁中的一块，则图2中木块的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】本题考查判断简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形，即可得答案，掌握主视图是从正面看到的图形，左视图是从左面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形是解题关键． 【详解】观察可知，图2中木块的主视图如下：，故选：A ．5．电动曲臂式高空作业车在高空作业时只需一个人就可操作机器连续完成升降、前进、后退、转向等动作，极大地减少了操作人员的数量和劳动强度．如图所示是一辆正在工作的电动曲臂式高空作业车，其中AB CD EF ∥∥，B C E D ∥．若60ABC ∠=︒，则DEF ∠的度数为（ ）A ．100︒B ．120︒C ．140︒D ．160︒【答案】B【分析】本题考查平行线的性质、邻补角的定义，延长AB 交DE 于点G ，由平行线的性质得到60A BGD BC ∠=︒∠=，根据邻补角的定义得180120BGE BGD ∠︒=︒−∠=，最后根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等． 【详解】解：延长AB 交DE 于点G ， ∵B C E D ∥，60ABC ∠=︒， ∴60A BGD BC ∠=︒∠=，∴60102180018BGE BGD ∠︒=︒==︒−∠︒−， ∵AB EF ∥，∴120DEF BGE ︒∠=∠=． 故选：B ．6．太原地铁“一号线”正在进行修建，预计2024年年底通车试运营，标志色为梦想蓝．现有大量的残土需要运输，某车队有载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆．该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准备新购进这两种卡车共6辆．若购进载重量为8吨的卡车a 辆，则a 需要满足的不等式为（ ）A ．8(5)10(76)166a a +++−≥B ．8(5)10(76)166a a +++−≤C ．810(6)166a a +−≥D ．810(6)166a a +−≤【答案】A【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据购进载重量为8吨的卡车a 辆，因为共6辆，所以载重量为10吨的卡车为()6a −辆，再结合“载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆,该车队需要一次运输残土不低于166吨”，进行列式，即可作答． 【详解】解：该车队需要一次运输残土不低于166吨 ∵该车队准备新购进这两种卡车共6辆． ∴载重量为10吨的卡车为()6a −辆，∵该车队需要一次运输残土不低于166吨,且载重量为8吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆 ∴则a 需要满足的不等式为8(5)10(76)166a a +++−≥ 故选：A7．如图，甲所示的是一款酒精浓度监测仪的简化电路图，其电源电压保持不变，0R 为定值电阻，R 为酒精气体浓度传感器(气敏电阻)，R 的阻值与酒精浓度的关系如图乙所示，当接通电源时，下列说法正确的是（ ）A ．当酒精浓度增大时，R 的阻值增大B ．当酒精浓度增大时，电压表的示数与电流表的示数的比值不变C ．当酒精浓度增大时，电流表的示数变小D ．当酒精浓度增大时，电压表的示数变小 【答案】B【分析】由图甲知定值电阻于传感电阻串联，电压表测量的是定值电阻的电压，根据图乙知，当酒精浓度增大时，传感R 的阻值减小，由欧姆定律可得电流中的变化，定值电阻两端电压的变化，再由串联电路的特点可得传感电阻两端电压的变化．本题主要考查了物理知识与反比例函数的综合应用，根据反比例函数的图象弄清传感器电阻于酒精浓度的关系是解决问题的关键．【详解】解：.A 由图乙知R 的阻值与酒精浓度是反比例函数，且图像在第一象限，R ∴的阻值随酒精浓度增大而减小，∴当酒精浓度增大时，R 的阻值减小，故本选项不符合题意；B.由图甲可知，定值电阻R 与气敏电阻串联，电压表测量定值电阻R 两端电压， ∴电压表的示数与电流表的示数的比值是定值电阻R 的值，故本选项符合题意；C.当酒精浓度增大时，R 的阻值减小，根据欧姆定律知，电路电流增大，电流表示数增大，故本选项不符合题意；D.当酒精浓度增大时，电路电流增大，电流表示数增大，据欧姆定律知，定值电阻R 两端电压增大，故本选项不符合题意． 故选：B ．8．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若6cm BC =，16cm AB =，水面BF 离桌面的高度为9.6cm ，则此时点C 离桌面的高度为（ ）A ．10cmB ．13.2cmC ．14.4cmD ．16cm【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C 作桌面的垂线CM ，垂足为点M ，交BF 于点N ；过点B 作桌面的垂线BP ，垂足为点P ；根据题意易得9.6cm BP MN ==，通过证明CNB APB ∽，求出 3.6BN =，再根据勾股定理求出 4.8CN ==，最后根据CM CN MN =+，即可求解．【详解】解：过点C 作桌面的垂线CM ，垂足为点M ，交BF 于点N ；过点B 作桌面的垂线BP ，垂足为点P ，∵水面BF 离桌面的高度为9.6cm ， ∴9.6cm BP MN ==， ∵,BF AP CM AP ⊥∥， ∴CN BF ⊥，∵90CBN ABF ABP ABF ∠+∠=∠+∠=︒， ∴CBN ABP ∠=∠， 又∵CNB APB ∠=∠， ∴CNB APB ∽， ∴BN BC BP AB =，即69.616BN =， 解得： 3.6BN =，根据勾股定理可得： 4.8CN =， ∴ 4.89.614.4cm CM CN MN =+=+=， 即此时点C 离桌面的高度为14.4cm ． 故选：C ．9．某项目化学习小组的同学在水中掺入酒精，充分混合后，放入冰箱冷冻室．根据实验数据作出混合液温度y （℃）随时间t （min ）变化而变化的图象．下列说法不正确的是（ ）A ．在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是混合液的温度．B ．混合液的温度随着时间的增大而下降．C ．当时间为19min 时，混合液的温度为7−℃D ．当1018t <<时，混合液的温度保持不变 【答案】B【分析】观察函数图象，通过函数图象中的信息对每一项判断即可解答．【详解】解：根据图象可知：在这个变化过程中，自变量是时间，因变量是混合液的温度， ∴A 项的说法正确， 故A 项不符合题意；根据图象可知：混合液的温度0~10小时之间随着时间的增大而下降，在10~18小时之间随着时间的增大混合液的温度保持不变，在18~20小时之间随着时间的增大混合液的温度减小， ∴B 项的说法不正确， 故B 项符合题意；根据图象可知：当时间为19min 时，混合液的温度为7−℃， ∴C 项的说法正确， ∴C 项不符合题意；根据图象可知：当1018t <<时，混合液的温度保持不变， ∴D 项的说法正确， 故D 项不符合题意； 故选B ．10．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成为圆形桌面如图①，餐桌两边AD 和BC 平行且相等，AB AD ⊥如图②，小华用皮尺量得 1.2m AC =，0.6m AB =，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加( )A ．26m 25π⎛ ⎝B ．26m 25π⎛ ⎝C ．23m 25π⎛ ⎝D ．26m 25π⎛ ⎝ 【答案】D【分析】将圆形补全，设圆心为O ，连接DO ，过点O 作OE AD ⊥于点E ，进而得出AD ，EO 的长以及CAD ∠，AOD ∠的度数，进而勾股定理求得AE ，根据AODAD AOD S S S=−弓形扇形，即可求解．【详解】解：将圆形补全，设圆心为O ，连接DO ，过点O 作OE AD ⊥于点E ，由题意可得出：90DAB ABC ∠=∠=︒，AC ∴是O 的直径，1.2AC =，0.6AB =，∴1sin 2AB ACB AC ∠== 30ACB ∴∠=︒，餐桌两边AB 和CD 30ACB DAC ∴∠=∠=︒，10.32EO AO ∴==，AE ∴=2AD AE ∴==， 30CAD D ∠=∠=︒， 120AOD ∴∠=︒，AODAD AOD S S S∴=−弓形扇形1200.60.610.33602π⨯⨯=−，325π=，∴桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加625π⎛ ⎝⎭平方米． 故选：D ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．的计算结果为 ．【答案】33【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．根据二次根式的乘法分配律计算即可．【详解】解：原式=3=故答案为：312．如图是由大小相同的正方形组成，第①个图形中有5个涂有阴影的正方形，第②个图形中有9个涂有阴影的正方形，第③个图形中有13个涂有阴影的正方形，…，按此规律摆下去，第n 个图形中共有 个涂有阴影的正方形．【答案】14n +/41n +【分析】本题主要考查了图形与数字的变化规律，通过分析图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系即可得出结论． 【详解】解：由图形可知：第一个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：1415+⨯=， 第二个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：1429+⨯=， 第三个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：14313+⨯=， ∴第四个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：14521+⨯=，第n 个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：14n +， 故答案为：14n +．13．如图，现有4张卡片，正面书写不同类型的变化，除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是 ．【答案】16【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【详解】解：把4张卡片从左向右分别记为A B C D 、、、， 画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中两张卡片呈现的变化都是物理变化的结果有2种，即AC 、CA ， ∴两张卡片呈现的变化都是物理变化的概率是21126=． 14．如图，在ABCD Y 中，60D ∠=︒．以点B 为圆心，以BA 的长为半径作弧交边BC 于点E ，连接AE ．分别以点,A E 为圆心，以大于12AE 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AE 于点O ，交边AD 于点F ，则OFOE的值为 ．【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义．证明BO AE ⊥，AO OE =，60BAO FAO ∠=∠=︒，再利用正切函数的定义求解即可．【详解】解：∵在ABCD Y 中，60D ∠=︒， ∴60ABC ∠=︒，AD BC ∥，由作图知BP 平分ABC ∠，BA BE =，∴ABE 是等边三角形，1302ABF EBF ABC ∠=∠=∠=︒， ∴BO AE ⊥，AO OE =， ∵AD BC ∥，∴30AFB EBF ∠=∠=︒， ∴30AFB ABF ∠=∠=︒， ∴AB AF =， ∵BO AE ⊥， ∴()11803030602BAO FAO ∠=∠=︒−︒−︒=︒，∴tan tan 60OF OFFAO OE AO==∠=︒=15．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，4BC =+P 为线段AB 上一动点，以PC 为折痕将四边形APCD 折叠得到四边形''A PCD ，''A D 与BC 交于点Q ，当'CQD 为直角三角形时，折痕PC 的长为 ．【答案】【分析】当90CQD '∠=︒时，过点P 作PM BC ⊥交于M ，可得45PCB ∠=︒，则PM CM =，再由4BC BM CM PM =++=+求出PM ，即可求PC ；当90QCD '∠=︒时，连接AC ，过点P 作PN AC ⊥交于点N ，可得45PCA ∠=︒，则PN NC =，再由4AC AN NC PN =++=+PN =求PC ．【详解】解：由折叠可知，PCD DCP '∠=∠，D D '∠=∠，60ABC ∠=︒，60D D '∴∠=∠=︒，四边形ABCD 是菱形， BC CD AD ∴==，如图1，当90CQD '∠=︒时，过点P 作PM BC ⊥交于M ，30QCD '∴∠=︒，1203075DCD '∴∠=︒+︒=︒，753045PCB ∴∠=︒−︒=︒，PM CM ∴=，在Rt PBM △ 中，=60B ∠︒，BM ∴，4BC BM CM PM =++=+PM ∴=PC ∴=当90QCD '∠=︒时，如图2，当90QCD '∠=︒时，连接AC ，过点P 作PN AC ⊥交于点N ，AB BC =，60ABC ∠=︒，ABC ∴是等边三角形，4AC BC ∴==+120BCD ∠=︒，12090210DCD '∴∠=︒+︒=︒， 1056045PCA ∴∠=︒−︒=︒，PN NC ∴=，在Rt APN 中，60PAN ∠=︒，AN ∴=，4AC AN NC PN ∴=++=+PN ∴=PC ∴=综上所述：PC 的长为，故答案为：三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（10分）（1(20113−⎛⎫−−−−− ⎪⎝⎭；（2）下面是王亮同学解方程2358224x x x +=−+−的过程，请阅读并完成相应任务．任务一：①以上求解过程中，第一步的依据是______；②王亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，整个解答过程． 从前一步到后一步的变形共出现______处错误： ③分式方程检验的目的是______．任务二：请你直接写出这个方程的正确解______． 【答案】（1）10−（2）任务一：①等式的性质；②二，3；③判定解是否是增根 任务二：32x =【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对符号，再计算加减即可； （2）先去分母，将分式方程转化成整式方程求解，然后检验即可．【详解】解：（1(2113−⎛⎫−−− ⎪⎝⎭91=−10=−；（2）任务一：①方程两边同乘以24x −，得()()32528x x ++−=，依据是等式的性质； ②第二步，()()32528x x ++−=，漏乘了项，应为365108x x ++−= ∴王亮同学的求解过程从第二步开始出现错误， 第三步，左边35x x +应为8x 不是2x ， 第四步，计算错误，应为2x =不是6x =，∴整个解答过程，从前一步到后一步的变形第二步、第三步、第四步共出现3处错误； ③分式方程检验的目的是判定解是否是增根． 任务二：解：方程两边同乘以24x −，得()()32528x x ++−=，365108x x ++−=．， 88106x =+−，32x =， 经检验：32x =是原方程的解． ∴原方程的解是32x =． 17．（8分）五四青年节前夕，某校开展了主题为“扬五四精神·展青春风采”的教育主题活动.为了解七、八年级学生的学习情况，从七、八年级中各随机抽取10名学生进行测试，成绩（百分制）统计如下： 七年级：98 96 86 85 84 94 77 69 59 94 八年级：99 96 73 82 96 79 65 96 55 96请根据以上数据，按要求补全数据描述、数据分析，并进行结论推断．(1)数据整理：根据上面得到的两组数据，分别绘制了如图所示的频数分布直方图，请补全八年级成绩的频数分布直方图．(2)数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如下表所示．表格中a的值为________，b的值为________．(3)结论推断：根据以上信息，对七、八两个年级各抽取的10名学生的测试成绩作出评价.（从“平均数”“中位数”“方差”这三个统计量中选择两个统计量进行评价）【答案】(1)见解析(2)84.2，89(3)见解析【分析】本题考查了补全频数分布直方图、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由成绩统计可得：八年级成绩在6070之间的有1人，在7080之间的有2人，由此补全八年级频数分布直方图即可；（2）根据平均数和中位数的定义计算即可；（3）根据平均数、中位数以及方差分析即可得出答案．【详解】（1）解：由成绩统计可得：八年级成绩在6070之间的有1人，在7080之间的有2人，补全八年级频数分布直方图如答图所示：（2）解：由题意得：9896868584947769599484.210a +++++++++==，8296892b +==， 故答案为：84.2，89；（3）解：答案不唯一，合理即可，从平均数来看：七年级抽取的10名学生成绩的平均数高于八年级抽取的10名学生成绩的平均数； 从中位数来看：八年级抽取的10名学生成绩的中位数高于七年级抽取的10名学生成绩的中位数； 从方差来看：七年级抽取的10名学生成绩的方差小于八年级抽取的10名学生成绩的方差， 说明七年级抽取的10名学生成绩波动小． 18．（9分）根据素材，完成活动任务：现木材市场的这种规格的围栏材料每根长为40dm ，价格为了深度参与学校蔬菜基地的建立，项目化小组打算自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏同时为了【答案】任务一：5 3 1；任务二：8根，1根，费用450元；任务三：5【分析】根据围栏材料不同裁剪方法，分别计算出需要的竖杠或横杠；利用方法②与方法③列出方程组求解即可；利用在单位时间内可以安装m 根竖杠或()7m −根横杠，所用的时间相同，建立分式方程，求解即可．【详解】任务一：5840=÷(根)方法①：当只裁剪8dm 长的竖杠时，最多可裁剪5根．()14015838−÷=， 方法②：当先裁剪下1根15dm 长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm 长的竖杠3根．()140215814−⨯÷=， 方法③：当先裁剪下2根15dm 长的横杠时，余下部分最多能裁剪8dm 长的竖杠1根． 任务二：设方法②需裁剪x 根，方法③需裁剪y 根，依据题意得：210325x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：81x y =⎧⎨=⎩． ()5081450⨯+=(元)．答：方法②和方法③各裁剪8根与1根40dm 长的围栏材料，才能刚好得到所需要的相应数量的用料，购买围栏材料的费用共需45元． 任务三：依据题意得25107m m=−，解得：5m =． 19．（7分）某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下：请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度AB ． 【答案】34.5m【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．延长CD 交BE 的延长线于点G ，过点C 作CH AB ⊥于点H ． 则四边形BGCH 是矩形，根据斜坡EF 的坡度3:4i =，可得3m DG =，4m EG =，从而得到40m CH BG ==．在Rt ACH 中，根据锐角三角函数可得30m AH ≈，即可求解．【详解】解：延长CD 交BE 的延长线于点G ，过点C 作CH AB ⊥于点H ． 则四边形BGCH 是矩形，∴BG CH =，CG BH =．∵5m DE =，坡度34DG i EG ==， ∴3m DG =，4m EG =， ∴ 4.5m BH CG CD DG ==+=．36m BE =，∴40m CH BG BE EG ==+=．在Rt ACH 中，tan AHACH CH∠=， 即tan 370.75AHCH︒=≈ ∴0.7540AH≈，则30m AH ≈， ∴30 4.534.5m AB AH BH =+=+=， ∴该居民楼的高度AB 为34.5m ．20．（8分）请阅读下面材料，并完成相应的任务．用“几何代数法”解分式方程．《几何原本》中的“几何代数法”是指用几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据．在意大利数学家斐波那契（约1170—1250）编写的《计算之书》中频繁运用了这种方法．例如，运用面积关系将分式方程转化为整式方程，从而求解分式方程．例：《计算之书》中记载了一道题，译文如下：一组人平分90枚硬币，每人分得若干，若再加上6人，平分120枚硬币，则第二次每人所得与第一次相同．求第一次分硬币的人数．设第一次分硬币的人数为x 人，则可列方程为901206x x =+．解：构造如图1所示的图形，BC x =，6CE =，矩形ABCD 的面积为90，矩形ABEF 的面积为120，则90CD x=，1206EF x =+．显然，CD EF =． 根据图形可知ABCD CEFD S BC CD BCS CE CD CE⋅==⋅矩形矩形．所以90120906x=−．（将分式方程转化成了整式方程）解得18x =．图1答：第一次分硬币的人数为18人． 任务：(1) 如图2，AB x =，2BC =，矩形ABDE 和矩形ACGH 的面积均为60，下列代数式可以表示边DF 的是___________．（多选） A ．60x B ．602x + C ．60602x x −+ D ．()1202x x +(2)如图3，AB x =，2BC =，矩形ACDE 的面积为60，矩形ABFH 的面积为20，5FI =，则可列方程为___________．(3)请仿照材料中的方法，通过构造图形，求分式方程2131x x =+−的解． 【答案】(1)C 、D (2)602052x x−=+(3)图见解析，5x =【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系列出表达式和分式方程是解题的关键． （1）根据题意表示出BD 、BF ，利用DF BD BF =−，即可解题； （2）根据BI BF FI −=列出分式方程即可．（3）根据分式方程构造图形，并根据图形的面积关系求解，即可解题． 【详解】（1）解：AB x =，2BC =，矩形ABDE 和矩形ACGH 的面积均为60，∴60BD x=，602BF CG x ==+，∴()606012022DF BD BF x x x x =−=−=++， 故选：C 、D ；（2）解：根据题意可列方程为：602052x x−=+， 故答案为：602052x x−=+； （3）解：构造如图所示的图形，BC x =，3CE =，1CG =， 矩形ABGH 的面积为1，矩形ABEF 的面积为2， 则23EF x =+，11GH x =−． 矩形ABGH 中，AB GH =，矩形ABEF 中，AB EF =， ∴EF GH =．根据图形可知ABEF EFHGS EF BE BES EF GE GE⋅==⋅矩形矩形．所以232113x +=−+．解得5x =． 21 .（9分）阅读理解：阅读以下内容，完成后面任务： 材料一“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事．如下即为其中较为经典的一则：古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学，物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从A 地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到B 地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连接AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小． 理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连接'AP ，BP '，B P ''， ∵直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上， ∴PB =______，P B '=______，（依据1______） ∴AP PB AP PB '+=+=______．在AP B ''△中，∵AB AP P B ''''<+，（依据2______）， ∴A AP PB P P B ''+<+，即AP PB +最小． 材料二的几何意义，并求它的最小值．几何意义：如图④，建立平面直角坐标系，点()0P x ，是x 轴上一点，则P 与点()01A ，P 与点()32B ，的距离，所求代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA PB +的最小值．任务一PB =______，P B '=______，依据1____________________________________ 依据2______________________________________ 任务二利用图④ 任务三的最小值． 【答案】任务一：PB '，P B ''，轴对称的性质，AB '，三角形三边关系； 【分析】由轴对称的性质和三角形三边关系解答即可：【详解】理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连接'AP ，BP '，B P ''， ∵直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上， ∴PB PB '=，P B P B '''=，（依据轴对称的性质） ∴AP PB AP PB AB ''+=+=．在AP B ''△中，∵AB AP P B ''''<+，（依据三角形三边关系）， ∴A AP PB P P B ''+<+，即AP PB +最小；故答案为：PB '，P B ''AB '，三角形三边关系； 任务二【答案】3√2【分析】设点A 关于x 轴对称点A '，则PA PA '=．因此，求PA PB +的最小值，只需求PA PB +的最小值，而点A 、B 间的直线段距离最短，所以PA PB '+的最小值为线段AB 的长度．为此，构造直角三角形A CB '，因为3A C '=，3CB =．所以由勾股定理得AB =【详解】设点A 关于x 轴对称点A ',作BC ⊥X 轴，A 'C ⊥Y 轴，交于点C ，在Rt∆A 'BC 中，A 'B 2=A 'C 2 +BC 2 =32+32A 'B=任务三5．系中点()0P x ，与点()12A ，、点()51B ，的距离之和，再根据勾股定理描出各点，利用勾股定理即可求解．=的值可以看成平面直角坐标系中点()0P x ，与点()12A ，、点()51B ，的距离之和， 如图所示，设点A 关于x 轴的对称点为A '，则PA PA '=，∴PA PB +的最小值，只需求PA PB '+的最小值，而点A '、B 间的直线距离最短， ∴PA PB '+的最小值为线段A B '的长度，∵点()12A ，，()51B ，， ∴()12A '−，，514A C '=−=，123BC =+−=，∴5A B '，的最小值为5． 22 .（11分）综合与实践 问题情境：在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形ABCD （如图1），其中2AB =，连接对角线AC ，且30DAC ∠=︒，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题：猜想证明：（1）如图2，“奋勇”小组将ADC △绕点D 旋转得到A DC ''，当点C '落到对角线AC 上时，A C ''与AD 交于点F ．试猜想线段CC '与AC '的数量关系，并加以证明；（2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取A C ''的中点E ，连接AE ，DE ，试判断四边形AEDC '的形状，并说明理由； 深入探究：（3）在ADC △绕点D 旋转的过程中，当DC AC '∥时，求点A 与点A '之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案．【答案】（1）CC AC ''=，理由见解析；（2）菱形，理由见解析；（3）6或【分析】（1）首先根据矩形的性质得到90ADC ∠=︒，然后利用30DAC ∠=︒得到12DC AC =，然后证明出DCC '△是等边三角形，得到12CC DC AC '=，即可证明出CC AC ''=； （2）首先由DCC '△是等边三角形得到60CDC '∠=︒，然后结合旋转的性质得到A C AD ''⊥，然后证明出12DE A C ''=，然后由A C AD ''⊥得到AD 与EC '互相平分，证明出四边形AEDC '是菱形； （3）根据题意分两种情况：当点C '在AD 上方时，连接AA '，首先由DC AC '∥得到30C DA DAC '∠=∠=︒，然后结合旋转的性质得到30DA A DA C '''∠=∠=︒，证明出点A ，C '，A '三点共线，然后得到246AA AC A C ''''=+=+=；当点C '在线段AD 下方时，首先由DC AC '∥和旋转的性质得到ADA '是等边三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）CC AC ''=， 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴90ADC ∠=︒， 又∵30DAC ∠=︒，∴12DC AC =，903060ACD ∠=︒−︒=︒， 由旋转可得，DC DC '=， ∴DCC '△是等边三角形， ∴12CC DC AC '==， ∴CC AC ''=；（2）四边形AEDC '是菱形．理由：由（1）得DCC '△是等边三角形， ∴60CDC '∠=︒，由旋转得30A DAC '∠=∠=︒，60A DA CDC ''∠=∠=︒，90A DC ADC ''∠=∠=︒，AC A C ''=， ∴18090A FD A A DA '''∠=︒−∠−∠=︒， ∴A C AD ''⊥， 又∵AC CC DC '''==， ∴AF DF =，∵90A DC ''∠=︒，点E 是线段A C ''的中点， ∴12DE A C ''=， 又∵12DC AC =，AC A C ''=，DC DC '=， ∴DE DC '=， 又∵A C AD ''⊥， ∴FE FC '=，∴AD 与EC '互相平分， ∴四边形AEDC '是平行四边形， 又∵A C AD ''⊥，∴平行四边形AEDC '是菱形；（3）如图所示，当点C '在AD 上方时，连接AA '，∵DC AC '∥，∴30C DA DAC '∠=∠=︒，由旋转可得，AD A D '=，90ADC A DC ''∠=∠=︒，30C A D DAC ''∠=∠=︒， ∴120ADA ADC A DC ''''∠=∠+∠=︒， ∴()1180302DAA DA A ADA ∠=∠=︒−'∠=''︒， ∵30C A D DAC ''∠=∠=︒， ∴30DA A DA C '''∠=∠=︒， ∴点A ，C '，A '三点共线， ∴30C AD C DA ''∠=∠=︒， ∴2C A C D ''==，4A C AC ''==， ∴246AA AC A C ''''=+=+=； 如图所示，当点C '在线段AD 下方时，由旋转可得，90ADC A DC ''∠=∠=︒，AD A D '=， ∵DC AC '∥，∴90AED A DC ''∠=∠=︒， ∵30DAC ∠=︒，∴903060ADE ∠=︒−︒=︒， ∴ADA '是等边三角形，∴AA AD '=综上所述，当DC AC '∥时，点A 与点A '之间的距离为6或 23．（13分）综合与探究如图，抛物线()220y ax bx a =+−≠与x 轴交于()4,0A −，()1,0B 两点，与y 轴交于C 点．点D 与点C 关于x 轴对称，直线AD 交抛物线于另一点E ．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线AD 的函数表达式．(2)点P 是直线AE 下方抛物线上的一点，过点P 作直线AE 的垂线，垂足为F ．设点P 的横坐标为m ，试探究当m 为何值时，线段PF 最大？请求出PF 的最大值．(3)在（2）的条件下，当PF 取最大值时，若点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点B ，P ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)213222y x x =+−，122y x =+(2)存在，当1m =−时，PF (3)存在，点M 的坐标为311,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，79,28⎛⎫−− ⎪⎝⎭或19,28⎛⎫− ⎪⎝⎭【分析】（1）将()4,0A −，()1,0B 代入()220y ax bx a =+−≠得：1642020a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，求解即可得出抛物线解析式，从而得出点C 的坐标，进而得出点D 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）过点P 作y 轴的平行线交AD 于G ，AGP ADC ∠=∠，求出sin sin AGP ADO ∠=∠=。

2024年中考数学考前押题密卷(湖南长沙卷)(全解全析)

2024年中考数学考前押题密卷(湖南长沙卷)(全解全析)

2024年中考考前押题密卷（湖南长沙卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）1．相反数等于它本身的数是（）A ．1B ．0C ．﹣1D ．0或±11.B【分析】根据相反数的定义得出答案．【详解】相反数等于它本身的数是0．故选B ．【点睛】本题考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解答本题的关键．2．根据教育部门统计，2023年全国普通高校毕业生规模预计将会达到惊人的11580000人，其中数据11580000用科学记数法表示为（）A ．5115.810⨯B ．611.5810⨯C ．71.15810⨯D ．80.115810⨯2.C【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【详解】解：数据11580000用科学记数法表示为71.15810⨯，故选：C ．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．3.D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误；B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故B 错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 错误；D.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．4．直角三角板和直尺如图放置．若140∠=︒，则2∠的度数为（）A ．60︒B ．50︒C ．40︒D ．20︒4.D【分析】延长EG 交CD 于点H ，利用平行线的性质可得∠EHM =40°，然后利用三角形的外角，进行计算即可解答．【详解】解：如图，延长EG 交CD 于点H ，∵AB CD ∥，∴∠1=∠EHM =40°，∵∠EGF 是△GHM 的一个外角，∴∠2=∠EGF -∠EHM =20°．故选：D【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．下列计算正确的是（）A ．236x y x ⋅=B ．222(3)3xy x y =C ．2(2)2x x x -=-D ．22(2)44x x x +=++5.D【分析】根据整式乘法运算、积的乘方运算、单项式乘以多项式运算及完全平方公式分别验证即可得到答案．【详解】解：A 、根据整式乘法运算法则，23236x y x y x =≠⋅，该选项错误，不符合题意；B 、根据积的乘方运算法则，22222(3)93xy x y x y ≠=，该选项错误，不符合题意；C 、根据单项式乘以多项式的运算法则，22(2)22x x x x x -=-≠-，该选项错误，不符合题意；D 、根据完全平方和公式，22(2)44x x x +=++，该选项正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查整式运算，涉及整式乘法运算、积的乘方运算、单项式乘以多项式运算及完全平方和公式，熟记相关公式及整式运算法则是解决问题的关键．6．如图是由5个大小相同的正方体组合成的几何体，则其左视图为（）A ．B ．C ．D ．6.B【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：B ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．7．某同学参加了学校举行的“五好小公民•红旗飘飘”演讲比赛，七名评委给该同学的打分（单位：分）情况如表：评委评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7打分6878578关于七名评委给该同学的打分下列说法错误的是（）A ．中位数是8分B ．众数是8分C ．极差是3分D ．平均数是7分7.A【分析】根据众数与中位数、平均数、极差的定义分别求解即可．【详解】解：从小到大排列此数据为：5，6，7，7，8，8，8，7处在第4位为中位数，故A 选项错误，符合题意；数据8出现了三次，最多，为众数，故选项B 正确，不合题意；极差是：8﹣5＝3（分），故选项C 正确，不合题意该同学所得分数的平均数为（5+6+7×2+8×3）÷7＝7（分），故选项D 正确，不合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了平均数、众数与中位数、极差，用到的知识点是：给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．平均数=总数÷个数．8．已知点A ，()3,B b -在一次函数4y kx =+的图象上，且点A 与点()2,5C -关于x 轴对称，则b 的值为（）A ．52B ．192-C ．145D ．52-8.A【分析】先由对称求出点A 坐标，代入求出函数解析式，再根据一次函数的图象即可求出b 的值．【详解】∵点A 与点()2,5C -关于x 轴对称，∴()2,5A ，∵点A 在一次函数4y kx =+的图象上，∴524k =+，解得：12k =，∴一次函数解析式为：142y x =+，又∵点()3,B b -在一次函数142y x =+的图象上，∴()153422b =⨯-+=，故选：A ．【点睛】此题考查了一次函数的知识，关于x 轴对称点的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质，点的对称性，从而完成求解．9．如图，四边形ABCD 为矩形，6AB =，8BC =．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．ADM BAP ∠=∠，则BM 的最小值为（）A ．5B ．6C ．2132D ．2134-9.D【分析】取AD 的中点O ，连接OB ，OM ，证明90AMD ∠=︒，推出142OM AD ==，点M 在以O 为圆心，4为半径的O 上，利用勾股定理求出OB ，可得结论．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，6AD BC ==，90BAP DAM ∴∠+∠=︒，ADM BAP ∠=∠ ，90ADM DAM ∴∠+∠=︒，90AMD ∴∠=︒，4AO OD == ，142OM AD ∴==，∴点M 在以O 为圆心，4为半径的O 上，223616213OB AO AB =+=+= ，2134BM OB OM ∴≥-=-，BM∴的最小值为2134-．故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．10．如图，点A（﹣2，0），B（0，1），以线段AB为边在第二象限作矩形ABCD，双曲线y＝x（k＜0）过点D，连接BD，若四边形OADB的面积为6，则k的值是（）A．﹣9B．﹣12C．﹣16D．﹣1810.C【分析】过D作DM⊥x轴于M，根据相似三角形的性质和判定求出DM=2AM，根据三角形的面积求出AM，即可求出DM和OM，得出答案即可．【详解】解：∵点A（-2，0），B（0，1），∴OA=2，OB=1，过D作DM⊥x轴于M，则∠DMA=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DMA =∠DAB =∠AOB =90°，∴∠DAM +∠BAO =90°，∠DAM +∠ADM =90°，∴∠ADM =∠BAO ，∴△DMA ∽△AOB ，∴21DM AO AM BO ===2，即DM =2MA ，设AM =x ，则DM =2x ，∵四边形OADB 的面积为6，∴S 梯形DMOB -S △DMA =6，∴12（1+2x ）（x +2）-12•2x •x =6，解得：x =2，则AM =2，OM =4，DM =4，即D 点的坐标为（-4，4），∴k =-4×4=-16，故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k 的几何意义、三角形的面积、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出DM =2AM 是解题的关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：3ax ax -=．11.()()11ax x x +-【分析】先提取ax ，然后利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：3ax ax -()21ax x =-()()11ax x x =+-故答案为：()()11ax x x +-．【点睛】本题主要考查的是提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．12．若关于x 的方程()21210k x x --+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．12.2k <且1k ≠【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，0∆>，方程有两个不相等是实数根；Δ0=，方程有两个相等的实数根；Δ0<，方程有没有实数根．据此列不等式求解即可．【详解】解： 方程()21210k x x --+=有两个不相等的实数根，()()2Δ2410k ∴=--->，10k -≠，解得：2k <且1k ≠，故答案为：2k <且1k ≠．13．若一个圆锥的母线长为4，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是．13.4π【分析】先求得圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求得答案．【详解】解：圆锥的底面周长：2×1×π=2π，侧面积：12×2π×4=4π．故答案为：4π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．已知关于x 的方程()22104m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是．14.0【详解】解：∵关于x 的方程()22104m x m x +-+=有两个不相等的实数根，∴()221141042m m m ∆=--⋅⋅>⇒<.∴m 的最大整数值为0．故答案为：0．15．如图，在ABC 中，AB AC =，分别以点A ，B 为圆心，大于2AB 长为半径画弧，交于点M ，N ，作直线MN 分别交BC AB ，于点D ，E ，若32B =︒∠，则CAD ∠的度数是．15.84︒/84度【分析】由作图可知，MN 为线段AB 的垂直平分线，则AD BD =，32BAD B ∠=∠=︒，由AB AC =，得32C B ∠=∠=︒，根据180B BAD CAD C ︒∠+∠+∠+∠=，计算求解即可．【详解】解：由作图可知，MN 为线段AB 的垂直平分线，∴AD BD =，∴32BAD B ∠=∠=︒，∵AB AC =，∴32C B ∠=∠=︒，∵180B BAD CAD C ︒∠+∠+∠+∠=，∴84CAD ∠=︒，故答案为：84︒．【点睛】本题考查了垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和．解题的关键在于确定角度之间的数量关系．16．A 、B 、C 、D 、E 五名学生猜测自己的数学成绩：A 说：如果我得优，那么B 也得优；B 说：如果我得优，那么C 也得优；C 说：如果我得优，那么D 也得优；D 说：如果我得优，那么E 也得优．大家说的都没有错，但只有三个人得优，请问得优的三个人是．16.C ，D ，E【分析】本题主要考查了简单的逻辑推论，假设A 得优，则A ，B ，C ，D ，E 都得优，假设B 得优，则B ，C ，D ，E 都得优，这与只有三个人得优相矛盾，故两种假设都不成立，假设C 得优，则C ，D ，E 都得优，这与只有三个人得优相符合，据此可得答案．【详解】解：假设A 得优，则A ，B ，C ，D ，E 都得优，这与只有三个人得优相矛盾，∴A 不可能得优；假设B 得优，则B ，C ，D ，E 都得优，这与只有三个人得优相矛盾，∴B 不可能得优；假设C 得优，则C ，D ，E 都得优，这与只有三个人得优相符合，∴优的三个人是C ，D ，E ．故答案为：C ，D ，E ．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）17．（6分）计算：011(2021)12()2cos 453π--+-︒．【详解】解：原式＝2121322+-+-⨯12132=+-+-＝3．【点睛】本题考查零指数幂与负整指数幂、化简绝对值、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．18．（6分）先化简，再求值：2282242x x x x x x +⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭，其中2210x x +-=．【详解】()()22282822242222x x x x x x x x x x x x -+++⎛⎫÷--=÷ ⎪----⎝⎭()()222222x x x x x ++=÷--()()222222x x x x x +-=⨯-+()122x x =+=2124x x+；∵2210x x +-=，∴221x x +=∴原式=12.【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.19．（6分）已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ．（1）求证：=OC OPPD AP；（2）若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长．【详解】①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B.∴∠APO=90°.∴∠APD=90°−∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C，∠APD=∠POC.∴△OCP∽△PDA.∴OC OP PD AP.②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，∴OCPD=OPPA=CPDA=14−−√=12.∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP.∵AD=8，∴CP=4，BC=8.设OP=x，则OB=x，CO=8−x.在△PCO中，∵∠C=90∘，CP=4，OP=x，CO=8−x，∴x2=(8−x)2+42.解得：x=5.∴AB=AP=2OP=10.∴边AB的长为10.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及翻转变换，解题的关键是熟练的掌握相似三角形与翻转变换的相关知识.20．（8分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A,B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°,∠ECB=45°.请你根据以上数据计算出CD的长.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57cos35°≈0.82tan35°≈0.70）【详解】解：由题意可知：CD ⊥AD 于D ，∠ECB=∠CBD ＝45︒，∠ECA=∠CAD ＝35︒，AB ＝9.设CD x =，∵在Rt CDB ∆中，∠CDB ＝90°，∠CBD ＝45°，∴CD =BD =x .∵在Rt CDA ∆中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝35°，∴tan CDCAD AD∠=，∴tan35x AD =︒∵AB =9，AD =AB +BD ，∴90.7x x +=.解得21x =答：CD 的长为21米21．（8分）最近，学校掀起了志愿服务的热潮，教育处也号召各班学生积极参与，为了解甲､乙两班学生一周服务情况，从这两个班级中各随机抽取40名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：分钟）进行收集､整理､分析，给出了部分信息：a ．甲班40名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图（数据分成6组）：A .2040x ≤<，B ．4060x ≤<，C ．6080x ≤<，D ．80100x ≤<，E ．100120x ≤<，F ．120140x <≤）；b ．甲班40名学生一周志愿服务时长在6080x ≤<这一组的是：60；60；62；63；65；68；70；72；73；75；75；76；78；78c ．甲､乙两班各抽取的40名学生一周志愿服务时长的平均数，中位数，众数如表：学校平均数中位数众数甲75m 90乙757685根据以上信息，回答下列问题：（1）上面图表中的m =______________，扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数为___________度；（2）根据上面的统计结果，你认为___________班学生志愿服务工作做得好（填“甲”或“乙”），理由是___________；（3）小江和小北两位同学都参加了水井坊街道的志愿者服务项目，该街道志愿者服务工作一共设置了三个岗位，请用列表或画树状图的方法，求小江､小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率．【详解】（1）由题意得：A 组的人数为：405%2⨯=；B 组的人数为：4015%6⨯=；C 组的人数为14人．∴甲班的中位数为7678772+=．扇形统计图中“C 组”所对应的圆心角的度数为1436012640⨯︒=︒．（2）甲班学生志愿服务工作做得好，甲、乙两班的平均数相等，但甲班比乙班的中位数和众数大，说明甲班服务时长长的人数多，即甲班学生志愿服务工作做得好．（3）设该街道志愿者服务工作设置三个岗位分别为A 、B 、C ．所以列表如下：小江小北岗位A岗位B岗位C岗位A A 、A B 、A C 、A 岗位B A 、B B 、B C 、B 岗位CA 、CB 、CC 、C根据表格可知分配情况共有9种可能，其中分配到同一岗位有3种，∴小江小北恰好被分配到同一岗位进行志愿者服务的概率为3193=．【点睛】本题考查平均数、中位数和众数的意义和求法，用列表法求概率．掌握平均数、中位数和众数的意义和正确的列出表格是解答本题的关键．22．（9分）冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱．乐乐老师准备购进“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具作为奖品．乐乐老师发现买这两款毛绒玩具各10个时，需付1900元；买12个“冰墩墩”，8个“雪容融”需付1920元．(1)试求出“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具的价格；(2)若乐乐老师需要这两款毛绒玩具共19个，准备了不少于1760元，但也不超过1960元的资金用于购买．问：乐乐老师有多少种购买方案？【详解】（1）解：设“冰墩墩”的价格是x 元，“雪容融”的价格是y 元，依题意得：101019001281920x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：10090x y =⎧⎨=⎩．答：“冰墩墩”的价格是100元，“雪容融”的价格是90元．（2）设购买a 个“冰墩墩”，则购买()19a -个“雪容融”，依题意得：()()1001990176010019901960a a a a ⎧+-⨯≥⎪⎨+-⨯≤⎪⎩，解得：525a ≤≤，∵190a -≥，∴19a ≤，∴519a ≤≤，∵a 为整数，∴a 可取5，6，7，L ，19，∴乐乐老师有15种购买方案．【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．23．（9分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，分别过点C 、点D 作BD 、AC 的平行线交于点E ，连接EO 交CD 于点F ．(1)求证：四边形DECO 是矩形；(2)若4AC =，6BD =，求EF 的长．【详解】（1）证明：∵CE//BD ，DE//AC ，∴四边形DECO 是平行四边形，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠DOC =90°，∴平行四边形DECO 是矩形；（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC =4，BD =6，∴OA =OC =2，OB =OD =3，AC ⊥BD ，∴∠COD =90°，22222313,OC OD CD =+=+=∴ 平行四边形DECO 是矩形；13OE CD ∴==11322EF OF ∴==【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．24．（10分）已知：四边形ABCD 内接于O ，AC 为其中一条对角线，且AC 平分BAD ∠．(1)如图1，求证：BC CD =；(2)如图2，连接OC 、BD 相交于点E ，若60BAD ∠=︒，求证：OE EC =；(3)如图3，在（2）的条件下，过点D 作DF AC ⊥，垂足为F ，交O 于点K ，交AB 于点G ，连接OF ，若1433BC =，:3:5BG AG =，求OFC △的面积．【详解】（1）解：∵AC 平分BAD ∠．∴BAC DAC ∠=∠∴ BC D C =∴BC CD =；（2）解：连接BO∵AC 平分BAD ∠．60BAD ∠=︒∴30BAC DAC ∠=∠=︒30CBD DAC ∠=∠=︒，∴260BOC BAC ∠=⨯∠=︒∵BO CO=∴BOC 是等边三角形∴603030OBD OBC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒∴DB 是CBO ∠的角平分线，∴OE EC =；（3）解：过点O 作OQ AC ⊥，过点B 作BM DK ⊥，∵DF AC ⊥，且AC 平分BAD ∠∴90AFG AFD GAC DAF ∠=∠=︒∠=∠，∴AGF ADF ∠=∠∴ADG △是等腰三角形，∵60BAD ∠=︒∴1302BAC DAC BAD ∠=∠=∠=︒∴1433CD BC ==∵60BAD ∠=︒∴ADG △是等边三角形，∵90BMG AFG BGM AGF ∠=∠=︒∠=∠，∴BMG AFG ∽∴BG MG BMAG FG AF==∵:3:5BG AG =，设35BG a AG a ==，，∵30GAF MBG ∠=∠=︒∴15132222GF AG a MG BG a ====，，∴22332BM BG MG a =-=，∴531322AF a MD MG GD a ==+=，∵1433BC =，由（2）知1173223OE EC OC BC ====，BOC 是等边三角形∴227BE BC EC =-=，∴14BD =在Rt CFD 中，22221412132533CF CD DF ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭，∴1133CF =∴1126353333AC CF AF =+=+=∵OQ AC ⊥∴113323CQ AC ==在Rt OCQ △中，22221413333OQ CO CQ =-=-=即11111123332232OFC OFE S S OQ CF ==⨯⨯=⨯⨯= 【点睛】本题考查了圆综合，垂径定理，圆周角定理、垂径定理，勾股定理、相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确作出辅助线并且掌握相关性质内容是解题的关键．25．（10分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．(1)若点()5,P p 是一次函数10y mx =-的图象上的“梅岭点”，则m =________；若点(),P m m 是函数43y x =-的图象上的“梅岭点”，则m =________；(2)若点(),4P p -是二次函数2y x bx c =++的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；(3)若二次函数2(,y ax bx c a b =++是常数，0)a >的图象过点()0,8-，且图象上存在两个不同的“梅岭点”()11,A x x ，()22,B x x ，且满足111x -<<，124x x -=，如果224k b b =-++，求k 的取值范围．【详解】（1）解： 点()5,P p 是一次函数10y mx =-的图象上的“梅岭点”，5p ∴=，∴()5,5P ，∴5105m -=，解得：3m =；点(),P m m 是函数43y x =-的图象上的“梅岭点”，∴43m m =-，整理得：2340m m --=，解得：11m =-，24m =，经检验：11m =-，24m =，是此方程的根；1m ∴=-或4；故答案：3；1-或4．（2）解： 点(),4P p -是二次函数2y x bx c =++的图象上唯一的“梅岭点”，∴二次函数2y x bx c =++与直线y x =有唯一的交点()4,4P --，∴方程2x bx c x ++=的根为：124x x ==-，即：()210x b x c +-+=，()()()1844b c ⎧--=-⎪∴⎨=-⨯-⎪⎩，解得：916b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式2916y x x =++．（3）解： 二次函数2y ax bx c =++的图象过点()0,8-，8c ∴=-，∴28y ax bx =+-，图象上存在两个不同的“梅岭点”()11,A x x ，()22,B x x ，21118ax bx x -+=∴，22228ax bx x +-=，()211180ax b x --+=∴，()222180ax b x -+-=，1x ∴、2x 是方程()2180ax b x -+-=的根，∴121218b x x a x x a -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，124x x -=，()21216x x ∴-=，()21212416x x x x ∴+-=，218416b a a -⎛⎫⎛⎫∴---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：()2211632b a a -=-，∴224k b b =-++()215b =--+，∴215632k a a +=-+()216121a =--+，124x x -=，∴124x x -=或124x x -=-，∴124x x =+或124x x =-+， 111x -<<，∴2141x -<+<或2141x -<-+<，解得：253x -<<-或235x <<，∴1255x x -<<，855a∴-<-<，0a > ，85a ∴>，160-<Q ，∴当85a >时，k 随着a 的增大而减小，∴当85a =时，2838116121525k ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭，38125k ∴<．【点睛】本题考查了次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义“梅岭点”是解题的关键．。

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(重庆卷)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(重庆卷)

2024年中考数学考前押题密卷（重庆卷）全解全析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．14−的相反数是（ ） A ．14− B ．4C ．4−D ．14【答案】D【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数解答． 【详解】解：14−的相反数是14．故选：D ．【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 2．下列几何体中，俯视图为三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】注意几何体的特征，主视图与左视图的高相同，主视图与俯视图的长相等，左视图与俯视图的宽相同．【详解】解：根据俯视图的特征，应选C ． 故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解主视图与左视图以及俯视图的特征是解题的关键． 3．如图，直线m n ∥，点A 在直线m 上，点B 在直线n 上，连接AB ，过点A 作AC AB ⊥，交直线n 于 点C ．若150∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】B【分析】根据平行线的性质可得150ACB ∠=∠=︒，进而根据90BAC ∠=︒，即可求解． 【详解】解：∵m n ∥，150∠=︒， ∴150ACB ∠=∠=︒， ∵AC AB ⊥， ∴90BAC ∠=︒，∴29040ACB ∠=︒−∠=︒， 故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将ABO 缩小为原来的12，得到CDO ．若点A 的坐标是()2,4−−，则点C 的坐标是（ ）A ．()1,2−−B ．()1,2C ．()2,1D ．()2,1−−【答案】B【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵将ABO 缩小为原来的12，得到CDO ，点A 的坐标是()2,4−−， ∴点C 的坐标为112,422⎛⎫⎛⎫⎛⎫−⨯−−⨯− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1,2， 故选：B ．【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ， 那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k −．5．估计）A ．0与1之间B ．1与2之间C ．2与3之间D ．3与4之间【答案】B【分析】先进行二次根式的混合运算，再进行无理数的估算即可得到答案．【详解】解：4===∵469＜＜，∴23，∴32−−＜，∴142−＜，∴1与2之间．故选：B ．【点睛】此题考查了二次根式的混合运算和无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．6．端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的习俗．某超市以10元每袋的 16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多 售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子 售价降低x 元，则可列方程为（ ） A ．()()1610200801440x x −−+= B ．()()16200801440x x −+= C ．()()1610200801440x x −−+= D ．()()16200801440x −+=【答案】A【分析】设每袋粽子售价降低x 元，由于每天的利润为1440元，根据利润＝（定价﹣进价）×销售量即可列出方程．【详解】解：设每袋粽子售价降低x 元，每天的利润为1440元． 根据题意，得()()1610200801440x x −−+=， 故选：A ．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．7．如图是由大小相同的“△”按照一定的规律排列组成的，第①个图中有3个“△”，第②个图中有8个 “△”，第③个图中有15个“△”，…，依据规律，第⑥个图中“△”的个数为（ ）A ．24B ．35C ．36D ．48【答案】D【分析】第①个图中“△”的个数为：2321=−，第②个图中“△”的个数为：2831=−，第③个图中“△”的个数为21541=−，…，据此可求得第n 个图中“△”的个数，从而可求解． 【详解】解：∵第①个图中“△”的个数为：2321=−， 第②个图中“△”的个数为：2831=−， 第③个图中“△”的个数为：21541=−， …，∴第n 个图中“△”的个数为：()211n +−， ∴第⑥个图中“△”的个数为：27148−=． 故选：D ．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．8．如图，已知AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，22.5ACD ∠=︒，1AE =，则CD 的长为（ ）A ．B 2C ．1+D ．2【答案】D【分析】连接OD ，根据垂径定理可得45AOD ∠=︒，再根据垂径定理可得2CD DE =，90OED ∠=︒，然后在Rt OED 中，利用锐角三角函数的定义可得DE OE =，最后设O 的半径为r ，则1OE r =−，在Rt OED 中，利用勾股定理列出关于x 的方程进行计算，即可解答．【详解】解：连接OD ，∵22.5ACD ∠=︒，∴245AOD ACD ∠=∠=︒， ∵直径CD AB ⊥，∴2CD DE =，90OED ∠=︒，在Rt OED 中，tan 45DE OE OE =⋅︒=， 设O 的半径为r ，则1OE OA AE r =−=−，在Rt OED 中，222OE DE OD +=， ∴222OE OD =， ∴()2221r r −=，解得：12r =，22r =（舍去），∴11DE r =−=∴22CD DE ==+，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助 线是解题的关键．9．如图，延长矩形ABCD 的边CB 至点E ，使EB AC =，连接DE ，若BAC α∠=，则E ∠的度数是（ ）A ．2αB ．452α︒−C ．45α−︒D ．302α︒+【答案】B【分析】连接BD 交AC 于点O ，由矩形的性质得90ABC ∠=︒，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，AC BD =，则OA OB =，所以OBA BAC α∠=∠=，而BE AC DB ==，则BDE E ∠=∠，所以290CBD BDE E E α∠=∠+∠=∠=︒−，则452E α∠=︒−，于是得到问题的答案．【详解】解：连接BD 交AC 于点O ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90ABC ∠=︒，12OA OC AC ==，12OB OD BD ==，AC BD =， ∴OA OB =，∴OBA BAC α∠=∠=， ∴90CBD α∠=︒−， ∵BE AC DB ==， ∴BDE E ∠=∠，∴2CBD BDE E E ∠=∠+∠=∠， ∴290E α∠=︒−， ∴452E α∠=︒−，故选：B ．【点睛】此题重点考查矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．10（0x ≥），将这两个二次根式进行如下操作：的和记为1M ，差记为1N ；第二次操作：将1M 与1N 的和记为2M ，差记为2N ； 第三次操作：将2M 与2N 的和记为3M ，差记为3N ； …； 以此类推． 下列说法：①当1x =时，246830N N N N +++=；②12M =③221212nn n M N ++⋅=（n 为自然数）．其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】先根据已知条件，分别求出1M ，2M ，3M ，4M ，5M ，6M ，7M ，8M ，1N ，2N ，3N ，4N ，5N ，6N ，7N ，8N ，然后根据计算的结果，分别列出各种说法中的算式，进行计算，然后判断即可．【详解】解：由题意得：1M =1N =2M ==，2N ==322M M N =+=3N =4M =4N =5M =，5N =6M =6N =7M =，7N =8M =8N =9M =9N =10M =10N =；11M =11N =；12M =12N =，∴当1x =时，246830N N N N +++====，∴①的说法正确；由以上计算可知：12M = ∴②的说法正确；∵(()23341442M N x x ⋅==+−==；(()45516116162M N x x ⋅==+−==； (()67764164642M N x x ⋅==+−==；…∵221212nn n M N ++⋅=∴③的说法正确，综上可知：正确的个数为3个， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是理解题意，找出规律，进行解答即可．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的横线上）11．计算：)2sin 302︒+＝ ．【答案】2．【分析】利用特殊锐角三角函数值，零指数幂计算即可． 【详解】解：原式＝12122⨯+=， 故答案为：2．【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．如图是反比例函数2m y x−=的图象，那么实数m 的取值范围是 ．【答案】2m ＞．【分析】根据反比例的函数图象与系数的关系直接解答即可．【详解】解：根据反比例函数图象在坐标系中的位置，可判断比例系数0＞，即20m −＞，故2m ＞． 故答案为：2m ＞．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 13．从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，这个多边形的边数是 ． 【答案】8．【分析】根据从n 边形的一个顶点可以作对角线的条数公式()3n −求出边数即可得解． 【详解】解：∵从一个多边形的一个顶点出发可以引5条对角线，设多边形边数为n ， ∴35n −=， 解得8n =． 故答案为8．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出()3n −条对角线是解题的关键．14．重庆园博园内桃花盛开，一片春意盎然．周末甲、乙两名同学去游园，园内有A 、B 、C 三条不同的赏 花路线，两名同学每人随机选择一条路线，那么他们选择相同路线的概率是 ． 【答案】13． 【分析】用树状图法得到所有等可能的结果，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可．【详解】解：列表如下：由表格知，共有9种等可能结果，其中他们选择相同路线的有3种结果， 所以他们选择相同路线的概率为3193=， 故答案为：13． 【点睛】此题考查了用树状图法或列表法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．15．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、AC 上（均不与点A 、B 、C 重合），且140C ∠=∠=︒， 若BD CE =，则BAD ∠＝ 度．【答案】30．【分析】先求出100BAC ∠=︒，再证明EDC DAB ≌，得到DAE DEA ∠=∠，进而可求出BAD ∠的度数．【详解】解：∵AB AC =， ∴C B ∠=∠． ∵140C ∠=∠=︒， ∴140C B ∠=∠=∠=︒，∴1804040100BAC ∠=︒−︒−︒=︒， ∵1ADC EDC B BAD ∠=∠+∠=∠+∠， ∴EDC BAD ∠=∠， 又∵C B ∠=∠，EC BD =， ∴()EDC DAB AAS ≌，∴ED AD =， ∴18040702DAE DEA ︒−︒∠=∠==︒， ∴1007030BAD BAC DAE ∠=∠−∠=︒−︒=︒． 故答案为：30．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明EDC DAB ≌是解答本题的关 键．16．如图，在正方形ABCD 中，以A 为圆心，AD 为半径画弧，再以AD 为直径作半圆，连接AC ，若正 方形边长为4，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】24π−．【分析】根据题意得到S 阴影，即可得到答案．【详解】解：如图，设半圆与AC 的交点为点E ，取AD 的中点为点O ，连接OE 、DE ，设以A 为圆心，AD 为半径画弧交AC 于点F ，∴90AED ∠=︒，122OE OD OA AD ====， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴45DAE ∠=︒，∴45ADE DAE ∠=∠=︒， ∴OE AD ⊥， ∴2114422482ADEDAF S S Sππ=−=⨯⨯−⨯⨯=−阴影扇形，故答案为：24π−．【点睛】此题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积公式、正方形的性质是关键．17．如果关于x的不等式组312231xxx x m−⎧+⎪⎨⎪+≥+⎩＜至少有两个整数解，且关于y的分式方程3111y my y=−−−的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为．【答案】12．【分析】解不等式组，并根据题意得到关于m的范围即可．【详解】解：解不等式组312231xxx x m−⎧+⎪⎨⎪+≥+⎩＜，得：512xmx⎧⎪⎨−≥⎪⎩＜，∵不等式组至少有两个整数解，∴13 2m−≤，解得：7m≤，解关于y的分式方程3111y my y=−−−，得：12my−=，且10y−≠，∴12my−=，3m≠，∵分式方程解为正整数，且3m≠，∴符合条件的所有整数m的值为5，7，∴符合条件的所有整数m的和为5712+=．故答案为：12．【点睛】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于m的范围是解题的关键．18．一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字 与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“逢双数”，则最大的“逢双数”为： ；对于 “逢双数”m ，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为()G m ．若“逢双 数”m 千位上的数字与个位上的数字之和为8，且()G m 能被4整除，则所有满足条件的“逢双数”m 的 最大值与最小值的差为 ． 【答案】9819；6174．【分析】根据题中对“逢双数”的定义，即可求出最大的“逢双数”，先表示出()G m ，再进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：由题知，当千位数字和个位数字都是9，且百位数字是8，十位数字是1时， 所得“逢双数”最大为：9819．设“逢双数”m 的个位数字为x ，则千位数字为()8x −，设其十位数字为y ，则百位数字为()4y −， 所以17x ≤≤，13y ≤≤．()()()()()()()10041010081010081041008104G m y y x x y x x y x x y y=−+++−+++−+−++−+−+297992880x y =−−+，又因为()G m 能被4整除，且()2979928803296962880x y x y x y −−+=−−+−−+， 所以3x y −−能被4整除， 又因为17x ≤≤，13y ≤≤， 当1y =时，1x =或5； 当2y =时，2x =或6； 当3y =时，3x =或7；又因为()()10008100410m x y y x =−+−++， 所以当1x =，1y =时，m 取值最大值为：7311； 当7x =，3y =时，m 取得最小值为：1137；所以m 的最大值与最小值的差为：731111376174−=． 故答案为：6174．【点睛】本题考查不定方程的应用，正确的分类讨论是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上） 19．计算：（1）()()242x x y x y −−−； （2）2344111x x x x x −+⎛⎫−+÷⎪++⎝⎭． 【答案】（1）24y −；（2）22x x +−−． 【分析】（1）根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可； （2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．【详解】解：（1）()()22222424444x x y x y x xy x xy y y −−−=−−+−=−；（2）()()2222234431141221111112222x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫−+−+−+++⎛⎫−+÷=−⋅=⋅==− ⎪ ⎪+++++−−⎝⎭−−⎝⎭． 【点睛】本题考查分式的混合运算、单项式乘多项式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关 键．20．在学习完勾股定理后，喜欢思考的小明想进一步探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：在Rt ABC 中，先作出直角边AC 的垂直平分线，并猜测它与斜边AB 的交点是中点，于是他把交点与点C 连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系． 请根据小明的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规作AC 的垂直平分线交AB 与点D ，垂足为点E ，连接CD ．（保留作图痕迹，不写作法） 已知：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，ED 垂直平分AC ，垂足为点E ． 求证：12CD AB =． 证明：∵ED 垂直平分AC ， ∴AD ＝ ， ∴A ACD ∠=∠．∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∴90A B ∠+∠=︒，ACD ∠+ ＝90︒， ∴B BCD ∠=∠， ∴ ＝BD ， ∴12AD BD AB ==． ∴12CD AB =． 通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，请依照题意完成下面命题：直角三角形斜边的中线 ．【答案】作图见解析；CD ；BCD ∠；CD ；等于斜边的一半．【分析】根据线段垂直平分线的作图作直线DE 即可；根据线段垂直平分线的性质、角的和差关系以及等腰三角形的性质填空即可；由探究可得直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 【详解】解：如图，直线DE 即为所求．∵ED 垂直平分AC ， ∴AD CD =， ∴A ACD ∠=∠．∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，∴90A B ∠+∠=︒，90ACD BCD ∠+∠=︒， ∴B BCD ∠=∠，∴CD BD=，∴12AD BD AB==．∴12CD AB=．通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，请依照题意完成下面命题：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．故答案为：CD；BCD∠；CD；等于斜边的一半．【点睛】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．12月2日是“全国交通安全日”，为了解七、八年级学生对交通安全知识的掌握情况，某学校举行了交通安全知识竞赛活动．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100），下面给出了部分信息：七年级抽取的学生竞赛成绩在C组的数量是D组数量的一半，在C组中的数据为：84，86，87，89；八年级抽取的学生竞赛成绩为：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝．（2）该校；七、八年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数．（3）根据以上数据，你认为哪一个年级参加竞赛活动的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）86.5，98，10；（2）估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数约420人；（3）八年级参加竞赛活动的学生成绩更好，理由见解析．【分析】（1）根据中位数、众数的意义，分别求出七年级的中位数和八年级的众数，有“1”减去其他三组所占百分比可得m 的值； （2）利用样本估计总体即可；（3）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可．【详解】解：（1）根据题意，将七年级的竞赛成绩从大到小排列后，处在中间位置的两个数分别是87，86，故中位数为878686.52+=，即86.5a =； 八年级抽取的学生竞赛成绩出现次数最多的是98，共出现4次，因此众数是98，即98b =；48%130%10%2020m =−−−=，即10m =． 故答案为：86.5，98，10； （2）48166006000.742040++⎛⎫⨯=⨯=⎪⎝⎭（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛活动成绩达到优秀的学生总数约420人； （3）八年级参加竞赛活动的学生成绩更好，理由如下：∵两个年级的平均数相同都是88，但八年级学生竞赛成绩的中位数87高于七年级学生竞赛成绩的中位数86.5，所以八年级参加竞赛活动的学生成绩更好．【点睛】本题考查了中位数、众数、方差以及用样本估计总体，掌握各个统计量的计算方法是正确计算的根据．22．2019年10月17日是我国第6个扶贫日，也是第27个国际消除贫困日．为组织开展好铜陵市2019年 扶贫日系列活动，促进我市贫困地区农产品销售，增加贫困群众收入，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一 批铜陵生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种 货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等． （1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？（2）如果这批生姜有1520箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了40箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？【答案】（1）甲种货车每辆车可装100箱生姜，乙种货车每辆车可装80箱生姜；（2）甲种货车有14辆，乙种货车有2辆．【分析】（1）设乙种货车每辆车可装x 箱生姜，则甲种货车每辆车可装()20x +箱生姜，根据甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设甲种货车有m 辆，则乙种货车有()16m −辆，根据货物的总箱数＝每辆车可装的箱数×车的辆数，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设乙种货车每辆车可装x 箱生姜，则甲种货车每辆车可装（x +20）箱生姜， 依题意，得：100080020x x=+，解得：80x =，经检验，80x =是原方程的解，且符合题意， ∴20100x +=．答：甲种货车每辆车可装100箱生姜，乙种货车每辆车可装80箱生姜． （2）设甲种货车有m 辆，则乙种货车有()16m −辆， 依题意，得：()10080161401520m m +−−+=， 解得：14m =， ∴162m −=．答：甲种货车有14辆，乙种货车有2辆．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C 处，集合点位于点E 处，现有两条路线可以选择：①C →E ，②C →A →D →E ．已知B 位于C 的正西方，A 位于B 的北偏西30°方向处，且位于C 的北偏西53︒方向处．D 位于A 的正西方向E 位于C 的西南方向，且正好位于D 的正南方向． 1.414≈ 1.732≈，sin370.60︒≈，cos370.80︒≈） （1）求A 与C 之间的距离（结果保留整数）；（2）已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）【答案】（1）A 与C 之间的距离为500米；（2）走线路①用时更短．【分析】（1）过点A 作AH CB ⊥，交CB 的延长线于点H ，利用锐角三角函数依次求出AH 、AC 即可；（2）设CH 与DE 的交点为M ；利用矩形的性质、解直角三角形等知识求出300DM AH ==米，400CH =米，MH AD ==(400CM ME ==+米，()200CE ==米，再分别求出两条线路的用时，比较后即可得到结论．【详解】解：（1）如图，过点A 作AH CB ⊥，交CB 的延长线于点H ， 则90AHB ∠=︒，由题意可知，AB =903060ABH ∠=︒−︒=︒，905337ACH ∠=︒−︒=︒，∴sin 300AH AB ABH =∠==（米）， ∴3003000.6500sin sin 37AH AC ACH ==≈÷=∠︒（米），即A 与C 之间的距离为500米；（2）设CH 与DE 的交点为M ，由题意可知，90ADM DMH AHM ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ADMH 是矩形，∴300DM AH ==米，cos 5000.8400CH AC ACH =∠=⨯=（米），MH AD ==由题意可知，45MCE ∠=︒，18090CME DMH ∠=︒−∠=︒， ∴CME 是等腰直角三角形，∴(400CM ME CH MH ==+=+米，∴()200CE ==+米，∴路线①519.1=+≈（分钟）路线②的步行的时间为5003004001619.8753+++=+≈（分钟）∵19.119.8＜，∴走线路①用时更短．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合和熟练掌握方位角的概念是解题的关键．24．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为AB 边的中点，点F 为BC 边上的三等分点（CF BF ＜）， 动点P 从点A 出发，沿折线A →D →C 运动，到C 点停止运动．点P 的运动速度为每秒2个单位长度，设 点P 运动时间为x 秒，PEF 的面积为y ．（1）请直接写出y 关于x 的函数解析式，并注明自变量x 的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当直线12y x b =−+与该函数图象有两个交点时，b 的取值范围．【答案】（1）()()240342235x x y x x +≤≤⎧⎪=⎨−+≤⎪⎩＜；（2）作图见解析，当03x ＜＜时，y 随着x 的增大而增大，当35x ＜＜时，y 随着x 的增大而减小；（3）1216b ≤＜．【分析】（1）分03x ≤≤和35x ≤＜两种情况分别求出函数解析式即可； （2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；（3）分别求出直线12y x b =−+经过点()5,2和点()3,10时b 的值，结合图象写出答案即可． 【详解】解：（1）在矩形ABCD 中，4AB CD ==，6BC AD ==， ∵点E 为AB 边的中点，点F 为BC 边上的三等分点（CF BF ＜）， ∴122AE BE AB ===，123CF BC ==，243BF BC ==，当点P 在AD 上时，则2AP x =026x ≤≤，即03x ≤≤， 此时62DP x =−，∴PEF 的面积()11146222y AE AP BE BF CF DP CD =⨯−⋅−⋅−+⋅ ()111462224262424222x x x =⨯−⨯⨯−⨯⨯−+−⨯=+；当点P 在CD 上时，即35x ≤＜时，如图，则26DP x =−，∴PEF 的面积()11146222y BE BF CP CF AE DP AD =⨯−⋅−⋅−+⋅ ()()111462421022266422222x x x =⨯−⨯⨯−⨯⨯−−+−⨯=−+；∴()()240342235x x y x x +≤≤⎧⎪=⎨−+≤⎪⎩＜； （2）函数图象如图所示，当03x ＜＜时，y 随着x 的增大而增大，当35x ＜＜时，y 随着x 的增大而减小； （3）当直线12y x b =−+经过点()5,2时，225b =−⨯+，则12b =， 当直线12y x b =−+经过点()3,10时，1023b =−⨯+，则16b =，结合图象可知，直线12y x b =−+与该函数图象有两个交点时，b 的取值范围是1216b ≤＜．【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．25．如图1，已知抛物线23y ax bx =++（a ，b 为常数，0a ≠）经过点()3,0A −，()1,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P 为第二象限内抛物线上一点，连接AP 、CP 、BC 、PB ，当APC 与PCB 的面积和最大时，求点P 的坐标及此时APC 与PCB 的面积和；（3）如图3，点Q 是抛物线上一点，连接BQ ，当QBA ACB ∠=∠时，求点Q 的坐标．【答案】（1）223y x x =−−+；（2）57,24P ⎛⎫−⎪⎝⎭，此时APC 与PCB 的面积和254；（3）()1,4Q −或()5,12Q −−．【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）由131322BOCS=⨯⨯=，193322AOC S =⨯⨯=，设()2,23P x x x −−+，13322POC S x x =⨯=−，()22193233222PAOSx x x x =⨯−−+=−−+，()22113123222PBO S x x x x =⨯⨯−−+=−−+再建立面积和的函数关系式，利用二次函数的性质可得答案；（3）如图，连接CB ，记BQ ，AC 的交点为K ，过K 作KT AB ⊥于T ，证明ABK ACB ∽，可得3AK ==，求解18,33K ⎛⎫− ⎪⎝⎭，可得直线BK 为22y x =−+，再求解函数交点坐标即可，同理K关于x 轴对称的点33,22K ⎛⎫'−− ⎪⎝⎭，此时BK '与抛物线的交点Q 也符合题意；同理可得：直线BK '的解析式为：22y x =−，再求解函数交点坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线23y ax bx =++点()3,0A −，()1,0B ，∴933030a b a b −+=⎧⎨++=⎩，解方程组得12a b =−⎧⎨=−⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =−−+； （2）如图2，连接OP ，BP ，由223y x x =−−+，∴()0,3C ，而()1,0B ，()3,0A −， ∴131322BOCS=⨯⨯=，193322AOCS =⨯⨯=， 设()2,23P x x x −−+， ∴13322POCSx x =⨯=−，()221393233222PAO S x x x x =⨯−−+=−−+， ()22113123222PBO S x x x x =⨯⨯−−+=−−+，∴APC 与PCB 的面积和PAOPCOACOPAOPCOBOCPAOPBO SSSSSSSS=+−+++−−2PCOACOPAOBOCPBOSSSSS=−++−222939313335222222x x x x x x x ⎛⎫=−−−−++−−−+=−− ⎪⎝⎭，当()55212x −=−=−⨯−时，面积和最大，最大面积为：255255224⎛⎫⎛⎫−−−⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；∴57,24P ⎛⎫−⎪⎝⎭；（3）如图3，连接CB ，记BQ ，AC 的交点为K ，过K 作KT AB ⊥于T ，∵()3,0A −，()1,0B ，()0,3C ，∴4AB =，AC ==，45CAO ∠=︒， ∵QBA ACB ∠=∠，CAB BAK ∠=∠， ∴ABK ACB ∽， ∴AB AKAC AB=，∴3AK ==，∴8323AT KT ===， ∴81333OT =−=， ∴18,33K ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 设BK 为y kx b =+，∴01833k b k b +=⎧⎪⎨−+=⎪⎩，解得：22k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线BK 为22y x =−+，∴22322y x x y x ⎧=−−+⎨=−+⎩，解得：10x y =⎧⎨=⎩或14x y =−⎧⎨=⎩，∴()1,4Q −，∵K 关于x 轴对称的点18,33K ⎛⎫'−− ⎪⎝⎭， 此时BK '与抛物线的交点Q 也符合题意； 同理可得：直线BK '的解析式为：22y x =−，∴22322y x x y x ⎧=−−+⎨=−⎩，解得：10x y =⎧⎨=⎩或512x y =−⎧⎨=−⎩，∴()5,12Q −−，综上：()1,4Q −或()5,12Q −−．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，函数交点坐标的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26．在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点E 是线段AC 上一点，点F 是直线BC 上的点， 连接BE 、AF ，直线AF 交直线BE 于点G ．（1）如图1，点F 在线段BC 延长线上，若AB BG =，BG AC ⊥，证明：45F ∠=︒．（2）如图2，点F 在线段BC 上，连接GD 并延长至点H ，使得DH DG =，连接BH ，若60AEB AFB ∠=∠=︒2BH =+．（3）如图3，点F 在线段BC 延长线上，若6AB BC AC ===，AD FD =，点Q 为AD 上一点，2AQ DQ =，连接FQ ，点I 在AF 的下方且AQ AI =，AQ AI ⊥，连接QI ．点M 为FQ 的中点，连接DM ，点N 为线段DF 上的动点，连接MN ，将DMN 沿直线MN 翻折得到D MN '，连接QD '，点P 为QD '的中点，连接AP ，BP ．当AP AI +最大时，直接写出ABP 的面积．．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3 【分析】（1）设BAD α∠=，推理和计算出45F ∠=︒；（2）连接CG ，作AM CG ⊥，交CG 的延长线于点M ，作BK AG ⊥于K ，延长AF 至N ，使FN CF =，连接CN ，可证明CDG BDH ≌，从而CG BH =，设ABC ACB α∠=∠=，可推出120BAF AGB α∠=∠=︒−，进而得出ACN BGF ≌，从而FG CN CF ==，进一步得出302AFBFGC FCG ∠∠=∠==︒，可证得BAK CAM ≌，从而BK CM =，进一步得出结论；（3）取MQ 的中点O ，连接OP ，进而得出124OP D M '==，从而点P 在以点O 4为半径的圆上运动，从而点A ，O ，P 共线时，AP 最大，此时AP AI +最大，可得14OQ FQ ==，从而OP OQ =，从而点P 在BC 上，进一步得出结果．【详解】（1）证明：设BAD α∠=， ∵AB AC =，AD 是BC 上的高，∴CAD BAD α∠=∠=，90ABD α∠=︒−，90CAD ACB ∠+∠=︒， ∵BG AC ⊥， ∴90BEC ∠=︒，∴90CBE ACB ∠+∠=︒， ∴CBE CAD α∠=∠=，∴902BAG ABD CBE α∠=∠−∠=︒−， ∵AB BG =， ∴180452BAGBAG BGA α︒−∠∠=∠==︒+，∴()45245CAF BAG BAC ααα∠=∠−∠=︒+−=︒−， ∴()()904545F ACB CAF αα∠=∠−∠=︒−−︒−=︒； （2）证明：如图1，连接CG ，作AM CG ⊥，交CG 的延长线于点M ，作BK AG ⊥于K ，延长AF 至N ，使FN CF =，连接CN ，∴sin sin 60BK BF AFB BF BF =⋅∠=⋅︒=， ∵AB AC =，AD BC ⊥， ∴BD CD =，∵DG DH =，BDH CDG ∠=∠， ∴()CDG BDH SAS ≌， ∴CG BH =，设ABC ACB α∠=∠=，∴1802BAC α∠=︒−，60CAF AFB ACB α∠=∠−∠=︒−， ∴()6060120AGB CAF AEB αα∠=∠+∠=︒−+︒=︒−，()()180260120BAF BAC CAF ααα∠=∠−∠=︒−−︒−=︒−，∴BAF AGB ∠=∠， ∴AC AB BG ==，∵60CFN AFB ∠=∠=︒，FN CF =， ∴CFN 是等边三角形， ∴60N ∠=︒， CN CF =， ∴N AFB ∠=∠，∵60AFB AEB ∠=∠=︒，AGE BGF ∠=∠， ∴CAF GBF ∠=∠，∴()ACN BGF AAS ≌， ∴FG CN CF ==， ∴302AFBFGC FCG ∠∠=∠==︒， ∴30ACM ACB FCG α∠=∠−∠=−︒，30AGM FGC ∠=∠=︒，∴()909030120CAM ACM αα∠=︒−∠=︒−−︒=︒−，cos 2MG AG AGM AG =⋅∠=， ∴BAF CAM ∠=∠， ∵90AKB M ∠=∠=︒， ∴()BAK CAM AAS ≌， ∴BK CM CG GM ==+，AG BH =+，2BH =+． （3）解：如图2，∵6AB BC AC ===，AD BC ⊥，∴AD AB == ∵2AQ DQ =，∴AI AQ ==DQ =DF AD ==∴FQ ==∴12D M DM FQ '===取MQ 的中点O ，连接OP ， ∵点P 是QD '的中点，∴124OP D M '==，∴点P 在以点O 为圆心，4∴点A ，O ，P 共线时，AP 最大，此时AP AI +最大，∵14OQ FQ ==， ∴OP OQ =，∴点P 在BC 上，且DP DQ ==∴(11322ABPSBP AD =⋅=+⨯=．【点睛】等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．。

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(安徽卷)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(安徽卷)

z2024年中考数学考前押题密卷（安徽卷）全解全析第Ⅰ卷一、单选题（共40分）1．（本题4分）下列各数中，与互为倒数的是（ ）A ．B ．C ．1D ．2【答案】A 【分析】本题考查倒数，根据乘积为1的两数互为倒数，进行求解即可．【详解】解：与互为倒数的是； 故选A ．2．（本题4分）如图，这是一个由两个等高的几何体组成的图形的三视图，则这个组合图形摆放正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”是解题的关键．利用主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而判断图形形状．【详解】解：由三视图可知从前面看是两个正方形；从左面看是一个正方形；从上面看，左边是三角形，右边是正方形，同时满足以上条件只有B 选项．故选：B ．2-12-122-12-z3．（本题4分）下列计算结果等于的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【分析】本题主要考查了幂的运算，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、除法法则、积的乘方以及幂的乘方法则是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂相乘，同底数幂相除，积的乘方以及幂的乘方等法则逐项判断即可．【详解】解：A 、与不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B 、，故选项符合题意；C 、，故选项不符合题意；D 、，故选项不符合题意；故选：B ．4．（本题4分）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组的解集为：，在数轴上表示如图所示： 6a 24a a +24()a a -×122a a ÷()32a -2a 4a 2424624()a a a a a a +-××===11210222a a a a -==÷()()33226a a a -=-=-32242x x x x -+<ìïí+£-ïî32242x x x x -+<ìïí+£-ïîＲＳ1x >2x £\12x <£z，故选：B ．5．（本题4分）下列函数中，当时，的值随的增大而增大的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【分析】本题考查了一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质，根据性质逐项分析即可，熟知一次函数、二次函数及反比例函数的增减性是解题的关键．【详解】解：A 、，是一次函数，，故随增大而减小，故不符合题意；B 、，是反比例函数，，在每个象限里，随的增大而减小，故不符合题意； C 、，是一次函数，，故随增大而增大，故符合题意；D 、，是二次函数，，故当图象在对称轴轴左侧，即时，随的增大而减小，故不符合题意．故选：C ．6．（本题4分）如图，正方形内接于，点E 在上连接，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，易得：，进而得到，即可得出结果．【详解】解：连接，则：0x <y x y x =-1y x =1y x =-21y x =-y x =-10k =-<y x 1y x =10k =>y x 1y x =-10k =>y x 21y x =-10a =>y 0x <y x ABCD O O ,BE CE 18ABE Ð=°BEC DCE Ð-Ð=16°17°18°20°,,,,OA OD OB OC OE 90AOD BOC Ð=Ð=°45,45BEC ABE DCE Ð=°Ð+Ð=°,,,,OA OD OB OC OE 111,,,222BEC BOC ABE AOE ECD DOE Ð=ÐÐ=ÐÐ=Ðz∴，∵正方形内接于，∴，∴，∴；故选C ．7．（本题4分）九（1）班三名同学进行唱歌比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重新确定出场顺序，则抽签后每个同学的出场顺序都发生变化的概率为（ ）A．B ．C ．D ． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求概率，正确画出树状图成为解题的关键． 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的情况，再利用概率公式即可解答．【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有2种情况，∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=．故答案为：． 12ABE ECD AOD Ð+Ð=ÐABCD O 360904AOD BOC °Ð=Ð==°145,452BEC ABE ECD AOD BEC Ð=°Ð+Ð=Ð=°=Ð18BEC DCE ABE Ð-Ð=Ð=°231213161313z8．（本题4分）如图，在矩形中，，分别在边和边上，于点，且为的中点，若，，则的长为（ ）A ．4B ．C ．D ．【答案】C 【分析】本题重点考查了矩形的性质，勾股定理，关键是由已知和为的中点得出为的中垂线．由已知和为的中点，可得为的中垂线，连接可得，分别在和中由勾股定理求出和，最后在中由勾股定理求出即可．【详解】解：连接，四边形是矩形，，∵且为的中点，，，在中，，在中ABCD E F CD AD BE CF ^G G CF 4AB =5BC =BG BE CF ^G CF BE CF BE CF ^G CF BE CF BF BF BC =Rt ABF Rt CDF アAF CF Rt BGF BG BF ABCD 90BAF CDF \Ð=Ð=°BE CF ^G CF 5BF BC \==90FGB Ð=°Rt ABF 3AF ===532DF AD AF \=-=-=Rt CDF アCF ==12FG CG CF \===z在中故选：．9．（本题4分）已知a 、b 为实数，下列四个函数图像中，不可能．．．是y 关于x 函数的图像的为（ ）A ．B．C． D ．【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图像位置与系数的关系，配方法的应用，正确熟练掌握知识点是解决本题的关键．对于二次函数，当同号，对称轴在y 轴左侧，当异号，对称轴在y 轴右侧，先对二次项系数进行配方，然后分类讨论．【详解】解： 当时，，故D 符合题意；当a ，b 均不为0时，，而一次项系数为， ∴对称轴在y 轴左侧； 当或时，，而一次项系数为， ∴对称轴在y 轴左侧，因此C 不符合题意，故选：C ．10．（本题4分）在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AD 边上的中点，BF 平分∠EBC 交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB 交BE 于点H ，则GH 的长为（ ）ABCDRt BGF BG C ()222y a ab b x x ab =++++2y ax bx c =++,a b ,a b 222222213134424a ab b a ab b b a b b æö++=+++=++ç÷èø0a b ==y x =2222222131304424a ab b a ab b b a b b æö++=+++=++>ç÷èø10>0,0a b =¹0,0a b ¹=2222222131304424a ab b a ab b b a b b æö++=+++=++>ç÷èø10>z 【答案】A【分析】将△ABE 绕B 点旋转，使AB 和BC 重合，设△BCK 是旋转后的△ABE ，证明BE ＝AE+CF ，由勾股定理得BE则CF ＝BE ﹣AE1，易证四边形BCFG 与四边形ADFG 都是矩形，得出CF ＝BG1，GH ∥AE，则△BGH ∽△BAE，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠BAE ＝∠BCD ＝90°，将△ABE 绕B 点旋转，使AB 和BC 重合，如图所示：设△BCK 是旋转后的△ABE ，∴△ABE ≌△CBK ，∴AE ＝CK ，BE ＝BK ，∠ABE ＝∠CBK ，∠BAE ＝∠BCK ＝90°，∴K 、C 、F 三点共线，∵BF 是∠EBC 的角平分线，∴∠EBF ＝∠FBC ，∴∠ABE+∠EBF ＝∠KBC+∠FBC ，∴∠ABF ＝∠FBK ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝2，AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠BFK ，∴∠KBF ＝∠BFK ，∴BK ＝KF ，∵KF ＝CK+CF ＝AE+CF ，BK ＝BE ，∴BE ＝AE+CF ，∵点E 是AD 边上的中点，∴AE ＝AD ＝1，由勾股定理得：BE∴CF ＝BE ﹣AE 1，∵四边形ABCD 是正方形，FG ⊥AB ，GH BG AE AB =12=z ∴四边形BCFG 与四边形ADFG 都是矩形，∴CF ＝BG1，GH ∥AE ， ∴△BGH ∽△BAE ，∴，即， ∴GH ＝，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质等知识；证明BE=AE+CF 是解题的关键．第II 卷二、填空题（共20分）11．（本题5分）因式分解： ．【答案】【分析】此题考查了因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解即可．【详解】解：故答案为： 12．（本题5分）2023年，安徽光伏制造业实现营业收入超2900亿元，首次跃居全国第3位．其中数据2900亿用科学记数法表示为【答案】 GH BG AE AB =1GH =3312a a -=()()322a a a +-()()()3231234322a a a a a a a -=-=+-()()322a a a +-112.910´【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．解题关键是正确确定a 的值以及n 的值．【详解】数据2900亿用科学记数法表示为．故答案为：．13．（本题5分）我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术)∶ 若 一 个 三角 形 的 三 边 长 分别 为 a ，b ，c ， 则 这 个 三 角 形 的 面 积长，，分别为为 【答案】【分析】本题主要考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质是解题的关键．把题中的三角形三边长代入公式，计算得出答案即可．【详解】解：根据题意，该三角形的三边长，，∴该三角形的面积． 故答案为：．14．（本题5分）如图，在中，，轴于点，双曲线经过点，且与交于点．若的面积为12，．请解决以下问题： 10n a ´1<10a £112.910´112.910´S =a b c a b c S ===ABC 90ACB Ð=°CA x ^A ()0k y x x=>C AB D ABC 3BD AD =z（1）若点纵坐标为1，则点的纵坐标为 ．（2） ．【答案】 4 2【分析】本题主要考查反比例函数系数k 的几何意义，相似三角形的判定与性质等知识：（1）过点作轴于点，过点作轴于点，则，可得，根据相似三角形的性质可得出点的纵坐标；（2）设，得，，由可求出，，由得代入求得【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，则，∴∴∵∴，即点的纵坐标为4；D B k =D DE x ^E B BF x ^F DE BF ＹBDE BAF ｄ B ,k C a a æöç÷èø(),0A a =k AC a 12,ABC S = 24a BC k =24,a k B a k a æö+ç÷èø3BD AD =6,4a k D a k a æö+ç÷èøk y x =2k =3BD AD = 4AB AD \=D DE x ^E B BF x ^F DE BFＹADE ABE ｄ 14AD DE AB BF ==1DE =4BF =B（2）设，轴，∴，，，，双曲线经过点故答案为：4，2．三、解答题（共90分）15．（本题8分）先化简，再求值，，其中． 【答案】，【分析】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】解：原式，当时，原式,k C a a æöç÷èøCA x ^ (),0A a kAC a \=1122ABC S AC BC =×= 24a BC k \=24,a k B a k a æö\+ç÷èø3BD AD = 6,4a k D a k a æö\+ç÷èø k y x =D 64a k k a k a æö\=+×ç÷èø2k \=22111x x x x-+--1x =1x -2221211111x x x x x x x x --+=-==----1x =11=-=z16．（本题8分）某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长，线上销售利润比原计划增长，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？【答案】该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，建立方程是解决本题的关键．设去年计划完成线下销售利润x 万元，线上销售利润y 万元，根据题意得，解方程组得出计划线上线下的利润，再计算实际利润即可．【详解】解：设去年计划完成线下销售利润x 万元，线上销售利润y 万元，根据题意得，解得，∴万元，万元．答：该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元．17．（本题8分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出，其顶点A ，B ，C 均为网格线的交点．(1)将沿水平方向向右平移5个单位，再向下平移3个单位，得到，画出；(2)将以点A 为中心，逆时针旋转90°，得到，画出；(3)求弧长．（结果用π表示）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)5%15%()()20015%115%225x y x y +=ìí+++=î()()20015%115%225x y x y +=ìí+++=î50150x y =ìí=î()15%5052.5+´=()115%150172.5+´=ABCABC 111A B C △111A B C △ABC 22AB C 22AB C 2CCz【分析】（1）分别作出平移后的，再依次连接，即可作答．（2）分别作出旋转后的，再依次连接，即可作答．（3）先求出半径再根据弧长公式列式计算，即可作答．【详解】（1）解：如图所示，为所求作的图形；（2）解：如图所示，为所求作的图形；（3）解：∵∴弧长为：， 【点睛】本题考查了勾股定理与网格、求弧长公式、平移作图，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键．18．（本题8分）【观察思考】如图，春节期间，广场上用红梅花（黑色圆点）和黄梅花（白色圆点）组成“中国结”图案．【规律总结】请用含n 的式子填空：111A B C ㄑㄑ22B C ㄑAC =111A B C △22AB C AC ==90CAC Ð=°2CC =（1）第n 个图案中黄梅花的盆数为______；（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n 个图案中红梅花的盆数可表示为______；【问题解决】（3）已知按照上述规律摆放的第n 个“中国结”图案中红梅花比黄梅花多68盆，结合图案中红梅花和黄梅花的排列方式及上述规律，求n 的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程；（1）根据前几个图案的规律，即可求解；（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：（1）第1个图案中黄梅花的盆数可表示为，第2个图案中黄梅花的盆数可表示为，第3个图案中黄梅花的盆数可表示为，第4个图案中黄梅花的盆数可表示为，…；第n 个图案中黄梅花的盆数可表示为；故答案为：；（2）第1个图案中红梅花的盆数可表示为，第2个图案中红梅花的盆数可表示为，第3个图案中红梅花的盆数可表示为，第4个图案中红梅花的盆数可表示为，…；第n 个图案中红梅花的盆数可表示为； 故答案为：； 12´23´34´45´24n +()1n n +9n =620+´621+´622+´623+´()62142n n +´-=+24n +12´23´34´45´()1n n +()1n n +z （3）根据题意得，整理得，即，解得（舍去）或．19．（本题10分）如图，小河岸边有一棵大树，大树的一边为河面，一边为河堤．为了测量小河岸边大树的高度，小明从树根部点A 沿河堤向上走了到达点C 处，测得大树顶端B 的仰角为，再继续向上走了到达点D 处，此时点D 和大树顶端B 在一条水平线上，试求大树的高度和河堤的坡比．（结果保留根号）【答案】大树的高度为；河堤的坡比为【分析】本题主要查了解直角三角形的实际应用．连接，过点C 作于点E ，于点F ，则，根据平行线分线段成比例可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，继而得到河堤的坡比为；设，则，在中，根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点C 作于点E ，于点F ，则，根据题意得：，，，∴， 即，在中，，∴是等腰直角三角形， ()46812n n n =+++2720n n --=()()890n n +-=8n =-9n =AB 10m 45°20m AB AB 12BD CE AB ^CF AF ^,CF AE AF CE ==2BE AE =BCE 2CE BE AE ==12m AE x =22m CE AE x ==Rt ACE AE BD CE AB ^CF AF ^,CF AE AF CE ==CE BD ；10m,20m AC CD ==45BCE Ð=°101202AE AC BE CD ===2BE AE =Rt BCE 45BCE Ð=°BCEz∴，∴， 即河堤的坡比为；设，则，在中，，∴， 解得：即，∴．20．（本题10分）如图，为的直径，和是的弦，延长、 交于点P ，连接、．(1)若点C 为的中点，且 ，求的度数；(2)若点C 为弧的中点，、的半径．【答案】(1)(2)【分析】（1）先证明垂直平分得到，由得到，再利用圆的内接四边形对角互补得到，，从而得到，，继而得到是等边三角形，即可得解； 2CE BE AE ==12CF AE AF CE ==12m AE x =22m CE AE x ==Rt ACE 222AC AE CE =+()222102x x =+x AE AB AE CE =+=AB O AC BD O AC BD AD CD AP PC PD =B ÐAD 4PD =PC =O 60°3BC AP AB PB =PC PD =PCD PDC Ð=ÐPCD ABD Ð=ÐPDC CAB Ð=ÐABD CAB Ð=ÐPA PB =PABz（2）证明得到，继而得到，再证明，得到，从而求得，从而得解．【详解】（1）解：如图，连接，∵为的直径，∴，又∵C 为的中点，∴垂直平分，∴，∵，∴， ∵，，∴，同理可知：，∴，∴，∴，即是等边三角形，∴；OC BP ；12AC CO AO AP PB AB ===AC PC ==AP =12CO PB =PDC PAB ＦPD PC AP PB =6PB =BC AB O 90ACB ADB Ð=Ð=°AP BC AP AB PB =PC PD =PCD PDC Ð=Ð180PCD ACD Ð+Ð=°180ABD ACD Ð+Ð=°PCD ABD Ð=ÐPDC CAB Ð=ÐABD CAB Ð=ÐPA PB =AB PB PA ==PAB 60ABP Ð=°z（2）解：连接∵点C 为弧的中点，即，∴，又∵，∴，∴，∴， ∴，∵，，∴， ∴，∴，∴，即的半径是3．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理的推论，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较大，灵活运用这些定理是解题的关键．21．（本题12分）某校准备组织开展四项项目式综合实践活动：“．家庭预算，．城市交通与规划，．购物决策，．饮食健康”．为了解学生最喜爱哪项活动，随机抽取部分学生进行问卷调查（每位学生只能选择一项），将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息回答下列问题：OC AD AC CD =OC AD ^90ADB Ð=°OC BP ；ACO APB アＦア12AC CO AO AP PB AB ===AC PC ==AP =12CO PB =PDC CAB PAB Ð=Ð=ÐP P Ð=ÐPDC PAB ＦPD PC AP PB ==6PB =132CO PB ==O A B C Dz(1)本次一共调查了______名学生，在扇形统计图中，的值是______；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有名学生，估计最喜爱和项目的学生一共有多少名？(4)现有最喜爱，，，活动项目的学生各一人，学校要从这四人中随机选取两人交流活动体会，请用列表或画树状图的方法求出恰好选取最喜爱和项目的两位学生的概率．【答案】(1)，；(2)补全统计图见解析图；(3)估计最喜爱和活动项目的学生一共有名；(4)．【分析】（）用喜欢项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；用减去其它项目所占的百分比，即可求出的值； （）用总人数乘以项目所占的百分比，求出项目的人数，从而补全统计图；（）用该校的总人数乘以喜爱和项目的学生所占的百分比即可；（）画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出最喜爱和项目的两位学生的结果数，然后根据概率公式求解；本题考查了列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．【详解】（1）被调查的学生有（名），，即， 故答案为：，；（2）最喜爱活动项目的学生有（名），m 2000B C A B C D C D 20020%B C 1400161A 100%m 2C C 3B C 412C D 2010%200÷=110%45%25%20%---=20%m =20020%C 20025%50´=z补全统计图如图所示：（3）（名） ，答：估计最喜爱和活动项目的学生一共有名；（4）画树状图为：共有种等可能的结果，最喜爱和项目的两位学生的可能情况由种，∴最喜爱和项目的两位学生的概率为． 22．（本题12分）在四边形中，点是对角线上一点，过点作交于点．(1)如图1，当四边形为正方形时，求的值为______； (2)如图2，当四边形为矩形时，，探究的值（用含的式子表示），并写出探究过程； (3)在（2）的条件下，连接，当，，时，求的长．【答案】(1)1(2)，详见解析509020001400200+´=B C140012C D 2C D 21126=ABCD E BD E EF AE ^BCF ABCD EF AE ABCD AB m BC =EF AEm CE 2AB =4BC =CE CD =EF EF m AE =z【分析】本题是相似形综合题，考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．(1) 过点E 分别作于点，于点，证明可证；(2) 过点分别作于点G ，于点，利用条件证明，得到再利用题目中的相等的边进行等量代换得到，在证明出得到，利用这两个比例式代换得到答案即可；(3) 作于，作于，利用勾股定理求出的长度，再证明出和等腰三角形的性质可求BE 的长，由相似三角形的性质可求和的长，由勾股定理可求的长，即可求解．【详解】（1）解：证明：过点E 分别作于点，于点．四边形是正方形．，平分．．四边形是正方形．，．，．． EG AB ^G EH BC ^H (ASA)AGE FHE Ｈ△△E EG AB ^EH BC ^H BGE BAD △△ｄBG GE AB AD =EH AB GE BC =AGE FHE ｄ△△EF EH AE GE =CH BD ^H EQ AB ^Q BD CHD BCD ＦAQ QE AE EG AB ^G EH BC ^H ABCD 90ABC BGE BHE \Ð=Ð=Ð=°BD ABC ÐGE HE \=\GBHE 90GEH \Ð=°EF AE ^ 90AEF GEH \Ð=Ð=°AEF GEF GEH GEF \Ð-Ð=Ð-ÐAEG FEH \Ð=Ðz 在和中．．．，故答案是：1；（2）（2）过点分别作于点G ，于点．四边形是矩形．，，．四边形BHEG 是矩形，，，． ，，，，． ，．，AGE FHE AGE FHE GE EHAEG FEH Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî (ASA)AGE FHE \Ｈ△△AE EF \=1EF AE \=E EG AB ^EH BC ^H ABCD 90ABC BGE EHB °\Ð=Ð=Ð=90BGE BAD Ð=Ð=°AD BC =\//GE AD BG EH \=90GEH Ð=°,BGE BAD ABD BD Ð=ÐÐ=Ð \BGE BAD △△ｄBG GE AB AD \=EH GE AB AD \=EH AB GE AD \=EH AB GE BC \=EF AE ^ 90AEF GEH \Ð=Ð=°z．．，．，，． ．（3）如图，作于，作于．，．，． ．．．．． AEF GEF GEH GEF\Ð-Ð=Ð-ÐAEG FEH \Ð=Ð90AGE FHEÐ=Ð=° AGE FHE \△△ｄEF EH AE GE \=EF AB AE BC \=m AB BC =EF m AE \=CH BD ^H EQ AB ^Q 2CD AB == 4BC =BD \=CDH CDB Ð=Ð 90CHD BCD Ð=Ð=°CHD BCD \ ＦDH CD CD BD \=2DH \=DH =ＢCD CE = 5EH DH \==z，，． ．由（2）结论得，．23．（本题14分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线与x 轴交于，两点，与y 轴交于点C ，连接．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当时，求线段的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接，，，使得与的面积相等，当线段的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．25DE EH \==E 5BE BD D QE AD \=-=ＹBQE BAD \△△ｄQE BE BQ AD BD AB \==3452QE BQ \==125QE \=65BQ =64255AQ AB BQ \=-=-=AE \=12EF AB AE BC ==12EF AE \==23y ax bx =+-()1,0A -()3,0B BC BC MP x ^3PA PB=MN AM QN QP PQN V APM △NQ【答案】(1)，(2)（ⅰ）；（ⅱ）m 的值为或【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算的解析式，然后设，则，，根据题意得到方程求出m 值，即可求出的长；（ⅱ）作于点R ，由（ⅰ）可得，，，然后分为点Q在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【详解】（1）由题意得，解得；（2）（ⅰ）当时，，∴，设直线为，∵点，∴，解得， ∴直线为，设，则，，∵，∴，解得，经检验符合题意，当时，，∴，，∴； 1a =2b =-2MN =3212BC (),3M m m -3PM PB m ==-1PA m =+133m m +=-MN QR PN ^1PA m =+3PB PM m =--223PN m m =-++309330a b a b --=ìí+-=î12a b =ìí=-î0x =3y =-()0,3C -BC 3y kx =-()3,0B 330k -=1k =BC 3y x =-(),3M m m -3PM PB m ==-1PA m =+3PA PB =133m m +=-2m =2m =2m =222233y =-´-=-3PN =31PM PB m ==-=2MN =（ⅱ）作于点R ，由（ⅰ）可得，，，的面积为，的面积为， ∴，解得； 当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为，纵坐标为， ∴R 点的坐标为，∵N 点坐标为，∴， ∴，∴当时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为，纵坐标为， ∴R 点的坐标为，∵N 点的坐标为，∴， ∴， ∴当时，NQ 取最小值． 综上，m 的值为或．QR PN ^1PA m =+3PB PM m =--223PN m m =-++PQN V ()21232m m QR -++×APM △()()1312m m -+()()()211233122m m QR m m -++×=-+1QR =1m QR m -=-()()2212134m m m m --´--=-()2,4m m m -()2,23m m m --32RN m =-()22231NQ m =-+32m =1m QR m +=+()()2212134m m m +-´+-=-()2,4m m -()2,23m m m --21RN m =-()222211NQ m =-+12m =3212。

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(湖北武汉卷)

2024年中考数学考前押题密卷+全解全析(湖北武汉卷)

2024年中考数学考前押题密卷（武汉卷）全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在数中0,2,7, 1.2−−中，属于负整数的是（ ）． A ．0 B ．2C ．7−D ． 1.2−【答案】C【分析】本题主要考查负整数的有关概念，解答本题的关键在于熟练掌握负整数的概念，按照负整数的概念直接选择正确答案即可．【详解】解：在数0,2,7, 1.2−−中，属于负数的有：7 1.2−−，； 属于负整数的有：7−． 故选：C ．2．如图，ABCD 为一条长方形纸带，AB CD ∥，将ABCD 沿EF 折叠，A ，D 两点分别与A '，D '对应，若70CFE ∠=︒，则BEA ∠'的度数是（ ）A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒【答案】C【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知折叠的性质及平行线的性质是解决问题的关键．如图，由折叠的性质可知3=4∠∠，已知AB CD ∥，根据两直线平行，内错角相等可得31440∠=∠=∠=︒，从而可得答案．【详解】解：如图，由折叠的性质可知3=4∠∠，∵AB CD ∥，70CFE ∠=︒， ∴3170∠=∠=︒， ∴3470∠=∠=︒，∴218027040︒︒∠=−⨯=︒，即40BEA ∠'=︒； 故选C ．3．现要设计一个转盘游戏，使得随机转动转盘一次，指针落在阴影部分的概率为16，则下列被等分的转盘中最符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据随机事件概率大小的求法，依次判断，即可求解， 本题考查了概率的求法，解题的关键是：熟练掌握概率公式．【详解】解：A 、转盘被分成8个大小相同的扇形，其中阴影部分的扇形有3个，指向阴影部分的概率是38，不符合题意，B 、转盘被分成4个大小相同的扇形，其中阴影部分的扇形有1个，指向阴影部分的概率是14，不符合题意，C 、转盘被分成6个大小相同的扇形，其中阴影部分的扇形有1个，指向阴影部分的概率是16，符合题意，D 、转盘被分成5个大小相同的扇形，其中阴影部分的扇形有2个，指向阴影部分的概率是25，不符合题意， 故选：C ．4．下列运算中，正确的是（ ） A ．246+=a a a B ．()323628ab a b −=− C ．222()a b a b +=+ D ．326a a a ⋅=【答案】B【分析】本题主要考查积的乘方、完全平方公式及同底数幂的乘法，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据积的乘方、完全平方公式及同底数幂的乘法进行求解即可． 【详解】解：A 、2a 与4a 不是同类项，所以原计算错误，故不符合题意；B 、()323628ab a b −=−，原计算正确，故符合题意；C 、222()2a b a ab b +=++，原计算错误，故不符合题意；D 、325a a a ⋅=，原计算错误，故不符合题意； 故选B ．5．如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【答案】B【分析】本题主要考查由三视图还原几何体．根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．【详解】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1＝5个， 故选：B ．6 ）①函数图像经过点(1,1)−；②图像经过第二象限；③当0x >时，y 随x 的增大而增大． A ．y x =− B ．2y x =−C ．1y x=−D ．21y x =−．【答案】C【分析】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可．【详解】解：A. y x =−，①函数图像经过点(1,1)−；②图像经过第二、四象限；③当0x >时，y 随x 的增大而减小，故此选项不符合题意；B. 2y x =−，①函数图像经过点(1,1)−；②图像经过第一、三、四象限；③当0x >时，y 随x 的增大而增大，故此选项不符合题意；C. 1y x =−，①函数图像经过点(1,1)−；②图像经过第二、四象限；③当0x >时，y 随x 的增大而增大，故此选项符合题意；D. 21y x =−，①函数图像经过点(1,0)；②图像经过第一、二、三、四象限；③当0x >时，y 随x 的增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：C ．7．从1，2，3，4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a ，c ，则关于x 的一元二次方程230ax x c ++=有实数根的概率为（ ） A ．23B ．13C ．14 D ．16【答案】D【分析】本题主要考查了求随机事件的概率和一元二次方程有实数解的判定． 首先根据关于x 的一元二次方程有实数根，可知940ac ∆=−≥，得出94ac ≤，再通过列表即可求得所有等可能的结果，共有12种等可能的结果，其中满足94ac ≤共有2种结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230ax x c ++=有实数根， ∴940ac ∆=−≥而且0a ≠， ∴94ac ≤而且0a ≠， 列表如下：共有6种等可能的结果，其中满足94ac ≤共有2种结果， ∴关于x 的一元二次方程230ax x c ++=有实数根的概率为21126=． 故选：D ．8．如图，AB 是O 的直径，将弦AC 绕点A 顺时针旋转30︒得到AD ，此时点C 的对应点D 落在AB 上，延长CD ，交O 于点E ，若4CE =，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．C ．2π4−D ．2π−【答案】C【分析】本题考查了求不规则图形的面积，旋转的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，连接OE OC BC ，，，根据等腰三角形、半圆所对圆周角为90︒的性质可推出EOC △为等腰直角三角形，再根据OEC OEC S S S =−阴影扇形△进解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接OE OC BC ，，，由旋转知AC AD =，30CAD ∠=︒，∴60BOC ∠=︒，()18030275ACE ∠=︒−︒÷=︒， ∵AB 是O 的直径， ∴90ACB ∠=︒，∴9015BCE ACE ∠=−∠=︒︒， ∴230BOE BCE ∠=∠=︒，∴90EOC ∠=︒，即EOC △为等腰直角三角形， ∵4CE =， ∴2224OE OC +=， ∴OE OC ==∴(290π12π43602OECOEC SS S⨯=−=−⨯−阴影扇形 故选：C ．9．如图，矩形AOBC 的顶点坐标分别为()0,3A ，()0,0O ，()4,0B ，()4,3C ，动点F 在边BC 上（不与B 、C 重合），过点F 的反比例函数ky x=的图象与边AC 交于点E ，直线EF 分别与y 轴和x 轴相交于点D 和G ，若2512DE EG ⋅=，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】设12k m =，则()43E m ，，()43F m ，，4AE m =，待定系数法求直线EF 的解析式为3y x 3m 34=−++，进而可求()033D m +，，()440G m +，，则3AD m =，由勾股定理得，5DE m ==，如图，作EM OB ⊥于M ，则43OM m EM ==，，4=，由勾股定理得，5EG =，则255512DE EG m ⋅=⨯=，可求112m =，进而可求k 的值． 【详解】解：设12k m =，则()43E m ，，()43F m ，，4AE m =， 设直线EF 的解析式为y ax b =+，则4343ma b a b m +=⎧⎨+=⎩，解得，3433a b m ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩， ∴直线EF 的解析式为3y x 3m 34=−++，当0x =时，33y m =+，即()033D m +，， 当0y =时，44x m =+，即()440G m +，， ∴3AD m =，由勾股定理得，5DE m ==，如图，作EM OB ⊥于M ，则43OM m EM ==，，∴4MG OG OM =−=，由勾股定理得，5EG ==， ∴255512DE EG m ⋅=⨯=，解得，112m =，∴1k =， 故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，反比例函数解析式，一次函数解析式，勾股定理是解题的关键．10．如图，P 为正方形ABCD 内一点，过P 作直线PD 交BC 于点E ，过P 作直线GH 交AB DC 、于G ，H ，且GH DE =．若,15APD DEC EDC ∠=∠∠=︒．以下结论：①30DAP ∠=︒；②:4ABP ABCD S S =△正方形；③DH DE ⊥PE PG =+，其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】①根据正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，判定①；②过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，根据30︒直角三角形的性质求高，计算面积比，判定②； ③直接根据15EDC ∠=判定③，④过点G 作GK AD ∥交CD 于K ，连接DG ，可证得GHK DEC ≌，进而得30DGP DAP ∠=∠=︒，过点B 作BN BP ⊥，交PG 的延长线于N ，连接DG 可证得DGA DEC ≌，BGN BEP ≌，再证得BPN △是等腰直角三角形，即可判断④．【详解】①∵四边形ABCD 是正方形，∴AD BC AB CD ===，AD BC ∥，90BAD ADC DCE ∠=∠=∠=︒， ∴ADE DEC ∠=∠， ∵APD DEC ∠=∠， ∴ADE APD ∠=∠， ∴AP AD =， ∴AP AB =， ∵15EDC ∠=︒，∴901575ADP APD ∠=︒−︒=︒=∠， ∴180757530DAP ∠=︒−︒−︒=︒， 故①正确．②过点P 作PQ AB ⊥于点Q ，如图所示，∵903060BAP DAB DAP ∠=∠−∠=︒−︒=︒，AP AB = ∴ABP 是等边三角形； ∴12AQ QB AB ==，∴PQ AB =，∴21:():()42ABP ABCD S S AB AB AB ==△正方形故②错误； ③∵15EDC ∠=， ∴DH 和DE 不垂直， 故③是错误的；④如图，过点G 作GK AD ∥交CD 于K ，连接DG ，则90GKH ADC DKG ∠=∠=︒=∠， ∴GKH DCE ∠=∠，∵90BAD ADC DKG ∠=∠=∠=︒， ∴四边形ADKG 是矩形， ∴GK AD CD ==， ∵GH DE =，∴()Rt Rt HL GHK DEC ≌， ∴GHK DEC ∠=∠， ∵90DEC EDC ∠+∠=︒， ∴90GHK EDC ∠+∠=︒， ∴90DPH ∠=︒，∴18090DPG DPH ∠=︒−∠=︒， ∵180DPG BAD ∠+∠=︒， ∴四边形ADPG 是圆内接四边形， ∴30DGP DAP ∠=∠=︒，过点B 作BN BP ⊥，交PG 的延长线于N ，连接DG ，∵90GBN GBP ∠+∠=︒，90GBP EBP ∠+∠=︒， ∴GBN EBP ∠=∠，∵360EBG BGP EPG BEP ∠+∠+∠+∠=︒， ∴()360180BGP BEP EBG EPG ∠+∠=︒−∠+∠=︒，∵180BGP BGN ∠+∠=︒， ∴BGN BEP ∠=∠， ∵30DGP ∠=︒， ∴60GDP ∠=︒，∴90601515ADG EDC ∠=︒−︒−︒=︒=∠， ∴()ASA DGA DEC ≌， ∴AG CE =， ∴BG BE =，∴()ASA BGN BEP ≌ ∴=BN BP ，GN PE =， ∴BPN △是等腰直角三角形，∴PN =，∵PN PG GN PE PG =+=+，,PE PG =+ 故④正确，综上，①④正确．故选：B ．形的判定以及性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若|2024|2a −=，其中a ，b 均为整数，则a b += ． 【答案】4或2或0【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解决此题的关键是得出a 、b 可能的取值．先根据绝对值和算术平方根的非负性得：20240a −≥0，得a ，b 可能的取值，再代入进行计算即可求解．【详解】解：|2024|2a −=，其中a ，b 均为整数，又20240a −≥0，∴可分以下三种情况：|2024|0a −=2=，解得：2024=a ，2020b =−，4a b ∴+=；|2024|1a −=1，解得：2023a =或2025，2023b =−，0a b ∴+=或2；|2024|2a −=0=，解得：2026a =或2022，2024b =−．2a b ∴+=； 故答案为：4或2或012．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万数据7358万用科学记数法表示 ． 【答案】77.35810⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值10≥时，n 是正数，当原数的绝对值1<时，n 是负数，根据此可得出结果． 【详解】解：77358735800007.35810==⨯万， 故答案为：77.35810⨯．【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，正确确定a 的值以及n 的值是解本题的关键． 13．在平面直角坐标系xOy 中，若函数23y x =−的图象经过点(),A a b ，则代数式2231a ab a −−+的值为 ． 【答案】1【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把(),A a b 代入函数23y x =−得23b a =−，代入代数式解答即可．【详解】解：把(),A a b 代入函数23y x =−得：23b a =−，把23b a =−代入2231a ab a −−+得：()222331a a a a −−−+2222331a a a a =−+−+1=，故答案为：1．14．在ABCD Y 中，BAD ∠的平分线交边CD 于点E ，与边AB 的垂直平分线相交于点O ，若点O 恰好为线段AE 的中点，且2tan 3DAE ∠=，2EC =，则BC 的长是 ．【答案】265【分析】连接BE ，得DEA BAE ∠=∠，而DAE BAE ∠=∠，所以DEA DAE ∠=∠，则ED AD BC ==，所以22AB CD ED BC ==+=+，由FO 垂直平分AB ，点O 是线段AE 的中点，得90BEC ABE AFO ∠=∠=∠=︒，所以2tan tan 3BE BAE DAE AB =∠=∠=，则224333BE AB BC ==+，由勾股定理得22224()233BC BC ++=，求得265BC =，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接BE ，四边形ABCD 是平行四边形，2CE =， CD AB ∴∥，DEA BAE ∴∠=∠，BAD ∠Q 的平分线交边CD 于点E ，DAE BAE ∴∠=∠，DEA DAE ∴∠=∠，ED AD BC ∴==，22AB CD ED BC ∴==+=+，FO 垂直平分AB ，点O 是线段AE 的中点， 90AFO ∴∠=︒，AF BF =，AO EO =，BE FO ∴，90BEC ABE AFO ∴∠=∠=∠=︒，∴2tan tan 3BE BAE DAE AB =∠=∠=， 2224(2)3333BE AB BC BC ∴==+=+， 222BE CE BC +=，22224()233BC BC ∴++=， 整理得2516520BC BC −−=， 解得265BC =或2BC =−（不符合题意，舍去）， BC ∴的长是265， 故答案为：265．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．15．新定义：我们把抛物线2y ax bx c =++，（其中0ab ≠）与抛物线2y bx ax c =++称为“关联抛物线”．例如：抛物线223y x x =++的“关联抛物线”为223y x x =++．已知抛物线21:694(0)C y ax ax a a =++−>的“关联抛物线”为2C ，抛物线2C 的顶点为P ，且抛物2C 与x 轴相交于M 、N 两点，点P 关于x 轴的对称点为Q ，若四边形PMQN 是正方形，那么抛物线1C 的表达式为 ． 【答案】2317244y x x =+− 【分析】本题考查了抛物线新定义问题，正确理解定义，熟练掌握平行坐标轴直线上两点间距离计算方式是解题的关键．根据定义，得到抛物线2C 的表达式，然后利用公式求出顶点P 坐标和对称点Q 坐标，根据四边形PMQN 是正方形求出MN 距离，然后利用两点间距离公式和一元二次方程根与系数的关系求出a 的值，即可求解．【详解】解： 21:694(0)C y ax ax a a =++−>，∴“关联抛物线”2C 为：2694(0)y ax ax a a =++−>，设抛物线2C 的顶点(,)P x y ，则6322b a x a a =−=−=−，2244(94)(6)444ac b a a a y a a −−−===−，∴ 抛物线2C 的顶点(3,4)P −−， ∴ 点P 关于x 轴的对称点(3,4)Q −，连接PQ 交x 轴于H ，如图所示，四边形PMQN 是正方形，∴ 4MH QH HN ===， ∴ 8MN =，设抛物线2C ：2694(0)y ax ax a a =++−>与x 轴交点1(,0)M x ，2(,0)N x ，1x ，2x 即为方程26940ax ax a ++−=的根， 则1266b a x x a a +=−=−=−，129449c a x x a a a−===−，128MN x x =−==，解得14a =，∴抛物线1C 的表达式为2111694444y x x =⨯⨯++⨯−，即2317244y x x =+−，∴ 故答案为：2317244y x x =+−．16．如图，正方形ABCD 的边长为16，线段CE 绕着点C 逆时针方向旋转，且6CE =，连接BE ，以BE 为边作正方形BEFG ，M 为AB 边上的点，且13BM AM =，当线段FM 的长最小时，tan ECB ∠= ．【答案】17【分析】本题考查了圆的性质，正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数，连接,,BD BF DF ，证明BDF BCE ∽，得到DF BDCE BC=，DF =确定点F 在以点D 为圆心，以DF =当点M 、F 、D 三点一线时，FM 的长最小，过点M 作MN BD ⊥，计算tan tan MDN ECB ∠=∠． 【详解】连接BD BF DF ，，，正方形ABCD 的边长为16，正方形BEFG ，∴BD ==BD BFBC BE==，4545DBC FBE ∠=︒∠=︒，， ∴BE BFBC BD=，FBD EBC ∠=∠， ∴BDF BCE ∽， ∴DF BDCE BC=，ECB FDB ∠=∠，∴6DF∴DF =∴点F 在以点D 为圆心，以DF = ∴当点M 、F 、D 三点一线时，FM 的长最小，过点M 作MN BD ⊥，13BM AM=，正方形ABCD的边长为16，∴4BM=，MN BN=，∴DN BD BN=−=∴1tan tan7MNMDN ECBDN∠=∠==．故答案为：17．三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解不等式组()213113x xxx⎧−−≥−⎪⎨+<−⎪⎩，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．【答案】25x<≤，数轴上表示见解析【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将解集在数轴上表示出来即可．【详解】解：解不等式()213x x−−≥−，得5x≤，解不等式113xx+<−，得2x>，∴不等式组的解集为25x<≤，在数轴上表示为：．18．问题：如图，点B，C，E，F在同一直线上，BE CF=，若，求证．在AB DF=①，AC DE=②，AB DF∥③这三个条件中选择其中两个，剩余的一个条件补充在结论中，并完成问题的解答．【答案】AB DF=①，AC DE=②；AB DF∥③或AB DF=①，AB DF∥③；AC DE=②，证明见解析．【分析】本题考查全等三角的判定与性质，平行线的性质与判定，根据题意选择条件即可，熟练掌握全等三角的判定与性质，平行线的性质与判定是解题的关键．【详解】第一种情况AB DF =①，AC DE =②，求证：AB DF ∥③， 证明：∵BE CF =， ∴BE CE CF CE −=−， ∴BC EF =，在ABC 与DFE △中，AB DF AC DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABC DFE ≌， ∴B F ∠=∠， ∴AB DF ∥．故答案为：AB DF =①，AC DE =②；AB DF ∥③； 第二种情况AB DF =①，AB DF ∥③，求证：AC DE =②， 证明：∵BE CF =， ∴BE CE CF CE −=−， ∴BC EF =， ∵AB DF ∥， ∴B F ∠=∠，在ABC 与DFE △中，AB DF B F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABC DFE ≌， ∴AC DE =；故答案为：AB DF =①，AB DF ∥③；AC DE =②．19．2024年春节前夕，江西某地文旅部门出大招：个人可在朋友圈自己策划文案并配图对本地景区进行宣传，凡是获奖者可获得景区免费年票．组织者随机抽取若干作品进行评估，分为优、良、中、差四个等级（优秀作品可获免费年票），并绘制了如图所示两幅不完整统计图．(1)本次抽取的作品数量为______，m=______；(2)请求出抽取的作品中，等级为“中”的数量并补全条形统计图；(3)若本次活动共有12000名参与者，请估计参与者中能获得景区免费年票的人数．【答案】(1)30；108；(2)8人，图见解析(3)3600人．【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．（1）根据“良”的人数和所占的百分比即可求出本次抽取的作品数量，用360︒乘以“优”的人数所占的百分比即可求出m的值；（2）用总人数减去“优”、“良”、“差”的人数，求出“中”的人数，即可补全条形统计图；（3）用12000乘以“优”所占的百分比即可得出答案；【详解】（1）解：本次抽取的作品数量为：1240%30÷=（个），∴936010830︒⨯=︒，∴108m=，故答案为：30；108；（2）样本中为“中”的作品数为：3091218−−−=（个），补全条形统计图如下图所示．（3）912000360030⨯=（人）， 答：参与者中能获得景区免费年票的人数约为3600人．20．如图，AB 为O 的直径，AC 和BD 是O 的弦，连接,AD CD ．(1)若点C 为AP 的中点，且PC PD =，求B ∠的度数；(2)若点C 为弧AD 的中点，4PD =，PC =O 的半径． 【答案】(1)60︒ (2)3【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得90ADB ∠=︒，在Rt ADP 中，点C 为斜边AP 的中点，则CD AC PC ==，再根据PC PD =可得PCD 为等边三角形，则60PCD ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质可得B ∠的度数；（2）根据点C 为弧AD 的中点得CAD CDA ∠=∠，AC CD =，证CDP P ∠=∠得CD PC ==AC CD PC ===AP =PCD PBA ∽得::CD AB PD PA =，由此可得6AB =，由此可得⊙O 的半径．【详解】（1）解：∵AB 为O 的直径， ∴90ADB ∠=︒，在Rt ADP 中，点C 为斜边AP 的中点， ∴CD AC PC ==，∵PC PD =， ∴CD PC PD ==， ∴PCD 为等边三角形， ∴60PCD ∠=︒，∵四边形ABDC 内接于O ，∴180PCD ACD ∠+∠=︒，180ACD B ∠+∠=︒， ∴60B PCD ∠=∠=︒； （2）∵点C 为弧AD 的中点， ∴CAD CDA AC CD ∠=∠=，， ∵90ADB ∠=︒， ∴90CDA CDP ∠+∠=︒，在Rt ADP 中，90CAD P ∠+∠=︒， ∴CDP P ∠=∠，∴CD PC ==∴AC CD PC ===∴AP AC PC =+= ∵PCD B P P ∠=∠∠=∠,， ∴PCD PBA ∽， ∴::CD AB PD PA ＝， 即PD AB CD PA ⋅⋅＝，∴4AB ⋅= ∴6AB =， ∴O 的半径为132AB =． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，等边三角形和等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等，综合运用各知识点是解决问题的关键．21．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，三角形ABC 内接于圆，且顶点A ，B 均在格点上，顶点C 是圆与网格线的交点．(1)线段AB 的长为 ．(2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆心O 及O 上的一点P ，使得PCB PAC ∠=∠，并简要说明圆心O 和点P 的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】(2)见解析【分析】（1）由勾股定理即可求得线段AB 的长；（2）根据同圆中，直角所对的弦是直径即可得出圆心；根据中位线的性质得出H 是BC 的中点；根据平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧可得PC PB =，根据圆周角即可得出PCB PAC ∠=∠．【详解】（1）解：由勾股定理可得：AB（2）解：如图：取圆与网格线的交点D ，E ，F ，G ，连接DE ，FG ，DE 与FG 交于点O ，点O 即为所求圆心；取格点M ，N ，S ，T ，连接MN ，ST ，与网格线分别相交于点J ，K ，连接JK 并延长与BC 相交于点H ，连接OH 并延长与O 相交于点P ，即为所求．根据点A 与点B 在格点上，借助格点确定圆与网格线的交点D ，E ，F ，G ，使得90EAD FBG ==︒∠∠， ∴DE ，FG 均为圆上的直线， ∴DE 与FG 交点O 即为所求圆心；取格点M ，N ，S ，T ，连接MN ，ST ，与网格线分别相交于点J ，K ，连接JK ，可得JK BF ∥；连接JK 并延长与BC 相交于点H ， ∴H 是BC 的中点；连接OH 并延长与O 相交于点P ， ∴OH 垂直平分BC ， ∴PC PB =， ∴PCB PAC ∠=∠．【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理与网格问题，圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的应用等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．22．随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速每秒减少a （m /s ），该型号汽车刹车时速度为0v （m s /），刹车后速度v （m s /）、行驶的距离为s （m ）与时间t （s ）之间的关系如下表：(1)求v 与t 的函数关系式；(2)s 与t 满足函数关系式2s pt qt =+，求该汽车刹车后行驶的最大距离；(3)普通司机在遇到紧急情况时，从发现情况到刹车的反应时间是b （s ），0.50.8b ≤≤，一个普通司机驾驶该型汽车以0v （m /s ）的速度行驶，突然发现导航提示前面60m 处路面变窄，需要将车速降低到5m /s 以下安全通过，司机紧急刹车，能否在到达窄路时将车速降低到5m /s 以下？请通过计算说明． 【答案】(1)520v t =−+ (2)40(3)不能在到达窄路时将车速降低到5m /s 以下 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用；（1）根据表格数据，v 随着t 的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为v kt b =+，进而待定系数法求解析式，即可求解；（2）先待定系数法求出解析式，进而根据二次函数的性质，即可求解；（3）根据（1）（2）的结论得出,s v 的函数关系式，当5v =时，求得汽车刹车后行驶的最大距离，进而结合题意求得刹车后行驶的距离，比较大小，即可求解．【详解】（1）解：根据表格数据，v 随着t 的变化均匀变化，符合一次函数，设解析式为v kt b =+， 将()()1,152,10，代入得：15102k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：520k b =−⎧⎨=⎩∴v 与t 的函数关系式为520v t =−+（2）解：将()()1,17.5,2,30代入2s pt qt =+， ∴17.54230p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得： 2.520p q =−⎧⎨=⎩ ∴22.520s t t =−+()22.58t t =−−()22.581640t t =−−++()22.5440t =−−+∴当4t =时，s 取得最大值，即该汽车刹车后行驶的最大距离为40米； （3）解：依题意，520v t =−+， 当0t =时，20v =，从发现情况到刹车的反应时间是b （s ），0.50.8b ≤≤， 接到提示到紧急刹车所行驶的路程范围是1016s ≤≤，5v =时，3t =，刹车后行驶的距离为22.5320337.5s =−⨯+⨯=（米）， 到达窄路前行驶的距离范围是53.5s ≤， ∵53.560<，∴能在到达窄路时将车速降低到5m /s 以下．23．（1）如图①，在四边形ABCD 中，AB CD =，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，连接FE 并延长，分别与BA ，CD 的延长线交于点M ，N ．求证：BME CNE ∠=∠．（2）如图②，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF ，分别交DC ，AB 于点M ，N ，判断OMN 的形状，请直接写出结论．（3）如图③，在ABC 中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=︒，连接GD ，判断AGD △的形状，请直接写出结论． （4）如图④，四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，5AB =，12CD =，132EF =，试求BMF CNF ∠+∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）OMN ∆是等腰三角形；（3）AGD △是直角三角形；（4）90BMF CNF ∠+∠=︒ 【分析】（1）取BD 的中点H ，连接FH 、HE ，利用三角形中位线定理和平行线性质完成即可； （2）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．（3）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形FAG △是等边三角形，再进一步确定30FGD FDG ∠=∠=︒，进而求出90AGD ∠=︒，故AGD △的形状可证；（4）连接BD ，取BD 的中点HM 连接EH ，HF ，根据三角形的中位线的性质得到EH AB ∥，1522EH AB ==，HF CD ∥，162HF CD ==，根据平行线的性质得到HEF BMF ∠=∠，HFE CNF ∠=∠，根据勾股定理的逆定理得90EHF ∠=︒，再求解即可得到结论．【详解】（1）证明：如图所示，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE 、HF ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，HF ∴、HE 分别是BCD △、ABD △的中位线，HF CN ∴∥，HE BM ∥，11,22HF CD HE AB ==， AB CD =，HF HE ∴=， HEF HFE ∴∠=∠，HF CN ∥，HE BM ∥，HEF BME ∴∠=∠，HFE CNE ∠=∠，BME CNE ∴∠=∠；（2）解：OMN ∆是等腰三角形．理由：如图，取BD 的中点P ，连接PE ，PF ，点E 、F 、P 分别是BC 、AD 、BD 的中点， PE CD ∴，12PE CD =，PF AB ，12PF AB =， PEF OMN ∴∠=∠，PFE ONM∠=∠，AB CD =，PF PE ∴=，PEF PFE ∴∠=∠，OMN ONM ∴∠=∠，OM ON ∴=，OMN ∴是等腰三角形．（3）解：AGD △是直角三角形．理由：如图连接BD ，取BD 的中点H ，连接HF 、HE ，F 是AD 的中点，HF AB ∴∥，12HF AB =， 同理，HE CD ∥，12HE CD =， AB CD =，HF HE ∴=，60EFC ∠=︒，60HEF ∴∠=︒，HEF ∴是等边三角形，60HEF HFE ∴∠=∠=︒，360EFC AFG ∴∠=∠=∠=︒，AGF ∴V 是等边三角形．AF FD =，GF FD ∴=，30FGD FDG ∴∠=∠=︒，90AGD ∴∠=︒，即AGD △是直角三角形；（4）解：连接BD ，取BD 的中点H ，连接EH ，HF ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，EH AB ∴∥，1522EH AB ==，HF CD ∥，162HF CD ==，HEF BMF ∴∠=∠，HFE CNF ∠=∠，132EF =， 22222513622EH HF ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222EH HF EF +=，90EHF ∴∠=︒， 90HEF HFE ∴∠+∠=︒，90BMF CNF ∴∠+∠=︒．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线214y x bx c =++交x 轴于点()20A −，，()70B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，若点M 是第四象限内抛物线上一点，MN y ∥轴交BC 于点N ，MQ BC 求32MN BQ +的最大值；(3)如图2，在y 轴上取一点(0,7)G ，抛物线沿BG 方向平移新抛物线与x 轴交于点E ，F ，交y 轴于点D ，点P 在线段FD 上运动，线段OF 关于线段OP 的对称线段OF '所在直线交新抛物线于点H ，直线F P '与直线BG 所成夹角为45︒，直接写出点H 的横坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为217254y x x =−−； (2)32MN BQ +有最大值494；(3)H 点的横坐标为2−或6 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）过B 点作BE x ⊥轴交MQ 于点E ，可得四边形MNBE 是平行四边形，再由ABC AQM ∠=∠，1tan tan 2BE ABC AQM BQ ∠=∠==，推导出342MN BQ MN +=，设2157,442M m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，17,22N m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，可得247MN x x =−+，当72m =时，32MN BQ +有最大值494；（3）求出平移后的函数解析式为211494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，直线FD 的解析式为334y x =−，设3,34P t t ⎛⎫− ⎪⎝⎭，当PF x '∥轴时，直线F P '与直线BG 所成夹角为45︒，求出161255F ⎛⎫−− ⎪⎝'⎭，，可得直线OF '的解析式为34y x =，直线与抛物线的交点即为H 点；当PF x '⊥轴时，直线F P '与直线BG 所成夹角为45︒，求出121655F ⎛'⎫− ⎪⎝⎭，，可得直线OF '的解析式为43y x =−，直线与抛物线的交点即为H 点．【详解】（1）解：将点()20A −，，()70B ，代入214y x bx c =++， ∴12049704b c b c −+=⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得5472b c ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩，∴抛物线的解析式为2174254y x x =−−； （2）解：当0x =时，72y =−，70,2C ⎛⎫∴− ⎪⎝⎭，设直线BC 的解析式为72y kx =−， 将点B 代入，可得7702k −=， 解得12k =， ∴直线BC 的解析式为1722y x =−， 过B 点作BE x ⊥轴交MQ 于点E ，∵MN y ∥轴， ∴MN BE ∥， ∵BC MQ ∥，∴四边形MNBE 是平行四边形， ∴=MN BE ，∵BC MQ ∥，ABC AQM ∴∠=∠，1tan tan 2OC ABC AQM OB ∴∠=∠==，∴12BE BQ =， 2BQ BE ∴=， 342MN BQ MN ∴+=， 设2157,442M m m m ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，17,22N m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，222171577494472244224MN m m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=−−++=−+=−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当72m =时，32MN BQ +有最大值494；（3）解：抛物线沿BG 方向平移∴抛物线沿x 轴负半轴平移2个单位，沿y 轴正方向平移2个单位，∴平移后的函数解析式为211494216y x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭， 当0y =时，2114904216x ⎛⎫−−= ⎪⎝⎭，解得4x =或3x =−， (3,0)E ∴−，(4,0)F ，当0x =时，=3y −， (0,3)D ∴−，设直线FD 的解析式为3y mx =−，430m ∴−=，解得34m =，∴直线FD 的解析式为334y x =−， 设3,34P t t ⎛⎫− ⎪⎝⎭，7OB OG ==，45OBG ∴∠=︒，当PF x '∥轴时，直线F P '与直线BG 所成夹角为45︒，4OF OF '∴==，PF OF '=，34,34F t t ⎛⎫∴−− ⎪⎝⎭'，4∴=解得45t =或365t =（舍)， 161255F ⎛⎫∴−− ⎪⎝'⎭，，∴直线OF '的解析式为34y x =，当23113444x x x =−−时，解得2x =−或6x =， H ∴点横坐标为2−或6；当PF x '⊥轴时，直线F P '与直线BG 所成夹角为45︒，5(4)4PF t '=−，PF PF '=， (),28F t t '∴−，4OF '=，∴4，解得4t =（舍)或125t =， 121655F ⎛⎫∴− ⎪⎝'⎭，，∴直线OF '的解析式为43y x =−，当24113344x x x −=−−时，解得x x =，H ∴综上所述：H 点的横坐标为2−或6 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查二次函数的图象及性质，解直角三角形，二次函数的平移，勾股定理，平行四边形的判定和性质．熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质是解题的关键．。

初三数学试卷中考押题

初三数学试卷中考押题

一、选择题（本大题共10题，每题4分，满分40分）1. 已知a、b是实数，且a²+b²=1，则下列选项中正确的是（）A. a+b=0B. a²-b²=1C. a²+b²=2D. ab=0解析：根据题意，a²+b²=1，故选项C正确。

2. 下列函数中，在定义域内是奇函数的是（）A. y=x²B. y=x³C. y=x²+1D. y=x²-1解析：根据奇函数的定义，当x取相反数时，函数值也取相反数。

只有选项B满足条件，故选B。

3. 在△ABC中，已知∠A=30°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°解析：根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，代入已知角度，可得∠C=105°，故选D。

4. 下列各式中，能表示x²-4的两个因式分解式是（）A. (x+2)(x-2)B. (x+1)(x-3)C. (x-1)(x+3)D. (x+1)(x+3)解析：根据因式分解的定义，选项A满足条件，故选A。

5. 已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-2），则下列选项中正确的是（）A. a>0，b>0，c>0B. a>0，b<0，c<0C. a<0，b>0，c<0D. a<0，b<0，c>0解析：根据二次函数的性质，开口向上时，a>0；顶点坐标为（1，-2），则b=-2，c=-2，故选项B正确。

6. 已知一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的解为x₁=-1，x₂=2，则下列选项中正确的是（）A. a=1，b=3，c=2B. a=1，b=-1，c=-2C. a=-1，b=3，c=-2D. a=-1，b=-1，c=2解析：根据一元二次方程的解的性质，有x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a，代入已知解，可得a=-1，b=3，c=-2，故选C。

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中考考前押题卷数学(解析版)一、选择题，每题3分，共24分1．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ） A ．﹣10℃B ．﹣6℃C ．10℃D ．6℃2．我国一次性建成最长的万吨重载铁路﹣晋豫鲁重载铁路，铁路全线长1260公里，横跨山西、河南、山东三省，总投资941亿元，941亿用科学记数法表示为（ ） A ．941×108 B ．94.1×109 C ．9.41×1010D ．9.41×10113．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）A ．50°B ．40°C ．30°D ．25°4．如图所示，两个紧靠在一起的圆柱体组成的物体，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数是（ ）A ．8B ．7C ．9D ．106．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC7．如图，A、C分别是x轴、y轴上的点，双曲线y=（x＞0）与矩形OABC的边BC、AB分别交于E、F，若AF：BF=1：2，则△OEF的面积为（）A．2 B．C．3 D．8．正方形ABCD的位置在坐标中如图所示，点A、D的坐标反别为（1，0）、（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（）A．5B．5C．5D．5二、填空题，每题3分，共21分9．计算：|﹣2|++=．10．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0（m为常数）有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是．11．从﹣3，﹣2，﹣1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既是不等式组的解，又在函数y=的自变量取值范围内的概率是．12．如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，求线段B′E的值．13．如图，直线AA1∥BB1∥CC1，如果，AA1=2，CC1=6，那么线段BB1的长是．14．如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①当0＜t≤5时，y=t2②tan∠ABE=③点H的坐标为（11，0）④△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是（把你认为正确结论的序号都填上）15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A 的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为时，△ACP是等腰三角形．三、解答题16．化简再求值：（﹣a+b）÷，其中a，b满足|a+1|+=0．17．中国是世界上13个贫水国家之一．某校有800名在校学生，学校为鼓励学生节约用水，展开“珍惜水资源，节约每一滴水”系列教育活动，为响应学校号召，数学小组做了如下调查小亮为了解一个拧不紧的水龙头的滴水情况，记录了滴水时间和烧杯中的水面高度，如图1．小明设计了调查问卷，在学校随机抽取一部分学生进行了问卷调查，并制作出统计图．如图2和图3．结合图2和图3回答下列问题（1）参加问卷调查的学生人数为人，其中选C的人数占调查人数的百分比为10%．（2）在这所学校中选“比较注意，偶尔水龙头滴水”的大概有人．若在该校随机抽取一名学生，这名学生选B的概率为．请结合图1解答下列问题：（3）在“水龙头滴水情况”图中，水龙头滴水量（毫升）与时间（分）可以用我们学过的哪种函数表示？请求出函数关系式．．18．已知：如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O上不与A，B重合的一个动点，延长PA 到C，使AC=AP，点D为⊙O上一点，且满足AD∥PB，射线CD交PB延长线于点E．（1）求证：△PAB≌△ACD；（2）填空：①若AB=6，则四边形ABED的最大面积为；②若射线CD与⊙O的另一个交点为F，则当∠PAB的度数为时，以O，A，D，F为顶点的四边形为菱形．19．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=37°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）20．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．（1）求m的值；（2）若O′落在OC上，连接AA′交OC与D点．①求证：四边形ACA′O′为平行四边形；②求CD的长度；（3）直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标．21．某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，如表是近两周的销售情况：（1）求每台A型手机和B型手机的销售利润；（2）该手机专卖店计划一次购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不超过B型号手机进货量的2倍．设购进A型号手机x台，这100台手机的销售总利润为y元．①求y关于x的函数表达式；②该商店购进A型号和B型号手机各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型号手机的出厂价提高a（0＜a＜100）元，对B型号手机的出厂价下降a（0＜a＜100）元，且限定该手机专卖店至少购进A型号手机20台．若该手机专卖店保持两种手机的售价不变，请根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台手机销售总利润最大的进货方案．22．（1）问题发现，如图1，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，过点D作AE的垂线，垂足为F与AC、BC分别交于点G，点H，则=2．（2）类比探究；如图2，在矩形ABCD中，=，点E为CD的中点，过点D作AE的垂线，垂足为F，与AC、BC分别交于点G，点H，试探究的值，并写出推理过程．23．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．中考考前押题卷数学(解析版)一、选择题，每题3分，共24分1．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（）A．﹣10℃B．﹣6℃C．10℃ D．6℃【考点】有理数的减法．【分析】用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．【解答】解：2﹣（﹣8）=2+8=10℃．故选C．【点评】本题考查了有理数的减法，是基础题，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键．2．我国一次性建成最长的万吨重载铁路﹣晋豫鲁重载铁路，铁路全线长1260公里，横跨山西、河南、山东三省，总投资941亿元，941亿用科学记数法表示为（）A．941×108B．94.1×109 C．9.41×1010D．9.41×1011【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：941亿用科学记数法表示为：9.41×1010．故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．25°【考点】平行线的性质．【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．【解答】解：如图，，∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°﹣50°=40°．故选B．【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．4．如图所示，两个紧靠在一起的圆柱体组成的物体，它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看左边是一个正方形，右边是一个矩形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．5．某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数是（ ）A ．8B ．7C ．9D ．10【考点】中位数．【分析】根据中位数的概念求解． 【解答】解：∵共有10名同学，∴第5名和第6名同学的读书时间的平均数为中位数， 则中位数为： =9．故选C ．【点评】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以点A 和B 为圆心，以相同的长（大于AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是（ ）A．AD=BD B ．BD=CD C ．∠A=∠BED D ．∠ECD=∠EDC【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】由题意可知：MN 为AB 的垂直平分线，可以得出AD=BD ；CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，得出CD=BD ；利用三角形的内角和得出∠A=∠BED ；因为∠A ≠60°，得不出AC=AD ，无法得出EC=ED ，则∠ECD=∠EDC 不成立；由此选择答案即可． 【解答】解：∵MN 为AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD ；∵∠A +∠B=∠B +∠BED=90°，∴∠A=∠BED ；∵∠A ≠60°，AC ≠AD ，∴EC ≠ED ，∴∠ECD ≠∠EDC ．故选：D ．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．7．如图，A 、C 分别是x 轴、y 轴上的点，双曲线y=（x ＞0）与矩形OABC 的边BC 、AB 分别交于E 、F ，若AF ：BF=1：2，则△OEF 的面积为（ ）A ．2B ．C ．3D ．【考点】反比例函数系数k 的几何意义．【分析】设F 点的坐标为（t ，），由AF ：BF=1：2得到AB=3AF ，则B 点坐标可表示为（t ，），再利用反比例函数解析式确定E 点坐标为（，），然后利用△OEF 的面积=S 矩形ABCO ﹣S △OEC ﹣S △OAF ﹣S △BEF 和三角形的面积公式进行计算．【解答】解：设F 点的坐标为（t ，），∵AF ：BF=1：2，∴AB=3AF ，∴B 点坐标为（t ，），把y=代入y=得x=，∴E 点坐标为（，），∴△OEF 的面积=S 矩形ABCO ﹣S △OEC ﹣S △OAF ﹣S △BEF=t ﹣×2﹣×2﹣（﹣）（t ﹣）=．故选B ．【点评】本题考查了反比例函数y=（k ≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y=（k ≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k |．8．正方形ABCD 的位置在坐标中如图所示，点A 、D 的坐标反别为（1，0）、（0，2），延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ，延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1，…按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积为（ ）A ．5B ．5C ．5D ．5【考点】正方形的性质；坐标与图形性质．【分析】推出AD=AB ，∠DAB=∠ABC=∠ABA 1=90°=∠DOA ，求出∠ADO=∠BAA 1，证△DOA ∽△ABA 1，再求出AB ，BA 1，面积即可求出；求出第2个正方形的边长；再求出第3个正方形边长；依此类推得出第2016个正方形的边长，求出面积即可．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAB=∠ABC=∠ABA 1=90°=∠DOA ，∴∠ADO +∠DAO=90°，∠DAO +∠BAA 1=90°，∴∠ADO=∠BAA 1，∵∠DOA=∠ABA 1，∴△DOA ∽△ABA 1，∴==，∵AB=AD==，∴BA 1=，∴第2个正方形A 1B 1C 1C 的边长A 1C=A 1B +BC=，面积=（）2=；同理：第3个正方形的边长是+==（）2，面积=（）2=：第4个正方形的边长是（）3，面积=[（）3]2；…第2016个正方形的边长是（）2015，面积=[（）2015]2=5（）4030； 故选：D ． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键．二、填空题，每题3分，共21分9．计算：|﹣2|++= 1 ．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】根据实数的运算，即可解答．【解答】解：原式=2﹣2+1=1，故答案为：1．【点评】本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟记实数的运算．10．已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x ﹣1=0（m 为常数）有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 m ＞﹣1且m ≠0 ．【考点】根的判别式．【分析】根据方程有两个不相等的实数根结合二次项系数不为0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【解答】解：∵方程mx 2+2x ﹣1=0（m 为常数）有两个不相等的实数根，∴，即，解得：m ＞﹣1且m ≠0．故答案为：m ＞﹣1且m ≠0．【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于m 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合一元二次方程的定义得出不等式组是关键．11．从﹣3，﹣2，﹣1，0，4这五个数中随机抽取一个数记为a ，a 的值既是不等式组的解，又在函数y=的自变量取值范围内的概率是 ．【考点】概率公式；解一元一次不等式组；函数自变量的取值范围．【分析】由a 的值既是不等式组的解，又在函数y=的自变量取值范围内的有﹣3，﹣2，可直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵不等式组的解集是：﹣＜x ＜，∴a 的值既是不等式组的解的有：﹣3，﹣2，﹣1，0，∵函数y=的自变量取值范围为：2x 2+2x ≠0，∴在函数y=的自变量取值范围内的有﹣3，﹣2，4；∴a 的值既是不等式组的解，又在函数y=的自变量取值范围内的有：﹣3，﹣2；∴a 的值既是不等式组的解，又在函数y=的自变量取值范围内的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12．如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，求线段B′E的值．【考点】旋转的性质；勾股定理．【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据旋转的性质可得AO=A′O，A′B′=AB，再求出OE，从而得到OE=A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面积求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得A′E=2EF，然后根据B′E=A′B′﹣A′E代入数据计算即可得解．【解答】解：∵∠AOB=90°，AO=3，BO=6，∴AB==3，∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，∴AO=A′O=3，A′B′=AB=3，∵点E为BO的中点，∴OE=BO=×6=3，∴OE=A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，=×3OF=×3×6，S△A′OB′解得OF=，在Rt△EOF中，EF==，∵OE=A′O，OF⊥A′B′，∴A′E=2EF=2×=（等腰三角形三线合一），∴B′E=A′B′﹣A′E=3﹣=．【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．13．如图，直线AA1∥BB1∥CC1，如果，AA1=2，CC1=6，那么线段BB1的长是3．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，得出四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，求出AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4，==，根据BB1∥CC1得出=，代入求出DB1=1即可．【解答】解：如图：过A1作AE∥AC，交BB1于D，交CC1于E，∵直线AA1∥BB1∥CC1，∴四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形，∴AA1=2，CC1=6，∴AA1=BD=CE=2，EC1=6﹣2=4，==，∴∵BB1∥CC1，∴=，∴=，∴DB1=1，∴BB1=2+1=3，故答案为：3．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．14．如图甲，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，Q同时从B点出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒时，△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t的函数关系的图象如图乙（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①当0＜t≤5时，y=t2②tan∠ABE=③点H的坐标为（11，0）④△ABE与△QBP不可能相似．其中正确的是①②③（把你认为正确结论的序号都填上）【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图乙可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q 到达点C，从而得到BC、BE的长度，再根据M、N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可．【解答】①如图1，过点P作PF⊥BC于点F，根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB=，∴PF=PBsin∠PBF=t，∴当0＜t≤5时，y=BQPF=t t=t2（故②正确）；②又∵从M到N的变化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，∴tan∠ABE==，故②正确；③由图象知，在D点时，出发时间为7s，因为CD=4，所以H（11，0），故③正确；④当△ABE与△QBP相似时，点P在DC上，如图2所示：∵tan∠PBQ=tan∠ABE=，∴，即，解得：t=．故④错误；故答案为：①②③．【点评】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出点P 到达点E时，点Q到达点C是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A 的路径，以2cm每秒的速度运动，设运动时间为t秒，当t为3，6或6.5或7.2时，△ACP是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定．【分析】根据题意分四种情况，针对每种情况画出相应的图形，求出相应的时间t的值即可解答本题．【解答】解：由题意可得，第一种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图1所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴CP=6cm，∴t=6÷2=3秒；第二种情况：当CP=PA时，△ACP是等腰三角形，如右图2所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AB=10cm，∠PAC=∠PCA，∴∠PCB=∠PBC，∴PA=PC=PB=5cm，∴t=（CB+BP）÷2=（8+5）÷2=6.5秒；第三种情况：当AC=AP时，△ACP是等腰三角形，如右图3所示，∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，按C→B→A的路径，以2cm每秒的速度运动，∴AP=6cm，AB=10cm，∴t=（CB+BA﹣AP）÷2=（8+10﹣6）÷2=6秒；第四种情况：当AC=CP时，△ACP是等腰三角形，如右图4所示，作CD⊥AB于点D，∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，tan∠A==，∴，AB=10cm，设CD=4a，则AD=3a，∴（4a）2+（3a）2=62，解得，a=，∴AD=3a=，∴t==7.2s故答案为：3，6或6.5或7.2．【点评】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答问题．三、解答题16．化简再求值：（﹣a+b）÷，其中a，b满足|a+1|+=0．【考点】分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：原式===，∵|a+1|+=0，∴a=﹣1，b=3，则原式=．【点评】此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．中国是世界上13个贫水国家之一．某校有800名在校学生，学校为鼓励学生节约用水，展开“珍惜水资源，节约每一滴水”系列教育活动，为响应学校号召，数学小组做了如下调查小亮为了解一个拧不紧的水龙头的滴水情况，记录了滴水时间和烧杯中的水面高度，如图1．小明设计了调查问卷，在学校随机抽取一部分学生进行了问卷调查，并制作出统计图．如图2和图3．结合图2和图3回答下列问题（1）参加问卷调查的学生人数为60人，其中选C的人数占调查人数的百分比为10%．（2）在这所学校中选“比较注意，偶尔水龙头滴水”的大概有440人．若在该校随机抽取一名学生，这名学生选B的概率为．请结合图1解答下列问题：（3）在“水龙头滴水情况”图中，水龙头滴水量（毫升）与时间（分）可以用我们学过的哪种函数表示？请求出函数关系式．y=6t．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据A的人数除以占的百分比求出调查总人数；求出C占的百分比即可；（2）求出B占的百分比，乘以800得到结果；找出总人数中B的人数，即可求出所求概率；（3）水龙头滴水量（毫升）与时间（分）可以近似看做一次函数，设为y=kx+b，把两点坐标代入求出k与b的值，即可确定出函数解析式．【解答】解：（1）根据题意得：21÷35%=60（人），选C的人数占调查人数的百分比为×100%=10%，故答案为：60，10%；（2）根据题意得：选“比较注意，偶尔水龙头滴水”的大概有800×（1﹣35%﹣10%）=440（人）；若在该校随机抽取一名学生，这名学生选B的概率为=，故答案为：440，；（3）水龙头滴水量（毫升）与时间（分）可以近似地用一次函数表示，设水龙头滴水量y（毫升）与时间t（分）满足关系式y=kt+b，依题意得：，解得：，∴y=6t，经检验其余各点也在函数图象上，∴水龙头滴水量y（毫升）与时间t（分）满足关系式为y=6t，故答案为：y=6t．【点评】此题考查了一次函数的应用，扇形统计图，条形统计图，以及用样本估计总体，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．18．已知：如图，AB为⊙O的直径，点P是⊙O上不与A，B重合的一个动点，延长PA 到C，使AC=AP，点D为⊙O上一点，且满足AD∥PB，射线CD交PB延长线于点E．（1）求证：△PAB≌△ACD；（2）填空：①若AB=6，则四边形ABED的最大面积为18；②若射线CD与⊙O的另一个交点为F，则当∠PAB的度数为30°时，以O，A，D，F 为顶点的四边形为菱形．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接BD，先判断出四边形ADBP矩形，得出AD=PB，再用SAS得出△PAB ≌△ACD；（2）①先判断出四边形ADEB是平行四边形，而AB是定值，要四边形ADEB面积最大，只有点D到AB的距离最大，最大为圆的半径，最后根据三角形面积公式计算即可；②要使四边形OADF是菱形，即OA=AD，得出三角形AOD是等边三角形，即∠OAD=60°即可．【解答】解：（1）如图1，连接，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=∠ADB=90°，∵AD∥PB，∴∠CAD=∠APB=90°，∴∠PAD=90°∴∠APB=∠ADB=∠PAD=90°，∴四边形ADBP是矩形，∴AD=PB，在△PAB≌和△ACD中，∴△PAB≌△ACD，（2）①由（1）知，AD=PB∵AD∥PB，AC=AP，∴AD=PE=（PB+BE），∴PB=EB，∴AD=BE，∵AD∥PB，∴四边形ADEB是平行四边形，∵AB是⊙O的直径，不变，∴直线CD和⊙O相切时，即：点D到直径AB的等于半径时，四边形ABED的最大，∵AB=6=AB×AB=18，∴S四边形ABED的最大故答案为18；②由①知，四边形ADEB是平行四边形，∴OA∥DF，∵以O，A，D，F为顶点的四边形为菱形，∴OA=AD=DF，∴∠BAD=60°，∵∠PAD=90°，∴∠PAB=30°，故答案为30°．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，解本题的关键是得出四边形ADBP是矩形，难点是四边形ADEB 的面积最大时AB边上的高是圆的半径．19．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=37°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．【解答】解：（1）如图，连接PA．由题意知，AP=39m．在直角△APH中，PH===36（米），答：此时汽车与点H的距离为36米；（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．在Rt△ADH中，DH==20（米）．在Rt△CDQ中，DQ==65（米）．则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+65﹣20=81（米）．答：高架道路旁安装的隔音板至少需要81米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理的应用．根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．20．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．（1）求m的值；（2）若O′落在OC上，连接AA′交OC与D点．①求证：四边形ACA′O′为平行四边形；②求CD的长度；（3）直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标．【考点】反比例函数综合题；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．【分析】（1）只需把点C的坐标代入反比例函数的解析式，就可解决问题；（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1，易证AC=OA=O′A′，要证四边形ACA′O′为平行四边形，只需证AC∥O′A′，只需证∠ACO=∠A′O′C即可；②由平行四边形ACA′O′可得CD=CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；（3）根据两点之间线段最短可知：当点O′在线段AB上时AO′最短（如图2），当点O′在线段AB的延长线上时AO′最长（如图3）；过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N 于M，易证△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需运用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵C（m，6）为反比例函数图象上一点，∴m==2；（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1．∵点C的坐标为（2，6），∴CH=2，OH=6，∴tan∠COH==，AC==4，∴∠COH=30°，OA=AC，∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．∵BO′=BO，∴∠BO′O=∠BOO′=60°．∵∠A′O′B=∠AOB=90°，∴∠CO′A′=30°，∴∠ACO=∠CO′A′，∴AC∥O′A′．又∵O′A′=OA=AC，∴四边形ACA′O′为平行四边形；②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，∴△BOB′是等边三角形，∴OO′=OB=2．∵∠CHO=90°，CH=2，OH=6，∴OC=4，∴CO′=OC﹣OO′=4﹣2．∵四边形ACA′O′为平行四边形，∴CD=O′D=CO′=2﹣1；（3）当AO′最短时A′点的坐标（2+，），当AO′最长时A′点的坐标（2﹣，﹣）．提示：①当点O′在线段AB上时，AO′最短，过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图2．∵O′N∥OA，∴△BNO′∽△BOA，∴==，∴==，∴BN=，O′N=．∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，∴∠MA′O′=∠NO′B，∴△A′MO′∽△O′NB，∴==2，∴A′M=，O′M=，∴A′（2﹣+， +）即（2+，）；②当点O′在线段AB延长线上时，AO′最长，过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图3．同理可得：A′（2﹣，﹣）．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用平行四边形的对角线互相平分是解决第（2）②小题的关键，构造K型相似是解决第（3）小题的关键．21．某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，如表是近两周的销售情况：（1）求每台A型手机和B型手机的销售利润；（2）该手机专卖店计划一次购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不超过B型号手机进货量的2倍．设购进A型号手机x台，这100台手机的销售总利润为y元．①求y关于x的函数表达式；②该商店购进A型号和B型号手机各多少台，才能使销售总利润最大？（3）实际进货时，厂家对A型号手机的出厂价提高a（0＜a＜100）元，对B型号手机的出厂价下降a（0＜a＜100）元，且限定该手机专卖店至少购进A型号手机20台．若该手机专卖店保持两种手机的售价不变，请根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台手机销售总利润最大的进货方案．【考点】二次函数的应用．。

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