无穷等比数列各项和

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无穷递缩等比数列各项和

S
lni mSn
a1 1q
例3.把下列各数化为分数
10.3 8 21.2 43
30.7 0.07 0.007 40.7 0.07 0.007
解 0 .3 8 ： 0 .3 8 0 .00 0 .3 08 0 0 0 .0 00 30 8 0
0.38 38
1 .2 4 3 11 0.00 1.2994 0 .0 30 00 .0 20 40 3 0
例 6.设首1，项公为 q比 q0为的等比数 n项列的
lim 为解 Sn， 1： qT设 n 1SSnn l1n， i n m T nN ,l求 n im n n n T 1n .1
2q1
1qn
1qn1
Sn1q,Sn1 1q
lim lim Tn n
n
1qn1 1 1qn q
0q1 q1
例8.圆01是边长为a的正三角形 ABC的内切圆, 圆O2与圆O1外切，且与AB、AC相切，圆O3与圆O2 外切，且与AB、AC相切，如此无限继续下去，求所有圆面积之和S。
无穷递缩等比数列各项和
几个基本数列的极限
1 lim 0 n n
q1时 ,lim qn0 n
c为常 ,li数 m cc n
引例:把无限循环小数 0.333·····化为一个分数.
定义:我们把|q|<1的无穷等比数列前 n的和Sn,当n→∞时的极限叫做无穷等比数列各项和.
Sln i m S nln i m 1a 1 q•(1qn)1a 1 q
例7.在直角坐标系中，一个粒子从原点出发，沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进1/2单位到点P2，再向左前进个1/4单位到点P3，又向下前进1/8单位到点P4 ，以后的前进方向按向右，向上，向左，向下的顺序，每次前进的距离为前一次前进的距离的一半。这样无限地继续下去，求粒子到达的极限位置的坐标.

等比无穷级数求和公式

等比无穷级数求和公式无穷级数是数学中的重要概念，它可以描述一系列无限多个数的和。

而等比无穷级数则是其中一种特殊的无穷级数，它的每一项与前一项的比值保持不变。

在本文中，我们将介绍等比无穷级数的求和公式，并通过具体的例子来说明其应用。

等比无穷级数的求和公式可以用以下方式表示：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...其中，a是首项，r是公比。

当公比r的绝对值小于1时，等比无穷级数收敛，其和可以通过以下公式计算：S = a / (1 - r)当公比r的绝对值大于等于1时，等比无穷级数发散，没有有限和。

下面我们通过几个具体的例子来说明等比无穷级数的求和公式的应用。

例1：计算1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和。

这个无穷级数的首项a是1，公比r是1/2。

由于公比r的绝对值小于1，所以该级数收敛。

根据求和公式，我们可以计算出：S = 1 / (1 - 1/2) = 2所以，1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...的和是2。

例2：计算2 + 4 + 8 + 16 + ...的和。

这个无穷级数的首项a是2，公比r是2。

由于公比r的绝对值大于等于1，所以该级数发散，没有有限和。

通过上述例子，我们可以看到等比无穷级数的求和公式在计算无穷级数的和时非常有用。

但需要注意的是，公比r的绝对值必须小于1才能保证级数的收敛性。

除了等比无穷级数的求和公式，我们还可以通过其他方法来计算无穷级数的和，比如递归求和法、部分和数列法等。

这些方法在不同的情况下都有其适用性。

总结起来，等比无穷级数的求和公式是一个重要的数学工具，可以帮助我们计算无穷级数的和。

通过本文的介绍，相信读者对等比无穷级数的求和公式有了更加清晰的认识，并能够灵活运用它来解决实际问题。

无穷等比数列各项的和

练习3:已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn nan 是{an}的前n项和，求 lim 的值。 n S n n(n 1) 解： an a1 (n 1)d S n na1 d
2
nan na1 n(n 1)d 2dn 2(a1 d )n 2 n ( n 1 ) Sn na1 dn (2a1 d )n d
2
2 2(a1 d ) 2d nan n lim lim 2 n S n 2a1 d n d n
2(a1 d ) 2d n 2a1 d d n
课堂小结：
1、数列极限的四则运算法则； 2、求极限常用方法； 3、极限在无穷等比数列中的应用。
. .
(3)0.214 0.2 0.014 0.2 0.014 0.000014 2 0.014 2 14 212 214 2 106 . 10 1 0.01 10 990 990 990 445
说明: 由上知化循环小数为分数,实际上就是求无穷等比数列的各项之和,且有下列结论:
. .
. .
(1)纯循环小数化为分数:这个分数的分子就是一个循环节的数字组成的,分母的各位数字均是9,9的个数和一个循环节的位数相同.
. . 6 2 . . 12 4 370 10 如： 0.6 ;0.12 ;0.37 0 ; 9 3 99 33 999 27 .
(2)混循环小数化为分数:这个分数的分子是小数点后,第二个循环节前面的数字所组成的数减去不循环部分数字所组成的数所得的差, 分母的头几个数字是9,末几个数字是0, 其中9的个数与一个循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同.
无穷等比数列的各项和

无穷等比数列各项的和

我们把的无穷等比数列的前项的和当时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号表示.
（）.
强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．
例
题
讲
解
例1 化下列循环小数为分数：
（1）；（2） .
分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.
解：（1）
等式右边是首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以
（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
解：由题意得第1个正方形的边长，第n个正方形的边长， .
即所有正方形的边长组成的数列为
，
于是所有正方形的周长组成的数列为
，
这是首项为4、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和 .
所有正方形的面积组成的数列为，
这是首项为、公项为的无穷等比数列，
故所有的正方形的面积之和 .
课
堂
练
习
.
换一个角度来看，事实上
而是首项为，公比为的无穷等比数列，它的前n项和为
于是可以把看作等比数列的各项和的公式的推导
提问：在问题1的讨论中，我们将看成首项为、公比为的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在如果它的极限存在，那么极限等于什么
课堂
小结
1.无穷等比数列的各项和的公式：S= ( )；
2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；

无穷等比数列各项的和

an 2 即：n 2时， , an 1 2
a1 所有正方形的周长： l 4 1 q
4 1 2 1 2
2 1
8 4 2.
a 1 2. 所有正方形的面积： S 1 q2 1 1 2
例4：如图，在Rt ABC内有一系列的正方形，求所有正方形的面积的和.
T1 1
1 1 T1 3 3
增加的每个小三角形的面积
A1 9
A1 92
A3
A1 93
A4
Tn2 A1
… …
A1 n 1 9
An An 1 3 4n2 A1 9 n 1
曲线所围面积
A1
A2
A1 A 12 A1 A1 A1 3 2 2 A3 48 9 9 93
图3
解： (1) 每个图形中的一条线段在后一个图形中变成四条线段，
N1 3, Nn 4Nn1 (n 2) Nn 3 4n1.(n N * )
例5：设图中的等边三角形的边长为 1，并分别将图(1)( 2)( 3) 中的图形依次记作 M 1 , M 2 , M 3 , (1)求M n中的边数N n ; (2)求M n中每条边的长度 Tn ; (3)求M n的周长Ln ; (4)求M n 所围成的面积 An ; (5)求周长和面积的极限 .
an 的各项和为4，例2：已知无穷等比数列
求首项a1的取值范围 .
解：设无穷等比数列的公比为q, 则 a1 a1 S 4 q 1 . 4 1 q
a1 a1 又 q 1且q 0 1 1且1 0, 4 4 a1 1 1 1
a1 (0,4) (4,8).

等比无穷级数求和公式

等比无穷级数求和公式等比无穷级数是数列中一种特殊的形式，它由一个初始项和一个公比组成。

在数学中，我们经常需要计算这种级数的和，以更好地理解和应用等比无穷级数。

首先，让我们明确等比无穷级数的定义。

如果一个数列的每一项和它前一项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。

数列中的任意一项可以表示为其前一项乘以一个公比。

例如，一个等比数列可以写成{a, a*r, a*r^2, a*r^3, a*r^4, ...}，其中a是初始项，r是公比。

对于一个等比无穷级数，如果公比r的绝对值小于1，那么级数会收敛，也就是它的和存在有限值。

相反，如果绝对值大于或等于1，那么级数就会发散，也就是没有有限的和。

现在，让我们来研究如何计算等比无穷级数的和。

假设我们有一个等比无穷级数S，其初始项为a，公比为r。

我们可以将等比无穷级数S写成以下形式：S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...接下来，我们将级数乘以公比r并与原级数相减，得到以下结果：rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ar^5 + ...通过将这两个等式相减，我们可以消除公共项，得到以下结果：(1 - r)S = a通过解这个方程，我们可以找到等比无穷级数的和S的表达式：S = a / (1 - r)这个公式被称为等比无穷级数求和公式，它告诉我们等比无穷级数的和等于初始项除以1减去公比。

现在，我们来看一个具体的例子。

假设我们有一个等比无穷级数{2, 1, 0.5, 0.25, 0.125, ...}，其中初始项a是2，公比r是0.5。

我们可以使用等比无穷级数求和公式来计算这个级数的和：S = 2 / (1 - 0.5) = 2 / 0.5 = 4所以，这个等比无穷级数的和是4。

通过等比无穷级数求和公式，我们可以更方便地计算等比无穷级数的和。

这个公式在数学和应用领域中具有重要的意义，可以帮助我们解决各种问题，例如金融、科学和工程等领域的计算和建模。

无穷等比数列的各项和(1)

练习： 1.计算： 8 0.8 7 0.7 6 0.21 0.9 2.(1)在无穷等比列中，每一项都等于后面所有项数它和的 k倍，求实数 k的值范围。取

a 中 (2)在无穷等比数列 n ，首项为 a ,公比为 q ,且有 1
7 17 0.1 99
（2）混循环小数化成分数的规律是：分子是小数点以后最后一
个循环节以前(包括最后)的数字所组成的数减去小数点以后非循
环节的数字所组成的数；分母是若干个9接若干个0组成的数，
9的个数是循环节的个数，0的个数是小数点后非循环节的位数。如:
5 215 2 213 0.21 990 990
上面两个问题有一个共同的特征：
（1）都是无穷等比数列的所有项之和

(2)它们的公比都满 q 1 足
二.新课：
设无穷等比数列：,a1q ,a1q 2 ,,a1qn 1, 满足q 1, a1 则该数列各项和（所有项和）应该是怎样的呢？
a1(1 qn ) 设Sn是其前n项和，则： n S 1 q n a1(1 q ) a1 n lim S n lim lim lim q ) (1 n n n 1 q n 1 q

a1 lim S n n 1 q
无穷等比数列各项和的定义：
我们把无穷等比数列a n (公比 q 1)的前n项和S n 的各项和（所有项和）的极限称为数列a n 。
a1 ( q 1) 记为： S 1 q
例1.化下列循环小数为分数： (1)0. 9 2

n
例4.已知无穷等比数 a n 列的各项和是 2 ,求lim Sn的值。例5.已知数列an n n 3

无穷等比数列的各项和

93 2
于是，这些垂线长的和l是：
如图，从∠BAC的一条边上一点B作BC⊥AC，从C作CD⊥AB，从D再作DE⊥AC，这样无限地进行下去，假定BC＝7cm，CD＝6cm，求这些垂线长的和．
小结:
1.无穷等比数列各项的和
S a1 , q 1,q0 1q
2. S与Sn的关系
S
lim
n
Sn
3. 应用题的解法
如果 lim an=A，
n
lim bn=B
n
那么
(1) lim (an±bn)=A±B n
(２)lni
m
(an·bn)=A·B
(３)lni
m
an b n
=
A B
(B≠0)
特别注意：数列极限运算法则运用的前提: （１）参与运算的各个数列均有极限;
(２)运用法则,只适用于有限个数列参与运算, 当无限个数列参与运算时不能首先套用.
(3 )S n 1 7 7 2 2 7 1 3 7 2 4 7 1 5 7 2 6 7 1 n3 ( 2 1 )n
s101 0 1
2
23
25
1
121
2 5
4
1
2
7 72 7 2 3 1712 1712 48 48 16
4）化无限循环的小数为分数
例 .化 0 .9 为分数 .
1 2n
111 39
31n1
5 3
lim
n
1
a
a
n
0
a1
2
3、若
a
1
A、
2
,则a的范围是( ) B、a<1
C、
D、a=1

数列的极限与无穷等比数列的各项和

数列的极限与无穷等比数列的各项和【知识梳理】1、极限的概念当”无限增大（）时，若①无限趋近于一个确泄的常数A ,则称"为数列｛%｝的极限，记为：lim«…=A.（1> 若果M<1,则 lini q n =0：（2）若a n =C.贝iJlimq=C （其中C 为常数）：n —>x （3） lim — = 0.28 n【注】高等数学中关于极限的定义极限，给左数列｛©｝和实数A,若对任意的£>0,存在M,对任意的">M （nwNj, 都有陆一A|VG 则称A 为时数列｛｛a n ｝的极限，记作lim«w = A.2、极限的运算法则若 lim a n = A, lim b n = B ,贝 ijlim(q ±仇)=lim a tl ±lim b t = A±B i'刃 TOO HTHlim (a tt ・ b ) = lim ci ・ lim b= A- B ； lim a n A g^ = Z (3H0)・ lim 仇 B 、 7【注】注意极限运算性质的适用条件是：极限存在：【注】分式取极限时，分母的极限不能为0：【注】极限运算性质一般只对有限项数列成立.对于不是有限项的式子，在求极限时，一般需要先化简，将其转化为有限项，在利用上述极限运算法则求解•对于有限项数列，式子中的极限都不存在时，还需要对式子进行等价变形，整理成极限存在的形式后才能使用上述法则：【注】上述法则可以推广到有限个数列，有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）：【注】两个（或几个）数列的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在.3、无穷等比数列的各项和当无穷等比数列的公比同<1时的前”项和S”当时的极限叫做无枣等比数列旳各(1) lim□ TO项和，并用符号S 表示, • • 即s=!理»=七（同<1仆0）.【注】无穷等比数列的各项和有些时候又称作等比数列的所有项和，其本质是等比数列前〃项和S”当时的极限：【注】上述公式在使用过程中需要注意公式使用的前提：1且gHO,各项和的结果等于—,注意辩证理解式中的5与g 的含义: 1一4【注】部分等比数列{©},且同vl,若是从第加+ 1项开始才是等比数列，则该数列的所4、常见的几个极限(1) lim C ，n + = —(ac^O,a,b,c.deR )；cn + d c (2) lim+ ' = — (ad HO,d,b,c,d,e,/ e R)；dir +en + f d0 */|vl 不存在，§ = -1【注】分式型，极限等于最高此项的系数比：指数型，极限等于底数的绝对值大的系数比.【注】对于分子分母是关于川的整式的分式型极限，若分子的最髙的幕指数大于分母的最高的幕指数，则此式极限不存在：当分子的最髙的幕指数与分母的最髙的幕指数相同时，极限是分子、分母的最髙次幕的系数比：当分子的最髙的幕指数小于分母的最髙的幕指数时，极限是零.【典型例题】例1、求下列极限C’ 4-1(1) lim —~~卢—= ______ ；(2) lim —； ---- = ______ :is 2n +//川乞 3ir + n(5) lin r .— ----------…时+3”_亦2 + ]1 —2 +3 —4 + ・・・・+ (2/z — 1) — 2.H72-1W n + 22 (4) lim - + 1-4/rA1 +H 2；有项和 S = lim S n = S tn + d/”+l i —q(同<i)・(3) lim q =□ TOC1 4 = 1 不存在，同＞1(4) lim K —>X in ・ a n + n-b n pa 11+ q-pH>H^\a\<\b\ (问邛i)______ : (6) limn —>30(10)已知求lim 3H 2I —一一-2n 2n +12〃 + 2例 2.已知 lim " " 一 an-b = 0,则 “ = __________ , h = _______ ・72 + 1 丿 ■亠亠■卄■・ + bn+ 2 .［变式 1 】若 Inn -------------- = 1 > 则 “ = _______ : h = _______"TCC 3 舁 + 4 • 卄，. + bn + 2 . nil . 【变式2】若hm ---------------- = 1 >则"= __________ : b= ________"Tcc 3/7 + 4【变式 3】若则"= _________ ..YT00 2ir -5/7 + 3 2例3、数列心满足心=(〃 + ］〃 + 2)・则咏 + 6+6 ------- a.,)=例乳若lim(l-2xr 存在，则实数x 的取值范囤为 _____________ .【变式】若如1抚一，肌的取值范围为——lim1 + 3 + 5 + …+ ⑵—I)2n + k(7) 13〃,11 11 + — + — + •••+ —:(4) lim —=—J ------------ =bOC1 1 1]+ — + — + ■・・+ ----------------- 3 9 3〃a n^\例6.已知">0丄>0.若lim 〃…=5,则 a + b 的值不可能是( n^x 卍 ...A. 7B.8C.9D.10【变式1】若lim —一- = 0,贝ij 实数“的取值范围是 ___________"2间 +a ,J 【变式2】已知sb 是不等的两正数，若1屛y a +b例5.求下列极限(1)(-2严宀（_5严+3〃:(2)魁]_2 + 4_... + (_2严(3)(5)l + d‘ +川+・・・ +d"叽―+...+02n-l / + 711；⑹若宀4,则竖片(7):（8）已知L 2」 r cos”& + sin 〃0=2,则b 的取值范围是.【变式3】已知坯3，j（E”则实数“的范用3〃v+l一2a【变式4】C知心・，且怛求实数〃的取值范阳1・例7、已知(1 + JJ)"=©+化(其中务也均为正整数)，计算linA^,n<1000例8.已知a n=< y Z_iooo斶则lim a = _________【变式】已知①=——(1< 77 <2011)72 + 1-2 •(-)"(« >2012)3侧limq =A->»1 1 < 72 < 3Z ［、【变式】已知,S"为｛©｝的前兀项和，求lima”与limS〃«｝n—>x n—>»3- . n>4例9、下列命题中正确的命题是：A.若lim© =4, limb =3,则lim — = —( b ft 0,n e )乂* 宀—b n B 'B.若数列｛a n), ｛b n｝的极限都不存在,贝)l｛a n+b n｝的极限也不存在C.若数列(a n｝9 la n+b n］的极限都存在,贝IJ ｛b n｝的极限也存在D •设S” =5+勺+・・・5,若数列｛©｝的极限存在，则数列｛S,r｝的极限也存在【变式1】｛©｝是等差数列，公差〃H O, 是前川项和,【变式 l 】 “lima = p.hmb =r立的（）n-*» 11“FC 11II->X brNA ・充分非必要条件B ・必要非充分条件C •充要条件D.既非充分也非必要条件例 10、已知!irn[(3/?-l)f/J = 2, 【变式1】已知lim(/+$) = 2, lim(3©-4亿)=—1,求下列极限: n->oc n —>x (1) lim a n : (2) lim(t/n •/? ): (3) lim(2a it 一b )n->x n->x'【变式2】已知lim© =2,求limn —>oc 訂—so例11、已知lim"T8^■[―+ —|j = 4,写出｛©. ｝的一个通项公式①=2/?-1【变式2】已知匕=n<2012 >2012S”是数列｛©｝的前〃项和（A. lim a 和lim S 都存在 n->oc T8 C.lima 存在Jim S 和不存在 ” 一>oc n->xB.lim©和lim»都不存在打TOC D. lim G ”不存在，lim S if 存在n->®求 lim (5叫).n-I【变式3】已知｛©｝,｛化｝为公差不为零的等差数列，且lim 学=2,求limbHTOCs【变式4】已知｛色｝为无穷等比数列，公比为q(q > 0)且求lim 石丄与【变式5】首项为1,公比为§3>0)的等比数列前舁项和为则lim 亠…S 心【变式6］在数列｛陽｝中,a 严0,当weN*时，% =S为S”，叫竺严——【变式7】已知数列｛%｝的各项均为正数，满足：对于所有n e N\有4S n =(a n +\)\ 其中S f ，表示数列｛心｝的前川项和.则lim — =>1【变式2】若三数a^c 成等差，且a 2Xc 2成等比•则lim ITTOC值为.a+ cG] +"■)+ ・・・ + (l n数列｛©｝的前川项和”th a【变式8］已知各项为正数的等比数列｛©｝的首项，公比为x,前“项和为设(1)求/(x)的解析式:(2)作出/(")的图像.… 如“中每一行都构成公比为2的等比数列，第j列各【变式9】矩阵3勺2 。

沪教版高中数学高二上册第七章无穷等比数列各项的和课件2

定义：我们把公比 q 1 的无穷等比数列前 n 项和三、无穷等比数列各项和的概念
(2) 公比的无穷等比数列各项的和表达方式: 思考三：无穷等比数列前n项和的极限是否一定存在？若存在，极限是什么？
注意：化无限循环小数为分数的一般方法：
注意:无穷等比数列的各项和是极限运算，而非加法运算。
S 当n 时的极限叫做无．穷．等．比．数．列．各．项．的．和．， S表示无限个数的求和,已经不能用传统的加法运算来解决
分析：把每一个循环小数化为分数，然后再求和
••
解：0. 2 9
29
，0.00
•
2
•
9
29
••
0.01，0.0000 29
29
0.012
99
99
99
原式= 29 29 0.01 29 0.012
99 99
99
29
= 99 2900 1 0.01 9801
七、作业
1、习题册21页A组1、2，23页B组1，2； 2、认真阅读课本，理解无穷等比数列各项的和的定义，体会我们处理无穷问题的方法.
••
(2) 化循环小数1.323为分数
(3) 在无穷等比数列{an}中，lnim(a1 a2
求首项a1的取值范围.
(4)
计算：lim n
1 2
+
1 4
+
1+
1 3
+
+
1 2n
+
1 3n1
an
)
1 2
,
六、课堂小结
(1) 无穷等比数列各项和存在的前提条件是：0 q 1
(2) 公比 0 q 1 的无穷等比数列各项的和表达方式:

无穷项等比级数求和公式

无穷项等比级数求和公式好的，以下是为您生成的关于“无穷项等比级数求和公式”的文章：在咱们学习数学的漫漫长路上，有一个特别重要的知识点，那就是无穷项等比级数求和公式。

这玩意儿，初看可能会觉得有点头疼，但只要咱们慢慢琢磨，其实也没那么可怕。

我还记得我当年读高中的时候，有一次数学课上，老师就讲到了这个公式。

那天阳光正好，透过窗户洒在课桌上，可我们却无心欣赏。

因为这个无穷项等比级数求和公式，真的让大家都皱起了眉头。

老师在黑板上写下了那个公式：当公比 |q| < 1 时，无穷项等比级数的和 S = a₁ / (1 - q) ，其中 a₁是首项，q 是公比。

然后开始给我们讲解，可大家还是一脸懵。

这时候，老师灵机一动，举了个特别有趣的例子。

他说：“假设你有一个神奇的存钱罐，第一天你放进去 1 块钱，第二天放进去 1/2 块钱，第三天放进去 1/4 块钱，以此类推。

那你想知道一直这样存下去，最终这个存钱罐里会有多少钱吗？” 大家一下子来了兴趣，开始七嘴八舌地讨论。

老师笑着说：“这其实就是一个无穷项等比级数求和的问题呀。

这里首项 a₁是 1，公比 q 是 1/2，因为 |1/2| < 1 ，所以可以用咱们刚学的公式来算。

S = 1 / (1 - 1/2) = 2 ，也就是说，最终这个存钱罐里会有 2块钱。

” 听到这个结果，大家都惊讶得合不拢嘴。

从那以后，我对这个公式就有了更深的印象。

在后来的学习和做题中，我发现这个公式真的太有用了。

比如说，计算一个不断缩小的数列的总和，像这样：0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + … ，首项 a₁是 0.9 ，公比 q 是 0.1 ，因为 |0.1| < 1 ，所以总和 S = 0.9 / (1 - 0.1) = 1 。

再比如，在研究一些几何图形的面积或者体积的时候，也会用到这个公式。

就像一个不断缩小的三角形，每一层的面积构成了一个等比级数，通过这个求和公式就能算出总的面积。

高二数学无穷等比数列各项的和

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以前使用结扎兔阑尾血管的方法可复制阑尾坏死穿孔并导致腹膜炎，后来改进方法结扎兔阑尾基部而保留血液供应，获得人类急性梗阻性阑尾炎穿孔导致腹膜炎。此模型复制的改进符合模型评估原则中的。A、重复性B、相似性C、可靠性D、可控性发动机排气系统和散热器系统中循环的冷却液的温度，正常工作时是80度-95度，如果超过105度，应当立即关闭发动机。A.正确B.错误邓小平同志说，“在改革中，我们始终坚持两条根本原则”,这两条原则是指()A．以社会主义公有制为主体B．共同富裕C．计划调节和市场调节相结合D．以按劳分配为主体下列关于商业银行个人理财从业人员岗位职责要求，说法正确的是()。A.从业人员应当熟知业务B.从业人员应当确保客户交易的安全C.从业人员应当妥善保存客户资料及其交易信息档案D.从业人员在业务活动中应当遵守有关禁止内幕交易的规定E.从业人员应当严格保守客户隐私，不得向任何机构有关心理学研究的常用方法，以下说法不正确的是A.实验法B.心理测验法C.观察法D.人体解剖法E.心理生物学研究方法车辆在道路上行驶时，要求道路及道路两旁提供一定的视距空间以保证行车安全，称为视距限界。限界主要有等种类。A.横向视距限界B.平面弯道视距限界C.纵向视距限界D.交叉口视距限界E.会车视距限界最常引起无尿的是A.肾前性肾衰B.肾后性肾衰C.急性肾性肾衰D.前列腺增生症E.膀胱肿瘤自我意识是个体对自己以及自己与周围事物关系的()A．控制B．基本看法C．改造D．认识失血性休克救治中不重要的是A.密切监测血压B.留置导尿管监测尿量C.监测血生化D.观察皮肤色泽E.观察皮肤温度皮肤黏膜红色斑点不凸出皮肤，压之不褪色称为A.蜘蛛痣B.紫癜C.斑疹D.小红痣E.玫瑰疹操作员在银行汇票解付交易提交成功后，必须由业务主管执行交易发送解付信息至签发行。患者男性，21岁。在某施工工地干活时不慎绊倒，造成右颊部贯通伤，出血较多。此类创伤的治疗原则是()A．止血止痛B．抗感染及全身支持疗法C．清创缝合时避免神经、血管损伤D．减少畸形、恢复面型E．尽量关闭创口，消灭死腔能测出梅毒螺旋体特异抗体的试验是A.荧光密螺旋体抗体吸收试验B.捕获ELISA法C.梅毒螺旋体制动试验D.非密螺旋体抗原试验E.梅毒螺旋体血凝试验不属于路面基层(底基层)施工中常见的质量控制关键点的是。A.基层施工所采用设备组合B.切缝时间和养生技术的采用C.拌合设备计量装置校验D.配合比的设计男性，30岁。外伤致髌骨中份横形骨折，移位2cm。最佳的治疗方法是。A.手法复位石膏外固定B.切开复位张力带钢丝固定C.手法复位经皮穿针内固定D.切开复位钢丝环扎内固定E.髌骨切除术 ___是通过语言刺激来纠正或改变人们某些行为或情绪状态的一种心理调适方法。A.暗示调适法B.交往调适法C.活动调适法D.自我放松小鼠子宫为双子宫型，呈“Y”形，左右子宫角在膀胱背部汇合成子宫体，。A、其子宫体为一无分隔的完整腔体，后逐渐狭窄形成子宫颈。B、其子宫体为完全分隔的两个相对独立的腔体，后逐渐狭窄形成子宫颈。C、其前部以中隔分成两部，后部中隔消失，逐渐形成子宫颈。D、其前部为无中隔小型资本股票回报率和大型资本股票回报率相比。A．更低B．一样C．更高D．二者回报率没有关系类风湿关节炎治疗的目的不包括A.控制关节疼痛B.防止关节破坏C.保护关节功能D.提高患者的生活质量E.彻底治愈疾病凝结水温度汽轮机排汽的的数值称凝结水的过冷却度。治疗肝性脑病的措施中，下列不属防治氨中毒的一项是A.低蛋白饮食B.使用左旋多巴C.口服抗生素D.服用乳果糖E.滴注乙酰谷酰胺确诊肿瘤的主要依据是。A.CTB.MRIC.PET-CTD.超声E.细胞学或组织病理学检查 [单选,配伍题]肩关节周围炎A.肩关节外展受限B.肩部疼痛、无活动受限C.肘关节外侧疼痛D.肘关节活动受限E.Finkelstein试验阳性 APL抗体可分为A.IgG型B.IgA型C.IgM型D.IgD型E.IgE型低血钾的典型心电图表现为。A.QT间期延长B.QRS波增宽C.u波倒置D.ST段压低，T波低平及u波增高E.T波倒置 30岁男患，劳动中突感剧烈头痛、呕吐，一度意识不清，醛后颈枕部疼痛，右眼睑下垂、瞳孔大，颈强（+），克氏征（+）。最可能的诊断是A.急性脑膜炎B.脑出血合并脑疝C.小脑出血D.脑干出血E.蛛网膜下腔出血对可疑病人确诊而行暗室激发试验最有意义的是A.急性闭角型青光眼B.慢性闭角型青光眼C.慢性开角型青光眼D.先天性青光眼E.恶性青光眼关于中药调剂工作制度，以下叙述错误的是A.处方日期超过2日的应请处方医师重新签字方可调配B.审方人员无权修改医师处方C.计价时应使用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔D.调配人员对所调配的饮片质量负有监督的责任E.一张处方不宜两人共同调配民事权利主体下列何者非汽车底盘之结构？A.车身与车架B.制动系C.转向系D.润滑系诊断包虫病，哪一项是错误的A.问病史B.超声波检查C.X线透视、摄片D.病变组织穿刺E.免疫学检查减轻烦恼困扰的一种心理调适方法。A.暗示调适法B.交往调适法C.活动调适法D.自我放松胃插管术适应证下列矿业工程项目中，不属于单位工程的是。A.立井井筒工程B.斜井井筒工程C.井架安装工程D.井筒防治水工程某药口服后，吸收迅速，但血药浓度低，较确切的表述是A.吸收少B.被消化液破坏多C.生物利用度低D.分布广E.排泄快下列哪项不是HIV主要传播途径A.异性不洁性行为B.同性性行为C.共餐共宿D.静脉内吸毒E.母婴传播患者腹痛绵绵，时作时止，喜热恶冷，痛时喜按，饿时更甚，大便溏薄，舌淡苔白，脉沉细。其治疗方剂最佳用A.大建中汤B.小建中汤C.良附丸D.附子理中丸E.暖肝煎住院病历书写质量评估标准中有项单项否决。A.30B.31C.32D.33E.34 根据《水污染防治法》关于防止地表水污染的具体规定，下列说法错误的是()。A.在生活饮用水水源地的水体保护区内，不得新建排污口B.禁止向水体排放油类、酸液、碱液或者剧毒废液C.向水体排放含热废水，应当采取措施，保证水体的水温符合水环境质量标准D.禁止排放含病原体的污水上清肺润燥，中清胃生津，下滋阴降火的药物是A.知母B.芦根C.石膏D.竹叶E.夏枯草

无穷等比数列各项的和答案

⽆穷等⽐数列各项的和答案⽆穷等⽐数列各项的和1.⽆穷数列{23n 12++n }（n =1,2,3,……）的各项和是___________. 2.求值：（1）∞→n lim n n-+-+-++++319131121814121（43）（2）∞→n lim ()n n 39312842-+-+-++++ （0） 3.求⽆穷等⽐数列0.3， 0.03， 0.003，… 各项的和=_________. 解：0.3， 0.03， 0.003，…的⾸项10.3a =，公⽐0.1q = 所以 s=0.3+ 0.03+ 0.003+…=0.3110.13=-4.求下列⽆穷等⽐数列各项的和：（1）； ,83,21,32,98--（2），，，，754154311326 答案：(1)32/63 (2) 5/6 5.求和（1）1++++2212121= （2）+?++++++++-1231211218161413121n n = 6.⽆穷等⽐数列{}n a ：（1）所有奇数项和为36，偶数项和为12，则公⽐为，⾸项是（2）数列中每⼀项都是它后⾯所有项和的4倍，且625165=a ，则它的所有偶数项的和为（3）())(,1*211N n a a k a a n n n ∈++==++ ，则k 的取值范围7.设S n 是⽆穷等⽐数列的前n 项和,若∞→n lim S n =41,则⾸项a 1的取值范围是A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41）D.（0，41）∪（21，1）8.已知⽆穷等⽐数列{a n }的⾸项为a 1，公⽐为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则⾸项a 1的取值范围是___________.9.已知数列()nn t a 21-=，若∞→n lim ()n a a a +++ 21存在，则t 的的取值范围10.若∞→n lim （1+αtan +()()12tan tan -++n αα）存在，求α的取值范围11.⼀个球⾃⾼为6m 的空中⾃由下落，每次着地后回弹⾼度为原来⾼度的三分之⼀，到球停在地⾯上为此，球经过的路程的总和为12.等⽐数列{}n a ，公⽐为正，（1）求∞→n limnna a a a a a ++++++ 7621（2）求∞→n lim （2222121nna a a a a a +++++ ）13. 将⽆限循环⼩数化为分数.（1）。

无穷等比数列各项的和

7。

7 无穷等比数列各项的和课表解读1.理解无穷等比数列各项的和的含义，掌握无穷等比数列各项的和的公式，会求无穷等比数列各项的和。

2.会利用求无穷等比数列各项的和的方法把循环小数化为分数. 3。

会用无穷等比数列各项和解决相关问题。

目标分解1. 无穷等比数列的各项和的定义：我们把1||<q 的无穷等比数列的前n 项的和n S ，当∞→n 时的极限叫做无穷等比数列的各项和,并用符号S 表示，记作)1|(|11<-==∞→q qa S lin S n n 2。

无穷递缩等比数列的定义：把1||<q 的无穷等比数列成为无穷递缩等比数列。

解释“无穷递减缩等比数列”：(1）数列}{n a 本身是等比数列; （2)当1||<q 时，数列|}{|n a 单调递减,故称“递缩”；（3）当∞→n 时，数列为无穷数列。

强调：(1）只有当无穷等比数列的公比q 满足1||0<<q 时，其前n 项和的极限才存在；（当1=q 时，1lim lim na S n n n ∞→∞→=，极限不存在；当1-=q 时，nn q ∞→lim 不存在；当1||>q 时,nn q ∞→lim 不存在)(2)无穷等比数列各项的“和”已经不同于初等数学中的有限项的“和"，它已经不是代数和，实质上是一个无穷数列}{n S 的极限！(3）应用:化循环小数为分数.问题分析一、无穷等比数列各项和例1. 计算1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n分析：n n 21814121lim++++∞→ 是无穷等比数列前n 项和的极限,即等于n 21814121++++ +…，可以利用无穷等比数列各项和的公式qa S -=11来计算，同理，分母也可以作类似计算，由于分子、分母都有极限，因此可以利用极限运算法则。

解：1131)1(9131121814121lim --∞→-+++-++++n n n n=]31)1(91311[lim )21814121(lim 11--∞→∞→-+++-++++n n n n n=34431)31(1121121==---例2。

等比无穷级数求和公式

等比无穷级数求和公式等比无穷级数求和公式是数学中的一个重要概念，在数学领域有着广泛的应用。

它描述了一种特殊的数列，该数列中的每一项与前一项之比都相等。

下面我们将详细介绍等比无穷级数求和公式及其应用。

等比无穷级数是指一个数列，该数列中的每一项与前一项之比都相等。

数列的通项公式可以表示为an=a1*q^(n-1)，其中an表示第n 项，a1表示第一项，q表示公比。

当公比q的绝对值小于1时，等比无穷级数会收敛到一个有限的数值；当公比q的绝对值大于1时，等比无穷级数会发散；当公比q的绝对值等于1时，等比无穷级数可能收敛也可能发散。

等比无穷级数的求和公式是一个重要的数学公式，可以用来计算等比无穷级数的和。

当公比q的绝对值小于1时，等比无穷级数的和可以用以下公式表示：Sn=a1/(1-q)，其中Sn表示前n项的和。

这个公式可以通过数学推导得到，具体推导过程可以参考数学教材。

等比无穷级数求和公式在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在金融领域，等比无穷级数可以用来计算复利的本息和。

当利率小于1时，每年的本息和可以看作是一个等比无穷级数，利用求和公式可以方便地计算出总本息。

在物理学中，等比无穷级数求和公式也有应用。

例如，在动力学中，当一个物体受到恒定的外力作用时，它的位移随时间的变化可以看作是一个等比无穷级数。

利用求和公式可以计算出物体的总位移。

除了以上的应用，等比无穷级数求和公式还可以用于解决一些数学问题。

例如，可以用它来证明一些数学定理，或者计算一些复杂的数值。

在数学研究中，等比无穷级数求和公式是一个基础工具，为解决其他更复杂的问题提供了便利。

等比无穷级数求和公式是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

它可以用来计算等比无穷级数的和，解决实际问题，证明数学定理，计算数值等。

在学习和应用等比无穷级数求和公式时，我们需要理解其原理和应用场景，并灵活运用数学工具解决实际问题。

通过深入学习和研究，我们可以更好地理解和应用等比无穷级数求和公式，为数学和其他学科的发展做出贡献。

无穷级数等比求和

无穷级数等比求和1. 引言无穷级数是数学中的一个重要概念，指的是由一系列无穷项组成的数列求和的结果。

其中，等比级数是一种特殊的无穷级数，其各项与前一项的比值保持恒定。

本文将介绍等比级数的求和公式和求和方法，并附带一些实例来帮助读者理解。

2. 等比级数的定义等比级数是指一个数列中每一项与前一项的比值都相等的级数。

具体而言，设数列的第一项为 a、公比为 r，则等比级数的第 n 项可以表示为 an = a * r^(n-1)。

其中，a 称为首项，r 称为公比。

3. 等比级数的求和公式对于一个等比级数 S，可以使用如下公式来计算其求和：S = a / (1 - r)其中，a 为首项，r 为公比。

4. 等比级数的求和方法对于一个无穷的等比级数，有时我们无法直接计算其求和，这时我们可以使用一些特定的方法来近似求解。

4.1 有限项求和如果我们只需要计算等比级数的前 n 项和，可以直接使用以下公式来计算：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn 表示等比级数的前 n 项和，a 为首项，r 为公比。

4.2 收敛性判断在计算等比级数的求和时，我们需要保证级数是收敛的。

对于等比级数而言，只有当公比 r 的绝对值小于 1 时，级数才能收敛。

当 r 的绝对值大于等于 1 时，级数会发散。

5. 实例分析让我们通过几个实例来理解等比级数的求和过程。

实例 1考虑以下等比级数：1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …首先，我们可以计算出该等比级数的首项 a = 1，公比 r = 2。

根据等比级数求和公式，计算出等比级数的和：S = a / (1 - r) = 1 / (1 - 2) = -1因此，该等比级数的和为 -1。

实例 2考虑以下等比级数：3 + 6 + 12 + 24 + 48 + …首先，我们可以计算出该等比级数的首项 a = 3，公比 r = 2。

根据等比级数求和公式，计算出等比级数的和：S = a / (1 - r) = 3 / (1 - 2) = -3因此，该等比级数的和为 -3。