江苏省苏州市2015届高三上学期期中测试数学试题(含附加题) Word版含答案

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苏州市2015届高三数学必过关题(逐题解析)——三角函数

高三必过关题三角函数一、填空题例题1. 已知34sin ,cos 2525θθ==- ，则θ角所在的象限为__________．答案：θ在第四象限解析：sin 0,cos 0,θθθ<>∴为第四象限例题2.α终边上有一点(4,3)P m m -，(0)m ≠,则2sin cos αα+的值为__________．答案：25±解析：3(0)355||,sin 35||(0)5m m r m m m α⎧->⎪-=∴==⎨⎪<⎩，4(0)5cos 4(0)5m m α⎧>⎪=⎨⎪-<⎩例题3. 若cos(80),k -=那么tan100=__________．答案：解析：221cos800sin801,tan100tan80k k k -=>=-=-=-例题4. 已知扇形的周长为(0),c c >当扇形中心角为_________弧度时，扇形有最大面积答案：2rad解析：2r r cθ+=2cr θ∴=+∴22222122881628c c c S r θθθθθθ===≤=++++ 当且仅当82,2rad θθθ==时，S 最大例题5. ABC ∆的内角满足sin cos 0,tan sin 0,A A A A +>-<则A 的取值范围是______．答案：324A ππ<< 解析：由tan sin 0,cos 0A A A -<<可知，所以A 为钝角，又sin cos 0A A +> tan 1A ∴<- 故324A ππ<<例题6. 若2sin ,cos 420x mx m θθ++=是方程的两根，则m 的值为__________．答案：1解析：由2sin cos ,sin cos ,12244m m m m θθθθ+=-=∴+=1m ∴=，又111sin cos ,sin 242242m m θθθ=-≤=≤故22m -≤≤1m ∴=例题7. 定义在区间(0,)2π上的函数6cos y x =的图像与5tan y x =的图像交点为P ，过P 做1PP x ⊥轴于点1P ，直线1PP 与sin y x =的图像交于2P ，则线段12P P 的长为__________．答案：23解析：线段12P P 的长度即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos 5tan x x =（(0,)2x π∈），解得1222sin ,33x PP =∴=例题8. 已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)1g x x ϕ=++的图像的对称轴完全相同，若[0,],2x π∈则()f x 的取值范围是__________．答案：3[,3]2-解析：2ω=，5[0,]2[,]2666x x ππππ∈∴-∈-m i nm a x 3()3s i n (),()3s i n3622f x f x ππ∴=-=-==例题9. 已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos _____________θθθθ+-= 答案：45解析：原式=222222sin sin cos 2cos tan tan 24224sin cos tan 1415θθθθθθθθθ+-+-+-===+++例题10. 函数lg(2sin 1)y x =-__________．答案：5[2,2)()36k k k Z ππππ++∈解析：{2sin 1012cos 0x x -≥-≥ 即1sin 21cos 2x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩ 5[2,2)()36x k k k Z ππππ∴∈++∈例题11. 设函数()2sin(),25f x x ππ=+若对任意的x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||x x -的最小值为__________．答案：2解析：由1212,,()()()x x f x f x f x ≤≤由任意知12(),()f x f x 为最小值与最大值 12min ||x x ∴-为()f x 的最小正周期的一半，242T ππ== 22T∴=例题12. 已知22326x y +=，y +的最大值是__________．答案：2解析：设,,x y θθ=cos 2sin()3y πθθθ+==+例题13. 在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则 =+222cb a __________．答案：3 解析:2sin cos cos sin sin()sin ()1()11cos sin sin cos sin sin cos sin sin C A B C A B CC A B C A B C A B++=∴⋅=∴= 22222222221332c a b c a b a b c c ab ab+∴=∴=+∴=+-⋅例题14. 23sin 702cos 10-=- __________．答案：2 解析：原式：3sin 7021cos 2022-==+-例题15. 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+=__________．答案：79-解析：227cos(2)cos[2()]cos2()2sin ()136669ππππαπααα+=--=--=--=-例题16. 已知(0,),2πα∈且11sin 2cos ,5αα+=则tan _____________α=答案：34解析：2211sin 2cos 5sin cos 1αααα⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得3sin 35tan 44cos 5ααα⎧=⎪∴=⎨⎪=⎩例题17. 函数()sin(),(,,f x A x A ωϕωϕ=+是常数，0,0)A ω>>的部分图象如图所示，则=)0(f 答案：2例题18. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若120C =，c =则a 与b 的大小关系是__________．答案：ab >解析：22222222120,,2cos 122()2,0C c c a b ab Ca ab ab aba b ab a b a ba b===+-∴=+--∴-=∴-=>∴>+例题19. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值__________．答案：解析：设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⋅=，根据余弦定理得 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得 ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值例题20. 已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是__________．答案：,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦解析：若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即s i n 0ϕ<，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得()sin(2)6f x x π=+，由222262k x k πππππ-++剟，得36k x k ππππ-+剟.二、解答题例题21.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．解析：由条件的cos αβ==，因为α,β为锐角，所以sin αβ=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π例题22.已知函数)()2cos sin 222xx x f x =-．（1）设ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，且()1f θ，求θ的值；（2）在△ABC 中，AB =1，()1f C =，且△ABCsin A +sin B 的值．解析：（1）2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x +由()π2cos 16x +，得()π1cos 62x +=，于是ππ2π()63x k k +=±∈Z ，因为ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26x =-或．（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =．因为△ABC1πsin 26ab =，于是ab = ①在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=+由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=．例题23.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

江苏省板浦高级中学2015届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

江苏省板浦高级中学2014-2015年度高三第一学期期中考试数学试卷 2014．11（满分160分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是 ▲ ．2．已知全集}7,5,3,1{},5,4,2{},7,6,5,4,3,2,1{===B A U ，则=⋂)(B C A U ▲ ． 3．已知βα,的终边在第一象限，则“βα>”是“βαsin sin >”的 ▲ 条件． 4．已知向量a (1,2),=b (2,)k =-，且a //b ，则实数=k ▲ ． 5．在等差数列{}n a 中,若255,2a a ==,则7a = ▲ . 6．已知函数()1ln f x x x=-，若函数()f x 的零点所在的区间为()(),1k k k Z +∈，则k = ▲ ．7．曲线53xy e =-+在点(0,2)-处的切线方程为 ▲ ．8．已知向量a ，b 的夹角为45︒，且a 1=， 2a -b =，则b |= ▲ ． 9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ≤<π 在R 上的部分图像如图所示，则(2014)f = ▲ ．10．设()αβ∈0π，，，且5s i n ()13αβ+=, 1t a n22α=．则cos β的值为 ▲ ．11．已知△ABC 为等腰直角三角形，2,AB =2C π=，点,E F 为AB 边的三等分点，则CE CF ⋅= ▲ ．12．已知函数2221 0 () 0,ax x x f x x bx c x ⎧--≥⎪=⎨++<⎪⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图像自左向右依次交于四个不同点,,,A B C D ．若A B B C =，则实数t 的值为 ▲ ． 13．已知||3AB =，C 是线段AB 上异于A ，B 的一点，,ADC BCE ∆∆均为等边三角形，则CDE ∆的外接圆的半径的最小值是 ▲ ． 14．已知等比数列{}n a 的首项为43，公比为13-，其前n 项和为n S ，若1n nA SB S ≤-≤对*n N ∈恒成立，则B A -的最小值为 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．) 15．（本小题满分14分）已知集合{}|,|[(1)][(4)]0A x y B x x a x a ⎧⎪===-+-+<⎨⎪⎩．（1）若A B A =，求a 的取值范围；（2）若A B ≠∅，求a 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ=+-++．（1）求()12f π的值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）函数)(x f 的图像可由sin y x =的图像如何变换得来，请详细说明．17．(本小题满分14分)如图，在平面四边形ABCD 中，1=AD ，2=CD ，7=AC ．（1）求CAD ∠cos 的值；（2）若147cos -=∠BAD ，621sin =∠CBA ，求BC 的长．(请自行在答题纸上作图)18．(本小题满分16分)如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设梯形部件ABCD 的面积为y 平方米．(1)按下列要求写出函数关系式：①设2CD x =(米)，将y 表示成x 的函数关系式； ②设()BOC rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式． (2)求梯形部件ABCD 面积y 的最大值．(请自行在答题纸上作图)19．(本小题满分16分)已知各项均为整数的数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．20．(本小题满分16分)已知函数d cx bx x x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，)(x f y '=为)(x f 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求)(x f ；（2）设)()(x f x x g '=，m ＞0，求函数)(x g 在[0，m ]上的最大值；（3）设)(ln )(x f x h '=，若对于一切]1,0[∈x ，不等式）22()1(+<-+x h t x h 恒成立，求实数t 的取值范围．江苏省板浦高级中学2014-2015年度高三第一学期期中考试数学试卷(参考答案)一、填空题1．,sin 1x R x ∃∈>． 2．{2，4}． 3．既不充分也不必要条件． 4．－4．5．0． 6．1． 7．520x y ++=． 8． 9．52-．10．1665-． 11．89． 12．74-．．二、解答题15．解：(]()1,0,1,4A B a a =-=++……………………………………………4分（1）42a -<≤-，……………………………………………………………9分（2）51a -<<-．……………………………………………………………14分16．解：（1）()2sin(2)16f x x π=++，()112f π；………………………5分（2）)(x f 增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈， )(x f 减区间为2[,]()63k k k Z ππππ++∈……………………………10分（3）变换步骤：（答案不唯一）sin y x=12−−−−−−−−−→所有点的横坐标缩短到原来的sin 2y x=π−−−−−−−−−→所有点向左平移个单位长度12sin (2)6y x π=+2−−−−−−−−−−→所有点的纵坐标伸长到原来的倍2sin(2)6y x π=+1−−−−−−−→所有点向上平移个单位2sin(2) 1.6y x π=++ ……………………………14分17．解：（1）在ADC ∆中，则余弦定理，得ADAC CD AD AC CAD ⋅-+=∠2cos 222．由题设知，77272417cos =-+=∠CAD ．………………………………………4分（2）设α=∠BAC ，则CAD BAD ∠-∠=α，因为772cos =∠CAD ，147cos -=∠BAD ，所以 721)772(1cos 1sin 22=-=∠-=∠CAD CAD ，………………………6分 14213)147(1cos 1sin 22=--=∠-=∠BAD BAD ．………………………8分于是CAD BAD CAD BAD CAD BAD ∠∠-∠∠=∠-∠=sin cos cos sin )sin(sin α23721)147(77214213=⋅--⋅=．………………………………11分在ABC ∆中，由正弦定理，CBA AC BC ∠=sin sin α，故3621237sin sin =⋅=∠⋅=CBA AC BC α．……14分 18．解：如图所示，以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，过点C 作AB CE ⊥于E ，(1)①∵2CD x =，∴(01)OE x x =<<，CE =∴11()(2222y AB CD CE x =+⋅=+(11)x x =+<< …………………4分②∵(0)2BOC θθπ∠=<<，∴cos ,sin OE CE θθ==，∴11()(22cos )sin (1cos )sin 22y AB CD CE θθθθ=+⋅=+=+(0)2θπ<<， ………8分(说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分)(2)(方法1)∴y ==令43221t x x x =--++，则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，………10分令'0t =，12x =，1x =-(舍)． ………………12分∴当102x <<时，'0t >，∴函数在(0，12)上单调递增，当112x <<时，'0t <，∴函数在(12，1)上单调递减，………………14分所以当12x =时，t 有最大值2716，max y =16分答：梯形部件ABCD 平方米． (方法2) ∴'[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'y θθθθθθ=+=+⋅22cos cos sin θθθ=+-22cos cos 1θθ=+-，……………………10分令'0y =，得1cos 2θ=，即3θπ=，cos 1θ=-(舍)， ……………………12分∴当03θπ<<时， '0y >，∴函数在(0,)3π上单调递增，当32θππ<<时，'0y <，∴函数在(,)32ππ上单调递减，………………14分所以当3θπ=时，max y =16分答：梯形部件ABCD 平方米． 19．解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则512a d =-+，613a d =-+(d 为整数)又5a ，6a ，7a 成等比数列，所以2(31)4(21)d d -=-，即291450d d -+=，得1d =…………………………………………………4 分当6n ≤ 时，4n a n =-，………………………………………………………6 分所以51a =，62a =，数列从第5 项起构成的等比数列的公比为2，所以，当5n ≥时，52n n a -=．故54,(4)2,(5)n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩……………………………8分(2)由(1)知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当1m =时等式成立，即3216(3)(2)(1)---=-=-⨯-⨯-；当3m =时等式成立，即1010(1)01-++==-⨯⨯；……………………………10分当24m =或时等式不成立；………………………………………………………12分当m ≥5 时，535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯，312122m m m m a a a -++=若1212m m m m m m a a a a a a ++++++=，则5312722m m --⨯=，所以2727m -=……14分5m ≥，2728m -∴≥，从而方程2727m -=无解所以1212m m m m m m a a a a a a ++++++≠ ．故所求1m=或3m =．………………16分20．（1）c bx x x f ++='2)(2，∵)()2(x f x f '=-'，∴函数)(x f 的图象关于直线x =1对称,b = -1，……………2分 ∵曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，∴切点为（3，0），∴⎩⎨⎧='=4)3(0)3(f f ，解得c =1，d =-3，则331)(23-+-=x x x x f …………………5分（2）∵22)1(12)(-=+-='x bx x x f ，∴⎩⎨⎧<-≥-=-=11|1|)(22x x x x x x x x x g …………………7分当0＜m ≤21时，2)(max )(m m m g x g -== 当21＜m ≤221+时，41)21(max )(==g x g ，当m ＞221+时，m m m g x g -==2)(max )(，综上⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+>-+≤<≤<-=)221()22121(41)210(max )(22m m m m m m m x g ……………………………………………10分（3）|1|ln 2)(-=x x h ，||ln 2)1(t x t x h -=-+，|12|ln 2)22(+=+x x h , 当]1,0[∈x 时，|2x +1|=2x +1，所以不等式等价于12||0+<-<x t x 恒成立，解得131+<<--x t x ，且x ≠t ，……………………………………13分2由]1,0[∈x ，得]1,2[1--∈--x ，]4,1[13∈+x ，所以11<<-t ，又x ≠t ，∵ ]1,0[∉t ，∴所求的实数t 的的取值范围是01<<-t ．…………………16分。

江苏省苏州市2015届高三上学期期中考试物理试题

江苏省苏州市2015届高三上学期期中考试物理试题2014—2015学年第一学期高三期中考试物理2014．11(考试时间：100分钟总分120分)注意事项：l、本试卷共分两部分．第Ⅰ卷为选择题，共38分；第Ⅱ卷为非选择题，共82分．2、所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．第Ⅰ卷(选择题共38分)一、单项选择题：本题共6小题，每小题3分，共计18分．每小题只有一个选项符合题意．1．如图所示，一物体在粗糙水平地面上受斜向上的恒定拉力F作用而做匀速直线运动，则下列说法正确的是（）A．物体一定受四个力作用B．物体可能受三个力作用C．物体可能只受两个力作用D．物体可能不受支持力作用2．应用物理知识分析生活中的常见现象，可以使物理学习更加有趣和深入．例如平伸手掌托起物体，由静止开始竖直向上运动，直至将物体抛出．对此现象分析正确的是( )A．手托物体向上运动的过程中，物体始终处于超重状态B．手托物体向上运动的过程中，物体始终处于失重状态C．在物体离开手的瞬间，物体的加速度大于重力加速6．一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止．下列速度v和位移x的关系图像中，能描述该过程的是( )二、多项选择题：本题共5小题，每小题4分，共计20分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．7．下列表述中，与物理学史实相符的是( )A．亚里士多德认为轻重不同物体下落快慢不同B．牛顿提出了三个运动定律及万有引力定律，并利用扭秤装置较准确地测出了引力常量。

C．伽利略认为自由落体运动一定是最简单的变速运动，它的速度变化应该是均匀的D．开普勒研究了丹麦天文学家第谷的行星观测记录，发现了行星运动三定律8．如图为质量相等的两个质点A、B在同一直线上运动的v-t图像．由图可知（）A．在t1时刻两个质点在同一位置B．在t1l时刻两个质点速度相等C．在0～t1时间内质点B的位移大D．在0～t1时间内合外力对两个质点做功相等9．如图所示，内壁光滑的半球形容器固定放置．两个完全相同的小球a、b分别沿容器内壁，在不同的水平面内做匀速圆周运动．下列判断正确的是( )A．a对内壁的压力小于b对内壁的压力B．a的周期小于b的周期C．a的角速度小于b的角速度D．a的向心加速度大小大于b的向心加速度大小10．如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )A．轨道半径越大，周期越长B．轨道半径越大，速度越大C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度11．如图所示，足够长传送带与水平方向的倾角为θ，物块a通过平行于传送带的轻绳跨过光滑轻滑轮与物块b相连，b的质量为m．开始时a、b及传送带均静止，且a不受传送带摩擦力作用．现让传送带逆时针匀速转动，则在b 上升h高度(未与滑轮相碰)过程中( )A．物块a重力势能减少mghB．摩擦力对a做的功大于a机械能的增加C．摩擦力对a做的功小于物块a、b动能增加之和D．任意时刻，重力对a、b做功的瞬时功率大小相等第Ⅱ卷(非选择题共82分)三、简答题：本大题共2小题；其中第12题10分，第13题8分，共计18分．请将解答填写在答题纸相应的位置处．12．(1)一个同学在研究小球自由落体运动时，用频闪照相连续记录下小球的位置如图所示．已知闪光周期为1s，测得x l=7.68cm，30x3=12.00cm，用上述数据通过计算可得小球运动的加速度约为m/s2，图中s2约为cm．(结果保留3位有效数字)(2)某实验小组设计了如图甲所示的实验装置来验证机械能守恒定律．电磁铁吸住一个小钢球，当电磁铁断电后，小钢球由静止开始向下加速运动．小钢球经过光电门时，计时装置记录小钢球通过光电门所用的时间△t，用游标卡尺测出小钢球的直径d，用刻度尺测出小钢球由静止开始下落的位置距光电门的高度h．调节光电门的位置，重复上述实验．①小钢球通过光电门时的速度v= (用字母表示)；②用游标卡尺测得小钢球的直径如图乙所示，小钢球的直径为mm．③为了验证小钢球的机械能守恒，只需要比较小钢球动能的增加量△E k与小钢球重力势能的减少量△E p是否相等．由于空气阻力的影响，实际测得△E k△E p(填“略大于”或“略小于”)．13．测量小物块Q与平板P之间的动摩擦因数的实验装置如图所示．AB是半径足够大的光滑四分之一圆弧轨道，与水平固定放置的P板的上表面BC在B点相切，C点在水平地面的垂直投影为C’．重力加速度大小为g．实验步骤如下：a．用天平秤出物块Q的质量m；b．测量出轨道AB的半径R、BC的长度L和CC’的长度h；c．将物块Q在A点从静止释放，在物块Q落地处标记其落点D；d．重复步骤c，共做10次；e．将10个落地点用一个尽量小的圆围住，用米尺测量圆心到C’的距离s．(1)用实验中的测量量表示：①在物块Q从B运动到C的过程中，物块Q克服摩擦力做的功W f= ；②物块Q与平板P之间的动摩擦因数µ= ．(2)回答下列问题：①实验步骤d、e的目的是．②已知实验测得的µ值比实际值偏大，其原因除了实验中测量量的误差之外，其它的可能是．(写出一个可能的原因即可)．四、计算题：本题共4小题，共64分，解答时请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位．14．(14分)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m l。

2015-2016学年江苏省苏州中学高三(上)期初数学试卷

（１）ＰＡ⊥平面ＥＢ；Ｏ（２）ＦＧ∥平面ＥＢ．Ｏ
１．６（★★★ ）已知函数
．
（１）设
，且
，求 θ的值；
（２）在 △ＡＢ中Ｃ，ＡＢ＝，１
，且 △ＡＢ的Ｃ面积为，求ｓｉｎＡ＋ｓ的ｉ值ｎ．Ｂ
１．７（★★★ ）在平面直角坐标系ｘＯ中ｙ，如图，已知椭圆Ｅ：
（１）ＰＡ⊥平面ＥＢ；Ｏ（２）ＦＧ∥平面ＥＢ．Ｏ
１．６（★★★ ）已知函数
．
（１）设
，且
，求 θ的值；
（２）在 △ＡＢ中Ｃ，ＡＢ＝，１
，且 △ＡＢ的Ｃ面积为，求ｓｉｎＡ＋ｓ的ｉ值ｎ．Ｂ
１．７（★★★ ）在平面直角坐标系ｘＯ中ｙ，如图，已知椭圆Ｅ：
为 ρｃｏ（ｓθ－）＝２
（Ⅰ）求直线ｌ的直角坐标方程；（Ⅱ）点Ｐ为曲线Ｃ上的动点，求点Ｐ到直线ｌ距离的最大值．Ｄ．选修４－：５不等式选讲２．４（★★ ）不等式选讲设ｘ，ｙ，ｚ为正数，证明：２（ｘ３＋ｙ３＋ｚ３） ≥ｘ２（ｙ＋）ｚ＋ｙ２（ｘ＋）ｚ＋ｚ２（ｘ＋）ｙ．四．【必做题】第２２题、第２３题，每小题１０分，共２０分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
１．８（★★★ ）心理学家研究某位学生的学
习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为１，则ｘ天后的存留量
；若在ｔ（ｔ
＞４）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），
其后存留量ｙ２随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为
，存留量随
时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为 “二次复习最佳时机点 ” （１）若ａ＝－，１ｔ＝，５求“二次复习最佳时机点 ”；

苏州市四市五区高三上学期期中数学试题(含附加题)

2015—2016学年第一学期高三期中调研试卷数学 2015.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，）1．设集合{}12A x x =-≤≤，{}04B x x =≤≤，则A B = ．2．函数的()2ln 2y x x =--定义域是．3．已知1sin 4α=，且(,)2παπ∈，则tan α＝．4．定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，()22x f x x =-，则()()()103f f f -++＝．5．函数()cos 20y x x x =-->的值域是．6．等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若41428,4S a a a ==+，则10S = ．7．设函数24,0()3,0x x f x x x ⎧->=⎨--<⎩，若()(1)f a f >，则实数a 的取值范围是．8．等比数列}{n a 的公比大于1，6,152415=-=-a a a a ，则=3a ． 9．将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后，得到函数()f x 的图象，若函数()f x 是偶函数，则ϕ的值等于．10．已知函数()(),,0bf x ax a R b x=+∈>的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，且函数()f x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上是单调递增，则b 的最大值等于．11．已知()()312f m m a b m =-+-，当[]0,1m ∈时，()1f m ≤恒成立，则a b +的最大值是． 12．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若221tan 2tan ,3A B a b c =-=，则c = ． 13．已知1,0,0x y y x +=>>，则121x x y ++的最小值为．14．设()f x '和()g x '分别是函数()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''⋅≤在区间I 上恒成立，则称函数()f x 和()g x 在区间I 上单调性相反。

苏州市2023-2024学年高三上学期期中调研数学试卷(含答案)

苏州市2023～2024学年第一学期高三期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．下列条件中，使得“>a b ”成立的充分不必要条件是A ．>a bB ．11>a bC ．22>a b D ．ln ln >a b2．已知集合2{650}=-+<A x x x ，{}=<B x x a ，且=A B A ，则实数a 的取值范围为A ．(1,)+∞B ．[3,)+∞C ．[5,)+∞D ．(5,)+∞3．已知4cos 35-πα（）=，则sin 6+πα（）的值为A ．45-B ．35-C ．35D ．455．在△ABC 中，3=A π，AB 边上的高等于3AB ，则sin =CA ．14B ．14C ．14D ．146．已知曲线e ln =+x y a x x 在点(1,e)a 处的切线方程为2=+y x b ，则7二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．10．函数()tan 4=-f x x （2，则A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 是增函数C ．()f x 的图象关于点3π(,0)8对称D ．将函数tan 2=y x 的图象向右平移π4个单位长度可得到()f x 的图象11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱AB ，1AA 的中点，点P 在对角线1A B 上，则A ．三棱锥-P CEF 体积为16B ．点P 到平面CEF 的距离为23C ．1APD P +的最小值为D ．四面体BCEF 外接球的表面积为14π12．对于数列{}n a ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有n a M ≤，则称数列{}n a 为有界数列；若这样的正数M 不存在，则称数列{}n a 为无界数列．下列说法正确的有三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．（第14（第15题图．如图，一个半径为3两点为直径AB 的三等分点，⋅DE=▲．已知函数()3=-f x x 且()()=f m f n ，则m 的取值范围为围为▲.（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)已知函数()2sin cos 442=+x x xf x .（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值集合；（2）若()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到的函数恰好为偶函数，求m 的最小值．18．(本小题满分12分)在①∠BAC 的平分线长为65；②D 为BC 中点，AD ；③AH 为BC 边上的高，AH 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．△ABC 中，角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c ，已知b =2，2cos 3cos =-A a B .（1）求c ;（2）若，求∠BAC 的大小.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，2=AD BC ，090∠=DAB ，平面⊥PDB 平面ABCD ，⊥AC BD ，⊥AB PD ，1=BC ，2=PD .（1）求证：⊥PD 平面ABCD ；（2）求二面角--D PC B 的余弦值．20．(本小题满分12分)已知函数()f x 满足2()e 2=-+x f x x x ．（1）求()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()(2)1>-+f x a x 在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，21221++=++n n S S n n ．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若11=b ,1(1)++-=n n n n b b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22．(本小题满分12分)已知函数2()+(2)ln =--f x ax a x x ．（1）若()f x 在区间(1,2)上有极值，求实数a 的取值范围；（2）当01<<a 时，求证：()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x ．2023～2024学年第一学期高三期中调研试卷数学参考答案及评分建议2023.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．题号12345678答案DCDBDACB二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．题号9101112答案ADACBCDABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．20;;15．12;16．(，(3,3)-四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．（本小题满分10分）解：（1）因为()sin 2sin()2223π=+=+x x x f x ，……………………………………………2分当2,232ππ+=-+π∈x k k Z 即54,3π=π-∈x k k Z 时，f (x )取得最小值－2，………………4分所以f (x )的最小值为－2，此时x 的取值集合为5{|4,}3π=π-∈x x k k Z ．………………5分（2）设()f x 的图象向右平移m (0)>m 个单位后得到函数()g x ，则()2sin()23-π=+x m g x ，因为()g x 为偶函数，所以()()-=g x g x ，即sin()sin()223223ππ-+=--+x m x m ，所以sin cos()0223π-+=x m 恒成立，所以,232ππ-+=+π∈m k k Z ，………………………8分所以2,3π=--π∈m k k Z ，…………………………………………………………………9分又因为0>m ，所以min 53π=m ．……………………………………………………………10分18．(本小题满分12分)解：（1）由b =2及2cos 3cos =-A a B 得cos 3cos b A a B =-，即cos cos 3+=b A a B，………2分由余弦定理得222222322+-+-+=b c a a c b b a bc ac，……………………………………………4分所以3c =．……………………………………………………………………………………5分（2）若选①，记∠BAC=2θ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，则有=+ABC ABD ACD S S S △△△，…………………………………………………………………………………………6分即111sin 2sin sin 222=⋅+⋅bc b AD c AD θθθ，…………………………………………………7分即12186sin 2sin sin 55=+θθθ即sin 2sin =θθ，所以2sin cos sin =θθθ，………………9分因为(0,)2∈πθ，所以sin 0≠θ从而1cos 2=θ即3=πθ，…………………………………11分所以23∠=BAC π.……………………………………………………………………………12分若选②，由于D 为BC 中点，所以1()2=+AD AB AC ，…………………………………6分z即22242=++⋅ADAB AC AB AC，…………………………………………………………7分又因为72= AD ，3=AB ，2=AC ，所以3⋅=-AB AC ，……………………………9分即cos 3⋅⋅∠=-AB AC BAC ，所以1cos 2∠=-BAC ，……………………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分若选③，由于AH 为BC 边上的高，在t R BAH△中，2229571449191919⨯=-=-=⨯BH AB AH ，所以121919=BH ，……………7分在t R CAH △中，222957494191919⨯=-=-=⨯CH AC AH ，所以71919=CH ……………9分所以19=+=BC BH CH 由余弦定理得22294191cos 22322+-+-∠===-⋅⨯⨯AB AC BC BAC AB AC，…………………………11分又因为(0,)∠∈BAC π，所以23∠=BAC π.………………………………………………12分19．(本小题满分12分)解：（1）因为平面⊥PDB 平面ABCD ，平面PDB 平面ABCD =BD ，⊥AC BD ，⊂AC 平面ABCD所以AC ⊥平面PDB ，…………………………………………………………………………1分又因为⊂PD 平面PDB ，所以AC ⊥PD ，…………………………………………………2分又因为⊥AB PD ，=AC AB A ，⊂AC 平面ABCD ，⊂AB 平面ABCD ，所以PD ⊥平面ABCD ，………………………………………………………………………4分（2）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又AD⊂平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，过A 引AZ PD ∥，则有AZ ⊥AD ，AZ ⊥AB ，又因为090∠=DAB ，即AD AB ⊥，以A 为原点，以AB 为x 轴，以AD 为y 轴，以AZ 为z轴建立空间直角坐标系，……5分设(0)=>AB t t ，则)0,0,0(A ，)0,0,(t B ，)0,1,(t C ，(0,2,0)D ，(0,2)P ,所以)0,1,(t AC =，)0,2,(t BD -=，)2,0,0(=DP ,由于⊥AC BD ，所以⋅AC 0=BD ，所以22=t ，即2=t ，………………………………………………………………………7分从而)0,1,2(C ，则)0,1,2(-=DC ，………………………………………………………8分设平面PDC 的一个法向量为),,(z y x n =，则有00⎧⋅=⎨⋅=⎩n DP n DC ，，即2020⎧=⎨-=⎩y ，，取1=x ，解得2,⎧=⎨⎩y z 即20)=n，………………………………………………9分同理，可求得平面PBC 的一个法向量为)1,0,1(=m ，…………………………………10分所以|cos,||<>== m n …………………………………………………………11分设二面角B PC D --的平面角为θ，θ为钝角，所以二面角B PCD --的平面角余弦值为.…………………………………………12分20．(本小题满分12分)解：（1）因为2()2=-+x f x e x x ，所以()22'=-+x f x e x ，………………………………………1分()()22'==-+x m x f x e x 令，则()2'=-x m x e ，当(,ln 2)∈-∞x 时，()0'<m x ；当(ln 2,)∈+∞x 时，()0'>m x ．所以()m x 在(,ln 2)-∞上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增．所以min ()(ln 2)2(2ln 2)0==->m x m ，…………………………………………………………3分即()0'>f x 恒成立，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间．…………………………………5分（2）由题意()(2)1>-+f x a x 在区间(0,)+∞上恒成立，即2221-+>-+xe x x x ax 恒成立，即1e>+-xax xx 在区间(0,)+∞上恒成立，………………6分令1e ()=+-xg x x xx ，(0,)∈+∞x ，只需max ()>ag x ，……………………………………………7分有222(1)(1e )1e e ()1-+--'=-+-=x x x x x x g x x x x ，(0,)∈+∞x ，……………………………………8分令()1e =+-x h x x ，[0,)∈+∞x ，有()1e 0'=-x h x ≤，从而()(0)0=h x h ≤，…………………9分所以当(0,1)∈x 时，()0'>g x ；当(1,)∈+∞x 时，()0'<g x ，所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，……………………………………10分所以()(1)2e ==-g x g max ，…………………………………………………………………11分所以2>-ae .…………………………………………………………………………………12分21．(本小题满分12分)解：（1）法一:当1n =时，215S S +=，即2125a a +=，由11a =，得23a =，由21221n n S S n n ++=++，得212(1)2(1)1n n S S n n -+=-+-+(2)n ≥，两式相减得：14(2)++=n n a a n n ≥．又214a a +=，满足上式．所以当*n N ∈时，14n n a a n++=，…………………………………………………………1分又当2n ≥时，14(1)n n a a n -+=-，两式相减得：114(2)+--=n n a a n ≥，…………………………………………………………2分所以数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为奇数)，……………………………………3分数列{}n a 的偶数项是以23a =为首项，4为公差的等差数列，所以11412(1)212-=+⨯=+-=-nn a a n n (n 为偶数)，……………………………………4分所以21=-n a n ，即{}n a 的通项公式是21n a n =-．…………………………………………5分法二：因为21221++=++n n S S n n ，所以22211(1)()(1)(1)+-+=--==-- n n n S n S n S ，………2分因为2110-=S ，所以20n S n -=，即2n S n =，………………………………………………3分当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，…………………………………………4分当1=n时，11a =适合上式，所以{}n a 的通项公式是21n a n =-.…………………………5分（2）因为1(1)n n n n b b a ++-=，所以：当*21()n k n N =-∈时，221212(21)143k k k b b a k k ---==--=-……①当*2()nk n N =∈时，212222141k k k b b a k k ++==⨯-=-……②①、②两式相减得：21212(1)+-+=k k b b k ≥，…………………………………………………6分因为11b =，312b b +=，所以31b =，因为21212(1)+-+=k k b b k ≥，所以当n 为奇数时，1n b =，…………………………………7分当n 为偶数时，112(1)123n n n b b a n n ---==--=-，所以1123122n n b a n n -=+=-+=-，…………………………………………………………8分所以1,22,nn b n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，…………………………………………………………………9分(i)当n 为偶数时，213124(222)112()()12222-+-=+++++++=⨯+=+ n n n n n n T b b b b b b n n ．…………10分(ii)当n 为奇数时，2111111[(1)(1)][2(1)2]22++++=-=-=+++-+-n n n n n T T b T b n n n 211122=-+n n ．………11分综上,22111,221122⎧-+⎪=⎨+⎪⎩n n n n T n n n 为奇数，为偶数.………………………………………………………12分22．(本小题满分12分)解：（1）因为2()(2)ln f x ax a x x =+--，(1,2)x ∈所以22(2)1(21)(1)1()22+--+-'=+--==ax a x x ax f x ax a x x x，…………………………1分①当0a ≤时，()0f x '<所以()f x 在(1,2)上单调递减，所以()f x 在(1,2)上无极值点，…………………………2分②当0a>时，当1(0,)∈x a 时，()0f x '<；当1(,)∈+∞x a 时，()0g x '>，所以()f x 在1(0,a 上单调递减，在1(,)+∞a上单调递增．所以()f x 的极小值点为1a，无极大值点，因为()f x 在(1,2)上有极值，所以1(1,2)∈a，所以112<<a .……………………………………………………………………………4分（2）当01a <<时，(21)(1)()+-'=x ax f x x，0x >由(1)知：111()()ln 1==--+f x f a a a 极小，01a <<，11>a令1=t a，1t >，则()ln 1f t t t =--+因为1()10'=--<f t t ，(1,)t ∈+∞恒成立，所以()f t 在(1,)+∞上单调递减所以()(1)0f t f <=即1()(0=<f x f a极小，…………………………………………………5分因为221212(ln 10-=+-=++->a a a a f e e e e ee e ，由(1)知：()f x 在1(0,a上单调递减，且11(()0⋅<f f e a ，所以()f x 在1(0,a上存在唯一的零点1x ，使1()0f x =，……………………………………6分因为3(2)39333()ln 3ln -=+-=+-a f a a a a a a ，又33ln 1,01<-<<a a a，所以3(3140>+=>f a ，由(1)知()f x 在1(,)+∞a上单调递增，且13()()0⋅<f f a a ，所以()f x 在1(,)+∞a上存在唯一的零点2x ，使2()0f x =．所以()f x 有两个零点1x ，212()x x x ≠.………………………………………………………7分下面证明12()()0f x f x ''+<：设120x x <<，则22111111112222222222()(2)ln ()2ln 0()(2)ln ()2ln 0f x ax a x x a x x x x f x ax a x x a x x x x ⎧=+--=+--=⎨=+--=+--=⎩．两式相减：2212121212[()()]2()(ln ln )0-+-----=a x x x x x x x x 即11212122()(1)2()ln 0-++---=x a x x x x x x x 所以112212122()ln ()(1)-+=-++xx x x a x x x x ，………………………………………………………………8分因为22(2)11()22+--'==-+-ax a x f x ax a xx 所以12121212121111()()2()()2(2)2(1)(4''+=+-++-=++-+-f x f x a x x a a x x x x x x 1112221212112121222()ln 2ln ()(1)(11112(1)()4())-+-++-=++-+-=-+x x x x x x xx x x x x x x x x x x ，……………9分要证：12()()0f x f x ''+<，即证：1211212211()0()02()ln-+<<<-x x x x x x x x ，只要证：122211112ln (()0)--+>x x x x x x ，即证：12212102ln -+>xx x x x x .……………………10分令12,(0,1)=∈x t t x ，即证：1ln 02-+>t t t ，(0,1)t ∈．令()2ln 1-=+m t t t t ，(0,1)t ∈，则222(1)112(0)----='=<m t t t t t ，(0,1)t ∈恒成立所以()m t 在(0,1)上单调递减，所以()(1)0m t m >=．即12212102ln-+>x x x x x x 成立，故()f x 有两个零点1x ，2x 12()≠x x ，且12()()0''+<f x f x .……………………………12分。

江苏省西安交通大学苏州附属中学2015届高三期中模拟考试数学试题 Word版含答案

又，且，由可解得，，…………………12分
所以．……………………………14分
16.解：（1）由及正弦定理得：
又所以
即
又所以
又所以
(2)由余弦定理可得：
即：所以
17.点（n，Sn/n），（n∈N+）均在函数y=3x-2的图像上。所以 3n-2
∴Sn= -2n
当n=1时，a1=S1=3-2=1
(2)设 ,Tn是数列{bn}的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m
18.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．（1）求关于的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？
西安交通大学苏州附属中学2015届高三数学期中模拟考试试卷
2.已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a R)．若z1z2为实数，则a的值为．
3.若函数（）的图象关于直线对称，则θ．
4.已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为
当n≥2时，an=Sn-S(n-1) =( -2n)-[ -2(n-1)]=6n-5
上式对n=1也成立∴an=6n-5
(2)
∴Tn=b1+b2+b3+....+bn=
=
∵ ∴ 那么Tn
∵Tn＜对所有n∈N+都成立∴ 所以

江苏省徐州市2015届高三上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2014—2015学年度第一学期期中考试高三数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.设集合},40{},21{≤≤=≤≤-=x x B x x A 则=B A .2.已知i R a i i a z ,)(21)((∈+-=为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则=a .3.若命题"02,"2≤++∈∃m mx x R x 是假命题，则实数m 的取值范围是 .4.已知向量),1,0(),1,2(-==b a 若,//)(a b a λ-则实数=λ .5.若等差数列}{n a 的前5项和,255=S 且,34=a 则=7a .6.若直线b x y +=是曲线x x y ln =的一条切线，则实数=b .7.已知函数)(x f 是奇函数，当0<x 时，,2s i n 3)(2xa x x f π-=且,6)3(=f 则=a .8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若,2,30,sin 3sin =︒==b B C A 则ABC ∆的面积是 .9.如图，ABC ∆中，D C BC AC ,90,4,3︒=∠==是BC 的中点，则AD BA ⋅的值为 .10.已知}{n a 是分比为q 的正项等比数列，不等式0432≤+-a x a x 的解集是},{21a x a x ≤≤则=q .11.在平面直角坐标系中，已知角4πα+的终边经过点),4,3(P 则=αcos .12.已知点B A ,分别在函数xe xf =)(和xe x g 3)(=的图象上，连接B A ,两点，当AB 平行于x 轴时，B A ,两点的距离是 .BACD第9题图13.已知三个实数c b a ,,，当0>c 时满足：,32c a b +≤且,2a bc =则ca b2-的取值范围是 .14.已知函数],0[,3)(2m x x x x f ∈-=，其中,R m ∈当函数)(x f 的值域为]2,0[时，则实数m 的取值范围 .二、解答题：本大题共6分，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)在ABC ∆中，已知).sin(2)sin(B A B A -=+（1）若,6π=B 求:A（2）若,2tan =A 求B tan 的值.16. (本题满分14分)已知集合}033{]},3,2[,2{22>--+=∈-==a a x x x B x y y A x （1）当4=a 时，求;B A （2）若命题“A x ∈”是命题“B x ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.17. (本题满分14分)在平面直角坐标系中，已知三点O R t t C t B A ,),,6(),2,(),0,4(∈为坐标原点. (1) 若ABC ∆是直角三角形，求t 的值；(2) 若四边形ABCD 的最小值.18.（本小题满分16分）如图，P 为某湖中观光岛屿，AB 是沿湖岸南北方向道路，Q 为停车场，526=PQ ,km 某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场,Q 已知游船以h km /13的速度沿方位角θ的方向行驶，.135sin =θ游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M 处，然后乘出租车到停车场Q 处（设游客甲到达湖滨大道后立即乘到出租车）.假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为./66h km （1）设,54sin =α问小船的速度为多少h km /时，游客甲才能和游船同时到达点;Q（2）设小船速度为h km /10，请你替该游客设计小船行驶的方位角,α当角α的余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q .19.（本小题满分16分）已知二次函数c bx ax x h ++=2)(（其中),3<c 其中导函数)('x h y =的图象如图，设)(ln 6)(x h x x f +=（1）求函数)(x f 在2=x 处的切线斜率；（2）若函数)(x f 在区间)21,1(+m 上是单调函数，求实BM数m 的取值范围；（3）若函数)6,0(,∈-=x x y 的图象总在函数)(x f y =图象的上方，求c 的取值范围.20. （本小题满分16分）设等比数列}{n a 的首项为,21=a 公比为q q (为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列}{n b 满足).,(023)(2*2N n R t b n b t n n n ∈∈=++- （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列}{n b 为等差数列；（3）当}{n b 为等差数列时，对每个正整数,k 在k a 与1+k a 之间插入k b 个2，得到一个新数列}{n c .设n T 是数列}{n c 的前n 项和，试求满足12+=m m c T 的所有正整数.m2014～2015学年度第一学期期中考试高三数学试题参考答案与评分标准1．[0,2] 2.123．()0,1 4．0 5．-3 6．-1 7．589．17- 10 11．1012．ln3 １3．(][),09,-∞⋃+∞ １4．[]1,215．解:（1）由条件，得 ππsin()2sin()66A A +=-．11cos cos )22A A A A +=-． ………………………3分化简，得 s i n 3c o s A A ．tan A ∴=6分又(0,π)A ∈， π3A ∴=． ………………………………………7分（2）因为sin()2sin()A B A B +=-，sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B ∴+=-．化简，得 3c o s s i ns i n c AB A B =．……………………………………11分又 c o s c o s AB ≠， tan 3tan A B ∴=．又tan 2A =，2tan 3B ∴=．………………………………………………………14分１7．解：（1）由条件，()()()4,2,2,,6,2AB t AC t BC t t =-==--，-若直角ABC ∆中，90A ∠=，则0AB AC ⋅=，即()2420t t -+=， 2t ∴=；-----------------------------------------------------------------------------------------2分若直角ABC ∆中，90B ∠=，则0A B B C ⋅=，即()()()46220t t t --+-=，6t ∴=±若直角ABC ∆中，90C ∠=，则0AC BC ⋅=，即()()2620t t t -+-=，无解，所以，满足条件的t 的值为2或6± -----------------------8分（2）若四边形ABCD 是平行四边形，则AD BC =，设D 的坐标为(,)x y即()()4,6,2x y t t -=--，4662x y t -=-⎧∴⎨=-⎩．即(10,2)D t t --(10OD ==所以当6t =时，OD 的最小值为--------------------------14分18．解：(Ⅰ) 如图，作PN AB ⊥,N 为垂足．135sin =θ，4sin 5=a ，在Rt △PNQ 中，θsin PQ PN =2652513=⨯=(km ), θcos PQ QN ==26124.8513⨯=(km )．在Rt △PNM 中， 21.54tan 3PN MN a ===(km ) ．………………………3分设游船从P 到Q 所用时间为1t h ，游客甲从P 经M 到Q 所用时间为2t h ，小船的速度为1v km/h ，则 1262513135PQ t ===(h ),21112.5 3.3516666220PM MQ t v v v =+=+=+（h ）． …………5分由已知得：21120t t +=，151********v ++=，∴1253v =．………………………7分 ∴小船的速度为253km/h 时，游客甲才能和游船同时到达Q ． (Ⅱ)在Rt △PMN 中，2sin sin PN PM ==a a (km ),2cos tan sin PN MN ==aa a(km )． ∴2cos 4.8sin QM QN MN =-=-aa(km )．………………………9分 N QM BA∴14cos 10665sin 5533sin PM QM t a a a =+=+-＝1335cos 4165sin 55a a -⨯+．…………………11分 ∵22215sin (335cos )cos 533cos 165sin 165sin t a a a a a a---'=⨯=, …………………13分 ∴令0t '=得：5cos 33a =．当5cos 33a <时，0t '>；当5cos 33a >时，0t '<． ∵cos a 在)2,0(πα∈上是减函数，∴当方位角a 满足5cos 33a =时，t 最小，即游客甲能按计划以最短时间到达Q ．…16分19．解：⑴ '()28f x x =- ------------------------------------------------------------------------------- 2分 c x x x x f +-+=∴8ln 6)(2 826)('-+=∴x xx f '(2)1f =-，所以函数))3(,3()(f x f 在点处的切线斜率为-1 ------------------- 4分⑵ xx x x x x f )3)(1(2826)('--=-+=0>x)(x f ∴的单调递增区间为（0，1）和),3(+∞)(x f ∴的单调递减区间为（1，3） ------------------------------------------------- 7分要使函数)(x f 在区间1(1,)2m +上是单调函数，则112132m m ⎧<+⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得1522m <≤ --------------------------------------------------- 9分⑶ 由题意，恒成立，得恒成立，即276ln c x x x<-+-恒成立，设(]2min ()6ln 7,0,6,()g x x x x x c g x =--+∈<则 ------------------------------ 13分xx x x x x x x x g )2)(32(672762)('2---=-+-=+--=因为为增函数时当)(,0)(',)2,23(,0x g x g x x >∴∈∴> 当3(0,)(2,),'()0,()2x g x g x ∈+∞∴<和时为减函数)(x g ∴的最小值为)6()23(g g 和的较小者．3933333()6ln 76ln ,242242(6)366ln 64266ln 6,3939()(6)6ln 6ln 612ln 20,2424g g g g =--+⨯=-=--+=--=-+=+> .6ln 66)6()(min -==∴g x g --------------------------------------------------- 15分又已知3<c ，66ln 6c ∴<-． -------------------------------------------------------------------------------- 16分20．【解析】（Ⅰ）因为,所以，解得（舍），则------------- 3分又，所以----------------------------5分（Ⅱ）由，得，所以,则由，得 ------------ 8分而当时，，由（常数）知此时数列为等差数列 ------------- 10分。

江苏省无锡市2015届高三数学上学期期中试题苏教版

江苏省无锡市2015届高三数学上学期期中试题苏教版注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟，全卷满分为160分．一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．） 1．已知复数i(1i)(i z =-为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限． 2．已知全集{}1,3,5,7,9U =，{}{}1,5,9,3,5,9A B ==，则()UA B 的子集个数为▲ ．3．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个）．4．某班要选1名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的23，则这个班的女生人数占全班人数的百分比为 ▲ ． 5．执行如图所示的程序框图,若输出s 的值为11,则输入自然数n 的值是 ▲ ．6．直线x a =和函数21y x x =+-的图象公共点的个数为▲ ．7．已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ= ▲ ．8．若一直角三角形的三边长构成公差为2的等差数列，则该直角三角形的周长为 ▲ ．9．将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，可得到函数sin(2)4y x π=+的图象，则ϕ的最小值为 ▲ ．10．已知函数2()1f x x ax a =-+-在区间(0,1)上有两个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．11．已知函数2,0,1()3,0,4x x x x x f x e x ⎧>⎪⎪++=⎨⎪-⎪⎩≤ 则函数()f x 的值域为 ▲ ．12．若点(,)P x y 满足约束条件0,2,2,x x y a x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤ 且点(,)P x y 所形成区域的面积为12，则实数a 的值为 ▲ ．13．若函数1()sin()4f x x π=与函数3()g x x bx c =++的定义域为[0,2]，它们在同一点有相同的最小值，则b c += ▲ ．14．已知实数0y x >>，若以22,,x y x y x λ++为三边长能构成一个三角形，则实数λ的范围为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为135．（1）求()(2)a b a b +⋅-的值；（2）若k 为实数，求a kb +的最小值．16．在正四面体ABCD 中，点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DE ∶EA =2∶3．证明：（1）EF ∥平面ABC ；（2）直线BD ⊥直线EF ．17．已知函数22()23sin cos sin cos f x a x x a x a x b =+-+，(,)a b ∈R ．（1）若0a >，求函数()f x 的单调增区间；（2）若[,]44x ππ∈-时，函数()f x 的最大值为3，最小值为13-，求,a b 的值．18．在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，其前n 项和为n T ，且223311,29b S S b +==．（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项；（2）问是否存在正整数,,m n r ，使得n m n T a r b =+⋅成立？如果存在，请求出,,m n r 的关系式；如果不存在，请说明理由．19．如图，ABC 为一直角三角形草坪，其中90,2C BC ∠==米，4AB =米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：方案二方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE 过点B ，且与AC 平行，DF 过点A ，EF 过点C ；方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE 过点B ，DF 过点A ，EF 过点C ．（1）求方案一中三角形DEF 面积1S 的最小值；（2）求方案二中三角形DEF 面积2S 的最大值．20．已知函数312()ln ,()23f x x x g x ax x e=⋅=--．（1）求()f x 的单调增区间和最小值；（2）若函数()y f x =与函数()y g x =在交点处存在公共切线，求实数a 的值；（3）若2(0,]x e ∈时，函数()y f x =的图象恰好位于两条平行直线1:l y kx =；2:l y kx m =+之间，当1l 与2l 间的距离最小时，求实数m 的值．无锡市2014年秋学期高三期中考试数学答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．一 2．2 3．必要不充分 4．60% 5．4 6．17．12-8．24 9．8π10．2,1) 11．31(,]43-12．16a =- 13．14- 14．12λ<<+二、解答题：（本大题共6小题,共90分．）15．解：因为22()(2)2a b a b a b a b +⋅-=-+⋅…………………………………………3分411(22=-+⨯-=． ………………………………………………6分（2）22222a kba kb ka b +=++⋅ ……………………………………………………8分2222(1)1k k k =-+=-+．…………………………………………………………10分当1k =时，2a kb +的最小值为1，………………………………………………………12分即a kb +的最小值为1． …………………………………………………………14分 16．证：（1）因为点F 在CD 上，点E 在AD 上，且DF ∶FC =DH ∶HA =2∶3， ……1分所以EF ∥AC ， ………………………………………………………………………………3分又EF ⊄平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ．…………………………………………………………………………6分（2）取BD 的中点M ，连AM ，CM ，因为ABCD 为正四面体，所以AM ⊥BD ，CM ⊥BD ， ……………………………………8分又AM CM =M ，所以BD ⊥平面AMC ， ………………………………………………10分又AC ⊂平面AMC ，所以BD ⊥AC ， ……………………………………………………12分又HF ∥AC ，所以直线BD ⊥直线HF ．……………………………………………………………………14分17．解：（1）因为22()sin cos sincos f x x x a x a x b =+-+sin 2cos 2x a x b =-+ …………………………………………2分 2sin(2)6a xb π=-+． …………………………………………………… 4分且0a >，所以函数()f x 的单调增区间为[,],63k k k ππππ-++∈Z ． ………………6分（2）当[,]44x ππ∈-时，22[,]633x πππ-∈-，2sin(2)[4x π-∈-， ……8分则当0a >时，函数()f xb +，最小值为2a b -+．所以3,21b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解得1,3a b == …………………………………10分当0a <时，函数()f x 的最大值为2a b -+b +．所以123,b a b +=--+=⎪⎩ 解得1,1a b =-=． ……………………………………12分综上，1,3a b ==-1,1a b =-=．……………………………………………14分 18．解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则23311,2(3332)9,q d d d q +++=⎧⎨++++=⎩ ………………………………………………………2分解得3,2d q ==． …………………………………………………………………4分所以13,2n n n a n b -==． …………………………………………………………6分（2）因为112221n n n T -=+++=-， ………………………………………7分所以有12132nn m r --=+⋅．………（*）若2r ≥，则1221n nr -⋅>-，（*）不成立，所以1r =，1213n m --=．………9分若n 为奇数，①当1n =时，0m =，不成立， …………………………………10分②当1n ≥时，设*21,n t t =+∈N ，则12212141333n t t m ----===∈Z ……12分若n 为偶数，设*2,n t t =∈N ，则121112121241411233333n t t t m ------⋅--====⋅+，因为1413t --∈Z ，所以m ∉Z ．……………………………………………………14分综上所述，只有当n 为大于1的奇数时，1211,3n r m --==．当n 为偶数时，不存在． …………………………………………………………16分 19．解：（1）在方案一：在三角形AFC 中，设,(0,90)ACF αα∠=∈，则,AF FC αα==， …………………………………………2分因为DE ∥AC ，所以E α∠=，2sin EC α=，且FA FCAD CE=sin α= …………………………………4分解得2cos AD α=， ………………………………………………………………6分所以11224)3(sin 2)2cos sin 3sin 2S αααααα=++=++所以当sin 21α=，即45α=时，1S有最小值7+． …………………………8分（2）在方案二：在三角形DBA 中，设,(0,120)DBA ββ∠=∈，则sin(120)sin 60DB ABβ=-，解得)DB β=-， ……………………………………………………10分三角形CBE 中，有sin sin 60EB CB β=，解得EB β=，……………………12分))ββββ-=，…14分，所以面积2S的最大值为243=．……16分 20．解（1）因为()ln 1f x x '=+，由()0f x '>，得1x e>，所以()f x 的单调增区间为1(,)e+∞，……………………………………………………2分又当1(0,)x e ∈时，()0f x '<，则()f x 在1(0,)e上单调减，当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，则()f x 在1(,)e+∞上单调增，所以()f x 的最小值为11()f e e=-． …………………………………………………5分（2）因为()ln 1f x x '=+，21()32g x ax '=-，设公切点处的横坐标为x ，则与()f x 相切的直线方程为：(ln 1)y x x x =+-，与()g x 相切的直线方程为：2312(3)223y ax x ax e=---，所以231ln 13,222,3x ax x ax e ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩ …………………………………………………………8分解之得1ln x x e =-，由（1）知1x e=，所以26e a =． …………………………10分（3）若直线1l 过22(,2)e e ，则2k =，此时有ln 12x +=（x 为切点处的横坐标），所以x e =，m e =-， ………………………………………………………………11分当2k >时，有2:l (ln 1)y x x x =+-，1:l (ln 1)y x x =+，且2x >，所以两平行线间的距离2(ln 1)x d x =+，………………………………………12分令()ln (ln 1)h x x x x x x =-+-，因为()ln 1ln 1ln ln h x x x x x '=+--=-，所以当x x <时，()0h x '<，则()h x 在(0,)x 上单调减；当x x >时，()0h x '>，则()h x 在2(,)x e 上单调增，所以()h x 有最小值()0h x =，即函数()f x 的图象均在2l 的上方，………………13分令22()ln 2ln 2x t x x x =++，则2222222ln 4ln 42ln 22ln 2ln 2()0(ln 2ln 2)(ln 2ln 2)x x x x x x x x x x x x x t x x x x x ++--++'==>++++，所以当x x >时，()()t x t x >，………………………………………………………15分所以当d 最小时，x e =，m e =-．…………………………………………………16分。

江苏省苏州市2015届高三上学期期中测试数学试题(含附加题) Word版含答案

2014—2015学年第一学期高三期中调研测试试卷数学 2014.11注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置)1．集合{}1,2的子集个数为 ▲ ． 2．“0x ∀>，1x +>”的否定是 ▲ ． 3．函数()sin cos f x x x =的最大值是 ▲ ． 4．已知tan α=且3(,2)2∈παπ，则cos α＝ ▲． 5．等差数列{}n a 中，122,a a +=788,a a +=则该数列前十项的和10S = ▲ ． 6．平面向量a =，b (=-，则a 与b 的夹角为 ▲ ．7．已知3()2=-++f x ax cx ，若(5)7=f ，则(5)-=f ▲ ． 8．如图，在∆ABC 中，已知4=B π，D 是BC 边上一点，10=AD ，14=AC ，6=DC ，则=AB ▲ ．9．已知直线30ax by --=与()e x f x x =在点(1,e)P 处的切线互相垂直，则ab= ▲． 10．函数1lg 1y x =-+的零点个数是 ▲ ．11．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，3AB AD AC ABADAC+=，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ ．12．已知正实数,x y 满足24x y +=，则14y x y+的最小值为 ▲．CDBA13．已知函数22(1)()21(1)x ax x f x ax x ⎧-+=⎨-<⎩≥，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得12()()f x f x =，则a 的取值范围为 ▲ ．14．若关于x 的不等式ax 2＋x －2a ＜0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为▲ ．二、解答题(本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分14分)已知向量a ),cos x x =，b ()cos ,cos x x =，()2f x =a b1-．(1)求函数()f x 的单调递减区间及其图象的对称轴方程； (2)当[]0,x π∈时，若()1f x =-，求x 的值．16．(本题满分14分)已知△ABC 的面积为S ，且AB AC S ⋅=．（1）求tan A 的值；（2）若4B π=，3c =，求△ABC 的面积S ．17．(本题满分14分)如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB 为50km ，B ，C 间的距离为100km ，从A到C ，必须先坐船到BC 上的某一点D ，船速为25/km h ，再乘汽车到C ，车速为50/km h ，记∠=BDA θ．（1）试将由A 到C 所用的时间t 表示为θ的函数()t θ；（2）问θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少？18．(本题满分16分)已知函数2()1f x x =-，()1g x a x =-，()()()F x f x g x =-． (1) 2a =，[]0,3x ∈，求()F x 值域； (2) 2a >，解关于x 的不等式()F x ≥0．19．(本题满分16分) 设函数32()(,)2b f x x x cx bc =++∈R ．（1）2=b ，1=-c ，求()=y f x 的单调增区间；θDCBA（2）6b =-，()()g x f x = ，若()g x ≤kx 对一切[]0,2x ∈恒成立，求k 的最小值()h c 的表达式；20．(本题满分16分)已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S .若424S S =,221n n a a =+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m *∈N ，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m 内的项的个数记为{}m b ；①求数列{}m b 的通项公式m b ； ②记2122m m m c b -=-，数列{}mc 的前m 项和为m T ，求所有使得等式111+-=-+m m t T t T t c 成立的正整数m ，t ．2014—2015学年第一学期高三期中调研测试试卷数学 (附加) 2014.11注意事项：1．本试卷共2页．满分40分，考试时间30分钟．2．请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效．3．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲) （本小题满分10分）如图，MN 为两圆的公共弦，一条直线与两圆及公共弦依次交于A ，B ，C ，D ，E ，求证：AB ·CD = BC ·DE ．B ．(矩阵与变换)（本小题满分10分）已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程．C ．(极坐标与参数方程) （本小题满分10分）已知曲线1C 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，判断两曲线的位置关系．D ．(不等式选讲)（本小题满分10分）已知a ，b 是正实数，求证：22(1)(1)9a b a b ab ++++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)NME DC BA在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==．（1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．23．(本小题满分10分)某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去,,A B C 三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员．（1）求甲、乙同时去A 班听课的概率；（2）设随机变量ξ为这五名评估员去C 班听课的人数，求ξ的分布列和数学期望．2014—2015学年第一学期期中考试高三数学参考答案一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．4 2．0,x $>使1x + 3．12 4．14 5． 30 6．23p7．3-8． 9．12e -10．3 11． 12．1 13．0a ³ 14． 23[,)77二、解答题 (本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)ABCD P解：解：（1）()2f x =2cos cos )x x x +1-2cos 2x x =+2sin(2)6x π=+ …………………………………………………………………………2分3222262k x k πππππ+≤+≤+263k x k ππππ⇒+≤≤+，…………………………5分即函数()f x 的单调递减区间2[,],Z 63k k k ππππ++∈-------------------------------------6分令26226k x k x πππππ+=+⇒=+，------------------------------------------------------------8分即函数()f x 的对称轴方程为,Z 26k x k ππ=+∈-----------------------------------------------9分（2）()1f x =-，即12sin(2)1sin(2)662x x ππ+=-⇒+=--------------------------------10分[]130,2[,]666x x ππππ∈⇒+∈； 72662x x πππ+=⇒=----------------------------------------------------------------------------------12分1152666x x πππ+=⇒=-------------------------------------------------------------------------------14分（注：Z ∈k 漏写扣1分） 16．(本题满分14分)（1）设△ABC 的角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,.AB AC S ⋅=,A bc A bc sin 21cos =∴,-----------------------------------------------------------3分A A sin 21cos =∴, 2tan =∴A . ------------------------------------------------------------6分（2） 20,2tan π<<=A A ,55cos ,552sin ==∴A A . --------------------------------------------------------------------------9分 ()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B∴=+=+22=+=-----------------------------------------------------------11分由正弦定理知：5sin sin sin sin =⋅=⇒=B Ccb B b Cc ,---------------------------------13分35523521sin 21=⋅⋅==A bc S .----------------------------------------------------------14分17．(本题满分14分)解：（1）50sin =AD θ，所以A 到D 所用时间 θDCBA12sin =t θ---------------------------------------------------2分 5050c o s t a n s i n ==BD θθθ，50cos 100100sin =-=-CD BD θθ所以D 到C 所用时间2cos 2sin =-t θθ---------------------5分所以122cos ()2sin -=+=+t t t θθθ------------------------6分（2）222sin (2cos )cos 12cos ()sin sin ---'==t θθθθθθθ----8分令()0'>t θ1cos 2⇒<θ32⇒<<ππθ；所以(,)32∈ππθ，()t θ单调增；------10分令0∠=BCA θ，则同理03<<πθθ，()0'<t θ，()t θ单调减-----------------------12分所以3=πθ，()t θ取到最小值；---------------------------------------------------------13分答：当3=πθ时，由A 到C 的时间t 最少----------------------------------------------14分注：若学生写03<<πθ，()0'<t θ，()t θ单调减，不扣分18．(本题满分16分)解：（1）()()()F x f x g x =-2121x x =---2221(13)23(01)x x x x x x ⎧-+≤≤=⎨+-≤<⎩；-----------------2分13x ≤≤，[]2210,4x x --∈；--------------------------------------------------------------------------4分 01x ≤<，[)2233,0x x +-∈-；------------------------------------------------------------------------6分所以()()()F x f x g x =-的值域为[3,4]-；-----------------------------------------------------------7分（2）(1)(1)(1)()(1)(1)(1)x x a x F x x x a x -+-≥⎧=⎨-++<⎩；-----------------------------------------------------------9分 1x ≥，()0F x ≥，2a >，得1≤x 或1x a ≥-；1x a ⇒≥-或1=x --------------------------12分 1x <，()0F x ≥，得1≤--x a 或1≥x ；1⇒≤--x a ------------------------------------------14分综上：()01≥⇒≤--F x x a 或1≥-x a 或1=x --------------------------------------------------16分19．(本题满分16分)解：（1）322()(1)f x x x x x x x =+-=+-((0x x x =->0x ⇒<<或x -------------------------------------------------------1分 2()321(1)(31)0f x x x x x '=+-=+->1x ⇒<-或13x >-----------------------------2分所以1)-与)+∞为()y f x =单调增区间；----------------------3分同理()0f x x <⇒<0x <<分()0f x '<113x ⇒-<<----------------------------------------------------------------------5分所以1(0,)3为()y f x =单调增区间---------------------------------------------------------6分综上 ()y f x =的单调增区间为1)-， 1(0,)3，)+∞-----7分（2）()g x kx ≤即32|3|x x cx kx -+≤．当0x =时，上式对一切[0,2]x ∈恒成立；当(0,2]x ∈时，即2|3|x x c k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立．∴2max ()|3|h c x x c =-+，(0,2]x ∈--------------------------------------------------------9分I ）当94c ≥时，2max |3|-+x x c 在0x =时取得，∴()h c c =---------------------10分 II ）当94c <时，（ⅰ）若0≤c 则9204-<-<≤c c c 所以2max 9|3|4-+=-x x c c -------------------------------------------------------------12分（ⅱ）904<<c 因为924-<-c c ，且2-<c c 所以2-c 不会是最大值；---------------------13分所以2max 99(),984|3|max{,}994().48c c x x c c c c c ⎧<<⎪⎪-+=-=⎨⎪-⎪⎩≤----------------------------15分由I ），II ），得9(),8()99().48⎧>⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩c c h c c c ≤---------------------------------------------------16分20．(本题满分16分)解：（１）421142563S S a d a d =⇒+=+，即12d a =；------------------------------1分2211n n n a a a nd =+⇒=-； ------------------ ------------------------------------2分所以11,2a d ==，21n a n =-；------------------ ------------------------------------4分（２）22212mmn <-<221221m m n ⇒+<<+------------------ -----------------6分121112222m m n --⇒+<<+121212m m n --⇒+≤≤；------------------ -------------8分得21122m m m b --=-； ------------------ ------------------------------------------------9分2122m m m c b -=-2121()22m m --==；------------------ -------------------------------------10分得1412m m T ⎛⎫=-⎪⎝⎭，------------------ -------------------------------------------------------------11分由111+-=-+m m t T t T t c ，得111++=+-m t m c c T t，化简得221(4)242-=--m t t ，即1(4)242---=m t t ，即1(4)242--=+m t t ．------------------------------------------- 13分（*）因为t 1240-+>，所以(4)20-⋅>m t ，所以t 4<，因为*t ∈N ，所以t 1=或2或3．当t 1=时，由（*）得325⨯=m，所以无正整数解；当t 2=时，由（*）得226⨯=m，所以无正整数解；当t 3=时，由（*）得28=m，所以3=m ．综上可知，存在符合条件的正整数3m t ==．-------------------------------------------16分21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．(几何证明选讲, 本题满分10分) 证明：由相交弦定理，得NMEDC BAAC ·CD = MC ·NC ．BC ·CE = MC ·NC ．∴AC ·CD = BC ·CE ． ……………3分即（AB + BC ）·CD = BC ·（CD + DE ）． ……6分也即AB ·CD + BC ·CD = BC ·CD + BC ·DE ．∴AB ·CD = BC ·DE ． ………………10分B ．(矩阵与变换, 本题满分10分)解：设A NM =则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………………………3分设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ，则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ……………………………7分又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．………………………………10分C ．(极坐标与参数方程, 本题满分10分)解：将曲线12,C C 化为直角坐标方程得：1:20C x +=，----------------------------------------------------------------------3分222:220C x y x y +--=-------------------------------------------------------------------6分即()()222:112C x y -+-=，圆心到直线的距离d >-------------------------8分∴曲线12C C 与相离．-----------------------------------------------------------------------10分D ．(不等式选讲, 本题满分10分)∵a ，b 是正实数， ………………………… 2分∴1a b ++≥221a b ++≥ ………………………… 5分当a ＝b 时，以上两个不等式均取等号． ………………………… 7分相乘，得22(1)(1)9a b a b ab ++++≥． ………………………… 10分22．(本题满分10分)（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ……………………1分设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ，故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=， ………………2分因为0=⋅PQ DC ，0=⋅PQ DQ ，故PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥，又DC DQ D = ……4分所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………5分（2）因为⊥平面ADPQ ，所以可取平面ADPQ 的一个法向量为)1,0,0(1=n ， --------------------------------6分点B 的坐标为),0,(a a ，则),,0(a a QB -=，),,(a a a QC --=，设平面BCQ 的一个法向量为),,(2z y x n = ，则02=⋅QB n ，02=⋅QC n，故⎩⎨⎧=+--=+-,0,0az ay ax az ay 即⎩⎨⎧=+--=+-,0,0z y x z y 取1==z y ，则0=x ，故)1,1,0(2=n． -------------------------------------------------------------------------------------------8分设1n 与2n 的夹角为θ，则2221||||cos 2121==⋅=n n n n θ．-------------------------------------- 9分所以，平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小为4π-------------------------------------- 10分23．(本题满分10分)（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个班级各两个、另一个班级一个。

江苏省苏州市2015-2016学年高一(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（每小题5分，14题，共70分，请将正确答案填写在答题卷相应的横线上）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B=．2．已知f（2x）=6x﹣1，则f（x）=．3．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，16），则函数f（x）的解析式是．4．已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．5．函数y=的定义域是．6．设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是．7．函数f（x）=的递减区间是．8．已知lg2=a，lg3=b，用a，b表示log65=．9．函数的值域为．10．已知f（x）是定义在集合{x|x≠0}上的偶函数，x＞0时f（x）=x+，则x＜0时f（x）=．11．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于．12．若函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0．则x•f（x）＜0的解集是．13．函数f（x）=|x2﹣2x|﹣a有四个零点，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=，若当t∈[0，1]时，f（f（t））∈[0，1]，则实数t的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：（1）（2）（lg5）2+lg2•lg50．16．设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．17．某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元）（0≤x≤5）．其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？18．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，求实数a的取值范围．19．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．20．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题5分，14题，共70分，请将正确答案填写在答题卷相应的横线上）1．设全集A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={﹣1，0，1，2}．【考点】并集及其运算．【分析】直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={﹣1，0，1}，则A∪B={0，1，2}∪{﹣1，0，1}={﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．已知f（2x）=6x﹣1，则f（x）=3x﹣1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】利用配凑法或者换元法求解该类函数的解析式，注意复合函数中的自变量与简单函数自变量之间的联系与区别．【解答】解：由f（2x）=6x﹣1，得到f（2x）=3（2x﹣）=3（2x）﹣1故f（x）=3x﹣1故答案为：3x﹣1．3．已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，16），则函数f（x）的解析式是f（x）=x4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由已知得2a=16，解得a=4，由此求出f（x）=x4．【解答】解：∵幂函数y=f（x）=x a的图象经过点（2，16），∴2a=16，解得a=4，∴f（x）=x4．故答案为：f（x）=x4．4．已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】先求，，故代入x＞0时的解析式；求出=﹣2，，再求值即可．【解答】解：，故答案为：5．函数y=的定义域是（，3]．【考点】函数的值域．【分析】根据对数函数单调性和二次根式的意义，求得范围．【解答】解：由题意得2x﹣5＞0，且log0.5（2x﹣5）≥0=log0.51，即x＞且，2x﹣5≤1，解得＜x≤3，故答案为：（，3]．6．设a=log0.60.9，b=ln0.9，c=20.9，则a、b、c由小到大的顺序是b＜a＜c．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.60.9＜log0.60.6=1，b=ln0.9＜0，c=20.9＞1，∴b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．7．函数f（x）=的递减区间是（﹣∞，﹣3]．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】令t=x2+2x﹣3≥0，求得函数的定义域，且f（x）=，本题即求函数t在定义域内的减区间，结合二次函数t=x2+2x﹣3的性质可得t在定义域内的减区间．【解答】解：令t=x2+2x﹣3≥0，可得x≤﹣3，或x≥1，故函数的定义域为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），且f（x）=，故本题即求函数t在定义域内的减区间．结合二次函数t=x2+2x﹣3的性质可得t在定义域内的减区间为（﹣∞，﹣3]，故答案为：（﹣∞，﹣3]．8．已知lg2=a，lg3=b，用a，b表示log65=．【考点】对数的运算性质．【分析】利用换底公式将log65用lg2与lg3表示出来，再换成用字母a，b表示即可得．【解答】解：log65=，又由已知lg2=a，lg3=b，故log65=，故答案为9．函数的值域为（﹣∞，1]．【考点】函数的值域．【分析】先确定函数的定义域，再考查函数在定义域内的单调性，根据函数的单调性来确定函数的值域．【解答】解：函数的定义域是（﹣∞，1]，且在此定义域内是增函数，∴x=1时，函数有最大值为1，x→﹣∞时，函数值y→﹣∞，∴函数的值域是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．10．已知f（x）是定义在集合{x|x≠0}上的偶函数，x＞0时f（x）=x+，则x＜0时f（x）=﹣x﹣．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由偶函数的性质及对称性得到x＜0时，f（x）=（﹣x）+，由此能求出结果．【解答】解：∵f（x）是定义在集合{x|x≠0}上的偶函数，x＞0时，f（x）=x+，∴由偶函数的性质得：x＜0时，f（x）=f（﹣x）=（﹣x）+=﹣x﹣．故答案为：．11．设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果P={x|log2x＜1}，Q={x||x ﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（0，1]．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据对数函数的定义域及单调性求出集合P中的不等式的解集，求出集合Q中的绝对值不等式的解集，然后根据题中的新定义即可求出P﹣Q．【解答】解：由集合P中的不等式log2x＜1=log22，根据2＞1得到对数函数为增函数及对数函数的定义域，得到0＜x＜2，所以集合P=（0，2）；集合Q中的不等式|x﹣2|＜1可化为：，解得1＜x＜3，所以集合Q=（1，3），则P﹣Q=（0，1]故答案为：（0，1]12．若函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣3）=0．则x•f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】先利用f（x）是偶函数单调性在对称区间上相反，分析出函数的单调性，结合f（﹣3）=0，分析出函数在各个区间上的符号，进而得到x•f（x）＜0的解集【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）内是减函数又∵f（﹣3）=f（3）=0∴f（x）＜0的解集是（﹣3，3），f（x）＞0的解集是（﹣∞，﹣3），（3，+∞）∴x•f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）13．函数f（x）=|x2﹣2x|﹣a有四个零点，则实数a的取值范围是（0，1）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】将方程的零点问题转化成函数的交点问题，作出函数的图象得到a的范围．【解答】解：令f（x）=|x2﹣2x|﹣a=0，得a=|x2﹣2x|，作出y=|x2﹣2x|与y=a的图象，要使函数f（x）=|x2﹣2x|﹣a有四个零点，则y=|x2﹣2x|与y=a的图象有四个不同的交点，所以0＜a＜1，故答案为：（0，1）．14．已知函数f （x ）=，若当t ∈[0，1]时，f （f （t ））∈[0，1]，则实数t 的取值范围是 [log 3，1] ．【考点】分段函数的应用．【分析】通过t 的范围，求出f （t ）的表达式，判断f （t ）的范围，然后代入已知函数，通过函数的值域求出t 的范围即可．【解答】解：因为t ∈[0，1]，所以f （t ）=3t ∈[1，3]，又函数f （x ）=，所以f （f （t ））=3（不成立）或f （f （t ）=﹣•3t ，因为f （f （t ））∈[0，1]，所以0≤﹣•3t ≤1，即≤3t ≤3，解得：log 3≤t ≤1，又t ∈[0，1]，所以实数t 的取值范围[log 3，1]．故答案为：[log 3，1]．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：（1）（2）（lg5）2+lg2•lg50．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（1）利用指数与对数的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．【解答】解：（1）原式=﹣+3+1=4﹣+1+3+1=8﹣．（2）原式=lg 25+lg2（1+lg5）=lg5（lg5+lg2）+lg2=lg5+lg2=1．16．设集合A={x|y=log2（x﹣1）}，B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}（1）求集合A，B；（2）若集合C={x|2x+a＜0}，且满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】对数函数的定义域；并集及其运算；函数的值域．【分析】（1）集合A即函数y=log2（x﹣1）定义域，B即y=﹣x2+2x﹣2，x∈R的值域．（2）先求出集合C，由B∪C=C 可得B⊆C，∴﹣＞﹣1，解不等式得到实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|y=log2（x﹣1）}={x|（x﹣1）＞0}=（1，+∞），B={y|y=﹣x2+2x﹣2，x∈R}={y|y=﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}=（﹣∞，﹣1]．（2）集合C={x|2x+a＜0}={x|x＜﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴，∴实数a的取值范围（﹣∞，2）．17．某厂生产一种机器的固定成本（即固定收入）为0.5万元，但每生产一台，需要增加可变成本（即另增加收入）0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为（万元）（0≤x≤5）．其中x是产品售出的数量（单位：百台）（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，由题意，当x≤5时，产品能够全部售出，当x＞5时，只能销售500台，由此能把利润表示为年产量的函数．（2）当0≤x≤5时，，当（百台）时，y max=10.78125（万元）；当x＞5（百台）时，y＜12﹣0.25×5=10.75（万元）．由此能求出年产量是多少时，工厂所得利润最大．【解答】解：（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其成本C（x）之差，由题意，当x≤5时，产品能够全部售出，当x＞5时，只能销售500台，所以，整理，得，（2）当0≤x≤5时，，当（百台）时，y max=10.78125（万元）；当x＞5（百台）时，y＜12﹣0.25×5=10.75（万元）．综上所述，当生产475台时，工厂所得利润最大．18．已知函数f（x）=x2﹣2ax+5（a＞1）．（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，求实数a的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由f（x）的对称轴是x=a知函数在[1，a]递减，根据定义域和值域均为[1，a]，列出方程组即可求得a值；（2）由f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数得a≥2，由函数在区间[1，a+1]上总有f（x）≤0，可得，解得a的取值范围即可．【解答】解：（1）∵f（x）=（x﹣a）2+5﹣a2（a＞1），∴f（x）在[1，a]上是减函数，又定义域和值域均为[1，a]，∴，即，解得a=2．（2）∵f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，∴a≥2，又∵对任意的x∈[1，a+1]，总有f（x）≤0，∴，即解得：a≥3，综上所述，a≥319．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断函数的单调性并证明；（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范围．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），解出方程可得a，b值；（2）由（1）知f（x）==﹣，利用单调性定义可作出判断；（3）由f（x）的奇偶性可得，f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），根据单调性可去掉符号“f”，转化为函数最值解决即可；【解答】解：（1）因为f（x）为R上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，解得b=1，由f（﹣1）=﹣f（1），得，解得a=2，所以a=2，b=1，即有f（x）=为奇函数，故a=2，b=1；（2）f（x）为R上的减函数，证明如下：由（1）知f（x）==﹣，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（﹣）﹣（﹣）=，因为x1＜x2，所以＞0，，+1＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）为减函数；（3）因为f（x）为奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0可化为f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），又由（2）知f（x）为减函数，所以t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t＞k恒成立，而3t2﹣2t=3﹣，所以k＜．20．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f（x）=x2在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n﹣m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．【解答】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵，∴当a=3时，n﹣m取最大值2016年7月19日。

江苏省盐城市2015届高三年级第一学期期中考试数学试题(20201222105708)

江苏省盐城市 2015 届高三年级第一学期期中考试数学试题(总分 160 分，考试时间 120 分钟 )一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定地点上 .1. 若会合A 0,1 ，会合 B 0, 1，则A B ▲.2b ,则2 2▲.．命题“若 a a b ”的否命题为3．函数f ( x) sin 2 x 的最小正周期为▲．4．若幂函数f (x) x ( Q) 的图象过点(2, 2)，则= ▲．25．若等比数列a n 知足 a2 3 ， a4 9 ，则 a6 ▲.6．若a,b均为单位向量，且 a (a 2b) ，则a, b的夹角大小为▲.7．若函数 f (x) 2x 1 m是奇函数，则 m ▲.2x 1．已知点 P 是函数f ( x) cos x(0 x ) 图象上一点，则曲线y f (x)在点 P 处的切线斜率的最小值83为▲.9．在等差数列 { a n} 中，S n是其前n项和，若S7=S5+4，则S9 S3= ▲.．在ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C的对边，若 a 4 ，10b 3 ， A 2B ，则 sin B = ▲.A DABC 中， AB=AC ，M 为 BC 中点，点 D 、 E11．如图，在等腰分别在边上，且 AD=1 EAB 、 AC D B， AE =3EC ，若B M C2第 11 题DME 90 ，则 cos A = ▲.12．若函数f ( x) x2 a x 2在(0, ) 上单一递加，则实数a的取值范围是▲.13. 设函数y x2 3 2n 1 x 2 4n 1 (n N * ) 的图象在 x 轴上截得的线段长为d n，记数列d n的前 n 项和为 S n ，若存在正整数n ，使得 log 2 m n218 建立，则实数 m 的最小值为▲.S n 1| x 3 2x 2 x | ( x 1)t R ，且 t0 ，使得 f (t)kt ”是假命题，14．已知函数 f ( x)ln x( x ，若命题“1)则实数 k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定地区内 .15. (本小题满分 14 分 )已知函数 f ( x) sin x a cos x( 0) 知足 f (0) 3 ，且 f (x) 图象的相邻两条对称轴间的距离为 .（ 1 ）求 a 与的值；（ 2 ）若 f ( )1，(, ) ，求 cos( 5)的值.2 21216. (本小题满分 14 分 )设函数 y lg( x 24 x 3) 的定义域为 A ，函数 y2 , x (0, m) 的值域为 B .）当 m 2时，求 A B ；x 1（ 1（ 2 ）若“ xA ”是“ xB ”的必需不充足条件，务实数m 的取值范围 .17. (本小题满分 14 分 )设△ ABC 的面积为 S ，且 2S 3 AB AC 0 .（ 1 ）求角 A 的大小；（ 2 ）若 |BC|3 ，且角 B 不是最小角，求 S 的取值范围．18. ( 本小题满分 16 分 )如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD ，此中 AB,CD,DA 都是线段，曲线段 BC 是抛物线的一部分，且点 B 是该抛物线的极点， BA 所在直线是该抛物线的对称轴. 经丈量， AB 2米， AD 3 米， AB AD ，点 C 到 AD, AB 的距离 CH, CR 1米．现要用这块边的长均为角料裁一个矩形 AEFG （此中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上，点 E 在线段 AD 上，点G 在线段 AB 上） . 设 BG 的长为 x 米，矩形 AEFG 的面积为 S 平方米 . （1 ）将 S 表示为 x 的函数；（2 ）当 x 为多少米时， S 取得最大值，最大值是多少？DCHFEBG R A第18题19. (本小题满分 16 分 )设数列 a n 的前 n 项和为 S n ，且 S n 1 S n S n 1 3n 2 2(n 2,n N ) .（ 1 ）若 a n 是等差数列，求 a n 的通项公式；（ 2 ）若 a 11.① 当 a 21 时，试求 S 100 ；② 若数列 a n 为递加数列，且 S 3 k 225 ，试求知足条件的全部正整数 k 的值 .20. (本小题满分 16 分 )已知函数 f x e x ， g x xm ， m R .（ 1 ）若曲线 yf x 与直线 yg x 相切，务实数 m 的值；（ 2 ）记h x f x g x ，求 h x 在 0，1 上的最大值；（ 3 ）当 m0 时，试比较 e f x 2 与 g x 的大小 .盐城市 2015 届高三年级第一学期期中考试数学参照答案一、填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，计 70 分.1.0,1, 12. 若 ab , 则 2a2b3.4.1 5. 276. 7. 2238.3 9. 1210.5 11.1 12.[ 4,0]13. 1314. (1,1]235e二、解答题：本大题共6 小题，计 90 分 .解答应写出必需的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定地区内 . 15 ．解：（ 1 ）f (0)3 ， sin0 a cos03 ，解得 a3 ，2 分 f ( x) si n x3 c o sx2 si nx(， )4 分f ( x) 图象的相邻两条对称轴间的距离为 3，T22 ， | | 1，又0 ，因此 1 .6 分||（ 2 ）f ( )1， sin( ) 18 分，3 2(2 , )( , 5) 310236 666cos( 5 ) cos7cos 7cos(4 )1212 123cos( 5 ) cos cos sin sin4 2 6 .1412 x 23 4 3 41614x 3 01 x 3A (1,3)2y2 (0, m) y ( 2 1 ,2)B( 2,2)4x 1 (2,2)A Bmm 1m2 B (1,2) .632m 08“ xA ” “ xB ”B?A( 2 , 2) ? (1,3)102m 11121mm 1.14171ABCA, B, Ca,b, c2S 3AB AC2 1bc sin A 3bc cos A 0sin A3 cos A 022tan A 3 4 A(0, )A2 .632BC3a33b c2sin Bsin Csin3b 2sin B,c 2sin C8S1bcsin A3 sin B sinC3 sin Bsin(B)10233sin B( 3 cos B 131 cos2B3)3 122 sin B)3( sin 2B4)sin(2 B2 4264B( , ), 2B ( ,5)S (0, 3) .146 36 2 64181BBA x.2BC y 22px( p0)C (1,1)2 p 1DBC yx (0 x 1) .4yC (1,1),D (2,3) CDy 2x 1(1 x 2) .6GA2 xCHFEB G R A xSx (2 x),0 x1,8(2 x 1)(2x), 1 x2.1320x 1S x (2 x)2x 2x 213 12 3x2Sx 2 x 2S 0x102 2 x3x(0, 2)S0 S3x(2,1)S 0 Sx2 S max 4 6 123391x2S(2 x 1)(2 x)2( x5)2 94 8x5 9 14S max4894 6 x5 S max 9.168948AAD x191S nna 1 n(n 1) d d n 2 ( a 1d)n2 2 2S n 1 S n S n 1d( n 1)2(a 1d)(n 1) d n 2 (a 1 d )n d(n 1)2(a 1d)(n 1)22 2 222d(3n 22) 3(a 1d)n,222d (3n 22) 3(a 1d)n 3d n 23(a 1 d)n d 3n 2 222 2 23d 3, ad, d 2d 2,a 1a n 2n42 1 211S nan 2bn n2, n 3a 1d2S n 1 S nSn 13n 2 2(n 2)S nSn 1 S n 23(n 1)2 2 6a n a n1a n 26n 3(n 2)S100a 1 (a 2 a 3 a 4 ) ( a 5 a 6 a 7 )(a 98a99a 100)11(6 2 3 6 983) 33 10000 .82a 2 1.3a 2xS n1S n S n13n 2 2(n 2)S 1S 2 S 3 14 S 2 S 3 S 4 293a 1 2a 2 a 3 14 a 3 11 2x3a 1 3a 2 2a 3 a 4 29 a 4 x 410S nSn 1S n 2 3(n 1)22a nan 1an 26n 3(n 2)a n 1 a nan 16n 3(n 3)a n2an 16( n 3)a 5 a 2 6 x 6a na 1 a 2 a 3a 4 a 57 x 111233S 3ka 1 a 2 a 3 (a 4 a 5a 6 ) (a 7 a 8 a 9 )(a 3 k 2 a 3k 1 a 3k )S3k12 x1(6 43 6(3k 2) 3)( k 1)2S3k9k 2 x 3 22514x 9k2222( 7 ,11)k5 .163 3201f xe xg xx mP x 0 , y 0f xe x ex=1x 02 P0，1 gxx m m 1.42h xxm e x h xe x x m e xx (m 1) e x , x [0,1] .m 1 0 m 1hx 0hx0，1h xmaxh 1 1m e6m 11 1 m 2x0， m 1hx 0 h xxm 1,1 h x0 h xhm h 11 m e .(i)m 1 m ee m2h x max h 0 m1ee(ii)m1 m e1mh x maxh 1 1 m e8e1m 1 1m 2h x0hx0，1h xminh 0m .me1 m e mem .e h x maxh x max101e 1(3) 当 m 0 时， efx 2=e ex 2， g x x ，①当 x 0 时，明显 e f x 2 g x ；②当 x0 时， ln e f x 2=lne ex 2e x 2 ， ln g xln x ，x 21x记函数x =eln xe 2 eln x ，12 分则x =12e x1 e x2 1 ，可知x 在 0,+上单一递加，又由1 0，2 0 知，ex xx 在 0,+上有独一实根x 0 ，且 1 x 0 2 ，则x 0=e x21 0，即 e x 021 （），x 0x 0当 x 0, x 0 时， x 0 ， x 单一递减；当 x x 0，+ 时，x0 ， x 单一递加，因此xx 0 =e x 0 2 ln x 0 ，14 分联合（）式 ex 021 ，知 x 02 ln x 0 ，x 01x 0 2 2x 01 x 02因此 x x 0x 01x 2ln x 0 ，=2=x 0x 00 ，则 x =ex 0即 e x 2 ln x ，因此 e e x 2x .综上， e fx 2g x .16 分（说明：若学生找出两个函数 y e f x 2 与 yg x 图象的一条分隔线，如 y x 1 ，而后去证e fx 2x 1 与 x 1 g x ，且取等号的条件不一致，相同给分）。