2001专升本高等数学试卷
01—10年江苏专转本数学真题(附答案)
2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是 （ ）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （ ）A 、211x-B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （ ）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.等价无穷小，洛必达13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.x 分别为0，1，-1时化简求极限14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx ee xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z∂∂、yx z ∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分） 21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
2001年江苏专转本高等数学真题(附答案)
2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1、下列各极限正确的是 （ ）A 、e xxx =+→)11(lim 0B 、e xx x =+∞→1)11(limC 、11sinlim =∞→x x x D 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x211 （ ）A 、211x- B 、c x+-211C 、x arcsinD 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，且在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有 （ ）A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21 （ ）A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示 （ ） A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6、设⎩⎨⎧+==22tt y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx x x220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctanπ+++=x x y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim202⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型. 14、已知x y x y ln 2+=，求1,1==y x dxdy.15、计算dx e e xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值. 17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域. 19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2yx x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、y x z∂∂∂2.四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
(整理)2001—年江苏专转本高等数学真题(附答案) (2).
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
2001年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2001年河南省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．函数y=-(3-x)的定义域是( )A．[0，3)B．(0，3)C．(0，3]D．[0，3]正确答案：B解析：要使ln(3-x)有意义，需要3-x>0，要使有意义，需要x>0，所以0，则f(x)等于( )A．x2+2B．(x+2)2C．x2-2D．(x-2)2正确答案：C解析：因，所以f(x)=x2-23．设f(x)=1-cos3x，g(x)=x2，则当x→0时，f(x)是g(x)的( )A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．等价无穷小D．同阶(但不等价)无穷小正确答案：D解析：因x→0时，1-cos3x-，所以当x→0时，f(x)与g(x)是同阶但非等价无穷小．4．对于函数y=，下列结论中正确的是( )A．x=0是第一类间断点，x=2是第二类间断点B．x=0足第二类间断点，x=2是第一类问断点C．x=0是第一类间断点，x=2是第一类问断点D．x=0是第二类间断点，x=2是第二类问断点正确答案：B解析：因为=∞，则x=0是第二类间断点；因为=2，则x=2是第一类间断点．5．设f’(0)=2，则的值为( )A．1B．2C．0D．4正确答案：D解析：若函数f(x)在x0处可导且f’(x0)存在，则=(a-b)f’(x0)．故=[1-(-1)f’(0)=2f’(0)=4．6．设y=cosex，则dy等于( )A．-exsinexdxB．-exsinexC．exsinexdxD．-sinexdx正确答案：A解析：dy=d(cosex)=-sinexdex=-exsinexdx．7．已知椭圆的参数方程为(a>0，b>0)，则椭圆在t=处的切线斜率为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因对应点处的切线斜率8．函数y=f(x)在x0处可导是它在x0处连续的( )A．充要条件B．必要条件C．充分条件D．以上都不对正确答案：C解析：因可导必然连续，而连续未必可导，故选C.9．曲线y=x2-3x2的拐点为( )A．(1，-2)B．1C．(0，0)D．(2，-4)正确答案：A解析：因为y’=3x2-6x，y’’=6x-6，令y’’=0得x=1．当x1时，y’’>0，所以(1，-2)为拐点．注意：所谓拐点指的是(x0，y0)，而非二阶导函数方程y’’=0的根．10．下列函数中，在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是( )A．y=｜x｜B．y=x3C．y=x2D．y=正确答案：C解析：y=｜x｜在x=0处不可导；y=x3在区间两个端点的函数值不相等；y=在x=0处不连续；只有选项C满足条件．11．设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(2x)dx等于( )A．F(x)+CB．F(2x)+CC．F(x)+CD．F(2x)+C正确答案：B解析：∫f(2)dx=∫f(2x)d(2x)=F(2x)+C12．下列式子中正确的是( )A．∫dF(x)=F(x)B．d∫dF(x)=F(x)+CC．∫f(x)dx=f(x)dxD．d∫f(x)dx=f(x)dx正确答案：D解析：A右端未加任意常数C；B是微分运算，等号右端不应出现常数C，而应该有微分符号dx；C为求导运算，右边不应出现微分符号dx，故选D13．设，则它们的大小关系是( )A．I1＞I2B．I1=I2C．I1＜I2D．I1≥I2正确答案：C解析：因0＜e，故x2＜，进而有，I1＜I2．14．等于( )A．+∞B．C．0D．正确答案：D解析：15．下列广义积分中收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：A解析：因为当k>1时收敛，当k≤1时发散，故A收敛，B和C发散；又因当x>1时，x>lnx，所以发散，所以也发散．16．平面3x+2y-z+5=0与平面x-2y-z-4=0的位置关系是( )A．平行B．垂直C．重合D．斜交正确答案：B解析：两个平面的法向量分别为，n1={3，2，-1}，n2={1，-2，-1}，因为，n1.n2=0，所以n1⊥n2，从而两平面垂直．17．等于( )A．0B．C．D．+∞正确答案：B解析：令xy=1，则当(x，y)→(0，0)时，t→0，所以原极限为18．设z=xy+x3，则出( )A．dx+4dyB．dx+dyC．4dx+dyD．3dx+dy正确答案：C解析：因为dz=ydx+xdy+3x2dx=(3x2+y)dx+xdy，所以=(3x2+y)dx+xdy=4dx+dy．19．f(x，y)=x2+y2-2x-2y+1的驻点是( )A．(0，0)B．(0，1)C．(1，0)D．(1，1)正确答案：D解析：因(x，y)=2x-2，f’(x，y)=2y-2，令(x，y)，)=0，(x，y)=0，得驻点为(1，1)．20．设D={(x，y)｜x2+y2≤R2，y≥0｝，则在极坐标中，(x2+y2)dxdy可表示为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因积分区域又可表示为D={(θ，r)｜0≤θ≤π，0≤r≤R}，且在极坐标系下的面积元素为rdrdθ，所以21．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是( )A．y=CsinxB．y=C1sinx+C2cosxC．y=sinx+cosxD．y=(C1+C2)cosx正确答案：B解析：因A中只有一个任意常数，显然不符合二阶微分方程的通解形式；B 满足通解条件；C中缺少任意常数，不符合通解条件；D中的两个常数不相互独立，相当于一个任意常数，也不符合通解的条件．22．下列常微分方程中为线性方程的是( )A．y’=ex-yB．y.y’’+y=sinxC．x2dx=(y2+2xy)dyD．xy’+y-e2x=0正确答案：D解析：所谓线性方程是指未知函数y及其导数y’、y’’的次数皆为一次，于是符合条件的只有D选项B中因存在交叉项y.y’’，也不符合线性要求．23．微分方程y’’’=x的通解为( )A．y=+Cx2+C2x+C3B．y=+C1x2+C2x+C3C．y=+C1x2+C2x+C3D．y=+C1x2+C2x+C3正确答案：A解析：直接逐次积分即可求得通解．因为y’’=x，所以y’’=，y’=+C2，y=+C2x+C3，y=+C1x2+C2x+C3(令=C1)，故选A.24．微分方程y”-4y=0的通解为( )A．Y=C1e-2x+C2e-2xB．y=(C1+C2x)e2xC．y=C1+C2e4xD．y=C1cos2x+C2sin2x正确答案：A解析：因为其特征方程为r2-4=0，特征根为r1=2，r2=-2，所以通解为y=C1e2x+C2e-2x25．对于微分方程y’’-2y’=x2，用待定系数法求特解时，特解可设为( )A．y*=ax2+bx+cB．y*=x2(ax2+bx+c)C．y*=x(ax2+bx)D．y*=x(ax2+bx+c)正确答案：D解析：原方程相应的齐次方程对应的特征方程为r2-2r=0，特征根为r1=2，r2=0，因为自由项f(x)=x2是二次多项式，且λ=0恰为一重特征根，故微分方程y’’-2y’=x2的特解应为y*=xe0x(ax2+bx+c)=x(ax2+bx+c)．26．设级数(1-un)收敛，则等于( )A．1B．0C．+∞D．不确定正确答案：A解析：因级数(1-un)收敛，则由收敛的必要条件知(1-un)=0，故=1．27．下列级数中收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：选项A是p=的p一级数，因p的等比级数，故收敛；选项C由比值判别法知=2>1，故发散；选项D中是公比q=＞1的等比级数，发散，是p=2＞1的p一级数，收敛，但选项D整体是发散的28．设正项级数收敛，则下列级数中一定收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：选项A和B未必收敛，如当un=发散，发散；对于选项C，当正项级数收敛时，总有=0，从而有=+∞，所以级数发散；选项D可由比较判别法证明其收敛．29．下列级数中条件收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：易判定选项A、B、D都是绝对收敛，而c的绝对值级数为的p一级数，因P在点x=2处收敛，则该级数在点x=-1处( )A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性无法判定正确答案：C解析：当在点x=2处收敛时，则级数在(-2，2)内必绝对收敛，而01∈(-2，2)，所以在点x=-1处绝对收敛．填空题31．=________正确答案：e2解析：对于1∞型的未定式lim(1+u(x))v(x)(其中limu(x)=0，limv(x)=∞)，若当limu(x)v(x)=k，则必有lim(1+u(x))v(x)=ek．据此sinx×=2知=e232．设f(x)=x3+3x，则f(4)(0)=______正确答案：ln43解析：因为对于g(x)=x4，当n>k时，总有g(n)(x)=(xk)(n)≡0，这里由于4>3，所以实际上相当于直接对3x求四阶导数，根据指数函数求导的规律知f(4)(x)=3xln43，从而f(4)(0)=ln43．33．曲线y=arctan2x在点(0，0)处的法线方程为______正确答案：y=解析：因为y’=，故y’(0)=2，所以法线的斜率为，故法线方程为y=34．∫exsinexdx=_______正确答案：-cosex+C解析：∫exsinexdx=∫sinexdex=-cosex+C.35．由曲线y=x2，y=0，x=1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积是_____正确答案：解析：V=36．设z=xy+yx，则=________正确答案：yxy-1+yxlny解析：视y为常数，对x求偏导，则=yxy-1+yxlny37．交换积分I=，则I=________正确答案：解析：因积分区域为X型区域，Dx={(x，y)，)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，改变投影方向后可得Y型域，Dy={(x，y)｜0≤y≤1，0≤x≤y}，所以改变积分次序后可得，I=38．方程sec2x．tanydx+sec2y.tanxdy=0的通解为_______正确答案：tanx.tany=C解析：因原方程可化为d(tanx.tany)=0，故tanx.tany=C.39．幂级数的收敛半径为________正确答案：1解析：因幂级数的系数为an=，故ρ==1，所以R==1．40．幂级数的和函数s(x)=______正确答案：e2x解析：因为et=，所以令t=2x，则解答题解答时应写出推理、演算步骤。
同方专转本高等数学
江苏2001年“专转本”统一考试《高等数学》试卷及答案一、选择题1． 下列极限正确的是 （ C ）A ．e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+→11lim 0； B ．e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→111lim；Ｃ．11sinlim =∞→xx x ； Ｄ．11sinlim=→xx x ．２．不定积分=-⎰dx x211 （ D ）Ａ．211x-； Ｂ．C x+-211； Ｃ．x arcsin ； Ｄ．C x +arcsin３．若)()(x f x f -=，且在),0(+∞内：0)(>'x f ，0)(>''x f ，则)(x f 在)0,(-∞内必有：（Ｂ） Ａ．0)(<'x f ，0)(<''x f ； Ｂ．0)(<'x f ，0)(>''x f ； Ｃ．0)(>'x f ，0)(<''x f ； Ｄ．0)(>'x f ，0)(>''x f ． 4．定积分=-⎰201dx x （ D ）Ａ．0； Ｂ．2； Ｃ．1-； Ｄ．1． 5．方程x y x 422=+在空间直角坐标系下表示：（ Ａ ） Ａ．圆柱面； B ．点； C ．圆； D ．旋转抛物面．二、 填空题6．设参数方程为⎩⎨⎧+==22tt y te x t ；则==0t dx dy2 ．7．微分方程0136=+'-''y y y 的通解为：)2sin 2cos (213x C x C e y x+=其中21,C C 是任意常数．8．交换积分次序后=⎰⎰202),(xxdy y x f dx ⎰⎰⎰⎰+422222),(),(yy ydx y x f dy dx y x f dy ．9．函数yx z =的全微分dy x x dx yxdy yz dx xz dz yy ⋅⋅+=∂∂+∂∂=-ln 1．10．设(x f 为连续函数，则[]564)()(223⎰-=+-+dx x x x f x f原式=[]⎰-+-+223)()(dx x x f x f ⎰-=224dx x ⎰-=224dx x 564． （其中()()x f x f -+是偶函数）三、计算题11．已知5cos)21ln(arctan π+++=xx y ，求dy 。
2001—2004年江苏专转本高数真题(打印版)
2001年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）1、下列各极限正确的是A 、e x x x =+→)11(lim 0B 、e xxx =-→)11(lim 0C 、11sin lim =∞→x x xD 、11sin lim 0=→xx x2、不定积分=-⎰dx x 211 A 、211x- B 、c x+-211 C 、x arcsin D 、c x +arcsin3、若)()(x f x f -=，在[)+∞,0内0)('>x f 、0)(''>x f ，则在)0,(-∞内必有A 、0)('<x f ,0)(''<x f B 、0)('<x f ,0)(''>x f C 、0)('>x f ,0)(''<x f D 、0)('>x f ,0)(''>x f4、=-⎰dx x 21A 、0B 、2C 、－1D 、15、方程x y x 422=+在空间直角坐标系中表示A 、圆柱面B 、点C 、圆D 、旋转抛物面二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，）6、设⎩⎨⎧+==22t t y te x t ，则==0t dx dy7、0136'''=+-y y y 的通解为 8、交换积分次序=⎰⎰dy y x f dx xx220),(9、函数yx z =的全微分=dz10、设)(x f 为连续函数，则=+-+⎰-dx x x x f x f 311])()([三、计算题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知5cos)21ln(arctanπ+++=x x y ，求dy .12、计算xx dte x xt x sin lim22⎰-→.13、求)1(sin )1()(2--=x x xx x f 的间断点，并说明其类型.14、已知xyx y ln 2+=，求11==y x dx dy . 15、计算dx e e xx⎰+12. 16、已知⎰∞-=+02211dx x k ，求k 的值.17、求x x y y sec tan '=-满足00==x y 的特解.18、计算⎰⎰Ddxdy y 2sin ，D 是1=x 、2=y 、1-=x y 围成的区域.19、已知)(x f y =过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线032=-+y x ，若b ax x f +=2'3)(，且)(x f 在1=x 处取得极值，试确定a 、b 的值，并求出)(x f y =的表达式.20、设),(2y x x f z =，其中f 具有二阶连续偏导数，求x z ∂∂、yx z ∂∂∂2. 四、综合题（本大题共4小题，第21小题10分，第22小题8分，第23、24小题各6分，共30分）21、过)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线，求（1）切线方程； （2）由2-=x y ，切线及x 轴围成的平面图形面积；（3）该平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转一周的体积。
2001年河南专升本高等数学真题和详细答案
2001年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题 （每小题1 分，共30 分，每小题选项中只有一个是正确的，请 将正确答案的序号填在括号内）. 1．函数 )y x=-的定义域为（ ） A ．[0，3） B ．（0，3） C ．（0，3] D. [0，3] 2．已知 2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 等于（ ） A ．22x + B ．()22x + C ．22x - D. ()22x -3．设()1cos 2f x x =-，2()g x x =，则当0→x 时，()x f 是()g x 的（ ）A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小4．对于函数24(2)x y x x -=-，下列结论中正确的是（ ）A ．0x =是第一类间断点，2x =是第二类间断点；B ．0x =是第二类间断点，2x =是第一类间断点；C ．0x =是第一类间断点，2x =是第一类间断点；D ．0x =是第二类间断点，2x =是第二类间断点.5．设()02f '= ，则()()limh f h f h h→--的值为（ ）A ．1B ．2C ．0D ．4 6．设cos xy e =，则dy 等于（ ）A ．sin xxe e dx - B ．sin xxe e - C ．sin xxe e dx D ．sin xe dx - 7．已知椭圆的参数方程为cos ,(0,0)sin ,x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩，则椭圆在4t π=对应点处切线的斜率为（ ）A ．b aB ．a bC ．b a -D ．ab-8．函数()y f x =在点0x 处可导是它在0x 处连续的（ ） A ． 充分必要条件 B ．必要条件 C ． 充分条件 D ．以上都不对9．曲线323y x x =-的拐点为（ ）A ．(1,2)-B ．1C ．(0,0)D ．(2,4)- 10． 下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ． y x = B ．3x C ．2x D ．1x11．设()F x 是()f x 的一个原函数，则()2f x dx ⎰等于（ ）A ．()12F x C + B ．()122F x C + C ．()F x C + D ．()12F x C +12．下列式子中正确的是（ ）A ．()()dF x F x =⎰B ．()()d dF x F xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx dx=⎰ D ．()()d f x f x dx =⎰ 13．设1210I x dx =⎰，2120x I e dx =⎰，则它们的大小关系是（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．12I I ≥14．定积分203tan limxx tdt x →⎰等于（ ）A ．+∞B ．16 C ． 0 D ． 1315．下列广义积分中收敛的是（ ） A．1+∞⎰B．1+∞⎰C ．11dx x +∞⎰D ．11ln dx x+∞⎰16．0x y →→ ）A ． 0 B.12 C ．12- D ．+∞17．设3z xy x =+，则11|y x dz ==等于（ ）A ． 4dx dy +B ．dx dy +C ．4dx dy +D ．3dx dy + 18．函数()22,221f x y x y x y =+--+的驻点是（ ）A ．()0,0B ．()0,1C ．()1,0D ．()1,1 19．平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．重合 D ． 斜交 20．设(){}222,|,0D x y xy R y =+≤≥，则在极坐标系下，()22Df x y dxdy +⎰⎰可表示为（ ）A.()2Rd f r dr πθ⎰⎰ B.()222Rd f r rdr ππθ-⎰⎰C.()2Rd f r rdr πθ⎰⎰ D.()220Rd f r dr πθ⎰⎰21．设级数()11nn u ∞=-∑收敛，则lim n n u→∞等于（）A ．1B ．0C ．+∞D ．不确定 22．下列级数中收敛的是（ ） A．1n ∞= B ．123n n n ∞=∑ C ．12n n n ∞=∑ D ．21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑23．设正项级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A ．1nn nu∞=∑ B．1n ∞= C ．11n n u ∞=∑ D ．21n n u ∞=∑24．下列级数中，条件收敛的是（ ）A ．211sin n n ∞=∑ B ．211(1)n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．11(1)2n n n ∞=-∑ 25．设幂级数n n nx a∑∞=0（n a 为常数，Λ,2,1=n ）在点2x =处收敛，则该级数1x =-处（ ）A 发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性无法判定26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ）A ．sin y C x =B ．12sin cos yC x C x =+C ．sin cos y x x =+D ．()12cos y C C x =+27．下列常微分方程中为线性方程的是（ ） A ．x yy e-'= B ．sin yy y x '+=C ．()22x dx y xy dy '=+D ．20xxy y e'+-=28．微分方程y x '''=的通解是（ ）A ．42123124y x C x C x C =+++ B ．32123112y x C x C x C =+++ C ．42123112y x C x C x C =+++ D ．32123118y x C x C x C =+++29．微分方程40y y ''-=的通解是（ ） A ．2212xx y C eC e -=+ B ．()212x y C C x e =+C ．212xy C C e =+ D ．12cos 2sin 2y C x C x =+30．对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A ．*2.y ax bx c =++ B ．()*22y x ax bx c =++ C ．()*y x ax b =+ D ．()*2y x ax bx c =++二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 1．()1lim 1sin xx x →+=________．2．设()33xf x x =+，则()()40f=________．3．曲线arctan 2y x =在()0,0点的法线方程为________．4．sin x xe e dx ⎰=________．5．由曲线2,0,1y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______． 6．设 yxz x y =+，则zx∂=∂________． 7．交换积分()11,xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I =________．8.幂级数15nn x ∞=-的收敛半径为________．9．幂级数02!n nn x n ∞=∑的和函数()s x 为________．10． 方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限0ln cot lim ln x xx+→ 2．求函数12(12)xy x +=+的导数.3．已知 (),z f xy x y =+且f 可微分，求,z z x y∂∂∂∂. 4．计算2ln(1)x x dx +⎰.5．计算1.6．计算2DI xy dxdy =⎰⎰，其中D 为224,0x y x +==所围的右半圆. 7．计算积分()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是曲线2y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段有向弧.8．求过点(1,1,1,)P 且平行于平面1:2340x y z π-+-=与2:60x y z π+--=的直 线方程． 9．将函数()2123f x x x=-+展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间． 四、应用题 （每小题5分，共 10 分）1．某工厂生产某产品需两种原料A 、B ，且产品的产量z 与所需A 原料数x 及B 原料数y 的关系式为2287z x xy y =++.已知A 原料数x 的单价为1万元/吨，B 原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点()1,1A 且对于该曲线上的任一点(),P x y ，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为3x ． 求曲线弧的方程．五、证明题 （4 分）证明方程203021x xdt e t --=+⎰在区间()0,1内有唯一实根.答案1，【答案】A. 【解析】要求0x ≥；ln(3)x -要求30x ->，即 3.x <取二者之交集，得0 3.x ≤<应选A.2，【答案】C.【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2()2f x x =-，应选C.3，【答案】D.【解析】因为()()2220001(2)1cos 22lim lim lim 2x x x x f x xg x x x→→→-===，所以由定义知，()x f 是()g x 的同阶但不等价无穷小.选D.4，【答案】B ．【解析】 因为204lim(2)x x x x →-=∞-，故0x =第二类间断点，且0x =为无穷型间断点； 又因为22224(2)(2)2limlim lim 2(2)(2)x x x x x x x x x x x x→→→--++===--，故2x =是第一类间断点，且为可去型间断点.所以选B ．5，【答案】D. 【解析】()()0limh f h f h h→--()()()0(0)0lim h f h f f h f h →----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()[]000()(0)00limlim h h f h f f h f h h→→+--+-=+- ()()00 4.f f ''=+=选 D.6，【答案】A.【解析】因为(cos )sin ()sin xxxxxy e e e e e '''==-=-，所以sin xxdy y dx e e dx '==-， 故选A. 7，【答案】C. 【解析】cos dy b t dt = ，sin dx a t dt =- ，所以=dx dy =dt dx dt dy cot .bt a- 故椭圆在4t π=对应点处切线斜率为4b y a π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，应选C.8，【答案】选C. 9，【答案】A.【解析】 ()236f x x x '=-；()()6661f x x x ''=-=-.令()0f x ''=，得1x =；无二阶不可导点.又当1x <时，()0f x ''<，而当1x >时，()0f x ''>，故(1,2)-为拐点，选A.10，【答案】C ． 【解析】（1）．x 在0=x 处不可导，故x 在()1,1-内不可导，排除A ； （2）．3x 在端点1x =-及1x =处的值不相等，排除B ；（3）．1x 在0x =处无定义，故1x在[]1,1-上不连续，排除D.选C.11，【答案】B ．【解析】()2f x dx ⎰()()1122(2).22f x d x F x C ==+⎰ 选B ．12，【答案】D. 13，【答案】C.【解析】因为当[]0,1x ∈时，21x ≤，而21x e≥，且2x e 不恒等于2x ，故12I I <，选C.14，【答案】D.【解析】 203tan limxx tdt x →⎰222200tan 1lim lim .333x x x x x x →→===选D.15，【答案】A. 【解析】1+∞⎰()32112lim 12012x x dx +∞-+∞⎡⎤==-=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰，故1+∞⎰收敛，选 A.16，【答案】B.【解析】00x y →→0012x y →→==，选 B.17，【答案】C. 【解析】23zy x x∂=+∂；z x y ∂=∂.故()23.z z dz dx dy y x dx xdy x y ∂∂=+=++∂∂所以，114|y x dz dx dy ===+. 选C ．18，【答案】D. . 【解析】 由方程组()(),220,,220,x y f x y x f x y y '=-=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩ 得1,1,x y =⎧⎨=⎩ 故驻点为()1,1.选D.19，【答案】B.【解析】 平面 3250x y z +-+=的法向量为{}13,2,1n =-u r；平面240x y z ---=法向量为{}21,2,1n =--u u r .因为12.0n n =u r u u r ，所以1n u r ⊥2n u u r，平面3250x y z +-+=与240x y z ---=垂直，选B .20，【答案】C.21，【答案】A ．【解析】因为()11nn u ∞=-∑收敛，故由级数收敛的必要条件知()lim 10n n u →∞-=所以，()lim 1lim 110 1.n n n n u u →∞→∞=--=-=选A.22，【答案】B. 【解析】 （1）n ∞=1121n n∞==∑为112p =<的p—级数，故1n ∞=发散，排除A ；（2）123n n n ∞=∑123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为公比213q =<的等比级数，故收敛，选B ；（3）记2(1,2,...)n n u n n ==，因为1lim 2lim 211n n n nu nu n ρ+→∞→∞===>+，故由达朗贝尔比值审敛法知12n n n ∞=∑发散，排除C ；（4）因为211n n ∞=∑为21p =>的p —级数，故211n n ∞=∑收敛；又143n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑为公比的等比级数，故143nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑发散.所以由级数的性质知21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑发散.23，【答案】D. 【解析】（1）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n nu n ∞∞===∑∑发散，排除A ；（2）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n ∞∞===∑发散，排除，选B ；（3）记21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但2111n n n n u ∞∞===∑∑发散，排除C ； （4）因为1n n u ∞=∑收敛，故lim 0n n u →∞=；所以由2lim lim 0n n n n nu u u →∞→∞==，且1n n u ∞=∑收敛知，21n n u ∞=∑也收敛.选D.24，【答案】C. 【解析】（1）211sin n n ∞=∑211sin n n ∞==∑，因为2211limsin 1n n n →∞=且211n n∞=∑收敛，故211sin n n ∞=∑绝对收敛，排除A ；（2）211(1)nn n ∞=-∑211n n ∞==∑收敛，故211(1)n n n ∞=-∑绝对收敛，排除B ； （3）11(1)2nn n ∞=-∑112n n ∞==∑收敛，故11(1)2n n n ∞=-∑绝对收敛，排除D ；（4）记1,2,...)n u n ==，则显然{}n u 单减，且lim 0n n u →∞=，所以由莱布尼兹审敛法知1(1)n n ∞=-∑收敛；但1(1)nn ∞=-∑1n ∞==发散，故1(1)n n ∞=-∑条件收敛.25，【答案】C.【解析】由题意，n n n x a∑∞=0在点2x =处收敛，故由Abel 收敛定理知，n n n x a ∑∞=0在22x <=的点x 处均绝对收敛，又因为12-<，所以n n n x a∑∞=0在点1-=x 处绝对收敛.选C.26，【答案】B . 由通解的定义知，应选B .27，【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .28，【答案】A . 【解析】21122y xdx x C ''==+⎰； 23112112226y x C dx x C x C ⎛⎫'=+=++ ⎪⎝⎭⎰； 34212123112624y x C x C dx x C x C x C ⎛⎫=++=+++⎪⎝⎭⎰29，【答案】A .【解析】微分方程40y y ''-=的齐次方程的特征方程为240r -=所以，特征根为：122, 2.r r =-=故通解为2212x x y C eC e -=+，选A.30，【答案】A ．【解析】微分方程22y y x ''-=的齐次方程的特征方程为 220r -=所以，特征根为：12r r ==这里右端项()220xf x x x e ==，因为0λ=非特征根，故可设 ()*022.y x ax bx c ax bx c =++=++故选A.填空1，【答案】填e .【解析】()10lim 1sin x x x →+=()sin 11sin 0lim 1sin x x x x x e e →⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦.2，【答案】填4ln 3.【解析】()233ln3x f x x '=+；()263ln 3x f x x ''=+；()363ln 3x f x '''=+； ()()443ln 3x fx =.所以，()()440ln 3f =.3， 【答案】填20x y +=.【解析】()221221(2)14y x x x''==++ ；故切线斜率为()02y '=.所以法线方程为 10(0)2y x -=--，即 20x y +=.4，【答案】填cos x e c -+【解析】sin x x e e dx ⎰ ()sin cos .x x x e d e e c ==-+⎰5， 【答案】填15π.【解析】 ()212015V x dx ππ==⎰.6，【答案】填1ln y x yxy y -+. 【解析】1ln y x z yx y y x -∂=+∂.7，【答案】填()100,yI dy f x y dx =⎰⎰. 【解析】积分区域D 是由直线,1y x y ==及y 轴所围成的三角形区域，交换积分次序后()100,y I dy f x y dx =⎰⎰.8，【答案】填1.【解析】记1,2,...)n u n ==，因为1lim 1n n n n a a ρ+→∞===，所以收敛半径为1 1.R ρ==9，【答案】填2x e .【解析】由展式()0,,.!nx n x e x n ∞==∈-∞+∞∑知()20022.!!nn n x n n x x e n n ∞∞====∑∑10，【答案】填tan .tan .x y C =【解析】①式可化为22sec sec tan tan x y dx dy x y=- ② ②两边积分，得 22sec sec tan tan x y dx dy x y=-⎰⎰，即 11(tan )(tan )ln tan ln tan ln .tan tan d x d y x y C x y =-⇒=-+⎰⎰也就是ln tan .tan ln .x y C =所以原方程的通解为tan .tan .x y C =计算题1，【解析】0ln cot lim ln x x x +→（洛必达）201cot .(csc )lim 1x x x x+→-=-----------------------------------------2分 0lim sin .cos x x x x+→=- ------------------------------------------3分 0lim 1cos x x x x +→=-=---------------------------------------------4分 2，【解析】()ln 12ln(12)y x x =++ --------------------------------------------------1 分上式两端关于x 求导，得()11.2ln(12)(12)..1212y x x x y x ⎡⎤''=++++⎢⎥+⎣⎦-------------------------2分 即1.2ln(12)2y x y '=++ ----------------------------------------------------3分 所以[]()[]122ln(12)212.2ln(12)2.x y y x x x +'=++=+++---------------4分3，【解析】由微分形式的不变性知()()12..dz f d xy f d x y ''=++-------------------------------------------------------2分即()()12dz f ydx xdy f dx dy ''=+++()()1212yf f dx xf f dy ''''=+++----------------------------------------------- ----4分所以12z yf f x∂''=+∂；12z xf f y ∂''=+∂.---------------------------------------------------5分4，【解析】2ln(1)x x dx +⎰22ln(1)2x x d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰-----------------------------------------------------1分 （分部）2222.ln(1)(ln(1))22x x x d x =+-+⎰----------------------------------------2分 2322.ln(1)21x x x dx x =+-+⎰2322().ln(1)21x x x x x dx x +-=+-+⎰--------3分 222.ln(1)21x x x xdx dx x=+-++⎰⎰ ()222221.ln(1)12221x x x x d x x=+-+++⎰ 22221.ln(1)ln(1).222x x x x C =+-+++------------------------------------4分5，【解析】令tan x t =，则2sec dx dt =----------------------------------------------------1分原式化为2221441cos .sec tan .sec sin t tdt dt t t tππ==⎰⎰------------------------2分24411(sin )sin sin |d t t t ππ==-⎰-----------------------3分3=-=----------------------------------4分注意：倒数第二步用到(sin arctan=====6，【解析】2DI xy dxdy=⎰⎰122Dxy dxdy=⎰⎰------------------------------------------1 分（极坐标）2222002cos.sin.d r r rdrπθθθ=⎰⎰-------------------------------------------3分2223342200001182cos.sin.2sin.343||d r dr rππθθθθ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.-----------4分7，【解析】L的参数方程为2,:01,y xxx x⎧=→⎨=⎩-----------------------------------------2分故()3(sin)Lx y dx x y dy--+⎰()1322(sin).2x x x x x dx⎡⎤=--+⎣⎦⎰()11322003sin.2x x dx x xdx=--⎰⎰()114322001sin4|x x x d x⎛⎫=--⎪⎝⎭⎰12035cos cos1.44|x=-+=-------------4分8，【解析】1π的法向量是{}12,3,1n=-u r；2π的法向量是{}21,1,1n=-u u r.--------------1分可取所求直线的方向向量为{}122312352,3,5111i j ks n n i j k=⨯=-=++=-r r rr u r u u r r r r----------------------------3分故所求直线方程为111.235x y z---==------------------------------------------4分9，【解析】()()21111232(1)21f x x x x x x x ===--+--------------------------------1分 其中 ()100111111.,2,22222212122nn n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-=-∈- ⎪-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭∑∑-------------2分 ()011,1,111n n x x x x ∞==-=-∈---∑ -------------------------------------------------------3分 所以()()1011,1,12n n n f x x x ∞+=⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∑.-------------------------------------------4分应用题1，【解析】本题即为求函数()22,87z f x y x xy y ==++在条件2100x y +=下的条件极值问题.宜用拉格朗日乘数法解之.为此令()()22,,872100F x y x xy y x y λλ=++++-.由 280,14820,1000.x y F x y F y x F x y λλλ'⎧=++=⎪'=++=⎨⎪'=+-=⎩解之，100,3200.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于驻点100200,33⎛⎫⎪⎝⎭唯一，实际中确有最大值.所以，当1003x =吨，2003y =吨时可使该产品的产量最大.2，【解析】 设所求曲线弧的方程为()(01)y y x x =≤≤.据题意，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为 ()()301.2xy x dx x y x x -=⎰ ① ①式两边关于x 求导，得()()()21.32y x y x x y x x '-+=⎡⎤⎣⎦，即 ()()2.6y x x y x x '-=，亦即所以()()1.6y x y x x x'-=- ② ②为一阶线性微分方程，其通解为()116dx dx x x y x e xe dx C ---⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰[]ln ln 666x x e xe dx C x dx C x x C -⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰③ 又将()11y =代入③，得7C =.所以，所求曲线弧方程为267y x x =-+.证明题【解析】 构造函数()20321x xdt f x e t =--+⎰ -------------------------------------------1 分 则()x f 在闭区间 []0,1上连续，在开区间()0,1内可导.因()1002f =-<，而()31024f e π=-->----------------------------------------------2分 故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点ξ()0,1∈，使得().0=ξf 即方程()0=x f 在()0,1内至少有一个实根------------------------------3分 又()2101x f x e x'=->+，故方程()0=x f 在()0,1内至多有一个实根. ----------4分 因此，方程()0=x f 在()0,1内有且仅有一个实根.注意：证明中用到当()0,1x ∈时，1x e >，且2111x <+，故()2101x f x e x '=->+. .。
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(理)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式S台侧其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式V台体一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 若siniθcosθ＞0，则θ在( )(A) 第一、二象限(B) 第一、三象限(C) 第一、四象限(D) 第二、四象限(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x－3) 2＋(y＋1) 2 = 4 (B) (x＋3) 2＋(y－1) 2 = 4(C) (x－1) 2＋(y－1) 2 = 4 (D) (x＋1) 2＋(y＋1) 2 = 4(3) 设｛a n｝是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6(4) 若定义在区间(－1，0)的函数f (x) = log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是( )(A)() (B)(C) (，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 极坐标方程的图形是( )(6) 函数y = cos x＋1(－π≤x≤0)的反函数是( )(A) y =－arc cos (x－1)(0≤x≤2) (B) y = π－arc cos (x－1)(0≤x≤2)(C) y = arc cos (x－1)(0≤x≤2) (D) y = π＋arc cos (x－1)(0≤x≤2)(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F1 (1，0) F2 (3，0)，则其离心率为( )(A) (B) (C) (D)(8) 若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则( )(A) a＜b(B) a＞b(C) ab＜1 (D) ab＞2(9) 在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若，则AB1与C1B所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增；②若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增；③若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；④若f (x)单调递减，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递减．其中，正确的命题是( )(A) ①③(B) ①④(C) ②③(D)②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则( )(A) P3＞P2＞P1(B) P3＞P2 = P1(C) P3 = P2＞P1(D)P3 = P2 = P1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26 (B) 24 (C) 20 (D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是(14)双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P 到x轴的距离为(15)设｛a n｝是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．若｛S n｝是等差数列，则q =(16)圆周上有2n个等分点(n＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(18) (本小题满分12分)已知复数z1 = i (1－i) 3．(Ⅰ)求arg z1及；(Ⅱ)当复数z满足=1，求的最大值．(19) (本小题满分12分)设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．(20) (本小题满分12分)已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n．(Ⅰ)证明；(Ⅱ)证明(1＋m) n＞(1＋n) m．(21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为a n万元，旅游业总收入为b n万元．写出a n，b n 的表达式；(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？(22) (本小题满分14分)设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x1，x2∈[0，]都有f (x1＋x2) = f (x1) ·f (x2)．且f (1) = a＞0．(Ⅰ)求f () 及f ()；(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数；(Ⅲ)记a n = f (2n＋)，求．2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生物解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定部分的给分，但不得超过该部分正确解答得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）B （4）A （5）C（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．（13）2π（14）（15）1 （16）2n (n－1)三.解答题：（17）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是M底面，……2分∴四棱锥S—ABCD的体积是M底面．……4分（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE则SE是所求二面角的棱．……6分∵AD∥BC，BC = 2AD，∴EA = AB = SA，∴SE⊥SB，∵SA⊥面ABCD，得SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角．……10分∵，BC =1，BC⊥SB，∴tan∠BSC ．即所求二面角的正切值为．……12分（18）本小题考查复数基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）z1 = i (1－i) 3 = 2－2i，将z1化为三角形式，得，∴，．……6分（Ⅱ）设z= cos α＋i sin α，则z－z1 = ( cos α－2)＋(sin α＋2) i，()，……9分当sin() = 1时，取得最大值．从而得到的最大值为．……12分（19）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F (，0)，所以经过点F的直线的方程可设为；……4分代入抛物线方程得y2 －2pmy－p2 = 0，若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2 = －p2．……8分因为BC∥x轴，且点c在准线x= －上，所以点c的坐标为（－，y2），故直线CO 的斜率为．即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．……12分证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则AD∥FE∥BC．……2分连结AC，与EF相交于点N，则，……6分根据抛物线的几何性质，，，……8分∴，即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．……12分（20）本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．（Ⅰ）证明：对于1＜i≤m有= m·…·(m－i＋1)，…，同理…，……4分由于m＜n，对整数k = 1，2…，i－1，有，所以，即．……6分（Ⅱ）证明由二项式定理有，，……8分由(Ⅰ)知＞(1＜i≤m＜n＝，而，，……10分所以，(1＜i≤m＜n＝．因此，．又，，．∴．即(1＋m)n＞(1＋n)m．……12分（21）本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：（Ⅰ）第1年投入为800万元，第2年投入为800×（1－）万元，……，第n年投入为800×（1－）n－1万元．所以，n年内的总投入为a n = 800＋800×（1－）＋…＋800×（1－）n－1= 4000×[1－()n]；……3分第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×（1＋）万元，……，第n年旅游业收入为400×（1＋）n－1万元．所以，n年内的旅游业总收入为b n = 400＋400×（1＋）＋…＋400×（1＋）n－1= 1600×[ ()n－1]．……6分（Ⅱ）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n－a n＞0，即1600×[（）n －1]－4000×[1－（）n]＞0．化简得5×（）n＋2×（）n －7＞0，……9分设（）n，代入上式得5x2－7x＋2＞0，解此不等式，得，x＞1(舍去)．即（）n＜，由此得n≥5．答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．……12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．（Ⅰ）解：因为对x1，x2∈[0，]，都有f (x1＋x2) = f (x1) ·f (x2)，所以f () ·f ()≥0，x∈[0，1]．∵ f () = f () ·f () = [f ()]2，f () f () = f () ·f () = [f ()]2．……3分，∴f ()，f ()．……6分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称，故 f (x) = f (1＋1－x)，即f (x) = f (2－x)，x∈R．……8分又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R，∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R，将上式中－x以x代换，得f (x) = f (x＋2)，x∈R．这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．……10分（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f (x)≥0，x∈[0，1]．∵f ()= f (n ·) = f (＋（n－1）·)= f () ·f (（n－1）·)= f () ·f () ·… ·f ()= [ f ()]n，f () = ，∴ f () = ．∵ f (x)的一个周期是2，∴ f (2n ＋) = f ()，因此a n = ，……12分∴() = 0．……14分11 / 11。
2001河南专升本高数真题及答案.pdf
0
0
（）
A.
4
2
dy f (x, y)dx
0
y
B.
4
dy
y
f (x, y)dx
0
0
C.
4
2
dy f (x, y)dx
0
x2
D.
4
dy
y
f (x, y)dx
0
2
解：积分区域 D {(x, y) | 0 x 2,0 y x2} {(x, y) | 0 y 4,
应选 A.
y x 2} ,
0 1 x2
0 2 0 1 x2
02
ln x dx 1 (ln x)2 ; exdx ex 1 ,应选 C.
ex
2
e
0
0
16.
1
x | x | dx
1
A.0
B. 2
C. 4
3
3
D. 2 3
解：被积函数 x | x | 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选 A.
（）
17.设 f (x) 在[a, a]上连续,则定积分 a f (x)dx a
0
0
D.
2a cos
2 d
f (r cos , r sin )dr
0
0
解：积分区域在极坐标下可表示为： D {(r,θ) | 0 θ π ,0 r 2a cos θ} ，从 2
而
f (x, y)d
2 d
2a cos
f (r cos , r sin )rdr ，应选 C.
0
0
D
26. 设 L 为 抛 物 线 y x2 上 从 O(0, 0) 到 B(1, 1) 的 一 段 弧 ， 2xydx x2dy L （
分专题专转本真题(完整版) 专转本数学
1专题一求导数（微分）对应真题【2001年】6、设参数方程为22tx tey t t⎧=⎪⎨=+⎪⎩；则0t dy dx == 。
9、函数yz x =的全微分z zdz dx dy x y∂∂=+=∂∂ 。
11、已知arctanln(12)cos5x y π=+++，求dy 。
14、已知2ln y y x x =+，求11x y dy dx==。
20、设2(,xz f x y=，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂。
【2002年】4、若arctan xy e =，则dy =（ ）A.211x dx e +B. 21xxe dx e+ C.D.x7、已知()f x 在(,)−∞+∞内是可导函数，则(()())f x f x ′−−一定是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 不能确定奇偶性的函数11、设函数()y y x =由方程sin()x ye e xy −=确定，则0x y =′= 。
17、已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=−⎩，求4t dydx π=。
18、已知ln(z x =，求z x ∂∂，2z y x∂∂∂。
【2003年】4、ln(y x =+，则下列说法正确的是（ ）A.dy =B.y ′=C.dy = D.y ′=9、()y y x =由ln()xyx y e +=确定，则0x y =′= 。
2[键入文档标题]14、tanxz y=的全微分 18、已知2ln(1)arctan x t y t t ⎧=+⎨=−⎩，求22,dy d ydx dx 。
【2004年】 5、设arctan,xu v y==，则下列等式成立的是（ ） A ．u v x y ∂∂=∂∂ B.u v x x ∂∂=∂∂ C. u v y x ∂∂=∂∂ D. u v y y∂∂=∂∂15、设函数y ＝y(x)由方程1yy xe −=所确定，求202|x d ydx=的值。
河南专升本高等数学真题和详细答案
精品文档2001年河南省普通高等学校选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试一、选择题 （每小题1 分，共30 分，每小题选项中只有一个是正确的，请 将正确答案的序号填在括号内）. 1．函数 )y x=-的定义域为（ ） A ．[0，3） B ．（0，3） C ．（0，3] D. [0，3] 2．已知 2211f x x x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 等于（ ） A ．22x + B ．()22x + C ．22x - D. ()22x -3．设()1cos 2f x x =-，2()g x x =，则当0→x 时，()x f 是()g x 的（ ）A ．高阶无穷小B ．低阶无穷小C ．等价无穷小D ．同阶但不等价无穷小4．对于函数24(2)x y x x -=-，下列结论中正确的是（ ）A ．0x =是第一类间断点，2x =是第二类间断点；B ．0x =是第二类间断点，2x =是第一类间断点；C ．0x =是第一类间断点，2x =是第一类间断点；D ．0x =是第二类间断点，2x =是第二类间断点.5．设()02f '= ，则()()limh f h f h h→--的值为（ ）A ．1B ．2C ．0D ．4 6．设cos xy e =，则dy 等于（ ）A ．sin xxe e dx - B ．sin xxe e - C ．sin xxe e dx D ．sin xe dx - 7．已知椭圆的参数方程为cos ,(0,0)sin ,x a t a b y b t =⎧>>⎨=⎩，则椭圆在4t π=对应点处切线的斜率为（ ）A ．b aB ．a bC ．b a -D ．ab-8．函数()y f x =在点0x 处可导是它在0x 处连续的（ ） A ． 充分必要条件 B ．必要条件 C ． 充分条件 D ．以上都不对精品文档9．曲线323y x x =-的拐点为（ ）A ．(1,2)-B ．1C ．(0,0)D ．(2,4)- 10． 下列函数中，在[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ） A ． y x = B ．3x C ．2x D ．1x11．设()F x 是()f x 的一个原函数，则()2f x dx ⎰等于（ ）A ．()12F x C + B ．()122F x C + C ．()F x C + D ．()12F x C +12．下列式子中正确的是（ ）A ．()()dF x F x =⎰B ．()()d dF x F xC =+⎰C ．()()df x dx f x dx dx=⎰ D ．()()d f x f x dx =⎰ 13．设1210I x dx =⎰，2120x I e dx =⎰，则它们的大小关系是（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．12I I ≥14．定积分203tan limxx tdt x →⎰等于（ ）A ．+∞B ．16 C ． 0 D ． 1315．下列广义积分中收敛的是（ ） A．1+∞⎰B．1+∞⎰C ．11dx x +∞⎰D ．11ln dx x+∞⎰16．0x y →→ ）A ． 0 B.12 C ．12- D ．+∞17．设3z xy x =+，则11|y x dz ==等于（ ）A ． 4dx dy +B ．dx dy +C ．4dx dy +D ．3dx dy + 18．函数()22,221f x y x y x y =+--+的驻点是（ ）A ．()0,0B ．()0,1C ．()1,0D ．()1,1 19．平面3250x y z +-+=与240x y z ---=的位置关系是（ ） A ．平行 B ． 垂直 C ．重合 D ． 斜交 20．设(){}222,|,0D x y xy R y =+≤≥，则在极坐标系下，()22Df x y dxdy +⎰⎰可表示为（ ）A.()2Rd f r dr πθ⎰⎰ B.()222Rd f r rdr ππθ-⎰⎰C.()2Rd f r rdr πθ⎰⎰ D.()220Rd f r dr πθ⎰⎰21．设级数()11nn u ∞=-∑收敛，则lim n n u→∞等于（）A ．1B ．0C ．+∞D ．不确定 22．下列级数中收敛的是（ ） A．1n ∞= B ．123n n n ∞=∑ C ．12n n n ∞=∑ D ．21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑23．设正项级数1nn u∞=∑收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）A ．1nn nu∞=∑ B．1n ∞= C ．11n n u ∞=∑ D ．21n n u ∞=∑24．下列级数中，条件收敛的是（ ）A ．211sin n n ∞=∑ B ．211(1)n n n ∞=-∑ C．1(1)n n ∞=-∑ D ．11(1)2n n n ∞=-∑ 25．设幂级数n n nx a∑∞=0（n a 为常数，Λ,2,1=n ）在点2x =处收敛，则该级数1x =-处（ ）A 发散B ．条件收敛C ．绝对收敛D ．敛散性无法判定26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ）A ．sin y C x =B ．12sin cos yC x C x =+C ．sin cos y x x =+D ．()12cos y C C x =+27．下列常微分方程中为线性方程的是（ ） A ．x yy e-'= B ．sin yy y x '+=C ．()22x dx y xy dy '=+D ．20xxy y e'+-=28．微分方程y x '''=的通解是（ ）A ．42123124y x C x C x C =+++ B ．32123112y x C x C x C =+++ C ．42123112y x C x C x C =+++ D ．32123118y x C x C x C =+++29．微分方程40y y ''-=的通解是（ ） A ．2212xx y C eC e -=+ B ．()212x y C C x e =+C ．212xy C C e =+ D ．12cos 2sin 2y C x C x =+30．对于微分方程22y y x ''-=利用待定系数法求特解*y 时，下列特解设法正确的是（ ） A ．*2.y ax bx c =++ B ．()*22y x ax bx c =++ C ．()*y x ax b =+ D ．()*2y x ax bx c =++二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 1．()1lim 1sin xx x →+=________．2．设()33xf x x =+，则()()40f=________．3．曲线arctan 2y x =在()0,0点的法线方程为________．4．sin x xe e dx ⎰=________．5．由曲线2,0,1y x y x ===所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______． 6．设 yxz x y =+，则zx∂=∂________． 7．交换积分()11,xI dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I =________．8.幂级数15nn x ∞=-的收敛半径为________．9．幂级数02!n nn x n ∞=∑的和函数()s x 为________．10． 方程22sec tan sec tan 0x ydx y xdy +=①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限0ln cot lim ln x xx+→ 2．求函数12(12)xy x +=+的导数.3．已知 (),z f xy x y =+且f 可微分，求,z z x y∂∂∂∂. 4．计算2ln(1)x x dx +⎰.5．计算1.6．计算2DI xy dxdy =⎰⎰，其中D 为224,0x y x +==所围的右半圆. 7．计算积分()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L 是曲线2y x =上从点()0,0到点()1,1之间的一段有向弧.8．求过点(1,1,1,)P 且平行于平面1:2340x y z π-+-=与2:60x y z π+--=的直 线方程． 9．将函数()2123f x x x=-+展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间． 四、应用题 （每小题5分，共 10 分）1．某工厂生产某产品需两种原料A 、B ，且产品的产量z 与所需A 原料数x 及B 原料数y 的关系式为2287z x xy y =++.已知A 原料数x 的单价为1万元/吨，B 原料数的单价为2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点()1,1A 且对于该曲线上的任一点(),P x y ，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为3x ． 求曲线弧的方程．五、证明题 （4 分）证明方程203021x xdt e t --=+⎰在区间()0,1内有唯一实根.答案1，【答案】A. 【解析】要求0x ≥；ln(3)x -要求30x ->，即 3.x <取二者之交集，得0 3.x ≤<应选A.2，【答案】C.【解析】因为2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2()2f x x =-，应选C.3，【答案】D.【解析】因为()()2220001(2)1cos 22lim lim lim 2x x x x f x xg x x x→→→-===，所以由定义知，()x f 是()g x 的同阶但不等价无穷小.选D.4，【答案】B ．【解析】 因为204lim(2)x x x x →-=∞-，故0x =第二类间断点，且0x =为无穷型间断点； 又因为22224(2)(2)2limlim lim 2(2)(2)x x x x x x x x x x x x→→→--++===--，故2x =是第一类间断点，且为可去型间断点.所以选B ．5，【答案】D. 【解析】()()0limh f h f h h→--()()()0(0)0lim h f h f f h f h →----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=()()[]000()(0)00limlim h h f h f f h f h h→→+--+-=+- ()()00 4.f f ''=+=选 D.6，【答案】A.【解析】因为(cos )sin ()sin xxxxxy e e e e e '''==-=-，所以sin xxdy y dx e e dx '==-， 故选A. 7，【答案】C. 【解析】cos dy b t dt = ，sin dx a t dt =- ，所以=dx dy =dt dx dt dy cot .bt a- 故椭圆在4t π=对应点处切线斜率为4b y a π⎛⎫'=-⎪⎝⎭，应选C.8，【答案】选C. 9，【答案】A.【解析】 ()236f x x x '=-；()()6661f x x x ''=-=-.令()0f x ''=，得1x =；无二阶不可导点.又当1x <时，()0f x ''<，而当1x >时，()0f x ''>，故(1,2)-为拐点，选A.10，【答案】C ． 【解析】（1）．x 在0=x 处不可导，故x 在()1,1-内不可导，排除A ； （2）．3x 在端点1x =-及1x =处的值不相等，排除B ；（3）．1x 在0x =处无定义，故1x在[]1,1-上不连续，排除D.选C.11，【答案】B ．【解析】()2f x dx ⎰()()1122(2).22f x d x F x C ==+⎰ 选B ．12，【答案】D. 13，【答案】C.【解析】因为当[]0,1x ∈时，21x ≤，而21x e≥，且2x e 不恒等于2x ，故12I I <，选C.14，【答案】D.【解析】 203tan limxx tdt x →⎰222200tan 1lim lim .333x x x x x x →→===选D.15，【答案】A. 【解析】1+∞⎰()32112lim 12012x x dx +∞-+∞⎡⎤==-=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰，故1+∞⎰收敛，选 A.16，【答案】B.【解析】00x y →→0012x y →→==，选 B.17，【答案】C. 【解析】23zy x x∂=+∂；z x y ∂=∂.故()23.z z dz dx dy y x dx xdy x y ∂∂=+=++∂∂所以，114|y x dz dx dy ===+. 选C ．18，【答案】D. . 【解析】 由方程组()(),220,,220,x y f x y x f x y y '=-=⎧⎪⎨'=-=⎪⎩ 得1,1,x y =⎧⎨=⎩ 故驻点为()1,1.选D.19，【答案】B.【解析】 平面 3250x y z +-+=的法向量为{}13,2,1n =-u r；平面240x y z ---=法向量为{}21,2,1n =--u u r .因为12.0n n =u r u u r ，所以1n u r ⊥2n u u r，平面3250x y z +-+=与240x y z ---=垂直，选B .20，【答案】C.21，【答案】A ．【解析】因为()11nn u ∞=-∑收敛，故由级数收敛的必要条件知()lim 10n n u →∞-=所以，()lim 1lim 110 1.n n n n u u →∞→∞=--=-=选A.22，【答案】B. 【解析】 （1）n ∞=1121n n∞==∑为112p =<的p—级数，故1n ∞=发散，排除A ；（2）123n n n ∞=∑123nn ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为公比213q =<的等比级数，故收敛，选B ；（3）记2(1,2,...)n n u n n ==，因为1lim 2lim 211n n n nu nu n ρ+→∞→∞===>+，故由达朗贝尔比值审敛法知12n n n ∞=∑发散，排除C ；（4）因为211n n ∞=∑为21p =>的p —级数，故211n n ∞=∑收敛；又143n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑为公比的等比级数，故143nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑发散.所以由级数的性质知21143n n n ∞=⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑发散.23，【答案】D. 【解析】（1）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n nu n ∞∞===∑∑发散，排除A ；（2）取21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但111n n n ∞∞===∑发散，排除，选B ；（3）记21n u n =，则1n n u ∞=∑收敛，但2111n n n n u ∞∞===∑∑发散，排除C ； （4）因为1n n u ∞=∑收敛，故lim 0n n u →∞=；所以由2lim lim 0n n n n nu u u →∞→∞==，且1n n u ∞=∑收敛知，21n n u ∞=∑也收敛.选D.24，【答案】C. 【解析】（1）211sin n n ∞=∑211sin n n ∞==∑，因为2211limsin 1n n n →∞=且211n n ∞=∑收敛，故211sin n n ∞=∑绝对收敛，排除A ；（2）211(1)nn n ∞=-∑211n n ∞==∑收敛，故211(1)n n n ∞=-∑绝对收敛，排除B ； （3）11(1)2nn n ∞=-∑112n n ∞==∑收敛，故11(1)2n n n ∞=-∑绝对收敛，排除D ；（4）记1,2,...)n u n ==，则显然{}n u 单减，且lim 0n n u →∞=，所以由莱布尼兹审敛法知1(1)n n ∞=-∑收敛；但1(1)nn ∞=-∑1n ∞==发散，故1(1)n n ∞=-∑条件收敛.25，【答案】C. 【解析】由题意，nn nx a∑∞=0在点2x =处收敛，故由Abel 收敛定理知，n n n x a ∑∞=0在22x <=的点x 处均绝对收敛，又因为12-<，所以n n nx a∑∞=0在点1-=x 处绝对收敛.选C.26，【答案】B . 由通解的定义知，应选B .27，【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .28，【答案】A . 【解析】21122y xdx x C ''==+⎰； 23112112226y x C dx x C x C ⎛⎫'=+=++⎪⎝⎭⎰； 34212123112624y x C x C dx x C x C x C ⎛⎫=++=+++ ⎪⎝⎭⎰29，【答案】A .【解析】微分方程40y y ''-=的齐次方程的特征方程为240r -=所以，特征根为：122, 2.r r =-=故通解为2212xx y C e C e -=+，选A.30，【答案】A ．【解析】微分方程22y y x ''-=的齐次方程的特征方程为220r -=所以，特征根为：12r r ==这里右端项()220xf x x x e ==，因为0λ=非特征根，故可设()*022.y x ax bx c ax bx c =++=++故选A.填空1，【答案】填e .【解析】()10lim 1sin xx x →+=()sin 11sin 0lim 1sin xxxx x e e →⎡⎤+==⎢⎥⎣⎦.2，【答案】填4ln 3.【解析】()233ln3xf x x '=+；()263ln 3xf x x ''=+；()363ln 3xf x '''=+；()()443ln 3x f x =.所以，()()440ln 3f =.3，【答案】填20x y +=. 【解析】()221221(2)14y x x x''==++ ；故切线斜率为()02y '=.所以法线方程为 10(0)2y x -=--，即 20x y +=.4，【答案】填cos xe c -+【解析】sin x x e e dx ⎰ ()sin cos .x x x e d e e c ==-+⎰5，【答案】填15π.【解析】 ()212015V x dx ππ==⎰. 6，【答案】填1ln y x yx y y -+.【解析】1ln y x zyx y y x-∂=+∂. 7，【答案】填()1,yI dy f x y dx =⎰⎰.【解析】积分区域D 是由直线,1y x y ==及y 轴所围成的三角形区域，交换积分 次序后()1,yI dy f x y dx =⎰⎰.8，【答案】填1.【解析】记1,2,...)n u n ==，因为1lim 1n n n na a ρ+→∞===，所以收敛半径为11.R ρ==9，【答案】填2xe .【解析】由展式()0,,.!nxn x e x n ∞==∈-∞+∞∑知()20022.!!nn n x n n x x e n n ∞∞====∑∑10，【答案】填tan .tan .x y C = 【解析】①式可化为22sec sec tan tan x ydx dy x y=- ② ②两边积分，得22sec sec tan tan x ydx dy x y=-⎰⎰，即 11(tan )(tan )ln tan ln tan ln .tan tan d x d y x y C x y =-⇒=-+⎰⎰也就是ln tan .tan ln .x y C = 所以原方程的通解为tan .tan .x y C =计算题1，【解析】0ln cot lim ln x x x +→（洛必达）201cot .(csc )lim 1x x x x +→-=-----------------------------------------2分 0lim sin .cos x xx x+→=- ------------------------------------------3分0lim 1cos x xx x+→=-=---------------------------------------------4分2，【解析】()ln 12ln(12)y x x =++ --------------------------------------------------1 分上式两端关于x 求导，得 ()11.2ln(12)(12)..1212y x x x y x ⎡⎤''=++++⎢⎥+⎣⎦-------------------------2分 即 1.2ln(12)2y x y'=++ ----------------------------------------------------3分 所以[]()[]122ln(12)212.2ln(12)2.xy y x x x +'=++=+++---------------4分3，【解析】由微分形式的不变性知()()12..dz f d xy f d x y ''=++-------------------------------------------------------2分即()()12dz f ydx xdy f dx dy ''=+++()()1212yf f dx xf f dy ''''=+++----------------------------------------------- ----4分所以12zyf f x∂''=+∂；12z xf f y ∂''=+∂.---------------------------------------------------5分4，【解析】2ln(1)x x dx +⎰22ln(1)2x x d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰-----------------------------------------------------1分 （分部）2222.ln(1)(ln(1))22x x x d x =+-+⎰----------------------------------------2分 2322.ln(1)21x x x dx x =+-+⎰2322().ln(1)21x x x x x dx x +-=+-+⎰--------3分 222.ln(1)21x x x xdx dx x =+-++⎰⎰ ()222221.ln(1)12221x x x x d x x=+-+++⎰ 22221.ln(1)ln(1).222x x x x C =+-+++------------------------------------4分5，【解析】令tan x t =，则2sec dx dt =----------------------------------------------------1分 原式化为2221441cos .sec tan .sec sin ttdt dt t ttππ==⎰⎰------------------------2分24411(sin )sin sin |d t t t ππ==-⎰-----------------------3分3=-=----------------------------------4分注意：倒数第二步用到(sin arctan =====6，【解析】 2DI xy dxdy =⎰⎰ 122D xy dxdy =⎰⎰ ------------------------------------------1 分（极坐标）222202cos .sin .d r r rdr πθθθ=⎰⎰-------------------------------------------3分222334220001182cos .sin .2sin .343||d r dr r ππθθθθ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰.-----------4分7，【解析】 L 的参数方程为2,:01,y x x x x ⎧=→⎨=⎩-----------------------------------------2分 故()3(sin )Lxy dx x y dy --+⎰()13220(sin ).2x x x x x dx ⎡⎤=--+⎣⎦⎰()11322003sin .2x x dx x xdx =--⎰⎰ ()114322001sin 4|x x x d x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭⎰12035cos cos1.44|x =-+=-------------4分8，【解析】1π的法向量是{}12,3,1n =-u r ；2π的法向量是{}21,1,1n =-u u r.--------------1分可取所求直线的方向向量为{}122312352,3,5111i j ks n n i j k =⨯=-=++=-r r r r u r u u r r r r----------------------------3分故所求直线方程为111.235x y z ---== ------------------------------------------4分9，【解析】()()21111232(1)21f x x x x x x x ===--+--------------------------------1分其中()100111111.,2,22222212122nn n n n x x x x x x ∞∞+==⎛⎫==-=-=-∈- ⎪-⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭∑∑-------------2分()011,1,111n n x x x x ∞==-=-∈---∑ -------------------------------------------------------3分 所以()()1011,1,12n n n f x x x ∞+=⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭∑.-------------------------------------------4分应用题1，【解析】本题即为求函数()22,87z f x y x xy y ==++在条件2100x y +=下的条件极值问题.宜用拉格朗日乘数法解之.为此令()()22,,872100F x y x xy y x y λλ=++++-.由 280,14820,1000.x y F x y F y x F x y λλλ'⎧=++=⎪'=++=⎨⎪'=+-=⎩解之，100,3200.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩由于驻点100200,33⎛⎫⎪⎝⎭唯一，实际中确有最大值.所以，当1003x =吨，2003y =吨时可使该产品的产量最大.2，【解析】 设所求曲线弧的方程为()(01)y y x x =≤≤.据题意，曲线弧OP ⋂与直线OP 所围成的平面图形的面积为()()31.2xy x dx x y x x -=⎰ ① ①式两边关于x 求导，得()()()21.32y x y x x y x x '-+=⎡⎤⎣⎦，即 ()()2.6y x x y x x '-=，亦即 所以()()1.6y x y x x x'-=- ② ②为一阶线性微分方程，其通解为()116dxdx xxy x e xe dx C ---⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰[]ln ln 666x x e xe dx C x dx C x x C -⎡⎤⎡⎤=-+=-+=-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰③又将()11y =代入③，得7C =.所以，所求曲线弧方程为267y x x =-+.证明题【解析】 构造函数()20321x xdtf x e t=--+⎰ -------------------------------------------1 分 则()x f 在闭区间 []0,1上连续，在开区间()0,1内可导. 因()1002f =-<，而()31024f e π=-->----------------------------------------------2分 故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点ξ()0,1∈，使得().0=ξf 即方程()0=x f 在()0,1内至少有一个实根------------------------------3分 又()2101xf x e x'=->+，故方程()0=x f 在()0,1内至多有一个实根. ----------4分 因此，方程()0=x f 在()0,1内有且仅有一个实根. 注意：证明中用到当()0,1x ∈时，1xe >，且2111x <+，故()2101xf x e x '=->+. .。
2001年河北省专接本(数学)真题试卷(题后含答案及解析)
2001年河北省专接本（数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．f(x)的定义域是的定义域是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：定义域故选C2．( )．A．0B．+∞C．∞D．不存在正确答案：D解析：因为所以故不存在．3．A．B．1C．2D．0正确答案：C解析：因为故选C4．f(x)在(-1，1)内有定义，且则( )．A．不存在B．存在，但不等于零C．f(x)在x=0不连续D．f(x)在x=0连续正确答案：D解析：法1由知，当x→0时，f(x)与x是同阶无穷小，故有又有f(0)=0知，有故f(x)在x=0处连续，故选D法2因为所以f(x)在x=0处可导，从而f(x)在x=0处连续，故选D5．f(x)在x=x0可导，且则f’(x0)=( )．A．3B．2C．1D．0正确答案：C解析：因为=2f’(x0)+f’(x0)=3f’(x0)所以3f’(x0)=3，即f’(x0)=1故选C6．则φ’(x)=( )．A．sinx4B．2xsinx4C．cosx4D．2xcosx4正确答案：B解析：因为φ’(x)=sinx4．2x=2xsinx4故选B7．平面π1：A1x+B1y+C1+D1=0，平面π2：A2x+B2y+C2z+D2=0，π1和π2乖直的条件是( )．A．A1A2+B1B2+C1C2=0B．A1A2+B1B2+C1C2+D1D2=0C．D．正确答案：A解析：由平面π1与平面π2垂直可知，它们的法向量，=(A1，B1，C1)，=(A2，B2，C2)垂直，从而有，即A1A2+B1B2+C1C2=0故选A.8．下列说法正确的是( )．A．f(x，y)在点(x0，y0)连续，则fx’(x0，y0)，fx’(x0，y0)均存在B．fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)均存在，则f(x，y)在点f(x0，y0)连续C．fx’(x0，yy)，fx’(x0，y0)均存在，则f(x，y)在点f(x0，y0)可微D．fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)在点f(x0，y0)连续，则f(x，y)在点f(x0，y0)连续正确答案：D解析：A，B不对．因为多元函数连续推不出其偏导数存在，反之也一样．C 不对．因为由偏导数存在推不出可微．D正确，因为偏导数连续一定可微，可微一定连续．9．对一切n，an要使级数收敛，λ应满足( )．A．λ>1B．0≤λ<1C．λ=1D．λ≥0正确答案：B解析：由(一an)>0知，级数为正项级数，故当时，级数收敛，从而原级数收敛，选B10．幂级数的收敛区间是( )．A．[-2,0)B．[-2,0]C．[-1，1)D．(-1，1)正确答案：A解析：幂级数的收敛半径故该幂级数的收敛区间为｜x+1｜收敛，故幂级数的收敛域是[-2，0)．从而选A填空题11．=____________.正确答案：0解析：因故由有界向量与无穷小的积仍是无穷小得12．若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于直线则此切线的方程为______________.正确答案：y—f(x0)=2(x—x0)解析：由切线与直线垂直可知，切线的斜率故曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程y—f(x0)=2(x—x0)．13．则f(x)=__________．正确答案：解析：由得14．正确答案：解析：15．球面x2+y2+z2=6，在点(1,2，一1)处的切平面方程是_______．正确答案：x一1+2(y一2)一(z+1)=0解析：记F(x，y，z)=x2+y2+z2一6，则点(1，2，一1)处的法向量为故切甲面方程是x一1+2(y一2)一(z+1)=0．解答题解答时应写出推理、演算步骤。
2001年高数真题及答案
2001年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、填空题（每小题2分，共26分）1、设k x x g x x f +=+=4)(,23)(且()[]()[]x f g x g f =，则k= 。
2、如果32sin 3lim0=→x kx x ，则k= 。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,)1(0,)(x kx x a x mx f ，（k ，m 为常数），)(x f 在0=x 处连续，=a 。
4、曲线xf 2=在点（1,2）的法线方程式 。
5、设参数方程⎩⎨⎧==ta x ta y cos sin 2，则=-4πt dxdy 。
6、计算⎰='⋅dx x f x f x )()(332 。
7、若2)23(0=-⎰dx x a，则=a 。
8、⎰+=x xe dt t f x sin )(220，则=)(x f 。
9、⎰=-∞210dt ae （a 为常数），则a = 。
10、设)ln(22y x z+=，则全微分=dz 。
11、改变二次积分的次序⎰⎰=dy y x f dx s e ),(ln 01。
12、幂级数∑=+kn n n x n 133的收敛半径R= 。
13、微积分方程022=+dx xe dy x 的通解是=y 。
二、计算题（一）（每小题5分，共30分）1、xe e x x x 20sin 2lim -+-→。
2、设(),42arcsin 22-+-+=f e x x x y 其中f 为可微函数，求dy 。
3、求函数53)(23+-=x x x f 的单调区间及极值。
4、计算⎰-dxx x sin cos 22ππ。
5、设yxx yz +=sin ，求yzx z ∂∂∂∂,。
6、求级数∑=⋅-mn nnn x 14)4(的收敛范围。
三、计算题（二）（每小题6分，共36分）1、若3)1sin(lim 221=-++→x bax x x ，求b a ,的值。
2、已知函数0201sin 2)(≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x x f（1）写出函数)(x f 的定义域；（2）讨论函数)(x f 在0=x 的连续性与可导性。
江苏专转本2001-2011年数学历年真题
江苏省2001年普通高校“专转本”统一考试试卷高等数学注意事项：1. 考生务必将密封线内的各项填写清楚。
2. 考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接打在试卷上，答在草稿纸上无效。
3. 本试卷共8页，四大题24小题，满分100分，考试时间120分钟。
题号 一 二 三 四 合计分数评卷人 得分一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。
1、下列极限正确的是（ ）A. 01lim(1)x x e x→+= B. 11lim(1)x x e x →∞+=C.1lim sin1x x x →∞= D. 01lim sin 1x x x→=2、不定积分211dx x=-⎰（ ）A.211x- B.211C x+- C. arcsin x D. arcsin x C +3、若()()f x f x =-，且在(0,)+∞内：()0,()0f x f x '''>>，则()f x 在(,0)-∞内必有（ ）A.()0,()0f x f x '''<< B. ()0,()0f x f x '''<> C.()0,()0f x f x '''>< D. ()0,()0f x f x '''>>4、定积分21x dx -=⎰（ ）A. 0B. 2C. －1D. 15、方程224x y x +=在空间直角坐标系下表示（ ）A. 圆柱面B. 点C. 圆D. 旋转抛物面评卷人 得分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把正确答案的结果填在划线上）。
6、设参数方程为22tx tey t t⎧=⎪⎨=+⎪⎩；则0t dy dx == 。
7、微分方程6130y y y '''-+=的通解为： 。