项目四 微分方程与差分方程

项目四 微分方程与差分方程 实验类型 验证型 实验学时 4

实验目的 利用Matlab 软件的数值计算功能求解微分方程与差分方程，并对结果进行分析。

实验内容

1. 传染病问题的SIR 模型：

00(0),(0)di asi bi

dt ds asi

dt

i i s s ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪==⎪⎪⎩

其中：(),()i t s t 表示t 时刻病人和健康者的比例，参数,a b 为日接触率和治愈率，00,i s 表示初始时刻的病人和健康者比例。

求解以上模型，并分析：

1） 病人和健康者的比例的变化规律；

2） 参数,a b 对病人和健康者的比例变化的影响；

3） 预测传染病传播高潮（病人比例的最大值）到来的时刻；

4） 参数,a b 对染病传播高潮（病人比例的最大值）到来的时刻的影响。

Matlab 程序：

1）.先建立M 文件：

function f=sir(x,y)

a=1;b=0.1;

f(1)=a*y(1)*y(2)-b*y(1);

f(2)=-a*y(1)*y(2);

f=f';

保存为：sir.m

2）在命令窗口输入：

[t,y]=ode45('sir',[0:1:50],[0.02,0.98])

plot(t,y)

[c d]=max(y(:,1)) %寻找病人比例的最大值及其时刻

2.差分形式的阻滞增长模型

阻滞增长模型为：

(1)dx x rx dt N

=- （1） 其中：r 为自然增长率，N 为种群最大容量。 可将其离散化为差分方程形式：

k y ~某种群第

k 代的数量(人口)

则（1）化为： 1(1),1,2,k k k k y y y ry k N

+-=-= 即：

1(1)1(1)k k k r y r y y r N +⎡⎤=+-⎢⎥+⎣⎦

可引入变量替换：(1)k k r x y r N

=+，1b r =+记，则上式化为： 1(1)k k k x bx x +=- （2） 试求解上述模型（2），并分析：

（1）k x 的变化有何规律？

（2）k x 的变化如何受()b r 影响？

Matlab程序：

b=3.3;

n=100;

x(1)=0.2;

for k=1:n

x(k+1)=b*x(k)*(1-x(k)); end

x'

plot(x)