新课改高二第一学期高中数学选修2-1测试题(一)
(完整word版)高中数学综合测试题人教版新课标选修2-1
高中数学综合测试题新课标选修2-1一、选择题1、以下命题中，真命题的是（）（ A）命题“若ac bc ，则a b ”（ B）命题“若b 3 ，则b29 ”的抗命题（ C）命题“若x 3 ，则x 23x20 ”的否命题（D）命题“相像三角形的对应角相等”的逆否命题答案：（ D）；2、以下命题中，真命题的是（）A x2且 y 3 ，是 x y 5的充要条件（）（ B）A B是 A 是 B 的真子集的充足条件（ C）b24ac 0是一元二次不等式ax 2bx c0的解集为 R 的充要条件（ D）三角形知足勾股定理的充要条件为此三角形是直角三角形答案：（ D）；3、若“非p或非q”是假命题，则以下结论中①命题“ p q ”是真命题；②命题p q 是假命题；③命题“ p q ”是真命题；④命题“ p q ”是假命题；此中正确命题的个数为（）（ A） 1 个（ B） 2 个（ C） 3 个（ D） 4 个答案：（ B）；正确的命题为①、③4、已知a, b是异面直线，A, B a, C , D b, AC b, BD b 且 AB 2,CD1，则a, b 所成的角为（）（ A）300（B）450（ C）600（ D）900答案：（ C）5、命题甲：是第二象限的角；命题乙：sin tan0 ，则命题甲是命题乙成立的（）（ A）充足不用要条件；（ B）必需不充足条件；（ C）充要条件；（ D）既不充足也不用要条件；答案：（ A）6、若p : x 3 2x x2,q : 3 2x x 2，则p是q的（）（ A）充足不用要条件；（ B）必需不充足条件；（ C）充要条件；（ D）既不充足也不用要条件；答案：（ D）7、若F1, F2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当PF1PF2，且PF1F2 300，则椭圆的离心率为（）（ A） 2 1（ B）3（ C） 3 1（D）2 32答案：（ C）8、已知双曲线x2y21和椭圆 x2y 21(a 0, m b0) 的离心率互为倒数，a2b2m2 b 2那么以 a, b, m 为边的三角形是（）（ A）锐角三形（ B）钝角三角形（ C）直角三角形（ D）形状不定答案：（ C）；9、双曲线x2y 21(mn 0) 的离心率为 2 ，有一个焦点与抛物线y24x 的焦点m n重合，则 mn 的值为（）（ A）3（B）4 3（ C）15（ D）2 51617169m n1答案：（ A）由1即得；m2 10、直线y x b 交抛物线y 1x 2于A, B两点， O 为抛物线极点， OA OB ，则b 的值为（2）（ A）2（ B）0（ C）1（ D）4y x bx 2x1 x22答案：（ A）；由2x2b1 x202by x1 x22又 y1 y2(x1b)( x2b)2b2b b2b2，由 OA OB y1y21即可；x1x211、过原点的直线与椭圆x 2y 2 b 0) 交于 A, B 两点，若右焦点为 F (c,0) ，ab 1(a22则FAB 的最大面积为（）（ A ） bc （ B ） ab（ C ） ac（ D ） b 2答案：（ A ）12、已知三角形的三极点为A(1, 1,2), B(5, 6,2), C (1,3, 1) ，则 AC 边上的高 BD 的长为（）（ A ） 3（ B ） 4 （ C ） 5 （ D ） 6答案：（ C ）；设 D( x, y, z) ，则 AD (x 1, y 1, z 2), BD ( x 5, y 6, z 2) ，x 1x 1AC (0,4, 3) ，由 AD // AC, BDAC ，得4321 1 z 2yy54( y 6) 3( z 2)22z5| BD |( x 5) 2( y 6)2( z 2) 25二、填空题13、命题 p ：0 不是自然数； 命题 q ：是无理数， 在命题 “ p q ”、“ p q ”、“ p ”“ q ”中假命题是 ___；真命题是 ___；答案：假命题是“p q ”与“ q ”；真命题是“ p q ”与“p ”；x 2 y 2 1(a b 0) 上一动点， F 1 , F 2 是椭圆的两个焦点，14、设 P(x 0 , y 0 ) 是椭圆2b 2a则| PF 1 | | PF 2 |的最大值为答案： a 2 ； | PF 1 | | PF 2| (| PF 1 | | PF 2 |) 2a 2215、直线 l 与抛物线 y 28x 交于 A, B 两点，且 l 经过抛物线的焦点 F ， A(8,8) ，则线段 AB 的中点到准线的距离为答案：25y4( x 2)1, 2) ，而 | AB | | AF || BF | 25；由3得 B( 4y 2 8x22故线段 AB 的中点到准线的距离为25 ；416、已知 A(4,1,3), B(2,3,1), C (3,7, 5) ，点 P(x, 1,3) 在平面 ABC 内，则 x答案：x 11AB ( 2,2, 2), AC( 1,6, 8), AP ( x 4,2,0)，因为2 m n( x 4)由 ABm ACn AP ，得 2 6m2n x 11 ；28m三、解答题17、设 p ：实数 x 知足 x 24ax 3a 20 ，此中 a0, q ：实数 x 知足 x 2 x 6 0或 x22x8，且p 是 q 的必需不充足条件，务实数a 的范围。
高二数学选修2-1综合测试题(带答案)
高二数学选修2-1测试题(120分钟150分)班级姓名成绩一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知命题“如果-1≤a≤1，那么关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集为 ”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个【变式训练】命题“若C=90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中，真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.32.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m ∥β且n ∥βD.m∥β且n∥l2【变式训练】有下述说法：①a>b>0是a2>b2的充要条件；②a>b>0是<的充要条件；③a>b>0是a3>b3的充要条件.其中正确的说法有( )A.0个B.1个C.2个D.3个3. “1<m<3”是“方程+=1表示椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C.+1 D.【变式训练】若双曲线C：x 2-=1(b>0)的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=( )A.2B.C.3D.5.已知命题p：∀x∈R，x ≥2，那么下列结论正确的是( )A.命题p：∀x∈R，x≤2B.命题p：∃x0∈R，x0<2C.命题p：∀x∈R，x≤-2D.命题p：∃x0∈R，x0<-26.已知矩形ABCD中，AB=1，BC=，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为( )A.1B.C.D.7.过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若=10，则AB的中点到y轴的距离等于( )A.1B.2C.3D.48.在四边形ABCD中，“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )A.60°B.90°C.45°D.以上都不正确10.设F1，F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点，点P在双曲线上，且满足：·=0，||·||=2，则a的值为( )A.2B.C.1D.11.点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则·的取值范围是( )A. B.C.[-1，0]D.12.已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A. B. C. D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线焦点在y轴上，且被y=x+1截得的弦长为5，则抛物线的标准方程为.14.在△ABC中，若∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=8，PC⊥平面ABC，PC=4，M是AB上一点，则PM的最小值为.15.在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG=2GD，=a，=b，=c，试用基底{a，b，c}表示向量= .16.曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C过点(-1，1)；②曲线C关于点(-1，1)对称；③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则+不小于2k.④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线x=-1、点(-1，1)及直线y=1对称的点分别为P1，P2，P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2.其中，所有正确结论的序号是.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)设p：关于x的不等式a x>1(a>0且a ≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y=l g(ax2-x+a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围. 18.(12分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1.(2)用向量法证明MN⊥平面A1BD.19.(12分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1，-2).(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程.(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.20.(12分)设F1，F2为椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|.(1)求|PF1|的长度.(2)求的值. 21.(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值.(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论.22.(12分)如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点.(1)证明B1C1⊥CE.(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值.(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长.高二数学选修2-1测试题答案一、选择题1、【解析】选C.当-1≤a≤1时，Δ=(a+2)2+4(a2-4)=5--12≤5--12<0，所以原命题为真，逆否命题亦为真.反之，如a=-2时，所给不等式的解集即为空集，但a∉[-1，1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假.【变式训练】【解析】选C.原命题是真命题.其逆命题为“若△ABC是直角三角形，则C=90°”，这是一个假命题，因为当△ABC为直角三角形时，也可能A或B为直角.这样，否命题是假命题，逆否命题是真命题.因此真命题的个数是2.2.【解析】选B.对于选项A，α，β也可能相交，此时，l1，m都平行于交线，是必要不充分条件；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选项B符合题意；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要不充分条件；对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，【变式训练】【解析】选 A.a>b>0⇒a2>b2，a2>b2⇒|a|>|b|⇒a>b>0，故①错.a>b>0⇒<，但<⇒a>b>0，故②错.a>b>0⇒a3>b3，但a3>b 3⇒a>b>0故③错故选A.3. 【解析】选 B.当方程+=1表示椭圆时，必有所以1<m<3；但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，如当m=2时，方程变为x 2+y2=1，它表示一个圆.4【解析】选B.如图，由双曲线-=1，且AF⊥x轴得-=1得|y|=，由抛物线y2=2px的定义得AF=p，即=2c.得b2=2ac，所以=，e2-1=2e，所以e=+1.【拓展延伸】求离心率的方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及e=.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数.这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率.这是求离心率的十分重要的思路及方法.(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观.【变式训练】【解析】选B.由双曲线方程知a=1，所以c=，所以一条渐近线的方程为y=bx，即bx-y=0.所以=，解得b=1，所以c=，所以e==.5.【解析】选B.全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∃x0∈R，x0<2.6. 【解析】选B.过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N.则可求得AM=，BM=，CN=，DN=，MN=1.由于=++，所以||2=(++)2=||2+||2+||2+ 2(·+ ·+·)=+12++2(0+0+0)=，所以||=.7.【解析】选D.抛物线y2=4x的焦点(1，0)，准线为l：x=-1，设AB的中点为E，过A，E，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，F，D，EF交纵轴于点H，如图所示，则由EF为直角梯形的中位线知，|EF|===5，所以EH=EF-1=5-1=4，即AB的中点到y 轴的距离等于4.8. 【解析】选C.若=λ，=λ，则∥，∥，即AB∥DC，AD∥BC，所以四边形ABCD为平行四边形.反之，若四边形ABCD为平行四边形，则有AB∥DC，AD∥BC且AB=DC，AD=BC ，即=，=，此时λ=1，所以∃λ∈R ，使得=λ，=λ成立.所以“∃λ∈R ，使得=λ，=λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充分必要条件.9. 【解析】选B.以点D为原点，直线DA，DC，DD 1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以=(0，1，-1)，=(1，1，-1)，=(0，-1，-1).设平面A1ED1的一个法向量为n=(x，y，z).则⇒令z=1，得y=1，x=0.所以n=(0，1，1)，cos<n ，>===-1.所以<n ，>=180°.所以直线AE与平面A1ED1所成的角的大小为90°.10. 【解析】选C.双曲线方程化为-=1(a>0)，因为·=0，所以PF1⊥PF2.所以||2+||2=4c2=20a. ①由双曲线定义||-||=±4，②又已知||·||=2，③由①②③得20a-2×2=16a，所以a=1.11. 【解析】选D.如图所示建立空间直角坐标系，则A(1，0，1)，C1(0，1，0).设P(x，y，0)其中0≤x≤1，0≤y≤1.则=(1-x，-y，1) =(-x，1-y，0)所以·=(1-x，-y，1)·(-x，1-y，0)=+-，因为+的几何意义是平面区域到点的距离的平方，所以当x=y=时，+有最小值0，当x=y=0或x=y=1或x=1，y=0或x=0，y=1时，+有最大值，所以-≤+-≤0，即·的取值范围是.12. 【解析】选B.设抛物线方程为y2=2px(p>0)，根据对称性可知，正六边形ABCDEF的顶点A，B，C，F在抛物线y2=2px上，设A(x1，1)，F(x2，2)，则即x2=4x1，又AF==2，即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3，所以=，x1=，即p===.二、填空题13.【解析】设抛物线方程为x2=my，联立抛物线方程与直线方程y=x+1并消元，得：2x2-mx-2m=0，所以x1+x2=，x1x2=-m，所以5=，把x1+x2=，x1x2=-m代入解得m=4或m=-20.所以抛物线的标准方程为x2=4y或x2=-20y. 答案：x2=4y或x2=-20y 14.【解析】由条件知PC，AC，BC 两两垂直，设=a ，=b ，=c，则a·b=b·c=c·a=0，因为∠BAC=60°，AB=8，所以|a |=||=8cos60°=4，|b |=||=8sin60°=4，|c |=||=4.设=x=x(b -a)，其中x∈[0，1]，则=++=-c+a+x(b-a)=(1-x)a+x b-c，||2=(1-x)2|a|2+x2|b|2+|c|2+2(1-x)x a·b-2x b·c-2(1-x)a·c=16(1-x) 2+48x2+16=32(2x2-x+1)=64+28，所以当x=时，||2取最小值28，所以||min =2. 答案：215. 【解析】因为BG=2GD ，所以=.又=+=-+-=a+c-2b，所以=+=b +(a+c-2b)=a -b +c.答案：a -b +c16.【解析】设动点为(x，y)，则由条件可知·=k2，①，将(-1，1)代入得0=k2，因为k>0，所以不成立，故方程不过点(-1，1)，①错误.②，把方程中的x用-2-x代换，y用2-y代换，方程不变，故此曲线关于点(-1，1)对称，②正确.③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则≥，≥，所以+≥2=2k，故③正确.④，由题意知点P0在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积为2·2=4·=4k2，所以④正确.综上所述，正确结论的序号是②③④.答案：②③④三、解答题17.【解析】当p真时，0<a<1，当q 真时，即a>，所以p假时，a>1，q假时，a ≤.又p和q有且仅有一个正确，当p真q假时，0<a ≤；当p假q真时，a>1. 综上a 的取值范围为∪(1，+∞). 18.【证明】(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=-，=-，又因为=，=，所以=，所以BD∥B1D1.又B1D1⊂平面B1CD1，BD⊄平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理可证A1B∥平面B1CD1.又BD∩A1B=B，所以平面A1BD∥平面B1CD1.(2)=++=++(+)=++(-+)=++.设=a ，=b ，=c，则=(a+b+c).又=-=b-a，所以·=(a+b+c)·(b-a)=(b2-a2+c·b-c·a).又因为⊥，⊥，所以c·b=0，c·a=0.又|b|=|a|，所以b2=a2.所以b2-a2=0.所以·=0.所以MN⊥BD.同理可证，MN⊥A1B.又A1B∩BD=B，所以MN⊥平面A1BD.19.【解析】(1)将A(1，-2)代入y2=2px，得(-2)2=2p·1，所以p=2.故所求抛物线C的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y=-2x+t.由得y2+2y-2t=0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ=4+8t≥0，解得t≥-.由直线OA与l的距离d=，可得=，解得t=±1.因为-1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x+y-1=0.20.【解析】(1)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8.(2)若∠PF2F1是直角，则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，即|PF1|2=(12-|PF1|)2+80，得|PF1|=，|PF2|=，所以=.若∠F1PF2是直角，则|PF1|2+(12-|PF1|)2=80，即2|PF1|2-24|PF1|+64=0，得|PF1|=8，|PF2|=4，所以=2，综上，=2或.21.【解析】设正方体的棱长为1.如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz.(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(0，0，0)，D(0，1，0)，所以=，=(0，1，0).在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量.设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ===.故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：依题意，得A1(0，0，1)，=(-1，0，1)，=.设n=(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n ·=0，n ·=0，得所以x=z，y=z.取z=2，得n=(2，1，2).因为F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1). 又B1(1，0，1)，所以=(t-1，1，0).而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE ⇒·n=0⇔(t-1，1，0)·(2，1，2)=0⇔2(t-1)+1=0⇔t=⇔F为棱C1D1的中点.这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.22.【解题指南】方法一：(1)建立空间直角坐标系，写出，的坐标，利用数量积证明.(2)求出平面B1CE与平面CEC1的法向量，由法向量的夹角余弦值求二面角的正弦值.(3)用直线AM的方向向量与平面ADD1A1的法向量表示直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦，确定向量的坐标，由向量的模求线段AM的长.方法二：(1)要证明线线垂直，先证明线面垂直，关键是找出与线B1C1垂直的平面CC1E，然后进行证明.(2)要求二面角B1-CE-C1的正弦值，关键是构造出二面角B1-CE-C1的平面角，然后在三角形中求解.(3)首先构造三角形，设AM=x，在直角三角形AHM，C1D1E中用x表示出AH，EH的长度，最后在三角形AEH中利用余弦定理求解.【解析】如图，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0).(1)易得=(1，0，-1)，=(-1，1，-1)，于是·=0，所以B1C1⊥CE.(2)=(1，-2，-1)，设平面B1CE的法向量m=(x，y，z)，则即消去x，得y+2z=0，不妨设z=1，可得一个法向量为m=(-3，-2，1).由(1)知B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故=(1，0，-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos<m ，>===-，从而sin<m ，>=.所以二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)=(0，1，0)，=(1，1，1)，设=λ=(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有=+=(λ，λ+1，λ).可取=(0，0，2)为平面ADD1A1的一个法向量.设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ====.于是=，解得λ=，所以AM=.【一题多解】(1)因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1，经计算可得B1E=，B1C1=，EC1=，从而B1E2=B 1+E，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E=C1，所以B1C1⊥平面CC1E，又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.(2)过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G，由(1)知，B1C1⊥CE，B1C1，B1G⊂平面B1C1G，B1C1∩B1G=B1，故CE⊥平面B1C1G，又C1G⊂平面B1C1G ，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1-CE-C1的平面角.在△CC1E中，由CE=C1E=，CC1=2，可得C1G=.在Rt△B1C1G中，B1G=，所以sin∠B1GC1=，即二面角B1-CE-C1的正弦值为.(3)连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角.设AM=x，从而在Rt△AHM中，有MH=x，AH=x，在Rt△C1D1E中，C1D1=1，ED1=，得EH=MH=x，在△AEH中，∠AEH=135°，AE=1，由AH2=AE2+EH2-2AE·EHcos135°，得x2=1+x2+x，整理得5x2-2x-6=0，解得x=.所以线段AM的长为.。
高二数学选修2-1测试试题及答案
高二数学选修2-1测试试题及答案本试题满分150分，用时100分钟）一、选择题：1.命题“若a>b，则a-8>b-8”的逆否命题是（）A.若a<b，则a-8<b-8B.若a-8≤b-8，则a≤bC.若a≤b，则a-8≤b-8D.若a-8b2.如果方程x^2+ky^2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．(0.+∞)B．(0.2)C．(0.1)D．(1.+∞)3.已知x-3x+2≥0，2x-2≥1，则“非P”是“非Q”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件4.双曲线16/(x^2)-9/(y^2)=1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（）A、24B、25C、26D、285.若焦点在轴上的椭圆x^2/3+y^2/2=1的离心率为e，则m=A.3B.38/2C.23/2D.33/26.在同一坐标系中，方程x^2/2+y^2/2=1与ax+by^2=(a>b>)的曲线大致是（）ab7.椭圆25x^2+16y^2=400的面积为（）A.9B.12C.10D.88.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则E到平面ABC1D1的距离是（）A.√2/2B.√6/2C.√3/2D.√29.若向量a与b的夹角为60°，b=4，(a+2b)(a-3b)=-72，则a=A.2B.4C.6D.1210.方程x^2/k-y^2/k=1表示双曲线，则k的取值范围是（）A．-1<k<1B．k>0XXX≥1D．k>1或k<-111.方程x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0,k>且k≠1)，与方程y^2/a^2+x^2/b^2=1的图形是（）两个坐标轴上的椭圆12.若x^2+y^2+z^2=1，则x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2的最大值为（）1/3二、填空题：13.当k>1时，曲线x^2/k-y^2/k=1是（）。
数学选修2-1测试题(含答案)(1)
数学选修2-1 综合测评时间:90分钟满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的）1．与向量a＝（1,－3,2)平行的一个向量的坐标是(）A.错误!B．(－1，－3，2）C。
错误!D．(错误!，－3，－2错误!）解析：向量的共线和平行是一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即b≠0,a∥b⇔a＝λb，a＝(1，－3,2)＝－1错误!，故选C.答案：C2．若命题p：∀x∈错误!，tan x〉sin x，则命题綈p：（)A．∃x0∈错误!,tan x0≥sin x0B．∃x0∈错误!，tan x0>sin x0C．∃x0∈错误!，tan x0≤sin x0D．∃x0∈错误!∪错误!,tan x0〉sin x0解析：∀x的否定为∃x0，〉的否定为≤,所以命题綈p为∃x0∈错误!,tan x0≤sin x0.答案：C3．设α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不重合的直线,则α∥β的充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β且l∥β,m∥αB．l⊂α，m⊂β且l∥mC．l⊥α，m⊥β且l∥mD．l∥α，m∥β且l∥m解析：由l⊥α,l∥m得m⊥α,因为m⊥β，所以α∥β，故C选项正确．答案:C4．以双曲线错误!－错误!＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（）A。
错误!＋错误!＝1 B。
错误!＋错误!＝1C。
x216＋错误!＝1 D。
错误!＋错误!＝1解析:由错误!－错误!＝1，得错误!－错误!＝1。
∴双曲线的焦点为（0,4),（0，－4)，顶点坐标为（0，2错误!)，（0,－2错误!）．∴椭圆方程为错误!＋错误!＝1。
答案：D5．已知菱形ABCD边长为1,∠DAB＝60°，将这个菱形沿AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离为（）A。
错误! B.错误! C.错误!D。
错误!解析:菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，则AC′⊥BD，沿AC 折叠后，有BO⊥AC′，DO⊥AC，所以∠BOD为二面角B－AC－D的平面角,即∠BOD＝60°.因为OB＝OD＝12，所以BD＝错误!.答案：B6．若双曲线错误!－错误!＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2（r〉0）相切，则r＝（)A.错误!B．2 C．3 D．6解析:双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程为y＝±错误!x，因为双曲线的渐近线与圆(x－3）2＋y2＝r2(r>0）相切，故圆心（3,0）到直线y ＝±错误!x的距离等于圆的半径r,则r＝错误!＝错误!。
高中数学选修2-1试题(后附详细答案)
高中数学选修2-1试卷 班级________姓名：_________考试时间：120分钟 试卷总分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．将答案写在后面的框内，否那么一律不给9分．1．“1x ≠〞是“2320x x -+≠〞的〔 〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2．命题p q ,，假设命题“p ⌝〞与命题“p q ∨〞都是真命题，那么〔 〕A ．p 为真命题，q 为假命题B ．p 为假命题，q 为真命题C ．p ，q 均为真命题D ．p ，q 均为假命题3. 设M 是椭圆22194x y +=上的任意一点，假设12,F F 是椭圆的两个焦点，那么12||||MF MF + 等于〔 〕A ． 2B ． 3C ． 4D ． 64．(重庆高考)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0〞的否认为( )A ．存在x 0∈R ，使得x 20<0B ．对任意x ∈R ，都有x 2<0C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0D ．不存在x ∈R ，使得x 2<05. 抛物线24y x =的焦点到其准线的距离是〔 〕A ． 4B ． 3C ． 2D ． 16. 两个焦点坐标分别是12(5,0)(5,0)F F -，，离心率为45的双曲线方程是〔 〕 A ． 22143x y -= B ． 22153x y -= C ．221259x y -= D ．221169x y -= 7. 以下各组向量平行的是( )A ．(1,1,2),(3,3,6)=-=--a bB ．(0,1,0),(1,0,1)==a bC ．(0,1,1),(0,2,1)=-=-a bD ．(1,0,0),(0,0,1)==a b8. 在空间四边形OABC 中，OA AB CB +-等于( )A ．OAB ．ABC ．OCD ．AC9. 向量(2,3,1)=a ，(1,2,0)=b ，那么-a b 等于 ( )A ．1 BC ．3D ．910. 如图，在三棱锥A BCD -中，DA ，DB ，DC 两两垂直，且DB DC =，E 为BC 中点，那么AE BC ⋅ 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．011. 抛物线28y x =上一点A 的横坐标为2，那么点A 到抛物线焦点的距离为〔 〕A ．2B ．4C ．6D ．812．正方体1111ABCD A B C D -中，M 为侧面11ABB A 所在平面上的一个动点，且M 到平面11ADD A 的距离是M 到直线BC 距离的2倍，那么动点M 的轨迹为( )二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．命题“假设0a >，那么1a >〞的否命题是_____________________．14．双曲线22194x y -=的渐近线方程是_____________________． 15．点(2,0),(3,0)A B -，动点(,)P x y 满足2AP BP x ⋅=，那么动点P 的轨迹方程是 ．16. 椭圆12222=+by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点P 为椭圆上一点，且3021=∠F PF ，AEDCB6012=∠F PF ，那么椭圆的离心率e 等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.求渐近线方程为x y 43±=，且过点)3,32(-A 的双曲线的标准方程及离心率。
高二数学试题(选修2-1)
高二数学试题（选修2-1）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共36分)注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，在试题卷上作答无效。
一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.下列命题是真命题的是A 、“若0=x ，则0=xy ”的逆命题；B 、“若0=x ，则0=xy ”的否命题；C 、若1>x ，则2>x ；D 、“若2=x ，则0)1)(2(=--x x ”的逆否命题 2.已知p:522=+，q:23>，则下列判断中，错误．．的是 A 、p 或q 为真，非q 为假； B 、p 且q 为假，非p 为真； C 、p 且q 为假，非p 为假；D 、p 且q 为假，p 或q 为真；3．命题“083,2<+-∈∃x x R x ”的否定是A 、083,2≥+-∈∀x x R xB 、083,2≥+-∈∃x x R xC 、083,2>+-∈∀x x R xD 、083,2>+-∈∃x x R x 4．抛物线2y x =的焦点坐标是A ．()1,0B ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭5.经过点)62,62(-M 且与双曲线13422=-y x 有共同渐近线的双曲线方程为 A ．18622=-y x B ．18622=-x y C ．16822=-y x D ．16822=-x y6.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆13432=+y x 上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是3 B. 8 C.34 D. 47．三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若11,,,CA a CB b CC c A B ====则 A ．c b a -+ B ．c b a +- C ．c b a -+- D ．c b a ++- 8. 关于曲线||||1x y -=所围成的图形，下列判断不正确．．．的是 A ．关于直线y = x 对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于x 轴对称9. 若抛物线22(0)y px p =>上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为 A ．6B ．8C ．1或9D ．1010．下列各组向量中不平行．．．的是 A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a B ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g11. 若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形12. 抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于A ．2B ．23 C ．25D ．3 二.填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。
(新)高中数学选修2-1综合测试卷(有详细答案)
模块综合测试时间：90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R，x3－x2＋1>0解析：含有量词的命题的否定，一是要改变相应的量词，二是要否定结论．答案：D2．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有()A．0个B．2个C．3个D．4个解析：逆命题与否命题正确，原命题与其逆否命题错误．答案：B3．设椭圆的标准方程为x2k－3＋y25－k＝1，其焦点在x轴上，则k的取值范围是()A．4<k<5 B．3<k<5C．k>3 D．3<k<4解析：由题意知，k－3>5－k>0，解得4<k<5.答案：A4．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若m⊥β，由面面垂直的判定定理，则α⊥β，反之不成立．答案：B5．已知条件p：|x－1|<2，条件q：x2－5x－6<0，则p是q的() A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分又不必要条件解析：命题p：－1<x<3，记A＝{x|－1<x<3}，命题q：－1<x<6，记B＝{x|－1<x<6}，∵A B，∴p是q的充分不必要条件．答案：B6．已知命题p：“x∈R时，都有x2－x＋14<0”；命题q：“存在x∈R，使sin x＋cos x＝2成立”．则下列判断正确的是() A．p∨q为假命题B．p∧q为真命题C．綈p∧q为真命题D．綈p∨綈q是假命题解析：易知p假，q真，从而可判断得C正确．答案：C7．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．y 2＝6xD ．y 2＝－6x解析：由x 24－y 25＝1，得a 2＝4，b 2＝5，∴c 2＝a 2＋b 2＝9. ∴右焦点的坐标为(3,0)，故抛物线的焦点坐标为(3,0)，顶点坐标为(0,0)．故p2＝3.∴抛物线方程为y 2＝12x . 答案：A8．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系： 6OP→＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面 D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面解析：由已知得OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，而16＋13＋12＝1，∴四点P 、A 、B 、C 共面．答案：B9．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP→|2的值为( ) A.32 B ．2 C.10－24 D.94解析：由题可知|BA →|＝1，|BC →|＝1，|BD →|＝ 2.〈BA →，BD →〉＝45°，〈BD →，BC →〉＝45°，〈BA →，BC →〉＝60°.∴|BP →|2＝(12BA →－12BC →＋BD →)2＝14BA →2＋14BC →2＋BD →2－12BA →·BC →＋BA →·BD →－BC →·BD→ ＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 答案：D10．已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，双曲线的离心率是54，且PF 1→·PF 2→＝0，若△PF 1F 2的面积为9，则a ＋b 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝m ，|PF 2→|＝n ，不妨设m >n ，则m 2＋n 2＝4c 2，m －n ＝2a ，12mn ＝9，c a ＝54，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝5，故b ＝3.因此a ＋b ＝7，选C. 答案：C11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( )A.24B.23C.33D.32解析：建立如下图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)． ∴DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0.∴⎩⎨⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，∴cos 〈n ，BC 1→〉＝n ·BC 1→|n ||BC 1→|＝－23·2＝－63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的正弦值为63. ∴直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为33. 答案：C12．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞)解析：由题意知在双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＝2|PF 2|，如右图所示．又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝2a ，即在双曲线右支上恒存在点P 使得|PF 2|＝2a ，即|AF 2|≤2a .∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a.∴c≤3a.又∵c>a，∴a<c≤3a.∴1<ca≤3，即1<e≤3.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是________，此命题是________命题(填“真”或“假”)．解析：命题p为特称命题，所以綈p是全称命题，∴綈p是∀m ∈R，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根．∵m≥2或m≤－2时，Δ≥0，即该方程有实数根，所以p真，綈p假．答案：∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根假14．双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e∈(1,2)，则其中一条渐近线的斜率取值范围是________．解析：e＝a2＋b2a∈(1,2)，解得0<ba<3，又双曲线的渐近线方程为y＝±ba x，故其中一条渐近线的斜率取值范围是(0，3)或(－3，0))．答案：(0，3)或(－3，0)15．如图，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．则异面直线OB 与MD 所成角余弦值为________.解析：以A 为原点建立空间直角坐标系，如图 则OB→＝(2,0，－2)，MD →＝(0,2，－1)． 设OB→，MD →所成的角为θ， 则cos θ＝OB →·MD →|OB →||MD →|＝222·5＝1010.答案：101016．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |＝________.解析：⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝kx －2，k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，x 1＋x 2＝4k ＋8k 2＝4，得k ＝－1或2，当k ＝－1时，x 2－4x ＋4＝0有两个相等的实数根，不合题意． 当k ＝2时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝516－4＝215.答案：215三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知p ：方程x 23－t ＋y 2t ＋1＝1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；q ：实数t 满足不等式t 2－(a －1)t －a <0.(1)若p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)∵方程x 23－t ＋y 2t ＋1＝1所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆，∴3－t >t ＋1>0.解得－1<t <1.(2)∵p 是q 的充分不必要条件，∴{t |－1<t <1}是不等式t 2－(a －1)t －a <0解集的真子集．解方程t 2－(a －1)t －a ＝0得t ＝－1或t ＝a .①当a >－1时，不等式的解集为{t |－1<t <a }，此时，a >1.②当a ＝－1时，不等式的解集为∅，不满足题意．③当a <－1时，不等式的解集为{t |a <t <－1}，不满足题意．综上，a >1.18．(12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA→的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)． 则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·BC→＝0n ·BB 1→＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0－x ＋3y ＝0，可取n ＝(3，1，－1)． 故cosn ，A 1C →＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.19．(12分)已知定点F (0,1)和定直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解：(1)由题意，点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线．∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意，直线PQ 的斜率存在，且不为0，设直线l 2的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1，∴RP →·RQ →＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8，∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ→的最小值为16. 20．(12分)设F 1，F 2分别是椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1倾斜角为45°的直线l 与该椭圆相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝43a .(1)求该椭圆的离心率．(2)设点M (0，－1)满足|MP |＝|MQ |，求该椭圆的方程． 解：(1)直线PQ 斜率为1， 设直线l 的方程为y ＝x ＋c ， 其中c ＝a 2－b 2.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则P ，Q 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2.所以|PQ |＝2|x 2－x 1| ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝43a .得43a ＝4ab 2a 2＋b2，故a 2＝2b 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|MP |＝|MQ |得k MN ＝－1. 即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. 21．(12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC ＝45°，P A ＝AD ＝2，AC ＝1.(1)求证：PC ⊥AD ；(2)求二面角A －PC －D 的正弦值；(3)设E 为棱P A 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长．解：如右图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，D (2,0,0)，C (0,1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，0，P (0,0,2)． (1)证明：PC →＝(0,1，－2)，AD →＝(2,0,0)，所以PC →·AD→＝0，所以PC ⊥AD .(2)解：PC→＝(0,1，－2)，CD →＝(2，－1,0)． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·PC→＝0，n ·CD →＝0，即⎩⎨⎧y －2z ＝0，2x －y ＝0.不妨令z ＝1，则x ＝1，y ＝2，故平面PCD 的一个法向量为n ＝(1,2,1)．可取平面P AC 的法向量为m ＝(1,0,0)． 于是cos m ，n ＝m ·n |m |·|n |＝16＝66，从而sin m ，n ＝306，所以二面角A —PC —D 的正弦值为306.(3)解：设点E 的坐标为(0,0，h )，其中h ∈[0,2]， 由此得BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，h ，又CD →＝(2，－1,0)， 故cos 〈BE →，CD →〉＝BE →·CD →|BE →|·|CD →|＝3212＋h 2×5＝310＋20h2，所以310＋20h 2＝cos30°＝32，解得h ＝1010⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＝－1010舍去，即AE ＝1010.22．(12分)(2014·大纲全国卷)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0,4)，代入y 2＝2px 得x 0＝8p .所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p .由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2. 所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x 得y 2－4my －4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 故AB 的中点为D (2m 2＋1,2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3. 将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m ，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)． 故MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4(m 2＋1)2m 2＋1m 2. 由于MN 垂直平分AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4(m 2＋1)2(2m 2＋1)m 4， 化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1. 所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.。
高二理科数学选修2-1全册综合测试题两套
1高二理科数学选修2-1综合测试题（一）一、选择题1．命题“∃x 0∈R,2x 0－3>1”的否定是( )A ．∃x 0∈R,2x 0－3≤1B ．∀x ∈R,2x －3>1C ．∀x ∈R,2x －3≤1D ．∃x 0∈R,2x 0－3>1 2．命题p ：若0a b ⋅> ，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．﹁p 为假命题D ．﹁q 为假命题3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A ．18B ．－18 C ．8 D ．－84．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则a 等于( )A ．5 32B ．212C ．372D ．3 526．下列结论中，正确的为( ) ①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；③“p 或q ”为真是“¬p ”为假的必要不充分条件；④“¬p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件． A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④ 7．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．838．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1， 5 ]D ．[5，＋∞) 9．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α．当α＝2π3时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是( )A ．41B ．15C ．9D ．1 10．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A -BD -C 的正弦值为( )A ．55 B ．33 C ．255 D ．6311．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( )A ．54 B ．52 C ．322D ．5412．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A ．14B ．13C ．24D ．23二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足4OP OA ⋅=，则动点P 的轨迹方程是________．14．命题“∃x 0∈R,2x 20－3ax 0＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围是_____．15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B ．若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．16．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则EF 与平面CDD 1C 1所成角的正弦值为________．三、解答题(解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知命题p ：方程x 22＋y 2m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：∀x ∈R,4x 2－4mx ＋4m －3≥0．若(¬p )∧q 为真，求m 的取值范围．18．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝1，AC ＝AA 1＝ 3，∠ABC ＝60°．(1)证明：AB ⊥A 1C ；(2)求二面角A -A 1C -B 的正切值大小．19．在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：(1)求证：CM ⊥EM ；(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．320． 如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB ＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．21．如图，已知点E (m ，0)为抛物线y 2＝4x 内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是线段AB ，CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求△EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．22．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A (2,0)是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC ·BC ＝0，|OC －OB |＝2|BC －BA |． (1)求椭圆的标准方程；(2)设P ，Q 为椭圆上异于A ，B 且不重合的两点，若∠PCQ 的平分线总是垂直于x 轴，则是否存在实数λ，使得PQ ＝λAB ？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．4高二理科数学选修2-1综合测试题（二） 一、选择题：1、命题“若3=x ，则01892=+-x x ”的逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 2、过点（0，2）与抛物线x y 82=只有一个公共点的直线有（ ） A 、1条 B 、2条 C 、3条 D 、无数条 3、“0≠k ”是“方程b kx y +=表示直线”的（ ）A 、必要不充分条件B 、充分不必要条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4、如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）A 、()+∞,0B 、()2,0C 、()+∞,1D 、()1,0 5、已知P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点Q （2，1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A 、)1,41(- B 、)1,41( C 、)2,1( D 、)2,1(-6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为02=-y x ，则它的离心率为（ ）A 、5B 、25C 、3D 、2 7、下列结论中，正确的结论为（ ）①“q p ∧”为真是“q p ∨”为真的充分不必要条件； ②“q p ∧”为假是“q p ∨”为真的充分不必要条件； ③“q p ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件； ④“p ⌝”为真是“q p ∧”为假的必要不充分条件. A 、①② B 、③④ C 、①③ D 、②④ 8、设椭圆1C 的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26 ，若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线2C 的标准方程为（ ）A 、1342222=-y xB 、1542222=-y xC 、14132222=-y xD 、112132222=-y x9、已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都为1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则DC EF ∙等于（ ）A 、41 B 、43 C 、 43- D 、41-10、⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为（ ）A 、41B 、4C 、5D 、52 11、设P 是双曲线x 2a 2－y2b 2 ＝1(a ＞0 ,b ＞0)上的点，F 1、F 2是焦点，双曲线的离心率是54 ，且∠F 1PF 2＝90°，△F 1PF 2面积是9，则a + b ＝（ ）A 、4B 、5C 、6D 、75BA 。
高二数学选修2-1测试题
高二数学选修2-1测试题1.“x1”是“x23x2”的（必要不充分条件）。
2.若p q是假命题，则（p是真命题，q是假命题）。
3.F1,F2是距离为6的两定点，动点M满足∣MF1∣+∣MF2∣=6,则M点的轨迹是（椭圆）。
4.双曲线x2y21=0的渐近线方程为（y=±x/√3）。
5.中心在原点的双曲线，一个焦点为F(0，3)，一个焦点到最近顶点的距离是31，则双曲线的方程是（y2/4-x2/3=1）。
6.已知正方形ABCD的顶点A,B为椭圆的焦点，顶点C,D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为(2-√2)。
7.椭圆4a2x2+a2y2=4a2与双曲线x2/a2-y2/b2=1有相同的焦点，则a的值为（2）。
8.与双曲线y2/9-x2/16=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（9y2-16x2=144）。
9.已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是（cosθ=0）。
10.与向量a(1,3,2)平行的一个向量的坐标是（2，-6，4）。
11.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（x+1)²+(y-1)²=2）。
12.若直线x+y=m与圆x²+y²=m²相切，则m的值为（1）。
解析】解题分析：设圆心为O，则由题意可知O在直线y=x上，又因为圆心到直线x+y=2的距离为2，所以O到直线y=x的距离为2.由于直线y=x与直线x+y=2的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以O到直线y=x的距离也为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因此，O的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，半径为$\sqrt{2}$，圆的方程为$(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{3}{2})^2=2$。
故选C。
人教新课标版数学高二选修2-1综合测试一
综合测试一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则綈p 为 ( )A ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14≤0 B ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0 C ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14>0 D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0 2．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是 ( ) A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关 3．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A.532 B.212 C.372 D.3524．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45 6．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则 ( )A ．四点O 、A 、B 、C 必共面B ．四点P 、A 、B 、C 必共面C ．四点O 、P 、B 、C 必共面D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面7．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．1≤a ≤3B ．－1≤a ≤3C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤18．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B ．3 C. 5 D.929.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为 ( ) A.32 B ．2C.10－24D.94 10．已知命题p ：“若a >b >0，则21log a <21log b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．411．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A.24 B.23 C.33 D.3212．过M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1 (k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12二、填空题(每小题4分，共16分)13.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)14．命题p ：若a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“a ＝0”的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有________．15．设F 1、F 2是椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF 2＝________.16.如图，已知A (－3p,0) (p >0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足AB →·BQ →＝0，BC →＝12CQ →，则动点Q 的轨迹方程为____________． 三、解答题(共6个小题，共74分)17．(12分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标和顶点坐标．19．(12分)已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b . (1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．20．(12分)如图，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，PA＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .21．(12分)如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥CD ，且PA ＝2，E 点满足PE →＝13PD →. (1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求二面角E —AC —D 的正切值；(3)在线段BC 上是否存在点F 使得PF ∥平面EAC ？若存在，确定F 的位置；若不存在，请说明理由．22．(14分)已知椭圆x 22＋y 24＝1与射线y ＝2x (x ≥0)交于点A ，过A 作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一交点为点B 和点C .(1)求证：直线BC 的斜率为定值，并求出这个定值；(2)求△ABC 面积的最大值．答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．B 11．C 12．D 13.12a ＋14b ＋14c 14．p ∨q ，綈p15.3516．y 2＝4px (p >0)17．解 由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2.又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎪⎨⎪⎧ m <1，m ≥2，m 无解． 当p 假q 真时应有⎩⎪⎨⎪⎧m ≥1，m <2，1≤m <2. 故实数m 的取值范围是1≤m <2.18．解 椭圆的方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1. ∵m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3， 即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0， 四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12.19．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ ca ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m3，2m3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上，所以⎝⎛⎭⎫－m32＋⎝⎛⎭⎫2m32＝5，解得m ＝±3.20．证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)． 因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝8x ＝0，n ·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)，所以平面BOE 的一个法向量为n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0，又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .21．(1)证明 在正方形ABCD 中，AB ⊥BC ，又∵PB ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PA .同理CD ⊥PA ，∴PA ⊥平面ABCD .(2)解 由(1)知AB 、AD 、AP 两两垂直，故以A 为原点，AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建系，如图．则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，23，43，AC →＝(2,2,0)，AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23，43.设m ＝(x ，y ，z )是平面ACE 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＝0，23y ＋43z ＝0，取z ＝1，得y ＝－2，x ＝2， ∴m ＝(2，－2,1)．又AP →＝(0,0,2)是平面ACD 的一个法向量，∴cos 〈AP →，m 〉＝22×3＝13.∴tan 〈AP →，m 〉＝22，即二面角E —AC —D 的正切值为2 2.(3)解 假设存在满足条件的F 点，设F (2，a,0) (0≤a ≤2)，则PF →＝(2，a ，－2)．由(2)知平面ACE 的一个法向量m ＝(2，－2,1)．要使PF ∥平面ACE ，只需PF →·m ＝0即可．∴(2，－2,1)·(2，a ，－2)＝0，解得a ＝1.∴F (2,1,0)，即F 是BC 的中点．22．(1)证明 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 24＝1，y ＝2x (x ≥0)得A (1，2)． 设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为－k . 直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2，①直线AC 的方程为y ＝－k (x －1)＋2，②将①代入椭圆方程并化简得(k 2＋2)x 2－2(k －2)kx ＋k 2－22k －2＝0.∵1和x B 是它的两个根，∴x B ＝k 2－22k －2k 2＋2， y B ＝kx B ＋2－k ＝－2k 2－4k ＋22k 2＋2. 同理可得x C ＝k 2＋22k －2k 2＋2，y C ＝－2k 2＋4k ＋22k 2＋2. ∴k BC ＝y B －y C x B －x C＝ 2. (2)解 设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ，代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，|BC |＝3|x 1－x 2|＝316－2m 22. ∵A 到BC 的距离为d ＝|m |3， ∴S △ABC ＝m 2(16－2m 2)4≤142·2m 2＋(16－2m 2)2＝2，当且仅当2m 2＝16－2m 2，即m ＝±2时，上式“＝”成立．故△ABC 面积的最大值为 2.。
高二数学选修2-1测试题(完整资料).doc
所以，A，B中点坐标E（ ， ）,
因为 = ，所以PE⊥AB， ,
所以 , 解得 ,
经检验，符合题意，所以直线 的方程为 或 。 ……12分
考点：本小题主要考查椭圆标准方程的求解和直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及中点坐标公式、斜率公式等的综合应用，考查学生数形结合解决问题的能力和运算求解能力.
考点：本小题主要考查椭圆的标准方程，考查学生的推理能力.
点评：解决本小题时，不要忘记 ，否则就表示圆了.
16．
【解析】
试题分析：设正方体棱长为 ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，设 和 公垂线段上的向量为 ，则 ，即 ， ， ，又 ， ，所以异面直线 和 间的距离为 ．
考点：本题主要考查空间向量的应用,综合考查向量的基础知识。
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点，点 （0，1），且 = ，求直线 的方程．
22．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， 分别是 的中点．
(1)求证： ；
(2)在平面 内求一点 ，使 平面 ，并证明你的结论；
(3)求 与平面 所成角的正弦值．
参考答案
1．B
【解析】
试题分析： ，则 且 ；反之， 且 时， ，故选B.
当切线的斜率不存在时，x=－1符合题意；
当切线的斜率存在时，设切线方程为 ，即 。
由圆心（－3，2）到切线距离等于半径2，得， ，解得，k= ，
所以，切线方程为3x－4y+27=0。
综上知，答案为3x－4y+27=0或x=－1.
考点：直线与圆的位置关系
点评：中档题，研究直线与圆的位置关系问题，利用“代数法”，须研究方程组解的情况；利用“几何法”，则要研究圆心到直线的距离与半径比较。本题易错，忽视斜率不存在的情况。
高二数学选修2-1测试卷
CD CB高中数学选修2-1测试卷一、选择题1．双曲线19422-=-y x 的渐近线方程是（ ）A ．x y 23±=B ．x y 32±=C ．x y 49±=D ．x y 94±=2．若椭圆199x 22=++m y 的离心率为21，则m 的值等于 A ．49-B ． 41C ．349或-D ．341或 3．已知向量)2,0,1(),0,1,1(-==b a ，且b a b ka -+2与互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．51 C ．53 D ．574．抛物线 22y x -= 的准线方程是( ）.A ．21=y B.81=y C ．41=x D.81=x 5．双曲线191622=-y x 右支点上的一点P 到右焦点的距离为2，则P 点到左准线的距离为 A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 6．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 点P 是平面ABCD 上的动点，点M 在棱AB 上，且13AM =，且动点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的 距离的平方差为4，则动点P 的轨迹是（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．直线 7．下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 A ．--=23 B ．OM 513121++=C ．0=+++D ．0=++8．已知向量(0,1,1),(1,0,2)a b =-=，若向量ka b + 与向量a b -互相垂直，则k 的值是( ）A ．32 B.2 C ．74 D. 54二、填空题DAD 1C 1B 1A 1BCFE9．抛物线x y -=2的焦点坐标是________________。
10．已知点)4,1,3(--A ,则点A 关于y 轴对称的点的坐标为__________。
11．设O 是平面ABC 外一点，点P 满足311488OP OA OB OC =++，则直线AP 与平面ABC 的位置关系是 。
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新课改高二第一学期高中数学选修2－1测试题（一）（本卷分值：100分，时间：120分钟，）第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题（每小题3分，共36分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在第Ⅰ卷后的表格内.） 1. 下列语句中是命题的是A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．145sin =︒C ．0122>-+x xD ．梯形是不是平面图形呢？2.命题 “若△ABC 不是等腰三角形,则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 A.若△ABC 是等腰三角形,则它的任何两个内角相等 B.若△ABC 任何两个内角不相等,则它不是等腰三角形 C.若△ABC 有两个内角相等,则它是等腰三角形 D.若△ABC 任何两个角相等,则它是等腰三角形3. 双曲线19422=-y x 的渐近线方程是A ．x y 23±=B ．x y 32±=C ．x y 49±=D ．x y 94±=4.设A 、B 、C 为三个集合，则B A ≠⊂是)(C B A ≠⊂的A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分又不必要条件5.已知动点P （x ，y ）满足2)2()2(2222=+--++y x y x ,则动点P 的轨迹是 A.双曲线B.双曲线左支C. 双曲线右支D. 一条射线6.椭圆1422=+y x 的焦点坐标为A ．)0,23(±B ．)23,0(± C ．)0,3(± D ．)3,0(±7. 已知向量)5,3,2(-=→a 与向量),,4(y xb -=→平行,则x ,y 的值分别是 A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和108.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若→→--=a B A 11,→→--=b D A 11，→→--=c A A 1，则下列向量中与→--M B 1相等的向量是A ．→→→+--c b a 2121 B ．→→→++c b a 2121 C ．→→→+-c b a 2121 D ．→→→++-c b a 21219. △AOB 是边长为1的等边三角形，O 是原点，AB x ⊥轴，以O 为顶点，且过A ，B 的抛物线的方程是A ．2y x =B ．2y x =C ．2y x =D ． 2y =10.过抛物线x y 42=的焦点的直线l 交抛物线于),(11y x P 、),(22y x Q 两点，如果621=+x x ，则=||PQ A ．9B ．8C ．7D ．611.如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是 A. (0,+∞)B. (0,2)C. (1,+∞)D. (0,1)12. 方程|643|)2()2(522--=-+-⋅y x y x 表示的曲线为 A. 抛物线B. 椭圆C. 双曲线D.圆第Ⅱ卷（非选择题，共64分）二、填空题（每小题4分，共20分.请将答案直接填在题后的横线上.）13. 写出命题“x R ∀∈， 2410ax x ++>”的否定形式： . 14.设抛物线型拱桥的顶点距水面2米,测量水面宽度为8米.当水面上升1米后,水面宽度为米.15. 如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a 的取值范围是 .16. 设p 、q 是两个命题，若p 是q 的充分不必要条件，那么“非p”是“非q”的 条件．17. 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线的方程为 .三、解答题（本大题共5题，共44分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 18. （本小题满分8分）设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e ，且过点)23,0(P ,求这个椭圆的方程.给定两个命题：p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分8分）如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (Ⅰ)证明：AD ⊥D 1F;(Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明：面AED ⊥面A 1FD 1.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by ax 的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且向量与共线．(Ⅰ)求椭圆的离心率e ； (Ⅱ)若4-=x 是椭圆C 的一条准线，求椭圆C 的方程.22. （本小题满分10分）抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.2009—2010学年度第一学期期末高二数学选修2-1参考解答二、填空题：13.014,2≤++∈∃x ax R x ；14.24； 15.)413,(--∞；16.必要不充分；17.149422=-y x三、解答题：18. 解：∵椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上且过点)23,0(P∴23=b ………………………………………………………………………………3分 又23=e ，∴43222222=-==a b a a c e ，∴92=a ……………………………6分 故这个椭圆方程是194922=+y x …………………………………………………8分19.解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔000a a 或40<≤⇔a ；………………………………………………2分关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ；……………4分 如果p 正确，且q 不正确，有44141,40<<∴><≤a a a 且；……………6分 如果q 正确，且p 不正确，有041,40<∴≤≥<a a a a 且或．…………7分所以实数a 的取值范围为()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-4,410, ……………………………………8分20. 解：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1…………………………………………… ………………………………1分则有A （1,0，0），E （1，2，21），F （0，21，0），D 1（0，0，1），A 1（1，0，1）……2分(Ⅰ)0),1,21,0(),0,0,1(11=∙-=-=D D ，∴AD ⊥D 1F ………………………4分(Ⅱ)0),21,1,0(1=∙=D ，∴AE ⊥D 1FAE 与D 1F 所成的角为900…………………………………………………………………6分 (Ⅲ)由以上可知D 1F ⊥平面AED ，又D 1F 在平面A 1FD 1内， ∴面AED ⊥面A 1FD 1……………………………………………………………………8分 21.解：(Ⅰ)∵a b y c x c F M M 21,),0,(=-=-则，∴acb k OM 2-=．……………………………2分 ∵a b k AB与,-=是共线向量，∴ab ac b -=-2，∴b =c,故22=e ．……………4分 (Ⅱ) 由a c c b 22=⇒=，又2,22224422==⇒==⇒-=-=b a a c a c a x ，…………………………8分所以椭圆C 的方程为14822=+y x …………………………………………………………10分解：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ， …………………………2分将l :1-=kx y 代入抛物线方程得0442=+-kx x ,由题意△=0016162=>-k ，即1||>k ………………………………………4分 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222222k y y y k x x x ………………………………………………6分⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==3442k y kx ，消去k 得)3(42+=y x ………………………………………8分 由k x x x 421=+=及1||>k 得，4>x ，…………………………………………9分 故动点R 的轨迹方程为)3(42+=y x （4>x ）．…………………………………10分。