概率论重点和题型整合
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理
考研数学概率论备考重点公式与解题思路整理概率论是考研数学中的一大重点，掌握好概率论的基本公式和解题思路对于备考考研数学非常重要。
本文将对考研数学概率论的备考重点公式和解题思路进行整理，帮助考生更好地备考概率论。
一、基本概率公式1.1 事件的概率公式对于一个随机试验，其所有样本点组成的样本空间为S，一个事件A是样本空间S的一个子集。
那么，事件A发生的概率P(A)定义为： P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A包含的样本点的个数，n(S)表示样本空间S 中所有样本点的个数。
1.2 事件的互斥与独立若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是互斥的：- 事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B = ∅- 事件A和事件B的概率相加等于1，即P(A∪B) = P(A) + P(B)若两个事件A和B满足以下条件之一，则称事件A和事件B是独立的：- 事件A和事件B发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率，即P(A∩B) = P(A) * P(B)二、常用的概率公式2.1 全概率公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到全概率公式：P(B) = P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) * P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An)其中，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。
2.2 贝叶斯公式对于一组互斥事件A₁，A₂，...，An，且它们的并集为样本空间S，那么对于任意一个事件B，可以得到贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai) * P(B|Ai) / (P(A₁) * P(B|A₁) + P(A₂) *P(B|A₂) + ... + P(An) * P(B|An))其中，P(Ai|B)表示在事件B发生的条件下事件Ai发生的概率。
考研概率统计重点内容及常见题型
考研概率统计重点内容及常见题型考研概率统计是理工类研究生考试中的一门重要科目，概率统计是数学的一个分支，它主要研究随机现象的规律性和规律性中所含有的随机性问题。
在考研中，概率统计主要涉及概率论和数理统计两个方面的内容，下面将详细介绍一下考研概率统计的重点内容以及一些常见题型。
一、概率论1. 随机事件及其概率概率论的核心内容之一就是随机事件及其概率的研究。
在考研中，随机事件及其概率是一个非常基础也是非常重要的内容。
常见的题型包括计算概率，判断事件的独立性和互斥性等。
2. 随机变量及其分布随机变量是指在随机试验中，对每个可能结果都赋予一个实数值的变量。
考研中会涉及到常见的随机变量及其分布，比如离散型随机变量和连续型随机变量，以及它们的分布律和密度函数等。
常见的题型包括计算期望、方差，判断随机变量的类型等。
3. 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中的两个重要定理，它们在统计学中有着重要的应用。
在考研中，通常会涉及这两个定理的表述和应用，考察学生对定理的理解和运用能力。
二、数理统计1. 参数估计参数估计是统计学中的一个重要内容，它主要研究如何根据观测数据估计总体分布中的未知参数。
在考研中，通常会涉及到点估计和区间估计，以及它们的性质和方法等。
2. 假设检验假设检验是统计学中的另一个重要内容，它主要研究如何根据观测数据对总体分布的某些假设进行推断。
在考研中，通常会涉及到假设检验的基本原理、步骤和若干常见分布的假设检验等。
3. 方差分析方差分析是统计学中的一种常用方法，它主要用于比较两个或多个总体的均值是否相等。
在考研中，通常会涉及到单因素方差分析和双因素方差分析的基本原理、步骤和应用等。
以上就是考研概率统计的一些重点内容及常见题型，通过对这些内容的学习和掌握，可以帮助考生在考试中取得更好的成绩。
建议考生在备考过程中多做一些相关的习题和模拟题，这样可以更好地巩固所学的知识，提高解题能力。
希望考生们都可以在考研概率统计这一科目中取得好成绩，顺利通过考试。
概率论知识点整理及习题答案
概率论知识点整理及习题答案概率论知识点整理及习题答案第一章随机事件与概率1．对立事件与互不相容事件有何联系与区别？它们的联系与区别是：（1）两事件对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。
（2）互不相容的概念适用于多个事件，但对立的概念仅适用于两个事件。
（3）两个事件互不相容只表示两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。
而两个事件对立则表明它们有且仅有一个发生，即肯定了至少有一个发生。
特别地，=A、AU= 、AI=φ。
2．两事件相互独立与两事件互不相容有何联系与区别？两事件相互独立与两事件互不相容没有必然的联系。
我们所说的两个事件A、B相互独立，其实质是事件A是否发生不影响事件B发生的概率。
而说两个事件A、B互不相容，则是指事件A发生必然导致事件B不发生，或事件B发生必然导致事件A不发生，即AB=φ，这就是说事件A是否发生对事件B发生的概率有影响。
3．随机事件与样本空间、样本点有何联系？所谓样本空间是指：随机试验的所有基本事件组成的集合，常用来记。
其中基本事件也称为样本点。
而随机事件可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。
通常称这类事件为复合事件；只有一个样本点组成的集合称为基本事件。
在每次试验中，一定发生的事件叫做必然事件，记作。
而一定不发生的事件叫做不可能事件，记作φ。
为了以后讨论问题方便，通常将必然事件和不可能事件看成是特殊的随机事件。
这是由于事件的性质随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事件、随机事件还是不可能事件，都是相对“一定条件”而言的。
条件发生变化，事件的性质也发生变化。
例如：抛掷两颗骰子，“出现的点数之和为3点”及“出现的点数之和大于33点”，则是不可能事件了；而“出现的点数之和大于3点”则是必然事件了。
而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。
例如：（1）={3，4，5，L，18}。
（2）将一颗骰子连续抛掷三次，观察六点出现的次数，其样本空间为 ={0，1，2，3}。
考研概率统计重点内容及常见题型
考研概率统计重点内容及常见题型概率统计是考研数学中非常重要的一门课程，其重点内容主要包括概率论和数理统计两部分。
下面，将会从两个方面介绍概率统计的重点内容以及常见的题型。
一、概率论1.概率的基本概念及性质（1）随机试验、样本空间、随机事件的概念（2）概率的定义及意义2.事件的独立性和条件概率及其应用（1）事件的独立性与概率乘法公式（2）全概率公式和贝叶斯公式3.随机变量及其分布（1）随机变量的概念和分类（2）分布函数及其性质（4）连续型随机变量和概率密度函数（5）期望、方差、标准差及其性质（6）常见的离散型和连续型随机变量的分布及其参数的计算4.大数定律和中心极限定理（1）大数定律及其应用（2）中心极限定理及其应用二、数理统计1.统计学基础知识（1）总体与样本的概念（2）统计量的概念、常见的统计量及其性质（3）抽样分布及其统计量的分布2.参数估计（1）点估计的基本概念和方法（2）矩估计和最小二乘估计（3）极大似然估计和区间估计3.假设检验（2）双侧检验、单侧检验、置信区间估计（3）假设检验中的误差及其解决方法4.方差分析和回归分析（2）单因素方差分析、双因素方差分析（3）简单线性回归分析的基本概念和步骤（4）最小二乘法拟合直线的原理、性质常见题型对于概率统计这门课程，主要考察学生对于基础概念和基本理论掌握情况。
其中，选择题和计算题是比较常见的题型。
选择题：主要考察学生对于基础概念和基本理论的理解，也需要学生具备一定的推理和分析能力。
例如：（1）在进行统计时，抽取的样本应该如何选择？A. 无规律地抽取B. 样本应该尽量多而不必精C. 样本应当是总体中的代表D. 样本应该是存在共性的现象（2）（单选）问题：“已知P(A)=0.2, P(B|A)=0.6, 求P(AB)”。
A. 0.120计算题：主要考察学生对于统计学基础知识和统计方法的掌握，以及对样本数据处理和分析能力的考察。
例如：（1）在某项产品的生产中，一个工厂的生产月份销售数据如下：240、250、360、250、280、310、270、370、280、290。
概率论重点和题型整合
概率论与数理统计考点归纳第一章1.1样本空间（P2），互不相容与互斥的概念(P4)1.2概率的性质：性质4和性质6(P10)1.3古典概型（简单的）1.4全概率公式和贝叶斯公式（P21-22考大题）1.5相互独立的公式(P24)第二章2.1不考2.2—2.4考填空和选择2.5考大题第三章3.1例4（P65-66考大题），二维均匀分布(P66-67) 3.2定义2和定义4(P72,P74)3.3卷积公式(P81)第四章4.1,4.2期望，方差的性质（可能考证明题）常见分布的期望，方差（书上96-97页例1,2,3,4,和99页例7,8的结论,特别是泊松分布和指数分布）4.3协方差的性质：P103第④⑥个相关系数的性质：P105第（3）个4.4中心极限定理（P113考大题）第五章5.1统计量(P127)5.2定义1,2,3，卡方分布的期望和方差，t分布（可能考证明题）5.3定理1,2,3(P139)第六章6.1评价估计量的三条标准(P150)6.2矩估计法，最大似然估计法（考大题）6.3不考6.4记住4个置信区间（P168-170,4.1,4.2，4.3,4.4）第七章7.1，7.2假设检验的两类错误（P181填空，选择），假设检验的一般步骤（考大题）概率论与数理统计重点内容1、古典概型中相关概率的计算；2、条件概率；乘法公式；全概率公式（应用题）；贝叶斯公式（应用题）；3、如何由概率分布或者密度函数求分布函数？或者由分布函数求概率分布或密度函数？4、如何求期望？5、如何求方差？6、如何求协方差和相关系数？7、中心极限定理的应用（应用题）；8、点估计的常用方法：矩估计法和最大似然估计，尤其要注意最大似然估计法；9、假设检验；10、随机变量函数的分布函数的求法。
上述相关概念的定义，相关性质，计算公式及如何运用解决应用题等必须掌握好。
其它没有列为重点内容的也可能出现在填空题或者选择题中，但是正常情况比例不高。
概率论之大题题型总结(理科)
概率论之大题题型总结(理科)一、概率计算题：概率计算题是概率论课中的常见题型，要求根据已给的条件和概率理论计算出所询问的概率。
1. 条件概率计算：通过已知的条件，利用条件概率公式，计算出所需的概率。
例如：已知事件A和事件B的条件概率，求事件A和事件B同时发生的概率。
2. 独立事件概率计算：对于独立事件，可以利用乘法公式计算出所需的概率。
例如：已知事件A和事件B相互独立，求事件A和事件B同时发生的概率。
3. 互斥事件概率计算：对于互斥事件，可以利用加法公式计算出所需的概率。
例如：已知事件A和事件B互斥，求事件A或事件B发生的概率。
二、随机变量题：随机变量题要求计算随机变量的期望、方差等统计量。
1. 离散型随机变量：对于离散型随机变量，可以通过遍历所有可能取值，计算每个取值的概率乘以对应的随机变量值，再求和得到期望值。
方差的计算则需要计算每个取值与期望值的差的平方乘以对应的概率，再求和。
2. 连续型随机变量：对于连续型随机变量，可以利用概率密度函数来计算期望和方差。
期望值的计算是将随机变量与概率密度函数相乘再对整个区间求积分。
方差的计算则需要计算每个取值与期望值的差的平方与概率密度函数的乘积再对整个区间求积分。
三、估计题：估计题是概率论课中的重要题型，要求通过已给的样本数据估计总体参数。
1. 点估计：点估计是通过样本数据估计总体参数的一个值。
常见的点估计方法有最大似然估计法、矩估计法等。
2. 区间估计：区间估计是通过样本数据估计总体参数的一个区间范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计法、最大似然区间估计法等。
四、假设检验题：假设检验题要求根据样本数据判断总体是否符合某个假设。
1. 单样本假设检验：对于单样本假设检验，通过假设检验的步骤计算出样本的均值或比例与假设值的差异，并进行统计显著性检验，判断差异是否显著。
2. 双样本假设检验：对于双样本假设检验，通过比较两个样本的均值或比例的差异，并进行统计显著性检验，判断差异是否显著。
考研数学概率论重点整理
考研数学概率论重点整理概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件的规律性。
考研数学中的概率论是一个重要的考点，在准备考试时需要重点整理和复习。
本文将从概率的基本概念、常见的概率分布以及概率计算方法等方面进行重点整理，帮助考生更好地复习概率论知识。
一、概率的基本概念1.随机试验和样本空间随机试验是指在相同的条件下可以重复进行的实验，其结果不确定。
样本空间是随机试验的所有可能结果构成的集合。
2.随机事件和事件的概率随机事件是样本空间的一个子集，表示随机试验的某种结果。
事件的概率是指事件发生的可能性大小，用P(A)表示。
3.频率与概率的关系频率是指随机事件在大量重复试验中出现的次数与总试验次数的比值。
当试验次数趋于无穷时，频率趋近于概率。
二、常见的概率分布1.离散型随机变量离散型随机变量是只取有限或可列无限个数值的随机变量，其概率分布可以用概率函数或概率分布列表示。
常见的离散型随机变量包括二项分布、泊松分布等。
2.连续型随机变量连续型随机变量是取值范围为一段连续区间的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数表示。
常见的连续型随机变量包括正态分布、指数分布等。
三、概率计算方法1.加法定理与乘法定理加法定理适用于求两个事件的并、或概率。
乘法定理适用于求两个事件的交概率。
2.条件概率与贝叶斯定理条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
贝叶斯定理是由条件概率推导出来的计算公式，用于计算两个事件之间的概率关系。
3.独立性和互斥性独立事件是指两个事件之间相互不影响的事件，其概率计算有简化的特点。
互斥事件是指两个事件不能同时发生的事件。
四、重点题型解析1.题型一：概率计算题概率计算题是考试中的常见题型，主要涉及到加法定理、乘法定理、条件概率等知识点的应用。
解答此类题目时，需要准确理解题目要求，运用相应的概率计算方法进行计算。
2.题型二：随机变量的分布函数与密度函数求解此类题目主要考察对于离散型随机变量和连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的求解能力。
考研数学概率重难点及常考题型
考研数学概率重难点及常考题型一、概率的基本概念1.1 概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小。
一般来说，事件发生的可能性大小用0到1之间的实数表示，而0表示不可能事件，1表示必然事件。
1.2 随机事件随机事件是指某个事件的结果不确定，且可能有多种可能性。
例如，掷骰子的结果就是随机事件。
1.3 样本空间与事件样本空间是指一个随机事件所能够产生的所有可能结果的集合。
而事件是样本空间的子集，表示某个事件可能发生的所有结果。
1.4 事件的概率事件的概率等于事件中每个结果的概率之和。
二、概率的计算公式2.1 加法公式加法公式适用于两个事件不会同时发生的情况。
其公式如下：P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)其中，A和B是两个事件，P(A)表示事件A发生的概率，而P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
2.2 乘法公式乘法公式适用于两个事件同时发生的情况。
其公式如下：P(A且B) = P(A) * P(B|A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2.3 条件概率条件概率表示在已知某些条件下，某个事件发生的概率。
其公式如下：P(A|B) = P(A且B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2.4 独立事件如果事件A和事件B互相独立，则满足以下条件：P(A且B) = P(A) * P(B)其中，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
三、概率的常见分布3.1 泊松分布泊松分布是一种用来描述稀疏事件的概率分布。
其概率密度函数为：P(x) = (e ^ -μ * μ ^ x) / x!其中，μ表示事件在给定时间或空间单位内发生的平均次数，x表示事件发生的次数。
3.2 二项分布二项分布是一种描述在n次独立实验中成功次数的概率分布。
考研数学备考：概率论重难点及常考题型汇总
考研数学备考：概率论重难点及常考题型汇总考研数学备考：概率论重难点及常考题型汇总一、随机事件与概率重点难点：重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算常考题型：(1)事件关系与概率的性质(2)古典概型与几何概型(3)乘法公式和条件概率公式(4)全概率公式和Bayes公式(5)事件的独立性(6)贝努利概型二、随机变量及其分布重点难点重点：离散型随机变量概率分布及其性质，连续型随机变量概率密度及其性质，随机变量分布函数及其性质，常见分布，随机变量函数的分布难点：不同类型的随机变量用适当的概率方式的描绘，随机变量函数的分布常考题型(1)分布函数的概念及其性质(2)求随机变量的分布律、分布函数(3)利用常见分布计算概率(4)常见分布的逆问题(5)随机变量函数的分布三、多维随机变量及其分布重点难点重点：二维随机变量结合分布及其性质，二维随机变量结合分布函数及其性质，二维随机变量的边缘分布和条件分布，随机变量的独立性，个随机变量的简单函数的分布难点：多维随机变量的描绘方法、两个随机变量函数的分布的求解常考题型(1)二维离散型随机变量的结合分布、边缘分布和条件分布(2)二维离散型随机变量的结合分布、边缘分布和条件分布(3)二维随机变量函数的分布(4)二维随机变量取值的概率计算(5)随机变量的独立性四、随机变量的数字特征重点难点重点：随机变量的数学期望、方差的概念与性质，随机变量矩、协方差和相关系数难点：各种数字特征的概念及算法常考题型(1)数学期望与方差的计算(2)一维随机变量函数的期望与方差(3)二维随机变量函数的期望与方差(4)协方差与相关系数的计算(5)随机变量的独立性与不相关性。
高等代数、微积分、概率论重点题型
高等代数、微积分、概率论重点题型一、高等代数1.线性代数1.1向量向量是高等代数中的基础概念，我们首先来了解向量的定义和性质。
向量可以用箭头来表示，具有方向和大小。
1.2矩阵矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它是由一个由数阵列组成的矩形阵列。
矩阵的运算包括加法、数乘和矩阵乘法等。
2.线性方程组2.1高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的常用方法，它通过矩阵变换的方法将线性方程组化简为最简形式，从而求得解。
2.2矩阵求逆矩阵求逆是解线性方程组的另一种重要方法，通过求解矩阵的逆矩阵，可以直接得到线性方程组的解。
二、微积分1.函数与极限1.1极限的定义极限是微积分的基本概念之一，它描述了一个函数在某一点附近的变化趋势。
1.2导数与微分导数和微分是函数的重要性质，它们描述了函数在某一点的瞬时变化率。
2.积分与微积分基本定理2.1不定积分不定积分是求函数原函数的过程，它是求解积分的基本方法之一。
2.2定积分与微积分基本定理定积分是求函数在一定区间上的面积或曲线下面积的过程，微积分基本定理将定积分与不定积分联系了起来。
三、概率论1.随机变量与概率分布1.1随机变量随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验的结果。
1.2概率分布概率分布是描述随机变量的取值与对应概率的数学函数，常见的概率分布包括均匀分布、正态分布等。
2.统计量与抽样分布2.1统计量统计量是描述样本特征的函数，它是从总体中抽取样本得出的。
2.2抽样分布抽样分布是指对一个总体进行重复抽样，得到一系列样本统计量所组成的分布。
考研概率统计重点内容及常见题型
考研概率统计重点内容及常见题型概率统计是数学的一个重要分支，对于考研数学来说也是一门必考的科目。
学好概率统计不仅在考研中起到很好的加分作用，也对将来从事相关领域的工作有很大帮助。
下面是概率统计的重点内容及常见题型的介绍。
一、概率论的基本概念与基本定理1. 多个事件的概率计算2. 条件概率与独立事件3. 全概率公式与贝叶斯公式4. 随机变量及其分布函数5. 数学期望、方差、协方差以及相关性6. 大数定律与中心极限定理二、随机变量及其分布1. 离散型随机变量及其分布2. 连续型随机变量及其分布3. 随机变量之和与差的分布4. 随机变量的函数的分布及分布的一致性5. 二维随机变量及其分布三、抽样分布与参数估计1. 抽样分布基本理论2. 正态总体的抽样分布3. 样本均值与样本方差的分布4. 极大似然估计与贝叶斯估计5. 置信区间与假设检验常见题型：1. 概率计算题：计算给定事件的概率，可能涉及到条件概率、全概率公式和贝叶斯公式的运用。
2. 随机变量及其分布题：计算随机变量的期望、方差、协方差，或者求随机变量的分布函数及概率密度函数。
3. 大数定律与中心极限定理题：考察对大数定律和中心极限定理的理解及应用。
4. 参数估计题：求给定数据的极大似然估计值或者计算置信区间。
5. 假设检验题：根据给定假设进行参数的假设检验。
6. 回归与相关题：计算线性回归参数、求相关系数或进行相关性的检验。
对于概率统计的学习，要注重理论的理解与实践的结合。
理论的理解需要通过阅读教材、参考书籍以及上课听讲等途径进行，可以通过做相关习题加深对理论的理解。
实践的重点在于做题训练，可以通过做历年真题和模拟试题，熟悉题型并提升解题能力。
概率统计作为数学考研的一个重要内容，考点较多，涉及的内容也相对复杂。
掌握概率统计的基本概念、基本定理和常见题型，并进行密集的练习，相信会取得好的考试成绩。
考研概率统计重点内容及常见题型
考研概率统计重点内容及常见题型考研概率统计是管理学、经济学、计算机科学、数学等专业的研究生必修课程之一。
它是一门关于随机现象及其规律性的数学学科，对于数据分析、风险评估、决策分析等领域具有重要的应用价值。
在考研概率统计的学习中，掌握重点内容及常见题型是非常重要的，下面将针对这些内容展开讲解。
一、重点内容1. 概率论基础概率论是概率统计的基础，主要包括概率的定义、事件的概率、条件概率、独立事件、全概率公式、贝叶斯定理等内容。
掌握好概率论的基础知识对于后续的学习至关重要。
2. 随机变量及其分布随机变量是概率统计中的重要概念，它描述了随机实验的结果。
在考研概率统计中，需要对离散型随机变量、连续型随机变量以及它们的概率分布进行深入理解，如二项分布、泊松分布、正态分布等。
3. 统计推断统计推断是概率统计的核心内容之一，主要包括点估计和区间估计两个方面。
在考研中，需要理解最大似然估计、矩估计、区间估计的构造及其性质，并能够应用到具体问题中进行分析。
4. 假设检验假设检验是统计推断的重要内容，主要包括参数的假设检验和非参数的假设检验。
学生需要了解假设检验的基本原理、检验的步骤以及常见的假设检验方法，如t检验、F检验等。
5. 回归分析回归分析是概率统计中的一种重要方法，主要用于建立因变量与自变量之间的函数关系。
在考研中，学生需要了解最小二乘估计、回归系数的显著性检验、多重共线性等内容。
以上就是考研概率统计的重点内容，学生在备考过程中需要深入理解这些知识点，并能够灵活应用到实际问题中去。
二、常见题型1. 选择题选择题是考研概率统计中的常见题型，主要考察学生对知识点的理解和掌握程度。
在解答选择题时，学生需要注意审题，理清思路，不要出现粗心大意导致的错误。
4. 应用题应用题是考研概率统计中的综合性题型，主要考察学生对知识点的综合运用能力。
在解答应用题时，学生需要将所学知识与实际问题相结合，理清问题的要点，构建数学模型，得出合理的结论。
概率及其计算知识点及题型归纳整理
概率及其计算知识点及题型归纳整理知识点精讲一、必然事件、不可能事件、随机事件在一定条件下：①必然要发生的事件叫必然事件；②一定不发生的事件叫不可能事件；③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。
二、概率在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。
对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0.三、基本事件和基本事件空间在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。
四、两个基本概型的概率公式1、古典概型条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同()(A)=()A card P A card =Ω包含基本事件数基本事件总数2、几何概型条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为A μ. ()P A =A μμΩ。
五、互斥事件的概率1、互斥事件在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。
事件A 与事件B 互斥，则()()()P A B P A P B =+U 。
2、对立事件事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。
()()1P A p A =- 。
3、互斥事件与对立事件的联系对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。
题型归纳及思路提示题型1 古典概型思路提示首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算()A P A =包含基本事件数基本事件总数。
例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈（1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果；（2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。
考研数学概率各章节重点及常考题型
考研数学概率各章节重点及常考题型第一章随机事件和概率一、本章的重点内容四个关系：包含，相等，互斥，对立五个运算：并，交，差四个运算律：交换律，结合律，分配律，对偶律(德摩根律)概率的基本性质：非负性，规范性，有限可加性，逆概率公式五大公式：加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式条件概率利用独立性进行概率计算n 重伯努利概型的计算近几年单独考查本章的考题相对较少，从考试的角度来说不是重点，但第一章是基础，大多数考题中将本章的内容作为基础知识来考核，都会用到第一章的知识二、常见典型题型1.随机事件的关系运算2.求随机事件的概率3.综合利用五大公式解题，尤其是常用全概率公式与贝叶斯公式第二章随机变量及其分布一、本章的重点内容随机变量及其分布函数的概念和性质(充要条件)分布律和概率密度的性质(充要条件)八大常见的分布：0-1 分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布及它们的应用会计算与随机变量相联系的任一事件的概率随机变量简单函数的概率分布近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数的分布二、常见典型题型1.求一维随机变量的分布律、分布密度或分布函数2.一个函数为某一随机变量的分布函数或分布律或分布密度的判定3.反求或判定分布中的参数4.求一维随机变量在某一区间的概率5.求一维随机变量函的分布第三章二维随机变量及其分布一、本章的重点内容二维随机变量及其分布的概念和性质边缘分布，边缘密度，条件分布和条件密度随机变量的独立性及不相关性一些常见分布：二维均匀分布，二维正态分布几个随机变量的简单函数的分布本章是概率论重点部分之一!应着重对待二、常见典型题型1.求二维随机变量的联合分布律或分布函数或边缘概率分布或条件分布和条件密度2.已知部分边缘分布，求联合分布律3.求二维连续型随机变量的分布或分布密度或边缘密度函数或条件分布和条件密度4.两个或多个随机变量的独立性或相关性的判定或证明5.与二维随机变量独立性相关的命题6.求两个随机变量的相关系数7.求两个随机变量的函数的概率分布或概率密度或在某一区域的概率第四章随机变量的数字特征一、本章的重点内容随机变量的数字特征定义(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)常见分布的数字特征利用数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征根据一维和二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望.二、常见典型题型1.求一维随机变量函数的数字特征2.求二维随机变量或函数的数字特征3.求两个随机变量的协方差或相关系数4.数字特征在经济中的应用题.第五章大数定律和中心极限定理一、本章的重点内容三个大数定律：切比雪夫定律、伯努利大数定律、辛钦大数定律两个中心极限定理：棣莫弗-拉普拉斯定理、列维-林德伯格定理本章的内容不是重点，也不经常考，只要把这些定律、定理的条件与结论记住就可以了二、常见典型题型1.估计概率的值2.与中心极限定理相关的命题第六章数理统计的基本概念一、本章的重点内容数理统计的基本概念主要是总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩常见统计量：包括标准正态分布、卡方分布、t 分布和 F 分布，要掌握这些分布对应随机变量的典型模式及它们参数的确定，这些分布的分位数和相应的数值表正态总体的抽样分布，包括样本均值、样本方差、样本矩、两个样本的均值差、两个样本方差比的抽样分布本章是数理统计的基础，也是重点之一。
概率论重点题型总结
=1
九、 (x)或 (x)含未知数，求未知数
公式：FX (−∞)=0，FX (+∞)=1，F上 (分段点)=F下 (分段点)
+∞
∫−∞ fX (x)dx=1
例 1：设 X 的分布函数 FX (x)={
0，x ≤ 0
(λ>0)，求 a 和 b。
a + be−λx ，x > 0
FX (+∞)=1 ⇒ a+be−λ·(+∞)=1
① 写出 X=?Y
Y
Y=2X ⇒ X=2
② 用?y 替换FX (x)中的 x，结果为 FX (? y)
y
0， 2 ≤ 0
2
y
FX (2)= (y) ，0 < y < 1
2
2
y
{1， 2 ≥ 1
③ 判断?y 中是否有负号
若无，则 FY (y)= FX (?y)
若有，则 FY (y)=1− FX (?y)
客车发生故障的概率。
P(有客车发生故障)
=P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障)
=20%×0.002+80%×0.01
=0.0084
例 2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴
博士与傻狍子的概率都是 50%，猴博士考核通过的概率是 100%，傻狍子考核通
0， − y ≤ 0
FX (−y)={(−y)2 ，0 < −y < 1
1， − y ≥ 1
③判断?y 中是否有负号
若无，则 FY (y)= FX (?y)
若有，则 FY (y)=1− FX (?y)
《概率》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
概率考纲要求1.了解随机现象和概率的统计定义，理解必然事件和不可能事件的意义.2.知道概率的性质，理解古典概率模型的含义，掌握求古典概型的方法，并会求古典概型的概率.3.知道互斥事件，会用概率加法公式求互斥事件的概率.4.认识n 次独立重复实验模型，并记住n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率公式，并会简单应用.5.了解随机变量、离散型随机变量及其概率分布；能写出简单的离散型随机变量的概率分布.6.了解二项分布，能写出简单的二项分布. 知识点一：随机事件的概率 1.随机事件的相关概念随机现象：在相同条件下具有多种可能结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象称为随机现象.随机试验：研究随机现象所进行的观察和试验称为随机试验.随机事件：随机试验的结果称为随机事件，简称事件，常用大写字母A ,B ,C 等来表示. 必然事件：在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，用Ω来表示. 不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件，用∅来表示. 基本事件：在随机试验中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件. 复合事件：可以用基本事件来描述的随机事件称为复合事件. 2.频率与概率频数：设在n 次重复试验中，事件发A 生了m 次（0 ≤m ≤n ），m 称为事件A 的频数. 频率：事件A 的频数在试验的总次数中所占的比例mn，称为事件A 发生的频率. 事件A 发生的概率：当试验次数充分大时，如果事件发A 生的频率mn总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件A 发生的概率,记作)(A P . 事件A 发生的概率的性质：（1）对于必然事件Ω，()1=P Ω； （2）对于不可能事件∅，0)(=∅P ； （3）0≤P (A )≤1. 知识点2： 古典概型 1. 古典概型：（1）定义：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性都相等，那么称这个随机试验属于古典概型.特征：试验的所有可能结果的个数是有限的；每个结果出现的机会均等.（2）在古典概型中，若试验共包含有n 个基本事件，并且每一个事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件A 发生的概率()m P A n =2.互斥事件：（1）定义：在随机试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件或互不相容事件 （2）和事件：在随机试验中，若事件C 发生意味着事件A 与事件B 中至少有一个发生，则把事件C 称为事件A 与事件B 的和事件,记作C AB =（3）互斥事件的概率加法公式：互斥的事件A 和事件B 中至少有一个发生的概率()()()P A B P A P B =+知识点3：离散型随机变量及其分布 1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，这个变量的取值带有随机性，并且取这些值的概率是确定的，那么这个变量叫做随机变量，通常用小写希腊字母ξ、η等表示，或用大写英文字母，,,X Y Z 等表示. 2.离散型随机变量的概念如果随机变量的所有可能取值可以一一列出，则这种随机变量称为离散型随机变量. 3.离散型随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的概率分布的定义离散型随机变量ξ的所有可能取值1x ，2x ，3x …，i x …与其对应的概率(x )i i P p ξ==（i =1，2，3，…）所有组成的表叫做随机变量ξ的概率分布（分布列）. 离散型随机变量概率分布的性质. ① 0(1,2,3,)i p i =≥；②1231i p p p p +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.（2）计算离散型随机变量的概率分布的主要步骤为 ①写出随机变量的所有取值；②计算出各个取值对应的随机事件的概率； ③列出表格.注意验证0(1,2,3,)i p i =≥以及121i p p p ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=.知识点4：二项分布 1.n 次独立重复实验定义：在相同条件下，重复进行n 次试验，如果每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，那么这n 次重复试验叫做n 次独立重复试验. 2.n 次伯努利实验定义：在n 次独立重复试验中，如果每次试验的可能结果只有两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A 和A ，并且在每次试验中事件A 发生的概率都相同，这样的n 次独立重复试验叫做n 次伯努利试验. 3.伯努利公式如果在每次试验中事件A 发生的概率()P A p =，事件A 不发生的概率()1P A p =-，那么在n 次伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为k n k k n n p p k P --=)1(C )((其中0,1,2,,k n =⋅⋅⋅).4.二项分布如果在一次试验中某事件A 发生的概率的p ,随机变量ξ为n 次独立试验中事件发A 生的次数，那么随机变量ξ的概率分布为其中n k p ,,2,1,0,10 =<<我们将这种形式的随机变量ξ的概率分布叫做二项分布．称随机变量ξ服从参数为n 、p 的二项分布，记为(,)B n p ξ．二项分布是以伯努利试验为背景的重要分布． 题型一 基本概念例1 一口袋中有10个小球，其中有8个白球、2个黑球,从中任取3个小球,有以下事件：①3个都是白球. ②至少有一个是黑球. ③3个都是黑球. ④至少有一个白球.其中随机事件是 ；必然事件是 ；不可能事件是 . 分析：本题考察定义的理解及“至少”的含义. 随机事件有①②； 必然事件有④； 不可能事件有③. 解答：①②，④，③ 题型二 古典概型例2 同时抛掷两颗骰子，则所得点数之和为7的概率为 .分析：本题考查古典概型，试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有6⨯6=36种结果，满足条件的事件是点数之和为7，可以列举出所有的事件：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共有6种结果，根据古典概型概率公式得到61=P . 解答：61. 题型三 互斥事件例3 某地区年降水量在50~100mm 范围内的概率为0.21，在100~150mm 范围内的概率为0.22，则年降水量在50~155mm ，范围内的概率为多少？ 分析：应用互斥事件的概率加法公式 解答：0.43题型四 独立重复试验及概率例4 一枚硬币连续抛掷3次，恰好有两次正面向上的概率为（ ）.A.18B.38C.12 D.23分析：设事件A =｛正面向上｝，则()P A =12，抛掷3次相当于做3次独立重复试验，恰好有两次正面向上的概率为2123113(2)228P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解答：B .题型五 离散型随机变量的概率分布例5 从含有8个正品、2个次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取一个，用ξ表示抽到次品的次数，求: （1） ξ的概率分布.（2） 至多有一次抽到次品的概率.解答：（1）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，且383107(0)15C P C ξ===， 1228310715C C P C ξ=（=1）=， 21283101(2)15C C P C ξ===. 所以ξ的概率分布为（2）至多有一次抽到次品的概率为715+715=1415. 题型六 二项分布例6 在人寿保险中，设一个投保人能活到65岁的概率为0.6，求三个投保人中活到65岁的人数ξ的概率分布．解答：记A ={一个投保人能活到65岁}，则A ={一个投保人活不到65岁}．于是()0.6,()10.60.4P A P A ==-=．且随机变量(3,0.6)B ξ．因此0333(0)0.6(10.6)0.064P C =⋅⋅-=， 11233(1)0.6(10.6)0.288P C =⋅⋅-=，22133(2)0.6(10.6)0.432P C =⋅⋅-=，33033(3)0.6(10.6)0.216P C =⋅⋅-=.所以，三个投保人中能活到65岁的人数ξ的概率分布为一、选择题1．在10张奖券中，有1张一等奖，2张二等奖，从中任意抽取1张，则中一等奖的概率为（ ）． A.310 B.15 C.110 D.132.甲乙两人进行一次射击，甲击中目标的概率为0.7，乙击中的概率为0.2，那么甲乙两人都没击中的概率为（ ）．A. 0.24 B .0.56 C. 0.06 D. 0.863.某人从一副不含大小王扑克牌中（52张）任意取一张出来，他抽到黑桃或是红桃的概率为（ ）．A. 0B.152 C. 1352 D. 124.书包里有中文书5本，英文书3本，从中任集抽取2本，则都抽到中文书的概率是（ ）． A.15 B.25 C.12 D.5145.一个口袋中有5个红球，7个白球，每次取出一个，有放回取三次，观察球的颜色属于（ ）．A.重复试验B.古典概型C. 3次独立重复试验概率模型D.以上都不是 6.同时抛掷三枚硬币，三枚出现相同一面的概率为（ ）．A12 B 14 C 16 D 187．某品牌种子的发芽率是0.8，在试验的5粒种子中恰有4粒发芽的概率是（ ）． A.410.8(10.8)- B.140.8(10.8)-C.41450.8(10.8)C -D.44150.8(10.8)C -8.下列变量中不是随机变量的是（ ）． A. 射手射击一次的环数 B. 在一个标准大气压下100时会沸腾 C. 城市夏季出现的暴雨次数 D. 某班期末考试数学及格人数9.若从标有3，4，5，6，7的5张卡片中任取3张，取得奇数的个数为ξ，则随机变量ξ的可能取值的个数是（ ）．A .0 B. 1 C. 2 D .3 10.已知离散型随机变量ξ的概率分布为则n 的值为（ ）．A .0.31 B. 0.25 C. 0.26 D. 0.2 二、判断题：1. 某人参加射击比赛，一次射击命中的环数为（奇数环）是随机事件( )2. 在重复进行同一试验时，随着试验总次数的增加，事件A 发生的频率一般会越来越接近概率. ( )3. 任一事件A ,其发生的概率为()P A ，则有0≤P (A )≤1 . ( )4. 必然事件的概率为0.( )5. 袋子里有3颗红球6颗白球，从中任取一颗是白球的概率是13.( ) 6. 盒内装有大小相同的3个白球1个黑球，从中摸出2个球，则两个球全是白球的概率是12. ( )7. 同时抛掷3枚硬币，三枚出现相同一面的概率是18. ( )8. 同宿舍8人抓阄决定谁负责周一值日是随机试验.( )9. 运动员进行射击训练，考察一次射击命中的环数，命中2环的概率是110. （）10. 甲、乙两台机床，它们因故障停机的概率分别为0.01和0.02，则这两台机床同时因故障停机的概率为0.03. ( )三、填空题1．在10件产品中有3件次品，若从中任取2件，被抽到的次品数用ξ表示，则2ξ=表示的随机事件为．2．盒中有3个白色的球和5个红色的球，任取出一个球，取出的是红色的概率为．3.10件产品中有2件次品，任取3件，设取出的3件产品中所含正品数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为．4．从甲、乙、丙3人中，任选2人参加社会实践，甲被选中的概率为．5．某气象站天气预报的准确率为0.8，一周中播报准确的次数为ξ，则2ξ=的概率为．（用式子表示）四、解答1．口袋里装有3个黑球与2个白球，任取3个球，求取到的白球的个数ξ的概率分布．2.口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取1个球，有放回地取3次，求所取过的3个球中恰有两个黑球的概率.高考链接1.(2014年) 已知离散型随机变量ξ的概率分布为则(1)Pξ==( )．A .0.24 B. 0.28 C.0.48 D.0.522.(2019年) 一口袋里装有4个白球和4个红球现在从中任取3个球，则取到既有白球又有红球的概率 .3.(2018年) 若将一枚硬币抛3次，则至少出现一次正面的概率为 .4.(2016年) 从1，2，3，4，5中任选3个数字组成一个无重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为 .5.(2017年) 取一个正方形及其外接圆，在圆内随机取一点，该点取自正方形内的概率为．积石成山1.某单选题要求从A 、B 、C 、D 四个选项中，选择一个正确答案，假设考生不会，随机地选择了一个答案，则他答对此题的概率是（）．A.1B.12C.13D.142. 某乐队有11名乐师，其中男乐师7人，现该乐队要选出一名指挥,则选出的指挥为女乐师的概率为（）．A.711B14C.47D.4113. 已知A 、B 是互斥事件，若1()5P A=,1()2P A B+=，则()P B的值是（）．A .45B.710C.310D.1104. 袋中装有3个黑球和2个白球一次取出两个球，恰好是黑白球各一个的概率（）．A. 15B.310C.25D.355. 5人站成一排照相，其中甲乙二人相邻的概率为（）．A. 25B.35C.15D.146. 一个箱子中有6个除了颜色之外完全一样的球，其中2个是红色的，4个是黑色的，那么在里面随机拿出一个是红色的概率是多少？（）．A. 12B.13C.14D.167. 掷一枚质地均匀且六面上分别有1，2，3，4，5，6点的骰子，则向上一面点数大于4的概率为（）．A. 12B.13C.23D.148. 抛掷一枚质地均匀的骰子，则向上一面出现偶数点概率是（）．A.12B.13C.16D.19.把一枚均匀的硬币连抛5次，得到5次国徽向上的概率为（）．A. 132B.532C.316D.313210.一副扑克牌去掉大小王，任意抽出一张不是黑桃的概率为（）．A. 14B .13C.12D.34概率答案一、选择题二、判断题三、填空题1.｛任抽2件，有2件次品｝.2. 58解析：151858CpC==.3. 1，2，3.4. 23解析：枚举法：选派方法有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙）共3种，其中甲被选中有2种，故所求概率为 23P =.5. 22570.8(10.8)C ⨯⨯-解析：设A =｛播报一次，准确｝，则()0.8P A =,所以2257(2)0.8(10.8)P C ξ==⨯⨯-四、解答题1. 分析：任取3球属于古典概型，服从的分布为离散型随机变量的概率分布. 解：随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，则3032351(0)10C C P C ξ===, 2132353(1)5C C P C ξ===, 1232353(2)10C C P C ξ===. 所以概率分布为2. 分析：本题为有放回的抽取，是伯努利试验，服从二项分布. 解：设所取过的3个球中含有黑球的个数为随机变量ξ，则43,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，于是 21234148(2)55125P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .高考链接1.B2.67解析：古典概率模型，则从中任意取3个球，取到既有白球又有红球的概率为122144443867C C C C C +=.3.78解析：试验发生包含的事件是将一枚硬币抛掷三次，共有328=（种）结果，满足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是反面，有1种结果，则至少一次正面向上的概率是17188-=.4.25解析：从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复的三位数，基本事件总数3560n P ==，这个三位数是偶数包含的基本事件个数122424m C P ==,∴这个三位数是偶数的概率为242605mPn===.5. 2π解析：设正方形的边长为11S=正方形，∴222Sππ⎛=⨯=⎝⎭外接圆∴该点取自正方形内部的概率为122Pππ==.积石成山。
考研概率统计重点内容及常见题型
考研概率统计重点内容及常见题型考研概率统计是研究事件发生的可能性和事件发生规律的学科。
它是数学的一个分支，也是一门重要的应用统计学科。
概率统计在各个领域中都有广泛的应用，如金融、医学、社会科学等。
对于考研概率统计的学习，以下是一些重点内容和常见题型。
一、概率论的基本概念和性质：1. 概率的定义和基本性质。
2. 随机变量及其分布函数、概率密度函数、概率质量函数的概念。
3. 随机变量的数学期望、方差、协方差的概念及其性质。
4. 大数定律和中心极限定理的概念及应用。
二、随机变量的分布：1. 常见的离散型分布，如伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2. 常见的连续型分布，如均匀分布、正态分布、指数分布等。
3. 常见分布之间的关系与转换。
4. 一些特殊分布，如伽玛分布、柯西分布、二维正态分布等。
三、随机变量的函数：1. 随机变量的函数的概念及性质。
2. 随机变量的函数的分布与数学期望的关系。
3. 一些常用的随机变量的函数，如最大值、最小值、次序统计量等。
四、多维随机变量及其分布：1. 二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布。
2. 二维随机变量的相关性、协方差、相关系数等概念及其性质。
3. 一些常见的多维分布，如二维正态分布、多项分布等。
五、参数估计：1. 点估计和区间估计的概念及性质。
2. 最大似然估计的概念和方法。
3. 置信区间的概念和构造方法。
六、假设检验：1. 假设检验的基本步骤和原理。
2. 参数假设检验的方法，如正态总体均值的检验、正态总体方差的检验等。
3. 非参数假设检验的方法，如符号检验、秩和检验等。
除了上述的重点内容，考研概率统计中还会出现一些计算题和应用题。
计算题主要是对概率、期望、方差等进行计算；应用题主要是通过给定的场景和问题，运用概率统计的知识进行分析和解决问题。
在复习过程中，要注重理论知识的记忆和理解，同时也要多做一些相关的练习题和真题，加强对知识的运用能力。
概率的知识归纳与题型总结
概率的知识归纳与题型总结一、概率知识点框架图P(`A)＝1－P(A)对立事件互斥事件概率的基本性质P(A＋B)＝P(A)＋P(B)古典概型几何概型P(B | A)＝用随机模拟法求概率n次独立重复试验恰好发生k次的概率为Pn(k)＝ pk(1－p)n－k条件概率概率P(A I B)＝P(A)P(B)事件的独立性X～B(1，p)E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)两点分布E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)X～B(n，p)二项分布随机变量常用的分布及期望、方差超几何分布若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋bD(Y)＝a2D(X)正态分布二、考试内容分析概率重点考查的内容是利用等可能性事件、互斥事件和相互独立事件等概率的计算求某些简单的离散型随机变量的分布列、期望与方差，及根据分布列求事件的概率；。
应用概率知识要解决的题型主要是应用随机变量的概念，特别是离散型随机变量分布列及期望与方差的基础知识，讨论随机变量的取值范围，取相应值得概率及期望、方差的求解计算；三、题型分类、考点1 考查等可能事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等。
如果事件包含的结果有个，那么。
这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。
求解等可能性事件的概率时，先确定本事件包含的有利事件数和本试验的基本事件总数，然后代入概率公式即可、常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1：(北京市东城区xx年3月高中示范校高三质量检测理)某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。
测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答、（I）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（）（II）求某选手抽到体育类题目数的分布列和数学期望、（）练习：A、B两点之间有6条网线并联，他们能通过的信息量分别为1，1，2，2，3，3。
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概率论与数理统计考点归纳第一章1.1样本空间（P2），互不相容与互斥的概念(P4)1.2概率的性质：性质4和性质6(P10)1.3古典概型（简单的）1.4全概率公式和贝叶斯公式（P21-22考大题）1.5相互独立的公式(P24)第二章2.1不考2.2—2.4考填空和选择2.5考大题第三章3.1例4（P65-66考大题），二维均匀分布(P66-67) 3.2定义2和定义4(P72,P74)3.3卷积公式(P81)第四章4.1,4.2期望，方差的性质（可能考证明题）常见分布的期望，方差（书上96-97页例1,2,3,4,和99页例7,8的结论,特别是泊松分布和指数分布）4.3协方差的性质：P103第④⑥个相关系数的性质：P105第（3）个4.4中心极限定理（P113考大题）第五章5.1统计量(P127)5.2定义1,2,3，卡方分布的期望和方差，t分布（可能考证明题）5.3定理1,2,3(P139)第六章6.1评价估计量的三条标准(P150)6.2矩估计法，最大似然估计法（考大题）6.3不考6.4记住4个置信区间（P168-170,4.1,4.2，4.3,4.4）第七章7.1，7.2假设检验的两类错误（P181填空，选择），假设检验的一般步骤（考大题）概率论与数理统计重点内容1、古典概型中相关概率的计算；2、条件概率；乘法公式；全概率公式（应用题）；贝叶斯公式（应用题）；3、如何由概率分布或者密度函数求分布函数？或者由分布函数求概率分布或密度函数？4、如何求期望？5、如何求方差？6、如何求协方差和相关系数？7、中心极限定理的应用（应用题）；8、点估计的常用方法：矩估计法和最大似然估计，尤其要注意最大似然估计法；9、假设检验；10、随机变量函数的分布函数的求法。
上述相关概念的定义，相关性质，计算公式及如何运用解决应用题等必须掌握好。
其它没有列为重点内容的也可能出现在填空题或者选择题中，但是正常情况比例不高。
试题一一、填空题（每小题3分，共30分）1. 如果事件,A B 满足AB φ=，则称事件,A B _______________。
2. 口袋里有4个红球6个白球，3个人依次从口袋里摸出一个球不放回，第二个人摸到红球的概率为3. 随机变量~(1,2)X N ，则X 的概率密度函数为：4. 随机变量~(0,1)X U ，则21~X +5. 已知2~(8)X χ，则()23D X -=6. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为(,)f x y ，则Z X Y =+的概率密度函数()Z f z =7. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为1,11,13(,)40,x y f x y ⎧-≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，则X ()f x =8. 设X 服从参数为λ的指数分布，则()D X = 9. 设~(0,1)X N ，~(0,1)Y N ，且,X Y~10. 设总体~(0,1)X N ，12,,,n X X X 是取自X 的一个样本，则1211()~n ii Xμσ-=-∑二、单选题（每小题3分，共18分）1. 对任意两个事件A 和B , 有()P B A -= ( )A. ()()P B P A -B. ()()()P A P B P AB -+;C. ()()P B P AB -D. ()()()P A P B P AB +-2. 设0.51,0~()0,xex X f x λ-⎧>⎪=⎨⎪⎩，其他则λ=（ ）。
A ．2 B.21 C.4 D.41 3. 设)(~2σμ，N X ，概率{2}P X μσ-<=（ ）A ．(2)ΦB ．1(2)-ΦC ．2(2)1Φ-D ．12(2)-Φ4. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数为221,1(,)0,x y f x y π⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他，则X （ ）A ．是[1,1]-上的均匀分布B ．是[1,0]-上的均匀分布C ．是[0,1]上的均匀分布D ．不是均匀分布 5. 随机变量,X Y ，其中23Y X =-，则XY ρ=（ ） A ．2 B ．3- C ．1 D ．1-6. 设总体2~(,)X N μσ，其中2,μσ未知，12,,,n X X X 是取自X 的一个样本，则μ的置信度为1α-的置信区间是： A．/2/2X u X u αα⎛-+ ⎝B．X u X u αα⎛-+ ⎝C．/2/2(1)(1)X t n X t n αα⎛--+- ⎝D．(1)(1)X t n X t n αα⎛--+- ⎝三、计算题（每小题8分，共32分）1. 已知随机变量)2,1(~N X ，求随机变量32+-=X Y 的密度函数2. 已知连续型随机变量的密度函数是：⎩⎨⎧≤>=-002)(2x x e x f x求：)3(>X P 和)|3(22a X a X P >+>3. 一个学校有100盏电灯，每盏灯的功率是100瓦，设每盏灯打开的概率为60%，如果总的供电功率只有7千瓦，求电网不会超负荷的概率。
4. 某种产品的销量服从正态分布，往年的日均销量为53.6吨，标准差为6吨，今年由于市场变动较大，因而需要研究一下日均销量是否有显著变化，随机抽取9日的销量数据，得到这9日平均销量为49.2吨，假设标准差不变，在显著性水平为05.0=α的条件下检验现在的日均销量量与往年是否有显著差异。
（64.105.0=U ，96.1025.0=U ）四、综合题（每小题10分，共20分） 1. 已知随机变量X 的密度函数是：[]1,8()0,x f x ∈=⎩其他()F x 是X 的分布函数，求随机变量()Y F X =的分布函数。
2. 若随机变量X 的密度函数为()()f x f x =-。
试征：（1）1(0)2F =，（2）对任意实数a ，有01()()2a F a f x dx -=-⎰ 参考答案一、填空题（每小题3分，共30分） 1.互不相容2. 0.43.2(1)4x --4. (1,3)U5. 646.(,)f z y y dy +∞-∞-⎰或(,)f x z x dx +∞-∞-⎰7. 1,1120,x ⎧-≤≤⎪⎨⎪⎩其他 8. 21λ 9. (2)t 10. 2(1)n χ-二、单选题（每小题3分，共18分）1. C2. A3. C4. D5. D6. C三、计算题（每小题8分，共32分） 1. 显然32+-=X Y 也是正态分布。
……………………………………………………………………（2分） ()(23)2()31E Y E X E X =-+=-+=()(23)4()D Y D X D X =-+== ………………………………………………………………（5分）所以32+-=X Y 的密度函数为：2(1)16y --……………………………………………………（8分）2.263(3)2x P X e dx e +∞-->==⎰ …………………………………………………………（4分）2222(3)22622(3)(3|)()a a P X a e P X a X a e P X a e-+-->+>+>===> ………………………………………（8分）3. 设X 表示亮灯数，~(100,0.6)X b因为总供电功率是7000瓦，而每盏灯是100瓦，所以亮灯数不超过70个就不会超负荷。
据中心极限定理，(70)P X P ≤=≤≈Φ4. 0H ：53.6μ=计算检验量49.253.6 2.2 1.962U -===>所以可以认为加油量发生了显著的变化。
四、综合题（每小题10分，共20分）1. 易见，当1x <时，()0F x =，当8x >时，()1F x = 对于[]1,8x ∈，有1(1xF d t x==-⎰……………………………………………………（4分） 设()G y 是随机变量()Y F X =的分布函数，显然，当0y <时，()0G y =，当1y ≥时，()1G y =当[]0,1y ∈，有()33()()G y P Y ⎡⎤=≤=≤=≤=≤+=+=⎣⎦……………………………………………………（9分） 于是，()Y F X =的分布函数为0,0(),0111y G y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩……………………………………………（10分）2.对任意实数a ，有()()()aaaaF a f x d x ft d-∞-∞∞-∞-==--==-=-⎰⎰⎰⎰令a =，得1(0)2F =。
……………………………………………………… （5分） 于是1()2a F a -∞-=⎰………………………………………………（5分）试题二广东商学院试题纸2005-2006学年第二学期一、填空题（每小题2分，共20分）1、设事件A 与B 相互独立，8.0)(=A P ,5.0)(=B P ,则)(B A P -＝2、某运动员每次射击击中目标的概率为p ，连续射击5发子弹，没有一发击中目标的概率为3、设随机变量X 的概率分布为,5.03.02.0101PX -则}1{2=X P ＝4、已知连续型随机变量X~f(x)=⎩⎨⎧=≤≤k ，bx a k 则其他,0,5、设随机变量X 服从参数为 λ 的泊松分布，则DX=6、设随机变量X 服从参数为 λ 的指数分布，则{}==1X P7、设),0(~2σN X ，若9.0}|{|=<k X P ，则=<}{k X P8、设总体)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 相互独立，则随机变量YX n ~9、设12),(~+=X Y x f X X ，则)(y f Y ＝10、10个乒乓球中有6个新球，4个旧球，从中任取两个，已知所取的两个球中有一个是旧球，则另一个也是旧球的概率为 二、选择题（每小题2分，共10分）1、设事件A 与B 互不相容，P(A)=0.5，P(B)=0.2，则P(A+B)=（ ） A ． 0.5 B ． 0.6 C ． 0.7 D ． 0.82、设X 为随机变量，且DX=(EX)2，则X 可能服从（ ）.A ． 二项分布B ． 泊松分布C ． 指数分布D ． 正态分布3、设，其他⎩⎨⎧≤≤=031)(~x cxx f X 则=c （ ）。
A ．2 B.21 C.4 D.41 4、设)(~2σμ，N X ，则随着2σ的增大，概率}{σμ<-X P （ ）A ．单调增大B ．单调减少C ．保持不变D ．增减不定5、X 与Y 是两个随机变量，且X b a Y 22-=，其中0,≠b a ，则X 与Y 的相关矩阵为（ ）A ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1111 B ． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001 C ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111 D ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1111三、计算题I （每小题6分，共24分）1、现有产品5件,其中有2件次品,3件正品,从中随机地抽取3件,求抽得的次品数的概率分布。