第三章晶格振动和晶体的热学性质

长声学波
2
O
m
A
2
M
π
o
πq
a
a
长声学波
长声学支格波相邻原子都是沿着同一方向振动的。
长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子 以相同的振幅和位相作整体运动。因此，长声学波代表了 原胞质心的运动。
长光学波:
(
A B
)
m M
;
MA mB 0
长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说， 长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
由于周期性，考虑 0q / a 的区间
当 q 2 / 0
2
m
sin
qa 2
m
sin
qa 2
ma / 2q
与 之间是线性关系
速度 v ma / 2
（弹性波的特点）
声学支格波（声学波）: 长声学波为弹性波；频率较低
q 0, 0
(2)q空间的周期对称性
色散关系
2 sin qa
其余的(3p-3)支格波的频率比声学波的最高频率还要高
-------光学支格波
波矢q的取值和范围
设晶体有N个原胞,原胞的基矢为： a1, a2 , a3;
沿基矢方向各有N1、N2、N3个原胞, N N1 N 2 N 3 (可和晶体的体积类比)
根据玻恩---卡门周期性条件：
u
n s
u
n1, n2, n3 s
2
(2 cos qa)A (2 M 2 )B 0
2
(2 m 2 )A (2 cos qa)B 0
2
(2 cos qa)A (2 M 2 )B 0
2 上式看成是以A、B为未知数的线性齐次方程.
以A、B为未知数的线性齐次方程有非零解的条件为系数 行列式为零：
2 m 2 2 cos qa
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
晶格振动：组成晶体的原子并非固定于格点位置，而是以 格点为平衡位置作热振动
晶格振动的强弱依赖于温度，对晶体热学性质起重要作用 （热容、热膨胀和热传导等）。另外，对晶体的光学性质 和电学性质等也有重要影响。
点阵动力学的建立
1907年，Albert Einstein发表了题为“Planck辐射理论与比热 的理论”，第一次提出比热的理论。更重要的，第一次提出经典 力学的点阵振动和量子力学的谐振子能级可以对应。 1912年，Peter Joseph William Debye认识到，Einstein提出 的比热公式在极低温下与实验不符合，是因为没有考虑到晶体 中的原子振动频率不是单一的。后来德拜通过谐振理论求得近 似的原子振动的频率分布，得到与实验更加符合的比热公式。 1912年，Max Born和Theodore von Karman发表了题为“论空间 点阵的振动的论文”。提出晶体中原子振动应该是以点阵波的形 式存在，是点阵动力学的奠基之作。 1920-1950年，点阵动力学被应用到晶体的热力学性质、热传导、 电导、介电、光学和X射线衍射等诸多方面。比较完整地总结在 Max Born和黄昆的书“晶体点阵的动力理论”中。 1950年以后，发展了测量点阵动力学性质的实验：中子衍射。
sin 2
1 2
qa
2
波矢q范围 B--K条件
π q π
a
a
un,1 u(n N ),1
波矢q取值
q 2 l
aN
(N / 2l N / 2)
格波的支数=原胞内原子的自由度数， 晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数。
一维单原子链，设晶体有N个原胞。
u
n
s
表示顶点位矢为
Rn
的原胞内
第s个原子离开平衡位置在方向的位移。
(=x, y, z)
rs Rn
运动方程和解
仿照一维的运动情况，我们可以写出每个原子的振动方程：
n
msu
s
(=x, y, z；s=1,2,3,···,p)
[共有3p个方程]
在简谐近似下，上式的右端是位移的线性代数式。
试探解： u
2
(q)
mM mM
1
1
4mM (m M
)2
sin2
1 2
1
qa
2
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
得：qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
在第一布里渊区，q取值在区间 ( , )
aa
对应于 N / 2l N / 2 ( l 只能取N个值)
与单原子链比较可知，对应于每个波矢q，一维双原子链出现 了两个频率不同的振动模式。由于不等价的q的数目与原胞数 目相等，因此，双原子链共有2N个不同的振动模式。（N个波 矢数，2N个频率数）
m 2
具有周期对称性，周期为2 / a ,即
在晶格中具有物理意义的波矢仅存在于 / a q / a 的区间
举例说明 un Ae i(qnat)
第一布里渊区
(1) (2)
对格点振动有贡献的是原 子，两原子之间的振动在 物理上没有意义。
/ a q / a 第一布里渊区（倒格子空间）
倒格子空间-波矢空间
n1,
n2,n3 s
N3
e e i
(
Rn
q
t
)
i
(
Rn
q
N
2
q
a
2
t
)
e e i
(
Rn
q
t
)
i
(
Rn
q
N
3q
a3
t
)
N1q a1 2l1
N 2q a2 2l2
N3q a3 2l3
q
a1
2l1 N1
q a3
2l3 N3
q a2
光学波
声学波
光学支格波，相邻原 子振动方向是相反的。
声学支格波，相邻原子振 动方向是相同的。
模型
一维问题的处理步骤:
运动方程 试探解
Mun,1 un,2 un1,2 2un,1 mun,2 un1,1 un,1 2un,2
色散关系
1
2 (q)
mM mM
1
1
4mM (m M )2
2 cos qa
2
2
2 M 2
0
Mm 4
2
(M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
Mm 4
2 (M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
解关于2的一元二次方程得：
2
(q)
mM mM
1
1
4mM (m M )2
sin2
1 2
1
qa
2
—最简单的一维双原子链的色散关系
1)色散曲线
un Ae i(qnat)
代入运动方程得：
利用
，和
得：
即： 2
m
sin
qa 2
m
sin
qa 2
其中
m 2
m
一维Bravais格子的色散关系
（频率与波矢之间的关系）
色散概念来自于光学，不同频率的光在同一介质中的传播速 度不同，于是产生色散，频率与波矢之间的关系叫色散关系
讨论：
（1）长波极限
(3)相邻原子的振幅之比
(2 m 2 )A (2 cos qa)B 0
2
(2 cos qa)A (2 M 2 )B 0
2
A
2
cos qa 2
B 2 m 2
对于q
0时:将
(
2
)
1 2
和
a( 2
mM
1
)2
q
分别代入原方程：
得两原子的振幅之比为：
2
A
m
( B) M ;
长光学波
A ( B) 1.
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
对应于 N / 2l N / 2 ( l 只能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格 振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
aa
面积为： 2 2
a
第一BZ为一个原胞的大小
§3.2 三维晶格的振动
模型: 设三维无限大的晶体,每个原胞中有p个原子，相当于每个
基元有p个原子，各原子的质量分别为 m1, m2 ,, mp ; 原胞中 这p个原子平衡时的相对位矢分别为 r1, r2,, rp 。
Rn rs 表示平衡时顶点位矢为 Rn 的原胞内第s个原子的位矢；
π
o
πq
a
a
在q 0时长波近似的情况下，声学支格波与弹性波的
情况类似。
光学支名字的由来，是由于在离子晶体中，可用远红外 光波的电磁场激发此格波。
光学支频率的变化不大；在声学支的频率极大值和光 学支的频率极小值之间，存在一个频率空隙。
2
2
O
m
A
2
M
π
o
πq
a
a
2)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
n
s
A eiRn rs .qt s
AseiRn .qt
将试探解代入运动方程中，指数项可消去，得到3p 个线性
齐次方程：ms 2 As (=x, y, z；s=1,2,3,···,p)
A s有非零解,必须其系数行列式为零
3p个的实根
在3p个实根中，其中有3个当波矢q 0时,