CB4不等式及不等式组应用练习题
2024年中考九年级数学专项巩固复习：不等式与不等式组综合解答题(含答案)
(2)该学校计划用不超过8000元的资金购买A，B两种垃圾桶共20组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
3．学校准备安装校园人脸识别系统，计划购买人脸识别通道闸机和门禁机．已知通道闸机的单价是门禁机单价的3倍，购买2台通道闸机和4台门禁机共需7500元．
14．“母亲节”前夕，下冯商店根据市场调查，用3000元购进康乃馨盒装花，上市后很快售完，接着又用4200元购进蓝玫瑰盒装花．已知蓝玫瑰盒装花所购花的盒数是康乃馨盒装花所购花盒数2倍，且蓝玫瑰盒装花每盒花的进价比康乃馨每盒盒装花的进价少3元．
(1)求康乃馨盒装花每盒的进价是多少元？
(2)下冯商店响应习总书记“爱我母亲”的号召，商店决定再次购进康乃馨盒装花和蓝玫瑰盒装花两种盒装花，共1000盒，恰逢花市对这两种盒装花的价格进行调整：康乃馨盒装花每盒进价比第一次每盒进价提高了 ，蓝玫瑰盒装花每盒按第一次每盒进价的9折购进．如果下冯商店此次购买的总费用不超过8000元，那么，下冯商店最少要购买多少盒蓝玫瑰盒装花？
12．定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程 的解为 ，不等式组 的解集为 ，因 ，故方程 是不等式组 的子方程．
．
(1)在方程① ，② ，③ 中，不等式组 的子方程是（填序号）；
(2)若不等式组 的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是；
15．(1)甲、乙两人每天各加工 ， 个这种零件
(2) 天
(3) 天
(1)求通道闸机和门禁机的单价．
(2)已知该校园内至少需要安装10台通道闸机，若购买通道闸机和门禁机共40台，且费用不超过48000元，请列出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少资金多少元？
2024年高考数学----基本不等式及不等式的应用(分层集训)习题
1 2x
+
(
2 的最小
2)x
值为 ( )
A.2 2 B.2 3 C.4 D.3 2
答案 C
2.(多选)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,则 ( )
A.a2+b2≥ 1
2
B.2a-b> 1
2
C.log2a+log2b≥-2 D. a + b ≤ 2
答案 ABD
3.(2021天津,13,5分)若a>0,b>0,则
基础篇
考点一 基本不等式及其应用
1.(2022广东深圳外国语学校月考,6)在下列函数中,最小值为2的是 ( )
1
A.y=x+ x
1
B.y=lg x+ lg x (1<x<10)
x2 2x 2
C.y= x 1 (x>1)
D.y=sin
x+
1 sin
x
0
x
2
答案 C
2.(2022重庆西南大学附中月考)已知x,y>0,x+9y+xy=7,则3xy的最大值为 () A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C
答案 B
4.(2022石家庄二中月考,6)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值 时,x+4y的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 B
5.(2022重庆涪陵实验中学期中,6)已知x>0,y>-1,且 4 + 1 =3,则x+y的最
x y 1
小值为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1 答案 C
北京四中高考数学总复习 基本不等式基础巩固练习
北京四中高考数学总复习 基本不等式基础巩固练习1．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．b a 11< B ．b a 11> C ．2a b > D ．22a b >2．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值3．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈C ．2y = D ．1y x =4．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( )A ．3B ．51C ．4D ．55．当=x ______时，函数)2(22x x y -=有最_______值，且最值是_________。
6．设实数,x y 满足2210x xy +-=，则x y +的取值范围是___________。
7．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值是________。
8．设,x y R +∈ 且191x y +=,则x y +的最小值为________.9．已知0,0,1a b a b ≥≥+=21+b 的范围是____________。
10．若0,2y x π<≤<且tan 3tan ,x y =则x y -的最大值为________.11．设0≠x ，则函数1)1(2-+=x x y 在x =________时，有最小值__________。
12．函数4522++=x x y 的最小值为多少？13．已知函数221mx ny x ++=+的最大值为7，最小值为1-，求此函数式。
14．已知△ABC 的三边长是,,a b c ，且m 为正数，求证：a b ca mb mc m +>+++。
2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练【含答案】
比方案一更划算．故选 B.] 7．ABD [对于 A，因为 x< ，所以 2x－1<0，1－2x>0，所以 2x＋
＝(2x－1)
＋ ＋1＝－
＋1≤－2
· ＋1＝－1(当且仅当 x
＝0 时等号成立)，此时 2x＋ 有最大值为－1，故 A 正确；
对 于 B ， 因 为 x> － 2 ， 所 以 x ＋ 2>0 ， 所 以 ＝
恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 四、解答题 11．某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形 ABCD，如图)上设计三个等 高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴 影部分)的面积之和为 1 440 cm2．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方 向的留空宽度均为 2 cm.当直角梯形的高为多少时，用纸量最少(即矩形 ABCD 的 面积最小)?
＝
≥2
· ＝4，当且仅当
＝ ，即 x＝2 时取等号，
故 B 正确；
对于 C，因为 x>0，y>0，所以 x·2y≤
，即 2xy≤
，因为 x＋2y＋2xy
＝8，所以 2xy＝8－(x＋2y)，所以 8－(x＋2y)≤
，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)
－32≥0，解得 x＋2y≤－8(舍去)或 x＋2y≥4(当且仅当 x＝2y 时等号成立)，所以 x＋2y 的最小值为 4，故 C 错误；
对于 D， ＝
＝－
＋1≤－2 ＋1＝－5，当且仅
当－(x－1)＝－ ，即 x＝－2 时，等号成立．故 D 正确．]
8．ABD [因为 2x＋y＝3，且 x，y 均为正实数，所以由基本不等式得 2x＋y＝
至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小
不等式(组)应用题(最优方案)(北师版)(含答案)
不等式（组）应用题（最优方案）（北师版）一、单选题(共7道，每道14分)1.为改善城市生态环境，实现城市生活垃圾减量化、资源化、无害化的目标，某市决定从3月1日起，在全市部分社区试点实施生活垃圾分类处理．某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．A，B两种类型处理点的占地面积、可供居民使用幢数及造价见下表：已知可供建造垃圾初级处理点占地面积不超过，该街道共有490幢居民楼．设建造A类型处理点x个．（1）满足条件的建造方案共有几种？根据题意，所列方程（组）或不等式（组）正确的是( ) A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：不等式（组）应用题2.（上接第1题）（2）设建造垃圾处理点的总费用为w万元，则w与x之间的函数关系式为__________；当x=________时，费用最少．横线处依次所填正确的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数的增减性3.2011年11月6日下午，广西第一条高速铁路-南宁至钦州铁路扩能改造工程正式进入铺轨阶段．现要把248吨物资从某地运往南宁、钦州两地，用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往南宁、钦州两地的运费如下表：（1）如果安排9辆货车前往南宁，其余货车前往钦州，设前往南宁的大货车为a辆，则表格中①②③所对应的代数式（表示辆数）分别是( )A.12-a，9-a，a-1B.8-a，9-a，a+3C.9-a，12-a，a-1D.9-a，8-a，a+3答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：解方程组4.（上接第3题）（2）设前往南宁、钦州两地的总运费为w元，则w与a的函数关系式为( )（写出自变量的取值范围）A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用5.（3）在第3题，第4题的条件下，若运往南宁的物资不少于120吨，则当a=_____时，总运费最少，最少总运费为_______元．横线处依次所填正确的是( )A.8，11760B.5，11200C.9，11480D.5，11550答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数应用题6.在某市开展城乡综合治理的活动中，需要将A，B，C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D，E两地进行处理．已知运往D地的数量为90立方米，运往E的数量为50立方米．（1）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地的数量不超过12立方米，则A，C两地运往D，E两地共有( )种方案．A.4B.3C.2D.1答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一元一次不等式组的应用7.（上接第6题）（2）已知从A，B，C三地把垃圾运往D，E两地处理所需费用如下表：在（1）的条件下，最少费用是( )元．A.2870B.2873C.2876D.2879答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数的应用。
北京四中高考数学总复习 不等式的综合应用基础巩固练习
北京四中高考数学总复习 不等式的综合应用基础巩固练习1．设m ＞1，在约束条件 1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A ．（1，1+） B ．（1+∞ ） C ．（1,3 ） D ．（3，+∞ ）2．已知函数3()f x x x =+，x 1，x 2，x 3∈R ，x 1+x 2＜0，x 2+x 3＜0，x 3+x 1＜0，那么123()()()f x f x f x ++的值（ ）A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．正负都有可能3．已知关于x 的不等式(ax －5)(x 2－a)＜0的解集为M ，若3∈M 且5∉M ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5(,)(9,)3-∞⋃+∞B ．[1,25)C ．5[1,)(9,25]3⋃D ．[1,9)4．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则（ ）A．1m ≤--或1m ≥-+．1＜m ＜2C．1m ≥ D．12m -+≤<5. 己知a>0，a 2-2ab+c 2=0，bc>a 2，比较a 、b 、c 的大小______；6．不等式3x 33x 2x )21(22---<的解集与不等式x 2+ax+b<0是同解不等式，那么a,b 的值是______； 7．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,2x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是 ；8. 已知1,0()-1,0x f x x ≥⎧=⎨<⎩，则不等式x+(x+2)f(x+2)≤5的解集是________； 9．已知232(0,0)x y x y+=>>，则xy 的最小值是____________； 10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=________吨。
人教版高中数学选修4-5 1.1.1《不等式的基本性质》练习及答案
第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1不等式1．1.1不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案: ＞0＝0＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1比较大小：x2＋3________x2＋1.答案: ＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c .(3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n (n ∈N ，且n ＞1)．(6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞n b (n ∈N ，且n ＞1)．思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b .思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b .答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( )A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3 答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a －d ＞b －c，从而有a d ＜b c. 答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2.答案：＜4．“a ＞b ”与“1a ＞1b ”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( )A ．ab ＞acB ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b >2.其中正确的有() A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( )A ．a 3>b 3 B.1a <1bC ．a b >1D ．lg(b －a )<0答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y (0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b； ②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解．∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b，故①正确． 构造函数y ＝x c .∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c ，故②正确．∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．。
不等式分式练习
不等式与分式例1 2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行.观看帆船比赛的船票分为两种:A种船票600元/张,B种船票120元/张.某旅行社要为一个旅行团代购部分船票,在购票费不超过5000元的情况下,购买A,B两种船票共15张,要求A种船票的数量不少于B 种船票数量的一半.若设购买A种船票x张,请你解答下列问题.(1)共有几种符合题意的购票方案?写出解答过程.(2)根据计算判断哪种购票方案更省钱.例2已知关于x的不等式组0,245x bx-≤⎧⎨-≥⎩的整数解共有3个,则b的取值范围是______.例3已知13xx+=,求2421xx x-+的值.1.下列各式与xy相等的是( )A．22xyB.22yx++C.2xyxD.2a ba+3.分式(1)(2)(2)(1)x xx x+---有意义的条件是（）A．x≠2 B.x≠1 C.x≠1或x≠2 D.x≠1且x≠25．如果把分式x yx y+-中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．11a+B．1 C．11a-D．-17．化简222a ba ab-+的结果为（）A．ba-B．a ba-C．a ba+D．-b二、填空题9．若a2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子a bb a-÷（a+b）的值为_______________.11.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是____________千米/时.13.化简4xyx yx y⎛⎫+-⎪+⎝⎭·4xyx yx y⎛⎫-+⎪-⎝⎭=___________.15.当x =___________时，11x -有意义. 17.已知方程23233x x =---有增根，则增根一定是__________. 19.化简2x xy x +÷22xy y xy+的结果是__________. 三、解答题20.化简3x y x y -+÷2222269x y y x xy y x y--+++.22.解下列方程. (1) 222(1)130x x x x+++-=；（3）1233x x x =+--；23.若25452310A B x x x x x -+=-+--，求A ，B 的值.25.桂林市城区百条小巷改造工程启动后，甲、乙两个工程队通过公开招标获得某小巷改造工程.已知甲队完成这项工程的时间是乙队单独完成这项工程时间的54倍，由于乙队还有其他任务，先由甲队独做55天后，再由甲、乙两队合做20天，完成了该项改造工程任务.（2）请根据题意及上表中的信息列出方程，并求甲、乙两队单独完成这条小巷改造工程任务各需多少天；（3）这项改造工程共投资200万元，如果按完成的工程量付款，那么甲、乙两队可获工程款各多少万元？一、选择题2．已知关于x 的不等式（1-a ）x >2的解集为21x a<-，则a 的取值范围是（ ） A ．a >0B ．a >1C ．a <0D ．a <14．若三个连续的自然数的和不大于12，则符合条件的自然数有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6.函数y =x 的取值范围是（ ）A ．x >-2B ．x ≥-2C ．x ≠-2D ．x ≤-28.如果a<b <0，那么下列不等式中错误的是（ ）A ．ab >0B ．a+b <0C ．a b<0 D ．a -b<010．若不等式组0,122x a x x +≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是（ ） A ．x >-1B ．a ≥-1C ．a ≤1D ．a <1二、填空题12.当a<5时,不等式51ax x a ≥++的解集是________.14．如果一元一次不等式组3,x x a>⎧⎨>⎩的解集为x >3，那么a 的取值范围是______.16．若代数式212x--的值不小于133x+的值，则x的取值范围是________.18．若关于x的不等式组41,32x xx a+⎧>+⎪⎨⎪+<⎩的解集为x<2，则a的取值范围是_________.三、解答题20．解下列不等式（组）.（1）382(10)127x xx---+≥;（（3）111,232(3)3(2)0;x xx x⎧->-⎪⎨⎪---<⎩21．已知方程组7,13x y ax y a+=--⎧⎨-=+⎩的解x为非正数，y为负数，求a的取值范围.23．若干名学生合影留念，照相费为2.85元（含两张照片）.若想另外加洗一张照片,则又需收费0.48元,预定每人平均交钱不超过1元,并都能分到一张照片,则参加照相的至少有几名学生?买方式?25.据统计，2008年底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至2008年底户籍人口平均每两年约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度.（本题计算结果精确到个位）（1）预计2012年底义乌市户籍人口约是多少人；（2）为确保2012年底义乌市人均耕地面积不低于现有水平，预计2008年底至2012年底平均每年耕地总面积至少应该增加多少亩.。
人教课标版（B版）高中数学选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法绝对值不等式的解法习题2
人教课标版（B版）高中数学选修4-5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法绝对值不等式的解法习题2单元测试一、选择题(每小题5分,共60分)1.若x ＜y ＜0,A=|x|,B=|y|,C=21|x+y|,D=xy ,则( )A.B ＜D ＜C ＜AB.A ＜D ＜C ＜BC.A ＜C ＜D ＜BD.D ＜B ＜C ＜A解析：∵x ＜y ＜0,∴|x|＞|y|,即 A ＞B. A-C=|x|21-|x+y|=-x+2221xy y x -=+＞0.∴A ＞C. 又∵21|x+y|=21(-x-y)＞21·xy y x =-?-)()(2,∴C ＞D.B 2-D 2=|y|2-(xy )2=y 2-xy=y(y-x)＜0,∴B ＜D.故B ＜D ＜C ＜A.答案：A2.设a 、b ∈R ,且a+b=4,则2a +2b 的最小值是( )A.4B.22C.8D.42解析：2a +2b ≥b a b a +=?22222=8.答案：C3.a ＞b ＞1,P=b a lg lg ?,Q=21(lga+lgb),R=lg(2ba +),则( )A.R ＜P ＜QB.P ＜Q ＜RC.Q ＜P ＜RD.P ＜R ＜Q解析：∵a ＞b ＞1,∴lga ＞0,lgb ＞0.∴lga+lgb≥b a lg lg 2,即21(lga+lgb)＞b a lg lg .∴Q ＞P.又∵Q=21(lga+lgb)=21lg(ab)=ab lg ,且2ba +≥ab ,∴lg 2ba +＞lg ab ,即R ＞Q.综上,R ＞Q ＞P.答案：B4.已知a ＞b ＞0,则下列各式中成立的是( ) A.b ab a ba =++22 B.b ab a b a >++22 C.a bb a ba =++22 D.b ab a b a <++22解析：)()(22b a b b a a b a b a ++++=++, ∵a ＞b ＞0, ∴ab a b a b b a >++++)()(. ∴b a b b a a b a <++++)()(,即b a b a 22++＜b a . 答案：D5.已知a 、b ∈R ,且a≠b,a+b=2,则( )A.1＜ab ＜222b a +B.ab ＜1＜222b a + C.ab ＜222b a +＜1 D.222b a +＜ab ＜1 解析：∵a 2+b 2≥2ab, ∴222b a +≥ab,当且仅当a=b 时“=”成立. ∵a+b=2,∴a=b=1,此时ab=1.又∵a≠b,∴222b a +＞1. ab ≤a+b,即ab≤(a+b)2=1,当且仅当a=b 时“＝”成立.又∵a≠b,∴ab ＜1.∴ab ＜1＜222b a +. 答案：B6.若a,b,c ∈R ,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是( )A.a 2+b 2+c 2≥2B.(a+b+c)2≥3C.cb a 111++≥23 D.a+b+c≤3 解析：由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,a 2+c 2≥2ac,得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac=1.(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac=2+a 2+ b 2+ c 2≥3.故B 正确.答案：B7.若a ＞0,a≠1,P=log a (a 3+1),Q=log a (a 2+1),则P 、Q 的大小关系是( )A.P ＜QB.P ＞QC.a ＞1时,P ＞Q;0＜a ＜1时,P ＜QD.不确定解析：若a ＞1,则a 3+1＞a 2+1且函数y=log a x 在(0,+∞)上单调递增.∴log a (a 3+1)＞log a (a 2+1).若0＜a ＜1,则a 3+1＜a 2+1,且函数y=log a x 在(0,+∞)上单调递减.∴log a (a 3+1)＞log a (a 2+1).综合可知，log a (a 3+1)＞log a (a 2+1).答案：B8.设a ＞2,x ∈R ,M=a+22-+a a ,N=22)21(-x ,则M 、N 的大小关系是( ) A.M ＜N B.M ＞N C.M≤N D.M≥N解析：∵a ＞2,∴a-2＞0.∴M=a+22-a =a-2+22-a +2 ≥22)2(2-?-a a +2=2+22.∵函数y=(21)x 在(-∞,+∞)上单调递减,x 2-2≥-2，∴N=22)21()21(2--≤x =4且2+22＞4.∴M ＞N.答案：B9.已知△ABC 中,∠C=90°,则c ba +的取值范围是( )A.(0,2)B.(0,2］C.(1,2］D.［1,2］解析：∵∠C=90°,∴c 2=a 2+b 2,即c=22b a +.又有a+b ＞0,∴1＜22)(222=++≤++=+b a b a b a ba cb a .答案：C10.若a 、b ∈R 且a 2+b 2=10,则a-b 的取值范围是( )A.［-25,25］B.［-210,210］C.［-10,10］D.［0,10］解析：（a-b)2=a 2+b 2-2ab=10-2ab,又∵a 2+b 2≥2ab,a 2+b 2≥-2ab,∴-10≤2ab≤10.∴0≤(a -b)2≤20,即52-≤a -b≤52.答案：A11.已知a 、b 是两正数,且关于x 的方程x 2+ax+2b=0和x 2+2bx+a=0都有实根,则a+b 的最小可能值是( )A.5B.6C.8D.16解析：由题意知a 2-8b≥0,4b 2-4a≥0,即b 2≥a,a 2≥8b.∴b 4≥8b.∴b≥2,a≥4.∴a+b ≥6.答案：B12.设x ＞y ＞1,0＜a ＜1,则下列不等式成立的是( )A.x -a ＞y -aB.a x ＞a yC.a -x ＞a -yD.log a x ＞log a y 解析：∵x ＞y ＞1,0＜a ＜1,∴-x ＜-y ＜-1.∴-1＜-a ＜0.根据指数函数、幂函数、对数函数的单调性,可知x -a ＜y -a ,a x ＜a y ,log a x ＜log a y,a -x ＞a -y . 答案：C二、填空题(每小题4分,共16分)13.设实数x,y 满足x 2+(y-1)2=1,当x+y+d≥0恒成立时,d 的取值范围是_________.解析：要使x+y+d≥0恒成立,则d≥-x-y 恒成立,即d≥ max (-x-y).设-x-y=t.又∵x 2+(y-1)2=1,根据数形结合法将x 2+(y-1)2=1看作圆的方程可求得t ∈［12,21--］. ∴d≥12-.答案：［12-,+∞)14.当_________时,333b a b a -<-成立.解析：要333b a b a -<-成立,就是使33323233b a b a a ?+--b ＜a-b 成立,即使332323b a b a <成立,即使ab 2＜a 2b 成立.由ab 2-a 2b ＜0,得ab(b-a)＜0.∴当ab ＞0且b ＜a 或ab ＜0且b ＞a 时原不等式成立.答案：ab ＞0且a ＞b 或ab ＜0且b ＞a15.设a 、b 为正数,α为锐角,M=(a+αsin 1)(b+αcos 1),N=(ab +2)2,则M 与N 的大小关系是_________.解析：M=ab+ααααcos sin 1sin cos ++b a , N=222++ab ab , ∵ααα2sin 22sin cos ab b a ≥+, 且sin2α≤1,∴ab b a 22sin cos ≥+αα, ααα2sin 2cos sin 1=≥2. ∴M≥N.答案：M≥N16.已知ab+cd ＞ad+bc,则实数a,b,c,d 满足的条件是_________.(答一组即可)答案：>>>><>0,0,,d b c a d b c a d b c a 或或等三、解答题(17—21题每题12分,22题14分,共74分) 17.已知α∈(0,π),求证:2sin2α≤ααcos 1sin -. 证明：(作商比较法)∵0＜α＜π,∴sinα＞0,1-cosα＞0. ∴ααcos 1sin -＞0. ααααααsin cos sin 4cos 1sin 2sin 2?=-·(1-cosα) =4cosα(1-cosα)=1-(2cosα-1)2≤1,∴2sin2α≤ααcos 1sin -. 点拨：该题目有多种证明方法，还可以用做差比较法，分析法和综合法来证明，自己写一下证明步骤吧。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(包含答案解析)3
一、选择题1．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]-2．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n ++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m ++<<<++ 3．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b< B ．22a b >C ．ln()0b a ->D ．22ac bc <4．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>5．已知x ，y ∈R ，且0x y >>，则（ ） A ．11x y> B ．11()()22xy<C ．1122x y <D ．sin sin x y >6．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．11a b＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 27．若0a <b <，则下列不等式中成立的是（ ） A ．|a |>b -B ．1a b< C ．a b -<-D ．11a b< 8．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11a b< D ．a b 22>9．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 10．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 11．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a ＞b ，则|a|＞|b|B ．若a ＞b ，则11a b<C ．若|a|＞b ，则a 2＞b 2D ．若a ＞|b|，则a 2＞b 2 12．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则B ．22a b ac bc >>若，则C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则二、填空题13．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______. 14．给出下列四个命题：①不等式123x x ++-≥对任意x ∈R 恒成立； >- ③设随机变量X ～(0,1)N ．若(1)P X p >=，则1(10)2P X p -<≤=-； ④设随机变量X ～1(3,)3B ，则1(1)3P X ==． 其中，所有正确命题的序号有__________．15．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是_____ 16．若存在实数x ，使得12-++<x x a 成立，则实数a 的取值范围为______.17．设5x >，P =Q =，则P 与Q 的大小关系是P ______Q .18．不等式252x xy -<-对任意[]1,2x ∈都成立，则实数y 的取值范围为______；19．设x ∈R ，如果()lg 37a x x <++-恒成立，那么实数a 的取值范围是________.20．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________三、解答题21．分析法或综合法证明：（1）求证：2> （2）已知,,a b c abc.22．已知()|1||1|f x x x =-++，不等式()4f x <的解集为M . （1）求集合M ；（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+. 23．已知函数()36f x x =+，()3g x x =-． （Ⅰ）求不等式()()f x g x >的解集；（Ⅱ）若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立，求实数a 的最大值． 24．已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈.（1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足()0023f x x +-<，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()11f x x a x =++-，a R ∈． （Ⅰ）当2a =时，求不等式()4f x ≤的解集；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[)1,-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围． 26．已知()15f x x x =---， （1）解不等式()2f x <；（2）若()210f x m +-<存在实数解，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.2．A解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a mb b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>， 所以()()-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a na mb n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ，所以()()0-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n aa a mb n b ++<<<++。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(包含答案解析)
一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >2．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >B ．若a b >，则11a b< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若a b >，c d <，则a b c d> 3．下列结论中一定正确的是（ ） A ．若,0a b c <≠，则ac bc < B ．若33a b >，则a b > C ．若,0a b c >≠，则a b c c> D ．若a b c d >⎧⎨>⎩，则a c b d ->-4．如果sin 2a =，1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.51log 3c =，那么( ) A ．a b c >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>5．下列三个不等式中（ ）①(),,0,a m a a b m b a b m b +>>>+;②30)x x x +≥≠;③()0,0a ba b d c c d>>>>> 恒成立的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．06．若a 、b 、c ，d ∈R ，则下面四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a >b ，c >b ，则a >c B ．若a >－b ，则c －a <c ＋b C ．若a >b ，则ac 2>bc 2 D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd 7．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( )A ．(,3)-∞B ．(3,)-+∞C ．(,3]-∞-D ．(,3)-∞-8．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >9．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1xy>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知，则的大小关系是A ．B ．C ．D ．11．给出以下四个命题：（ ） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <二、填空题13．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________14．已知实数a ，b ，c 满足a ＞c ﹣2且1333abc++<，则333a bc-的取值范围是_______． 15．已知不等式122a x y z -≥++，对满足2221x y z ++=的一切实数x y 、、z 都成立，则实数a 的取值范围为______16．如图，边长为(00)1a b a b ++>>,的正方形被剖分为9个矩形，这些矩形的面积如图所示，则3572468152S S S S S S S S S +++++的最小值是______.17．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 18．定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____.19．全集U =R ，且2{}0|6A x x x =-++≥，}0{|34B x x =-->，则()UA B =________．20．设集合{132}A x x x =-<-，集合1{1}B xx=<，则A B =________. 三、解答题21．先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时采用第一种方式，乙在两次购物时采用第二种方式.已知第一次购物时该物品单价为1p ，第二次购物时该物品单价为2p （12p p ≠）.甲两次购物的平均价格记为1Q ，乙两次购物的平均价格记为2Q .（1）求1Q ，2Q 的表达式（用12p p ，表示）；（2）通过比较1Q ，2Q 的大小，说明哪种购物方式比较划算. 22．已知()211f x x x =-++.（1）画出函数()f x 的图象； （2）求不等式()()1f x f x <-的解集. 23．已知()211f x x x =++-. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）若()f x a x ≥恒成立，求a 的取值范围. 24．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，21ab a b --≥． 25．已知函数()12f x x a x a=-++.（1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2f x m m ≥-+对任意实数x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围.26．已知函数()()2f x x m x m R =--+∈，不等式()20f x -≥的解集为(],4-∞． （1）求m 的值；（2）若存在正实数0a >，0b >，且126a b m +=，使不等式21123x x a b-+-≥+成立，求实数x 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．A解析：A 【分析】对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确； 对于选项B ，11b aa b ab--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a ba b c d c d c d==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B解析：B 【分析】通过反例可判断A 、C 、D 均错误，利用函数的单调性可证明B 正确. 【详解】对于A ，取2,1,1a b c =-=-=-，则a b <，但ac bc >，故A 错误. 对于C ，取2,1,1b a c =-=-=-，则a b >，但a bc c<，故C 错误. 对于B ，因为3y x =为R 上的增函数，故33a b >等价于a b >，故B 正确. 对于D ，取1,2,1,100a b c d =-=-=-=-，满足a bc d>⎧⎨>⎩，但a c b d -<-，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需要举出一个反例即可，另外证明一个不等式成立可用作差法或作商法，本题属于基础题.4．D解析：D 【分析】由题意可知，3sin 2sin 4a π=>，121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，0.51log 13c =>，从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<，即12a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=，即0.51log 13c =>121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选：D 【点睛】本题考查比较大小，是比较综合的一道题，属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用作差法可判断①，利用基本不等式可判断②，根据不等式的性质及作差法可判断③. 【详解】解：对于①，由a ，b ，0m >，a b <可知，()0()a m a b a m b m b b b m +--=>++可知a m a b m b+>+恒成立，故①正确；对于②，当0x >时，3x x +≥=3x x =即x =当0x <时，()33x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦3x x -=-即x =②错误；对于③，0,0a b d c >>>>根据正数不等式的同向可乘性得ad bc >0ad cb d a b c d ad cbcd c cd∴-=--=>，故③正确 故正确的有①③ 故选：B 【点睛】本题主要考查了基本不等式的成立条件的判断及不等式的性质等知识的简单应用，属于基础试题6．B解析：B 【分析】对于A ，C ，D 举反例即可判断，对于B ，根据不等式的性质即可判断． 【详解】解：对于A ，例如1a =，0b =，2c =，则不满足，故A 错误， 对于B ，若a b >-，则a b -<，则c a c b -<+，成立，故B 正确， 对于C ，若0c，则不成立，故C 错误，对于D ，例如1a =，0b =，2c =-，3D =-，则不满足，故D 错误，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的简单应用，要注意不等式应用条件的判断，属于基础题.7．C解析：C 【分析】利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围， 再根据无实数解得出a 的范围． 【详解】解：由绝对值不等式的性质可得，||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=， 即|1||2|3x x +---.因为|1||2|x x a +--<无实数解 所以3a ≤-， 故选C ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键．8．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<， ()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c abb a+∴<+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数,x y 是正数，且x y >， ①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的； ②中，由x y >，可得22x y >是正确的； ③中，根据实数的性质，可得1xy>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以11x x y<-是正确的， 故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．A解析：A 【解析】 【分析】将、进行分子有理化，分子均化为，然后利用分式的基本性质可得出三个数的大小关系。
北京四中高考数学总复习 不等式的综合应用提高巩固练
北京四中高考数学总复习 不等式的综合应用提高巩固练习1．首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( )(A)83d >(B)3d < (C)833d ≤< (D)833d <≤ 2．在ABC ∆中，若0AB BC ⋅>u u u r u u u r，则ABC ∆的形状是（ ）(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C) 直角三角形 (D)正三角形 3.“22<-<b a 且”是“函数[)+∞-∈-+=,1,)(x ax bx x f 是增函数”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4.在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则 （ ）（A ）11<<-a（B ）20<<a（C ）2321<<-a （D ）2123<<-a 5.已知奇函数)(,)(2121x x x x x f ≠对任意的正实数恒有0))()()((2121>--x f x f x x ，则一定正确的是（ ）A ．)6()4(->f fB ．)6()4(-<-f fC ．)6()4(->-f fD ．)6()4(-<f f6.设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是（ ） A.||||||c b c a b a -+-≤- B.aa a a 1122+≥+ C.21||≥-+-ba b a D.a a a a -+≤+-+213 7．函数1|cos |2-=x y 的定义域为8．如果函数213log (23)y x x =--的单调递增区间是(-∞，a ]，那么实数a 的取值范围是9. 若对]1,(--∞∈x 时，不等式1)21(2)(2<--x xm m 恒成立，则实数m 的取值范围是10. 已知直线:2l y ax =+和A （1，4），B （3，1），若直线l 和线段AB 相交，则a 的取值范围是11.已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，f(1)＝1，且当a ，b ∈[-1，1]，a+b ≠0时，有()()0f a f b a b+>+(1)若f(x)≤m 2-2m +1，对所有x ∈[-1，1]，恒成立，求实数m 的取值范围； (2)解不等式11()()21f x f x +<-。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．若0,0,0a b m n >>>>，则a b ，b a ，b m a m ++，a n b n++按由小到大的顺序排列为（ ） A ．b b m a n a a a m b n b ++<<<++ B ．b a n b m a a b n a m b ++<<<++ C ．b b m a a n a a m b b n++<<<++ D ．b a a n b m a b b n a m++<<<++ 2．已知实数x 、y 满足不等式组11x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ） A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 4．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（ ）A ．集合P 是集合Q 的真子集B ．集合Q 是集合P 的真子集C ．P Q =D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集5．已知非零实数a ，b 满足||1a b >+，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．221a b >+B ．122a b +>C ．24a b >D ．1ab b>+ 6．不等式230x x -<的解集为（ ）A ．{}03x x << B ．{}3003x x x -<<<<或C ．{}30x x -<<D ．{}33x x -<<7．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>；②a b a b -<+；③2(0)b a ab a b+≠；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知，则的大小关系是A ．B ．C ．D ．9．已知a b R ∈，，且a b >，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．()lg a b 0->C ．a b 22--<D ．a 1b> 10．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a ＋c >b －cB ．(a －b )c 2>0C ．a 3>b 3D ．a 2>b 211．给出以下四个命题：（ ） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③12．实数,a b 满足0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）A ．1a b< B ．1133a b <C <．2a ab <二、填空题13．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．14．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______15．某种商品在某一段时间内进行提价，提价方案有三种:第一种:先提价%m ，再提价%n ；第二种:先提价%2m n +，再提价%2m n+；第三种:一次性提价()%+m n .已知0m n >>，则提价最多的方案是第__________种.16．若函数()()01af x ax a x =+>-在()1,+∞上的最小值为15，则函数()1g x x a x =++-的最小值为___．17．已知a R ∈，函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10，则a 的取值范围是______．18．全集U =R ，且2{}0|6A x x x =-++≥，}0{|34B x x =-->，则()UA B =________．19．关于x 的不等式21x x a +--≤的解集为R ，则实数a 的取值范围是_________. 20．若函数()f x 满足：对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数，下面四个函数：①()()20f x x x =>；②())0f x x =>；③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；④()cos 02f x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________．三、解答题21．已知函数()|21||23|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围. 22．已知函数()22f x x x a =-++，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足00()23f x x +-<，求a 的取值范围． 23．设函数()1f x x =-.（1）求不等式()()336f x f x ++-≥的解集；（2）若不等式()()14f x f x ax b --+>+的解集为实数集R ，求+a b 的取值范围. 24．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -．25．已知函数()()2f x x m x m R =--+∈，不等式()20f x -≥的解集为(],4-∞． （1）求m 的值；（2）若存在正实数0a >，0b >，且126a b m +=，使不等式21123x x a b-+-≥+成立，求实数x 的取值范围．26．已知函数()212f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）已知0a ≠，若不等式()2211b a b a a x x -++>-++恒成立，求实数x 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据不等式的性质，利用怍差法求解. 【详解】()()()-++---==+++b a mb b m ba bm ab am a a m a a m a a m ， 因为0,0a b m >>>，所以()()0-<+b a m a a m ，所以b b m a a m+<+， ()()()()()()()()22b a b a b a n m b m a n b bn bm mn a am an nm a m b n a m b n a m b n +-+-++++++-----==++++++，因为0,0,0a b m n >>>>，所以()()()()()()0+-+-+<++b a b a b a n m a m b n ，所以++<++b m a n a m b n， ()()()-++---==+++b a na n a ab bn ab an b n b b b n b b n ， 因为0,0>>>a b n ， 所以()()-<+b a n b b n ，所以a n ab n b+<+， 所以b b m a n a a a m b n b ++<<<++。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(含答案解析)(3)
一、选择题1．不等式2122x x a a ++-≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．[]1,3-B ．][),33,(-∞⋃+∞C ．(),3-∞D ．()3,+∞）2．两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ） A ．[]4,3- B ．[]2,6- C ．[]6,2- D ．[]3,4-3．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ） A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定4．已知0.3log 6a =，2log 6b =，则（ ） A ．22b a b a ab ->+> B ．22b a ab b a ->>+ C ．22b a b a ab +>->D ．22ab b a b a >->+5．若a 、b 、R c ∈，且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．11a b<B ．ac bc ≥C ．20c a b>-D ．()20a b c -≥6．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（ ）A ．集合P 是集合Q 的真子集B ．集合Q 是集合P 的真子集C ．P Q =D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数m 满足321(log (211))(log )2f m f -+>，则m 的取值范围是( )A ．13(,)(,)22-∞-+∞） B ．3(,)2-∞ C ．1(,)2-+∞ D ．13(,)22-8．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．11ab＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 29．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤10．若a b >，0ab ≠则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11a b< D ．a b 22>11．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是 A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则 B ．22a b ac bc >>若，则 C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则12．如果a b >，那么下列不等式一定成立的是( ) A ．a b >B ．33a b >C ．11a b< D ．22a b <二、填空题13．给出下列语句： ①若,a b 为正实数，ab ，则3322a b a b ab +>+；②若,a m 为正实数，a b <，则a m ab m b+<+； ③若22a b c c >，则a b >； ④当(0,)2x π∈时，2sin sin x x+的最小值为22，其中结论正确的是___________． 14．不等式的解集是______．15．（卷号）1570711643127808 （题号）1570711648378880 （题文）已知二次函数的图像为开口向下的抛物线，且对任意都有．若向量，，则满足不等式的取值范围为_____________．16．已知R a ∈，若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根，则a 的取值范围是__________．17．若规定a bad bc c d=-，则不等式211log 01x<的解集为__________. 18．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________.19．若关于x 的不等式||(,)x a b a b R +<∈的解集为{|35}x x <<，则a b -=________. 20．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11a c c a+++的最小值为_____．三、解答题21．已知函数11()22=--f x x x m 的最大值为4. （1）求实数m 的值； （2）若0m >，02mx <<，求22|||2|+-x x 最小值. 22．已知函数()1144f x x x =-++，M 为不等式()2f x ≤的解集． （1）求M ；（2）证明：当a ，b M ∈时，a b -． 23．已知()|2||3|f x x x =-+-. （1）解关于x 的不等式()5f x ≤；（2）若2()1f x m m >+-恒成立，求实数m 的取值范围. 24．已知()2121x x x f =++-．（1）若()()1f x f >，求实数x 的取值范围； （2）已知113m n +≤（其中0m >，0n >），求证：43m n +≥． 25．已知函数()23,0f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 26．设函数()231f x x x =++-． （1）解不等式()4f x >； （2）若存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用绝对值三角不等式求得12x x ++-的最小值，由此可得出关于实数a 的不等式，进而可解得实数a 的取值范围. 【详解】由绝对值三角不等式可得()()12123x x x x ++-≥++-=，当12x -≤≤时等号成立，由于不等式2122x x a a ++-≥-恒成立，则223a a -≤，解得13a -≤≤. 因此，实数a 的取值范围是[]1,3-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数，考查了绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】由题意利用等差数列的定义和性质求得13a b =+，再利用基本不等式求得112ab，根据题意，2412m m +，由此求得m 的范围． 【详解】 解：两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列， 13a b ∴=+，123ab ∴，112ab∴，∴112ab． ∴不等式2134m m a b ++恒成立，即234a b m m ab++恒成立， 即214m m ab+恒成立． 2412m m ∴+，求得62m -，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，不等式的恒成立问题，基本不等式的应用，属于基础题．3．C解析：C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.4．A解析：A 【分析】容易判断出0a <，0b >，从而得出0ab <，并可得出 1221b a b aba++=<，从而得出2b a ab +>，并容易得出22b a b a ->+，从而得出结论. 【详解】因为0.3log 60a =<，2log 60b =>，所以0ab <，因为666612log 0.32log 2log 1.2log 61a b+=+⨯=<=，即21b aab +<， 又0ab <，所以2b a ab +>，又(2)(2)40b a b a a --+=->，所以22b a b a ->+，所以22b a b a ab ->+>， 故选：A. 【点睛】本题主要考查对数的换底公式，对数函数的单调性，增函数和减函数的定义，以及不等式的性质，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用不等式的性质证明，或者构造反例说明，即得解. 【详解】由题意可知，a 、b 、R c ∈，且a b > A ．若1,2a b ==-，满足a b >，则11a b>，故本选项不正确； B ．若1,2a b =-=-，满足,1a b c >=-，则ac bc <，故本选项不正确； C . 若0c,则20c a b=-，故本选项不成立；D ．22,0,()0a b c a b c >≥∴-≥ 故选：D 【点睛】本题考查了利用不等式的性质，判断代数式的大小，考查了学生综合分析，转化与划归的能力，属于基础题.6．C解析：C【分析】先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =． 【详解】 |||1|3x x +-<，∴当0x 时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<；当01x <时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<． {|12}P x x ∴=-<<．{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，P Q ∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．D解析：D 【分析】不等式等价于()()()3log 2111f m f -+>，利用函数是偶函数和其单调性可知()3log 2111m -+<，转化为解对数和含绝对值的不等式.【详解】()f x 是偶函数，()()21log 112f f f ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，即不等式等价于()()()3log 2111f m f -+>()3log 2110m -+≥ ，()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，()f x ∴在[)0,+∞单调递减，()3log 2111m ∴-+<，即2113m -+<，整理为：212m -< ，2212m ∴-<-<，解得：1322m -<<. 故选：D 【点睛】本题考查利用函数的性质解不等式，主要考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，一般利用函数是偶函数，并且已知函数在区间上的单调性时，()()()()1212f x f x f x f x >⇒>，然后利用()0,∞+或[)0,+∞的单调性解不等式.8．C解析：C 【解析】 【分析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】 由题意，可知：对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2＜b 2，故选项A 不正确； 对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有11a b＞，故选项B 不正确； 对于C ：∵a ＞b ，∴2a ＞2b ＞0，∴ln 2a ＞ln 2b ，故选项C 正确； 对于D ：当x ＝0时，结果不成立，故选项D 不正确； 故选：C ． 【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．9．A解析：A 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.10．D解析：D 【分析】利用不等式的性质、对数、指数函数的图像和性质，对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】对于选项A, 22a b >不一定成立，如a=1＞b=-2,但是22a b ＜，所以该选项是错误的； 对于选项B, 1111,,,lg 0,2366a b a b ==-=<所以该选项是错误的； 对于选项C,11,0,b a b a a b ab--=-<ab 符号不确定，所以11a b <不一定成立，所以该选项是错误的；对于选项D, 因为a>b,所以a b 22>，所以该选项是正确的. 故选D 【点睛】本题主要考查不等式的性质，考查对数、指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11．A解析：A 【解析】分析：由不等式的性质，逐个选项验证可得答案． 详解：选项①,a b c d >>若，，由不等式的可加性可得a c b d +>+ 故A 正确，选项②22a b ac bc >>若，则，由不等式的性质可得；2c =0时22ac bc >不正确， 选项③a b >若，则11a b <错误，比如12-＞ ，但1112-＞ ； 选项④若,a b c d ac bd >>>，则错误，需满足a b c d ,,,均为正数才可以． 故选：A ．点睛：本题考查不等式的性质，属基础题．12．B解析：B 【解析】分析：根据幂函数3y x =的单调性，即可判定得到答案. 详解：当1,2a b ==-时，此时a b >，但a b <，且11a b>，所以A 、C 不正确； 由函数2x y =为单调递增函数，当a b >时，22a b >，所以D 不正确，由函数3y x =是R 上的单调递增函数，所以当a b >时，33a b >成立，所以B 是正确的，故选B.点睛：本题主要考查了不等式的比较大小问题，其中熟记幂函数的单调及其应用是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.二、填空题13．①③【分析】利用作差法可判断出①正确；通过反例可排除②；根据不等式的性质可知③正确；根据的范围可求得的范围根据对号函数图象可知④错误【详解】①为正实数即可知①正确；②若则可知②错误；③若可知则即可知解析：①③. 【分析】利用作差法可判断出①正确；通过反例可排除②；根据不等式的性质可知③正确；根据x 的范围可求得sin x 的范围，根据对号函数图象可知④错误.【详解】①()()()()()()233222222a b a b ab aa b b b a a b a b a b a b +--=-+-=--=-+a b ≠，,a b 为正实数 ()20a b ∴->，0a b +>33220a b a b ab ∴+-->，即3322a b a b ab +>+，可知①正确；②若1a =，2b =，1m =，则2132a m ab m b+=>=+，可知②错误； ③若22a b c c >，可知20c >，则2222a b c c c c⋅>⋅，即a b >，可知③正确； ④当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin 0,1x ∈，由对号函数图象可知：()2sin 3,sin x x +∈+∞，可知④错误.本题正确结果：①③ 【点睛】本题考查不等式性质的应用、作差法比较大小问题、利用对号函数求解最值的问题，属于常规题型.14．【解析】试题分析：含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号然后解决问题本题也可不分类讨论首先不等式变形为它等价于这是二次不等式解得还要注意题目要求写成集合形式考点 解析：(1,1)-【解析】试题分析：含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为212x x -<-，它等价于22(21)(2)x x -<-，这是二次不等式，解得11x -<<，还要注意题目要求写成集合形式． 考点：解不等式．15．【解析】分析：由已知中二次函数的图象为开口向下的抛物线且对任意都有则函数的图象是以为对称轴开口方向朝下的抛物线再由向量结合二次函数的性质和向量数量积运算可以得到一个关于的不等式解不等式即可求出的取值 解析：【解析】分析：由已知中二次函数y f x =（）的图象为开口向下的抛物线，且对任意x ∈R 都有11f x f x -=+（）（） ．则函数的图象是以1x = 为对称轴，开口方向朝下的抛物线，再由向量 12a m b m =-=-（，），（，）， 结合二次函数的性质和向量数量积运算，可以得到一个关于m 的不等式，解不等式即可求出m 的取值范围．详解：∵对任意x ∈R 都有11f x f x -=+（）（）．故函数的对称轴为1x =，12a m b m （，），（，），=-=-2a b m ∴⋅=+ 若1f a b f ⋅-（）＞（）则2111m +---＜ ，解得31,m -＜＜ 又由0m ≥ 得0 1.m ≤＜ 故答案为[01，） 点睛：本题考查的知识点是二次函数的性质，绝对值不等式的解法，平面向量的数量积的运算，其中根据二次函数的性质和向量数量积运算，将不等式1f a b f ⋅-（）＞（）转化为一个关于m 的不等式，是解答本题的关键．16．【解析】试题分析：由已知得即所以故答案为考点：不等式选讲 解析：【解析】试题分析：由已知得，2(2)4(1)0a a ∆=--++≥，即11a a ++≤，所以2111,10a a a a +≤++≤-≤≤，故答案为[1,0]-.考点：不等式选讲.17．【分析】先由题中定义将不等式化为等价于解出该不等式组可得出所求不等式的解集【详解】所以不等式即为则解不等式得；解不等式即解得因此不等式的解集为故答案为【点睛】本题考查新定义运算考查对数不等式绝对值不解析：()()0,11,2..【分析】先由题中定义将不等式化为2log 10-<，等价于011x <-<，解出该不等式组可得出所求不等式的解集. 【详解】a bad bc c d=-，所以不等式211log 01x<即为2log 10-<，则011x <-<，解不等式10x ->，得1x ≠；解不等式11x -<，即111x -<-<，解得02x <<. 因此，不等式211log01x<的解集为()()0,11,2，故答案为()()0,11,2.本题考查新定义运算，考查对数不等式、绝对值不等式的解法，在求解对数不等式时，一般要化为同底数的对数，利用对数函数的单调性得出两个真数的大小，同时要注意真数大于零，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】针对的取值情况进行分类讨论去绝对值转化为最值问题处理【详解】若则所以所以无解；若则所以；若则所以；综上所述故答案为：【点睛】本题考查绝对值不等式的应用考查根据不等式恒成立求参数的取值范围难度 解析：[0,2]【分析】针对a 的取值情况进行分类讨论，去绝对值，转化为最值问题处理.【详解】若1a ≤-，则()||2f x x a x x a =-+=-，所以22022a a a -≤⎧⇒=⎨--≥-⎩，所以无解； 若1a ≥，则()||f x x a x a =-+=，所以12a ≤≤；若11a -<<，则,[1,]()2,(,1]a x a f x x a x x a x a ∈-⎧=-+=⎨-∈⎩，所以01a ≤<； 综上所述，02a ≤≤.故答案为：[0,2].【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，难度一般. 19．【分析】利用绝对值的性质解不等式后与已知比较可求得【详解】由得即所以解得所以故答案为：【点睛】本题考查解绝对值不等式掌握绝对值的性质是解题关键解析：5-【分析】 利用绝对值的性质x a a x a <⇔-<<解不等式后与已知比较可求得,a b ．【详解】由||x a b +<得b x a b -<+<，即a b x a b --<<-+，所以35a b a b --=⎧⎨-+=⎩，解得41a b =-⎧⎨=⎩，所以5a b -=-． 故答案为：5-．【点睛】本题考查解绝对值不等式，掌握绝对值的性质是解题关键．20．4【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题【分析】先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．【详解】由题意知，044010a ac ac c =-=∴=＞，，，＞，则111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（）， 当且仅当1a c ==时取等号． ∴11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.三、解答题21．（1）4m =-或4m =；（2）4.【分析】（1）利用绝对值的三角不等式可求得最值；（2）由题意求得x 的范围，去绝对值后，再利用“1”的代换计算.【详解】（1）∵1111()||42222=--=--≤=f x x x m x m x m ， ∴4m =-或4m =.（2）∵0m >，由（1）可知4m =，∴02x <<， ∴222211112[(2)]|||2|222⎛⎫⎛⎫+=+=+=+-+ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭x x x x x x x x x x22242-=++≥+=-x x x x ， 当且仅当22(2)=-x x ，即1x =时，等号成立， ∴min224|||2|⎛⎫+= ⎪-⎝⎭x x . 【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式以及基本不等式求最值问题.属于中档题.22．（1）[]1,1M =-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果；（2）利用分析法证明不等式【详解】（1）()12,,411111,,4424412,4x x f x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-++=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩()12422x f x x ⎧≤-⎪≤∴⎨⎪-≤⎩或1144122x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或1422x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 114x ∴-≤≤-或1144x -<<或114x ≤≤ 所以不等式的解集为[]1,1M =-．（2）要证a b -，只需证a b -，即证()241ab a b -≥-，只需证22442ab a ab b --+≥，即2242a ab b ++≥， 即证()24a b ≥+，只需证2a b ≥+因为a ，b M ∈，所以2a b +≤，所以所证不等式成立．【点睛】本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.23．（1）{}05x x ≤≤；（2）[]2,1-.【分析】（1）去绝对值分类讨论，转化为解一元一次不等式；（2）根据绝对值不等式性质，求出min ()f x ，转化为解关于m 的一元二次不等式，即可求得结论.【详解】（1）当3x ≥时，不等式()5f x ≤化为255x -≤，得5x ≤，即35x ≤≤；当23x <<时，不等式()5f x ≤化为15≤成立，即23x <<；当2x ≤时，不等式()5f x ≤化为525x -≤，得0x ≥，即02x ≤≤；综上所述，所求不等式的解集为{}05x x ≤≤；（2）()23231f x x x x x =-+-≥--+=，若()21f x m m >+-恒成立，则211m m >+-， 解得：21m -≤≤，所以实数m 的取值范围[]2,1-.【点睛】本题主要考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，考查转化与化归的思想，考查学生的运算求解能力.24．（1）()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【分析】（1）利用零点分段法，求得不等式()()1f x f >的解集；（223≥，由此证得43m n +≥. 【详解】（1）()()1f x f >，即21215x x ++->.①当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >； ②当112x ≤≤-时，()()21215x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <时，()()21215x x -+-->，得32x <-. 综上，所求的x 的取值范围是()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）因为0m >，0n >时，113m n ≥+≥ 当且仅当m n =时，等号成立，所以323≥，所以43m n +≥. 【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题. 25．（1）{|31}x x -≤≤-；（2）605m <<【分析】（1）当1m =时，34,23()12332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩，根据()1f x ≥，由3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或141x x >⎧⎨--≥⎩求解. （2）将对任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，转化为max min ()(21)f x t t <++-，再分别求得最大值和最小值求解即可.【详解】（1）当1m =时，34,23()12332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩， 因为()1f x ≥， 所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或141x x >⎧⎨--≥⎩， 解得：332x -≤<-或312x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{|31}x x -≤≤-.（2）对于任意实数,x t ，不等式()21f x t t <++-恒成立， 等价于max min ()(21)f x t t <++-. 因为21(2)(1)3t t t t ++-≥+--=，当且仅当(2)(1)0t t +-≤时等号成立， 所以min (21)3t t ++-=因为0m >时，所以()34,232332,24,m x m x m f x x m x m x m x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以当32m x =-时，()max 3522m m f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 所以532m <， 所以实数m 的取值范围605m <<. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.26．（1）()(),20,-∞-+∞（2）73,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）去掉绝对值号，得到分段函数，进而分类讨论求解不等式()4f x >的解集，得到答案；（2）由存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，转化为min 1[()]a f x +>，即可求解.【详解】 （1）由题意，函数()332,232314,1232,1x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， 又由()4f x >，可得32324x x ⎧<-⎪⎨⎪-->⎩或31244x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩或1324x x >⎧⎨+>⎩， 解得2x <-或01x <≤或1x >，综上可得，不等式()4f x >的解集为()(),20,-∞-+∞. （2）由题意，存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，即min 1[()]a f x +> 由（1）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+，所以32x =-时，min 5[()]2f x = 则512a +>，解得32a >或72a <-， 所以实数a 的取值范围为73,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法及应用，其中解答中把问题转化为不等式的恒成立问题，结合函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）A ．甲B ．乙C ．甲、乙一样D ．无法确定2．已知1x <-，那么在下列不等式中，不成立的是( ) A ．210x ->B ．12x x+<- C ．sin 0x x -> D ．cos 0x x +>3．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为（ ）A ．94788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．233388⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．93388⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．234788⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．已知01x y a <<<<，log log a a m x y =+，则有（ ） A ．0m <B ．01m <<C ．12m <<D ．2m >5．下列三个不等式中（ ）①(),,0,a m a a b m b a b m b +>>>+;②30)x x x +≥≠;③()0,0a ba b d c c d>>>>> 恒成立的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．06．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（ ） A ．a 2＞b 2B ．11a b＜C ．ln 2a ＞ln 2bD ．ax 2＞bx 27．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．2233a b >D ．22a b >8．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞-D ．(,3)-∞-9．已知a ，b R ∈，且a b >，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．22a b >B ．lg()0a b ->C ．11()()22ab<D ．1a b> 10．设 1,01x y a >><<则下列关系正确的是 A ．a a x y -->B ．ax ay <C ．x y a a <D ．log log a a x y >11．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >12．若0a b >>，则（ ）A ．11a b>B ．22log log a b <C ．22a b <D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题13．若ad bc ≠，则()()2222a bcd ++__________()2ac bd +.（选“≥”、“≤”、“>”、“<”其一填入）14．若存在实数(0)a a ≠满足不等式2211ax a a a +≤--+，则实数x 的取值范围是________．15．若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为________．16．若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是______． 17．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 18．函数11y x x =+--的最大值是___________19．若不等式|4||3|x x a +--≤对一切实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________20．设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y≤≤，则3x y 的最小值是______.三、解答题21．已知函数()12f x x a x =-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x 的解集；（2）当1a <-时，若()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积等于6，求a 的值. 22．已知函数()23f x x x a =-++. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足()00223f x x +-<，求实数a 的取值范围. 23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜． （224．已知,,a b c 均为正实数. （I ）求证：32++≥+++a b c b c a c a b ； （II1≥.25．已知()13f x x x =-++.（1）若存在0x 使得()206f x m m +≤+，求m 的取值范围；（2）记0m 是（1）中m 的最大值且330a b m +=，证明02a b <+≤.26．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案，设每年购买的数量为x ，则两年的购买的总金额为12p x p x +， 平均价格为121222p x p x p p x ++=； 对于乙方案，设每年购买的总金额为y ，则总数量为12y yp p +， 平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++，所以，12121222p p p p p p +>+. 因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商2．D解析：D 【分析】利用作差法可判断A 、B 选项的正误，利用正弦、余弦值的有界性可判断C 、D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】1x <-，则()()21110x x x -=-+>，()22112120x x x x x x x+++++==<，又sin x 、[]cos 1,1x ∈-，sin 0x x ∴->，cos 0x x +<.可得：ABC 成立，D 不成立. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用作差法来进行判断，同时也要注意正弦、余弦有界性的应用，考查推理能力，属于中等题.3．B解析：B 【分析】首先设公差为d ，由题中的条件可得2426a d ≤-≤和21521222a d ≤+≤，利用待定系数法可得()()222112244a a d a d =-++，结合所求的范围及不等式的性质可得 2233388a ≤≤. 【详解】设公差为d ，由246S ≤≤，得1246a a ≤+≤，即2426a d ≤-≤； 同理由41521S ≤≤可得21521222a d ≤+≤. 故可设()()22222a x a d y a d =-++，所以有()()2222a x y a y x d =++-，所以有221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得14x y ==，即()()222112244a a d a d =-++， 因为 ()2131242a d ≤-≤，()2151212848a d ≤+≤. 所以()()22231133228448a d a d ≤-++≤，即2233388a ≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及等差数列的运算，利用不等式求解范围时注意放缩的尺度，运算次数越少，范围越准确.4．D解析：D 【分析】首先根据对数的运算得到()log a m xy =，再由不等式的性质及对数函数的性质即可得解. 【详解】解：由题意得()log a m xy =，01x y a <<<<，201xy a ∴<<<，2log 2a m a ∴>=.故选：D 【点睛】本题考查对数的运算及对数函数的性质，不等式的性质，属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用作差法可判断①，利用基本不等式可判断②，根据不等式的性质及作差法可判断③. 【详解】解：对于①，由a ，b ，0m >，a b <可知，()0()a m a b a m b m b b b m +--=>++可知a m a b m b+>+恒成立，故①正确；对于②，当0x >时，3x x +≥=3x x =即x =当0x <时，()33x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦3x x -=-即x =②错误；对于③，0,0a b d c >>>>根据正数不等式的同向可乘性得ad bc >0ad cb d a b c d ad cbcd c cd∴-=--=>，故③正确 故正确的有①③ 故选：B 【点睛】本题主要考查了基本不等式的成立条件的判断及不等式的性质等知识的简单应用，属于基础试题6．C解析：C 【解析】 【分析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】 由题意，可知：对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2＜b 2，故选项A 不正确； 对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有11a b＞，故选项B 不正确； 对于C ：∵a ＞b ，∴2a ＞2b ＞0，∴ln 2a ＞ln 2b ，故选项C 正确； 对于D ：当x ＝0时，结果不成立，故选项D 不正确； 故选：C ． 【点评】本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．7．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，0a b <<，则0,0,0a b b a ab -<->> 对于A 中，因为110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以A 是正确的； 对于B 中，因为110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a>-，所以B 不正确； 对于C 中，因为幂函数()23f x x =在(,0)-∞单调递减函数，所以2233a b >，所以C 正确；对于D中，因为22()()0a b a b a b -=-+>，所以22a b >，所以D 正确； 故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围， 再根据无实数解得出a 的范围． 【详解】解：由绝对值不等式的性质可得，||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=， 即|1||2|3x x +---.因为|1||2|x x a +--<无实数解 所以3a ≤-， 故选C ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键．9．C解析：C 【解析】 【分析】利用不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，对四个选项逐一进行分析即可得到答案 【详解】对于A ，令0,1a b ==-，200=，()211-=，满足a b >，但不满足22a b >，故排除 对于B ，令0,1a b ==-，()lg 10a b lg -==，故排除对于C ，1 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，当a b >时，1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 恒成立对于D ，令0,1a b ==-，011a b =<-，故排除 故选C 【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题，可以根据不等式的性质和函数的单调性，通过特值排除，属于基础题。
最新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．若,b R,,a a b ∈≠且则下列式子：（1）22a 32b ab +>，（2）553223a b b a a b +>+，（3）2252(2)a b a b ++≥-，（4）2b aa b+>.其中恒成立的个数是 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15 C ．a ＜15D ．a ≤153．下列结论中一定正确的是（ ） A ．若,0a b c <≠，则ac bc < B ．若33a b >，则a b > C ．若,0a b c >≠，则a b c c> D ．若a bc d>⎧⎨>⎩，则a c b d ->- 4．2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c c a a <；④1212c a a c >.其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④5．已知实数0a b >>，R c ∈，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．ac bc < B ．11b ba a+<+ C ．11b ba a+>+ D ．ac bc ≥6．若112a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <D ．c c a b <7．若0,a b <<则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．2233a b >D ．22a b >8．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1xy>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 10．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 11．给出以下四个命题：（ ） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③12．对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是 A ．,a b c d a c b d >>+>+若，则 B ．22a b ac bc >>若，则 C ．11,a b a b><若则D ．,a b c d ac bd >>>若，则二、填空题13．若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围______.14．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.15．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接)16．若关于x 的不等式13x x m -+-<在[]0,4x ∈上有解，则m 的取值范围是_________17．已知函数()211f x x a x =-+-，若()2f x x ≥-的解集包含1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是________. 18．若函数()()01af x ax a x =+>-在()1,+∞上的最小值为15，则函数()1g x x a x =++-的最小值为___．19．设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．20．已知|a ＋b|＜－c(a ，b ，c ∈R)，给出下列不等式： ①a ＜－b －c ；②a ＞－b ＋c ；③a ＜b －c ；④|a|＜|b|－c ； ⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的不等式是________(填序号)．三、解答题21．已知函数()|1|2|3|f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若存在实数x ，使得不等式23()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围. 22．已知函数()12f x x a x a=-++. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2f x m m ≥-+对任意实数x 及a 恒成立，求实数m 的取值范围.23．已知()2121x x x f =++-．（1）若()()1f x f >，求实数x 的取值范围； （2）已知113m n +≤（其中0m >，0n >），求证：43m n +≥． 24．已知()13f x x x =++-．（1）求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积； （2）若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立，求a 的取值范围． 25．已知函数()212f x x x =-++. （1）求()f x 的最小值；（2）已知0a ≠，若不等式()2211b a b a a x x -++>-++恒成立，求实数x 的取值范围.26．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：将不等式两侧的式子做差和0比即可，或者将不等式两侧的式子移到一侧，再配方即可. 详解：(1) 22a 32b ab +-=22322b a b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭,当a=1,b=-2.时不等式不成立； (2)553223 a b b a a b +>+=()()()222a b a b a ab b -+++当a=1,b=-1时，不等式不成立；(3)()22522a b a b ++--()()22=a 210b -++≥恒成立.选项正确. (4) ba a b+,2][2,)∈-∞-⋃+∞（,故不正确. 故答案为A.点睛：这个题目考查了基本不等式的应用条件，两式比较大小的方法；两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.2．A解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以113x x ++的最大值为15， 所以15a ≥.故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.3．B解析：B 【分析】通过反例可判断A 、C 、D 均错误，利用函数的单调性可证明B 正确. 【详解】对于A ，取2,1,1a b c =-=-=-，则a b <，但ac bc >，故A 错误. 对于C ，取2,1,1b a c =-=-=-，则a b >，但a bc c<，故C 错误. 对于B ，因为3y x =为R 上的增函数，故33a b >等价于a b >，故B 正确.对于D ，取1,2,1,100a b c d =-=-=-=-，满足a bc d >⎧⎨>⎩，但a c b d -<-，故D 错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的性质，注意说明一个不等式不成立，只需要举出一个反例即可，另外证明一个不等式成立可用作差法或作商法，本题属于基础题.4．C解析：C 【分析】根据题意,可知两个椭圆有公共点P .结合图象可知2121,a a c c >>,进而由椭圆的几何性质及不等式性质判断选项即可. 【详解】对于①,由图可知2121,a a c c >>,则2211a c a c +>+,所以①错误;对于②,由椭圆几何性质可知11PF a c =-,22PF a c =-,即1122a c a c -=-,所以②正确; 对于③,由②可知,1122a c a c -=-.所以1221a c a c +=+.两边同时平方可得()()221221a c a c +=+,展开得22221122221122a a c c a a c c ++=++移项变形可得22221112222122a c a c a c a c -+=-+ 根据椭圆的性质可知22222211122,a c b a c b -=-= 所以2211222122b a c b a c +=+ 因为12<b b所以1221a c a c >,两边同时除以12a a ,可得2121c c a a >,所以③正确. 对于④,由③可知1221a c a c >,所以④错误.综上可知,正确的为②③ 故选:C 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质及应用,不等式性质比较大小,分析、解决实际问题的能力,属于中档题.5．C解析：C 【分析】根据不等式性质和作差法判断大小依次判断每个选项得到答案. 【详解】当0c ≥时，不等式不成立，A 错误；()()10111b b ab a ab b a ba a a a a a ++----==>+++，故B 错误C 正确； 当0c <时，不等式不成立，D 错误； 故选：C . 【点睛】本题考查了不等式的性质，作差法判断大小，意在考查学生对于不等式知识的综合应用.6．B解析：B 【分析】根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当112a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当112a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，所以log log 0b a c c >>，因112a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当112a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；对于D ：当112a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.7．B解析：B 【分析】根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，0a b <<，则0,0,0a b b a ab -<->> 对于A 中，因为110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以A 是正确的； 对于B 中，因为110()b a b a a a b -=<--，所以11a b a>-，所以B 不正确； 对于C 中，因为幂函数()23f x x =在(,0)-∞单调递减函数，所以2233a b >，所以C 正确； 对于D中，因为22()()0a b a b a b -=-+>，所以22a b >，所以D 正确； 故选B. 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．C解析：C 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数,x y 是正数，且x y >， ①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的； ②中，由x y >，可得22x y >是正确的； ③中，根据实数的性质，可得1xy>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以11x x y<-是正确的， 故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．D解析：D【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：由于a ＞b ＞0，1ab>，A 错； 当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错；a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．lnln10ab>= ，D 对； 故选D ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．10．D解析：D 【分析】运用不等式的可加性，可判断A ；由反比例函数的单调性，可判断D ；由0c ，可判断C ；由二次函数的单调性可判断B ． 【详解】对于A ，若0a b <<，则a c b c ++＜，故A 项错误； 对于D ，函数1y x ＝在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则11a b>，故D 项正确； 对于C ，当0c时，ac bc =，即不等式ac bc >不成立，故C 项错误；对于B ，函数2y x 在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则22a b ＞，故B 项错误， 故选D ． 【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．11．B解析：B 【解析】分析：根据不等式的性质分别进行判断，注意结合特值法求解. 详解：①若110,a b a b>>>成立，①错误； ②22ac bc >，则a b >，②正确； ③若a b >成立，则a b >成立，③正确；④若0,1a b ==-，a b >成立，则 22a b >不成立，④错误， 正确的命题为②③，故选B.点睛：本题考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式性质成立的条件，同时注意运用特值法判断，属于简单题.12．A解析：A 【解析】分析：由不等式的性质，逐个选项验证可得答案． 详解：选项①,a b c d >>若，，由不等式的可加性可得a c b d +>+ 故A 正确，选项②22a b ac bc >>若，则，由不等式的性质可得；2c =0时22ac bc >不正确， 选项③a b >若，则11a b <错误，比如12-＞ ，但1112-＞ ； 选项④若,a b c d ac bd >>>，则错误，需满足a b c d ,,,均为正数才可以． 故选：A ．点睛：本题考查不等式的性质，属基础题．二、填空题13．【分析】首先若满足不等式恒成立即根据不等式利用含绝对值三角不等式求最小值最后解不等式求的取值范围【详解】当时等号成立若满足不等式对于任意实数x 恒成立即即或解得：或故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒解析：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】首先若满足不等式恒成立，即()min12a x a x a -+≤-++，根据不等式222a ax a x a x a x x -++=-++++，利用含绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求a 的取值范围. 【详解】()32222222a a a a a x a x a x a x x x a x x a x ⎛⎫-++=-++++≥--+++=++ ⎪⎝⎭ 32a≥ ， 当2ax =-时，等号成立， ()min 322a x a x a ∴-++=，若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立， 即312a a -+≤ ，即312a a ≥-或312a a ≤- ， 解得：25a ≥或2a ≤-. 故答案为：(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查绝对值的意义和绝对值三角不等式求最值，属于中档题型，含有两个绝对值的式子求最值时，参考公式a b a b a b -≤±≤+.14．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查 解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围． 【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立；当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．15．【解析】因为所以与1的大小关系是故答案为 解析：1S >【解析】因为,,a b c R +∈，所以1a b c a b c S b c a c a b a b c a b c a b c=++>++=+++++++++，S 与1的大小关系是1S > ，故答案为1S >.16．【分析】利用绝对值三角不等式求得在上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】关于的不等式在上有解则由绝对值三角不等式可得当且仅当时等号成立所以当时的最小值为因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题 解析：()2,+∞【分析】利用绝对值三角不等式求得13x x -+-在[]0,4x ∈上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围. 【详解】关于x 的不等式13x x m -+-<在[]0,4x ∈上有解，则()min13m x x >-+-，由绝对值三角不等式可得()()13132x x x x -+-≥---=， 当且仅当13x ≤≤时，等号成立，所以，当[]0,4x ∈时，13x x -+-的最小值为2，2m ∴>. 因此，实数m 的取值范围是()2,+∞. 故答案为：()2,+∞. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式在区间上有解求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】根据的取值范围可将题意转化为对恒成立分为和两种情形解出的范围即可【详解】当时∵的解集包含∴即对恒成立当时不等式化为即；当时为任意实数；当时不等式化为解得；综上知的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)3,+∞【分析】根据x 的取值范围可将题意转化为133a x x -≥-对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，分为112x ≤<和12x ≤≤两种情形，解出a 的范围即可.【详解】当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，210x -≥，20x -≤，∵()2f x x ≥-的解集包含1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴2112x a x x -+-≥-，即133a x x -≥-对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，当112x ≤<时，不等式化为()133a x x -≥-，即3331x a x -≥=-；当1x =时，a 为任意实数；当12x <≤时，不等式化为()133a x x -≥-，解得3a ≥-；综上知a 的取值范围是[)3,+∞， 故答案为：[)3,+∞. 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化思想，属于中档题.18．6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值解得的值再根据含绝对值三角不等式求函数的最小值【详解】当且仅当时即时取等号此时满足所以函数的最小值是6故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值解析：6 【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值，解得a 的值，再根据含绝对值三角不等式求函数()g x 的最小值.【详解】()11131f x a x a a x ⎛⎛⎫=-++≥= ⎪ -⎝⎭⎝， 当且仅当111x x -=-时，即2x =时取等号， 此时满足3155a a =⇒=，()()()51516g x x x x x =++-≥+--=，所以函数()g x 的最小值是6. 故答案为：6 【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值以及含绝对值不等式求最值，其中基本不等式求最值需注意一下几点：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方19．－1＋∞)【分析】对于不等式恒成立等价于的图象在的图象上方根据数形结合可求出实数的取值范围【详解】不等式f(x)≥g(x)恒成立如图作出函数f(x)＝|x ＋a|与g(x)＝x －1的图象观察图象可知：解析：[－1，＋∞) 【分析】对于x R ∀∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，等价于()f x x a =+的图象在()1g x x =-的图象上方，根据数形结合可求出实数a 的取值范围. 【详解】不等式f (x )≥g (x )恒成立如图，作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立， 因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．故答案为[－1，＋∞)． 【点睛】本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.20．①②④【分析】先根据绝对值不等式的性质可得到c ＜a+b ＜﹣c 进而可得到﹣b+c ＜a ＜﹣b ﹣c 即可验证①②成立③不成立再结合|a+b|＜﹣c 与|a+b|≥|a|﹣|b|可得到|a|﹣|b|＜﹣c 即|a解析：①②④ 【分析】先根据绝对值不等式的性质可得到c ＜a+b ＜﹣c ，进而可得到﹣b+c ＜a ＜﹣b ﹣c ，即可验证①②成立，③不成立，再结合|a+b|＜﹣c ，与|a+b|≥|a|﹣|b|，可得到|a|﹣|b|＜﹣c 即|a|＜|b|﹣c 成立，进而可验证④成立，⑤不成立，从而可确定答案． 【详解】∵|a ＋b|＜－c ，∴c ＜a ＋b ＜－c.∴a ＜－b －c ，a ＞－b ＋c ，①②成立且③不成立． ∵|a|－|b|≤|a ＋b|＜－c ，∴|a|＜|b|－c ，④成立且⑤不成立． 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质．考查基础知识的综合运用．三、解答题21．（1）(,6)(2,)-∞--+∞；（2）(1,4)-.【分析】（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1≥x 三段求解不等式()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；（2）求出函数()y f x =的最大值max ()f x ，由题意得出2max 3()m m f x -<，解此不等式即可得出实数m 的取值范围.【详解】7,3()12335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪=--+=---<<⎨⎪--≥⎩.（1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-； 当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<； 当1≥x 时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1≥x . 综上所述，不等式()1f x <的解集(,6)(2,)-∞--+∞.（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()(3)4f x f ≤-=； 当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则(1)()(3)f f x f <<-，即8()4f x -<<；当1≥x 时，函数()7f x x =--单调递减，则()(1)8f x f ≤-=-. 综上所述，函数()y f x =的最大值为max ()(3)4f x f =-=， 由题知，2max 3()4m m f x -<=，解得14-<<m . 因此，实数m 的取值范围是(1,4)-. 【点睛】本题主要考查含有两个绝对值的不等式的求解，以及和绝对值不等式有关的存在性问题的求解，意在考查学生分类讨论思想的应用，转化能力和运算求解能力，属于中等题. 22．（1）32x x ⎧<-⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭；（2）[]0,1. 【分析】（1）分1x <-、12x -≤≤、2x >三种情况解不等式()4f x >，综合可得出不等式()4f x >的解集；（2）利用绝对值三角不等式以及基本不等式求得()f x 的最小值，可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，不等式()4f x >为214x x -++>. 当1x <-时，不等式可化为()()214x x ---+>，解得32x <-，此时32x <-； 当12x -≤≤时，不等式可化为()()214x x --++>，即34>，不成立； 当2x >时，不等式可化为()()214x x -++>，解得52x >，此时52x >. 综上所述，不等式的解集为32x x ⎧<-⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭；（2）()()1122f x x a x x a x a a ⎛⎫=-++≥--+ ⎪⎝⎭12a a =+，而1122a a a a +=+≥a =时等号成立.即当x 和a 变化时，()f x 的最小值为因为不等式()2f x m m ≥-+x 及a 恒成立，2m m ∴-+20m m -≤，解得01m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]0,1. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了含绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）证明见解析 【分析】（1）利用零点分段法，求得不等式()()1f x f >的解集；（223≥，由此证得43m n +≥. 【详解】（1）()()1f x f >，即21215x x ++->. ①当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >； ②当112x ≤≤-时，()()21215x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <时，()()21215x x -+-->，得32x <-. 综上，所求的x 的取值范围是()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）因为0m >，0n >时，113m n ≥+≥ 当且仅当m n =时，等号成立，所以323≥，所以43m n +≥. 【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.24．（1）24；（2）4433a -≤≤. 【分析】（1）利用零点分段法将()f x 表示为分段函数的形式，由此画出直线8y =与函数()y f x =的图象.根据等腰梯形面积公式求得所围图形的面积.（2）先求得()f x 的最小值，由此得到4211a a ≥++-，由零点分段法进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）因为()22,14,1322,3x x f x x x x -+≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，如图所示：直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形是一个等腰梯形， 令228x -+=，得3x =-；令228x -=，得5x =， 所以等腰梯形的面积()1484242S =⨯+⨯=． （2）要使()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立， 只须()min 211f x a a ≥++-，而()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以()min 4f x =， 故4211a a ≥++-．①由122114a a a ⎧<-⎪⎨⎪---+≤⎩，得4132a -≤<-； ②由1122114a a a ⎧-≤≤⎪⎨⎪+-+≤⎩，得112a -≤≤；③由12114a a a >⎧⎨++-≤⎩，得413a <≤，故4433a -≤≤．【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 25．（1）52（2）55,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）利用分类讨论，去绝对值化简，即可得函数解析式，进而画出函数图像，即可求得最小值；（2）将不等式变形，并令,b t a =化简后结合（1）即可得1512x x >-++，分类讨论去绝对值化简即可得解. 【详解】（1）函数()212f x x x =-++所以当2x <-时，()()()21231f x x x x =---+=--， 当122x -≤≤时，()()()2123f x x x x =--++=-+， 当12x >时，()()()21231f x x x x =-++=+， 所以()31,213,22131,2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，画出函数图像如下图所示：由函数图像可知，当12x =时，()min 1153222f x f ⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭.（2）不等式()2211b a b a a x x -++>-++恒成立，则21211b bx x a a-++>-++， 令,bt a=上式可化为21211t t x x -++>-++， 由（1）可知52122t t -++≥， 所以只需1512x x >-++， 当1x <-时，不等式可化为()()5211x x >---+，解得54x >-，即514x -<<-；当11x -≤≤时，不等式可化为()()5211x x >--++，解得522>，即11x -≤≤；当1x >时，不等式可化为()()1512x x >-++，解得54x <，即514x <<；综上所述，x 的取值范围为55,44⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了分类讨论解绝对值不等式的应用，不等式恒成立问题的解法，属于中档题. 26．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞ 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅，当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，，当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。
【必刷题】2024九年级数学上册不等式与不等式组专项专题训练(含答案)
【必刷题】2024九年级数学上册不等式与不等式组专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 若不等式3x 5 > 2的解集是x > a，则a的值为（）A. 3B. 7/3C. 1D. 5/32. 下列不等式中，解集为全体实数的是（）A. x + 1 > 0B. x 1 < 0C. x^2 1 > 0D. x^2 + 1 < 03. 不等式2(x 3) ≤ 3 4x的解集是（）A. x ≤ 3B. x ≥ 3C. x ≤ 9/5D. x ≥ 9/54. 不等式组$$ \begin{cases} x 2 > 0 \\ 2x + 1 < 5\end{cases} $$的解集是（）A. x > 2B. x < 2C. 1 < x < 2D. 2 < x < 35. 若不等式组$$ \begin{cases} x a > 0 \\ x + a < 0\end{cases} $$无解，则a的取值范围是（）A. a > 0B. a < 0C. a = 0D. a ≠ 06. 不等式$$ \frac{2x 3}{5} $$ > $$ \frac{x + 1}{2} $$的解集是（）A. x > 5B. x < 5C. x > 11/3D. x < 11/37. 若不等式组$$ \begin{cases} 3x 2y > 6 \\ 2x + 3y < 12 \end{cases} $$的解集为空集，则x的取值范围是（）A. x > 4B. x < 4C. x > 2D. x < 28. 不等式3(x 1) 2(x + 2) ≤ 0的解集是（）A. x ≤ 1B. x ≥ 1C. x ≤ 7D. x ≥ 79. 若不等式$$ \frac{1}{2} $$x 3 > a的解集是x > 6，则a 的值为（）A. 3B. 3C. 6D. 610. 不等式组$$ \begin{cases} x 4 > 0 \\ 2x + 3 < 7\end{cases} $$的解集是（）A. x > 4B. x < 4C. 1 < x < 2D. 2 < x < 3二、判断题：1. 不等式2x 3 > 0的解集是x > 3/2。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》检测题(有答案解析)(3)
一、选择题1．若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ，则实数m 的取值范围是 A ．(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(,4)(1,)-∞-+∞C ．(4,2)-D ．[4,1]- 2．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ）A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定3．已知实数x 、y 满足不等式组11x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩，则2x y +的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．若,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，则下列说法正确的是（ ） A ．322aab bc ca +++≥ B ．322a bab bc ca -+++≥ C ．322a b c ab bc ca --+++≥ D ．以上都不正确5．若0a b <<，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．11a b< B ．22a b >C ．ln()0b a ->D ．22ac bc <6．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则a c > B ．若ac bc >，则a b > C ．若22a b c c<，则a b < D ．若a b >，c d >，则ac bd >7．已知函数22()x x a f x x-+=，若[2,)x ∈+∞，()0f x >，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．[0,)+∞ D ．(1,)+∞8．已知01a <<，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A ．b cb ac a>++ B ．c c a b b a+>+ C ．log log b c a a < D ．b c a a >9．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞D ．[]4,6-10．325x -≥不等式的解集是（ ） A ．{|1}x x ≤-B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥11．若0a b <<，则下列各式一定．．成立的是（ ） A ．a c b c +>+B ．22a b <C ．ac bc >D ．11a b> 12．给出以下四个命题：（ ） ①若a>b ，则 11a b<； ②若ac 2>bc 2，则a>b ； ③若a>|b|，则a>b ；④若a>b ，则a 2>b 2.其中正确的是( ) A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③二、填空题13．已知,a b ∈R 且1,02a b ≠-≠， 则111||||21a b b a ++-+的最小值为________ 14．若11||,||36x y ≤≤，则2x y +的最大值是_______. 15．设()23f x x x =-+-，若不等式121()a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立，则x 取值集合是_______.16．若()f x 是R 上的减函数，且()f x 的图像经过点()0,3A 和()3,1B -，则不等式()112f x +-<的解集是__________．17．已知函数()|||2|f x x a x =++-．若()|4|f x x ≤-的解集包含[]1,2，则实数a 的取值范围为__________．18．如果关于x 的不等式|3||4|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是______.19．若存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立，则实数c 的取值范围是_____. 20．不等式4x x>的解集为__________． 三、解答题21．已知0a >，0b >，23a b +=. （1）求 22a b +的取值范围； （2）求证：3381416a b ab +≤. 22．设函数()212f x x x =-++． （1）求不等式()4f x ≥的解集；（2）若不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围． 23．（1）已知a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，证明：a a a cb c--＜．（2 24．已知函数()211f x x x =--+. （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值为m ，正实数a ，b 满足a b m +=，试求1412a b +++的最小值. 25．已知函数()21f x x =+ （1）解不等式()2f x x >- （2）若不等式21()332f x x a a +-≥--对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围. 26．设函数3211()132f x ax bx cx =+++，f x 为()f x 的导函数，(1)2af '=-，322a c b >>.（1）用a ，b 表示c ，并证明：当0a >时，334b a -<<-； （2）若12a =-，2b =，32c ，求证：当1x ≥时，()ln x f x '≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和，它的最小值等于1m +，由题意可得13m +>，解得2m >，或4m <-，故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞，故选A.2．C解析：C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.3．B解析：B 【分析】 由题意得出1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，利用待定系数法得出()()31222x y x y x y +=++-，然后利用不等式的基本性质可求得2x y +的取值范围，进而得解. 【详解】 由题意得出1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，设()()()()2x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-，则21m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，()()31222x y x y x y +=++-，由于()()333222111222x y x y ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩，可得222x y -≤+≤，因此，2x y +的最大值是2.故选：B. 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质求代数式的最值，解答的关键就是利用待定系数法求得()()31222x y x y x y +=++-，考查计算能力，属于中等题. 4．A解析：A 【分析】首先根据题意得到13ab bc ca -≤++≤，即可得到选项A 正确，再利用特值法排除选项B ，C ，即可得到答案.因为,,a b c ∈R ，且||1a ≤，||1b ≤，||1c ≤，所以当,,a b c 都为1或1-时，ab bc ca ++取得最大值3， 设()()1,||1f x b c x bc x =+++≤，(1)()1(1)(1)f b c bc b c -=-+++=--， (1)()1(1)(1)f b c bc b c =+++=++，||1b ≤，||1c ≤，(1)0,(1)0f f ∴-≥≥， ||1x ∴≤时，()0f x ≥，又||1a ≤，()()10f a b c a bc ∴=+++≥，1ab bc ca ++≥-即：13ab bc ca -≤++≤. 对于选项A ，3122ab bc ca +++≥，122a ≤，显然不等式成立． 取1a =，1b =-，0c，得到31(1)10022---+++≥ 显然不成立，故排除选项B.取1a =-，0b =，1c =，得到310100(1)22---++-+≥ 显然不成立，故排除选项C. 故选：A 【点睛】本题主要考查根据条件判断不等式是否正确，特值法为解决本题的关键，属于简单题.5．B解析：B 【分析】取特殊值排除ACD 选项，由幂函数的单调性判断B 选项. 【详解】当2,1a b =-=-时，11112a b-=>=-；ln()ln10b a -==；则AC 错误； 当0c时，22ac bc =，则D 错误；因为函数2y x 在(,0)-∞上单调递减，0a b <<，所以22a b >故选：B 【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立，属于中档题.6．C解析：C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例.对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.7．B解析：B 【分析】结合已知不等式可转化为即22a x x >-+,结合二次函数的性质求22x x -+ 在[2,)+∞ 上的最大值,即可求解． 【详解】解: [2,)x ∈+∞,22()0x x af x x-+=> [2,)x ∴∈+∞,220x x a -+>即22a x x >-+在[2,)x ∈+∞上恒成立.结合二次函数的性质可知当2x =时,22x x -+取得最大值为0.即0a >. 故选:B ． 【点睛】本题考查了由不等式恒成立问题求参数的范围.对于关于()f x 的不等式在x 的某段区间上恒成立问题,一般情况下进行参变分离,若()a h x > 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最大值,令max ()a h x > 即可; 若()a h x < 在区间上恒成立,只需求出()h x 的最小值,令min ()a h x < 即可. 8．A解析：A 【分析】由作差法可判断出A 、B 选项中不等式的正误；由对数换底公式以及对数函数的单调性可判断出C 选项中不等式的正误；利用指数函数的单调性可判断出D 选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项中的不等式，()()()a b c b cb ac a a b a c --=++++，01a <<，01c b <<<，()0a b c ∴->，0a b +>，0a c +>，b cb ac a∴>++，A 选项正确； 对于B 选项中的不等式，()()a cbc c a b b a b b a -+-=++，01a <<，01c b <<<， ()0a c b ∴-<，0a b +>，c c ab b a+∴<+，B 选项错误； 对于C 选项中的不等式，01c b <<<，ln ln 0c b ∴<<，110ln ln b c∴<<， 01a <<，ln 0a ∴<，ln ln ln ln a ab c∴>，即log log b c a a >，C 选项错误； 对于D 选项中的不等式，01a <<，∴函数x y a =是递减函数，又c b <，所以c b a a >，D 选项错误.故选A. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，常见的比较大小的方法有：（1）比较法；（2）中间值法；（3）函数单调性法；（4）不等式的性质.在比较大小时，可以结合不等式的结构选择合适的方法来比较，考查推理能力，属于中等题.9．B解析：B 【分析】利用绝对值三角不等式，得到538x x -++≥，恒成立. 【详解】53(5)(3)8x x x x -++≥--+= 536x x -++≥恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集. 【详解】因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C. 【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.11．D解析：D运用不等式的可加性，可判断A ；由反比例函数的单调性，可判断D ；由0c ，可判断C ；由二次函数的单调性可判断B ． 【详解】对于A ，若0a b <<，则a c b c ++＜，故A 项错误； 对于D ，函数1y x ＝在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则11a b>，故D 项正确； 对于C ，当0c时，ac bc =，即不等式ac bc >不成立，故C 项错误；对于B ，函数2y x 在0-∞（，）上单调递减，若0a b <<，则22a b ＞，故B 项错误， 故选D ． 【点睛】本题考查不等式的性质和运用，考查函数的单调性和反例法，考查推理、判断能力，属于基础题．12．B解析：B 【解析】分析：根据不等式的性质分别进行判断，注意结合特值法求解. 详解：①若110,a b a b>>>成立，①错误； ②22ac bc >，则a b >，②正确； ③若a b >成立，则a b >成立，③正确；④若0,1a b ==-，a b >成立，则 22a b >不成立，④错误， 正确的命题为②③，故选B.点睛：本题考查不等式的性质的应用，要求熟练掌握不等式性质成立的条件，同时注意运用特值法判断，属于简单题.二、填空题13．【分析】先由题得再得到即得解【详解】当且仅当时取到最小值故答案为：【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用考查基本不等式求最值意在考查学生对这些知识的理解掌握水平12【分析】 先由题得1111||||||2121a ab b a a ++-≥+++，再得到111|(21)|2212a a ++-+12≥即得解.1111111||||||||212121a a ab b a b b a a ++-≥+-+=++++ 111111=|(21)||(21)|22122212a a a a ++-≥++-++1122≥=当且仅当a =时取到最小值.12【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【分析】由绝对值三角不等式可计算出的最大值【详解】由绝对值三角不等式可得当且仅当时等号成立因此的最大值为故答案为【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值一般在含多个绝对值时可采用利用绝对值三角不等解析：23【分析】由绝对值三角不等式可计算出2x y +的最大值. 【详解】由绝对值三角不等式可得1122222363x y x y x y +≤+=+≤+⨯=， 当且仅当0xy >时，等号成立，因此，2x y +的最大值为23，故答案为23． 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值，一般在含多个绝对值时，可采用利用绝对值三角不等式求解，在求解时要注意对代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题．15．【解析】【分析】将不等式转化为分别在的情况下讨论得到的最大值从而可得；分别在的情况去绝对值得到不等式解不等式求得结果【详解】对任意实数恒成立等价于：①当时②当时③当时④当时综上可知：即当时解得：当时 解析：(][),14,-∞+∞【解析】 【分析】将不等式转化为()max121a a f x a ⎛⎫+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭，分别在1a ≤-、10a -<<、102a <<、12a ≥的情况下讨论得到121a a a +--的最大值，从而可得()3f x ≥；分别在2x ≤、23x <<、3x ≥的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.【详解】()121a a f x a+--≥对任意实数0a ≠恒成立等价于：()max121a a f x a ⎛⎫+--≥ ⎪ ⎪⎝⎭ ①当1a ≤-时，()12111221a a a a aa a+------==-+-[)22,0a∈- [)1213,1a a a +--∴∈-- ②当10a -<<时，()1211123a a a a aa+--+--==--③当102a <<时，()1211123a a a a a a+--+--== ④当12a ≥时，()12112121a a a a a a a +--+--==-+(]20,4a∈ (]1211,3a a a +--∴∈- 综上可知：max1213a a a ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭ ()3f x ∴≥，即()233f x x x =-+-≥当2x ≤时，()23523f x x x x =-+-=-≥，解得：1x ≤ 当23x <<时，()2313f x x x =-+-=≥，无解 当3x ≥时，()23253f x x x x =-+-=-≥，解得：4x ≥x 的取值集合为：(][),14,-∞+∞本题正确结果；(][),14,-∞+∞【点睛】本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果.16．【解析】即解集是点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 解析：()1,2-【解析】()112f x +-<1(1)3f x ⇒-<+< 013,12x x ∴<+<-<< ，即解集是()1,2- 点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内17．【解析】f(x)≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|当x ∈12时|x －4|－|x －2|≥|x＋a|⇔4－x －(2－x)≥|x ＋a|⇔－2－a≤x≤2－a 由条件得－2－a≤1且2－a≥2即解析：[]-3,0【解析】f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[]-3,0.18．【分析】利用绝对值三角不等式可求得根据不等式解集不为空集可得根式不等式根据根式不等式的求法可求得结果【详解】由绝对值三角不等式得：即原不等式解集不是空集即当时不等式显然成立；当时解得：；综上所述：的 解析：(3,)+∞【分析】 利用绝对值三角不等式可求得()min 347x x -++=，根据不等式解集不为空集可得根式不等式，根据根式不等式的求法可求得结果.【详解】 由绝对值三角不等式得：()()34347x x x x -++≥--+=，即()min 347x x -++=.原不等式解集不是空集，7a ∴>7a >-当7a >时，不等式显然成立；当7a ≤时，()2130137a a a +≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩，解得：37a <≤； 综上所述：a 的取值范围为()3,+∞.故答案为：()3,+∞.【点睛】本题考查根据不等式的解集求解参数范围的问题，涉及到绝对值三角不等式的应用、根式不等式的求解等知识；关键是能够根据利用绝对值三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题.19．或【分析】令利用整体代换原不等式等价于：存在实数使得易得或令则问题转化为存在使得或成立利用分离参数法易得的范围【详解】令存在实数使得成立转化为：存在实数使得成立易得或因为实数令则问题转化为存在使得或 解析：6c ≤-或2c ≥【分析】 令4cos 3cos 3c t a a =+++，利用整体代换，原不等式等价于：存在实数t 使得{}max ,410t t +≥，易得10t ≤-，或6t ≥，令[]cos 324m a =+∈,，则4c t m m =+，问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立，利用分离参数法，易得c 的范围．【详解】 令4cos 3cos 3c t a a =+++， 存在实数a 使得44max cos 3,cos 710cos 3cos 3c c a a a a ⎧⎫++++≥⎨⎬++⎩⎭成立， 转化为：存在实数t 使得max ,}1{40t t +≥成立，易得10t ≤-，或6t ≥， 因为a 实数，[]cos 32,4a +∈，令[]cos 324m a =+∈,， 则4c t m m =+， 问题转化为存在[]2,4m ∈，使得10t ≤-，或6t ≥成立；当10t ≤-时，可得410c m m +≤-，可得[]2410,2,4c m m m ≤--∈ ，可得6c ≤-； 当6t ≥时，可得46c m m+≥，即246,24[,]c m m m ≥-∈，可得2c ≥； 所以c 的范围为6c ≤-或2c ≥．故答案为：6c ≤-或2c ≥．【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数能成立问题的转化，考查分析问题解决问题以及分类讨论思想的应用．20．【分析】由题意可化为根据不等式性质化简即可求解【详解】由题意可知即解得所以不等式的解集故答案为：【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法一元二次不等式的解法属于中档题解析：()0,2【分析】 由题意可化为4,0x x x>>，根据不等式性质化简即可求解. 【详解】由题意可知40x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即240x x ⎧>⎨>⎩，解得02x <<， 所以不等式的解集()0,2，故答案为：()0,2.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，属于中档题.三、解答题21．（1）9,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（2）证明见解析【分析】（1）由23a b +=和0b >求出b 的范围，用b 表示a ，将22a b +转化为269555b ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，再根据b 的范围即可求出22a b +的取值范围； （2）对23a b +=，利用基本不等式求出ab 的范围，再将334a b ab +转化为28194168ab ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，利用ab 的范围即可证明不等式. 【详解】（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<∴222222699(32)51295555a b b b b b b ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， ∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95， 又22696955095555b ⎛⎫⎛⎫-+<⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴22995a b ≤+<，即229,95a b ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭； （2）0a >，0b >，23a b +=，3∴≥908ab <≤，当且仅当322a b ==时，取等号， ()3322244(2)4a b ab ab a b ab a b ab ⎡⎤∴+=+=+-⎣⎦22819(94)94()4168ab ab ab ab ab ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116， ∴3381416a b ab +≤. 【点睛】 本题主要考查解不等式和不等式的证明，利用了基本不等式和一元二次函数的应用，考查学生转化和计算能力，属于中档题.22．（1）4(,0][,)3-∞⋃+∞；（2）(,1)(5,)-∞-+∞【详解】在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题． （Ⅰ）()3,(2){4,(21)3,(1)x x f x x x x x -≤-=-+-<≤>，令44x -+=或34x =，得0x =，43x =，所以，不等式()4f x ≥的解集是4{|0}3x x x ≤≥或． （Ⅱ）()f x 在(,1]-∞上递减，[1,)+∞递增，所以，， 由于不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，所以23m ->，解之，1m <-或5m >，即实数m 的取值范围是(,1)(5,)-∞-⋃+∞．23．（1）证明见解析 （2）证明见解析【分析】（1）由题意得出a ＜0，且a -c ＜b -c ＜0，再证明1b c -＜1a c -，即可得出a a c -＜a b c -； （2）利用分析法证明命题成立的基本步骤是：要证…，只需证…，即证…，显然成立．【详解】证明：（1）由a ＜b ＜c ，且a +b +c =0，所以a ＜0，且a -c ＜b -c ＜0，所以（a -c ）（b -c ）＞0，所以()()a c a c b c ---＜()()b c a c b c ---，即1b c -＜1a c -；所以a b c -＞a a c -，即a a c -＜a b c-． （2213a a a a ---＜即证a +（a -3）a -1）+（a -2）即证a （a -3）＜（a -1）（a -2）；即证0＜2，显然成立；【点睛】本题考查了不等式的证明问题，也考查了综合法与分析法的应用问题，是基础题． 24．（1）{}26x x -≤≤；（2）32 【分析】 （1）化简函数()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，分段求解不等式，即可求出答案. （2）利用绝对值三角不等式求出最小值m ，再利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】（1）依题意得()2,113,1212,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， 因为()4f x ≤，所以124x x ≤-⎧⎨-≤⎩，或11234x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩，或1224x x ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩， 解得21x -≤≤-，或112x -<<，或162x ≤≤. 所以26x -≤≤，即不等式()4f x ≤的解集为{}26x x -≤≤. （2）()()()31212221223y f x x x x x x =++=-++≥--+=，当且仅当()()21220x x -+≤，即112x ≤≤-时取等号. 则3m =，3a b +=，因为0,0a b >>，126a b +++=，所以()141141212612a b a b a b ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()41125612a b a b +⎡⎤+=++⎢⎥++⎣⎦13562⎡≥+=⎢⎢⎣， 当且仅当()41212a b a b ++=++，且3a b +=，即1a =，2b =时取等号， 所以1412a b +++的最小值为32. 【点睛】 本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档题.25．（1）{|3x x <-或1}3x >；（2）14a -≤≤．【分析】（1）根据不等式的性质x a x a >⇔>或x a <-，可求解不等式．（2）根据绝对值定义去掉绝对值符号后求得1()2f x x +-的最小值，然后解相应不等式可得a 的范围．【详解】解：（1）()2f x x >- 即212x x +>-不等式等价于212x x +>-或212x x +<-即：13x >或3x <- ∴不等式解集为{|3x x <-或1}3x >； （2）不等式21()332f x x a a +-≥--恒成立 2min 133()2a a f x x ⎡⎤∴--≤+-⎢⎥⎣⎦ 令11()()2122g x f x x x x =+-=++-113()22311()222113()22x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪⎪+≥⎪⎩∴当12x =-时，min 1()()12g x g =-= 2331a a ∴--≤ 即2340a a --≤14a ∴-≤≤．【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，考查不等式恒成立问题，解题方法对只有一个绝对值的不等式x a >可直接利用性质等价转化为x a >或x a <-，x a <a x a ⇔-<<求解，若有两个或以上的绝对值可按绝对值定义去掉绝对值符号，然后利用分段函数的知识求解． 26．（1）32c a b =--；证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）求导后，利用(1)2a f '=-可得32c a b =--，将其代入到322a c b >>，利用不等式的性质可得334b a -<<-； （2）构造函数213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥，求导得单调性，利用单调性可证不等式.【详解】（1）由题得2()f x ax bx c '=++ ∵(1)2a f '=-，∴2a a b c ++=- ∴32c a b =--， ∵322a c b >>∴3322a a b b >--> ∴334b a -<<- （2）∵12a =-，2b =，32c ∴213()222f x x x '=-+- 令213()2(n 2l 1)2g x x x x x =+-+≥ 求导可得21(1)()2x g x x x x-'=+-= ∴()0g x '≥∴()g x 在区间[)1,+∞上单调递增 ∴()()10g x g ≥= ∴()ln x f x '≥成立【点睛】本题考查了不等式的性质，考查了利用导数证明不等式，属于中档题.。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(含答案解析)
一、选择题1．若对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a ＞15 C ．a ＜15 D ．a ≤152．若2a ≠-，(21)(2)m a a =-+，(2)(3)n a a =+-，则m 、n 的大小关系是（ ）A ．m n =B ．m n <C ．m n >D ．m 、n 关系不确定 3．设,,a b c ∈R ，且a b >，则( )A ．ac bc >B ．a c b c -<-C ．33a b >D ．22a b > 4．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中正确的是（ ） A ．ab ac >B ．ac bc <C ．22ab cb >D ．22ca ac >5．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数m 满足321(log (211))(log )2f m f -+>，则m 的取值范围是( )A ．13(,)(,)22-∞-+∞） B ．3(,)2-∞ C ．1(,)2-+∞ D ．13(,)22-6．不等式ax b ＞，()0b ≠的解集不可能是（ ） A ．∅B ．RC ．,b a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．,b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭7．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <8．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1xy>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．不等式536x x -++≥的解集是 ( ) A ．[]5,7- B ．(),-∞+∞C ．()(),57,-∞-+∞ D ．[]4,6-10．设实数0,0a b c >>>，则下列不等式一定正确．．．．的是( ) A ．01ab<< B ．a b c c > C ．0ac bc -<D ．ln0ab> 11．若a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．11a b< C ．a b >D ．a b e e >12．2x ≤是11x +≤成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件二、填空题13．若对任意[]02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，不等式214ax bx x +-≤恒成立，则实数a 的取值范围是____.14．若不等式2240x x m +--≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是_______.15．不等式312x -≤的解集是__________． 16．已知,,a b c R +∈，设a b c S b c a c a b=+++++，则S 与1的大小关系是__________．(用不等号连接) 17．已知ln ln x y <，则21x y y x-++的最小值为___________________．18．设5x >，P Q ，则P 与Q 的大小关系是P ______Q . 19．不等式4x x>的解集为__________． 20．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________三、解答题21．已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()4f x <；（2）若不等式()2f x log t >对任意x ∈R 恒成立，求实数t 的取值范围. 22．已知正实数,x y 满足21x y += （1）解关于x 的不等式52()||2x y x y ++-≤；（2）证明：22114136x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 23．函数()212f x x x =-++. （1）求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 的最小值为M ，()220,0a b M a b +=>>，求证：141213a b +≥++. 24．已知函数()|23||1|f x x x =+--. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式()2|33|f x a x >--对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．已知()2121x x x f =++-．（1）若()()1f x f >，求实数x 的取值范围； （2）已知113m n +≤（其中0m >，0n >），求证：43m n +≥． 26．设函数()231f x x x =++-． （1）解不等式()4f x >； （2）若存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】由题：对于任意的x ＞0，不等式231xa x x ≤++恒成立， 即对于任意的x ＞0，不等式113ax x≤++恒成立，根据基本不等式：10,335x x x >++≥+=，当且仅当1x =时，取得等号，所以113x x ++的最大值为15， 所以15a ≥.故选：A 【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.2．C解析：C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--，两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知，2(2)0m n a -=+>，m n ∴>，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小，属于基础题.3．C解析：C 【分析】取特殊值判断A,D ,根据不等式的性质判断B ,根据幂函数的性质判断C . 【详解】 A 选项，取0c时，不等式不成立；B 选项，不等式两边加上同一个数c -，不等号方向不发生改变，故错误；C 选项，根据幂函数3y x =在R 上为增函数知33a b >，故正确；D 选项，取1,2a b ==-，不等式不成立，故错误. 故选：C 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，幂函数的单调性，特值法，属于中档题.4．A解析：A 【分析】根据不等式的性质推理即可得出. 【详解】c b a <<，且0ac <， 0c ∴<，0a >，0b a -<，ab ac ∴>.故选：A. 【点睛】本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础题.5．D解析：D 【分析】不等式等价于()()()3log 2111f m f -+>，利用函数是偶函数和其单调性可知()3log 2111m -+<，转化为解对数和含绝对值的不等式.【详解】()f x 是偶函数，()()21log 112f f f ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭，即不等式等价于()()()3log 2111f m f -+>()3log 2110m -+≥ ，()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，()f x ∴在[)0,+∞单调递减，()3log 2111m ∴-+<，即2113m -+<，整理为：212m -< ，2212m ∴-<-<，解得：1322m -<<. 故选：D 【点睛】本题考查利用函数的性质解不等式，主要考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，一般利用函数是偶函数，并且已知函数在区间上的单调性时，()()()()1212f x f x f x f x >⇒>，然后利用()0,∞+或[)0,+∞的单调性解不等式.6．D解析：D 【解析】 【分析】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅；当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ；当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a +∞）；当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【详解】当0a =，0b ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是∅； 当0a =，0b ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是R ； 当0a ＞时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,ba+∞）； 当0a ＜时，不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集是（,b a-∞）. ∴不等式ax b ＞，（0b ≠）的解集不可能是（,b a-∞-）. 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解法，属于中档题．解题时要认真审题，仔细解答．7．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误； 对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.8．C解析：C 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理判断，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，正实数,x y 是正数，且x y >， ①中，可得2xy y >，所以2xy y <是错误的；②中，由x y >，可得22x y >是正确的； ③中，根据实数的性质，可得1xy>是正确的； ④中，因为0x x y >->，所以11x x y<-是正确的， 故选C. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9．B解析：B 【分析】利用绝对值三角不等式，得到538x x -++≥，恒成立. 【详解】53(5)(3)8x x x x -++≥--+= 536x x -++≥恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.10．D解析：D 【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论． 【详解】 解：由于a ＞b ＞0，1ab>，A 错； 当0＜c ＜1时，c a ＜c b ；当c ＝1时，c a ＝c b ；当c ＞1时，c a ＞c b ，故c a ＞c b 不一定正确，B 错；a ＞b ＞0，c ＞0，故ac ﹣bc ＞0，C 错．lnln10ab>= ，D 对； 故选D ． 【点睛】本题考查不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．D解析：D 【解析】分析：根据不等式的性质，通过举例，可判定A 、B 、C 不正确，根据指数函数的性质，即可得到D 是正确的.详解：当1,2a b ==-时，满足a b >，此时2211,,a b a b a b<，所以A 、B 、C 不正确；因为函数x y e =是单调递增函数，又由a b >，所以a b e e >，故选D.点睛：本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用，其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.12．B解析：B 【解析】分析：先化简2x ≤和11x +≤，再利用充要条件的定义判断. 详解：因为2x ≤，所以-2≤x≤2.因为11x +≤，所以-1≤x+1≤1，所以-2≤x≤0.因为-2≤x≤2成立，则-2≤x≤0不一定成立，所以2x ≤是11x +≤成立的非充分条件. 因为-2≤x≤0成立，则-2≤x≤2一定成立，所以2x ≤是11x +≤成立的必要条件. 所以2x ≤是11x +≤成立的必要不充分条件. 故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查解绝对值不等式和充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法:定义法、集合法和转化法.二、填空题13．【分析】将不等式转化为恒成立结合函数单调性转化求解【详解】对任意当时不等式恒成立即恒成立当时单调递增只需对恒成立且解得故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数取值范围关键在于熟练掌握不等式性质和解析：](13，【分析】将不等式转化为14ax b x-+≤恒成立，结合函数单调性转化求解. 【详解】对任意[]02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，不等式214ax bx x +-≤恒成立， 即14ax b x-+≤恒成立，[]02b ∈，，当11x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(1)a 时，1y ax b x =-+单调递增， []11,1ax b a b a b x-+∈-+-+，14ax b x -+≤(1)a只需14,14a b a b -+≤-+≤对[]02b ∈，恒成立， 124a -+≤且1a >，解得13a.故答案为：](13，【点睛】此题考查不等式恒成立求参数取值范围，关键在于熟练掌握不等式性质和函数单调性，结合恒成立求解参数.14．【分析】构造函数得出函数表示为分段函数的形式并求出函数的最小值可得出实数的取值范围【详解】构造函数由题意得当时当且仅当时等号成立；当时此时函数单调递增则所以函数的最小值为因此故答案为【点睛】本题考查 解析：3m ≤【分析】构造函数()224f x x x =+-，得出()min m f x ≤，函数()y f x =表示为分段函数的形式，并求出函数()y f x =的最小值，可得出实数m 的取值范围． 【详解】构造函数()224f x x x =+-，由题意得()min m f x ≤.当2x ≤时，()()2224133f x x x x =-+=-+≥，当且仅当1x =时，等号成立； 当2x >时，()()222415f x x x x =+-=+-，此时，函数()y f x =单调递增，则()()24f x f >=.所以，函数()y f x =的最小值为()min 3f x =，因此，3m ≤，故答案为3m ≤． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查参变量分离与分类讨论思想，对于这类问题，一般转化为最值来求解，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，属于中等题．15．【解析】由题意得不等式等价于解得所以不等式的解集为点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法其中解答中熟记绝对值的定义根据绝对值的定义合理去掉绝对值号是解答的关键解析：1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题意得，不等式312x -≤，等价于2312x -≤-≤，解得113x -≤≤， 所以不等式的解集为1[,1]3-.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，其中解答中熟记绝对值的定义，根据绝对值的定义，合理去掉绝对值号是解答的关键.16．【解析】因为所以与1的大小关系是故答案为 解析：1S >【解析】因为,,a b c R +∈，所以1a b c a b c S b c a c a b a b c a b c a b c=++>++=+++++++++，S 与1的大小关系是1S > ，故答案为1S >.17．无最小值【分析】由题意得出再由二次函数的性质和三个正数的算术几何平均不等式得出的范围找出最小值即可【详解】因为所以所以当且仅当时后面的等号成立所以所以无最小值故答案为：无最小值【点睛】本题主要考查了解析：无最小值 【分析】由题意得出0x y <<，再由二次函数的性质和三个正数的算术几何平均不等式，得出21x y y x-++的范围，找出最小值即可. 【详解】因为ln ln x y <，所以0x y <<，所以 22211111+24=-=⎛⎫-++++ +--⎪⎝⎭x y y y y x xy x x x222111111+24222+--+⎛⎫>==+≥+=⎪⎝⎭x x x x x x x x.当且仅当x =时后面的等号成立，所以21-++>x y y x ，所以21x y yx -++无最小值.故答案为：无最小值. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质和三个正数的算术几何平均不等式，考查转化思想，属于中档题18．【分析】用作差的方法比较大小对根式进行分子有理化利用不等式的性质即可得出结果【详解】故答案为：【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小和不等式的基本性质的应用考查了运算求解能力和逻辑推理能力属于中档题目 解析：>【分析】用作差的方法比较大小，对根式进行分子有理化，利用不等式的性质即可得出结果.【详解】-=-P Q=-==-5x >>>>∴<<<∴->故答案为：>【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小和不等式的基本性质的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.19．【分析】由题意可化为根据不等式性质化简即可求解【详解】由题意可知即解得所以不等式的解集故答案为：【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法一元二次不等式的解法属于中档题解析：()0,2【分析】由题意可化为4,0x xx>>，根据不等式性质化简即可求解.【详解】由题意可知4xxx⎧>⎪⎨⎪>⎩，即24xx⎧>⎨>⎩，解得02x<<，所以不等式的解集()0,2，故答案为：()0,2.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，属于中档题. 20．【分析】由题意得由绝对值三角不等式求出函数的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】由题意得由绝对值三角不等式得因此实数的取值范围是故答案为【点睛】本题考查不等式恒成立问题同时也考查了利用绝对值三角不 解析：(],3-∞-【分析】 由题意得()min 12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围.【详解】 由题意得()min 12m x x ≤+--， 由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-，因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为(],3-∞-.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题.三、解答题21．（1）44,33⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）(0, 【分析】（1）讨论12x ≥，112x -<<，1x ≤-三种情况，分别解不等式得到答案. （2）计算()13122f x x x ≥-++≥，得到23log 2t ≤，解得答案. 【详解】（1）当12x ≥时，()21134f x x x x =-++=<，故43x <，即1423x ≤<； 当112x -<<时，()21124f x x x x =-+++=-+<，故2x >-，即112x -<<； 当1x ≤-时，()21134f x x x x =-+--=-<，故43x >-，即413x -<≤-； 综上所述：44,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（2）()13211122f x x x x x =-++≥-++≥，当12x =时，等号成立. ()2log f x t >，即23log 2t ≤，即t ≤，故(0,t ∈. 【点睛】 本题考查了解绝对值不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的分类讨论能力和计算能力，转化能力.22．（1）11102x ≤<；（2）证明见解析. 【分析】（1）用x 表示y 并求得x 的取值范围，结合绝对值不等式的解法求得原不等式的解集. （2）化简221141x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭后利用基本不等式证得不等式成立. 【详解】（1）21x y +=，且0,0x y >>，故112,02y x x =-<<. 11005222()5122(1)3131222x x x y x y x x x x ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪∴++-≤⇔⇔⎨⎨⎪⎪-+-≤-≤+⎪⎪⎩⎩ 10211231222x x x x ⎧<<⎪⎪⇔⎨⎪--≤-≤+⎪⎩， 解得11102x ≤<. （2）21,x y +=且 0,0x y >>，2222221114141x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2222(12)(12)(1)(1)(12)(1)2x x y y x y y x x y x y +-+-++⋅=⋅=⋅ 1222x y xy xy +++=⨯ 248844436(2)22xy x y x y =+=+≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当且仅当122x y ==时等号成立.【点睛】 解绝对值不等式，可利用公式法，如a b b a b ≤⇔-≤≤.证明不等式，可利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭. 23．（1）52；（2）证明见解析. 【分析】（1）采用零点分段的方法将定义域分为三段：(],2-∞-、12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭、1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，由此求解出每一段定义域对应的()f x 的值域，由此确定出()f x 的最小值；（2）由（1）确定出M 的值，采用常数代换的方法将14213a b +++变形并利用基本不等式完成证明.【详解】 解：（1）()31,212123,22131,2x x f x x x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪=-++=-+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩， 当2x -≤时，()5f x ≥； 当122x -<<时，()552f x <<； 当12x ≥时，()52f x ≥. 所以()f x 的最小值为52. （2）由（1）知52M =，即25a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以()()141142132139213a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()4211359213a b a b +⎛⎫+=++ ⎪++⎝⎭1519⎛ ≥+= ⎝当且仅当()253221a b b a +=⎧⎨+=+⎩，即1a =，3b =时，等号成立， 所以141231a b +≥++. 【点睛】本题考查绝对值函数的最值以及运用基本不等式证明不等式，难度一般.（1）求解双绝对值函数的最值常用的方法：零点分段法、图象法、几何意义法；（2）利用基本不等式完成证明或者求解最值时，要注意说明取等号的条件.24．（1）17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）52a <. 【分析】（1）分类讨论，得出使得绝对值不等式成立的不等式组，然后求解x 的范围即可；（2）()2|33|f x a x >--可化为|23||22|2x x a ++->，然后根据绝对值三角不等式可出|23||22|5x x ++-≥，进而可得25a <，最后求出a 的取值范围即可.【详解】（1）|23||1|3x x +--≤， 12313x x x ≥⎧∴⎨+-+≤⎩或3122313x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-≤⎩或322313x x x ⎧≤-⎪⎨⎪--+-≤⎩ 11x x ≥⎧∴⎨≤-⎩或31213x x ⎧-<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或327x x ⎧≤-⎪⎨⎪≥-⎩ 173x ∴-≤≤， 即不等式()3f x ≤的解集为17,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （2）()2|33|f x a x >--，即|23||1|2|33|x x a x +-->--，可化简为：|23||22|2x x a ++->，|23||22||23(22)|5x x x x ++-≥+--=，25a ∴<，52a ∴<. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.25．（1）()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【分析】（1）利用零点分段法，求得不等式()()1f x f >的解集；（223≥，由此证得43m n +≥. 【详解】（1）()()1f x f >，即21215x x ++->.①当12x >时，()()21215x x ++->，得1x >； ②当112x ≤≤-时，()()21215x x +-->，得35>，不成立； ③当1x <时，()()21215x x -+-->，得32x <-. 综上，所求的x 的取值范围是()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.（2）因为0m >，0n >时，113m n ≥+≥ 当且仅当m n =时，等号成立，所以323≥，所以43m n +≥. 【点睛】 本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题. 26．（1）()(),20,-∞-+∞（2）73,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】（1）去掉绝对值号，得到分段函数，进而分类讨论求解不等式()4f x >的解集，得到答案；（2）由存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，转化为min 1[()]a f x +>，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()332,232314,1232,1x x f x x x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=++-=+-≤≤⎨⎪+>⎪⎪⎩， 又由()4f x >，可得32324x x ⎧<-⎪⎨⎪-->⎩或31244x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+>⎩或1324x x >⎧⎨+>⎩， 解得2x <-或01x <≤或1x >，综上可得，不等式()4f x >的解集为()(),20,-∞-+∞. （2）由题意，存在03,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦使不等式()01a f x +>成立，即min 1[()]a f x +> 由（1）知，3,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()4f x x =+，所以32x =-时，min 5[()]2f x = 则512a +>，解得32a >或72a <-， 所以实数a 的取值范围为73,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的解法及应用，其中解答中把问题转化为不等式的恒成立问题，结合函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不等式及不等式组应用练习题
1．（2012•三明）某商店销售A，B两种商品，已知销售一件A种商品可获利润10元，销售一件B种商品可获利润15元．
（1）该商店销售A，B两种商品共100件，获利润1350元，则A，B两种商品各销售多少件？
（2）根据市场需求，该商店准备购进A，B两种商品共200件，其中B种商品的件数不多于A种商品件数的3倍．为了获得最大利润，应购进A，B两种商品各多少件？可获得最大利润为多少元？
由题意得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≥--=≥-=≥00
360033600z y x z x y x
解得：120≥x≥30， 即x 的最小值时30，
当x=30时，y=360-3x=270，z=360-30-270=60， 最高总收入是：w =720-30=690，
答：每周制作西服、休闲服、衬衣分别制30件、270件、60件时，才能使总收入最高，最高总收入是690百元．
3．（2011•铜仁地区）为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划拿出不超过3200元的资金购买一批篮球和排球，已知篮球和排球的单价比为3：2，单价和为160元．
（1）篮球和排球的单价分别是多少元？
（2）若要求购买的篮球和排球的总数量是36个，且购买的排球数少于11个，有哪几种购买方案？
（1）设A 型汽车安排x 辆，B 型汽车安排y 辆，求y 与x 之间的函数关系式．
（2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案．
（3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费．
解答：（1）.4x+6y+7(21-x-y)=120 y=-3x+27 (2).⎪⎩
⎪⎨⎧≥+---≥+-≥4)273(2142734x x x x
（1）该工厂现有的原料能否保证生产需要？若能，有几种生产方案？请你设计出来．
（2）设生产A、B两种产品的总成本为y元，其中生产A产品x件，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明（1）中哪种生产方案总成本最底？最低生产总成本是多少？
7．自2010年6月1日起我省开始实施家电以旧换新政策，消费者在购买政策限定的新家电时，每台新家电用一台同类的旧家电换取一定数额的补贴．为确保商家利润不受损失，补贴部分由政府提供，其中三种家电的补贴方式如表：
设购进的电视机和洗衣机数量均为x 台，这100台家电政府需要补贴y 元，商场所获利润w 元（利润=售价-进价）
（1）请分别求出y 与x 和w 与x 的函数表达式；
（2）若商场决定购进每种家电不少于30台，则有几种进货方案？若商场想获得最大利润，应该怎样安排进货？若这100台家电全部售出，政府需要补贴多少元钱？
解答：（1）y=400x+1800×10%x+2400×10%（100-2x ）=100x+24000，
w=400x+300x+400（100-2x ）=-100x+40000；
（2）根据题意得：⎩⎨⎧≥-≥30
210030x x ，解得30≤x≤35，
因为x 为整数，所以x=30，31，32，33，34，35，因此共有6种方案，
对于w=-100x+40000， ∵-100＜0，30≤x≤35，
∴当x 取最小值为30时，w 有最大值，
所以当购进30台电视，30台洗衣机，40台电冰箱式商场获得最大利润．
因此政府补贴为y=100×30+24000=27000．
8．下岗职工王阿姨利用自己的一技之长开办了“爱心服装厂”，计划生产甲、乙、丙三种型号的服装共40套投放到市场销售．已知甲型服装每套成本380元，售价460元；乙型服装每套成本400元，售价500元．丙型服装每套成本360元，售价450元；服装厂预计三种服装的成本为15120元，且每种服装至少生。